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This fund Is $so,ooo, and of its Income three quarters
shall be spent for books and one quarter
be added to the principal.
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ICTG
Sitzungsberichte
der
mathematisch -physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu IVIünchen.
Band XXIV. Jahrgang 1894.
Mflnchen.
Verlag der K. A.kademie. 1895.
To Conmiaaion des 6. Franz'scben Verlags (J. Roth).
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Uebersicht
des Inhaltes der Sitznngsberichte Bd. XXIY Jahrgang 1894.
Die mit * besseichneten Abhandlungeo sind in den Sitzangsberichten nicht abgedruckt.
Oeffeniliche Sitzwng der JcgL Akademie der Wissenschaften zur Feier des 135. Stiftungstages am 28, März 1894.
Seite V. Voit: Nekrologe 118
Oeffeniliche Sitzung zu Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner KönigL Hoheit des Prinjs-Eegcnten am 15, November 1894.
M. V. Pettenkofer: Eröffnungsrede 395
Wahlen 401
Sitzung vom 13. Januar 1894.
F. Richarz: Ueber die elektrischen und magnetischen Kräfte
der Atome 3
K. Döhlemann: üeber eine einfache, eindeutige Raumtrans-
formation 3. Ordnung 41
Sitzung vom 3. Februar 1894.
C. V. Kupffer: üeber Monorhinie und Araphirhinie 51
*Ad. V. Baeyer: Ueber Terpentinöl 51
IV
Sitzung vom S. März 1894,
.Seite
*L. Sohncke: Gewitterstudien auf Grund von Ballonfahrten 61 B. W. Stankewitsch: Experimentelle Beiträge zur Kenntniss
der dielektrischen Polarisation in Flüssigkeiten 63 Hermann Brunn: Exacte Grundlagen fär eine Theorie der
Ovale 93
*Ad. V. Baeyer: üeber Kümmelöl 61
Sitzung vom 5. Mai 1894.
N. Rüdinger: Ueber die Gehirne verschiedener Hunderacen 249 H. Seeliger: Maxweirs und Him's Untersuchungen über die
Constitution des Satumringes 161
L. Graetz und L. Fomm: Ueber normale und anomale Dis- persion elektrischer Wellen 189
L. Boltzmann: a) Ueber den Beweis des Maxweirschen Ge- schwindigkeitsvertheilungsgesetzes unter
Gasmolekülen 207
b) Zur Integration der DiÜ'usionsgleichung bei variabeln Diffusionscoef6cienten .... 211 A. Wassmuth: Ueber die Anwendung des Princips des kleinsten
Zwanges auf die Elektrodynamik 219
F. V. Sandberger: Ueber die Erzlagerstätte von Goldkronach
bei Berneck im Fichtelgebirge 231
Sitzung vom 2. Juni 1894,
H. Seeliger: Ueber den vierfechen Stern C Cancri .... 257 Ign. Schütz: Ueber eine Verallgemeinerung der v. Helmholtz- schen Wirbel-Integrale, welcher eine unendliche Mannig- faltigkeit von mechanischen Bildern der Maxwell 'sehen Elektrodynamik entspricht ^-73
Sitzung vom 7. Juli 1894.
Seite G. Bauer: Bemerkungen ober zahlentheoretische Eigenschaften
der Legend re*8chen Polynome 343
L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen , homogenen und
linearen Gruppen 297
*Äd. V. Baeyer: üeber das Kämmelöl 296
Sitzung vom 3, November 1894.
R. Hart ig: Ueber die Verschiedenheiten im Bau des Eichen- holzes 385
M. Planck: Ueber den Beweis des Maxwellschen Geschwindig-
keitsvertheilnngsgesetzes unter Gasmolekülen .... 391
^E. Weinschenk: Beiträge zur Petrographie der östlichen
Centralalpen, speciell des Gross-Venedigerstockes . . . 383
Sitzung vom 1. Dezember 1894,
H. See liger: Ueber den Schatten eines Planeten 423
F. Lindemann: Ueber die conforme Abbildung der Halbebene auf ein ein&ch zusammenhängendes Flächenstack, das von
einer algebraischen Curve begrenzt wird 403
*A. F. Baeyer: Ueber die Natur der Terpentinöle und ver- wandter Substanzen 402
EiBsendungen von Druckschriften 361, 439
Sitzungsberichte
der
kOnigl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 3. November 1894.
1. Herr Robert H artig hält einen Vortrag: »über die Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes'*.
2. Herr E. v. Lommel legt eine Notiz des Herrn Professor Max Planck in Berlin: „über den Beweis des Maxwell- schen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzes unter liasmolekülen* vor.
3. Herr P. Groth bespricht und überreicht eine Arbeit des Herrn Privatdocenten Dr. Ernst Weinschenk: ,Bei- träge zur Petrographie der östlichen Centralalpen speciell des Gross-Venedigerstockes*.
a) üeber die Peridotite und die aus ihnen hervorgegan- genen Serpentingesteine. Genetischer Zusammenhang derselben mit den sie begleitenden Minerallagerstätten,
b) Ueber das granitische Centralmassiv und die Bezieh- ungen von Granit und Gneiss.
Beide Abhandlungen sollen in den Denkschriften ver- öffentlicht werden.
1894. HaUi.-pfayB. Ci. 4. 25
Sitzungsberichte
der
mathematisch-physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu Miünchen.
1894. Heft L
^ München.
Verlag der K. Akademie. 1894.
In Goniinission des 6. Franz'schon Verlags (J. Roth).
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften .
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 18. Januar 1894.
1. Herr L. Boltzmann legte eine Abhandlung des Herrn Dr. F. RiCflARZ, Privatdocenten an der Universität Bonn: ^üeber die elektrischen und magnetischen Kräfte der Atome'* vor, unter Besprechung der hauptsächlichsten Itesultate derselben.
2. Herr Gustav Bauer überreicht der Classe, ebenfalls unter Mittheilung der wesentlichen Ergebnisse, eine Abhand- lung des Herrn Dr. Karl Döhlemann, Privatdocenten für Mathematik an der hiesigen Universität: „Ueber eine ein- fache, eindeutige Raumtransformation dritter Ord- nung*.
1894. Matb.-phy8. Gl. 1.
üeber die elektrischen und magnetischen Kräfte der Atome.
Von Dr. F. Richarz, Privatdocent an der Universität Bonn.
(EtMffdaufM 18. Januar.)
In den Sitzungen der Niederrheinisehen Qesellschaft in Bonn vom 1. Dezember 1890*) und vom 12. Januar 1891*) habe ich einige Betrachtungen vorläufig mitgetheilt, welche an die elektrochemische Theorie in derjenigen Form an- knüpfen, die ihr durch Herrn H. von Helmholtz in einer Reihe von Abhandlungen aus den Jahren 1873 bis 1882, am ausführlichsten in seiner Rede zu Faraday^s Gedächtniss gegeben wurde. ^) Meine Ausführungen betrafen die elek- trische Wirkung ultravioletten Lichtes, die elektrolytische Leitung der Gase, das elektrische Elementarquantum, die die zwischen den Atomen einer Molekel wirksamen elektro- statischen, elektrodynamischen und Gravitationskräfte, die chemische Wärmeentwicklung insbesondere die Dissociations- wärme (für üntersalpetersänre und für Joddampf), die Er- regung elektrodynamischer Wellen durch periodische Be- wegung der Valenzladungen und endlich eine Anwendung der kinetischen Theorie mehratomiger Gase von Herrn Boltzmann*)
1) F. Kicharz, Silzber. der Niederrh. Ges. 47, p. 113, 114; 1890.
2) F. Richarz, Sitzber. der Niederrh. Ges. 48, p. 18—32; 1891.
3) H. V. Helmholtz, Journ. chein. Soc. June 1881. Vorträge u. Reden II, p. 275.
4) L. Boltzmann, Sitzber. d. Wiener Akad., mathem. Cl., 63, p. 417, 1871.
4 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 13, Januar 1894,
und des Clausius'schen Virialsatzes auf die intramolekulare Be- wegung. In anderer Anordnung habe ich über einen Theil dieser Betrachtungen am 26. Juni 1891 in der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin vorgetragen.^)
Weiterhin schien es dann zweckmässig, bei der ausführ- lichen Wiedergabe der erwähnten Schlussfolgerungen, von der ich durch andere Arbeit lange abgehalten wurde, strenger zu trennen, was schon vor Einführung der elektrochemischen Theorie abzuleiten war, was erst nach Einführung derselben. Jenes sind die aus der Anwendung des Virialsatzes auf die kinetische Theorie der Materie zu ziehenden Schlüsse in Bezug auf mehratomige Gase*) und in Bezug auf das Gesetz von Dulong und Petit. ^) In ersterer Arbeit ergab sich ins- basondere eine von der elektrochemischen Theorie unab- hängige Beziehung zwischen Dissociationswärme und Druck, welche (wie früher die aus der elektrochemischen Theorie und der Dissociationswärme gezogenen Schlüsse) bei ünter- salpetersäure und Joddarapf und ausserdem auch bei der Dissociationswärme des ' WasserstoflFs nach Herrn E. Wiede- mann's Messungen*) sich bestätigt fand.
Im Folgenden sind die an die Helmholtz'sche Theorie angeknüpften Betrachtungen ausführlich im Zusammenbang wiedergegeben und der letzte Abschnitt über den mole- kularen Magnetismus neu hinzugefügt. Während der Nieder- schrift erschien die Arbeit von Herrn H. Ebert über die Dissociationswärme in der elektrochemischen Theorie.^)
1) F. Richarz, Verh. Phys. Ges. Berlin 10, p. 73-79; 1891.
2) F. Richarz, Wiedem. Ann. 48, p. 467-492; 1893.
3) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 708-716; 1893.
4) E. Wiedemann, Wied. Ann. 10, p. 253, 1880; 18, p. 509, 1883; Ostwald, AUgem. Chemie 2, p. 49.
5) H. Ebert, Wied. Ann. 50, p. 255-260; 1893.
Richarz: Elektische und magnetische Kräfte der Atome, 5
I. Elektrochemische Theorie nach Helmholtz.
Die Helmholtz'sche Form der elektrochemischen Theorie hat folgenden wesentlichen Inhalt.^)
Faraday's Gesetz von der festen elektrolytischen Wirkung lässt sich in Verbindung mit Kekule's Theorie von der che- mischen Valenz dahin zusammenfassen, «dass dieselbe Menge Elektricitat, wenn sie durch einen Elektrolyten fliesst, immer dieselbe Menge von Valenzwerthen an beiden Elektroden ent- weder frei macht, oder in andere Verbindungen überführt*. Nimmt man die von Herrn Hittorf und Herrn F. Kohlrausch nachgewiesenen Gesetze der Jonen Wanderung hinzu, so kann man dem Faraday 'sehen Gesetze die Form geben: , durch jeden Querschnitt eines Elektrolyten findet immer äquivalente elektrische und chemische Bewegung statt. Genau dieselbe bestimmte Menge, sei es positiver, sei es negativer Elek- tricitat bewegt sich mit jedem einwerthigen Jon, oder mit jedem Valenzwerth eines mehrwerthigen Jon, und begleitet es unzertrennlich bei allen Bewegungen, die dasselbe durch die Flüssigkeit macht".
Bei Hinzunahme der Atomtheorie führt dieses Resultat zu einer Folgerung, welche Herr H., v. Helmholtz so aus- spricht: ,Wenn wir Atome der chemischen Elemente an- nehmen, so können wir nicht umhin, weiter zu schliessen, dass auch die Elektricitat, positive sowohl wie negative, in bestimmte elementare Quanta getheilt ist, die sich wie Atome der Elektricitat verhalten. Jedes Jon muss, solange es sich in der Flüssigkeit bewegt, mit je einem elektrischen Aequi- valent für jeden seiner Valenzwerthe vereinigt bleiben. Nur an den Grenzflächen der Elektroden kann eine Trennung ein- treten: wenn dort eine hinreichend grosse elektromotorische
1) Vergl. F. Richarz, 1. c. und Naturw. Rundschau 6, Nr. 49 und 50; 1891.
(> Sitzung der math.-phys, Glosse vom 13, Januar 1604,
Kraft wirkt, dann können die Jonen ihre bisherige Elek- tricität abgeben und elektrisch neutral werden."
»Wenn die vorher positiv geladenen Atome von Wasser- stoflF oder irgend einem andern Kation aus ihrer Verbindung ausscheiden und sich gasförmig entwickeln, so ist das ent- wickelte Gas elektrisch neutral, d. h. es enthält nach der Ausdrucksweise der dualistischen Theorie gleiche Qiianta positiver und negativer Elektricität. Entweder also ist jedes Atom elektrisch neutral, oder je ein Atom, welches positiv beladen bleibt, verbindet sich mit je einem Atom, welches seine positive Ladung mit einer negativen ausgetauscht hat.*
Ohne Kenntniss der Helmholtz'schen Faraday-Rede hat auch Herr E. Budde aus den Gesetzen der Elektrolyse die Folgei-ung gezogen, dass es ein Minimalquantum der Elek- tricität geben müsse und auch bereits den annähernden Werth desselben berechnet.^) Diese Arbeit ist mir erst nacb Publication meiner vorläufigen Mittheilungen bekannt ge- worden und bat daher leider in diesen noch keine Erwähnung gefunden.
Das Resultat, die elektrische Beladung der Valenzstellen betreffend, gilt zunächst nur für die freien Valenzen der Jonen in Elektrolyten. Aber es sind viele Thatsachen be- kannt, welche dafür sprechen, dass die elektrolytische Leitung eine weit mehr verbreitete Eigenschaft ist, als man früher glaubte, dass dieselbe keineswegs ausschliesslich den Säuren und Salzen zukommt. Auch ist dieselbe, wie wir mit Sicher- heit wissen, durchaus nicht auf den flüssigen Aggregatzustand beschränkt. Ferner können wir in zahlreichen Fällen aus secundären Prozessen bei der Elektrolyse auf die elektrische Ladung von Valenzen schliessen, welche nicht nothwendig die freien Valenzen eines Jon sind. Aus stark verdünnter Chlorwasserstoffsäure wird an der Anode neben Chlor auch
1) E. Budde, Wied. Ann. 25, p. 562; 1885.
liichare: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 7
SauerstoflF entwickelt. Entweder ist nun in diesem Falle der Sauerstoff selbst Anion, oder derselbe entsteht secundär durch Einwirkung des Chlors auf das Lösungswasser. In letzterem Falle würden die Chloratome, indem sie mit dem Wasserstoff des Wassers neue Chlorwasserstoffsäure bilden, ihre ursprüng- liche negative Ladung behalten, so dass also der neutral ent- weichende Sauerstoff die entsprechenden Aequivalente nega- tiver Ladung an die Anode abgeben müsste. Auf jeden Fall können wir schliessen, dass auch in den Wassermolekeln, welche bei der Elektrolyse, wenigstens der concentrirten Cblorwasserstoffsäure, gewiss nicht betheiligt sind, der Sauer- stoff negative Ladung besitzt. In derselben Weise kommt man für viele andere Fälle zu der sicheren Folgerung, dass auch andere Valenzen die elektrische Ladung besitzen als die freien Jonenvalenzen. Jedes Atom oder jede Atomgruppe, welche bei einem secundären Process an die Stelle eines Jon treten kann, muss för jede Valenz mit einem elektrischen Elementarquantum beladen sein.
Es bleibt zunächst eine offene Frage, ob bei der elektro- lytischen Ausscheidung freier neutraler Molekeln die Neu- tralisation so zu denken ist, dass jedes einzelne Atom des Jon neutralisirt wird; oder ob dieselbe in der Weise geschieht, dass beispielsweise beim Wasserstoff ein Atom sein positives Elementarquantum an die Kathode abgibt, dafür ein nega- tives empfängt, und sich mit einem anderen Atom, welches seine positive Ladung behalten hat, zu einer als Ganzes neu- tralen Molekel vereinigt. Herr von Helmholtz spricht sich für die letztere Alternative aus, welche zugleich mit der aus Avogadros Gesetz gezogenen Folgerung übereinstimmt, dass die Molekeln des freien Wasserstoffs aus je zwei Atomen zusammengesetzt sind.
Dass Atome derselben Art, wie nach dieser Ansicht bei den Gasen die beiden Atome einer Molekel, Ladungen ent- gegengesetzter Art besitzen können, folgt in anderen Fällen
8 Sitzung der math.'phys. Classe vom 13, Januar 1694.
mit Sicherheit aus elektrolytischen Processen. So ist der Schwefel in den Schwefelmetallen Anion, also negativ ge- laden; in Schwefelsäure muss er aber positiv geladen sein, da er bei der Elektrolyse concentrirter Schwefelsaure an der Kathode abgeschieden wird — ob dies durch einen primären oder einen secundären Process geschieht, kommt, wie oben auseinandergesetzt, dabei nicht in Betracht. Analog können wir auch für den Stickstoff schliessen; man muss annehmen, dass in der Stickstoifwasserstoffsäure N^H die freie Valenz der Gruppe N^ als diejenige eines Anion negativ geladen sei; dagegen bei der Elektrolyse von Amoniaksalzen und salpetersauren Salzen wird unter Umständen freier Stickstoff an der Kathode abgeschieden; also ist in diesen Verbindungen wenigstens ein Theil seiner Valenz werthe positiv geladen.
Zu der Anschauung, dass von den beiden Atomen, welche die Molekel eines Gases bilden, das eine positiv, das andere negativ elektrisch sei, ist auf ganz anderem Wege auch Herr W. Giese,^) sowie später auch Herr A. Schuster*) gelangt, welche annehmen, dass unter dem Einflüsse elek- trischer Kräfte die beiden entgegengesetzt geladenen Atorae getrennt werden und als Jonen die Leitung der Elektricität in Gasen ermöglichen. Diese Annahme hat durch die Ver- suche der beiden genannten und anderer Physiker^) einen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit erlangt.
Aus den oben angeführten Betrachtungen gelangt Herr von Helmholtz zu dem Schlüsse, dass nicht nur bei den
1) W. Giese, Wied. Ann. 17, p. 538, 1882; 38, p. 408, 1889.
2) A. Schuster, Proc. Roy Soc. London 87, p. 317, 1884; 1887 Nr. 256; 1890 Nr. 291 p. 626.
3) J. J. Thomson, Phil. Mag. 15, p. 432, 1883; 29, p. 358, 441, 1890; 36, p. 313, 1893. Kob. v. Hehnholtz, Wied. Ann. 32, p. 1, 1887. Rob. V. Helmholtz und F. Richarz, Wied. Ann. 40, p. 161, 1890. E. Wiedomann und H. Ebert, Wied. Ann. 35, p. 209, 1888. J. Elster und H. Geitel, Wied. Ann. 87, p. 325 ff., 1889; 39, p. 330, 331, 1890. C. Ludekingr, Phil. Mag. 33, p. 521, 1892.
Bieharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 0
Jonen, sondern ganz allgenieiu jeder Yalenzwerth eines Atoms mit je einem Elementarquantum entweder positiver oder negativer Elektricitat beladen sei.
Weiterhin schliesst Herr von Helmholtz aus Betrachtung der Arbeitsleistungen bei der Elektrolyse, dass die Elementar- quanta der beiden Elektricitäten + e und — €, mit verschie- dener Krafb von verschiedenen Atomen (vielleicht auch von den verschiedenen Verbindungsstellen eines einzelnen multi- valenten Atoms) angezogen werden. Wasserstoff und die Metalle müssen stärkere Anziehung für 4~ *» schwächere für — € haben; umgekehrt Sauerstoff und die Halogene.
Eine solche, für verschiedene Substanzen und für die beiden Elektricitäten verschiedene Anziehung zwischen pon- derabler Materie und Elektricitat ist keine ad hoc gemachte Hypothese, sondern muss auch angenommen werden zur Er- klärung von Volta's Fundamentalversuch über die Scheidung der Elektricitäten beim Contact heterogener Körper. Aus der Verschiedenheit der Anziehungen für die beiden Elek- tricitäten ergibt sich, dass unter Leistung positiver Arbeit, welche als abgegebene Wärmemenge erscheinen kann, eine positiv beladene Sauerstoffvalenz ihre Ladung gegen eine negative auszutauschen vermag. Hieraus hat Herr von Helm- holtz^) das Zustandekommen der Convectionsströme in sauer- stoffhaltigen verdünnten Säuren erklärt; weiterhin habe ich gezeigt,*) wie jener Umstand ebenfalls eine vollständige Auf- klärung darbietet für das verschiedene Verhalten der beiden Gruppen von Superoxyden, welche Schönbein unter den Namen «Ozonide* und „Antozonide* unterschied.
Die von Berzelius behauptete und auch von Faraday angenommene Identität der chemischen Verwandtschaft und
1) H. von Helmholtz, Ber. d. Berl. Akad. 1873, p. 587; 1880, p. 285; 1883, p. 662; Fogg. Ano. 150, p. 483, 1873; Wied. Ann. 11, p. 737, 1880. WissenschaftJiche Abhandl. 1, p. 830, 917.
2) F. Richarz, Ber. d. deutsch, ehem. Gesellsch. 21, p. 1675, 1888.
10 Sitzung der mathrphys. Classe vom 13, Januar 1694,
der Elektricität spricht Herr von Helmholfcz auf Grund der entwickelten Schlussfolgerungen dahin aus, dass wenigstens die ,bei weitem mächtigsten unter den chemischen Kräften elektrischen Ursprungs sind. Die Atome haften an ihren elektrischen Ladungen und die einander entgegengesetzten Ladungen wieder aneinander *'. Wenn jede Valenz mit einem Elementarquantum entweder von -]- ^ o^^r von — E be- laden ist, so können elektrisch neutrale Verbindungen nur hergestellt werden, wenn jede positiv beladene Valenzstelle sich mit je einer negativ beladenen verbindet. , Daraus folgt dann unmittelbar, dass jede Verwandtschaftseinheit eines Atoms nothwendig mit einer und nur mit einer solchen Einheit eines anderen Atoms verknüpft sein muss. Dies ist in der That die wesentliche Behauptung der Valenztheorie der modernen Chemie.*
So würde sich in einfachster Weise Kekules Verkettung der Atome durch die Verbindung ihrer Valenzwerthe er- geben, wie sie in den typischen Verbindungen gefunden wird. Elektrolyte aber gehören stets zu den typischen Ver- bindungen. Anders würde es sich verhalten mit den losen molecularen Aggregaten, welche nicht mit Valenzwerthen an einander geknüpft sind, z. B. der Bindung von Krystall- wasser; ihre Bestandtheile können nicht durch elektrische Kräfte von einander getrennt werden; dieselben werden also auch nicht durch elektrische Kräfte verbunden, sondern anders geartete Molecularkräfte müssen zwischen ihnen wirksam sein.
Herr von Helmholtz hat sich bei seinen Folgerungen und Anschauungen der Sprache der alten dualistischen Theorie bedient; gerade in ihr lassen sich die quantitativen Bezieh- ungen bei der Elektrolyse am leichtesten und bestimmtesten ausdrücken.
Sind die Schlüsse in der Sprache der einen Theorie con- sequent durchgeführt, so ist der Ausdruck derselben Schluss- reihe in der Sprache einer anderen Theorie wie eine Ueber-
Eicfiarg: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 11
Setzung: der wesentliche Inhalt bleibt davon unberührt. Ins- besondere ist hervorzuheben, da.?s alle auf Grund feststehender Thatsacben angestellten Berechnungen mechanischer Grössen, wie der Anziehung zwischen Elektricitlitsniengen, der Arbeit bei ihrer Trennung u. s. w. von der Sprache der Theorie unberührt bleiben, in welcher der Zusammenbang der That- sacben bildlich ausgedrückt wird.
n. Aus der kinetischen Gastheorie entnommene Voraussetzungen.
In die Berechnung des elektrischen Eleraentarquantums geht aus der kinetischen Gastheorie die Zahl der Molekeln in 1 ccm Gas ein. Mau muss sich darüber klar sein, mit wie geringer Sicherheit diese Zahl bekannt ist. Ihre Be- rechnung ist bekanntlich zuerst aufgeführt von Herrn Van der Waals.^) Die zu Grunde liegenden Gleichungen sind nach der „kinetischen Theorie der Gase" von Herrn 0. E. Meyer, pag. 228—230, folgende:
Es sei L die mittlere molekulare Weglänge, X die Kante des einer Molekel zukommenden Elementar würfeis, q der von Clausius eingeführte „Radius der Wirkungssphäre". Dann ist in erster Annäherung
1 P "~ 1/2 ^Q^
Eine zweite Beziehung geht aus von dem wahren Vo- lumen h der Molekeln in der Zustandsgieichung von Herrn Van der Waals. Der Werth von h gilt, wie diese Zustands- gieichung, für die Masseneinheit des betrachteten Gases. 0. E. Meyer findet dann aus der Verkleinerung, welche an
1) J. D. van der Waals, Die Continuität des gasförmigen und flüssigen Zustande», deutsch von Roth, Leipzig 1881, Beibl. z. Wied. Ann. 1, p, 10, 1877. Rühlmann, Mechan. Warmeth. II, p. 244.
12 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 13, Januar 1694,
dem Werthe von L bei einer zweiten Annäherung anzu- bringen ist:
21/2
wo Sß die Zahl der Molekeln in der Masseneinheit ist. Multi- plicire die beiden Gleichungen mit einander und beachte, dass 5W A^ = t;, dem scheinbaren Volumen, welches die Massen- einheit des Gases als Ganzes einnimmt, ist, so ergibt sich
Es soll bei Anwendung dieser Gleichung stets eine Atmo- sphäre als Druckeinheit, und das Volumen v der Massen- einheit beim Druck 1 und der Temperatur 0® als Volumen- einheit gewählt werden. Die von Van der Waals ange- gebenen Zahlenwerthe für b gelten meist für diese Einheiten. Einige seiner 6 sind aber für 1 m Quecksilber als Druck- einheit angegeben; die zugehörige Ausnahrasvolumeneinheit ist also das 0,76 fache unserer gewöhnlichen; und da b ein seinem Wesen nach constantes Volumen bedeutet, betragen die Ausnahms-Zahlen werthe von b das 1/0,76 fache derjenigen für die gewöhnliche Einheit; zur Reduction auf unsere obigen, gewöhnlichen Einheiten sind jene Ausnahms-Zahlen werthe von b daher mit 0,70 zu multipliciren. ^)
Wird nach dieser Reduction die Formel für q bei einem Gase angewandt, und wird p = l Atmosphäre, die Tem- peratur = 0® genommen, so wird v = 1, und für L ist der Werth Lq bei 0® zu nehmen; also
1) Die obigen Betrachtangen fähren mit Uebergehung der letzten Gleichungen auf Seite 229 bei 0. E. Meyer für q unmittelbar zu obiger Schlussformel, welche im Wesentlichen mit den ersten Gleichungen auf Seite 280 ebenda übereinstimmt, in der Form aber, insbesondere bezüglich der Dimensionen vielleicht übersichtlicher ist.
Richan: Elektrisehe und magnetische Kräfte der Atome. 13
Für Lq sind die Werthe genommen, welche aus den für 0^ geltenden Reibungscoefficienten tj^ nach den Beobacht- ungen von Herrn von Obermayer*) folgen. Dieselben sind in der unten stehenden Tabelle angegeben; aus tjq ist die Weglange nach der Formel
r ^ %
^ 0,318 fi-n
berechnet,*) wo f.i die Dichtigkeit, ß der MaxwelPsche Mittel- werth der Molekulargeschwindigkeit ist. Die bei Wasser- dampf unten angegebene Zahl für tj^ ist den Beobachtungen der Herren Kundt und Warburg ^) entnommen.
Die Herkunft der Werthe von b ist in der unten an- gegebenen Tabelle jedesmal einzeln aufgeführt; wenn ver- schiedene Beobachtungen bezw. Berechnungen für ein und dasselbe Gas erheblich verschiedene Werthe ergeben haben, sind die Extreme, sonst das Mittel angegeben.
^, der „Radius der Wirkungssphäre*, wird gleich dem Durchmesser der als starre Kugel gedachten Molekel ange-
nommen, also deren Querschnitt J = ^-- Die Summe Qq
aller Molekularquerschnitte in 1 ccra bei 0^ und Atmo- sphärendruck ergibt sich aus der Weglänge Lq nach der
Formel*): (). = — -r- . Endlich wird dann ^^ die Zahl
1) V. Obermayer, Carls Rep. 13, p. 156, 1877.
2) 0. E. Meyer, 1. c, pag. 328.
3} Kundt u. Warburfjf, Pogg. Ann. 165, p. 540, 1876; 0. E. Meyer, 1. c, p. 141, 142. Der Werth tj ist auf 0® reducirt unter der An- nahme, dass der Reibungscoef^cient für Wasserdampf wie für andere der Cottdensation nahe Qase der absoluten Temperatur proportional sei. (0. E. Meyer, p. 169.)
4) 0. E. Meyer, 1. c, p. 206.
14 Sitzung der math.-phys, Classe vom 13. Januar 1894,
der Molekeln in 1 ccm Gas bei 0® und Atmosphärendruck. Die Resultate, stets in C. G. S.- Einheiten angegeben, sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
|
no |
Lo |
Co |
h |
Q |
9 |
|
|
Luft |
1677 |
912 |
19400 |
0,00251) |
3,42 |
21 |
|
Stickstoff . . . |
1659 |
918 |
19200 |
0,001762) |
2,42 |
42 |
|
Wasseratoff . . |
861 |
1783 |
9900 |
0,0024 2) 0,000493) |
6.42 1,31 |
3* 73 |
|
Kohlensäure . . |
1383 |
613 |
28800 |
0,0028*) 0,00059 2) |
2,58 0,54 |
55 1252* |
|
Stickoxydal . . |
1853 |
598 |
29500 |
0,00191 5) |
1,71 |
128 |
|
Aethylen . . . |
922 |
508 |
34800 |
0,0025«) |
1,91 |
121 |
|
Wasäerdampf . . |
909 |
628 |
28100 |
0,00105'') |
0,99 |
8G5 |
|
SchwefJige Säure |
1225 |
444 |
39800 |
0,00249») |
1,66 |
184 |
|
Chlorathyl . . . |
889 |
825 |
64400 |
0,00397») |
1,94 |
184 |
|
Chlorwasserstoff . |
1379 |
672 |
26800 |
0,001788) |
1,74 |
110 |
|
10-7 |
10-8 cm |
cm'-* |
10-8 cm |
10^8 |
Die Werthe von q sind nicht sehr voneinander ver- schieden, obwohl die Zahl der Atome in einer Molekel zwischen 2 und 8 (bei C^H^Cl) beträgt; auch sind die Werthe von q ganz ähnlich den aus anderen üeberlegungen erschlossenen. (Vgl. 0. E. Meyer § 102, § 107.) Allgemein kann der Durchmesser eines Moleküls etwa von der Grössen- ordnüng 10""® cm angesehen werden; die obigen Zahlen liegen zwischen dem 6 fachen und der Hälfte dieses Werthes.
Die Zahlen für N gruppiren sich zwar ersichtlich um ein Mittel, welches etwa 10**^ beträgt; sie liegen aber bis zum 12 fachen und ^/ao dieses Werthes, entsprechen also sehr
1) Van der Waals-Rolh, 1. c, p. 72; und Berechnung von 0. E. Meyer, 1. c, p. 74. — 2) 0. E. Meyer, 1. c, p. 74. — 3) Van der Waals-Roth, 1. c, p. 99. — 4) Ebd. p. 74, 81, 85, 94, 136. — 5) Ebd. p. 84, 136. - 6) Ebd. p. 86, 101, 136. — 7) Ebd. p. 135. — 8) Ebd. p. 136.
Rieharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 15
wenig Avogadros. Regel. ^) Das liegt gewiss nicht lediglich an der Unsicherheit der in die Rechnung eingehenden Be- obachtungen, sondern an den Prinzipien der ganzen Ueber- leguugen über den , Radius der Wirkungssphäre'', über die Art wie die räumliche Ausdehnung der Molekeln in die Weg- länge und in die Zustandsgieichung eingeht u. s. w., Ueber- l^angen, die man aber vorläufig mit der ihnen anhaftenden Unsicherheit hinnehmen muss, will man nicht überhaupt das intellectuelle Opfer eines Verzichtes auf derartige Specula- tionen bringen; wenn man nur jederzeit ihrer grossen Un- sicherheit eingedenk bleibt.
m. Berechnung des elektrischen Elementarquantums.
Die folgende Rechnung knüpft an die , Berechnung der elektrostatischen Wirkung der elektrolytischen Ladungen von 1 Milligramm Wasser" an, welche Herr von Helniholtz im Anhang I zur Faraday-Rede gegeben hat.
Nach den neuesten Bestimmungen von F. und W. Kohl- rausch*) scheidet 1 Ampere in 1 sec 0,1740 ccm Knallgas, also 0,1160 ccm Wasserstoff von 0° und Atmosphärendruck aus. Die in 1 sec von der Intensität 1 Ampere durch einen Querschnitt des Stromes transportirte Elektricitätsmenge ist gleich 10** elektromagnetischen, oder gleich 3-10* elektro- statischen C.G.S.- Einheiten. Davon fliesst die Hälfte als positive Elektricitat in der einen, die Hälfte als negative in der anderen Richtung. Als den betrachteten Querschnitt
1) Die extremen Werthe für N, welche in der Tabelle mit * bezeichnet sind, gehen übrigens aua einer Berechnungsweise hervor, bei welcher nur die Abweichung für Wasserstoff' und Kohlensäure vom Boyle-Mariotte'schen Gesetz berücksichtigt, während die anderen, dem Mittel n&heren Werthe für dieselben Gase aus den Abweichungen auch vom GayLussac'schen Gesetze abgeleitet sind. Vgl. 0. £. Meyer, 1. c, pag. 74, 230.
2) F. und W. Kohlrausch, Wiedem. Ann. XXVII, p. 59, 1886.
10 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 13. Januar 1694,
nehmen wir die Kathode. Die sämmtlichen als Kation vor- handenen IT- Atome sind ui-sprünglich positiv beladen. Von denjenigen, welche als neutrales Gas entweichen, gibt die Hälfte bei der Elektrolyse die positive Ladung an die Ka- thode ab, erhält dafür negative Ladung und vereinigt sich mit der anderen Hälfte, welche ihre positive Ladung be- halten hat, zu Molekeln, welche je ein positives und je ein negatives Atom enthalten. Hieraus und aus den obigen Zahlenangaben folgt, dass in 0,1160 ccm WasserstoflFgas die gesammte Ladung der positiven beziehungsweise der nega- tiven Atome 15-10® positive beziehungsweise negative elektro- statische C. G.S.- Einheiten beträgt. Nennen wir jB den ab- soluten Werth der Ladung einer Art, welche in 1 ccm Wasserstoff bei 0® und Atmosphärendruck vorhanden ist, so folgt
E= 129 • 10® cm 5 g* sec"^ pro ccm.
Für ein Gas, dessen Molekeln aus 2 zweiwerthigen oder dreiwerthigen Atomen bestehen, z. B. für Sauerstoff und Stickstoff, hat E den zweifachen und dreifachen Werth.
An die erste Ausführung dieser Rechnung hatte ich die Beantwortung der Frage angeknüpft, ob die elektrolytische Leitung in einem Gase durch die Jonenladungen auch bei den stärksten Verdünnungsgraden noch leicht vorstellbar er- scheine.^) Die stärkste Verdünnung, welche mit Toepler- Hagen 'sehen Quecksilberluftpumpen erreicht wird, beträgt etwa ein Hundert Milliontel Atmosphäre.*) Dabei kommen also auf 1 ccm Wasserstoff noch 129 elektrostatische Ein- heiten positiver und negativer Elektricität und entsprechend das Doppelte bezw. Dreifache für Sauerstoff resp. Stickstoff.
1) F. Richarz, Sitzber. Niederrh. Ges. Bonn. 47, p. 114, 1. De- cember 1890. Vergl. H. Ebert und E. Wiedemann, Wied. Ann. 50, p. 28/80, 1893.
2) E. B. Hagen, Wied. Ann. 12, p. 438, 1881. A. Raps, Wied. Ann. 48, p. 879, 1893.
Bicharz: Elektrische und miignetiscke Kräfte der Atome. 17
Eine Kugel von 1 cm Halbmesser auf ein Potential von 300 Volt geladen, enthält eine elektrostatische Mengenein- heit. Ein schneller Uebergang einer solchen Ladung von der Kugel in das Gas würde also auch bei den grössten herstellbaren Verdünnungen für die Vorstellung keine Schwie- rigkeit machen.
Aus der oben berechneten elektrischen Gesammtladung einer Art JE^ welche in 1 ccm Wasserstoffgas vorhanden ist, und aus der Zahl N der Molekeln ergibt sich eine ange- näherte Berechnung der Ladung einer Valenzstelle. Die Unsicherheit dieser und aller analogen Berechnungen soll nach dem Vorgange von Herrn A. P. Chattock (siebe Citat pag. 38) durch das Zeichen :^ statt des Gleichheitszeichens angedeutet werden. Für N^ 10*® wird das Helmholtz'sche Elementarquantum
E
e=^;^129. 10-^*cm*g*sec-i
Herr E. Bndde findet 510 • 10-»» C.G.S.; G. J. Stoney^ 30 . 10-" C.G.S. Nach den früheren Ausführungen würden die extremsten der in der Tabelle auf Seite 14 vorkommenden Werthe von N für das Elementarquantum Abweichungen bis zum 30 fachen und bis zu einem Zwölftel von dem oben angegebenen mittleren Werthe ergeben.
IV. OrOssenverhältniss von Gravitation, elektrosta- tischen und elektrodynamischen Kräften zwischen den Atomen einer Molekel.
Herr von Helmholtz hat in der Faraday-Rede bereits gezeigt, dass die elektrolytischen Ladungen von Wasserstoff und Sauerstoff im Wasser, wenn seine beiden chemischen Bestandtheile ohne ihre Ladungen zu verlieren von einander getrennt werden könnten, eine Anziehung auf einander aus-
1) G. J. Stoney, Trans. Royal Dublin Soc, (2), 4, p. 563—608, 1801.
1894. MAtb.-phys. Cl. 1. 2
18 Sitzung der mathrphys. Classe vom 13, Januar 1894.
üben würden, welche der gegenseitigen Gravitation ihrer ponderablen Träger um das 400,000 Billionenfache überlegen wäre.*) Da beide Arten von Kräften dem Newton *schen Gesetze gehorchen, kann man die Yergleichung beider Kräfte unabhängig von der Entfernung und Masse machen. Diesen Schluss können wir also auch unmittelbar übertragen auf die beiden Atome einer Molekel. Wenn nun auch dabei die Voraussetzung nicht erfüllt ist, dass die beiden Atome gegen- über ihrer Entfernung als Funkte zu betrachten sind, so werden doch die elektrischen Ladungen ihren Sitz an den einander zugekehrten Seiten der Atome haben und also a fortiori die Anziehung der elektrischen Ladungen sehr viel grösser sein, als die Gravitation der beiden Atome auf einander.
In Folge der Wärmebewegung werden aber die Valenz- ladungen der beiden Atome einer Molekel auch elektro- dynamische Kräfte auf einander ausüben können. Im gas- förmigen Zustande wird die Molekel als Ganzes eine fort- schreitende Bewegung haben, deren Geschwindigkeit mit u bezeichnet werde; ausserdem wird die Molekel Drehung um den Schwerpunkt ausführen, wobei noch der Abstand der beiden Atome veränderlich sein kann, unter vereinfachenden Annahmen ist leicht zu zeigen, dass die elektrodynamische Kraft der sich bewegenden Valenzladungen gegen die elektro- statischen ausserordentlich klein ist.
Die beiden Atome sollen gleiche Masse haben ; sie sollen mit ihren Ladungen e als punktförmig angenommen werden; die innere Molekularbewegung soll in einer Umkreisung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes mit constanter Geschwin- digkeit c bestehen. Die elektrodynamische Wirkung, die theils von der fortschreitenden Bewegung, theils von der inneren Kreisbewegung herrührt, ist nach einem der elektro- dynamischen Grundgesetze zu berechnen. Weheres Gesetz gibt
1) H. von Helmholtz, Vorträge und Reden II, p. 317.
RidMre: EHektrische und magnetische Kräfte der Atome, 19
keine Wirkung. Die Grundgesetze von Riemann und ülau- sius ei^ben eine solche in Richtung der Verbindungslinie; bezeichnen wir mit r den Abstand der beiden Atome, mit V die Lichtgeschwindigkeit, so ergibt sich für die elektrische Gesammtkraft stets ein Ausdruck von der Form
^0+4)
Für die innere Kreisbewegung ist c statt u zu setzen; fi ist ein Zahlenfactor, der fQr die beiden Grundgesetze resp. für die beiden Bewegungsarten verschiedene, zwischen — 4 und 4" 4 liegende Werthe hat ; die elektrodynamische Wir- kung wird zu vernachlässigen sein, wenn u und c klein sind gegen t; = 3 • 10*° cm sec" *.
Was zunächst u betrifft, so ist sein Mittelwerth aus der kinetischen Gastheorie bekannt;^) derselbe ist am grössten für Wasserstoff = 1,7 • lO** cm sec""*, also in der That klein gegen v. Für c erhalten wir einen Anhalt aus der Theorie des Wärmegleichgewichts zwischen mehratomigen Gasmole- keln von Herrn Boltzmann.*) Nach derselben ist die mittlere lebendige Kraft L« der fortschreitenden Bewegung einer Molekel gleich der gesammten mittleren lebendigen Kraft l eines Atoms. Nenne ich noch die mittlere lebendige Kraft der inneren Bewegung in der Molekel Z,-, so ist die gesammte lebendige Kraft einer Molekel = i« + ii» und bei einer zweiatomigen Molekel der auf ein Atom entfallende Antheil
_ {Lg + A)
^ "■ 2 Aus Boltzmann*s Resultat l = La folgt daher
/v, = La
1) 0. E. Meyer, kinet. Gabtheorie, p. 46.
2) L. Boltzmann, Sitzber. der Wiener Akad. mathem. Cl. 63, p. 417, 1871.
2*
20 Sitzung der math.-phys. Glaaae vom 13. Januar 1894,
Geschieht, wie zur Vereinfachung angenommen werden musste, die fortschreitende Bewegung mit der constanten Geschwindigkeit u, die innere Kreisbewegung mit der con- stauten linearen Geschwindigkeit c, so ist also c == u. Auch c ist mithin klein gegen die Lichtgeschwindigkeit v, und unter den vereinfachenden Annahmen jede elektrodynamische Wirkung der bewegten Valenzladungen aufeinander zu ver- nachlässigen. Wenn nun auch die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, dass erstens die Atome und ihre Ladungen als punktförmig anzusehen sind, zweitens dass die intra- molekulare Bewegung der Atome in Umkreisung des Schwer- punktes besteht, so wird dadurch doch nicht die Grossen- ordnung im Verhältnisse von elektrostatischer und elektro- dynamischer Kraft geändert werden. Wir werden also letztere ebenso wie die Gravitation gegenüber der ersteren Krafb ver- nachlässigen können.
lieber andere Kräfte ausser den elektrischen und der Gravitation, welche zwischen den Atomen einer Molekel thätig sein könnten, wissen wir nichts Sicheres. Wir wollen daher im Folgenden für einige Fälle, in welchen ein Ver- gleich mit anderen experimentellen Daten zu Gebote steht, zusehen, zu welchen Folgerungen die Annahme führt, dass die elektrostatischen Kräfte der Ladungen der Valenzstellen die einzigen zwischen 2 Atomen einer Molekel wirksamen Kräfte seien.
y. Die Dissociationswärme einer aus 2 Atomen bestehenden Molekel.
Die Wärmeentwicklung bei chemischen Prozessen wird im Sinne der Helmholtz'schen elektrochemischen Theorie vor- nehmlich durch die Verschiedenheit der Anziehung der Va- lenzstellen für die beiden Arten der Elektricität bedingt sein. Betrachten wir z. B. die Bildung von Chlorwasserstoff aus Chlorknallgas. Aus den neutralen Molekeln (if+) (— /f)
Richars: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 21
und (C7 +) ( — C/) gehen schliesslich die Molekeln {H 4-) ( — Cl) hervor. Die erste Phase des Prozesses ist die Tren- nung der zu je zweien verbundenen Wa&serstoff- und Chlor- atome. Dabei leistet die Anziehung der beiden entgegen- gesetzten Ladungen negative Arbeit. Die zweite Phase be- steht darin, dass die negative Hälfte der J?- Atome ihre schwach festgehaltene negative Ladung an (72 -Atome ab- geben und dafür die starker angezogene positive Ladung erhalten, während die Hälfte der C7- Atome ihre schwach festgehaltene -(- € abgeben und dafür die stärker angezogene — e erhalten. Das Resultat dieses Austausches ist also, dass alle ^- Atome positiv und alle OZ- Atome negativ beladen sind und offenbar leisten bei diesem Austausch die An- ziehungskräfte zwischen den ponderablen Atomen und den Elektricitäten positive Arbeit. Die dritte Phase des Processes ist die Vereinigung je eines {H -f-) mit einem ( — Cl) Atom zu neutralen Salzsäure-Molekeln. Hierbei leistet die An- ziehung der beiden Ladungen positive Arbeit. Die Arbeits- leistungen während der ersten und dritten Phase werden annähernd gleich und entgegengesetzt sein, so dass die che- mische Wärmeentwickelung hauptsächlich durch die zweite Phase, also durch die Verschiedenheit der Anziehungskraft ein und derselben Valenzstelle für die beiden Arten der Elektricität gegeben ist.
Ganz anders verhält es sich bei der Dissociation eines Gases. Die neutralen Molekeln (X +) (— X), welche durch eine Bindung zusamraenhaffcen, sollen bei höherer Temperatur in die beiden isolirten Atome zerfallen. Wenn die Anziehung der beiden Ladungen die einzige zwischen den Atomen wirk- same Kraft ist, würde die negative Arbeit derselben wesent- lich die Wärmeabsorption bei der Dissociation bedingen. In Bezug auf die zuzuführende Energie ist ausser der von den Kräften geleisteten Arbeit noch zu berücksichtigen, welchen Inhalt an lebendiger Kraft das dissociirte Gas einerseits und
22 Sitzung der math-phys. Glosse vom 13. Januar 1894.
das nicht dissociirte Gas andererseits besitzen. Wir gehen aus von dem dissociirten Gase. Das Volumen soll constant sein, so dass äussere Arbeit nicht geleistet wird. Wir denken uns das dissociirte Gas abgekQhlt bis auf eine Temperatur, bei welcher die Vereinigung aller Atome zu zweien eintreten kann, denken uns aber zunächst das Gas bei dieser Tem- peratur noch dissociirt. Dann soll die Association eintreten und nach derselben das Gas wieder auf die vorherige Tem* peratur gebracht werden. Die hierbei zu entziehende Wärme- menge ist die ^^Dissociationswärme'^. Der Gesammtinhalt an lebendiger Kraft ist vor und nach der Association derselbe; dies folgt unmittelbar daraus, dass bei derselben Temperatur der Mittelwerth der gesammten lebendigen Kraft je eines Atoms, auch bei verschiedenen Gasen, stets denselben Werth hat, einerlei ob die Atome isolirt oder zu Molekeln verbunden sind. Da also der Inhalt an lebendiger Kraft ungeändert bleibt, ist die Dissociationswärme gleich der Veränderung der potentiellen Energie, oder gleich der Arbeit der Kräfte, welche die beiden Atome einer Molekel auf einander ausüben. Diese Anziehung soll nun nach unserer Annahme durch die elektrostatische Kraft der Valenzladungen gegeben sein. Wenn diese wieder als punktförmig angenommen werden und im Zustande der Association sich im Abstände r von einander befinden, so ist die Arbeit bei der Annäherung aus unendlicher Entfernung nach der Bezeichnung unserer früheren Gleichungen für eine Molekel
gleich —
Bezeichnen wir den Mittelwerth einer Grösse x wie üblich durch ^, so wird dieselbe Arbeit für alle -J^-Molekeln in einem Cubikcentimeter
r
Das einem Doppelstern vergleichbare System der sich
Richarz^ Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 23
um einander bewegenden beiden Atome wird in Bezug auf die Raamerf&Uung bei den Zusammenstössen der Molekel sich ähnlich verhalten wie eine Kugel, deren Durchmesser gleich ist dem mittleren Abstände der beiden Atome; ^) r kann gleich dem Molekulardurchmesser q von Seite 14 ge- nommen werden. Wenn ferner grosse Abweichungen des Momentanwerthes r vom Mittelwerthe r nur sehr selten vor- kommen, so kann auch ohne Fehler der Grössenordnung
— ^ — :^ — gesetzt werden. Dass diese Voraussetzung er-
r f Q
f&Ut ist, ist schon von vornherein plausibel; es folgt aber
anch aus Herrn Boltzmann^s kinetischer Theorie mehrato- miger Gase. Nach derselben ist für ein Atom bei gegebener Lage und gegebener lebendiger Kraft jede Richtung gleich wahrscheinlich.^) Daraus folgt für eine aus 2 Atomen be- stehende Molekel, dass eine Bewegungsrichtung» welche zu der Verbindungslinie der beiden Atome nahe senkrecht ist, sehr viel häufiger vorkommt als jede andere und dass die Häufigkeit abnimmt bis zur Bewegungsrichtung in der Ver- bindungslinie selbst. Z. B. verhält sich die Wahrscheinlich- keit einer Bewegnngsrichtung, welche mit der Verbindungs- linie der beiden Atome einen Winkel von 89° bis 90® ein- schliesst, zu der Wahrscheinlichkeit einer solchen in einem Winkel von 0° bis 1° ebenso wie auf der Erdkugel der Flächeninhalt der äquatorialen Zone von 0° bis P geogr. Breite zu der Polarkappe von 89° bis 90° Breite. Wenn nun die der tangentialen nahe Bewegungsrichtung an Häufig- keit so sehr überwiegt, so muss die Bahn der nach unserer Annahme unter dem Einflüsse einer Newton 'sehen Kraft sich in einander bewegenden Atome sehr viel häufiger eine nahe- zu kreisförmige, d. h. elliptische mit geringer Excentri-
1) Vergl. 0. E. Meyer, kinet. Gastheorie, pag. 218.
2) L. Boltzmann, 1. c, p. 416.
24 Sitzung der math.-jßhys, Glosse votn 13, Januar 1894,
cität, als eine gestreckte von grosser Excentricität sein.*) Dann ist auch die Voraussetzung erfüllt, dass die Momentan- werthe von r sehr selten weit vom Mittelwerth f abweichen,
und es kann also — ;^ — gesetzt werden. r Q
Dies eingesetzt wird die Gleichung fQr die Dissociations-
wärme
Wq ^ JVe»
Die Dissociationswärme W ist für einige dem theoretisch betrachteten Falle entsprechende Gase bekannt; werden fär Q, N, e ferner ihre im Früheren angenommeneu Werthe ge- setzt, so lässt sich unsere Gleichung controliren; dass dieselbe für Untersalpetersäure und Joddampf der Grössenordnung nach erfüllt ist, habe ich bereits früher bestätigt.*)
Der Vorgang der Dissociation von Untersalpetersäure N2 Oi zu 2 NO2 ist für uns vollkommen analog der Dissociation von 2 Atomen, die mit einer Bindung verknüpft sind ; denn
IllyO V >?0
die einwerthige Gruppe — NC l oder — -N^ spielt bei der- selben vollkommen die Rolle eines Atoms.
1) Vorstehende Ueberlegung lässt sieb analytisch durchführen; vergl. Verhdlg. d. Phys. Ges. Berlin, 10, p. 76, 77; 26. Juni 1891.
Es ergibt sich ein Resultat von der Form — = — . Der Faktor q,
nahe = 1, kommt bei der Unsicherheit der anderen Ueberlegnngen nicht in Betracht.
2) F. Richarz, Sitzber. d. Niederrb. Ges. 48, p. 26, 26; 12. Jan. 1891. Verhdlg. d. Phys. Ges. Berlin, 10, p. 78— 79, 1891. Die Lite- ratur über die Messungen der Dissociationswärme siehe daselbst, und Wied. Ann. 48, p. 491/492, 1893. — Welche von den 4 Grössen W, Q, N, 8 man vermöge meiner obigen Gleichung aus den 8 übrigen berechnet, um den so berechneten Werth mit dem direct beobachteten zu vergleichen, ist selbstverständlich gleichgültig. In meiner ersten Publication hatte ich q gewählt, in der zweitgenannten e; Herr Ebert führt die Rechnung für W durch. (Wied. Ann. 50, p. 255—260, 1893.)
Richarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 25
Aus den Versachen Yon Berthelot und Ogier ergibt sich für Untersalpetersäure (bezogen auf die in 1 ecm bei 0^ und Atmosphärendruck enthaltene Masse):
TT = 25. 10« Erg pro ccm.
Für die Dissociation des Joddampfs hat Herr Boltzraann aus Versuchen von Fr. Meyer und J. M. Grafts fiir die im selben Volumen enthaltene Masse berechnet :
T7 = 54 . 10« Erg pro com.
Endlich hat Herr E. Wiedemann aus Messungen der Wärmemenge, welche zur UeberfQhrung des Banden- in das Linienspectrum nöthig ist, gefunden, dass einem Gramm Wasser- stoffgas von gewöhnlicher Temperatur zur Zerlegung in seine Atome etwa 128000 Gramm — Calorien zugeführt werden müssen.^) Daraus ergibt sich für die im ccm bei 0^ und Atmosphärendruck enthaltene Masse:
W = 48S' 10« Erg pro ccm.
Auch diesen Werth habe ich, wie die beiden anderen, schon bei der ausführlichen Zusammenstellung des lediglich kinetischen Theiles meiner Schlussfolgerungen mit in Be- tracht gezogen.^)
Die abgeleitete Gleichung für die Dissociationswärme wollen wir so benutzen, dass wir aus W, q und N den Werth von e* berechnen, welcher Werth die Constante in der New- ton'schen Erafb zwischen den Valenzladungen ist und in allen. Consequenzen der Theorie auftreten muss und gegebenenfalls berechnet werden kann, so auch weiterhin im nächsten Ab- schnitt dieser Arbeit. Setzen wir jr;:^10*®, ^;:^lO~®cm, so erhalten wir aus den betr. Werthen der Dissociationswärme
1) E. Wiedemann, Wied. Ann. 10, p. 263, 1880; 18, p. 509, 1883. Ostwald, Allgem. Chemie 2, p. 49.
2) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 492, 1893.
26 Sitzung der matK-phys. Clctsse vom 13, Januar 1894.
bei üntersalpetersäure: e ;^ 50 • 10"""cm* g* sec* bei Joddampf: e :^ 73 • 10~**
bei WasserstoflF: e J^ 220 • 10~**
Dass diese Werthe mit dem aus der Elektrolyse folgen- den e ;^ 129 • 10~^^ so nahe übereinstimmen, ist bei der grossen Unsicherheit der Berechnungen und der Willkür verschiedener Annahmen teilweise Zufall; man darf durchaus nicht sagen, dass durch diese Uebereinstimmung die elektro- chemische Theorie bestätigt sei. Denn es konnten ausser den elektrostatischen Kräften der Valenzladungen noch andere Kräfte von doppelter, dreifacher oder ähnlicher Grösse vor- handen sein, ohne dass die gefundene Uebereinstimmung innerhalb der Grenzen ihrer Unsicherheit gestört wörde. Das aber werden wir sagen dürfen, dass wir nicht in Widerspruch mit den experimentellen Daten für die Dissociationswärme treten, wenn wir mit Herrn v. Helraholtz annehmen, da&s die chemischen Kräfte zwischen den Atomen mit den elektro- statischen zwischen den Valenzladungen identisch sind.
VI. Anwendung des Satzes vom Virial und der Boltzmann'schen Theorie mehratomiger Gase.
Die innere Bewegung der Atome in einer Molekel ist eine stabile; auf sie lässt sich daher der Virialsatz von Clausius anwenden.*) Da die Zahl der in Wechselwirkung begriffenen Molekeln sehr klein ist, gegen die Gesammtzahl, kann von den Kräften der Molekeln untereinander abgesehen werden. In einem gegebenen Augenblicke kommen alle mög- lichen Zustände der relativen Bewegung und Lage, welche die Atome einer Molekel nach einander annehmen, gleich- zeitig bei den verschiedenen Molekeln vor. Es werde mit
1) ClausiuB, Sitzber. der Niederrh. Ges. 27, p. 114, 1870. Pogg. Ann Ul, p. 126, 1870. Jubelbd. p. 41 1 , 1874. Literatur siehe Wied. Ann. 18, p. 468, 1898.
Rickarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 27
y^i die gesaminte lebendige Kraft der inueren Bewegung der Atome in der Volumeneinbeit, also diejenige der Bewegung der Atome relativ zum Schwerpunkte der Molekel, welcher sie angehören, bezeichnet, f (r) sei die gegenseitige An- ziehung der Atome einer Molekel. Dann ergibt nach Obigem der Virialsatz:^)
Für die gesammte lebendige Kraft der fortschreitenden Bewegung der Molekeln in der Volumeneinbeit, ^„i ergibt sich ebenfalls aus dem Virialsatz^)
wo p der Druck ist.
Die bereits mehrfach erwähnte kinetische Theorie mehr- atomiger Gase von Herrn Boltzmann ergibt uii = ^a för 2 atomige Gase, von welchem Resultat (auf eine Molekel be- zogen) bereits auf Seite 19 Gebrauch gemacht wurde. Wir erhalten also
Nimmt man nun wieder an, die Kraft f(r) sei die elektrostatische Anziehung der Yalenzladungen, und die Atome
nur mit einer Bindung verknüpft, so ist f(r)= ^, und bei
EinfQhrung unserer früheren Bezeichnungen kann gesetzt
1 Ne^
werden 2rf(r)=Ne^-- ;^ .
^ ^ r Q
Der Yirialsatz ergibt dann
p ist gleich 1,01 • 16* Dynen pro cm*; nimmt man wieder 2Vä 10*^ q^ 18-» cm, so folgt
e Ä 17 • 10-" cm* g* sec"^
Ij F. Eicharz, Wied. Ann. 48, p. 470 ff., 1893.
28 . Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894.
Auch dieser Werth liegt wieder innerhalb der Grenzen der Unsicherheit des aus der Elektrolyse folgenden.
Die vorstehende Berechnung aus Virialsatz und Boltz- mann's Theorie ist nicht unabhängig von derjenigen aus der
Dissociationswärme nach der Gleichung W=Ne^—, Denn
hieraus und aus dem Virialsatz in der Form Sp = Ne^
würde sich ergeben W= Sp^ welche Bedingung aber nicht erfüllt ist. Vielmehr ist die Bedingung der Stabilität der Molekeln, wie ich an anderem Orte nachgewiesen habe/)
dass W gross sei gegen p und zwar so, dass e p gross ist
gegen 1. Die Stabilitätsbedingung ist, wie a. a. 0. gezeigt,
W in der That erfüllt, da — für N^ 0^ gleich 25, für J^ gleich
53, für jBTg gleich 478 ist. Unser jetziger Widerspruch gegen diese allgemein gültige und erfüllte Stabilitätsbedingung rührt davon her, dass wir zur Vereinfachung die Atome als Massen- punkte betrachteten und zwischen ihnen eine Kraft ange- nommen haben, welche einer Potenz der Entfernung pro- portional ist; dies ist, wie a. a. 0. p. 477 nachgewiesen, unzulässig. Molekeln, deren Atome durch eine Newton'sche Kraft verbundene Massenpunkte wären, sind nicht stabil; eine einfache Rechnung, welche der a. a. 0. p. 483 ff. analog ist, ergibt für solche Molekeln zwei Zustände, die an Wahr- scheinlichkeit allen anderen weit überlegen sind: Entweder fallen die Atome dauernd in einen Punkt zusammen, oder sie sind soweit von einander entfernt, dass sie keine Kräfte auf einander ausüben, was der Dissociation entspricht.
Trotzdem kommt der Widerspruch für uns, bei der
Berechnung des Elementarquantums e nicht in Betracht,
w weil die Bedingung e p gross gegen 1 schon durch massige
1) F. Richarz, Wied. Ann. 48. p. 490 ff., 1893.
Ridiarz: Elektrische und mcignetische Kräfte der Atome, 29
W Werthe von - erfüllt ist, und die Unsicherheit in unseren
P Berechnungen so gross ist, dass ihre Grenzen noch weit mehr verschiedene Werthe einschliessen. Von ^Ueberein- stimmung' kann von vornherein keine Rede sein, sondern nur von «Nichtwidersprechen''.
Vn. Vergleich mit den Lichtschwingungen.
Halten wir weiterhin wie bisher an der Annahme fest, dass wir die Atome als Punkte ansehen dürfen, welche im gasförmigen Zustande frei um einander beweglich sind. Ist dann nur die elektrostatische Kraft zwischen derselben wirk- sam, so kann die Dauer eines Umlaufe um den gemeinsamen Schwerpunkt aus der Gleichung angegeben werden, welche für die Planetenbewegung das 3. Eeppler'sche Gesetz liefert; dabei werde angenommen, dass die beiden Atome der Molekel nur durch eine Valenz verbunden seien.
Wenn zwei Massenpunkte m^ und m, unter dem Ein- flüsse der Gravitationskraft
sich bewegen, so ist das 3. Eeppler'sche Gesetz 4n^Äl^ Gml
wo A^ die grosse Halbaxe der Bahnellipse von m^\ T die Umlanfzeit ist.
Die elektrostatische Kraft ist f{r) = — ; also ist zu setzen
G iw, 1»^= €*; führen wir ferner die ganze grosse Axe 81, = 2 ^4^ ein, so wird
+ «»2
30 Sitzung der math.'phys, Glosse vom 13. Januar 1894.
Nehmen wir die beiden Atome als gleich an, so ist Wj = mg = fw, und auch der Index von äj fällt weg, da die beiden Bafanellipsen gleich werden; also
£
Bilden wir nun die Mittelwerthe über alle Molekeln in einem endliehen Volumen, so kann nach denselben Ueber- legungen, wie sie auf Seite 23 angestellt wurden, ohne Fehler in der Grössenordnung für die grosse Axe 81 der Durchmesser einer Molekel gesetzt werden ;^ 10"^ cm. Der kleinste Werth für T ergibt sich bei Wasserstoff, wo 2 w, die Masse einer Molekel, den kleinsten Werth hat. Die Dichtigkeit des Wasserstoffe zu 895 • lO-"^ und die Zahl der Molekeln in 1 ccm zu 10*^ angenommen, wird 2 w ä; 89,5 • 10""*^ Für Wasserstoff wird daher
Stillschweigende Voraussetzung bei der Berechnung der mittleren Umlaufszeit T ist, dass die Zusammenstösse der Molekeln unter einander nicht so häufig stattfinden, dass eine regelmässige Centralbewegung der Atome um einander gar nicht zu Stande kommt. Jene Voraussetzung ist aber, wie die kinetische Gastheorie zeigt, erfüllt. Die grosste Stoss- zahl gilt für Wasserstoff, nämlich 95 • 10* in der Secunde;^) mithin die Zeit zwischen 2 Zusammenstössen 105 • 10~*^^ sec. Also kommen bei Wasserstoff rund 4000 Umläufe der Atome um einander auf die Zeit zwischen 2 Zusammenstössen.
, Wenn nun eine positive und eine negative Ladung mit den beiden Atomen einer Molekel verbunden, sich um ein- ander drehen, so ist ein solches System offenbar äquivalent einer elektrischen Schwingung. Von dem rotirenden Atompaar werden daher auch, wie von einer Hertz'schen Schwingung,
1) 0. E. Meyer, kinet. Gastheorie, p. 142.
Hieharz: Mektrische und mcufnetische Kräfte der Atome. 31
elektrodynamische Wellen ausgestrahlt, und bei hinreichender Schnelligkeit müssten dieselben vom Auge als Licht wahr- genommen werden. Da nun aber die Gase bei 0^ nicht leuchten, muss die Schwingungsdauer jener elektrodyna- mischen Wellen grösser sein als die der langsamsten Licht- wellen. För die äuasersten rothen Wellen ist die Schwing- ungsdauer rund
T = 25 • lO-i«sec
Die Schwingungsdauer der elektrodynamischen Welle, welche die rotirende Molekel ausstrahlt, ist gleich der Um- laufezeit T; und, wie verlangt, ist der kleinste Werth für diese, wie er bei Wasserstoff sich ergibt, grosser als t. Der Werth für T bei Wasserstoff ist aber nur 10 mal grösser als T, und vielleicht dürfen wir daraus vermuthen, dass unter Umstanden doch die betrachtete elektrodynamische Welle in den Bereich der Lichtwellen eingreift. Da nun T nur der Mittelwerth der verschiedenen bei verschiedenen Molekeln gleichzeitig vorhandenen Umlaufszeiten ist, so würde das Gas bei einer gegen die normale beschleunigten Umlaufszeit in der angegebenen Weise ein continuirliches Spectrum aus- senden; vielleicht trägt die so erzeugte Strahlung mit bei zur Bildung des continnirlichen Hintergrundes im Spectrum der Gase, welchen auch Herr H. Eayser der ^ ungeordneten", also der Wärmebewegung der Atome zuschreibt.^) Wie dem aber auch sei, es würde auch jede andere hinreichend schnelle periodische Bewegung der Yalenzladungen zu Lichtstrahlung Anlass geben; sei es, dass die Atome sammt ihren Ladungen als Ganzes oscilliren, wie dies wohl bei festen Körpern und den ein Bandenspectrum liefernden Gasen der Fall sein dürfte; sei es, dass die Schwingungen innerhalb der einzelnen Atome vor sich gehen, wie bei den ein Linienspectrum liefernden Gasen.*' Zu dieser Stelle aus meiner vorläufigen Mittheilung
1) H. Eayser, Lehrbuch der Spectralanalyse, p. 96.
32 Sitzung der m<Uh,'phy8, Classe vom 13, Januar 1894.
vom 26. Januar 1891 habe ich nachzutragen, dass die An- sicht, der continuirliche Hintergrund der Oasspectra röhre von den Rotationen der Molekeln her, zuerst von Herrn Eilhard Wiedemann ausgesprochen ist;^) in derselben Arbeit führt Herr E. Wiedemann die continuirlichen Spectra bei glühenden festen Körpern oder Flüssigkeiten auf unfreie Schwingungen zurück; ferner wie schon früher Herr v. Helm- holtz^) die Bandenspectren auf freie Schwingungen der Atome im Molekularverband unter dem Einflüsse der gegenseitigen Kräfte der Atome, die Linienspectren auf freie Schwingungen der Aetherhüllen isolirter Atome,
Bezüglich der Energie, welche die in der Molekel oder im Atom oscillirenden Valenzladungen als Hertz^sche Schwingung ausstrahlen können, hat Herr H. Ebert nachgewiesen,^) dass dieselbe nicht im Widerspruch steht mit der von Herrn Eil- hard Wiedemann gefundenen Strahlungsenergie eines Natrium- atoms.^) Auch Herr G. J. Stoney schreibt das Leuchten den Bewegungen der Valenzladungen zn^) und discutirt die Strah- lung, welche durch Oscillationen unter dem Einflüsse ela- stischer Kräfte hervorgerufen wird.
VJLLL. Holekularer Ma^etismus.
Wenn eine Valenzladung infolge der Wärmebewegung eine kreisförmige oder ähnlich gestaltete, eine Fläche um- schliessende Bahn beschreibt, so wird sie nach aussen elektro- magnetische Wirkung ausüben. Bei einer Bewegung wie bei dem bisher betrachteten Umlauf zweier als Punkte ge-
1) Eilh. Wiedemann, Wied. Ann. 5, p. 509, 1878; s. auch 10, p. 252, 1880.
2) H. V. Helmholtz, Pogg. Ann. 160, p. 182, 1877.
8) H. Ebeit, Arch. de Geneve (8) 25, p. 489, 15. Mai 1891; Wied. Ann. 49, p. 651, 1898.
4) Eilh. Wiedemann, Wiedem. Ann. 87, p. 177, 1889.
5) G. J. Stoney, Trans. Roy. Dublin Soc. 4, (2), p. 563, 1891.
Ridiarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 33
dachter Atome von gleicher Masse um einander, müssen sich aber schon die elektromagnetischen Wirkungen der beiden Atome einer Molekel aufheben. Zunächst ist dies nicht mehr der Fall, wenn die beiden Atome der Molekel verschiedene Masse haben; dann wird die elektromagnetische Wirkung der mit dem leichteren Atom verbundenen Ladung wegen der grösseren von der Bahn umschlossenen Fläche über- wiegen. Denken wir uns aber weiterhin das Atom als raamlich ausgedehnt, so sind auch noch andere rotationelle Bewegungen der Valenzladungen mit oder im Atom denkbar, deren magnetische Gesammtwirkung für eine Molekel sich Dicht aufhebt.^) Endlich können wir uns bei festen Körpern and Flüssigkeiten die Atome einzeln und ihre Bewegung von einander unabhängig ausführend vorstellen, sodass wir uns als Grenzfall alle positiv geladenen Atome im einen Sinne, alle negativ geladenen Atome im entgegengesetzten Sinne rotirend, und alle Rotationsaxen parallel denken können, sodass sich in diesem Fall die magnetische Wirkung aller rotirenden Valenzladungen addiren würde. Hiedurch kommt man dazu, die Zulässigkeit dieser Erklärung des molekularen Magnetismus dadurch zu prüfen, dass man eine annähernde Berechnung ftir den maximalen specifischen Magnetismus bei Sättigung ausführen kann.
Diese Vorstellungen knüpfen sich von selbst an die Be« trachtung der mit oder im Atom bewegten Valenzladungen an. Nachdem ich dieselben bereits seit längerer Zeit wieder- holt gesprächsweise geäussert und die im Folgenden mitge- theilte Rechnung durchgeführt hatte, fand ich kürzlich im XI. Abschnitt des 2. Bandes der mechanischen Wärmetheorie
1 j Schon bei einer aus 2 gleichen, r¨ich ausgedehnten, Atomen bestehenden Oasmolekel zwingt die Verschiedenheit der Anziehung der ponderablen Masse für die beiden Arten der Elektricitftt zu der Folgerung einer unsymmetrischen Lagerung der + s und — e, woraus dann bei Rotation eine magnetische Gesammtwirkung resultirt. 18M. Math.-pliyB. OL 1. 3
34 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13, Januar 1894,
von Clausius,^) dass schon Wilhelm Weber sich von den Amp^re^schen Molekularströraen die Anschauung gebildet hatte, dass dieselben in kreisförmiger Bewegung eines posi- tiven Elektricitätstheilchens um einen negativ elektrischen Kern bestehe,*) ohne dass jeäoch Weber diese Elektricitäts- theilchen mit den Jon^nladungen identificirte.
Eine in Kreisbahn sich bewegende Elektricitatsmenge e kann bezüglich ihrer elektromagnetischen Wirkung als Kreis- strom aufgefasst werden. Als Stromintensität % ist dann ein- zuführen der Quotient aus Elektricitätsmenge, welche in einer Zeit T einen Punkt der Kreisperipherie passirt, dividirt durch T. In der dualistischen Theorie passiren beim Strom gleiche positive und negative Mengen in entgegengesetzter Richtung den Querschnitt. Bewegte Elektricitat von einer Art allein repräsentirt in der elektrodynamischen Wirkung also nur die halbe Stromintensität.
Bewegt sich demnach eine Elektricitätsmenge e auf der Peripheiie eines Kreises mit einer Umlaufszeit 7, so ist sie
elektromagnetisch äquivalent der Stromintensität i = ^^,.
Eine Valenzladung elektrostatisch gemessen ist annähernd e Ä 129 • 10~**; also elektromagnetisch geraessen ;^ 43 • 10""". Eisen gilt als 4 werthig; die 4 Valenzstellen eines Eisenatoms als von gleicher Ladung vorausgesetzt würde also das obige e ;^ 172 • 10"** elektromagnetischen C. G. S.- Einheiten sein, wenn man sich alle 4 Ladungen in beliebiger Weise auf der Peripherie desselben Kreises, denselben in gleichem Sinne durchlaufend denkt.
Ein Kreisstrom von der Intensität i, welcher eine Fläche q umströmt, ist äquivalent einem Magneten vom Momente
m = iq
1) Clauaius, mechan. Wärihetheorie II, p. 841/342, 1879.
2) Wilh. Weber, elektrodynam. Maesbest., Leipzig 1871, p. 41.
ItidMrz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 35
Nehmen wir den Ereisstrom von molekularen Dimen- sionen, so können wir setzen q ^ d^^ wo ö die Kante des einem Eisenatom zukommenden Elementarwürfels ist. Hiefür erhalten wir folgenden angenäherten Werth.
Eine Molekel H^ ^^^ ®"^® Masse von etwa 9 • 10~** g (siehe Seite 30). Ein Eisenatom Fe = 56H=2SH^ also 25 • 10"*** g. Das specifische Volumen des Eisens ist 1 ecm : 7,7 g. Daraus folgt das Volumen des einem Eisenatom zukommenden Elementarwürfels 33 • 10~** ccm, und die Kante desselben cJ gleich 1,5 • 10~® cm. Mithin q ^ <J'^ :t 2,3 . 10-" cm^
Für das magnetische Moment eines Eisenatoms finden wir also die Annäherung:
an ;^ 2,3 . 10-" . i Ä 2,3 . 10-" . 2^,
und indem wir für e den obigen Wert einführen
cm 2 . 10-5« ^^ jT-
Zu einer Schätzung der Grössenordnung der Umlaufs- zeit T können wir auf zwei Wegen gelangen. Erstens ist wie im yorigen Abschnitt daran zu erinnern, dass die roti- renden Valenzladungen elektrodynamische Wellen aussenden müssen. Wenn dieselben nicht ab Licht empfunden werden sollen, so muss ihre Periode länger als die der längsten rothen Wellen sein; wir erhalten also
r>3.10-"sec
Zweitens soll als Grenzfall angenommen werden, die ponderable Masse des Eisenatoms sei mit der elektrischen Ladung desselben in einem Punkte vereinigt. Nach der kinetischen Theorie der Materie ist die mittlere lebendige Kraft eines Atoms bei gegebener Temperatur für alle Sub- stamcen dieselbe. Gehen wir aus von einem einatomigen
36 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894,
Gase (etwa Hg)^ so ist die gesammte lebendige Kraft in 1 ccm bei 0® und Atmosphärendruck
^ = 12? =3.1^01.10« C.G.S.
Division durch 10*® ergibt also für ein Atom beliebiger Substanz und Aggregatzustandes L die gesammte lebendige Kraft ^ 1,52 • 10 ~^*. Nenne die Masse eines Eisenatoms m, die constante Geschwindigkeit, mit welcher es die kreis- förmige Bahn vom Durchmesser d durchläuft, u, so wird
m 2L
Nehme d ;^ lO"» cm; w ;^ 25 • 10"**; L :^ 1,52 • 10"" so folgt
TÄl,3.10-'»sec
Nun bewegt sich aber gewiss nicht die ganze ponderable Masse des Atoms auf der Oberfläche des ihm zukommenden Raumes, sondern befindet sich grösstentheils mehr central; damit derselbe Werth der lebendigen Kraft erreicht wird, muss also die Umdrehungsgeschwindigkeit grösser sein, und es sollte sein
T < lO-i» sec
Schätzen wir nach diesen beiden Grenzwerthen etwa
Tä 10-1* sec
Herr H. E. J. G. Du Bois hat mir mitgetheilt, dass er in einer noch nicht publicirten Berechnung auf Grund der von Maxwell (Treatise Cap. 21) umgearbeiteten Lord Kelvin^schen Wirbeltheorie versucht habe, aus der magneto- optischen Drehung in ferromagnetischen Metallen (Kundt'sches Phä- nomen) einen Anhaltspunkt zu gewinnen für die Periode jener Wirbel. Nach den vorliegenden Daten gelange er zu dem Schlüsse, dass in etwa halb- » gesättigtem*' Eisen die
Bieharjs: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 37
Wirbel eine Frequenz von 5 Billionen pro Secunde haben, also etwa der hundertste Theil derjenigen des Natronlichtes. Die Rechnung führe zu einer Schlussformel fQr die Periode, welche folgendennassen lautet:
T= 2,5.10-" — M
wo M der maximale specifische Magnetismus ist.
Einmal stimmt der Bau dieser Gleichung mit der uns- rigen überein; setzen wir zweitens den Werth für Eisen M = 220 (s. unten) ein, so wird bei voller Sättigung un- geföhr
r= 10-13 sec
Dieser Werth liegt innerhalb der sehr weiten Grenzen der Unsicherheit unseres oben gewählten Werthes.^)
2 • 10—3® Führen wir in die Gleichung ^^ ^ — den Werth
T;^ 10-" ein, so wird 3» P^ 2 • 10"*^
Will man zu endlichen Massen übergehen, so kann man annehmen, dass bei Sättigung alle positiven Yalenzladungen um parallele Axen in demselben Sinne, alle negativen im entgegengesetzten Sinne rotiren. Dann muss das maximale magnetische Moment von 1 g Eisen, also der specifische Magnetismus bei Sättigung, gleich werden
wo 91 die Zahl der Atome in 1 g Eisen ist.
1) Wenn wir wieder daran denken, dass die periodische Be- wegung der Yalenzladungen zu elektrodynamischer Strahlung Anlass gibt, wie eine Hertz*8che Schwingung, so steht die Grössenordnung der Umlaufszeit ebenfalls in Einklang mit dem von Herrn Willy Wien abgeleiteten Resultate, dass die Periode der in der Wärmestrahlung fester KOrper vorkommenden Schwingungen klein sein muss gegen die- jenigen, welche von Drahtnetzen vollständig zurückgeworfen werden. (Wied. Ann. 49, p. 688, 1898.)
38 Sitzung der math-phys. Classe vom 13, Januar 1894.
Aus m ^ 25 . 10-** folgt S« ;^- 4 • 10»». Also wird
Mc^S CG. S.-Einheiten
Der experimentell gefundene specifische Magnetismus bei Sättigung beträgt^)
bei Eisen 220 C. G. S. bei Kobalt 150 , bei Nickel 60
In Anbetracht der überaus grossen Unsicherheit der Berechnung von M muss man den berechneten und die direct bestimmten Werthe als innerhalb der Grössenordnung übereinstimmend bezeichnen. Der Versuch, den vor der Richtung der Elementarmagnete praeexistirenden molekularen Magnetismus auf Rotation der Valenzladungen zurückzuführen, scheint demnach zulässig zu sein.
Weitere Controlberechnungen der Helmholtz'schen elektro- chemischen Theorie hat inzwischen Herr A. P. Ghattock aus- geführt.*) In seiner ersten Mittheilung berechnet er aus den Erscheinungen beim Ausströmen der Elektricität aus Spitzen das Elementarquantum für die Atome des Gases. In der zweiten nimmt er an, dass die auch von älteren Theorieen der Dielectrica vorausgesetzten, in dasselbe eingebetteten Elek- tricitätstheilchen eben die Valenzladungen sind. Diese „elektro- lytische Theorie der Dielectrica" wendet Herr Ghattock an auf die Messungen der Piezo-Elektricitat der Herren J. und F. Curie und Mallock, der Pyro-EIektricitat von Herrn Riecke, der Cohäsion, der Dielektricitäts-Constante, der Elektro- Striction, und findet stets Werthe für das Elementarquantum,
1) H. E. J. G. Du Bois, Phil. Mag. [5], 29, p. 293, 1890.
2) A. P. Ghattock, Phil. Mag. (5), 32, p. 286, 1891; 34, p. 461, 1892; 35, p. 76, 1893.
Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 39
die dem elektrolytischen nahe stehen. Auch Herr J. J. Thomson hat in mehreren neueren Arbeiten (siehe Citat p. 8) aas der Quantität der Jonenladungen mit Erfolg Schlüsse ge- zogen zur Erklärung verschiedener Phänomene, insbesondere auch des von Robert von Helmholtz gefundenen und von ihm und anderen untersuchten Dampfstrahlphänomens.
Zum Schlüsse möchte ich mich nochmals im Voraus gegen die Auffassung verwahren, als ob ich mich der Täuschung hingäbe, irgend eine der entwickelten Berechnungen könne als positiv für die elektrochemische Theorie beweisend an- gesehen werden. Schon auf Seite 26 habe ich darauf hin- gewiesen, dass neben den elektrischen Kräften der Valenz- ladungen noch andere von derselben Grossenordnung existiren können, ohne dass unsere Gleichungen bei ihrer grossen Un- sicherheit einen Widerspruch erkennen lassen würden. Wohl aber darf man behaupten, dass man bei Annahme der Helm- boltz'schen Theorie eine Reihe von Erscheinungen unter gemeinsamem Gesichtspunkt auffassen kann, und bei der berechnenden Verfolgung, soweit dieselbe möglich ist, nicht in Widerspruch tritt mit der Erfahrung.
41
üeber eine einfache, eindeutige Raumtransformatioii 3. Ordnung.
Von Karl Döblemann in München. (Bingtlaufan 18. JanwirJ
1. unter Voraussetzung des Begriffes der Projectivität kann man sich kaum eine einfachere Methode denken, den Raum geometrisch anschaulich eindeutig auf sich selbst zu beziehen als folgende: In dem einen Raum (X-Raum) seien 3 Gerade a,, a^, a^ beliebig und in allgemeiner Lage ange- nommen, ebenso im andern, F-Raum. Jede dieser 6 Geraden soll Trager eines Ebenenbüschels sein und zwar seien die Ebenenbüschel a, und \, a^ und 6,, a^ und \ je zu einander projectiv. Irgend ein Punkt im X-Raura, P», ist dann Schnittpunkt dreier Ebenen durch a^, a^, a^\ diesen ent- sprechen vermöge der projectiven Beziehungen drei Ebenen durch 6j, 6^, ftj, welche sich in dem entsprechenden Punkt Py schneiden.
Lasst man P« auf einer beliebigen Geraden g fortrücken, so bezieht P« dabei die Büschel a^^ a^, a^ projectiv auf- einander. Rs werden also auch die Büschel 6^, \^ \ pro- jectiv aufeinander bezogen und diese erzeugen als der Geraden entsprechendes Gebilde eine Raumkurve 3. Ordnung, welche den Hyperboloiden aus den Achsen \, \ bezw. 6j, \ und bji 2», gemein ist.
Daraus folgt dann sofort, dass das einer Ebene im einen Raum im andern Räume entsprechende Gebilde eine Fläche
42 Sitzung der mathrphys, Glaase vom 13. Januar 1894.
3. Ordnung ist: denn diess Gebilde hat mit einer beliebigen Geraden drei Schnittpunkte gemein.
2. Die singulären Elemente der Transformation erhalten wir durch besondere Annahmen für den Punkt P^. Zunächst springen als solche die 6 Geraden dp .... 6^ in die Augen. Wählen wir einen Punkt auf a, , so geht durch ihn und a^ bezw. a^ noch je eine Ebene, während die durch a^ gehende Ebene unbestimmt wird. Den beiden genannten Ebenen ent- sprechen gewisse Ebenen durch b^ und (3 und da die 3. Ebene ganz willkürlich, so entspricht also dem Punkte auf a^ eine Gerade. Rückt der Punkt auf a^ fort, so erzeugen die pro- jectiven Büschel b^ und 63 eine Regelschaar 2. Ordnung, die wir kurz als das Hyperboloid (h^b^) bezeichnen wollen. Den Punkten der Geraden a, entsprechen die Erzeugenden dieses Hyperboloides und zwar diejenigen, welche nicht zur Schaar ig, ^3 gehören.
Ganz ebenso geben die Geraden a^ und a^ zu 2 Hyper- boloiden (ftj 63) und (6j ftg) Veranlassung, während im X-Raurae als singulare Flächen die Hyperboloide (a, a^) (a, a^) (a^ a^) erscheinen.
Weiter spielen noch eine besondere Rolle die durch Oj, a,, ^3, sowie b^^ b^, b^ bestimmten Regeischaaren. Wählt man nämlich eine Gerade ^, welche a^, a, und a^ schneidet, so entspricht jedem Punkt dieser Geraden der gleiche Punkt im F-Raum, da die Ebenen ja die nämlichen bleiben, welche g mit a^, a^ und a^ bestimmt. Lässt man jetzt g die Regel- schaar (a^ a, ^3) durchlaufen, so werden dadurch die Büschel ^v ^81 ^s aufeinander projectiv bezogen, das gleiche gilt also auch von den Büscheln 6,, 6g, 63. Die den Geraden g ent- sprechenden Punkte liegen demnach auf einer Raumkurve 3. Ordnung Rb und es ist weiter klar, dass diese der gemein- same Schnitt der oben genannten Hyperboloide (b^ b^) (b^ 63) (b^b^) sein muss. Ganz ebenso wird sich im Räume der X eine Raumkurve 3. Ordnung Ba ergeben, deren Punkte den
DoMemann: lieber eine Raumtransfarmation 3. Ordnung . 43
Geraden entsprechen, welche 6^, b^ und b^ gleichzeitig be- gegnen.
Das System der Fundamental-Flachen besteht also z. B. im X- Räume aus:
Dem Hyperboloid (a^ a^), dem Hyperboloid {a^ ag), dem Hyperboloid (a^ Oj), dem Hyperboloid (a^ a^ a^).
Dazu kommen als Fundameutal-Eurren:
Die Geraden a^, a^^ a^ und die Raumkurve Ba^ der Schnitt der 3 zuerst genannten Hyperboloide.
Es folgt dann leicht:
, Einer Ebene z. 6. im X-Raume entspricht im F-Raume eine Fläche 3. Ordnung, welche durch Bö^ 2»,, b^ and b^ hindurchgeht. **
Diese Fläche ist auf die Ebene eindeutig abgebildet und aus der Betrachtung dieser Abbildung ergibt sich in der bekannten Weise, dass die Fläche 27 Gerade enthält.
3. Die analytische Darstellung dieser Transformation gestaltet sich wie folgt: Sind die Ebenenbüschel a^, a^, a, bezüglich gegeben durch
üx — ^bx = 0
1) Ax-^Iix=o
Ax—vBx = o
wo ax = Qx^^x-V «2^2 + ^8^3 + ^4^4 ®*^- "^^ ^"^^ ^^® ^*2"
projectiven Büschel b^, b^^ h^ bezüglich
2) Ay — ^By = 0
SO werden die Gleichungen der Transformation
Ux b'p — bxdg =0
3) Ax By — Bx A\f = 0
Ax By — Bx A^ = 0
44 Sitzung der math.-phys. Clasae vom 13, Januar 1894.
Diees sind 3 in den x und y lineare Gleichungen, aller- dings von specieller Form. Nimmt man 3 bilineare Gleich- ungen der allgemeinen Form
2aax,y. = 0 {^^^ 12,8,4)
so erhält man durch dieselben die allgemeine birationale Transformation 3. Ordnung dieser Art, welche Nother ^) und Gayley^) fast gleichzeitig behandelt haben. Bei dieser tritt in jedem Raum als Fundamentalfläche eine Fläche 8. Ordnung auf und auf ihr als 3 fache Kurve eine Raumkurve 6. Ordnung. In unserm Falle ist diese Fläche 8. Ordnung in 4 Hyper- boloide zerfallen, die Raumkurve 6. Ordnung dagegen besteht aus den 3 Geraden und der Raumkurve 3. Ordnung. Dieser geometrisch nicht uninteressante Fall findet in den citierten Arbeiten keine Erwähnung.
4. Die bilinearen Gleichungen 3) kann man mit Rück- sicht auf ihre specielle Form als „zweiteilig" bezeichnen; die allgemeine Transformation dieser Art lässt sich nicht auf diese Form bringen. Betrachten wir, des Zusammenhanges wegen, einen Moment die allgemeine quadratische Trans- formation der Ebene, so ist bekannt, dass diese dargestellt werden kann durch das System 2 bilinearer Gleichungen
2aaXiyk = o ri=l, 2, 31 ^ ^laXiyu^o 1/^=1,2,3/
Eine solche bilineare Form ^auXiifk lässt sich nun als „zweiteilige** schreiben immer und nur, wenn die Deter- minante der Form \aa\ =0, wie diess London^) zeigt. Trotzdem lässt sich die allgemeine quadratische Transfor- mation der Ebene noch durch zwei zweiteilige Gleichungen
1) Mathematische Annalen Bd. 8, 1871, pag. 547.
2) Proceedings of the London Mathem. Society, Vol. III, 1870.
3) Mathematische Annalen Bd. 38, 1891.
DöMemann: Ueber eine Raumtransformation 3. Ordnung. 45
darstellen. Denn die Gleichung ^aaXiyk = o^ welche eine reciproke Beziehung der Ebene vorstellt, wird erfüllt durch c»* Punktpaare (x, y).
Hat man 2 solche Gleichungen wie in 4), so gibt es noch 00^ Pnnktepaare (x, y\ welche bei den Gleichungen genügen und diess sind eben die Punktepaare der quadra- tischen Transformation. Darauf beruht auch die Erzeugung dieser Transformation, welche Hirst gegeben hat. Betrachtet man jetzt weiter die Schaar
5) :^aik Xiyk + ^ • ^bik x^yk = o
so stellt diese för jeden Wert von l zwar eine andere Reci- procität vor, die Punktpaare der quadratischen Transformation jedoch gehören immer dieser Reciprocitat an. Man kann dann die quadratische Transformation auch durch irgend 2 andere Reciprocitäten der Schaar 5) erzeugen und kann als solche 2 mit verschwindender Determinante herausgreifen. Denn die Determinante von 5) liefert eine Gleichung 3. Grades in X. Eine solche Reciprocitat ist aber dann als zweiteilige Form zu schreiben und diese kann wieder als Elesultat der Elimination des Parameters aus projectiven Strahlbüscheln erhalten werden. So entsprechen also den 3 Wurzeln der kubischen Gleichung die 3 Fundamentalpunkte, welche die quadratische Transformation in jeder Ebene besitzt.
5. Anders verhält es sich im quaternären Gebiet. Ver- schwindet die Determinante | n^* { einer bilinearen Form von 4 homogenen Variabein x und y,
2aikXiyk = o
so genügt diess blos dazu, um die Form als eine drei- teilige schreiben zu können. Denn ist
2a,k Xiyk = yj^ (x) + y^f^ {x) + y./g {x) + yj^ {x)
80 besagt das Verschwinden der Determinante { a,* | , dass eine lineare Relation besteht
46 Sitzung der niath.-phys, Clasae vom 13. Januar 1894.
und wenn man diese benutzt, um f^ durch /*,, f^, /j aus- zudrücken, so wird
:sa,*x,i,»=/-.(y-|j,,)+/3(ys-|y4) + /5(.v,-^y*)
Damit ist 2aikXi\jk als dreiteilige Form geschrieben. Hat man jetzt 3 bilineare Formen allgemeiner Art
^aikXiyk = o
6) -^ hik Xiyk = o ^CikXtyn =0
so wird jede einzelne derselben durch oo* Punktpaare (x, y) befriedigt, die oo^ Puuktpaare der durch 6 dargestellten Trans- formation jedoch sind diejenigen Punktpaare, welche den 3 Gleichungen genügen. Bildet man jetzt das System
7) 1 an Xi yk + i ^6,* Xi yn + /< - c^ Xtyn = o
so enthält jede in ihm enthaltene Reciprocität die Punktpaare der Transformation. Die Bedingung, dass die Determinante vor 7) verschwinde, gibt eine Gleichung 4. Grades in A und pi. Man kann also die Transformation 6) auch durch 3 dreiteilige Gleichungen darstellen.
Soll dagegen die Transformation durch 3 zweiteilige Gleichungen zum Ausdruck gebracht werden können, so ist dazu für jede der 3 bilinearen Formen ausser dem Ver- schwinden der Determinante i a,* | auch noch das Nullwerden der Unterdeterminanten 3. Ordnung notwendig und hin- reichend.
Nahe liegt hier die Frage nach dem durch 2 bilineare Gleichungen
^dikXiyk = 0
^hikXiyk = 0
dargestellten Gebilde. Offenbar gibt es noch oo* Punktpaare,
welche beiden Gleichungen genügen. Hält man z. B. x in
DoMemann: Üeber eine Raumtransformation 3. Ordnung. 47
beiden Gleichungen fest, äo erhält man 2 Ebenen, deren Schnittlinie der Ort der Punkte y ist, die dem Punkte x entsprechen. Alle auf diese Weise zu erhaltenden Geraden bilden einen Complez. Dadurch, dass die Ebenen einander entsprechen, welche in den beiden Reciprocitäten zu gleichen Werten von x (oder y) gehören, wird aber der Raum coUinear auf sich bezogen und es folgt somit, dass der in Rede stehende Complex der Reye'sche oder tetraedrale, der ja durch 2 col- lineare Räume als Ort der Schnittlinien entsprechender Ebenen erzeugt wird. (Schröter^s Complex der Wechseistrahlen.)
Die Gleichung des Complexes in den Plttcker'schen Ge- radencoordinaten erhält man dadurch, dass man die Deter- minante
2aiiyi ^dizPi -a,3y, ^üi^yi \
lanyi 2ai2yi ^Oisyi ^(^ay'i ; f.- _ i o ^ a\
' xri. VI. VI. VJ. t* — ^i^i'^"*;
] 2^6,1 y, ^Oi2yi ^Oisyi ^b^yi \ I ^bnyi 2bi2yi 2b,:,yi ^b^yi \
nach quadratischen Unterdeterminanten entwickelt. Der ganzen Schaär
^OikXiyk-[- 'k2bikXiyk = o
dient dieser Complex sozusagen als Basis. — Hat man all- gemeiner 2 Gleichungen
f{x^j/^) = 0
so stellen diese, insofern auch wieder einem Punkte x eine gewisse Kurve von der Ordnung (fi v) entspricht, ein oo^ faches System von Kurven vor, also einen allgemeinem Complex.
6. Kehren wir jetzt noch einen Moment zurück zu unserer speciellen Transformation 3. Ordnung. Wir hatten yon Anfang an angenommen, es sei Büschel a^ projectiv BSschel &i, Cfg projectiv b^ und ebenso a^ und b^. Diese
48 Sitzung der mathrphys. Classe vom 13, Januar 1894.
Projectivität kommt geometrisch zum Ausdruck dadurch, dass Oj uud ftp «2 und ig, a^ und ftg je ein Hyperboloid erzeugen. Im allgemeinen haben diese 3 Flächen 8 Punkte gemein und diess sind die einzigen sich selbst entsprechenden Punkte der Transformation. Auch bei der allgemeinem Nöther- Gayley^schen Transformation hat man 8 solche Coincidenz- punkte. Man kann nun aber die erwähnten 3 Hyperboloide auch in specieller Lagenbeziehung annehmen. Von den ver- schiedenen möglichen Fällen sei nur der erwähnt, wo die 3 Hyperboloide eine Raumkurve 3. Ordnung R^ gemein haben. Diess kommt darauf hinaus, dass man die 6 Achsen üj, .... 2^8 ^^ Secanten einer B^ wählt und je 2 Ebenenbüschel wie a, und b^ perspectiv zur B^ nimmt, sodass stets ent- sprechende Ebenen der Btischel auf dieser Kurve sich be- gegnen. Dann besteht die ganze B^ aus Goincidenzpunkten der Transformation, dieselbe entspricht sich Punkt für Punkt selbst. Diese Transformation stellt das Analogon vor zu der quadratischen Transformation der Ebene mit einem festen Kegelschnitt.^)
Wendet man unter Festhaltung der B^ diese Trans- formation wiederholt an, so erhält man Transformationen in der Ordnung 3^, welche alle diese B^ als „feste* Kurve enthalten.
Es drängt sich hier die Vermutung auf, dass man statt der B^ überhaupt eine Raumkurve von beliebiger Ord- nung n benützen kann, sofern man nur 6 (w — 1) fache Se- canten derselben zur Verfügung hat, um dieselben als Gerade öTj, . . . . 63 zu benützen. 6 solche (w — 1) fache Secanten liegen dann immer auf einer Regelfläche 2. Ordnung. Man überzeugt sich nämlich auch analytisch leicht von der Richtig- keit folgenden Satzes:
1) Vergleiche meine Arbeit in den Mathematischen Annalen Bd. 39, pag. 580.
Dohlemann: Ueber eine Baumtransformation 3. Ordnung. 49
9 Enthält eine Kaumkurve n-Ordnung zwei (w — 1) fache Secanten, so liegt sie auf einer Fläche 2. Ordnung und hat die eine Regelschaar derselben überhaupt zu (n — 1)- fachen Secanten.*
Geometrisch ergibt sich der Beweis dieses Satzes un- mittelbar, wenn man die zwei (n — 1) fachen Secanten der Raumkurve als Achsen zweier zur Raumkurve perspectiven und darum untereinander projectiven Ebenenbüschel nimmt, die dann eine Regelfiäche 2. Ordnung F^ erzeugen.
unter dieser Voraussetzung gehören also die 6 Geraden a^, .... 63 der gleichen Regelschaar F^ an, auf welcher auch die iJ* liegt. Die Hyperboloide, welche die Büschel a^ und &j, a, und 6,, a^ und ^3 erzeugen, fallen alle drei zusammen mit jF*. Wählt man jetzt aber einen Punkt P« auf dieser JP*, so entspricht ihm oflFenbar die durch ihn gehende, nicht zur Schaar der a^ gehörige Erzeugende der Fläche F^. Einer beliebigen Geraden g entspricht dann wieder eine Gerade, wenn man von den 2 Geraden absieht, die den Schnittpunkten der g mit der J^^ zuzuweisen sind. Man erkennt, dass die Transformation sich in diesem Falle auf eine CoUineation reduciert.
Diess ist richtig, solange n>S. Aber auch für n = 3 müssen wir dementsprechend, wenn JJ* eine »feste* Kurve sein soll, noch die ausdrückliche Voraussetzung beifügen, dass die 6 Secanten a^, . . . . &g der B^ nicht einer Regel- schaar angehören dürfen. Es folgt dann aber:
»Die ü' ist die einzige Raumkurve, welche als »feste** Kurve in unserer (speciellen) Transformation auftreten kann.*
Wählt man 2 der 3 Geraden in einem Raum z. B. &j und b^ so, dass sie sich schneiden, so ist der Schnittpunkt derselben ein Doppelpunkt für die Fläche 3. Ordnung, welche einer Ebene im andern Raum entspricht. Auf diese Weise
1894. M«Ui.-pbya. Gl. 1. 4
50 SUgung der mathrphys. Glosse vom 13, Januar 1894,
kann man verschiedene Typen der Fläche 3. Ordnung durch die Transformation erhalten.
7. Sind die 3 bilinearen Gleichungen 6) allgemeiner Natur und setzt man in ihnen
ö^fc = a»^; bik = bki; Cik = Ch{
so erhält man, wie Nöther 1. c. pag. 556 bemerkt, die Hesse'sche Transformation, bei welcher jedem Punkte des Raumes sein conjugierter in Bezug auf ein Netz von Flächen 2. Ordnung entspricht. Denn die Gleichungen 6) lassen sich dann auffassen als die Polarebenen eines Punktes y in Bezug auf die 3 Flächen 2. Ordnung
2aikXiXh=^o\ 2baXiXk=^ o; ScaXiXk = o
Diese Raumtransformation ist natürlich iuvolutorisch. Herr Professor Bauer hat mich nun, nachdem ich ihm diese Bemerkungen vorgelegt hatte, noch auf folgende weitere Specialisierung aufmerksam gemacht. Nimmt man statt der eben genannten Flächen 2. Ordnung 3 Ebenenpaare, so be- schreiben die Polarebenen eines Punktes Ebenenbüschel um die 3 Schnittlinien eines jeden solchen Paares. In der Tat verschwinden unter dieser Voraussetzung für die Fläche 2. Ord- nung ja ausser der Determinante auch noch die sämmtlichen ünterdeterminanten 3. Ordnung, sodass also die Form nach dem Frühern eben als zweiteilige darstellbar wird. Natürlich ist auch diese speciellste Transformation involutorisch. Die Geraden a^, a^, a^ fallen zusammen mit b^^ b^^ b^^ wie über- haupt das System der singulären Elemente in beiden Räumen zusammenrückt.
51
Sitiung vom S. Februar 1894.
1. Herr C. v. Kupffer teilt die Resultate seiner Unter- suchungen: «über Monorhinie und Amphirhinie*^ mit.
2. Herr Ad. y. Baeter hält einen Vortrag: .über Terpenthinöl*.
Die Ergebnisse sollen an einem anderen Orte veröffent- licht werden.
üeber Monorlünie und AmphirMiiie.
Von C. Kupffer.
(Bingdaufen 8. Februar.)
Die von Johannes Müller in seiner berühmten Mono- graphie über die Myxinoiden als Cyclostomata zusammen- gefasste Gruppe der Kranioten nimmt nach ihrer gesammten Organisation jedenfalls eine sehr tiefe Stelle ein. Es fehlt ihnen jede Spur von paarigen Extremitäten und von Wirbel- korpem, wenn auch bei den erwachsenen geschlechtsreifen Petromyzonten in der bindegewebigen Scheide der Chorda dor- salis Anfange oberer Wirbelbögen in Form unregelmässiger Enorpelstücke auftreten. Sehr eigenartig erscheint auch der Kiemenapparat. Aber diese Verhältnisse am Rumpfe sind bei der Frage, welche Stellung diesen Tieren im Systeme anzuweisen sei, von minderem Gewichte gewesen, als die Verhältnisse am Kopfe und hier namentlich der Mangel an Kiefern und die unpaarige, mit nur einer äusseren, dorsal gelegenen Oeffnung versehene Nase.
4*
52 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3. Februar 1894.
Ein Teil der Zoologen, unter diesen namentlich Ernst HäckeP) scheidet diese unpaarnasigen kieferlosen Eranioten (Monorhina oder Cyclostomata) ganz von den Fischen und betrachtet dieselben als Repräsentanten einer tief stehenden Seitenlinie, von welcher sich die mit den Fischen beginnende Hauptlinie der übrigen Eranioten, die als Eiefermäuler, Gnathostomen, auch als Paarnaser, Amphirhinen, bezeichnet werden, scharf absetze. — Andere Zoologen, ihnen voran Th. Huxley, gehen in der Scheidung lange nicht so weit. Huxley*) rechnet dieselben Tiere (Marsipobranchii) zu seiner Elasse der Fische und ist der Ansicht, dass ihnen nicht jede Spur von Eiefern fehle, sondern dass Teile ihres völlig aus- gebildeten Eopfskelettes, wenn auch rudimentär, doch Teilen des Eiefergerüstes der Gnathostomen homolog seien. — Von unseren EoUegen steht Herr EoUege R. Hertwig') mehr auf der Seite von Häckel, indem er in seinem Lehrbuch die Rundmäuler als besondere Elasse von der Elasse der Fische scheidet, während Herr Eollege von Zittel*) sich der Auf- fassung Huxley's anschliesst.
Ich habe mich in den letzten Jahren nach verschiedenen Seiten hin mit der Entwicklungsgeschichte einer Familie der Cyclostomen, der Petromyzonten beschäftigt und muss hervor- heben, dass meine Beobachtungen der Hauptsache nach dahin auslaufen, den Abstand, der zwischen den Cyclostomen und Gnathostomen obzuwalten scheint, auszugleichen. Das gilt namentlich für die Verhältnisse am Eopfe, welchen die Hauptargumente für eine scharfe Sonderung beider Gruppen
1) E. Häckel, Natürliche Schöpfungsgeschichte, 8. Aufl., 1889, S. 698 ff. — Anthropogenie, 4. Aufl., 1891, S. 631 ff.
2) Th. Huxley, Journal of Anatomy and Physiology, Vol. X, 1876, p. 412.
3) R. Hartwig, Lehrbuch der Zoologie, 1. Aufl., II. Teil, S. 484.
4) K. V. Zittel, Handbuch der Palaeontologie, I. Abt., III. Bd. 1887, S. 56.
r. Kupffer: lieber Monorhinie und Ämphirhinie, 53
eutnomiuen wurden. Der Kopf der Cyclostomen und Unpaar- naser ist nicht in dem Grade von dem Kopfe der Gnathostomen und Paarnaser verschieden, als es den Anschein hatte, denn die Embryonen und jungen Larven der Neunaugen zeigen die Anlagen von Kiefern und die Embryonen der paarnasigen Gnathostomen, bis zu den Säugetieren hin, weisen den redu- zierten Rest einer unpaarigen Nasenanlage auf.
Besonders eignen sich die Embryonen der Neunaugen dazu, den zeitweiligen Bestand eines vordersten Darmteiles darzuthnn, der zwar von einigen Embryologen hypothetisch vorausgesetzt, aber bisher nicht nachgewiesen war. Diesen Darmteil habe ich als präoralen Darm bezeichnet. Der- selbe erstreckt sich bei diesen Embryonen vor der Bildung des Mundes an der Unterseite des Hirnes bis zu jenem Punkte des äusseren Keimblattes d. h. der Oberhaut, an welchem durch Einstülpung die Hypophysis entsteht. Dieser Punkt, liegt ventral von der Platte, die die Anlage des unpaarigen Riecborgans darstellt. Weiter rückwärts und ventral bildet sich der Mund und mit der Ausdehnung dieses bei den jungen Larven der Neunaugen sehr geräumigen Blindsackes wird der praorale Darm von dem bleibenden Kiemendarme, gegen welchen der Mund sich eröffnet, abgetrennt. Der derart isolierte präorale Darm erfährt dann eine Rückbildung bis zum völligen Schwunde seiner Elemente. Früh aber, noch vor dem Auftreten des Mundes, entstehen an dem präoralen Darme, wie an der Region des Darmes, die als Kiemendarm sich erhält, seitliche symmetrische Ausstülpungen und zwischen diesen Taschen Bogenbildungen des mittleren Keimblattes. Diese Bildungen schliessen sich serial an einander und dürfen als homodynam gelten. Es entstehen also auch präorale Kiementaschen und präorale Kiemenbögen mit Aortenbögen. Erstere sind rudimentäre Bildungen und gehen mit dem prä* oralen Darme zu Grunde, die präoralen Kiemenbögen erhalten sich aber und verwachsen sekundär mit einander. Dieser
54 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 3, Februar 1894,
präoralen Tascben und Bogen zähle ich ursprünglich drei Paare. Aus dem vordersten deutlich nachweisbaren Bogen- paare entstehen Knorpel und Muskeln und zwar das Paar der knorpeligen Schädelbalken, sowie die Hauptmasse der Augenmuskeln, die also nicht dorsale Muskeln sind, wie bisher angenommen war, sondern ventrale, zur Kategorie der Kiemenmuskeln gehörige, mit denen sie auch histologisch übereinstimmen.
Huxley^) hat bereits 1869 in seinen Hunterian lec- tures es ausgesprochen, dass die Schädelbalken zu den ven- tralen Bogenbildungen , den Visceral- oder Kiemen bögen gehörten und diese Hypothese kann ich nunmehr embryo- logisch begründen. Auf den vordersten Bogen, den ich als Trabeknlarbogen bezeichne, folgen noch zwei Bogenpaare vor der vordersten postoralen Kiementasche, der Hyomandibulartasche, und dürfen darnach als Oberkiefer- gaumenbogen und als Unterkieferbogen bezeichnet werden, aber ihre Stellung ist bei den Neunaugen eine eigenartige. Der präorale Darm schnürt sich nämlich vor seiner Ab- trennung stark ein und damit wird der unmittelbar vom auf die Hyomandibulartasche folgende Bogen, der Unter- kieferbogen, weit medialwärts und sogar vorwärts verlagert, so zwar, dass man, wenn dieser Vorgang nicht kontinuierlich verfolgt wird, den Palatinbogen für den Unterkieferbogen halten könnte. — Diese beiden hinteren Bogenpaare liefern bei den Ammocöten nicht Knorpel, sondern nur Muskeln und Bindegewebe und ich bin noch nicht in der Lage, ein Urteil darüber abgeben zu können, ob die von Huxley den Kieferbögen der Gnathostomen verglichenen knorpeligen Teile am Schädel der ausgebildeten Neunaugen diesen embryo- nalen Bögen entsprechen. Diese Entscheidung vorbehalten, ist aber jedenfalls soviel sicher, dass die Anlagen von
1) Hunterian lectures, in Medical times and Gazette, London 1869.
t?. Kupffer: lieber Monorhinie und Ämphirhinie. 55
Kieferbogen den Cyclostomen in derselben Ausdehnung zu- kommen, wie den Gnathostomen.
Die unpaarige, eine mediane Oeffhung zeigende Nase der Cyclostomen hat verschiedene Deutungen erfahren. Die ursprüngliche Auffassung war die, dass das Organ einen ein- fachen median gelegenen Sack darstelle, von welchem aus ein Canal, der Nasengaumengang sich nach hinten erstrecke. Dieser Gang hört bei der Familie der Petromyzonten hinten blind auf, bei den Myzinoiden aber durchbricht der Canal das Dach des Darmrohres und kommuniziert frei mit dem- selben. Götte hat nun dargethan, dass ein Rest dieses Nasengaumenganges der IJnpaarnaser sich als der sogenannte Himanhang, die Hypophysis, bei den Paamasem erhalte, und A. Dohrn wies nach, dass das Riechorgan und der Gang genetisch gesondert werden müssen. Beide Teile bilden sich getrennt, das Riechorgan mehr dorsal und der Gang, der nun- mehr als Hypophysis bezeichnet wird, entsteht ursprünglich näher dem Munde, als der Nase, aber indem mit diesen Or- ganen die sie trennende Partie der Oberhaut mit eingestülpt wird, erhalten beide eine gemeinsame äussere Oeffnung. — Noch vor der Publikation Dohm's hatte bereits Galberla auf der Naturforscher- Versammlung in München 1877 darauf hin- gewiesen, dass Nase und Hypophysis als getrennte Grübchen auftreten. Galberla^) fügte daran weitere Aufschlüsse. Er gab an, dass der Riechsack nicht unpaarig ist, sondern durch ein von der oberen Wand ausgehendes Septum in zwei sym- metrische Abteilungen geschieden werde, zu welchen durch besondere Oeffhuogen der knorpeligen Kapsel des Organs die von vom herein paarigen Riechnerven treten. Bei der Um- wandlung der Larve zum Geschlechtstier werde die Scheide-
1) Calberla, Zur EntwicklungagescMchte des Petromyzon. Amt- licher Bericht der 60. Versammlung Deutscher Naturforscher und Aerzte in München, 1877, 8. 188.
56 Siteufig der maihrphys, Glosse vom 3. Februar 1894,
wand knorpelig. Die Duplicität sei also nicht zu verkennen und es müssten deshalb die Petromyzonten als Amphirhinen bezeichnet werden. Götte, der dem Vortrage beiwohnte, bestätigte diese Angaben. In der That lässt sich das Septum leicht nachweisen, nur ist es nicht vom Beginne der Ein- stülpung an da, wie Calberla angab, selbst 5 — 6 mm lange Larven von P. Planeri zeigen noch keine Spur dieser Teilung. Ebenso unrichtig ist es, wenn Calberla den Nasengaumen- gang, d. h. die Hypophysis, erst paarig entstehen und nach- träglich aus der Vereinigung einer doppelten Einstülpung den unpaarigen Gang sich bilden lässt.
In neuester Zeit hat sich W. His^) über das Riechorgan von Petromyzon ausgesprochen und eine Abbildung des Organs mit den beiden Riechnerven nach einem Frontalschnitte ge- geben. His bezeichnet das Organ als paarig und die zu beiden Seiten des Septum gelegenen Buchten als die sym- metrisch angelegten Riechgruben, zu welchen die Riechnerven vom Hirne aus divergierend sich erstrecken. Ganz zutreffend hebt er aber hervor, dass diese Höhle mit ihrer einfachen Eingangsöffnung der Nasenhöhle der übrigen Wirbeltiere morphologisch nicht gleichwertig ist. Er meint, dieselbe wäre wohl am besten als Gesichtshöhle zu bezeichnen und ihre Rückwand entspräche der Stirn- und oberen Gesichts- fläche anderer Wirbeltiere. — Ob nun die beiden Riechgruben von Petromyzon den Riechgruben der Amphirhinen morpho- logisch gleichwertig zu erachten seien, darüber äussert His sich nicht.
Wenn man nun weiss, dass die erste Anlage des Riech-
1) W. His, Die Entwicklung der menschlichen und tierischer Physiognomien. Archiv fiir Anatomie und Physiologie, Anat. Abt., 1892, S. 421.
Derselbe, Ueber das frontale Ende des Gehirnrohres. Daselbst, 1898, S. 168.
t?. Kupffer: lieber Mofwrhinie und Amphirhinie. 57
Organs bei PetromyzoD dnrchaas nicht paarige Einstülpungen zeigt, sondern eine einfache Epidermisplatte darstellt, die ohne irgend welche Unterbrechung über die Mittelebene sich hin* weg erstreckt, in der Mitte keine Leiste, noch sonst eine die beiden Hälften trennende Marke zeigt, so bleiben für die Deatung des weiter entwickelten Organs und seiner Teile Unklarheiten bestehen und es wird erforderlich, die Ent- wicklungsgeschichte eingehender zu Rate zu ziehen. Das kann nicht geschehen, ohne dass zugleich die Entwicklung der Eopfnerven überhaupt Berücksichtigung fände, deren vorderstes Paar die beiden Riechnerven darstellen.
Der Entwicklungsgang der Kopfnerven und ihrer Ganglien ist ein komplizierter, es beteiligen sich daran Anlagen ver- schiedener Herkunft, je eine centrogene und eine kutane, die letztere wird von einer verdickten Platte resp. einem Wulst oder Hügel der Oberhaut geliefert. Die centrogene Anlage, aus der dorsalen Neuralleiste des Centralorgans hervorgehend, erreicht die entsprechende kutane Anlage, dann löst sich die tiefere Zellenschicht der letzteren ab und vereinigt sich mit der centrogenen Anlage zur Bildung eines Ganglions des betrefPenden Nerven. Es findet also bei der Bildung der Kopfganglien eine centripetale Verlagerung von ursprünglich peripheren Zellen statt, die den Wert von Nervenzellen haben. Nun wäre es bequem, diese Verdick- ungen der Oberhaut, die sich an der Ganglienbildung be- teiligen, einheitlich zu bezeichnen. Ich schlage dafür den Ausdruck Piakode ^) vor. — Es bilden sich am Kopfe zwei Reihen solcher Plakoden, eine dorso-laterale Reihe und eine epibranchiale.. Beide Reihen konvergieren nach vom gegen eine vordere terminale Piakode, die sich sowohl bei Mono- rhinen, wie bei Amphirhinen findet. Bei den Monorhinen, speziell bei Petromyzon stellt dieselbe die Anlage des un-
1) lIXaxwdtjg, es, kuchenurtig, platten artig.
58 Sitzung der math.'phys, Glosse vom 3. Februar 1894,
paarigen Riechorgans dar und wird eingestülpt; bei den Amphirhinen ist dieselbe zeitweilig vorhanden; ich^) habe sie bei vielen Enorpelganoiden, beim Frosch, ja bei Sange- tieren nachgewiesen. Schafembryonen, an denen die Rachen- haut noch nicht gegen den Darm durchgebrochen ist, zeigen dieselbe in starker Ausbildung. Später aber verschwindet diese unpaarige Riechpiakode bei den Amphirhinen, ihre Stelle würde der unteren mittleren Stirnregion entsprechen. Diese terminale Piakode beansprucht noch ein weiteres Inter- esse, insofern sie das Feld darstellt, innerhalb welches das Hirn vor seiner vollständigen Isolation mit der Oberhaut zusammenhängt und entweder durch ein Loch nach aussen mündet oder durch einen massiven Strang befestigt ist. Diese letzte Verbindungsstelle ist das vordere Axenende des Hirnes. Damit ergiebt sich ein Anschluss an Amphioxus, bei welchem Tiere ja noch spät das Neuralrohr vorn eine Oeflfhung besitzt, den vorderen Neuralporus, der sich innerhalb eines trichter- förmig eingesenkten Feldes der Oberhaut befindet, einer Qrube, die bereits vor Decennien von KöUiker als unpaarige Riechgrube beschrieben worden ist. Auch dort aber ist die Verbindung und Communication des Hirnes mit diesem Sinnes- organ keine bleibende, das Hirn trennt sich von der Grube, bleibt aber mit dem Boden derselben in Berührung.
So zeigt sich in einem wesentlichen Punkte Ueberein- stimmung von Amphioxus an bis zu den Amnioten: das Ende der Hirnaxe läuft vorn gegen eine terminale Piakode aus, welche sich bei Amphioxus und den Monorhinen zu einem Sinnesorgan gestaltet, bei den Amphirhinen als Rudi- ment des gleichen Organs sich bis zum völligen Schwunde zurückbildet.
Da dieses terminale Organ bei Amphioxus am wahr-
1) Studieo zur vergl. Entwicklungsgeschiclite des Kopfes der Eranioten, Manchen 1893» S. 77.
t?. Kupffer: üeber Monorhinie und Ämphirhinie, 59
scheinlichsten als Riechorgan gedeutet werden kann und da dieselbe Piakode bei den Monorhinen in die Bildung des allgemein als Riechorgan anfgefassten Sackes übergeht, so habe ich dieselbe als unpaarige Riechpiakode bezeichnet.
An diese schliesst sich in der dorso-lateralen Reihe bei allen Amphirhinen dasjenige Plakodenpaar an, aus welchem die paarigen Riechgrübchen sich bilden, dann folgt das Paar, welches sich an der Bildung des vorderen Trigeminusganglions beteiligt und weiter die Plakoden für die übrigen Haupt- ganglien. In der zweiten, weiter ventral gelegenen, epi- branchialen Reihe, folgt auf die unpaarige Riechpiakode die- jenige, aus welcher die Linse entsteht und in engstem An- schlüsse an letztere abermals Ganglienplakoden.
Alle drei Riechplakoden haben das gemeinsam, dass aus denselben keine Ganglien entstehen, sondern dass ihre Nerven- zellen, wie die Histiologie heute lehrt, peripher im Epithel des Sinnesorgans verbleiben.
Aus den paarigen Riechgruben entwickeln sich, wie Kölliker und His beobachtet haben, die paarigen Riechnerven in centripetaler Richtung. Ein unpaarer Riechnerv tritt bei den Amphirhinen nicht auf. — Bei Petromyzon besteht bei ganz jungen Larven von 3*/» — 4 mm Länge ein bald ver- schwindender medianer, einige Kerne enthaltender Fibrillen- strang, der die Kuppe des Riechsackes mit dem vordersten Himende, dem lobus olfactorius impar verbindet. Wenn der- selbe verschwindet, leitet sich die Bildung der paarigen Riech- nerven ein und diese sind ohne Zweifel den paarigen Riech- nerven der Amphirhinen homolog.
Nun besteht also die Schwierigkeit für die Vergleichung, dass das gleiche Nervenpaar bei den Amphirhinen den paarig auftretenden Riechgruben, bei den Monorhinen dem zunächst jedenfalls unpaarig erscheinenden Riechsacke angehört. Es wirft sich also die Frage auf, ob bei den Monorhinen, speziell bei Petromyzon neben der unpaarigen noch paarige Riech-
60 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 3, Februar 1894.
plakoden nachweisbar seien und diese Frage kann ich be- jahen. Die gesuchten Bildungen lassen sich embryologisch ganz scharf definieren, als Verdickungen der Epidermis, die innerhalb der dorso- lateralen Plakodenreihe zwischen der terminalen Piakode und der vorderen Trigeminusplakode ihre Lage haben; und solche sind vorhanden. Sie sind bei Petro- myzon erst schwach entwickelt und an der Innenseite durch eine Furche von der unpaarigen Riechpiakode scharf ab- gesetzt. Bei der fortschreitenden Einstülpung der letztge- nannten werden sie aber mit in die Bildung des Biechsackes einbezogen. Sie liefern also die lateralen Partien des Riech- sackes, welche später zu den seitlichen Buchten des durch ein Septum unvollständig geteilten Sackes werden. Im Bereich des mittleren Feldes aber, das der unpaarigen Riechpiakode entspricht, entsteht das Septum und es ist fraglich, ob sich an demselben, wenigstens in ganzer Ausdehnung, das Riech- epithel enthält.
So fehlt also auch hinsichtlich des Riechorgans eine scharfe Scheidung zwischen Monorhinen und Amphirhinen. Allerdings ist die paarige Nase nicht vollständig derjenigen der Petromyzonten homolog, sondern nur teilweise, denn in die Bildung des Riechsackes der letzteren gehen drei Plakoden ein, das Geruchsorgan der Amphirhinen entsteht dag^en nur aus den lateralen Plakoden, die mittlere föllt dabei ganz aus. Petromyzon stellt also ein verbindendes Glied dar zwischen den reinen Monorhinen, welche aber in der Gegen- wart wohl nur durch Amphioxus noch repräsentiert sind, und den reinen Paamasern, bei welchen die unpaarige Riech- plakode nur während kurzer Entwicklungsperiode noch nach- weisbar ist. Die Ausschaltung der terminalen unpaarigen Piakode bei der Bildung der Nase der Gnathostomen steht wohl im Zusammenhange mit der Ausbildung des Eieferappa- rates und der fortschreitenden Rückbildung der Hypophysis.
61
Sitzung vom 3. März 1694.
1. Herr Leonhard Sohncke macht eine Mittheilung: , Gewitterstudien auf Grund von Ballonfahrten**. Dieselbe wird in den Denkschriften erscheinen.
2. Herr Eugen y. Lommel legt eine in seinem Institut ausgeführte Arbeit des Herrn B. W. St ankewitsch, a. o. Professor an der Universität Warschau: „Experimentelle Beiträge zur Kenntniss der dielectrischen Polari- sation in Flüssigkeiten* vor.
3. Herr Gustav Bauer bespricht eine Arbeit des Herrn Privatdozenten Dr. Hermann Brunn: , Exakte Grundlage für eine Theorie der überall convex begrenzten Ge- bilde* und überreicht ein Referat über dieselbe.
4. Herr Ad. v. Baeyer hält einen Vortrag: «über Kümmelöl*. Die Resultate seiner Untersuchung werden an einem anderen Orte zur Veröffentlichung kommen.
63
Experimentelle Beiträge zur Kenntniss
der dielectrischen Polarisation in Flüssigkeiten.
(Vorläufige Mitfcheilung.)
Von B. W. StankewitBch, a. o. Prof«B8or an dar k. ünivenitilt Warschau.
(JUngtlau/m 8. Märt.)
Gegen das Ende der Sommerferien 1893 unternahm ich, der liebenswürdigen Erlaubniss des Herrn Professor Dr. von Lommel gemäss, eine experimentelle Arbeit über dielectrische Polarisation in Flüssigkeiten im Physikalischen Institute der Universität München. Die Arbeit ist jetzt beendigt.
Es ist mir eine angenehme Pflicht, den Herren Profes- soren Dr. von Lommel und Dr. Grätz, sowie dem Herrn Assistenten Dr. Fomm, f&r ihre liebenswürdige Unterstützung im Laufe der Arbeit meinen besten Dank auszusprechen.
Es ist der Zweck dieser Arbeit:
I. eine neue Modification der bekannten „Gapacitäts- methode* (unter Benutzung von Wechselströmen) vorzu- schli^en, die gewisse Vortheile hat, nämlich: A. sie nimmt nur kleine Mengen von Substanzen in Anspruch und ist daher besonders f&r die Untersuchung seltener organischer Flüssigkeiten geeignet; B. sie gestattet nicht nur die Be-
64 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 3, März 1894.
Stimmung der Dielectricitätsconstanten verschiedener Flüssig- keiten in Bezug auf Luft, sondern auch in Bezug auf ein- ander, welcher Umstand ein werthvoUes Mittel zur Controle der in Bezug auf Luft gefundenen Werthe von Dielectricitäts- constanten bietet;
IL zu prüfen, ob nicht bei hinreichender Vervollkomm- nung der mechanischen Unterbrechung des zur Erzeugung von Wechselströmen benutzten primären Stromes (bei hin- reichender Verkleinerung der Ladungsdauer des Gondensators) gute Resultate nach der Capacitätsmethode auch für diejenigen Flüssigkeiten zu bekommen sind, für welche sonst (bei üblicher langsamer Unterbrechung) nur die von den Herren Gohn und Arons vorgeschlagene Methode der Kraftmessung giltig ist; diese Bemühungen blieben, wie aus dem Weiteren zu sehen ist, nicht ohne Erfolg: der zu diesem Zwecke construirte Unterbrecher erlaubt mir sogar für den Alkohol (99°/o) den richtigen Werth der Dielec- tricitätsconstante nach der Capacitätsmethode zu bekommen; nur für den mehr wasserreichen Alkohol (etwa 93®/o) sind die auf diese Weise ermittelten Werthe noch etwas zu gross; für die Flüssigkeiten, deren electrisches Leitungsvermogen kleiner als dasjenige des absoluten Alkohols ist, bekomme ich Werthe, die beinahe mit den von der Kraftmessungs- metfaode gelieferten zusammenfallen;
IlL speciell eine Reihe von Flüssigkeiten zu unter- suchen, für welche die D.C.-en noch nicht bestimmt sind, und welche ihren optischen Eigenschaften nach merkwürdig sind: es sind ätherische Oele, die mit der Eigenschaft, die Polarisationsebene des Lichtes zu drehen, begabt sind.
StankewUsch: Experimentelle Beiträge. 65
A. Apparate.
I. Den wesentlichsten Theil meiner Versuchsanordnung bildet ein Doppelcondensator, bestehend aus drei horizontal über einander gelegten cylindrischen Kupferplatten (Durch- messer der Grundebenen = 15 [cm], Höhe = 0,95 [cm]), die von einander mittelst je drei sehr nahe gleich dicker parallelepipedischen Spiegelglasplättchen getrennt sind (die Dicken der Plättchen betragen: für das der oberen Zwischen- schicht angehörige System 0,1630; 0,1628; 0,1634, im Mittel also 0,1631 [cm]; für das andere System 0,1635; 0,1632; 0,1631, im Mittel also 0,1633 [cm]); die Grundflächen dieser Plattchen sind klein im Verhältnisse zu dem Flächen- inhalte der Grundebenen von Kupferplatten (die gesammte Grundflächengrösse für je ein System von drei Glasplättchen macht ungeföhr den 0,0037 ten Theil des Flächeninhaltes der Qrundebene einer Kupferplatte aus). Von den zwei dünnen Zwischenschichten, welche die Kupferplatten trennen, wird entweder die obere allein mit einer Flüssigkeit gefüllt (zur Bestimmung der D. G. dieser Flüssigkeit in Bezug auf Luft), oder die beiden gleichzeitig mit zwei verschiedenen Flüssig- keiten (Controle- Versuche). Die Idee, solche capillare La- mellen herzustellen, gehört bekanntlich Herrn Christiansen (Wied. Ann., Bd. 14, 1881, S. 23), und ist schon öfters von mehreren Forschem zur Bestimmung der relativen Wärme- leitungsfahigkeit von Flüssigkeiten benutzt. Jedoch geschieht bei meinen Versuchen die Füllung von Zwischenschichten nicht nach der von Herrn Christiansen vorgeschlagenen Weise, sondern es werden die horizontal verlaufenden Spitzen von Trichferröhren von der Seite aus in die Zwischen- schichten eingesteckt.
Der Doppelcondensator ist von einer zur Erde abge- leiteten metallischen „Schutzhülle'' umgeben. Dieselbe ist ans einer 28 [cm] hohen und 26 [cm] breiten Glasglocke
18M. ]üitb.-pli3ra. Ol. 1. 5
66 Sitzung der mathrphys, Classe vom 3, Mars 1894.
hergestellt, deren innere Fläche mit einem Netzwerke ans Stanniolstreifchen belegt ist; die Glocke ruht auf einem ebenfalls mit Stanniol bedeckten Brette, auf welchem auch die untere Kupferplatte liegt (sie bleibt auch stets mit der Erde leitend verbunden). Das Brett ist von einem Gestell mit drei Fussschrauben, welches das horizontale Einstellen der Kupferplatten gestattet, getragen. Die Trichterrohre, sowie Zuleitungsdrähte zu den Kupferplatten gehen durch Löcher, welche durch die Glocke durchgebohrt sind, (die Zuleitungsdrähte durch Paraffinpfropfen).
II. Zur Messung der Potentiale dient ein Mascart'sches Electrometer in ^ Doppelschaltung* (Hallwachs, Wied. Ann., Bd. 29, 1886 , S. 1) unter Benutzung einer etwa 30 [cm] hohen unifilaren Suspension der Nadel mittelst dünnen Platindrahtes und bei Beseitigung der Flüssigkeitsdämpfung (das Stäbchen, welches die Nadel trägt, berührt nicht die Schwefelsäure; letztere dient also ausschliesslich zur Beseiti- gung der Feuchtigkeit im Innern des Electrometergehänses). ünifilare Suspension , sowie Beseitigung der Flüssigkeits- dämpfung sind nämlich, wie Hall wachs gezeigt hat (1. c), für die Festigkeit des , Nullpunktes" und überhaupt für das regelmässige Functioniren des Eiectrometers von sehr grosser Wichtigkeit. Unter diesen Umständen ist die Schwingungs- dauer der Nadel gleich 3,96 [sec]; das Verhältniss der Di- rectionskraft des Platindrahtes zu dem Trägheitsmomente der Nadel beträgt also 0,63 [sec]"^. Es ist aus diesen Zahlen ersichtlich, dass die Empfindlichkeit meines Eiectro- meters verhältnissmässig klein ist. Das bildet aber für mich keinen Uebelstand, weil ich mit hohen Potentialen zu thun habe; indessen hat die kleine Empfindlichkeit den Vortheil, den Nullpunkt fast absolut fest zu machen (wegen grosser Directionskraft des Platinfadens). Das logarithmische De- crement der Nadelschwingungen ist gleich 0,0396 (Luft- dämpfung). Die Beobachtungen am Electrometer geschehen
Stanhetcitsch: Experimentelle Beiträge. 67
mittelst Scala und Fernrohr (Abstand des Spiegels von der Scala = 294 [cm]).
Es sei das eine Quadrantenpaar sowie das Electrometer- gehäuse mit der Erde, das andere Quadrantenpaar und die Nadel mit einander und mit einer Quelle von constantem Potentiale == v verbunden (Doppelschaltung), dann ist, wie Hallwachs gezeigt hat, der Ausschlag gleich
a = av^ + 6t; + c. (1)
Hier bedeutet a die »reducirte** (auf Proportionalität mit den Bögen) Zahl der Scalentheile a, 6, c — Constanten, von denen c immer sehr klein ist: es ist nämlich c dem Producte der beiden kleinen Hallwachs'schen Gonstanten
N\Q und gfi,
(1. c, SS. 4 — 5) proportional. Bei praktischen Anwendungen der Formel (1) kann immer c yernachlässigt werden: diese GoDstante hat nur theoretische Bedeutung (indem sie zur Bestimmung der theoretischen Gonstanten g,, ^^^^nt); ihr Werth kann nur mittelst der, so zu sagen «mikrometrischen^ Methode bestimmt werden, welche von Hallwachs Torge- schlagen ist (1. c, SS. 13—15).
Es sei nun v kein constantes, sondern ein pe- riodisch (mit voller Periode = t) oscillirendes Poten- tial, und zwar derart, dass
jv dt =±
ist. Diese Eigenschaft kommt bekanntlich dem Potentiale am isolirten Ende der Secundärrolle eines Inductoriums zu, wenn das andere Ende der Rolle mit der Erde verbunden ist und in derselben elektrische Schwingungen stattfinden.
68 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 5. März 1894.
Wenn wir das Elektrometer in Doppelschaltang mit dem erwähnten isolirten Pole verbinden, so muss der Aus- schlag, wie es ganz einfache Betrachtungen zeigen, gleich sein
T
0
Das heisst: bei Anwendung der Doppelschaltung zur Energiemessung von Wechselströmen ist der Ausschlag von der Constanten b unabhängig (c aber ist einfach vernach- lässigt worden). Für diesen Fall gilt also anstatt (1) eine einfachere Formel
a^aw\ (2)
wo u^ — das mittlere Quadrat des oscillirenden Potentials v bedeutet. Natürlich wird dabei vorausgesetzt, dass z gegen die Periode der Eigenschwingungen der Electrometernadel sehr klein ist.
IIL Ein in der soeben erwähnten Weise oscillirendes Potential liefert bei meinen Versuchen ein Inductorium, dessen secundäre Rolle die Länge = 31 [cm] und den Durch- messer = 11 [cm], bei dem Widerstände = 41 1 Siem. E., hat. Der primäre Strom ist von einem Qrove-Elemente ge- liefert; der Widerstand der primären Kette kann mittelst eines eingeschalteten Rheostaten variirt werden ; diese Varia- tionen finden in den Grenzen von etwa 10 bis etwa 30 [Ohm] statt.
Als Unterbrecher wurde im Anfange der Arbeit das eine Rad eines Buflfschen Disjunctors (Durchmesser = 5,15 [cm]) mit einer auf ihm federnd schleifenden Bürste aus feinen Kupferdrähten benutzt. Es ist derselbe Unterbrecher, welcher Herrn Dr. Franke bei seiner Untersuchung Über die Ab- hängigkeit der D. C.-en flüssiger Körper von der Temperatur diente (Franke, Inauguraldissertation, Bunzlau 1893; auch: Wied. Ann., Bd. 50, 1893, S. 163). Dieser Unterbrecher
Stanketoitsch: Experimentelle Beiträge. 69
(ich will ihn , Unterbrecher No. P nennen) liefert 8 Unter- brechungen bei einer Umdrehung des Bades; wenn also das Rad n Umdrehungen in einer Secunde macht, so ist die Tolle Periode der Oscillationen von v auf dem isolirtem Pole des Inductoriums gleich
^ = ^[sec];
die Ladungszeit aber eines mit diesem Pole verbundenen Condensators beträgt
T = 16T^ ^''''^' ("')
Die Berechnung der Ladungsdauer nach der Formel (o)) setzt voraus, dass die Bürste stets dicht am Rade liegt. Das kann aber natürlich durchaus nicht bei einer beliebigen Rotationsgeschwindigkeit des B^des der Fall sein : bei grossen Geschwindigkeiten findet ganz sicher das Ueberspringen der Bürste statt, und dann wird die Formel (o)) nicht mehr richtig; das kann zweifellos aus Messungen der D. C.-en von gut leitenden Flüssigkeiten geschlossen werden, wie es weiter unten ausführlich besprochen wird. Und zwar ist es selbstverständlich, dass beim Ueberspringen der Bürste die Formel (w) nur zu kleine Werthe für die Ladungsdauer geben kann.
Es kann also nur bis auf eine gewisse Grenze vortheil- haft sein, die Botationsgeschwindigkeit eines derartigen Unter- brechers zu vergrössern ; nach dem üeberschreiten dieser Grenze kann, wegen der Eigenschwingungen der Bürste, sogar die Zunahme der Ladungsdauer bei Vergrösserung der Geschwindigkeit eintreten.
Nachdem solches Verhalten des Unterbrechers No. I aus den Versuchsergebnissen festgestellt war, wurde ein neuer Unterbrecher construirt, welchen ich ^Unterbrecher No. IP nennen werde. Der Unterbrecher No. II liefert 120 Unter-
70 Sitzung der math.-phya. Glosse vom 3, Mars 1894.
brechungen bei einer Umdrehung; bei n Umdrehungen in der Secunde kann also die Ladungsdauer auf
herabgesetzt werden, wenn nur n eine gewisse obere Grenze nicht überschreitet.
Bei einer massigen Rotationsgeschwindigkeit, die in den Grenzen
von n = lO bis n = 16
liegt, giebt der Unterbrecher No. II sehr gute Resultate.
Der Unterbrecher No. II hat folgende Dimensionen: Durchmesser des Rades =s 13,8 [cm]; seine Breite an der Peripherie = 1,49 [cm]; Länge je eines metallischen resp. isolirenden Streifchens (die nämlich Schliessungen resp. Unter- brechungen des primären Stromes besorgen) ss 0,2 [cm] (das ist die Dimension eines Streifchens in der Richtung der Peripherie des Rades) ; Breite dieser Streifchen (d. h. die der Rotationsaxe des Rades parallele Dimension) ist gleich der Breite des Rades an seiner Peripherie. Wegen kleiner Länge der Streifchen konnte natürlich eine aus feinen Drähten bestehende Bürste nicht mehr benutzt werden; statt dieser wurde ein dünnes 1 [cm] breites Eupferstreifchen angebracht, welches am Ende fein abgeschliflfen und mit 7 Zähnen ver- sehen ist; das Streifchen ist von einer Stahlfeder getragen, und sein abgeschliffenes Ende trifft die Peripherie des Rades unter dem Winkel von etwa 45®.
Die Räder der beiden benutzten Unterbrecher wurden durch eine Hefner-Älteneck^sche Maschine getrieben ; die Maschine von 2 bis 5 grossen Accumulatoren gespeist; kleinere Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeit wurden durch Aen- derungen in einem eingeschalteten Widerstände erzielt.
Die Rotationsgeschwindigkeit der Unterbrecherräder wird mittelst eines Tourenzählers und einer Secundenuhr bestimmt.
StanketDÜsch: Experimentelle Beiträge. 71
Da es meine Absicht war, die Versuche bei einer Reihe von ziemlich verschiedenen Ladungszeiten anzustellen, war es ffir mich von Wichtigkeit, auch sehr langsame elektrische Schwingungen zur Verfügung zu haben. Die beiden Unter- brecher konnten mich aber in dieser Hinsicht nicht befrie- digen: bei sehr kleinen Rotationsgeschwindigkeiten functio- niren sie gar nicht regelmässig (wegen der unter diesen Umstanden zu geringen Trägheit der Räder). Dann habe ich, nach dem Rathe des Herrn Dr. Fomm, eine kleine Hauptschlussmaschine (bezogen von der Anstalt der Allge- meinen Elektricitäts-Oesellschaft zu Berlin, No. 2839) zur Erzeugung des oscillirenden primären Stromes benutzt, indem dieselbe in eine Wechselstrommaschine dadurch verwandelt worden ist, dass von zwei gegenüberliegenden Collectorstreifchen durch Bürsten stetig der Strom abge- nommen wurde. Die Resultate erwiesen sich als sehr gut: wenn die Maschine von 30 Akkumulatoren gespeist ist, macht der Gramm^sche Ring von 4,5 bis 7 Umdrehungen in einer Secunde; der von der Maschine für das Inductorium geUeferte primäre Strom bietet von 9 bis 14 Wechsel der Richtung in einer Sekunde, und die vom secundären Strome bedingte Ladungsdauer des Condensators beträgt
von 1^ bis -J- [sec].
Dabei sind aber die Schwingungen der die Energie des secundären Stromes messenden Electrometemadel merk- würdig regelmässig, und die Berechnung einer Gleich- gewichtslage aus Umkehrpunkten gibt eine auffallende Ge- nauigkeit: öfters kommt es vor, dass die vier aus fünf Umkehrpunkten berechneten Gleichgewichtslagen bis auf ein Zehntel eines Scalentheiles übereinstimmen, und zwar bei grossen Schwingungsamplituden. Indessen, wie aus den weiter unten mitgetheilten Zahlen ersichtlich ist, be- kommt man unter Anwendung der Wechselstrommaschine
72 Sitzung der math.'phys. GliMse vom 3. März 1894.
für die D.C.-en von gut iolirenden Flüssigkeiten sehr nahe richtige Werthe. Ich kann also die Anwendung dieser Maschine als ein sehr elegantes Mittel zur Untersuchung der dielectrischen Polarisation in gut isolirenden Sub- stanzen empfehlen.
Beinahe eben so regelmässig sind die Sch^ngungen der Electrometemadel bei Anwendung des Unterbrechers No. II, wenn nur die Rotationsgeschwindigkeit innerhalb der oben mitgetheilten Grenzen liegt.
Was den Unterbrecher No. I betriflPt, so functionirte er überhaupt bei Weitem nicht so regelmässig wie der Unter- brecher No. II. Dieser Umstand ist selbstverständlich dem kleineren Schwünge seines Rades zuzuschreiben. Der Unter- brecher No. I wurde von mir nur im Anfange der Arbeit benutzt, später aber ganz verlassen.
IV. Zur Herstellung von verschiedenen Verbindungen zwischen dem Doppelcondensator, dem Electrometer und dem Inductorium dient mir ein Commutator aus Paraffin. Der- selbe gestattet:
1) die obere und mittlere Platte des Doppelcondensator» zur Erde abzuleiten (die untere Platte, wie schon erwähnt, bleibt stets mit der Erde verbunden);
2) die obere Platte mit dem isolirten Pole des Induc- toriums (der andere Pol stets zur Erde abgeleitet) und gleichzeitig die mittlere Platte mit dem Electrometer in Verbindung zu setzen;
3) das Electrometer allein mit dem erwähnten freien Pole des Inductoriums zu verbinden;
4) das Electrometer mit der oberen Platte und mit dem Inductorium zu verbinden, indem die mittlere Platte isolirt bleibt (NB.: die Anordnung für diese letzte Com- bination wurde nur bei den Vorversuchen benutzt; da sie
Stanketoiisch: Experimentelle Beiträge. 73
sich als nicht nöthig erwiesen hat, wurde sie später be- seitigt).
Alle Verbindungen sind mittelst sehr dünner Messing- drähte hergestellt; zur Unterstützung derselben sind paraffi- nirte Glasstäbchen und Seidenfäden benutzt.
B. Messungsverfahren.
Nennen wir die obere Zwischenschicht des Doppel- condensators — , Schicht No. 1", die untere — ^Schicht No. 2V
Nehmen wir weiter die Capacität des aus der oberen und mittleren Kupferplatte bestehenden Condensators, wenn die Luft die betreffende Zwischenschicht füllt, als Einheit der Gapacitäten an, dann ist die Capacität des von der mittleren und unteren Platte gebildeten Luftcondensators auch (sehr nahe: s. oben) gleich Eins. Wenn aber die Schichten No. 1 und 2 mit Flüssigkeiten von D. C.-en d^ resp. d^ er- fallt sind, so sind die Gapacitäten der beiden Gondensatoren gleich d^ resp. ö^.
ISs sei noch y die als constant vermuthete Capacität des Electrometers in Doppelschaltung -f- Capacität des Paraffin- commutators 4~ Capacität gesammter Zuleitungsdrähte.
Es seien jetzt die beiden Zwischenschichten mit Flüssig- keiten {öj^ und d^) gefüllt; alle Platten und Electrometer seien zunächst mit der Erde verbunden, dann aber Electro- meter und mittlere Platte isolirt und miteinander verbunden, während die obere Platte bis auf das Potential =s V geladen wird. Dann bekommt die mittlere Platte ein kleineres Po- tential =f;, welches am Electrometer gemessen wird. Wenn wir nun annehmen, dass die beiden Flüssigkeiten und alle benutzten isolirenden Stützen vollkommene Isola- toren seien, so muss offenbar die Gleichung
74 Sitzung der tnath.-phys. Glosse vom 3. März 1894,
oder
(F:r)-l = (d, + y):«J, (3)
bestehen.
Natürlich kann unsere Voraussetzung in Wirklichkeit nie in ganzer Strenge erfüllt werden. Man vermuthet jedoch, dass diesem ideellen Falle um so mehr genähert wird, je kleiner die Ladungsdauer ausfällt. Darauf beruht die Anwendung von Wechselströmen zur Bestimmung der D. C.-en; die Vermuthung wird von der Erfahrung be- stätigt.
Es sei die obere Platte mit dem freien Pole eines In- ductoriums, in welchem elektrische Schwingungen vor sich gehen, verbunden; die mittlere Platte aber isolirt und mit einem Electrometer in Doppelschaltung verbunden.
Das Potential der oberen Platte V ist dann eine perio- dische Function der Zeit t mit der Periode = t; das Po- tential der mittleren Platte v ist ebenfalls eine periodische Function von t und zwar mit derselben Periode.
Wenn wir nun
T
0
und T
l^v^dt^
0
setzen, so wird anstatt der Gleichung (3) die folgende be- stehen :
(Tr:u»)-l = (d, + y):d,. (4)
Auf unvollkommene Isolatoren angewandt gilt die Glei- chung (4) nur angenähert; der oben ausgesprochenen Ver- muthung gemäss ist aber die Annäherung um so grösser, je kleiner r gemacht wird.
Stanketcitsch: Experimentelle Beiträge. 75
Die Grösse w ist nun unmittelbar von dem mit der mittleren Platte verbundenen Electrometer gegeben; und zwar kann sie nach der Gleichung (2) (Abschnitb A, Artikel U) aus dem Werthe des Ausschlages a berechnet werden.
Wie aber kann die Bestimmung von TT geschehen ?
Das geschieht ganz einfach im Falle, wo die zwei fol- genden Voraussetzungen berechtigt sind : 1) dass die «electro- statische Oapacität* der secundären Bolle des Inductoriums sehr gross gegen die von uns angenommene Gapacitätseinheit erscheint; 2) dass die elektrischen Schwingungen im Induc- torium ganz regelmässig vor sich gehen und keine merkliche Aenderung während der zu den weiter beschriebenen Mani- pulationen nöthigen Zeit erfahren.
Nehmen wir für einen Augenblick an, dass die beiden Voraussetzungen erfüllt seien ; dann verfahren wir folgender- massen:
Nachdem der Ausschlag a bestimmt ist, trennen wir sowohl das Electrometer als auch das Inductorium von un- serem Doppelcondensator ab und verbinden sie miteinander. Dann entspricht offenbar der neue Ausschlag der Nadel (nennen wir ihn Ä) dem Potentiale W^ d. h. es besteht dann die Gleichung
In diesem Falle ist also
und die Gleichung (4) wird zu
(V^:yä)-l = (<J, + y):<Jj. (5)
Wenn aber die erste von den oben erwähnten Vor- aussetzungen nicht berechtigt ist, so kann die „electro- statische Capacität* des Inductoriums experimentell bestimmt, und ihr Werth in der von uns angenommenen Einheit an- gegeben werden. Dann kann man, jedoch unter der An-
76 Sitzung der math.'phys. Classe vom 3. März 1894,
nähme, dass die zweite von jenen Voraussetzungen doch richtig ist, das oben beschriebene Verfahren noch anwenden; nur die Formeln werden in diesem Falle ein wenig com- plicirter, indem die .electrostatische Capacitat' des Induc- toriums in die Gleichungen eintritt. Diese complicirteren Formeln theile ich nicht mit, weil bei meinen Versuchen die erste Voraussetzung so nahe erfüllt war, dass die »electrostatische Capacität* des Inductoriums wegen ihrer Grösse gegen die oben angenommene Capacitätseinheit nicht geschätzt werden konnte. Beim Anfange der Arbeit habe ich mehrmals versucht diese Gapacität zu bestimmen, indem ich folgendermassen verfuhr: ich bestimmte den Ausschlag des Electrometers bei der im Abschnitte A, Artikel IV, unter 3) bezeichneten Verbindung; dann wurde auf die unter 4) bezeichnete Verbindung commutirt und der Ausschlag von neuem bestimmt; dabei hat sich aber bei einer ziemlich grossen Anzahl derartiger Versuche kein Unterschied zwischen den Grössen der beiden Ausschläge ergeben. Des- halb betrachte ich es als berechtigt das oben mitgetheilte vereinfachte Verfahren anzuwenden und zur Berechnung der Versuchsergebnisse die Formel (5) zu benutzen. Was aber die zweite von den oben erwähnten Voraussetzungen be- trifft, so konnte sie bei meinen Versuchen nur ausnahms- weise, in durchaus seltenen Fällen, nicht erfüllt sein. Die Bürgschaft dafür ist erstens die grosse Regelmässigkeit des Functionirens der Wechselstrommaschine und der beiden Unter- brecher (bei passenden Rotationsgeschwindigkeiten), welche Regelmässigkeit aus dem Verhalten der Ausschläge der Electro- metemadel wohl erkennbar ist; zweitens aber auch gute üebereinstimmung zwischen den Ergebnissen einzelner Be- obachtungen. Und zwar ist die Regelmässigkeit am grossten bei der Wechselstrommaschine, dann beim Unterbrecher No. II; dem Unterbrecher No. I kommt in dieser Hinsicht die letzte Stelle zu.
Stankemtsch: Experimentelle Beiträge, 77
Mein Verfahren besteht also im Folgenden:
I. Ich beginne mit der im Abschnitt A, Artikel IV unter 1) bezeichneten Verbindung, um die Möglichkeit zu- falliger Elektrisirung der Platten beim Anfange des Versuches aoszuschliessen ;
IL dann commutire ich auf die Verbindung, welche unter 2) angedeutet ist, und bestimme den Ausschlag a;
TU. schliesslich commutire ich auf die unter 3) bezeich- nete Verbindung und bestimme den Ausschlag A,
Um die ganze Manipulation möglichst kurz zu machen, was Ton grosser Wichtigkeit ist, werden die Gleichgewichts- lagen aus Schwingungen bestimmt, nämlich aus 3 oder 5 ümkebrpunkten ; för die Verkürzung der Dauer des Ver- fahrens ist der Umstand sehr günstig, dass die Schwingungen der Nadel meines Electrometers sehr rasch sind (s. oben). Das Abwarten des Eintretens der thatsächlichen Ruhe der Nadel raabt sehr viel Zeit, da die Luftdämpfung nur gering ist (s. oben), und kann deshalb gar nicht empfohlen werden. Zur Erleichterung der Berechnung von Gleichgewichtslagen aus Umkehrpunkten habe ich eine Hilfstabelle construirt.
Die Berechnung von Versuchsergebnissen geschieht nach der Formel (5). Dass diese Berechnung, wenn sie sich auf leitende Flüssigkeiten und dabei auf langsame elektrische Schwingungen bezieht, nur ganz illusorische Werthe für die D.C.-en geben kann, das liegt auf der Hand. Aber ich habe mir, wie oben schon erwähnt ist, die Aufgabe gestellt, zu prüfen, ob nicht diese Werthe, bei Abnahme der Ladungs-
dauer -^, sich asymptotisch einer festen unteren Grenze
nähern.
Kehren wir zur Gleichung (5) zurück. Wenn die beiden Zwischenschichten des Doppelcondensators mit Luft erfüllt sind, kommt dieser Gleichung folgende Gestalt zu:
l/:?:l/ir=2 + y. (6)
78 Sitzung der mathrphys. Clasae vom 3, März 1894.
Wie aus (6) erhellt, geben die Versuche mit der Luft in den beiden Zwischenschichten unmittelbar den Werth der Constanten y.
Wenn nun die Schicht No. 1 mit einer Flüssigkeit (von der D.C. = JJ erfallt ist, die Schicht No. 2 dagegen mit Luft, so verwandelt sich die Gleichung (5) in
(V:4:Y^)-l^{l+Y):d,. (7)
Derartige Versuche können also zur Bestimmung der D.C. einer Flüssigkeit in Bezug auf Luft dienen, wenn der Werth von y aus Vorversuchen bekannt ist.
Endlich können Versuche mit zwei Flüssigkeiten [Glei- chung (5)] als Controlversuche dienen.
C. Ergebnisse.
Wegen grosser Wichtigkeit einer möglichst genauen Kenntniss des Werthes von y wurde zur Ermittelung des- selben eine ziemlich grosse Anzahl Versuche angestellt.
Resultate :
auB Versuchen mit Unterbrecher No. II Unterbrecher No. I
y = 0,63 (Mittel aus 117 Vers.) y = 0,65 (aus 30 Vers.)
Wechselstrommaschine
y = 0,66 (Mittel aus 98 Versuchen).
Dabei wurden fast immer die massigen Rotations- geschwindigkeiten der beiden Unterbrecher benutzt (welche Geschwindigkeiten, wie schon erwähnt, dem regelmässigsten Fuiictioniren der Unterbrecher entsprechen). Trotz grosser Anzahl von Beobachtungen konnte eine Abhängig- keit der Grösse y von der Höhe der benutzten Po- tentiale (von der Grösse^) nicht nachgewiesen werden. Auf eine solche Abhängigkeit deutet Herr Arons bei dem von ihm benutzten Mascart'schen Electrometer hin (Wied. Ann. Bd. 35, 1888, SS. 294—295). Uebrigens variirten bei
Stankewitach: Experimentelle Beiträge. 79
meinen Versuchen die Potentiale innerhalb nicht so weiter Grenzen, wie es bei Herrn Arons der Fall war.
Was die Verschiedenheit der Werthe von y bei ver- schiedenen Ladangsdauem betrifft (s. die oben angeführten Zahlen), so zeigen sie eine derartige Gesetzmässigkeit (je kleiner die Ladungsdauer ist, desto kleiner iilllt auch / aus), die wohl erklärbar zu sein scheint: es muss zu der wahren' Capacität des Electrometers und der Zuleitungen (d. h. der- jenigen Gapacität, welche einer vollkommenen Isolation ent- sprechen würde) noch eine scheinbare hinzukommen, welche von der oberflächlichen Leitung der Seidenfäden und Unter- stQtzungsstäbchen herrührt; es ist aber sehr wohl denkbar, dass die von Isolationsmangel herrührenden Electricitätsver- luste (also auch die scheinbare Capacität) desto grösser sind, je länger die Ladungsdauer ausfällt; bei den ziemlich grossen Unterschieden in der Ladungsdauer, wie es bei den drei erwähnten Versuchsreihen der Fall war, können vielleicht diese Unterschiede einen wahrnehmbaren Einfluss auf das Resultat ausüben.
Jedenfalls kann die Verschiedenheit der Werthe von y bei verschiedener Ladungsdauer nur einen kleinen Einfluss auf die Werthe der D.C.-en haben, nämlich : bei Berechnung dieser Werthe wird nicht y selbst, sondern 1 + y benutzt [s. Gleichung (7)]. Es kann also dieser Einfluss höchstens durch
1,8 ^ der Grösse einer zu bestimmenden D.O. dargestellt werden.
Doch halte ich es für not h wendig, bei der Berech- nung einer D.O. immer denjenigen von den oben mitgetheilten Werthen von y zu benutzen, welcher zur zugehörigen Unter- brechungsart gehört.
Jetzt theile ich die bei den Versuchen mit verschiedenen Flüssigkeiten bekommenen Resultate mit. Die Versuche be- ziehen sich auf gewöhnliche Zimmertemperatur, die etwa
80 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 3. März 1894,
zwischen 17^ und 20^ schwankte. Bei zähen Flüssigkeiten wurde der Durchfluss durch die dünnen Trichterröhren (bei Füllung von Zwischenschichten des Doppelcondensators) durch Ausübung eines Luftdruckes beschleunigt.
Die weiter unten mitgetheilten Werthe der Ladungs*
dauer-^ wurden nach den Formeln (w) und (ö) (Abschnitt A,
Art. III) berechnet; aus dem oben erörterten Grande wird diesen Werthen keine absolute Genauigkeit zugeschrieben: es handelt sich nur um eine ungefähre Schätzung der La- dungsdauer.
A. Schlecht leitende Flüssigkeiten.
I. Benzol. Dicht. = 0,879 bei 19^ C. Unterbrecher No. II Unterbrecher No. I
<J = 2,11 (1=2^) «J = 2,17(1 von ^J^- bis ^)
Wechselstrommaschine
'=^''«(y = Ä)-
Man sieht, dass die Wechselstrommaschine einen bis auf 3,3 ^/o richtigen Werth geliefert hat.
Die von anderen Forschem gefundenen Werthe sind: 2,198 (Silow); 2,43 (Winkelmann); 2,13 (bei 20° C.) (Negreano); 1,948 (Donle); 1,766 (Ladungsdauer = 1 Se-
cunde) (G. Weber); 2,207 (Ladungsdauer = ^-^ [See.])
(G. Weber); 2,17 (Tshegläjew).
StankewUsch: Experimentelle Beiträge. 81
II. Olivenöl (käufliches.) Dicht. = 0,9158 bei 18*^ C.
Unterbrecher No. U Wechselstrommaschine
Der unterschied beträgt nur 1,8 ^/o.
Die von anderen Forschem gefundenen Werthe sind: 3,08 (Arons und Rubens; 3,16 (Hopkinson).
Die bedeutenden Unterschiede sind wahrscheinlich dem Umstände zuzuschreiben, dass Olivenöl keine chemisch de- finirbare Substanz ist, und verschiedene Proben desselben können ziemlich bedeutende Unterschiede der Zusammen- setzung darbieten.
B. Besser leitende Flüssigkeiten.
a) Aetherische Oele.
Eine grosse Anzahl dieser Oele wurde schon im Jahre 1889 für das Physikalische Instititut von der Firma Dr. H. Eoenig in Leipzig bezogen. Für manche dieser Oele wurde damals die Rotations- und ßefractionsdispersion von Herrn Dr. R. Steinheil untersucht (Steinheil, , Beobach- tungen Qber Rotations- und Refractionsdispersion'^, Inaugural- Dissertation, München, 1889). Unter den Oelen gibt es mehrere gleichen Namens, aber verschiedener Qualität, üeber den Unterschied in der Herstellung der verschiedenen Sorten konnte nichts erfahren werden; dass aber die Oele von Ver- unreinigungen durch fette Oele vollständig frei und nur aus aromatischen Bestand theilen zusammengesetzt sind, das wurde darch eine von Herrn Stein heil angestellte Untersuchung nachgewiesen (1. c, SS. 12—13).
1894. lUth.-phya CL 1. 6
82 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 3, Märe 1894.
Im Weiteren wird die von der Fabrik angewendete Unterscheidung der Proben durch Numerirung beibehalten, (wie es auch in der Abhandlung von Stein heil geschehen ist).
Für die drei ersten von den weiter unten angeführten Oelen wurden die Werthe der D.C.-en, zur Controle, auch nach der Methode der Kraftmessung bestimmt.
Das Verfahren war das von den Herren Cohn und Arons vorgeschriebene (Wied. Ann., Bd. 33, 1888, SS. 15—19). Als Flüssigkeitselectrometer wurde das von Herrn Dr. Franke schon früher zu dem nämlichen Zwecke benutzte angewendet, (Wied. Ann., Bd. 1893, S. 163). Für dasselbe beträgt die Schwingungsdauer der „Nadel* in der Luft 18 [sec], das logarithmische Decrement (ebenfalls in der Luft) 0,0100. Der Abstand des Spiegels von der Scala war gleich 560 [cm]. Zur Erzeugung von oscillirenden Ladungen wurde das schon oben erwähnte Inductorium benutzt; die Unterbrechung des primären Stromes (2 Daniel-Elemente, Widerstand von 5 bis 15 Ohm) war vom Unterbrecher No. II bei der günstigsten (für die Regelmässigkeit des Functionirens desselben) Ro- tationsgeschwindigkeit besorgt; die Ladungsdauer, nach der
Formel (fl) berechnet, betrug dabei etwa [sec].
Die Beobachtungen wurden folgendermassen angestellt: zunächst bestimmte ich 3 Umkehrpunkte der Nadel des Mascart'schen Electrometers ; dann machte ich dasselbe mit dem Edelmann*schen Electrometer (Flüssigkeitselectrometer); schliesslich von neuem mit dem Mascart'schen Electrometer. Aus den beiden für die Mascart'sche Nadel berechneten Aus- schlägen wurde das arithmetische Mittel genommen. Der Unterbrecher functionirte so regelmässig, dass die beiden Ausschläge sehr oft zusammenfielen. Die Umkehrpunkte wurden am Edelmann*schen Electrometer nur für die Schwin- gungen seiner ^^Nadel'* in der Luft bestimmt; bei den Schwingungen dieser , Nadel* in Oelen war die Dämpfung
Stankewitseh: Experimentelle Beiträge, 83
sehr stark, und man konnte sehr wohl das Eintreten der thatsachlichen Ruhe derselben abwarten. Die NuUpunkts- verscbiebungen in den Oelen waren sehr klein im Verhält- nisse zu den benutzten Ausschlägen : sie machten kaum V% ^/o derselben aus. Dieser Umstand ist der bedeutenden Schwere der von Herrn Franke und mir für das Edelmann*sche Electrometer benutzten ^Nadel" zuzuschreiben. Die davon her- rührende kleine Empfindlichkeit des Edelmann'schen Electro- meters stellte aber für mich keinen Uebelstand dar, weil, wie oben erwähnt, das Mascart'sche Electrometer auch eine kleine Empfindlichkeit besass, während die vom Inductorium ge- lieferten Potentiale genügend hoch waren.
Das von den Herren Cohn und Arons durch F^iM^ bezeichnete Verhältniss (1. c, S. 16) erwies sich für meine Electrometer im Mittel gleich 2,80.
Ich konnte die Kraftmessungsraethode nur für diejenigen Oele anwenden, von denen mir hinreichend grosse Mengen (zur Füllung des Flüssigkeilselectrometers) zur Verfügung standen.
Im Weiteren behalte ich das Zeichen d zur Bezeichnung der nach der Kraftmessungsmethode bekommenen Werthe von D. G.-en bei; die nach der Capacitätsmethode bekom- menen Werthe (welche, bei kleiner Ladungsdauer, natürlich, illusorisch sind) werden durch D bezeichnet.
I. Oleum Juniperi e baccis No. IV. Dicht. = 0,8657 bei 19,5^0. Unterbrecher No. II: Wechselstrom maschine:
|
r 1 2 ~ 386Ö |
V 1 2 1900 |
V 1 2 ""12 |
|
i) = 2,19. |
D = 2,45. |
. D = 2,54. 6* |
84 Sitzung der math.'phs. Glosse vom 3, März 1894.
Methode der Kraftmessung:
Der von der Wecbselstrommaschine gelieferte Werth ist bei diesem Oele schon bedeutend zu gross.
n. Oleum Poeniculi rectif. No. IV. Dicht. = 0,9671 bei 20^0. Unterbrecher No. II: Wechselstrommaachine :
^ = ^'32(1 = 29^ ^=^2.7(-^- = l)
Methode der Eraftmessung :
IIL Oleum Lavendulae extrafin. No. III.
Dicht. = 0,881 bei 20^0.
Unterbrecher No. II:
^ = ^'^K| = 2Äö)-
Methode der Eraftmessung: ^ = 3.56(^ = 21^).
Bei diesem Oele stimmen die nach beiden Methoden gefundenen Werthe befriedigend überein. Was die bedeu- tenderen Abweichungen derselben bei den ersten Oelen be- triflpib, so können sie vielleicht von dem Unterschiede in der Ladungsdauer herrühren? Der Sinn dieser Abweichungen steht mit dem Sinne jener Unterschiede in keinem Wider- spruche. Die Möglichkeit einer derartigen Erklärung ist also nicht ausgeschlossen.
Siankewüsch: Experimentelle Beiträge. 85
IV. Oleum Foeniculi rectif. No. III. Dicht. = 0,9561 bei 20^C.
T ^
Unterbrecher:
2
Wechselstr.-Masch. -^ 17,7
Unterbrecher No. II ~-^ 5,02
860
1 2400
1
4,44 4,35
3800
(Mit diesem Oele wurde eine sehr grosse Anzahl Messungen angestellt.)
Eine asymptotische Annäherung der Werthe von D zu einer festen unteren Grenze tritt hier sehr deutlich hervor.
Wenn wir es ferner als berechtigt betrachten, in den oben miigetheilten kleinsten Werthen von D etwa den wahren D. C.-en nahe kommende Grössen zu vermuthen (die Controle durch die Krafbmessungsmethode scheint hiezu zu berechtigen) , dann können wir constatiren , dass bei den beiden oben angeführten Proben des »Oleum Foeniculi" die D. C.-en nahezu gleich sind. Nur für die grösste Ladungs- dauer ist der Unterschied der Werthe von D sehr bedeutend, was auf eine merkliche Verschiedenheit des elektrischen Leitungsvermögens der beiden Proben hinzudeuten scheint. Wenn nun aber die wahren D. C.-en der beiden Proben wirklich nahezu einander gleich sind, dann gewährt die oben ausgesprochene Vermuthung über die Ursache einer bedeu- tenderen Abweichung zwischen den nach Capacitäts- bezw. Kraftmassungsmethode für die D.G. des »Oleum Foeniculi No. IV" gelieferten Werthen eine Bestätigung: in der That haben wir bei dem »Oleum Foeniculi No. III* einen Werth von D, welcher genau derselben Ladungsdauer entspricht.
86 Sitzung der math,-phy8, Clasae vom 3. März 1894,
wie der Werth von d beim „Oleum Foeniculi No. IV*; die Zusammenstellung der beiden Werthe zeigt aber, dass zwischen ihnen nur ein 1.3 ®/o-grosser unterschied besteht:
Ol. Foenic. r. No. IV:
OL Foenic. r. No. III:
V. Oleum Juniperi e ligno No. I. Dicht. = 0,985 bei lO^C.
Unterbrecher: Wechselstrommasch.
Unterbrecher No. I Unterbrecher No. II
|
2 |
D |
|
1 10 |
29,1 |
|
1 11,6 |
26,3 |
|
1 12 |
20,7 |
|
1 440 |
15,9 |
|
1 |
5,26 |
VI. Oleum Juniperi e ligno No. II. Dicht. = 0,939 bei 19»C.
Unterbrecher: — 7)
2
Wecbselstrommasch. — 20
9,6
J_
12
Unterbrecher No. I _i_
380
Unterbrecher No. II
1
3840
9,8
7,23
3,55
Stankewitsch: Experimentelle Beiträge, 87
VII. Oleum Juniperi e ligno No. III. Dicht. = 0,909 bei 19<»C.
Unterbrecher: -^ D
Wechselstrommasch. tö~q ^^»^
Unterbrecher No. I ^^r^r 4,29
Unterbrecher No. II ^^ 2,98
VIII. Oleum Juniperi e ligno No. IV. Dicht. = 0,973 bei 18,5''C.
Unterbrecher: -77- D
Wechselstrommasch. TöT ^^'^
Unterbrecher No. I ^^ 18,3
Unterbrecher No. II ^^ 4,82
FQr alle 4 angeführten Proben des Wachholderöls aus Holz ist die Drehung der Polarisationsebene von Herrn R. Steinheil gemessen worden.
Ich lasse eine Zusammenstellung der Werthe der D. C.-en dieser Oele mit den Grössen der ihnen zukommenden Dreh- ungen folgen.
88
Sitzung der math..phys. Cltuse vom 3. Märt 1894.
|
Nummern |
bD% . |
|||
|
der Proben des WachholderölB |
DC. |
Drehung |
Zähigkeit. |
|
|
auB Holz |
oS" |
|||
|
No. I . . . |
6,26 |
klein: 1,2« ftlr das ganze Spectram |
0,986 |
Am grOssten. |
|
No.Il . . |
3,56 |
35,290 für die Fraun- hofer'sche Linie B |
0,939 |
zwiRchen den den Nummern m und lY zukommenden. |
|
No.m . . |
2,98 |
43,090 für die B Linie |
0,909 |
am kleinsten. |
|
No.IV . . |
4,82 |
19,090 für die B Linie |
0,973 |
zwischen den den Nummern I und 11 zukommenden. |
Die Grössen der Drehung (alle Proben links drehend) beziehen sich auf die 20 [cm] lange Flüssigkeitsäule.
Die Zähigkeiten wurden nur qualitativ nach den Durch- flusszeiteu durch ein und dasselbe Rohr geschätzt.
Es lassen sich folgende Gesetzmässigkeiten fär diese 4 Oele gleichen Namens, aber verschiedener Qualität, con- statiren: je grösser die D. C. ist, desto grösser sind auch Dichtigkeit und Zähigkeit, desto kleiner aber fällt die Dreh- ung aus. Bei den Proben No. II und No. III besteht sogar umgekehrte Proportionalität zwischen der D. C. und der Dreh- ung für die JB-Linie:
43,09 : 35,29 = 1,221, während 3,55 : 2,98 = 1,219.
Ich habe noch für manche andere ätherische Oele Ver- suche angestellt. Die Ergebnisse sind aber noch nicht aus- gerechnet worden.
b) Alkohol. I. Eine der beiden untersuchten Proben wurde unter dem Titel „absoluter Alkohol* bezogen. Jedoch hat die Dichtigkeitsbestimmung für diese Probe ergeben : Dicht. =
Stankewüsch: Experimentelle Beiträge, 89
0,797 bei 15®C.* Hieraas ergibt sich nach der „Alkoholo- inetrischen Tabelle' die Stärke des Alkohols gleich etwa 99 V
Ich theile die Werthe von Ä und a (s. oben), welche bei einer von zwei mit dieser Probe angestellten Versuchs- reihen bekommen wurden, mit:
Unterbrecher No. IL Capacitfttsmethode :
|
^ 1 r 1 2= 3240 [^^^=1 |
||
|
A |
a |
VJ.V^ |
|
257,5 |
219,8 |
1,082 |
|
265,9 . |
232,6 |
1,069 |
|
256,2 |
224,1 |
1,069 |
|
271,9 |
232,9 |
1,080 |
|
293,9 |
267,5 |
1,048 |
|
291,2 |
255,4 |
1,068 |
|
286,8 |
249,1 |
1,073 |
|
343,5 |
292 |
1,084 |
|
281,1 |
253,3 |
1,053 |
|
278 |
245.8 |
1,063 |
|
304 |
264,9 |
1,071 |
Mittel (aus 11 Beobachtungen): VA:Vä=lfl69
Die zweite Reihe (nach einer neuen Füllung der Schicht
No. 1) hat ergeben: V^:/a = 1,071 (aus 10 B). Hauptmittel : YA: Yä= 1,070. Die Formel (7) (Abschnitt B) ergibt also für diese Probe:
X,.l|?-2S,S(^ = 3±,).
Die von anderen Forschem gefundenen Werthe sind: d = 26,5 (98 »/o) (Cohn und Arons); d = 25,8 (»absolut*, bei U'C.) (Tereschin); J = 22,29 (Dicht. == 0,811 bei 15«C.) (Donle).
90 SüBung der mcUK-phys. Glosse vom 3, Mötb 1894.
II. Die andere Probe wurde unter dem Titel ,96\iger Alkohol* bezogen. Lange in grosser Vorrathsflasche des In- stituts gestanden. Unmittelbar vor den Versuchen wurde Dichtigkeitsbestimmung ausgeführt. Aus dem Werthe der Dichtigkeit konnte geschlossen werden, dass zu den Ver- suchen nur etwa 93 ^/o starker Alkohol benutzt wurde.
Unterbrecher No. II. Capacitfitsmethode :
^ = «^'K^ = lÄö)' ^ = ^^'7(1 = 3^)
Eraftmessungsmethode :
'-Mi- 2k)'
Bei einem so wasserreichen Alkohole gibt also der Unter- brecher No. II unter Anwendung der Capacitätsmethode noch zu grosse Werthe. Da aber mein Unterbrecher No. II natür- lich kein letztes Wort der Technik darstellt, so wage ich zu vermuthen, dass mit einem noch bedeutend grösseren und (das ist die Hauptsache) noch mehrere Unterbrechungen bei einer Umdrehung gestattenden Unterbrecher viel- leicht sogar die D. C. des Wassers nach der Capacitäts- methode richtig bestimmt werden kann.
Wie schon erwähnt, gibt der Unterbrecher No. 11 die besten Resultate, wenn seine Rotationsgeschwindigkeit in den Grenzen liegt, welche 10 und 16 Umdrehungen in einer Se- cunde entsprechen. Bei grösseren Geschwindigkeiten werden nicht nur die Electrometernadelausschläge bedeutend unregel- mässiger, sondern es wird auch eine sehr deutliche Zunahme der Werthe von D wahrgenommen. Bei manchen gut lei- tenden Flüssigkeiten habe ich sogar bei 41 Umdrehungen in einer Secunde Werthe von D gefunden, welche etwa doppelt so gross sind, wie diejenigen, welche den gün- stigsten Rotationsgeschwindigkeiten entsprechen. Das deutet
* Sianhewiiach: Experimentelle Beiträge. 91
offenbar auf ein bei grossen Geschwindigkeiten stattfindendes Ueberspringen der Bürste hin. Die erwähnten Grenzen, innerhalb deren die günstigsten Geschwindigkeiten liegen, worden aus sehr vielen Versuchen bestimmt.
Es mögen noch die Resultate einiger Gontrole- Versuche (mit zwei Flüssigkeiten) mitgetheilt werden.
I. Die Schicht No. 1 ist mit Olivenöl, die Schicht No. 2 mit Benzol gefüllt. Es ist also «Jj = 2,81 und <Jg = 2,ll (s. oben), und der nach der Formel (5) berechnete Werth Yon Vä : Va ist
1,975;
der beobachtete Werth aber desselben Verhältnisses betrug
1,980.
r 1
(Unterbrecher No. II, -^ == ^ ; bei Berechnung ist
deshalb y = 0,63 angenommen).
T 1
IL Umgekehrte Füllung, ünterbr. No. II, ~ = — rr^.
Es ist also dj = 2,11 und d^ = 2,81 ; y = 0,63.
Kl:Vä(berechnet)=:2,630;KZ:Kä(beobachtet)=2,659.
III. Die Schicht No. 1 enthält — „Oleum Lavendulae
extraf. No. III"; die Schicht No. 2 — „Oleum Foeniculi rect.
T 1
No. III*. Unterbrecher No. II, y = ^JÄö* ^ ^®*'
A=3,52 (bei| = 2^) und D,^iM{hei^ = ^},
y = 0,63. KiiV^ (berechnet) = 2,44; V2:Vä(beobachtet) = 2,48.
92 Sitzung der mathrphys. Claaae vom 3, Mars 1894, ^
Um noch raschere, als die vom Unterbrecher No. II gelieferten, elektrische Schwingungen zu haben, habe ich versucht, die bei Entladungen von Leydener Flaschen ent- stehenden Oscillationen bei meiner Methode anzuwenden. Leider aber ging es nicht: aus den grossen Werthen, welche dabei für die D.C.-en ätherischer Oele bekommen wurden, Hess sich mit Sicherheit erkennen, dass för die Ladung des Doppelcondensators nicht die Entladungsoscil- lationen, sondern nur die eigenen elektrischen Schwingungen eines die Ladung der benutzten Leydener Flasche besorgenden Inductoriums maassgebend waren (es wurde nicht das oben erwähnte, sondern ein anderes Inductorium dazu benutzt; der primäre Strom wurde dabei auf übliche Weise auto- matisch unterbrochen).
93
Referat über eine Arbeit: Exacte Grundlagen fär eine Theorie der Ovale.
Von Hermann Brann.
irnngdaufen 8. Märt.)
Der Verfasser hat in seiner Doctordissertation, betitelt: »Ovale und Eiflächen* jene einfachen geometrischen Gestal- tangen in der Ebene und im Räume behandelt, welche über- all convex nach aussen begrenzt sind. In jener Arbeit kam es ihm darauf an, zu zeigen, dass sich auch über derartige geometrische Gebilde von ungemein wenig specialisirtem Bil- dungsgesetz eine Menge nicht ganz auf der Hand liegender Sätze aussagen lässt. Die Grundlagen für seine Entwick- lungen entnahm er der Anschauung, und verzichtete bei den auf Seite 1 — 3 der Dissertation gegebenen Sätzen, auf wel- chen die folgenden sich aufbauen, in eine ausführliche Be- weisführung einzutreten. Es geschah dies indess nicht, weil er die genannten Sätze eines Beweises nicht für fähig oder für bedürftig erachtet hätte.
Gerade auf eine exacte Festlegung dieser Grundlagen für die Theorie der Eigebilde nun bezieht sich die gegen- wärtige Arbeit. Dass das Thema nicht so einfach ist, als uns der Augenschein verleiten möchte anzunehmen, dürfte schon der umstand beweisen, dass es dem Verfasser nicht
94 Sitzung der mathrphys. Classe vom 3. März 1894,
gelang, seine Aufgabe auf weniger als etwa fünf Druck- bogen zu erledigen.
Die Anregung, auf diesen Gegenstand zurückzukommen, dessen Bearbeitung dem Verfasser lange Zeit als eine un- dankbare erschien, schöpfte derselbe aus der Kenntnissnahnie von gleichgerichteten Bestrebungen des Herrn Prof. Min- kowski in Bonn (künftig Königsberg). Minkowski hat bei Teubner^) die Voranzeige eines im Drucke befindlichen Werkes betitelt , Geometrie der Zahlen* erscheinen lassen, in welchem eine unvermuthete und fruchtbare Verbindung zwischen der Zahlentheorie und der Geometrie der nirgends concav begrenzten Gebilde hergestellt werden und desswegen auch die Theorie der letzteren ausführlicher in analytischem Gewände behandelt werden soll. Es kommt somit den Ei- gebilden auch von anderem als rein geometrischem Stand- punkt eine gewisse Wichtigkeit zu, und dies hat den Ver- fasser ermuntert, seine Doctorarbeit in der oben angedeuteten Weise zu ergänzen. Die vorliegende Arbeit wird vermuth- lich mit gewissen Capiteln des Miukowskischen Buches in der Materie die grösste Verwandtschaft haben, doch steht zu hoffen, dass bei der grossen Verschiedenheit der Behandlungs- methoden (analytisch und rein geometrisch), sowie des Aus- gangspunktes und des Zieles der Forschungen sich doch auch viele wesentliche und instruktive Abweichungen im Aus- bau ergeben werden.
Die Untersuchung beschränkt sich auf die ebenen Oval- gebilde, auf deren Theorie sich diejenige der Eigebilde im Räume naturgemäss zu stützen hat.
Die Arbeit beginnt mit einem Abschnitt, der mit dem Namen ^ Seiten rechnung" betitelt ist. Es stellte sich näm-
1) Im Juni 1893 in den Anzeigen. Vgl. auch Bulletin des Sc. math. 2. Beriet. XVII jany. 1893: Extrait d'une lettre adrew^e ä M. Hermite, par M. H. Minkowski.
Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 95
lieh heraas, dass bei Besprechung der Eigenschaften der Ovale die Hälften, in welche eine Ebene durch eine Gerade, eine Gerade durch einen Punkt zerlegt wird, eine fast bedeu- tendere Bolle spielen, als die vollständigen Gebilde, dass es fortwährend galt, zwei «Seiten'' zu unterscheiden, um den auf Seiten bezüglichen Schlössen eine handliche Form und Pracision zu geben, wurden ein Symbol S für „Seite* und symbolische Gleichungen der Form
Sa = 8b; c; d
Sa=^ — Sb; c; d eingeführt. Die Bedeutung der ersten Gleichung ist, dass in- nerhalb einer getrennten Mannigfaltigkeit d die Elemente a, b auf der nämlichen, die der zweiten, dass sie auf verschiedenen Seiten der trennenden Mannigfaltigkeit c liegen. Es wurden die Bedingungen för die Anwendung der Seitenrechnung auf Gerade und Ebene untersucht, d. h. es wurde untersucht, welcher Theil der Axiome für die Ebenengeoraetrie bei der Seitenrechnung vorauszusetzen ist, resp. welche Fassung diese Axiome erhalten, wenn man den Seitenbegriff in den Vorder- grund drangt.
Sodann war die Definition und Nomenclatur einer An- zahl unerlasslicher Grundbegriffe wieder mit steter Rücksicht auf den Seitenbegriff zu geben.
Nach diesen einleitenden Bemerkungen wurde das eigent- liche Thema mit der, wie der Verfasser glaubt, einfachsten Definition eines Ovals eröffnet, welche sich nicht auf das Oval als Curve, sondern als Flächenstück bezieht und aus- sagt, dass eine Gerade der Ebene des Ovals mit dem Oval höchstens ein Stück gemein hat. „Ein Stück**, das soll heissen: einen Punkt, oder eine durch zwei Endpunkte be- grenzte gerade Strecke. Die Möglichkeit von „Figuren" dieser Eigenschaft liegt auf der Hand, es wurde speciell von der Dreiecksfläche bewiesen, dass sie dazu gehört. Im übrigen wurde über die Figuren, welche der Definition genügen.
96 Süeung der mathrphya. Clasae vom 3. Man 1894.
keine weitere Voraussetzung gemacht, auch nicht ein Mal die, dass es sich um zusammenhängende Ebenenstücke mit Rand und Inhalt etc. handle, wie es in gegenwärtiger kurzer Darstellung nach obiger Erwähnung des Wortes « Flachen- stück'^ scheinen konnte. Im Gegentheil sucht die Arbeit ihr Verdienst eben darin, rein aus den Axiomen und der De- finition alles andere abzuleiten und nicht zu postuliren.
Aus der Definition ergibt sich sofort, dass das, was Ovalen gemeinsam ist, wieder ein Oval sein muss. Es wird gezeigt, wie der Satz umzukehren ist, und ein Satz über »Ovaldifierenzen* angeschlossen. Gerade Strecken zwischen Ovalpunkten gehören vollständig zum Oval ; es sind dabei je nach der Art der Endpunkte verschiedene Fälle zu behan- deln (innere Punkte, Randpunkte). Es werden dann die Ovale in Beziehung gesetzt zu Strahlenbüscheln, deren Cen- trum innerhalb, auf dem Rande, oder ausserhalb des Ovals liegt. Es wird mittels innerer Büschel auf eine erste Art und Weise die Reihenfolge der Randpunkte des OvaLs definirt. Die mit Figurpunkten belegten Geraden aus einem äussern oder Randpunkt füllen einen und nur einen von zwei »an- gelehnten* Geraden begrenzten Winkel. Diebeiden von jedem Randpunkt ausgehenden Strahlen = Halbgeraden jener an- gelehnten Geraden, in deren Strahlwinkel die ganze Figur eingeschlossen liegt, werden Grenzstrahlen genannt, ihre Existenz und Bestimmtheit exact bewiesen.
Eine längere Reihe von Paragraphen beschäftigt sich sodann mit dem Nachweise, dass die Gesammtheit der Oval- randpuukte die Natur eines stetigen geschlossenen Curven- zuges hat, eine Ovallinie bildet. Gerade hier ist Sorgfalt nöthig, um Sätze, die man mit grosser Bereitwilligkeit un- bewiesen anzunehmen geneigt ist, strenge zu begründen. Es gibt für jeden Ovalrandpunkt Nachbarrandpunkte, welche ihm beliebig nahe liegen. Bei dieser Gelegenheit wird der Begriff des »Näherungsbogens* für einen Gurvenpunkt a ein-
Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 97
geffthii. Ein N&herungsbogen ab för a muss die Eigen- schaft haben, dass wenn c ein beliebiger Punkt desselben ist, alle zwischen a und c liegenden Bogenpunkte näher an a li^en als c. XTm über das Zwischenliegen entscheiden zu können, muss man natürlich durch ein anderes Mittel, als die Entfernung ist, bereits über die „Reihenfolge* der Punkte eine Entscheidung getroffen, wie Kronecker sagt, .ein Fortgangsprincip' aufgestellt haben. Ein solches hat sich für die Ovalrandpunkte oben mittels innerer Strahl- bOschel auch bereits ergeben. Es wird gezeigt, dass der ganze Ovalrand sich in eine endliche Anzahl aneinander- schliessender Nähernngsbögen zerlegen und somit seine Punkte mittels des Fortgangsprincips der Entfernung sich in Reihen- folge setzen lassen, eine Reihenfolge, welche mit der vor- her gewonnenen übereinstimmt. Schwierigkeit für die bei diesem Satz zunächst sich darbietende Beweismethode bot das mögliche Vorkommen gewisser Stellen, die als ,, Ecken
^ ^* bezeichnet werden, übrigens an einem Oval höchstens
viermal auftreten können. Die Schwierigkeit wurde schliess- lich mittels eines Satzes überwunden, welcher die Bedingung angibt, unter der ein Curvenbogen Näherungsbogen für seine beiden Endpunkte ist. Es werde gleich hier erwähnt, dass später mittels eines dritten Fortgangsprincipes — nämlich mittels einer parallel verschobenen Geraden — abermals die nämliche Reihenfolge der Ovalrandpunkte, zunächst auf einem Theilbogen erzielt wird.
Die Haupteigenschaft der nun als stetige, geschlossene Curven erkannten Ovalränder besteht darin, dass sie mit Geraden ihrer Ebene höchstens zwei getrennte Punkte oder höchstens eine zusammenhängende Strecke gemein haben.
Die Begriffe der angelehnten Geraden des Ovals und der Tangenten ihres Randes decken sich ihrem Umfange nach, was bei andern Arten von Figuren nicht der Fall ist. Dabei
18M. MatK-phyi. Gl. 1. 7
98 Sitzung der math.-phys, Claase vom 3. März 1894,
ist unter einer angelehnten Geraden eine solche zu verstehen, welche Randpunkte des Ovals enthält und alle übrigen Oval- punkte auf einer Seite liegen hat, und die Tangente ist als Grenzlage einer Seeante zu definiren, auf der beide Schnitt- punkte als beweglich und gegen einen festen Punkt der Gurre hinrückend angenommen werden dürfen, während man ge- wöhnlich nur den einen beweglich, den andern fest denkt. Wollte man dem Begriff der Tangente diese Weite nicht geben, so würden die angelehnten Geraden in den soge- nannten „Ecken* des Ovals nicht sämmtlich auch Tangenten sein, sondern diese Gharakterisirung würde nur den beiden äussersten, auf welchen die Grenzstrahlen liegen, zukommen. Ein besonderer Theil der Arbeit befasst sich mit einer Reihe von Sätzen bezüglich auf die Schnitte von Grenz- strahlen, Tangenten und Secanten untereinander, welche sich, abgesehen von ihrem selbständigen Interesse, für das Folgende als nothwendig erweisen. Es handelt sich nicht um die Thatsache, dass die Tangenten etc. sich schneiden, sondern darum, welche Hälften derselben sich schneiden, und ist daher in diesem Theile der Arbeit die ausgedehnteste Anwendung von der Seitenrechnung zu machen. Die beiden Hälften einer Tangente werden als erste und zweite unter- schieden mittels eines von fester Anfangslage ausgehenden, um einen inneren ■ Ovalpunkt in bestimmtem Sinne a sich drehenden Strahles, welcher die „erste" Hälfte einer Tan- gente auf seinem Wege vor Erreichung des Berührpunktes, die „zweite" nach dem Passiren desselben überstreicht. Nur für die Tangente des Ausgangspunktes dreht sich die Be- ziehung um. Einer der hauptsächlichsten Hilfssätze sei zur Gharakterisirung hier angeführt: Sind c und d zwei Punkte auf einer der beiden Hälften eines Ovalrandes, in welche derselbe zerlegt wird durch die Berührungspunkte zweier parallelen Tangenten, und geht im Sinne a genommen der Punkt c dem Punkt d voraus, so schneidet der zweite Grenz-
Herrn, Brunn: Theorie der Ooaie, 99
strahl aas c den ersten aus d^ während sich der ersfce Grenz- strahl aus c und der zweite aus d^ oder auch gleichbenannte Oreuzstrahlen aus c und d nicht schneiden.
Man gelangt zu dem Satze, dass es für die Feststellung der Reihenfolge der Tangenten gleichgültig ist, ob man die Reihenfolge ihrer Berührungspunkte auf sie überträgt oder die Reihenfolge der Strahlen eines Büschels (mittels Paral- lehtat) auf die »ersten* oder »zweiten" Hälften der Tangenten. Nor lässt das eine Fortgangsprincip unter Umständen die Reihenfolge eines Theiles der Tangenten unbestimmt und willkürlich, während das andere dieselbe eindeutig bestimmt. Die Totalkrümmung eines Ovalrandbogens ergibt sich dem- nach stets grösser als die eines Theiles von ihm, die Ge- sammtkrümmung des Randes natürlich zu 27i.
Es werden dann weiter die an einem Ovalrand mög- licherweise vorkommenden Singularitäten: Ecken und gerade Stellen besprochen. Ecken sind solche Randpunkte, deren Qrenzstrahlen einen Winkel < n miteinander einschliessen. Die Grösse einer Ecke soll jedoch durch den Ergänzungs- winkel dieses Winkels gemessen werden. Ecken, deren Grosse über einer endlichen Grenze bleibt, gibt es an einem Ovalrand nur in endlicher Anzahl. Dies schliesst nicht aus, dass die Anzahl der endlich grossen Ecken an einem Oval- rand über jede Zahl hinaus wächst, was nur eine geometrische Einkleidung der Thatsache ist, dass die Summe endlicher Grössen, deren Anzahl über jede Zahl hinauswächst, eine gewisse endhcfae Zahl nicht zu übersteigen braucht. Es gibt Orale mit Rändern, von denen man kein noch so kleines Stock angeben kann, auf dem nicht Ecken endlicher Grösse enthalten wären. Es wird ein Beispiel eines solchen Ovales coDstruirt, es werden die dualen Betrachtungen angedeutet, bei denen statt der Ecken gerade Strecken des Ovalrandes eintreten, und die genauere Discussion dieser nicht uninteres- santen Corven einem anderen Orte vorbehalten. Das Gesagte
100 Sitzung der nuxthrphys, Claase vom 3, Märe 1894.
lässt ermessen, welche Hindernisse der allgemeinen Formu- lirung des Erümmungsmasses für Ovalränder in den Weg treten. Man hat bei einem allgemein definirten Oval keine Garantie dafür, dass das Erümmnngsmass in einem Rand- punkt nicht eine vollkommen unstetige Function der Lage des Randpunktes ist.
Wesentlich andere Singularitäten ergeben sich auf Oval- rändern als ausgeschlossen, insbesondere eigentliche Doppel- punkte , Wendepunkte , Rückkehrpunkte , Doppeltangenten. Nur jene Ausartungen eines Ovals, für welche auch sonst die gegebenen Sätze nur cum grano salis zu verstehen sind: der einzelne Punkt und die einzelne gerade Strecke, nehmen auch hier eine gewisse Ausnahmestellung ein.
Bisher ist die Ovallinie nur als Rand eines sogenannten , vollen" Ovals, d. h. eines Flächenstückes von gewissen Eigenschaften definirt. Es ist erwünscht durch Umkehr früherer Sätze unabhängige Definitionen für die Ovalcurven zu erhalten. Bei dem hierauf gerichteten Bestreben ergeben sich Sätze wie die folgenden:
Eine im Endlichen liegende, stetige, geschlossene Curve aus einem Zug, die mit einer Geraden höchstens 2 Punkte oder höchstens eine gerade Strecke gemein hat, ist stets Be- randung eines vollen Ovals.
Oder:
Eine im Endlichen liegende etc. etc. Curve, welche in jedem Punkt angelehnte Gerade aufweist, ist ein Ovalrand.
Nur für den Fall, dass man unter die obigen geschlos- senen Curvenzüge auch gewisse Doppelcurven (uneigentlich geschlossene) einschliesst, muss den Sätzen eine Clausel an- gehängt werden.
Schliesslich werden sorgfältig ausgeführte Beweise dafür erbracht, dass jede Ovallinie eine bestimmte Länge, jedes volle Oval einen bestimmten Inhalt hat. Um die Noth- wendigkeit dieser Beweise einzusehen, muss nochmals darauf
Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 101
hiDgewiesen werden, dass wir nichts uns als gegeben be- trachten wollen, als die Axiome, die Oval-Definition und das, was wir daraus abgeleitet haben, dass wir dagegen, was die Anschauung uns darbietet, mag es noch so plausibel er- scheinen, nicht ungeprüft annehmen dürfen. Wir müssen diese Strenge der Auffassung innehalten, wenn wir wünschen, dass unseren geometrischen Sätzen auch ein functiontheore- tischer Werth zukomme. Machen wir uns aber diese Auf- fassung zu eigen, so erscheint es eher wunderbar, als selbst- yerständlich, dass aus jener einfachen Definition des Ovals die ziemlich verwickelten Bedingungen folgen, welche das Vorhandensein einer mathematisch wohldefinirten Länge und eines wohldefinirten Inhaltes gewährleisten. Es ist die an- gewandte Vorsicht auch in Anbetracht der Erfahrung nöthig, dass es z. B. wirklich Garven gibt von scheinbar einfachem Verlauf, welche doch keine bestimmte Länge besitzen. Wir müssen, um beruhigt mit Ovalen operiren zu können, die absolute Sicherheit gewinnen, dass keine bisher unbemerkten die Allgemeinheit der aus der Anschauung geschöpften Sätze störenden Einzelfalle möglich sind.
Auf das Detail der Beweise kann hier nicht eingegangen werden.
Ein Satz über Eiflächen.
Im Anschluss an das Vorstehende sei es gestattet, einen Hauptsatz aus des Verfassers Doctorarbeit gegen etwaige Einwendungen sicherzustellen. Derselbe lautet (Ov. u Eifl. S. 23):
1. yln einer Eifläche findet sich unter einer Schaar von parallelen ebenen Schnitten ein und nur ein Maximum an Inhalt, das entweder durch eine Schnittfigur oder durch eine stetige Folge congruenter Schnittfiguren gebildet ist, die einen Cjlindertheil bilden.
102
Sitzung der mathrplhys, Clasae vom 3, Märe 1894,
Der Beweis des ersten Theiles des Satzes lässt sich, ohne dass er im wesentlichen irgendwie geändert würde, vermittels der im vorausgehenden Referate beschriebenen Untersuchungen schärfer präcisiren. Bezüglich der letzten Behauptung des Satzes, dass ein Cjlindertheil entsteht, hat mich Herr Pro- fessor Minkowski aufmerksam gemacht, dass die in meiner Doctorarbeit (III, 9, 10) gegebenen Andeutungen des Beweises in Anbetracht einer auftretenden Schwierigkeit doch gar zu dürftig sind. Es möge dem Verfasser gestattet sein, diese Lücke hier auszufüllen.
2. Satz:
Wenn eine Eifläche (S drei ebene Parallelschnitte 81, ©, ffi von gleichem Inhalt 3 aufweist, so sind diese Schnitte von congruenter Form, ähnlich gelegen und die Begrenzung von (5 zwischen den Ebenen der beiden äussern Schnitte Ä, E ist ein Cylinder- manteltheil.
Beweis.
3. Voraus schicken wir als Hilfssatz: An einem von zwei Rechtecken gleichen Inhalts i als Deckflächen begrenzten „Obelisken* ist der Inhalt m eines paral- lel zu den Deckflächen geführten ebenen Schnittes Ä grösser als i, gleich nur dann, wenn die Deck- rechtecke congruent sind, s. Ov. u. Eifl. S. 23. Es folgt aus den dort gegebenen Formeln
m-i = u: ^^-^, a;(k + X' = l)(0<X<l)
a und a sind die Längen der Seiten des einen Deck- Rechtecks, b und 6' die Längen der resp. parallelen Seiten des andern.
4. Den Eiflächenschnitt H zerlegen wir nun durch paral- lele Gerade A^, A,, A^ . , . An der Richtung q in Streifen, ebenso © durch die Geraden B^, B^ . . . Bn, (S. durch C^,
Herrn, Brunn: Theorie der Ovale. 103
(7j . . . (?«• ; alle diese Geraden seien ebenfalls von der Rich- tung Q. Aq^ Bq^ Cq speciell seien die Tangenten (ange- lehnten Geraden) der Richtung q der Schnittovale auf der linken, An^ Bn^ Cn die desgleichen auf der rechten Seite, und die Geraden sollen von links nach rechts nach Angabe ihrer Indices aufeinander folgen. Der Inhalt eines Ovalstreifens zwischen zwei aufeinander folgenden Parallelgeraden werde durch die in runde Klammer gesetzten Buchstaben der Ge- raden ausgedrückt und es sei die Eintheilung von % und S so getroffen, dass
(A^Ay^i) = (Cya^i) y = 0, 1 .. .n— 1
By sei die durch die Verbindungsebene von Ay und C»^ in der Ebene von S5 ausgeschnittene Gerade. Wir nennen die Streifen (Ay Ay + i), {By By ^ i), (Cy Cy + i) entspre- chende. Im folgenden werden an Stelle der Streifen Recht- ecke treten zwischen den nämlichen Parallelgeraden, welche wir durch die in eckige Klammer gesetzten Buchstaben der Geraden ausdrücken. Die auf den Geraden J., B, G liegen- den Seiten dieser Rechtecke nennen wir die »Langseiten" ; die andern, die , Schmalseiten* gehen von den Endpunkten der Ovalsehnen auf Ay^ By^ Cy aus nach rechts. Beim Beweis vom Inhalt der Ovale ist vom Verfasser gezeigt, dass bei genügend enger Annahme der Geraden A die Summe der Rechtecke einer festen Grösse, dem Inhalte 3, beliebig nahe kommt. Es fragt sich nun, ob sich die Theilung von 9 so annehmen lässt, dass auch die davon abhängigen Thei- lungen von © und S unseren Wünschen entsprechend eng genug werden, d. h. dass zu gleicher Zeit
S-t<^[AyAy^i]<S + e;^'-e<J^[CyCy^i]<S + e
0 0
104 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3, Mars 1894,
wird. In der That ist dies möglich und lässt sich beweisen auf Grund folgender Thatsachen :
a) Wenn 8( kein entartetes Oval ist, so sind auch 9 und S eigentliche Ovale und es hat in ihnen jede von einer Tangente wenn auch noch so wenig entfernte parallele Sehne endliche Länge.
b) Bei genügender Annäherung einer parallelen Sehne an eine Tangente wird der zwischen beiden enthaltene Ovalstreifen beliebig klein seinem Inhalte nach.
c) Es ist möglich, durch genügende Annäherung von A^ und Aq die Entfernungen von Ä^ und -4^, Cy, und C, zu gleicher Zeit unter eine beliebig kleine Grösse herabzudrücken, zugleich auch die Entfernung von B^^ und £j, weil sie linear von jenen abhängt. Analoges gilt von An ^lAn, C»-i G,, Bu - 1 i?n.
d) Die Breite eines Rechtecks mit noch so kurzer, con- stanter Langseite, das einem gegebenen flächengleieli ist, wird beliebig klein, wenn nur das gegebene Recht- eck genügend klein an Inhalt ist. (In Anwendung zu bringen für die mittleren Seiten.)
5. Wir beweisen weiterhin: Die Sehnen auf Ay und Cy sind längengleich.
Denn nehmen wir ein Mal an:
A^ — Cf^ = df^; dtJL> 0.^)
afji , Cfji seien die obem, a^ , y^ die untern Endpunkte der resp. Sehnen Afx , 6'^ , und sei 0 < ^u < n. Irgend ein rechts (oder links) von Afji in endlicher Entfernung innerhalb Ä ge- legener Punkt heisse p, die von c^ und y^ nach rechts (oder links) ziehenden Qrenzstrahlen seien C^ und I^. Man lege Ebene S auf Ebene 21, Gerade C^ auf Gerade Afj, und zwar so, dass die Strecke c^ y^ ganz innerhalb der Strecke üfA a^ liegt,
1) AfA , CfA bezeichnen jetzt kurz die Sehnenl&ngen.
Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 105
Yfi zwischen Cfi und a^, so dass ä^~ci*, «JÖT« von Null ver- schieden sind. Dann müssen auch cjTs und yjÄö endlich sein, wo 5, a die resp. zweiten Schnittpunkte von Oi* , T^ mit dem Rande des Dreiecks afipa/4 sind, welches sich innerhalb 8 befindet. Es sei die Gerade G \\ C/* und
Ss = Sa = — SCf,; O, dann liegen ersichtlich alle zwischen Cia und Q parallel zu Cia gezogenen (S- Sehnen innerhalb H, sind also kleiner wie die entsprechenden Ä-Sehnen und zwar wird der Unter- schied entsprechender Sehnen in diesem Intervall über einer von den übrigen Daten der Figur abhängigen angebbaren endlichen Grenze J bleiben. Es ist erlaubt, die Theilung so eng anzunehmen, dass sowohl ^^4.1, als Gia-\.\ in das Intervall CiaG fallen.
Wir verdichten die Theilung der Streifen (il^-^^ + i) und {CfA CfA 4. 1) durch Einschiebung der Geraden
-4^,1, -4^,2 .... Äfl^q
Cfji^i, C/4,2 .... (7^,jU. der „entsprechenden"*) jB^,i, jB^,2 .... Bfi^q in © und setzen Ji<,o^ -4^; -4^,« + i = -4^ + i; C/«,o ^^ C/i etc. Die Entfernung von A/a^x und A/^^x + i kürzen wir durch e/i^x, welches somit die Länge einer Rechteckschmalseite ist. Nun ist
D/AX^^[B/A,x, ^5^,0:4.1] — [^A*,a;, -4^,0:4.1]
= U p- . ef4,x
LffiX
nach 3. Bedenkt man, dass A/4,x — C/i,x> ^^ und setzt den grössten Werth unter den CfA,x gleich C7, so kommt:
DfA,x > W» -^. efi,x und ^j Df4,x > ^ -p- ^j ^a*»^ ^ x=o ^ x=o
I) Die nnter 4. festgesetzte Art der Abhängigkeit zwischen den Geraden, welche mittels der Buchstaben Ä, C, B bezeichnet werden, soll anch für die neuen- Geraden gelten.
106 Sitzung der mcUh.-phys, Glosse vom 3. Marx 1894,
oder 2 ^^'^ > ^' fT' c = K
wenn e die Entfernung von A/a und -4^ + i bedeutet. Die rechts stehende Grösse K in der Ungleichung ist nun ganz unabhängig von dem Grad der Enge der Theilung zwischen Af4 und -4^-1-1.
Da weiter, nach dem Hilfsatz, die übrigen ausserhalb des bisher betrachteten Intervalls (/u, /i + 1) gelegenen Recht- ecke [jBv-Bv+i] niemals kleiner sind als die entsprechenden [ÄvAv^]], so gilt für jede noch so weit getriebene Thei- lung, sobald die Af^x schon vorliegen, und die Geraden wieder durchlaufend mit einem Index bezeichnet werden:
2iAvAr+i] + K<2[BvBv^i]
im Widerspruch zu der aus 4. folgenden Ungleichung:
2[BvBv + x] — 2[AyAr+i^<2e
welche für beliebig klein gegebenes e (also auch für 2 6 < K) gelten soll bei genügend enger Theilung.
Auf solchen Widerspruch führt uns die Annahme, Aßi und C^ seien verschieden, also muss
sein. q. e. d.
Eine Ergänzung bedarf der Beweis für den Fall, dass /u gleich 0 oder n gesetzt wird. Dann und nur dann können Cf4 und r}4 in die Richtung von C^ selbst fallen. In diesem Falle bestimme man auf dem Ovalrande, doch nicht auf Cfi Yfi, , zwei Punkte c\ y innerhalb von Kreisen, die mit
Radius -^^ um c^, y^i resp. geschlagen sind. € sei jedenfalls
kleiner als die endlichen Sehnen der von c^, /^ ausgehenden Näherungsbögen. Dann lege man 21 und S wie oben auf- einander und mache £ auch noch kleiner als die endlichen Entfernungen der Punkte c^, y^* von den Geraden a^jp, a^p resp, wobei p wieder einen inneren Punkt von 81 bedeutet.
Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 107
Cj II Cq werde so nahe an Gq gerQckt , dass beide kleinen Kreise um Cq, y^ geschnitten werden (resp. (7«-i so nahe an Cu etc.). Dann enden die Sehnen Cq und (7^, sowie alle dazwischen liegenden parallelen Sehnen von S innerhalb der Kreise und sind kleiner als die entsprechenden Sehnen von a (Analoges gilt bei Cn^ C»_i) um eine Differenz, welche über einer angebbaren endlichen Grösse bleibt. Von hier aus vollzieht sich der Beweis genau wie vorher.
Unser bisheriges Resultat können wir so formen : Schneiden die parallelen Sehnen J^, C/i von 8, 6 resp. Stücke gleichen Inhalts ab, welche auf einer Seite der Ebene Ä/aC/i liegen, so ist ihre Länge gleich.
Hieraas folgt weiter:
6. Die Entfernung von Aq und -4^ ist gleich der von Cq und C/*.
Man findet nämlich, dass bei genügend enger Theilung die Inhalte und damit die Schmalseiten zweier entsprechenden Rechtecke sich nur noch um einen beliebig kleinen Bruch- theil ihrer Grösse unterscheiden. Daher wird sich auch die Summe der Schmalseiten der Rechtecke zwischen Aq und Afi von der entsprechenden Summe zwischen Cq und Cfi bei genügend enger Theilung beliebig wenig unterscheiden, d. h. die beiden Summen müssen dann, weil constante Grössen, gleich sein.
7. Aus dem bisher Bewiesenen ergibt sich zwar noch nicht die Congruenz von 21 und S, aber doch so viel, dass S aus 9 durch eine Transformation hervorgeht, bei welcher die Sehnen der Richtung q von S in ihren Geraden ohne Aen- derung der Länge verschoben werden. Die völlige Willkür- lichkeit der Richtung q zieht die Congruenz von 91 und S indess noth wendig nach sich, wie wir sehen werden.
8. Die Entsprechung zwischen den Sehnen ^^, C/a zieht eine Entsprechung der Endpunkte üfi, C/a, einer-, a^, y^ andrer-
108 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3, Motz 1894,
seits nach sich. Bedenkt man noch, dass ä^a^ und c^, an<Xn und CnYn congFucnt sind, so erkennt man, wie die Ränder von 21 und S für jede Richtung q der 81 und 6 Punkt für Punkt aufeinander in bestimmter Weise beziehbar sind. Die geraden Strecken zwischen entsprechenden Rand- punkten von 31 und S bilden ein Stück SK einer Regelfläche, welches ganz innerhalb oder höchstens auf der Fläche @ selbst liegt; es liegt also auch die Schnittfigur @ der Ebene von So mit 9Ji vöHig innerhalb © oder reicht wenigstens nicht über dessen Rand hinaus.
Somit ist Inhalt von ® kleiner höchstens gleich 3f, letz- tereä nur, wenn ® und © identisch sind. Zugleich ist aber nach 1. Inhalt von ® grösser höchstens gleich 3.^) Inhalt ® kann daher nur gleich 3, und ® muss mit © identisch sein. Auf jeder erzeugenden Strecke von SK liegt daher ausser einem Punkte a^, resp. a^ und einem Punkte c^, resp. y/A ein dritter Punkt fc^, resp. ß/^ der Fläche (5, woraus folgt, dass diese Strecken vollständig auf S liegen, Wl ein Theil von S ist.
9. Unser Beweis wird nun vollendet:
a) Durch Verwendung der Maximalsehne bestimm- ter Richtung in den Ovalen;
b) Durch Benutzung der Thatsache, dass gewisse Theile der Eifläche, resp. der Ovale, welche durch Abschneiden mittels Gerader und Ebenen entstehen, die nämlichen Eigenschaften haben müssen, wie die ganzen Ovalgebilde.
10. Hilfsatz. Die Sehnen a^On und c^Cn müssen pa- rallel und gleichlang sein.
1) Denn die Annahme, dass zwischen zwei gleich grossen Pa- rallelschnitten von e ein kleinerer Parallelschnitt sich befinde, ist mit dem Vorhandensein nur eines Maximums un vertraglich.
Herrn. Brunn: Theorie der Ovaie. 109
Ans 6. folgt:
Entfernung (-4^^) = Entfernung iC^Cn)
öo«o = ^o/o
O» a» = Cn yn
Maximalsehne d. Rieht. {Uffln) in 81 = Max.-S. d. Rieht. {uQÜn) in S
Weiter:
Wenn eine Folge von Maximalsehnen der Richtung agO« in 9 ein Parallelogramm bildet, so müssen die Maximal- sehnen der nämlichen Richtung in @ ein congruentes Paral- lelogramm erfüllen, da hier wie dort Gerade von gleicher Länge zwischen parallelen angelehnten Geraden gleicher Ent- fernung eingespannt werden, also hier wie dort gleiche Neigung gegen letztere haben, und hier wie dort wegen 5. und 6. die erste von der letzten Maximalsehne den näm- lichen Abstand hat. Analoges gilt bei Vertauschung der Rollen von 9 und S.
Wir dürfen ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit unserer Annahmen die Bezeichnungen so vertheilt voraus- setzen, dass:
a^OQ^OnOn also auch c^y^'^Cn yn ist.
Man bringe nun durch Parallelverschiebang a^ mit c^, % mit y^ und dadurch An mit Cn zur Deckung. Würden hierauf a» und c« nicht aufeinanderfallen, sondern ein Punkt .unter* den andern — z. B. Cn unter a» — so würde entgegen erwiesener Thatsache ein Parallelogramm von Maximalsehnen des einen Ovals im andern kein congruentes Analogon finden können — z. B. das Parallelogramm mit den Ecken o^, a^, a» kein Analogon in 6 — folglich müssen nach der Parallel- veischiebung auch o» und Cn sich decken. Also ist ÜQÜn = c^. Der Beweis ist auch für den Fall gültig, dass in
HO Sitzung der math.'phys, Classe vom 3, März 1894,
den Ovalen nur eine einzige Maximalsehne der betrachteten Richtung existirt. Analoges wie für a^, a», r^, c» gilt für
«01 «»» yo' yn-
Zurück zum Beweise des Hauptsatzes! (s. Fig. 1 und 2)
Fig. 1.
Fig. 2.
Die angelehnten Geraden von 21 und ß, welche den Sehnen aQÜn und Cf^Cn parallel sind und deren Berührpunkte zu den a und c, nicht zu den a und y gehören, sollen resp. T« und Te heis- sen. Nach 6. ist die Entfernunj^ von Ta und a^Qn gleich der von Te und c^Cn» Wir betrachten jetzt für die Ebene ft die Geraden Aq und T«, für S die Geraden Cq und 1\ als Axen (X und Y resp.) cartesischer Coordinatensysteme und nennen Punkte und Figuren in beiden Ebenen entsprechend, wenn sie die nämlichen Grössen zu resp. Coordinaten haben.
Es werde nnn in 9 zu J^ irgend eine parallele Sehne Vq gezogen, in £ die entsprechende Wq. Die zu den a ge- hörigen Endpunkte mögen resp. i;^, ic^^ heissen. Von v^ ziehe man dann eine Sehne parallel 7«, deren anderer Endpunkt Vn heisse und durch diesen wieder eine Sehne F« parallel F^. In 6 ziehe man zu F» die entsprechende Sehne TT», deren zu den c gehöriger Endpunkt Wn heisse.
Der zwischen ?I und 6 liegende Theil der , vollen* Ei- fläche (S ist seitlich durch ein Regelflächenstück 2ß begrenzt und bildet selber eine volle Eifläche g. Die Ebenen (F^ W^)
Herrn, Brunn: Theorie der Ovale, 111
und {Vn TT») schneiden von g gewisse Theile ab, ebenso von 9 and S, aber das übrigbleibende ist wieder eine Eifläche ® mit Deckovalen 8i und U; der Mittelschnitt © von g wird zu einem Mittelscbnitt % von ® zugestutzt, der ebenfalls ein Oval ist und den nämliclien Inhalt erhält wie die gleichen Ovale 9? und U. Folgt alles aus den vorhergehenden Sätzen. Wir können daher auf ® und 92, U die nämlichen Schlüsse anwenden wie auf S und ä, S, erhalten also durch Anwen- dung unseres letzten Hilfsatzes: v^Vn ist gleich und parallel zu Wq U)n- Ausserdem ist nach 6.
Entf. (Ta, %Vn) = Entf. (Tc, w^) und nach- dem schon Entf. (F^ ^o) = Entf. (W^ C^) Entf. (Fh^) = Entf. (W» Q
ist, so erkennt man leicht, dass Vq und Wq^ v« und Wn für beide Coordinatensysteme entsprechende Punkte sind. Fq und Vq waren aber ganz beliebig, und was auf Seite der a gilt, gilt analog auf Seite der a, daher stellen sich die Ovale 9 und (S als entsprechende Figuren beider Coordinaten- systeme und als congruent heraus, q. e. d.
Im Austausch gegen meinen Beweis hat mir Herr Pro- fessor Minkowski einen analytischen Beweis des nämlichen Satzes mitgetheilt, der sich auch auf Gebilde von mehr als drei Dimensionen erstreckt.
Inhalt.
Die mit * bezeichneten Abhandlangen sind in den Sitzungsberichten nicht abgedruckt.
Sitzung vom 13. Januar 1694.
Seit« F. Richarz: Ueber die elektrischen und magnetischen Kräfte
der Atome 3
K. Döhlemann: Ueber eine einfache, eindeutige Raumtrans-*
formation 3. Ordnung . ., 41
Sitzung vom 3. Fehruar 1894.
C. V, Kupffer: Ueber Monorhinie und Amphirhinie . . 51 *Ad. V. Baeyer: Ueber Terpentinöl 51
Sitzung vom 8. März 1894.
*L. Sohncke: Gewitterstudien auf Grund von Ballonfahrten 61 B. W. Stankewitsch: Experimentelle Beiträge zur Kenntniss
der dielektrischen Polarisation in Flüssigkeiten . . 63 Hermann Brunn: Exacte Grundlagen für eine Theorie der
Ovale ... 93
*Ad. V. Baeyer: Ueber Kümmelöl .61
Akademische Buchdruckerei von F. Straub in München.
Sitzungsberichte
der
mathematisch -physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu IVIünchen.
1894. Heft IL
Mfinchen.
Verlag der K. Akademie. 1894.
In Commission des G. Franz'schen Verlags (J. Koth).
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Oeffentliche Sitzung
zur Feier des 135. Stiftungstages
am 28. März 1894.
Der Classenseeretar Herr C. v. Voit gedachte der seit <leni vorigen Stiftungstage gestorbenen Mitglieder.
Die mathematisch - physikalische Classe hat im ver- flossenen Jahre zwei einheimische Mitglieder durch den Tod verloren, das ordentliche Mitglied Johann Bauschinger und das ausserordentliche Mitglied Adolf Steinheil. Dann Sicht auswärtige und correspondirende Mitglieder: die Mathe- matiker Ernst Eduard Kummer in Berlin und Moritz Abraham Stern in Göttingen; die Physiker John Tyndall in London und Heinrich Rudolf Hertz in Bonn; die Zoo- logen Alexander Theodor von Middendorff in St. Peters- burg und Peter J. van ßeneden in Löwen; den Botaniker Alphonse de Gandolle in Genf und den Geologen Arcan- gelo Scacchi in Neapel.
1894. lUtli.-ph7a. Gl. 2. 8
114 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1894,
Johann Bauschinger.
Am 25. November 1893 starb im 59. Lebensjahre das ordentliche Mitglied der Classe, Johann Bauschinger, Pro- fessor der technischen Mechanik und graphischen Statik an der hiasigen technischen Hochschule, nachdem er nur ein Jahr lang unserer Akademie angehört hatte. Er hat in der Stille der Arbeitsstube und des Laboratoriums als ein echter, sein ganzes Leben der Wissenschaft dienender Gelehrter eine Reihe wichtiger Arbeiten auf dem Gebiete der Wärmelehre und der Festigkeitslehre ausgeführt und sich dadurch einen bedeutenden Namen gemacht.
Bauschinger wurde am 11. Juni 1834 zu Nürnberg ge- boren. Das Geschick hatte ihn in ärmliche Verhältnisse ge- setzt, aber ihm dafür mancherlei Fähigkeiten mit auf den Weg gegeben. Der Vater war ein einfacher Handwerker, der eine zahlreiche Familie zu ernähren hatte; es muss schon in dem Knaben ein hohes Maass von Energie und sittlichem Ernst, die ihm stets zu eigen geblieben sind, gewohnt haben, denn bereits im Alter von 14 Jahren erwarb er sich durch Stundengeben die Mittel zum Lebensunterhalt. Er liess sich durch Entbehrungen und Hindernisse nicht abschrecken, sondern gewöhnte sich, nicht in äusserlichen Vergnügungen, sondern in dem Streben nach Höherem seine Freude zu suchen. Der ganz auf seine eigene Kraft Angewiesene em- pfand aber auch bald den Segen, der in der Arbeit ruht.
Frühe zeigte sich in ihm eine besondere Begabung und Neigung für die mathematischen Naturwissenschaften; er besuchte in seiner Vaterstadt die Gewerbeschule und dann die polytechnische Schule mit grossem Erfolge, so dass er im Jahre 1853 das Absolutorium der letzteren mit Aus- zeichnung bestand und nebenbei gleichzeitig auch das der Lateinschule.
17. Vau: Nekrolog auf Johann Bauschinger, 115
Es war von Anfang an der Wunsch Bauschinger*s sich dem Lehrfach der Mathematik und Physik zu widmen; er trat daher an die hiesige Universität über, woselbst er als «Techniker* die kleine Matrikel erhalten hatte und sieben Semester verblieb. Zunächst wurde er hier mit dem her- vorragenden Physiker Simon Ohm, der leider schon im Jahre 1854 starb, näher bekannt; er schätzte denselben als Lehrer ausserordentlich hoch, da er ihm in seiner Ausbil- dang viel verdankte und in ihm einen stets hilfsbereiten Beratfaer fand. Er hörte nicht nur seine Vorlesungen über Experimentalphysik und die physikalischen Uebungen, son- dern durfte auch an den bekannten abendlichen Zusammen- künften in dem Franziskanerkeller Theil nehmen, wobei physikalische Fragen zu ernster Besprechung kamen. Ausser- dem gelang es dem strebsamen, den Namen eines Studenten mit Recht tragenden Jünglings, in der Sternwarte in Bogen- hausen, deren Vorstand Lamont war, auf Empfehlung Ohm's, Aufnahme zu finden; er konnte sich daselbst in theoretischer und praktischer Astronomie sowie in höherer Mechanik aus- bilden, besonders aber auch in der Behandlung und Beob- achtung mit magnetischen, elektrischen und meteorologischen Instrumenten, was für ihn später von grossem Vortheil war.
Im Jahre 1856 machte er die Lehramtsprüfung für Mathematik und Physik mit und bestand sie mit der ersten Note, worauf er alsbald als Aushilfslehrer für Physik und darstellende Geometrie an der polytechnischen Schule in Augsburg Verwendung fand. Ein Jahr darauf wurde er als Lehrer der Mathematik und Physik an der Gewerbeschule in Fürth angestellt, woselbst er neun Jahre zubrachte. Hier binnen neben einer angestrengten Lehrthätigkeit die ersten wissenschaftlichen Arbeiten Bauschinger^s; der Tag war durch die Schule in Anspruch genommen, ein Theil der Nacht dem Studium und den Versuchen gewidmet. Diese seine Arbeiten lenkten die Aufmerksamkeit der Kreise der Wissen-
116 Oeffentliche Sitzung vom 28. März 1894.
Schaft und der Technik sowie der Staatsregierung auf den jungen Gelehrten. Er wurde im Jahre 1866 an das Real- gymnasium zu München versetzt, kam aber zwei Jahre da- rauf an die richtige Stelle, nämlich an die damals neu ge- gründete technische Hochschule dahier, an der er durch die Einsicht ihres ersten Direktors, des Qeheimraths v. Bauern- feind, die Professur für technische Mechanik und graphische Statik erhielt.
Hier war dem nun im 34. Lebensjahre Stehenden die seinen Talenten völlig entsprechende Wirksamkeit eröfiEuet. Er beschränkte sich dabei nicht nur auf theoretische Vor- lesungen, sondern gründete alsbald für sein Fach ein Labo- ratorium, wie es der Physiker oder der Chemiker besitzt. Er hatte nämlich mit klarem Geiste erkannt, dass die tech- nische Mechanik nicht mehr auf der Empirie beruhen dürfe, sondern eine wissenschaftliche Grundlage durch Thatsachen haben müsse, und um diese zu erhalten ein besonderes La- boratorium nothwendig sei. Nach vielen Bemühungen konnte er im Jahre 1870 ein mechanisch-technisches Laboratorium eroffnen, welches anfangs noch provisorisch untergebracht war; erst im Jahre 1873 wurde für solche Zwecke auf dem Areal der technischen Hochschule ein eigenes Haus erbaut, das ganz nach seinen Plänen eingerichtet wurde und ein Muster und Vorbild für alle Anstalten der Art geworden ist. Durch die Gründung dieses Laboratoriums, einer Versuchs- station für die Festigkeitslehre, namentlich der Baumate- rialien, wirkte Bauschinger bahnbrechend : er hat durch seine zahlreichen und genauen Versuche der Mechanik eine feste Basis geschaffen.
Seine ersten in Fürth (1868-65) entstandenen wissen- schaftlichen Arbeiten sind noch rein theoretischer Natur und beziehen sich auf die Grundgesetze der mechanischen Wärme- lehre. Dieselben müssen als wichtige Vorarbeiten für die von Clausius so glänzend durchgeführte mechanische Warme-
V. VoU: Nekrolog auf Johann Bauschinger, 117
theorie bezeichnet werden. Ueber den sogenannten Entropie- l^griff entspann sich zwischen ihm und Clausius eine Contro- verse, welche zu wissenschaftlich interessanten Ergebnissen ffihrte und darthat, dass Bauschinger seinem berühmten Oegner Tolbtändig gewachsen war. Im Speziellen behandelte er dann das wichtige Problem des Ausströmens von Gasen und Dämpfen sowie auch das des Druckes im Erdinnern, indem er in seinen Bemerkungen zu einigen Stellen von Heim's Untersuchungen »über den Mechanismus der Gebirgs- bildung' aus den allgemeinen Gleichungen der Elastizitäts- lehre einige interessante Resultate über das Gleichgewicht der Erdkugel ableitete, welche dabei als feste, von einer Flüssigkeit erfüllte Hohlkugel gedacht wird. Er erkannte als einer der Ersten, dass beide Probleme nur unter Zuziehung der Prinzipien der Wärmetheorie eine befriedigende Lösung finden können. Wenn dieselben auch damals nicht zum Abschluss gebracht wurden und später durch neue Hilfs- mittel bedeutend gefördert worden sind, so werden doch Bauschinger's Leistungen auf diesem Gebiete stets ihren Werth behalten.
Sein der Anwendung der Wissenschaft schon früh be- sonders zugeneigter Geist beschäftigte sich ausserdem mit Vorliebe mit der theoretischen und angewandten Mechanik, aus welchen Studien sein vortreffliches, nach Delaunay's Bnch frei bearbeitetes, in zwei Auflagen (1861 und 1866) erschie- nenes Werk: »Schule der Mechanik* entstand. In diese Zeit (1867 und 1868) gehören auch seine Versuche mit dem zur FeststeUung der Leistung von Dampfmaschinen dienenden Riehards'schen Indikator, welche für die Wissenschaft be- sonders werthvoU geworden sind; dabei wurden acht Loko- motiven, vier mit Stephenson- und vier mit Meyer-Steuerung auf zahlreichen Fahrten untersucht und auf sieben Bahn- strecken mit 63 Meilen Gesammtlänge und mit Höheunter- schieden bis zu 300 Metern 500 Diagramme aufgenommen.
118 Oeif entliehe Sitzung vom 28, März 1894,
Diese theilweise auch die Nacht über währenden mit unge- wöhnlich grosser Mühe und Anstrengung verbundenen Ver- suche hielt Bauschinger für seine beste Leistung nnd tbat sich auf sie immer am meisten zu Gute.
Vor der Einrichtung des Laboratoriums erfolgte seine Bearbeitung der ^Elemente der graphischen Statik*, von welcher zwei Auflagen (1871 und 1880) erschienen sind. Der Zweck des Buches war, auf die Culraann'schen Arbeiten in einfacher gemeinverständlicher Art vorzubereiten, was dem Autor auch völlig gelungen ist.
Seine hauptsächlichste und ganz eigenartige Wirksamkeit, die seinen Namen erst weiterhin bekannt gemacht hat, ent- faltete aber Bauschinger durch die im mechanisch-technischen Laboratorium gemachten , wahrhaft klassischen Versuche, welche, im Jahre 1871 begonnen, nicht nur der Praxis eine Menge werth voller Thatsachen brachte, sondern auch der Wissenschaft zu Gute kamen.
Es wurden während 22 Jahren alle Baumaterialien auf ihre Festigkeit und Elastizität geprüft: Eisen und Stahl, Holz, Steine, Cemente und Mörtel.
Er hat zu diesen Bestimmungen die genauesten und sinnreichsten Messapparate und Methoden angewendet und zum Theil selbst erfunden, wie sie zu ähnlichen Zwecken für die physikalische Forschung gebraucht werden, so dass die erhaltenen Resultate für die Physik nicht minder werth- voU sind wie für die Kenntniss der in der Technik verwendeten Materialien. So hat er z. B. durch Einführung der Ganss'achen Methode der Spiegelablesung die Messung der Dehnung ausser- ordentlich verfeinert und die elastischen Formänderungen der schwersten Maschinentheile oder der stärksten Brückenglieder der Wahrnehmung zugänglich gemacht; hundertstel Milli- meter wurden von ihm gemessen mittelst seiner Rollenfühl- hebel, durch welche die Relativbewegungen der beobachteten
V, Voit: Nekrolog auf Johann Bauschinger, 119
Pankte durch Reibung einer Stange auf das Zeigerwerk übertragen werden.
Auf diese Weise entstanden die Zug-, Druck-, Biegungs- und Torsions- Versuche Bauschinger's, seine Versuche über die Abnützbarkeit und die Frostbeständigkeit der Gesteine, und die über die Knickfestigkeit und die Widerstandsfähigkeit ?on Säulen im Feuer. Zuletzt (yon 1881 an) machte er die wichtigen Dauerversuche mit oft wiederholter Beanspruchung des nämlichen Körpers, wodurch die Veränderungen der Eigenschaften des Materials durch längeren Gebrauch er- sichtlich wurden. Seine Apparate sind auch angewendet worden, um die Festigkeit der Knochen des menschlichen Körpers zu prüfen, was für die Mechanik der Bewegungen desselben sowie für die Chirurgie von Bedeutung geworden ist.
Die Versuche sind zumeist in den 23 Heften der Mit- theilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium veröflfentlicht worden; dieselben bilden eine Fundstätte für den wissenschaftlich gebildeten Techniker und haben vielfache Anregungen gebracht, welche noch auf lange Zeit richtung- gebend sein werden. Das Institut Bauschinger's stand an der Spitze der Unternehmungen der Art und es flössen ihm von allen Seiten Materialien zur Untersuchung und Aufträge für die Praxis zu. Ein besonderes Verdienst erwarb er sich noch durch die Gründung der so ungemein nützlich gewor- denen »Konferenzen zur Vereinbarung einheitlicher Methoden für die Prüfung von Bau- und Konstruktionsraaterialien"; als Vorstand derselben wusste er mit grossem Geschick die Verhandlungen zu leiten, die vielfachen Gegensätze aus- zugleichen und die gemeinsamen Versuche nach bestimmten, meist von ihm geschafienen Methoden zu veranlassen.
Es ist schon betont worden, dass Bauschinger's Zer- reissungsversuche nicht allein für die Praxis, sondern auch f&r die Wissenschaft von Wichtigkeit geworden sind, da sie Aufijchluss über das Verhalten der festen Körper in der
120 Oeffentlicfie Sitzung vom 28. Märe 1894.
Nähe der Elastizitätsgrenze und bei üeberschreitung der- selben geben. Eine rationelle Elastizitätstheorie mnss aber das Verhalten der Körper von den kleinsten bis zu den grösstmöglichen Deformationen berücksichtigen.
Als Forscher war Bauschinger von grossem Scharfsinn in der Beobachtung der Erscheinungen und im Ausdenken der richtigen Versuche, von unermüdlicher Ausdauer und seltener Gewissenhaftigkeit. Diese Gewissenhaftigkeit war ihm auch als Lehrer eigen; er lehrte gerne: sein Vortrag war durchdacht und von durchsichtiger Klarheit. Der Mann, welcher sich durch seine wissenschaftlichen Arbeiten so hoch in den Reihen der Gelehrten erhoben hatte, hätte wohl auch den Titel eines Doktors verdient.
Durch eigene Tüchtigkeit aus den einfachsten Verhält- nissen hervorgewachsen, blieb er sein Leben hindurch schlicht und bescheiden. Er drängte sich nicht vor, sondern Hess die Leute an sich herankommen; dann aber war er ungemein freundlich und wohlwollend und gerne bereit. Jedem zu nützen und zu helfen. Seine unverbrüchliche Wahrheitsliebe liess ihn stets offen seine Meinung sagen, so dass manchmal sein Wesen etwas schroff erscheinen konnte. In der Arbeit und in der Erfüllung der Pflicht suchte und fand er die höchste Befriedigung.
Bauschinger ist in seiner Art für die technische Hoch- schule und die Wissenschaft kaum zu ersetzen; sein Name wird als der eines sehr verdienten, seine eigenen Wege ein- schlagenden Forschers noch lange fortleben.
Adolf Steinheil.
Dr. Adolf Steinheil, Inhaber der optisch-astronomischen Werkstätte Carl August Steinheil Söhne, ist am 4. November 1893 aus dem Leben geschieden. Es ist von besonderem Interesse, den Entwicklungs- und Lebensgang dies^ so überaus thätigen und eigenartigen Gelehrten zu verfolgen.
V, Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil 121
Er wurde am 12, April 1832 als der zweite Sohn unseres berühmten Mitgliedes Carl August y. Steinbeil dahier geboren. Dieser Sohn hatte das ungewöhnliche Talent des Vaters für Maibematik sowie für die Anwendung derselben zur Lösung physikaliscber Probleme geerbt. Die Beiden waren sich überhaupt in ihren Anlagen ungemein ähnlich und bieten ein vortreffliches Beispiel dafür, wie sich die Organisation und die Äusbildungsfäbigkeit bestimmter Theile des Gehirns zu vererben vermag. Denn schon im kindlichen Alter trat bei dem Sohne das Verständniss für Zahlen Verhältnisse und die entschiedene Vorliebe dafür hervor. Es wird erzählt, er habe als fünQähriger Knabe vor dem Eintritte in die Volks- schule bei Betrachtung seiner gewürfelten Bettdecke sich klar gemacht, d&ss 2X6 und 3 X 4 die gleiche Zahl geben. In dem Gymnasium übertraf er die Mitschüler weit in dem Verständniss für Arithmetik und Mathematik und bei den mathematischen Aufgaben erfand er Lösungen, welche von dem Lehrer nicht vorgetragen worden waren. Dem ent- sprechend hatte er auch zeitlebens das treueste Gedächtniss für Zahlen: so z. B. wusste er von jeder Pflanze zu sagen, auf welcher Seite von Koch's Deutscher Flora sie sich be- schrieben findet, und konnte er eine grosse Anzahl von Logarithmen aus dem Kopfe angeben.
Es ist verständlich, dass der so veranlagte Sohn sich zu dem gleich gearteten Vater besonders hingezogen fühlte und schon früh für dessen Thun das lebhafteste Interesse empfand.
Man muss die Besonderheit des Vaters gekannt haben, um die Stellung des Sohnes zu ihm zu verstehen. Der Vater war ein selten genial angelegter Mann, unablässig geistig beschäftiget und voll von Ideen; er verband mit der Gründlichkeit und Schärfe des Gelehrten den beweglichen Geist, den sicheren Blick und die Beherrschung der Technik des ausgezeichneten Praktikers. Ein Schüler von Bessel und
122 Otffentliche SUzung vom 28. März 1894.
Gauss, die ihn, wie ihr Briefwechsel darthut, besonders hoch hielten, hatte er von diesen Geistesheroen gelernt, die Mathe- matik als Mittel zum Zweck anzusehen. Man nennt ihn wohl gewöhnlich als den Begründer der jetzt die ganze Erde umspannenden Telegraphen, welche er durch seine Erfin- dungen praktisch möglich gemacht hat. Zu diesen gehören: die Art des Aufschreibens und die Wahl der Zeichen, dann die Benützung der leitenden Erde statt des zweiten Drahtes und die Ableitung des Blitzes von den Apparaten durch die Blitzplatten, femer der sogenannte schweizerische Commutator und die Translatoren, durch welche eine an einer Station anlangende Depesche sich selbst weiter telegraphirt. Aber man vergisst häufig, dass in vielen anderen Fällen, wo es galt eine schwierige physikalische Aufgabe durchzuführen, sein Geist alsbald die Mittel dazu fand.*) Wer das Glück
1) Es sei nur erinnert : an sein Photometer zur Bestimmung der relativen Helligkeiten der Sterne; an das zur Sendung optischer Zeichen in grosse Entfernungen bestimmte Heliotrop; an die erste Verwendung physikalischer Eigenschafben z. B. der Brechbarkeit und der Zerstreuung des Lichtes, des specifischen Gewichtes etc. etc. zar quantitativen chemischen Analyse; an die Herstellung genauer Maass- stäbe, Gewichte und Waagen; an seinen Astrographen zum Zeichnen der Sternkarten; an das Pyroskop zur sicheren Ermittelung von Brandstätten bei Nacht; an seine Angabe durch einen mit einer elektrischen Batterie in Verbindung gebrachten Draht kranke Theile rasch abzubrennen als erstes Beispiel der für die Chirurgie so wichtig gewordenen Galvanokaustik; an die Vorrichtung, um bei der Richtung des astronomischen Fernrohrs auf den Quecksilberhorizont das Spiegel- bild des Fadenkreuzes sichtbar zu machen, wobei er eine Aufgabe, welche optisch derjenigen des viel jüngeren Augenspiegels ganz nahe verwandt ist, mit völlig ähnlichen Mitteln löste; an den für die berühmten spectralanalytischen Versuche von Bunsen und Kirchhoff von ihm construirten Spectralapparat, und endlich an die mit Eobell vor Daguerre gemachte erste Fixirung von Lichtbildern auf Papier, welche als erste Photographien auf Papier noch auf der letzten Nürnberger Ausstellung zu sehen waren. Wahrlich eine reiche Anzahl der wichtigsten, noch jetzt fortwirkenden Leistungen , wie sie nicht leicht ein Gelehrter aufzuweisen vermag.
V. Vait: Nekrolog auf Adolf Steinl^a, 123
hatte, diesem merkwürdigen Manne näher zu treten, der wird die Stunden, die er in seinem Umgänge zubrachte, nie ver- gessen. So wenig bestechend sein Vortrag war, so war er doch im Umgang ein ungemein anregender Lehrer für reifere Schüler, bei denen er durch den Reichthura und die Origi- nalität der Gedanken das grösste Interesse für seine Wissen- schaft zu erwecken wusste.
So kam es auch, dass der Sohn zeitlebens zu dem Vater, welcher für ihn das Ideal eines Naturforschers war, voll Verehrung aufsah und in Pietät das that, was der Vater forderte, wenn ihm auch die Erfüllung nicht selten recht schwer geworden ist.
Denn der Vater hielt strenge Zucht in seinem Hause, verlangte unbedingten Gehorsam und pünktlichste Ausführung seiner Anordnungen. Er war jedoch durchaus kein finsterer Mann von pedantischem grübelndem Wesen, sondern vielmehr gerne heiterem Leben zugewandt, an dem er auch seine Kinder Theil nehmen liess.
Besondere Anschauungen hatte der Vater sich über die Erziehung gebildet; der gewöhnliche Bildungsgang durch das Gymnasium und die Universität sagte diesem unabhängigen Geiste nicht zu und er wünschte nicht, dass seine Söhne in den Staatsdienst giengen: sie sollten sich ganz durch eigene Kraft durch das Leben durchringen. Er beachtete bei der genialen Leichtigkeit seines Arbeitens nicht, dass nur be- sonders veranlagte Naturen dies vermögen und der Mittel- massige am sichersten den gewöhnlichen Weg einschlägt.
Durch diesen Widerstand entschloss sich der junge Steinheil, die Noth wendigkeit akademischer Studien er- kennend, nach Absolvirung der zweiten Gymnasialklasse Privatstunden im Lateinischen und Griechischen zu nehmen, wozu er sich die vom Vater verweigerten Mittel durch Stundengeben in der Mathematik erwarb, so dass er schon nach einem Jahre (1849) am Gymnasium zu St. Anna in
124 Oeffentliche Sitzung vom 28, März 1894.
Augsburg das Absolutorium bestand. Er, borte darnach während eines Jahres (1849/50) als Eleve des ersten Kurses Vorlesungen über Mathematik und Physik an der früheren hiesigen polytechnischen Schule, die ihm jedoch keinen be- sonderen Gewinn brachten, und gieng dann mit seinen Eltern (1850) nach Wien, wohin der Vater als Sektionsrath in das Ministerium berufen worden war, um in Oesterreich die elektrischen Telegraphen einzurichten. In Wien besuchte er während des Jahres 1850/51 an der Universität und der polytechnischen Schule mathematische, chemische und bota- nische Vorlesungen bei Moth, Petzval, Schrötter und ünger, und lernte auch hervorragende Naturforscher im elterlichen Hause näher kennen, was für ihn von nachhaltiger Bedeu- tung war.
Aber bald riss ihn der Wille des Vaters aus diesen regelmässigen Studien heraus; er bestimmte ihn (1851) den Lehrkurs und die Prüfung zur theoretisch-praktischen Heran- bildung von Staaistelegraphisten mitzumachen, Hess ihn zum Aushilfstelegraphisten mit einem Taggeld von 1 fl. ernennen und beauftragte ihn mit der Herstellung der Telegraphen- linien in der Lombardei. Es war dies eine schlimme Zeit für den jungen wissensdurstigen Mann, eine Zeit voller An- strengungen und Entbehrungen, denn er musste mit seinen italienischen Arbeitern, mit denen er die harte Arbeit und die ärmliche Kost theilte, die Träger aufrichten und die Drähte ziehen. Nach Lösung dieser Aufgabe schwer krank nach Wien zurückgekehrt, fand er keine Ruhe, denn der Vater hatte die Herstellung des Telegraphennetzes in der Schweiz übernommen und die Einrichtung der Büreaux und die Ueberwachnng der Legung der Leitungen sowie die Ausbildung der Obertelegraph isten dem noch nicht zwanzig- jährigen Sohne in selbständiger Stellung vorbehalten. Es war eine schwierige, aber dankbare Aufgabe, welche ihm hier zuviel; man erkannte in der Schweiz die Wichtigkeit
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der Sache und interessirte sich in allen Kreisen lebhaft dafür; bald hatte sich auch der junge zum Oberinspektor ernannte Mann durch seine Kenntnisse und Energie die lebhafteste Anerkennung der Behörden und des Publikums erworben. Seine Schüler bei den in deutscher und französischer Sprache abgehaltenen Lehrkursen waren älter als er; aber sie haben ihn alle hoch geachtet, wie aus den mit ihm noch später unterhaltenen Beziehungen hervorgeht, und auch er hat sich stets mit Freude uud Genugthuuug dieser Zeit erfreulicher Wirksamkeit (Februar bis Oktober 1852) erinnert.
Es hätte sich ja wohl daran eine bleibende Stellung anknüpfen lassen, aber es sollte die Aufgabe seines Lebens eine ganz andere werden. Im Herbst 1852 von der Schweiz nach München zurückgekommen, wo der Vater wieder An- stellung gefunden hatte, hörte er an der Universität im Winter- und Sommersemester historische und philologische Vorlesungen, besonders aber die Experimentalphysik bei Simon Ohm, um sich für die Doktorprüfung vorzubereiten. Er war aber auch zu gleicher Zeit Hospitant des Ingenieurkurses an der poly- technischen Schule, wodurch er beföhiget wurde, schon im Sommer 1853 das Absolutorium dieser Schule zu erlangen und im Herbst desselben Jahres die theoretische Prüfung für den Staatsbaudienst als Ingenieur zu bestehen. Er glaubte dadurch einen Rückhalt für alle Fälle zu haben. Seit dieser Zeit hatte er in seinem damaligen verehrten Lehrer Bauern- feind einen väterlichen Freund erworben.
Mittlerweile hatte der Vater praktisch-optische Arbeiten begonnen, um die Mittel zum Lebensunterhalte für seine Familie zu verdienen. Er war dazu basonders geschickt, nicht nur durch die frühere Erfindung optischer Instrumente, sondern auch durch deren vortreflPliche Ausführung in seiner Werkstatte bei der mathematisch-physikalischen Sammlang der Akademie; er hatte auch in seiner Jugend Fraunhofer's Arbeiten verfolgt und war sogar von diesem aufgefordert
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worden als Theilnehmer in sein Institut einzutreten, was er bescheiden abgelehnt hatte. König Maximilian II. ermunterte ihn zu seinem neuen Unternehmen, indem er ihm den Wunsch aussprach, es möchte München als der Vorort für die prak- tische Optik in Deutschland, der es durch Fraunhofer ge- worden war, erhalten bleiben. Nach einigen Vorarbeiten konnte im Mai 1855 die optisch-astronomische Werkstatte in Schwabing bei München eröffnet und der erste Prospekt ausgegeben werden. Der Sohn wurde der erste und beste Mitarbeiter bei derselben. Nur mit Mühe und unter Wider- streben des Vaters vermochte er noch die Zeit zu gewinnen, das Doktorexamen zu machen, welches er im Jahre 1855 unter dem Dekanate Liebig's, der mit Scharfblick sein Talent erkannte und ihm stets gewogen blieb, mit der Dissertation: »Tafeln zur Entnehmung der Radien von Fernroh robjectiven, deren innere Flächen in einander passen'' bestand.
Von da an blieb er ganz bei der Optik, welche sein Lebensberuf werden sollte. Er wurde durch den Vater in dessen Ideen und Entwürfe eingeweiht und hatte die Aufgabe dieselben durchzuführen. Es war ihm namentlich die Be- rechnung des Ganges der Lichtstrahlen durch die Linsen und das Suchen nach den besten Formen übertragen. Eis begann damit für ihn eine Zeit rastlosester Thätigkeit, ein Schaffen ohne Gleichen; Jahrelang hat er, ohne sich eine Erholung gewähren zu dürfen, täglich zwölf Stunden ge- rechnet; dadurch aber eine so grosse Erfahrung und so eingehende Kenntnisse erlangt, wie sie in diesem Zweige des Wissens wohl noch Niemand gehabt hat. Dieser geistige Erwerb bildete die sichere Grundlage für seine späteren Leistungen; eine kurze Rechnung belehrte ihn später, ob der eingeschlagene Weg zum Ziele führt, und ein Blick in die Rechnungen, ob und welche Fehler die Rechner gemacht hatten. Jene ersten Jahre des Betriebs der Werkstätte waren Steinheils eigentliche Lehrjahre; er fühlte, dass er jetzt in
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seinem Elemente sich befinde und befähiget sei, hierin das Beste za Tollbringen.
Im Jahre 1865 zog sich der Vater, welcher eine Sache nur so weit verfolgte, als er glaubte, schöpferisch wirken zu können, von dem optischen Institute zurück, um ausser Proble- men der Wissenschaft seinen Neigungen, der Malerei und der Musik, sich hinzugeben. In Folge davon war der Sohn von da an ganz auf seine eigene Kraft angewiesen; er kaufte dem Vater das Geschäft ab, und führte es anfangs mit seinem älteren Bruder Eduard^), welcher im Wesentlichen den technischen und kaufmännischen Theil übernommen hatte, später nach dessen Tode allein fort. Und welchen Aufschwung nahm das Institut in kurzer Zeit unter seiner sachkundigen Leitung!
Von Anfang an gieng sein Bestreben dahin, alles Em- pirische zu verbannen und auf rein wissenschaftliche Weise durch strenge trigonometrische Rechnung, nachdem die opti- schen Constanten der Glassorten bestimmt waren, die besten Formen zu ermitteln und diese dann mit den feinsten von seinem Vater verbesserten Methoden der Prüfung mittelst des Spbärometers, des Fühlspiegels und der Newton'schen Farbenringe auf das Genaueste auszuführen. Solchen Proben auf die Güte unterlagen auch die Glasarten und die fertigen Instrumente. Es ist ihm dadurch gelungen, eine Anzahl der wichtigsten Neuerungen in die Optik einzuführen.
Steinheil ist in seinen optischen Untersuchungen der direkte Nachfolger Fraunhofer^s geworden; er hat da ange-
1) Dieser Bruder Eduard, welcher sich arsprünglicb für die Maachinenkunde, dann ftir die Landwirthschaft ausgebildet hatte, war ebenfalls für die Naturwissenschaft begeistert; er war eine Autorität in der Entomologie und besass eine unwiderstehliche Lust ferne Welt- theile zu sehen. Er hatte die Insel Elba, Algier und Columbien kennen gelernt; auf seiner zweiten Reise nach Columbien erlag der talentvolle Mann auf der Insel St. Thomas dem Sonnenstich.
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schlössen, wo letzterer durch einen allza frühen Tod die Arbeit abbrechen musste. Stets hat er jedoch dankbarst an- erkannt, welche Förderung ihm durch die hervorragenden theoretischen dioptrischen Arbeiten unseres verehrten Mit- gliedes Seidel geworden ist.
Fraunhofer hatte durch Verwendung der von ihm im Sonnenspektrum entdeckten fixen Linien eine strenge Rech- nung in der Optik ermöglicht; er war dadurch in den Stand gesetzt worden , die Lichtstrahlen durch trigonometrische Rechnung durch ein Linsensystem zu verfolgen, den Einfloss der Halbmesser, der Dicken und der Abstände der Linsen auf die Vereinigungsweiten verschiedener Strahlen zu be- stimmen und so die Dimensionen festzustellen, welche fßr gegebene Glasarten ein möglichst deutliches Bild eines in der Axe gelegenen leuchtenden Punktes ergeben.
Fraunhofer 's Fernrohrobjektive mit kleineren Dimen- sionen erfüllten drei Bedingungen: sie hatten eine bestimmte Brennweite bei gleichzeitiger Hebung des Kugelgestalt- und Farbenfehlers. Bei seinen Femrohrobjektiven von grösseren Dimensionen kam noch die Wahl der Glassorten in Bezug auf das nach Vereinigung der Hauptfarben noch bleibende sogenannte sekundäre Spektrum hinzu, sowie die von ihm angestrebte Erfüllung einer vierten Bedingung, welche aber trotz eifriger Untersuchungen des berühmten Fernrohrs noch nicht mit Sicherheit festgestellt werden konnte. Alles dieses hatte Fraunhofer durch Anwendung von nui: zwei Linsen erreicht und dadurch zuerst bewiesen, dass die Wissenschaft eine zuverlässigere Führerin ist als die Empirie, um unter vielen Möglichkeiten die günstigste Form zu wählen.
Steinheirs erste Aufgabe war, in der Gonstruktion der Fernrohre womöglich über Fraunhofer hinaus zu kommen. Er studirte eingehend das Objektiv desselben und berechnete dann (1861) das von Gauss, dessen Oefifnung im Verhältniss zur Brennweite eine grosse ist, wodurch die Helligkeit be-
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trächÜicher als bei dem ersteren Ferorohr wird. Es gelang Steinbeil in dieser Beziehung (Qrösse des Oeffnungswinkels) noch das von Gauss Geleistete zu übertreffen. Ferner er- kannte er es als einen wesentlichen Vortheil, wenn die dauerhafiteTe Flintglaslinse der aus Grownglas vorausgestellt werde; das Objektiv erhält dadurch stärker gekrümmte Flächen, wodurch das Bild ausser der Axe genauer wird und die unvermeidlichen Reflexbilder weiter vom Objektiv- bild entfernt werden, so dass sie nicht so störend wirken. Da aber bei den Fernrohren im Wesentlichen nur das Bild in der Axe deutlich zu sein braucht, und das Fraunhofer'- sche die dafür nothigen drei Bedingungen erfüllt, so ist letzteres auf einem so hohen Grad der Vollkommenheit an- gelangt, dass man es kaum zu überbieten vermag.
Eine ganz neue Form führte dann Steinheil durch die Mikrometerokulare und die vorzüglichen aplanatischen Lupen ein. Früher hatte man bekanntlich als Lupen zumeist nur einfache chromatische Linsen mit ganz geringem Gesichts- felde und als Okulare nur getrennt stehende einzelne Linsen, welche ebenfalls chromatisch waren und vielfach störende Reflexe zeigten, verwendet. Steinheil setzte die beiden aus drei mit einander verkitteten Linsen, einer biconvexen Grown- glaslinse zwischen zwei Flintglaslinsen, zusammen, wodurch er achromatische, von Reflexen freie Bilder erhielt. Seine eigen thümlichen monocentrischen Okulare bestehen ebenfalls aus einer Kugel von Grownglas, welche von zwei Flintglas- menisken eingeschlossen ist, deren Radien sich nur durch die Dicke unterscheiden, so dass alle Radien den gleichen Mittel- punkt haben, der zugleich optischer Mittelpunkt ist; sie zeigen grosse Bildschärfe in gleicher Entfernung vom Mittel- punkt des Gesichtsfelds und haben mannigfache Anwendung z. B. bei Ringmikrometern gefunden.
Die grösste Aufgabe erwartete Steinheil jedoch durch die Photographenobjektive. Die sich so rasch entwickelnde
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Photographie stellte nämlich an die Optik eine Reihe anderer Anforderungen, viel schwierigere als es bis dahin die Astro- nomie gethan hatte. Auf diesem Felde konnte Steinheirs Methode der Rechnung und der Herstellung der Objektive die bedeutendsten Erfolge erringen. Bei dem astronomischen Fernrohr wird nämlich von dem durch das Objektiv ent- worfenen Bild gewöhnlich nur ein kleiner centraler Theil durch das Okular betrachtet, wesshalb das Fernrohrobjektiv, wie erwähnt, zumeist nur in der Axe und deren nächster Nähe ein scharfes Bild zu liefern braucht, während es gleich- giltig ist, ob dieses Bild in seiner weiteren Ausdehnung scharf bleibt, d. h. ob es eben oder gekrümmt ist. Bei der Photographie dagegen soll das vom Objektiv entworfene Bild eine grosse Ausdehnung besitzen und in der ganzen Aus- dehnung gleich genau sein, es soll femer vollkommen in einer Ebene liegen und eine grosse Tiefe besitzen, welches letztere dann erreicht ist, wenn die Linse die Fähigkeit hat, von ungleich entfernten Objekten gleichzeitig ein deutliches Bild in der nämlichen Ebene zu erzeugen.
Dabei genügt es nicht wie bei dem Femrohr nur die Strahlen in der Axe in einem Punkte zu vereinigen, da das Bild eines ausser der Axe liegenden leuchtenden Punktes einen zu grossen Durchmesser erhalten kann ; man muss da- her in diesem Falle die trigonometrische Durchrechnung auch noch auf einen Bildpunkt ausser der Axe ausdehnen, wo- durch die Aufgabe eine viel complizirtere wird. Man hat hier nach den Darlegungen SteinheiPs zu berücksichtigen: bei dem Bildpunkt in der Axe: die Brennweite, die Hebung des Kugelgestaltfehlers und des Farbenfehlers ; bei dem Büd- punkt ausser der Axe: die Hebung der Farben ausser der Axe, dann der Verzerrung, der Bildkrümmung, des regel- mässigen und unregelmässigen Astigmatismus und des Kugel- gestaltfehlers ausser der Axe. Die Correktur der drei letz- teren Fehler wurde ihm nur durch die von Seidel entwickelten
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.trigonometrischen Formeln ftir den allgemeinsten Fall der Brechung des Lichtes an centrirten sphärischen Flächen" möglich. Fraunhofer hatte schon, wie gesagt, bei seinen Fernrohrobjektiven von grösseren Dimensionen ausser den drei Bedingungen für den Bildpunkt in der Axe eine vierte einzufahren gesucht.
Bevor sich Steinheil mit der Construktion photographi- scher Objektive befasste, existirte nur ein einziger guter Typus, der von dem Mathematiker Petzval in Wien bald nach Er- findung der Daguerreotypie ersonnene ; er war aus vier Linsen zusammengesetzt, von denen drei einzeln stehen, und aus drei Glasarten hergestellt. Dieses PetzvaPsche Objektiv ist noch immer im Gebrauch, alle anderen, wesentlich neuen Photo- graphenobjektive sind von Steinheil eingeführt worden. Hierin zeigt sich seine vollkommene, einzig dastehende Beherrschung der Theorie am prägnantesten.
Im Laufe der Zeit sind von ihm drei Construktionstypen für Photographen-Apparate ausgegeben worden.
Zuerst das Periskop (1865), welches nur aus zwei sym- metrischen Linsen von einer Glasart besteht, also chromatisch und von geringer Helligkeit ist, jedoch ein sehr grosses Ge- sichtsfeld und eine ganz correkte Zeichnung besitzt. Dieses Instrument wird noch heute trotz seiner Farbenzerstreuung gewünscht, da es in Folge der ausserordentlich einfachen Construktion für seine Leistung sehr billig ist.
Den zweiten Typus nannte er Aplanat, welcher, aus vier paarweise verkitteten symmetrischen Linsen von zwei Glas- arten besteht. Im Jahre 1866 wurden die ersten Apparate der Art vollendet, im Jahre 1871 die Weitwinkelapparate für Reproduktion von topographischen Landkarten als Losung einer von dem österreichischen Kriegsministerium gestellten Aufgabe ausgeführt, und im Jahre 1879 die ersten Gruppen- aplanate ausgegeben. Diese Aplanaten haben die weiteste Verbreitung gefunden und wurden überall unter den ver-
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schiedensten Namen nachgemacht. In ihnen finden sich die Elemente für alle Bedingungen; nur eines dieser Elemente, der Astigmatismus, ist darin noch nicht berücksichtiget.
Der dritte Typus ist der im Jahre 1881 entstandene Antiplanet. Derselbe beruht auf einem ganz neuen, höchst geistreich erdachten Prinzip, indem durch eine vordere Doppel- linse alle Fehler absichtlich gross gemacht und dann durch ein zweites Linsenpaar vollständiger, als dies sonst möglich war, korrigirt werden. Er besteht aus nur vier paarweise verkitteten nicht symmetrischen Linsen von nur zwei Qlas- arten, und es ist in ihm auch der letzte Fehler, der des Astigmatismus, fast ganz gehoben. Dieser Antiplanet, ein Instrument von denkbar grösster Einfachheit, erforderte un- endlich mühsame Berechnungen, bis die Möglichkeit der An- wendung des Prinzips erkannt war, er hat aber auch zu einem glänzenden Resultat geführt. In Folge der in dem letzten Jahrzehnt in der Glastechnik gemachten grossen Fort- schritte haben Andere versucht, diesen Stein heil'schen Anti- planet noch zu verbessern.
Von Steinheil wurde die von dem deutschen Reiche zur Beobachtung des Venusdurchgangs im Jahre 1874 ausge- sandte Expedition mit vortrefflichen photographischen Fern- rohrobjektiven ausgestattet.
Zuletzt fesselte ihn die wichtige Aufgabe der Herstel- lung von Instrumenten zur Photographie der Himmelskörper. Bei den Pariser Verhandlungen, welche die einheitliche pho- tographische Aufnahme des Fixsternhimmels vorzubereiten hatten, vermochte er darzuthun, welchen Bedingungen ein astrophotographisches Objektiv zu genfigen hat, woraufhin er zunächst das Potsdamer Observatorium mit Apparaten der Art versorgte, welche schon manche neue Aufschlüsse ge- liefert haben.
SteinheiVs astrophotographische Objektive bedingen einen erheblichen Fortschritt in der Wissenschaft, mit dem sein
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Name stets verknüpft bleiben wird, denn sie gestatten die Stellung der Sterne noch nach Jahrhunderten zu ersehen und die Veränderungen derselben zu erkennen. Die hiesige Sternwarte, welche überhaupt kein grösseres Instrument von Steinheil besitzt, ist wegen Mangel von Mitteln leider nicht in der Lage, sich an diesem durch unseren Mitbürger ermöglichten geistigen Wettkampfe zu betheiligen.
Die Hauptschwierigkeiten bei der Berechnung optischer Construktionen liegen darin, für den jeweiligen Fall die rich- tige Reihenfolge zu finden, in welcher alle die noth wendigen Bedingungen erfüllt werden müssen, und direkt vergleichbare Fälle für die Auswahl herzustellen, sowie auch die in Bezug auf ihr Brechungs- und Zerstreuungsvermögen passenden Glasarten za wählen. Steinheil liess nie ab, immer wieder zu prüfen, ob sich der Zweck nicht vollständiger und mit einfacheren Mitteln erreichen lasse. Er besass ausserdem ein ganz besonderes Geschick in der Erfindung von Methoden, nach welchen genaue Formen hergestellt werden können, ebne vom Arbeiter besondere Kenntnisse zu verlangen, wo- bei er zumeist von aus der Mathematik bekannten Sätzen ausgieng. Um z. B. eine genaue Planfläche herzustellen, liess er, ganz unabhängig von Withworth und Anderen, drei Flächen schleifen , von welchen jede auf jede der beiden anderen passt, denn in diesem Falle mussten auch die Flächen eben sein. War ihm ferner die Aufgabe gestellt, ein Prisma zu machen mit einem Winkel von genau 90^ und zwei Winkeln von genau 45^, so gieng er von den beiden geo- metrischen Sätzen aus, dass im Quadrat jeder Winkel ein rechter ist und dass im gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreieck die Winkel an der Hypothenuse einander gleich und von 45® sind.
Ans der optisch-astronomischen Werkstätte Steinheil's, welche im Jahre 1862 aus Schwabing nach München in die Landwehrstrasse verlegt und im Jahre 1890 in ein eigens
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für diesen Zweck auf der Theresienhöhe errichtetes grosses Gebäude transferirt wurde, sind Tausende von kleinen und grossen Femrohren, Prismen, Photographenapparaten etc. in alle Welttheile ausgegangen und haben seinen Namen ak den eines der erfindungsreichsten und sorgfaltigsten Optiker aller Zeiten bekannt gemacht. Seine Kenntnisse und seine Energie haben das berühmte Institut geschaffen ; sein Qeist wird in letzterem noch ferner walten. Die in seine Fuss- stapfen Tretenden haben jetzt leichtere Mühe das Yon ihm Brdachte weiter fortzuführen.
Steinheil hat durch seine optischen Untersuchungen und die Herstellung optischer Instrumente nicht nur indirekt die Wissenschaft gefördert, sondern sich auch direkt an der Erweiterung derselben betheiligt. In manchen exklusiven Kreisen der Gelehrten sieht man zwar noch immer nur die ganz ideale, auf keinen praktischen Nutzen gerichtete Thä- tigkeit als die wissenschaftliche an und hält eine Beschäfti- gung um so weniger für eigentlich wissenschaftlich und für würdig, je mehr sie einer direkten Anwendung fähig ist. Aber hören wir denn nicht so oft sagen, dass jede durch die Wissenschaft festgestellte Thatsache, auch die allerabstrak- teste, einmal ihre Bedeutung für das menschliche Leben ge- winnt, eine Bedeutung, welche zumeist Niemand vorzuahnen im Stande ist? Und soll es für den Forscher einen Unter- schied machen , ob dieser Nutzen erst nach Hunderten von Jahren oder alsbald sich einstellt? Der Entdecker neuer Gebiete und Thatsachen in der Wissenschaft erkennt nicht selten bei einem gewissen Stande des Wissens auch zuerst deren Anwendbarkeit und findet wohl auch am besten den richtigen Weg dazu. In solcher Weise wurde Lavoisier der erste praktische Hygieniker, denn er hat sich nach der Er- kenntniss der Rolle des Sauerstofis im Thierkörper viel mit der Beschafi'ung reiner Luft und mit anderen Fragen der öffentlichen Gesundheitspflege befasst. Gerade unsere Aka-
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demie bietet in ihrer Vergangenheit leuchtende Beispiele da- für, das8 die grössten Gelehrten es nicht yerschmäht haben, die Früchte ihrer wissenschaftlichen Arbeit zum Wohle der Menschheit za verwerthen. Liebig wurde auf Grund seiner chemischen Untersuchungen der Begründer des rationellen Ackerbaues; der edle Fraunhofer, gegen dessen Aufnahme in die Akademie als eines Autodidakten und Praktikers von mancher Seite Bedenken bestanden, stellte in seinem optischen Institut die ersten genauen achromatischen Fernrohre her, mit denen er, wie die von Utzschneider ihm gesetzte stolze Grabschrift aussagt: approximavit sidera; es ist schon erwähnt worden, wie der geistvolle Steinheil, der Aeltere, zuerst die Apparate für die elektrische Telegraphie brauchbar zu ge- stalten wusste, wodurch er der Kultur einen der grössten Dienste erwies. Sollen dies Alles wirklich keine wissen- schaftlichen Werke gewesen sein? In der That, seitdem auf vielen Gebieten die Praxis nicht mehr eine Empirie ist, sondern nichts Anderes als Wissenschaft, ist hierin die Grenze zwischen Theorie und Praxis nicht mehr zu bestimmen. Den Entscheid, ob eine Leistung eine wissenschaftliche ist oder nicht, liefert nur die dabei benützte Methode. Häufig gehört auch zur Herstellung nutzbarer Dinge auf wissen- schaftlichem Wege mehr Geist und schöpferische Kraft als zu einer rein wissenschaftlichen Thätigkeit auf schon längst gebahnten Wegen. Und dass Steinheil bei seinen Arbeiten nach streng wissenschaftlicher Methode verfuhr, das weiss Jeder, der sie kennt.
Er hatte auch auf dem Höhepunkt seines Lebens die grosse Freude sich als Mann der Wissenschaft voll anerkannt zu sehen. Unsere Akademie, in welcher sich Männer befinden, die als erste Sachverständige auf dem Gebiete der Optik gelten, hat ihn im Jahre 1888 zum ausserordentlichen Mit- gUede gewählt. Bei dem vorher erwähnten internationalen Congresse in Paris (1887), bei welchem die Methoden der
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photographischen Auf nahmen des Sternhimmels festgesetzt werden sollten, hat der deutsche Optiker mit Alle über- zeugender Klarheit und Sicherheit seine gereiften Anschau- ungen hierüber dargelegt, denen sich die illustre Versammlung einstimmig anschloss. Als im Jahre 1891 die internationale astronomische Gesellschaft dahier ihre Versammlung abhielt, konnte er den sachkundigen Gelehrten seine neue Werkstatte mit ihren vollendeten Einrichtungen zeigen; Alle haben da- mals die ITeberzeugung gewonnen, dass sie eine auf wissen- schaftlicher Grundlage ruhende Anstalt gesehen haben. Ein Zeichen der Anerkennung seiner Verdienste um die Wiasen- schafb war es auch, dass er im Jahre 1887 zum Mitgliede des Kuratoriums der physikalischen -technischen Reichsanstalt, deren Vorstand Helmholtz ist, ernannt wurde, wo sein er- fahrener unparteiischer Rath gerne gehört wurde.
In seiner Liebe zur Wissenschaft hat er in uneigen- nützigster Weise Alles zu ihrer Förderung gethan. Wie oft haben sich Astronomen und Physiker, welche zu einem be- sondern Zweck eines optischen Apparates bedurften, an Steinheil gewendet, der denselben ersann und herstellte, ohne für seine geistige Thätigkeit und besondere Mühe einen Preis in Ausatz zu bringen. Bei Gelegenheit der 100jährigen Geburtstagsfeier Fraunhofer'« machte er zu Gunsten der hiesigen technischen Hochschule eine Stiftung von 10000 Mark zur Errichtung einer optischen Prüfungsstation, in welcher von sachkundiger Seite Prüfungen optischer Instrumente vorgenommen werden können; es war sein Wunsch dadurch den wissenschaftlichen Betrieb der Mechanik und Optik in München, wo die Werkstätten von Utzschneider, Fraunhofer, Reichenbach und Ertel blühten und in der Bevölkerung noch so viel Talent für solche Arbeiten sich findet, zu fordern; allerdings scheint von diesem hochherzigen Geschenk in weiteren Kreisen nichts bekannt geworden zu sein. Das gemeinschaftlich mit Ernst Voit herausgegebene verdienst-
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volle Handbuch der angewandten Optik, an dem beide Autoren den gleichen Antheil haben, ist ein Hilfsbuch für den aus- übenden Optiker, um ihm ein klares Bild von der Leistung optischer Systeme zu yerscha£Pen und ihn in den Stand zu setzen, die Berechnung derselben mit wissenschaftlicher Strenge durchzuführen. Steinheil hat darin alle seine Me- thoden der OeflFentlichkeit preisgegeben, damit sie Gemein- gut und Anderen nutzbar würden und es nicht so gehe, wie mit den leider verloren gegangenen Methoden Fraunhofer's. Wo aber fände sich ein zweiter, der in gleichem Falle so aneigennützig gehandelt hätte?
Durch die frühzeitige intensivste, lange Zeit sein ganzes Denken in Anspruch nehmende Beschäftigung mit einem be- sonderen Zweige des Wissens, ohne die er nie sein Ziel er- reicht hätte, erhielt er scheinbar eine gewisse Einseitigkeit. Er besass jedoch auch für andere Dinge ein lebhaftes Interesse. Mit den einheimischen Pflanzen, Käfern und Schmetterlingen war er, wie sein Vater und Bruder, in seltenem Grade ver- traut; er kannte genau ihre Fundorte und Lebensweise, so dass Spaziergänge mit ihm für den Naturfreund zu einem wahren Genüsse wurden. Gerne und mit Verständniss folgte er Erörterungen über schwierige, noch nicht aufgeklärte Fragen aus ihm sonst ganz fremden Gebieten und wusste nicht selten den Kernpunkt zu finden und auf den richtigen Weg zu leiten. Der hiesigen Stadt hat er während 12 Jahren (1869 — 1881) als Gemeindebevollmächtigter namentlich durch seine rechnerischen Kenntnisse und seinen leichten üeberblick bei Aufstellung des städtischen Haushaltes und auch auf dem Gebiete der Volksschule erspriessliche Dienste geleistet, wobei er sich die intimste Freundschaft des unvergesslichen Bürger- meisters Erhardt erwarb.
Das Bild von Steinheil's Wirken und Wesen wäre un- vollständig, wenn man nicht auch seiner Charaktereigen- schaften gedenken würde. Bei so Manchem entspricht die
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Ausbildung des Charakters nicht der des Geistes; wir ver- mögen ihn ob letzterer zu bewundem, ihn aber ob ersterer nicht zu lieben. Steinheil ist durch ruhiges und tiefes Nach- denken über sich und die Welt sowie durch sein Handeln darnach zu einem der edelsten Menschen geworden.
Wer ihn nur oberflächlich kennen lernte, bemerkte an ihm eine auffallende, manchmal fast zu gross erscheinende Bescheidenheit. Diese hatte er nicht, weil er seine Person zu niedrig stellte, denn er wusste für sich im Stillen recht wohl, was er werth war; sie entsprang vielmehr einer ge- wissen Verlegenheit und ünbeholfenheit im Umgang mit Leuten, die ihm noch fremd waren, aber auch der aufrich- tigen Hochachtung für jegliches Verdienst. Von einer un- gewöhnlichen Milde im Urtheil gegen Andere hat ihn wohl Niemsind in aufbrausendem Zorne gesehen ; nur dann konnte er indignirt und sogar scharf seine Meinung äussern, wenn er eine Unwahrheit wahrnahm. Es währte darum lange, bis er von einem Menschen Böses dachte, aber es gelang schwer, wenn er einmal aus einem solchen Grunde gegen Jemanden eingenommen war, ihm eine bessere Meinung über ihn beizubringen.
Von einer unendlichen Liebe war er für seine Mit- menschen erfüllt. Von den reichen Mitteln, die er sich durch seinen Fleiss erworben, hat er den edelsten Gebrauch ge- macht und unendlich viel Gutes und Segensreiches gestiftet. Vielen Menschen hat er geholfen und in einer Weise, dass sie die Wohlthaten nicht drückend, sondern als eine wahre Herzensfreude des Gebers empfanden. Für jeden seiner vielen Arbeiter war er ein sorgender Freund ; sie wussten aber auch, was sie an ihm hatten und suchten es ihm durch treue An- hänglichkeit zu vergelten. Es war ein wahres Wort, was ein auswärtiger Fachgenosse an seinem Grabe aussprach: die soziale Frage wäre wohl bald gelöst, wenn alle Arbeitgeber so dächten und handelten wie SteinheiK
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Sein Nachdenken hat ihn auch dazu geführt, die Welt trotz aller ihrer UnvoUkommenheit als gut und weise ein- gerichtet zu betrachten, und er konnte gegen pessimistische Anschaunngen lebhaft ankämpfen. Das Schlimme wusste er immer wieder zum Guten auszulegen und sich und Andere za beruhigen. Das Unvermeidliche und das Unglück be- trachtete er als nothwendige Folge der gegebenen Beding- ungen, und er war sich klar darüber, dass der Mensch von der Natur nicht ausgenommen sei, sondern einen Theil der- selben bilde. In diesem Sinne ertrug er die Abnahme seines Sehvermögens und den Verlust des einen Auges mit wahr- haftem Heldenmuth, wjihrend er der Verfeinerung dieses Sinnesorganes für die übrigen Menschen seine ganze geistige Kraft widmete.
Man kann ermessen, was ein Mann von solcher Gesinnung seinen Freunden sein musste. Er war für sie von unwandel- barer Treue, voller Theilnahrae im Glück und Unglück, von geradezu rührender Aufmerksamkeit und Aufopferung. Sie allein haben die ganze Fülle von Edelsinn, dessen der nach Aussen hin so anspruchslos erscheinende Mann fähig war, erkennen können.
In einer Zeit, in welcher selbst in der Wissenschaft so Viele nicht mehr mit reinem Sinne ausschliesslich die Wahr- heit suchen, sondern sie zu einem Tummelplatz niedriger egoistischer Leidenschaften machen, erfreut und erhebt man sich an dem Lebensbilde eines nur dem Idealen zugewandten Mannes wie Steinheil. Er hat die ihm verliehenen Gaben dazu benützt, unser Wissen und Können zu vermehren, und indem er Andere beglückte, ist er selbst glücklich gewesen.
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Ernst Eduard Kammer.
Ernst Eduard Kummer^) war geboren zu Sorau in der Niederlausitz hart an der schlesischen Grenze den 29. Ja- nuar 1810. Schon 1813 verlor er seinen Vater und der Mutter fiel es bei knappen Mitteln schwer, ihn studiren zu lassen.
Er besuchte das Gymnasium seiner Vaterstadt und be- zog 1828 die Universität Halle, wo er unter der Leitung von Professor Scherk sich der Mathematik widmete. Im 3. Studienjahre löste er eine mathematische Preisfrage und wurde auf Grund dieser Arbeit 1831 zum Doktor promovirt.
Von 1832 — 1842 wirkte Kummer als Gymnasiallehrer in Liegnitz. Hier legte er den Grund zu seinem künftigen Ruhme durch verschiedene Arbeiten, vorzugsweise dem Ge- biete der ßeihenlehre und der Integralrechnung angehorig; hervorzuheben ist hier das Liegnitzer Programm „Ueber eine Differentialgleichung 3. Ordnung* 1834, und ganz besonders seine Arbeit über die hypergeometrische Reihe (1836), in welcher er die berühmte Abhandlung von Gauss -über diese Reihe fortsetzte und in würdiger Weise ergänzte. Diese Arbeiten verschafften ihm schon 1839 die Ernennung zum correspondirenden Mitglied der Berliner Akademie und 1842 die Berufung an die Universität Breslau.
In der Breslauer Periode von 1842—55 waren es zu- meist zahlen theoretische Untersuchungen, die ihn beschäf- tigten. Auf diesem abstrakten Gebiete zeigte sich ganz be- sonders sein Scharfsinn und das tiefe Eindringen seines Geistes. Seine Abhandlung „über die aus Wurzeln der Ein- heit gebildeten complexen Zahlen* (1845), in welcher er den neuen Begriff der »idealen complexen Prim-Paktoren* einführt und genau definirt; seine Untersuchungen über einen
1) Nach Mittheilungen von Herrn Collegen Gustav Bauer.
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Satz von Feriiiat, dessen allgemeinen Beweis er zuerst er- brachte (1850), verschafiften ihm den grossen Preis der Ber- liner Akademie. «
Wie hoch damals das Ansehen Kummer ^s gestiegen war, geht wohl am besten daraus hervor, dass er 1855 Nach- folger Dirichlet's an der Berliner Universität, wie in der Akademie wurde. Es ist bemerkenswerth, dass Kummer in dieser letzten Periode seines Wirkens sich von den abstrakten Problemen der Zahlentheorie immer mehr den concreteren Problemen der Geometrie zuwandte. In diese Periode fällt seine berühmte Abhandlung «lieber die allgemeine Theorie der geradlinigen Strahlsysteme** (1860); seine Abhandlung über Flächen 4. Grads, auf denen Schaaren von Kegel- schnitten liegen, und 1864 die Entdeckung der Fläche 4. Ordnung, die durch eine merkwürdige Configuration von 16 Punkten und 16 Ebenen ausgezeichnet ist und als „ Kum- mer ^sche Fläche** allen Mathematikern bekannt ist. Auch auf das Gebiet der Physik griff er über; seine Untersuch- ung über Strahlsysteme führten ihn auf die atmosphärische Strahlenbrechung; seine Vorträge an der Kriegsschule über ballistische Probleme auf physikalische Untersuchungen über den Luftwiderstand.
Kummer war ein ausgezeichneter Lehrer und hatte Freude am Lehren. Erst im Alter von 74 Jahren stellte er seine Vorlesungen ein und lebte fortan in stiller Zurück- gezogenheit nur für seine zahlreiche Familie, bis ihn 9 Jahre später am 14. Mai 1893 ein Anfall von Influenza dahin- rafft«. Er war lange Zeit das Haupt der Berliner mathe- matischen Schule und der bedeutendste Vertreter dieser Wissenschaft in Deutschland.
142 OeffenÜiche Sitzung vom 28. Mars 1894.
Moritz Abraham Stern.
Moritz -Abraham Stern ^) v^r ein Schüler Ton Gaoss und verbrachte seine ganze Gelehrten-Laufbahn als Professor der Mathematik zu Qöttingen. Seit 1850 Mitglied unserer Akademie, hatte er das seltene Glück weit über das ge- wöhnliche Zeitmaass hinaus für die Wissenschaft tbätig sein zu können. Seine zahlreichen und werth vollen Arbeiten, fast sämmtlich in dem Crelle'schen Journal veröflfentlicht, erstrecken sich auf einen Zeitraum von 60 Jahren und ziehen sich durch 100 Bände des Journals hindurch. 1830 erschien seine erste Arbeit im 6. Bande des Journals und 1890 seine letzte im 106. Bande. Die meisten seiner Arbeiten, darunter auch seine erste und seine letzte Publikation, liegen auf dem Gebiete der höheren Arithmetik oder Zahlentheorie. An- dererseits aber verdankt man ihm viele schätzbare Unter- suchungen in verschiedenen Theilen der algebraischen Ana- lysis, so insbesondere über die Theorie der Bernoulli'schen Zahlen und über die Theorie der Kettenbrüche. Femer ge- hört hieher seine Abhandlung »über die Auflösung der trans- scendenten Gleichungen", eine von der königlich dänischen Gesellschaft der Wissenschaften gekrönte Preisschrift (1840), und, als wichtige Ergänzung hiezu, seine Abhandlung , Ueber die Anwendung der Sturm'schen Methode auf transscendente Gleichungen" (1846). Als selbständiges Werk erschien 1860 sein vortreffliches und allbekanntes , Lehrbuch der algebra- ischen Analysis*. Er ist im 87. Lebensjahre am 30. Januar 1894 zu Zürich im Hause seines Sohnes, des Historikers Alfred Stern, gestorben.
1) Nach MittheiluDgen von Herrn CoUegen Gastav Bauer.
V, Vait: Nekrolog auf John Tyndall 143
John Tyndall.
In den weitesten Kreisen bekannt war der hervorragende englische Physiker und Naturforscher Johu Tyndall, der am 4. Dezember 1893 auf seinem Landsitze Hind Uead bei Haslemere im 74. Lebensjahre verschieden ist. Er konnte sich nicht wie so viele seiner mit Glücksgütern gesegneten Landsleute sorgenlos seiner Ausbildung und seinen ersten Studien hingeben, denn armer Leute Kind musste er sich die Mittel dazu selbst erwerben. Er war zuerst als Gehilfe bei der trigonometrischen Vermessung Englands und dann beim Eisenbahnbau beschäftigt, wodurch er nach zehnjähriger Arbeit sich so viel erspart hatte, um das ersehnte Ziel, eine Universität besuchen und naturwissenschaftliche Studien be- treiben zu können, zu erreichen. Es ist ein für unsere Universitäten ehrenvolles Zeugniss, dass ein Mann wie Tyndall nach Deutschland kam, um sich Wissen zu erwerben. Er begab sich zunächst, schon 28 Jahre alt, mit seinem Lands- mann Frankland nach Marburg, wo er neben Mathematik und Physik die Chemie bei dem vorzüglich auf dem Grenz- gebiete der Physik und Chemie thätigen Bunsen betrieb und auch die Doktorwürde erwarb. Darauf ging er nach Berlin, um bei Gustav Magnus zu arbeiten, in dessen Laboratorium damals eine ungewöhnlich grosse Anzahl talentvoller junger Naturforscher mit Problemen der Physik beschäftigt war. Tyndall untersuchte daselbst die Erscheinungen an einem Wasserstrahl, dann in Gemeinschaft mit Knoblauch, dem jetzigen verdienstvollen Präsidenten der Kais. Leopoldinischen Akademie der Naturforscher, das Verhalten krystallisirter Körper zwischen den Polen eines Magneten.
Diese Arbeiten, welche ein ungewöhnliches Talent ver- riethen, lenkten die Aufmerksamkeit der englischen Gelehrten auf den aufstrebenden Physiker; denn nach seiner Rückkehr nach England erhielt er alsbald eine Lehrstelle am Queenwood
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College, dann an der Royal Society und ina Alter von 33 Jahren die Professur der Physik an der Royal Institution zu London als der Nachfolger des genialen Thomas Young und von Faraday, des grössten Experimentators seiner Zeit. Und nun begann für Tyndall eine an Erfolgen reiche wissenschaftliche Thätigkeit. Seine rein physikalischen Forschungen erstreckten sich über fast alle Theile dieser Wissenschaft; man verdankt ihm namentlich die wichtigsten Bereicherungen der Lehren von dem durch Faraday entdeckten Diagmagnetismus, der Polarisation des Lichtes, der Wärmestrahlung und der Akustik.
Tyndall hat sich jedoch nicht nur auf dem Gebiete der Physik Verdienste erworben; er war ein umfassender Geist, der überall in der Natur Probleme für seine Forschung fand.
Er hat sich bei der Lösung der so ungemein wichtigen Frage nach der Entstehung der niedersten Organismen be- theiliget, ob dieselben sich aus den Nährlösungen von selbst, durch sogenannte Urzeugung bilden können oder ob ihr Auftreten stets einen schon vorhandenen Keim oder eine Organisation voraussetzt. Es gelang ihm als einem der ersten in der Luft das Vorkommen von Milliarden von Keimen nachzuweisen, welche auch da noch sich finden, wo man sie früher zerstört zu haben glaubte; auch gab er im Anschlüsse an die Versuche von Schwann, M. Schnitze, Schröder und Dasch, Hofmann etc., Methoden an, durch welche man jene Keime sicher zu tödten vermag. Er hat sich dadurch, nament- lich durch seine Abhandlung über Staub und Krankheit, um die Ausbildung der jetzigen Lehre von der Fäulniss und Gährung, wodurch man auch ganz andere Anschauungen über die niedersten Organismen ah Krankheitserreger er- halten hat, sehr verdient gemacht. Er war der Ansicht, die ersten Keime des Lebendigen wären durch Meteore von ent- wickelteren Weltkörpern auf unsere Erde gebracht worden.
Von mächtiger Wirkung waren seine auf mühsamen Wanderungen gemachten Beobachtungen über das Entstehen
V. Voit: Nekrolog auf Jbhn Tynddlh 145
and die Natur der Gletscher, über die Bewegung derselben und über die physikalischen Eigenschaften sowie die Bildung des Eises. Es haben diese seine Forschungen viel zu der regen wissenschaftlichen Untersuchung der Alpen beigetragen.
Auch ist sein Antheil an der Feststellung und der An- wendung des Gesetzes von der Erhaltung der Energie, welches er in allen seinen Schriften consequent durchführte, zu er- wähnen.
Sehr bemerkenswerth und Yon grossem Erfolge begleitet waren TyndalPs Bemühungen, das durch die Wissenschaft Erkannte dem Volke in verständlicher Weise zugänglich zu machen; er wollte das Wissen verbreiten, um das leibliche und geistige Wohl des Menschengeschlechtes zu fordern. Als eifriger Wanderlehrer hielt er durch Klarheit der Dar- stellung und Gedankenreichtum wahrhaft mustergiltige Vor- trage: über die Wärme, den Schall, das Licht, die Elek- trizität etc. welche auch durch treffliche Uebersetzungen seiner Fachgenossen und Freunde Helmholtz und Wiedemann dem deutschen Publikum bekannt geworden sind.
Tyndall war ein tiefer Denker, der sich nicht nur mit den nächsten Ursachen einer Erscheinung befasste, sondern auch die gemeinschaftliche Ursache für eine grössere Gruppe von Erscheinungen zu finden trachtete, und sich viel mit der Frage der Wege und der Grenzen der menschlichen Erkenntniss abgab. Eine zur Eröffnung der Jahresversamm- lung der British Association zu Belfast gehaltene Rede über Naturwissenschaft und Offenbarung rief leidenschaftliche An- klagen der Orthodoxen gegen ihn hervor; man wird in späteren Jahren nicht mehr verstehen, wie es möglich war, die Naturforscher zu bekämpfen, welche in ihrer Wissen- schaft ausschliesslich die Erscheinungen festzustellen und die Ursachen der Dinge zu suchen haben, aber in der Offen- barung kein Objekt für ihre Forschung finden.
Tyndall hat durch seinen Aufenthalt an deutschen Uni-
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versitäten das Wesen der deutschen Naturforscher näher kennen und schätzen gelernt und namentlich durch seine Freundschaft mit Helmholtz die Beziehungen der englischen und deutschen Gelehrten inniger gestaltet und dadurch beiden Theilen wesentliche Dienste erwiesen. Es ist mit Tyndall ein Forscher von grossem Scharfsinn und von unermüdlicher Ausdauer in der Arbeit dahingegangen, der die Wissenschaft über Alles liebte und in uneigennützigster Weise seine Mittel zu ihrer Unterstützung sowie zur Beförderung des Wohles der Menschheit verwendete. Man wird ihn stets zu den be- deutendsten Naturforschern unserer Zeit zählen.
Heinrich Rudolf Hertz.
Durch den am 1. Januar 1894 erfolgten frühzeitigen Tod des Professors der Physik an der Universität zu Bonn, Heinrich Rudolf Hertz, hat die Naturwissenschaft einen der schmerzlichsten Verluste erlitten.
Hertz wollte sich anfangs dem Baufache zuwenden und besuchte zu diesem Zwecke die technischen Hochschulen zu Dresden und Berlin; aber immer mehr trat bei ihm die lebhafteste Neigung für die Mathematik und die Physik hervor, so dass er sich bald ganz dem Studium derselben, zuerst in München und dann in Berlin bei Helmholtz, widmete. In kürzester Zeit hatte sich der ausserordentlich talentvolle junge Mann, namentlich durch seine mit grösstem Scharf- sinn erdachten und mit seltener Beherrschung der Mittel durchgeführten elektrischen Versuche an die Spitze der Physiker gestellt. Nachdem schon vor ihm Manche, wie Faraday und besonders Maxwell, gewisse Beziehungen des Lichtes und der Elektrizität angenommen und glaublich zu machen versucht hatten, ferner Bezold dieselben durch höchst bemerkenswerthe, von Hertz voll anerkannte Versuche erwiesen hatte, gelang es Letzterem den sicheren Beweis des innigen Zusammen- hanges von Licht und Elektrizität zu führen. Er zeigte in
17. Voä: Nekrolog auf Heinricfh Rudolf Hertz, 147
seinem berühmten Buche ^über die Ausbreitung der elek- trischen Kraft', dass die elektrischen Wirkungen sich wie die Lichtwellen ausbreiten, dass sie ebenfalls auf Schwingungen des Aethers beruhen, dass die elektrischen und magnetischen Schwingungen wie die des Lichtes transversale sind, dass sie sich mit der nämlichen Geschwindigkeit wie die des Lichtes fortpflanzen, dass sie durch metallische Wände refiektirt, durch Hohlspiegel gesammelt, durch Prismen aus Asphalt gebrochen werden, durch Isolatoren wie die Lichtwellen durch Glas hindurchgehen, und die Erscheinungen der Polarisation zeigen können. Er hat die Länge der elektrischen Wellen gemessen und gefunden, dass sie viel grösser sind wie die Lichtwellen und eine Länge von mehreren Metern besitzen. Die Wellenbewegungen von einer sehr grossen Anzahl von Schwingungen in der Sekunde erregen unsere Netzhaut und bringen in uns die Empfindung des Lichtes hervor, bei einer geringeren Anzahl von Schwingungen haben wir die dunkeln Wärmestrahlen mit ihrer Wirkung auf ' die Thermosäule, und bei einer noch geringeren Anzahl die elektrischen Wellen- enscheinungen.
Durch das hohe Interesse, welches diese Entdeckungen von Hertz bei jedem denkenden Menschen erregen mussten, ist sein Name auch ausserhalb der engeren Fachkreise weit- hin bekannt geworden; man durfte die grössten Hoffnungen in die fernere Thätigkeit des noch nicht 37 Jahre alten, in vollster geistiger Kraft stehenden Forschers setzen, welche nun durch sein Hinscheiden vernichtet sind.
Hertz war eine vornehme Natur, von edelster Gesinnung und tief bescheidenem Wesen. Noch wenige Wochen vor seinem Tode hat der schwer leidende Mann in einem an mich gerichteten Schreiben (vom 26. November 1893), in welchem er mich ersuchte, der Akademie, die ihn zu ihrem Mitgliede erwählte hatte, seinen Dank auszusprechen, dieser Bescheidenheit den rührendsten Ausdruck gegeben. Ich
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kann es mir nicht versagen, in diesen seiniBm Andenken ge- widmeten Zeilen seine Worte wiederzugeben; er schreibt: D Gleichzeitig aber bitte ich Sie auch, freundlichst der Ver- mittler meines Dankes an die Akademie selbst sein zu wollen, welche mir eine so grosse Freude bereitet hat und mir eine Ehre erwiesen hat, die mir unendlich theuer ist. Mit ge- rechtem Stolze erfüllt mich der Gedanke, nun in einen Kreis aufgenommen zu sein und ihm zugerechnet zu werden, welcher mir, wie ich mich wohl erinnere, schon während meiner Studienzeit in München als eine hoch und unerreichbar über mir schwebende Verkörperung idealen wissenschaftlichen Strebens erschien. Mit Schmerz erfüllt es mich freilich auch, dass ich nun in diesem Kreise nicht mehr diejenigen Männer begrüssen kann, welche damals in engerem Sinne meine Lehrer waren ; vor allen wünschte ich gar zu gern den von mir hochverehrten v. Beetz noch als Collegen die Hand schütteln zu können, dessen einfache Gewissenhaftigkeit in der Forschung und* milde Freundlichkeit als Lehrer mir immer als Vorbild vorgeschwebt hat. Doch dies liegt im natür- lichen Lauf der menschlichen Dinge und auch so fühle ich durch diese Aufnahme dankbar die Vorstellungen und Em- pfindungen in mir aufleben, mit welchen es mir vergönnt war, mich in München zuerst der reinen Wissenschaft zu- zuwenden*.
Für alle Zeiten wird man gedenken, dass Hertz es war, der das neue grosse Gebiet der elektrischen Wellen und Strahlen durch Experimente erschlossen hat, welche der Aus- gangspunkt für heute noch ungeahnte weitere Erkenntnisse sein werden.
Alexander Theodor v. Middendorff.
Der angesehene russische Naturforscher und Reisende Alexander Theodor von Middendorff ist am 28. Januar 1894 auf seinem Gute zu Hellenorm in Livland in einem Alter
». Voit: Nekrolog auf Alexander Theodor v. Middendorff. 149
Ton 78^/s Jahren nach Vollendung seiner Lebensaufgabe gestorben. In St. Petersburg geboren, studirte er an der Universität Dorpat Medizin und erwarb sich daselbst den Grad eines Doktors der Heilkunde. Seine Begabung sowie auch die Neigung noch wenig bekannte Länder zu sehen und deren Fauna und sonstige Eigenart kennen zu lernen, fährten ihn zu eingehenden naturwissenschaftlichen Studien, welche er an den Universitäten zu Berlin, Erlangen, Wien und Breslau eifrig oblag. Durch dieselben wohl vorbereitet, Würde er nach der Rückkehr in sein Vaterland zum Adjunkten des Professors für Zoologie an der Universität Kiew bestellt, begann aber ein Jahr darauf im Alter von 25 Jahren seine umfassenden Reisen, für welche er durch glückliche Eigen- schaften des Körpers und Geistes in hohem Grade geeignet war. Die erste Reise führte ihn mit der von Carl Ernst v. Baer geleiteten Expedition an das weisse Meer und nach Lappland, wo ihm die Aufgabe zufiel, die Vogelwelt des hohen Nordens zu studieren. Dadurch wurde man in den Kreisen der kais. rassischen Akademie der Wissenschaften auf ihn aufmerksam and erwählte ihn, nachdem er vorher zum ausserordentlichen Professor der Zoologie in Kiew ernannt worden war, zum Leiter der auf Veranlassung der Akademie ausgesandten grossen Expedition in den äussersten Norden und Osten Sibiriens, wobei er durch das Pamirland bis an den Amur vordrang. In Folge der glücklichen Ergebnisse dieser kühnen und für die Naturgeschichte überaus fruchtbaren Reise wurde er Adjunkt fär Zoologie an der Petersburger Akademie, dann ausser- ordentliches und ordentliches Mitglied und später Sekretär and Ehrenmitglied dieser Akademie, zu deren bekanntesten MitgUedem er zählte. Er hat darnach noch mehrere Reisen gemacht; mit dem Grossfürsten Alexis Alexandrowitsch nach der Krim und durch das Mittelraeer nach Teneriffa, Orotava und den Gap Verdischen Inseln ; dann mit dem Grossfürsten Wladimir Alexandrowitsch in das mittlere und südliche
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Sibirieu an den Altai bis zur chinesischen Grenze; mit dem Grossfürsten Alexei nach dem Norden Russlands, nach dem Weissen Meer, Nowaja Semlja und Island; hierauf noch seine berühmte Eleise in das Ferghana-Gebiet und endlich eine letzte abermals in den Norden Russlands.
Die Resultate dieser Fahrten, welche er in grosseren Werken beschrieb, waren für die Kenntniss Russlands, seine geologischen, geographischen, ethnographischen und meteoro- logischen Verhältnisse und für die Wissenschaft sehr nützlich. Vor Allem wichtig sind die ornithologischen Ergebnisse der Lappländer Reise; die Funde der Reise in den äussersten Norden und Osten Sibiriens, bei deren Bearbeitung er die zoologische Abtheilung übernommen hatte, welche eine wür- dige Ergänzung zu den früheren Arbeiten von Pallas bildet; die Beschreibung der Barobinzensteppe im asiatischen Russ- land, die Untersuchung des Golfstroms ostwärts vom Nordkap und seine Einblicke in das Ferghanathal im Süden von Tar- kestan. Von besonderer Einsicht und kritischer Schärfe zeugen femer die Untersuchungen an Schädeln des gemeinen Land baren als Beleuchtung der Streitfrage über die Arten fossiler Landbären; die Beiträge zur Malacozoologia rossica waren für die Kenntniss der Thierwelt des russischen Reiches von Bedeutung; auch sind seine Angaben über die Wahr- scheinlichkeit eines im Vergleich mit dem Meerwasser der Jetztzeit höheren Gehaltes an Bittererde in dem Wasser vieler Meere der Juraperiode, sowie seine Untersuchung über die Temperaturen im Scherginschacht zu Jakutzk hervor- zuheben.
Middendorfif hat sich durch diese Arbeiten einen wohl- verdienten Ruf als Naturforscher, Geograph und Ethnograph gemacht.
V. VoU: Nekrolog auf Peter Josef van Beneden, 151
Peter Josef van Beneden«
Professor der Zoologie und vergleichenden Anatomie an der L^niversitat Löwen, eines der thätigsten Mitglieder der belgi- schen Akademie und einer der bedeutendsten Naturforscher seines Vaterlandes, ist am 8. Januar 1894 im hohen Alter ?on 84 Jahren gestorben. Er hatte wie so viele andere Naturforscher anfanglich Medizin studirt, interessirte sich aber von früh an lebhaft für die Organisation der Thiere. iSein Name wurde zuerst bekannt durch die wichtigen Studien über die Fauna der belgischen Nordsee, wozu er sich aus eigenen Mitteln in Ostende ein Laboratorium und ein Aquarium eingerichtet hatte, als erste am Meere gelegene zoologische Station in Europa. Seine grösste Leistung waren seine Unter- sachungen über die Parasiten des Thierkörpers ; in seinem grossen Werke über die Geschichte der Entwicklung der innerlichen Würmer hat er die vielfachen Umgestaltungen und die sonderbare Vermehrung der Eingeweidewürmer als einer der ersten nachgewiesen und den feineren Bau, sowie die Entwicklung, die Metamorphosen, die Fortpflanzung und die ganze Lebensgeschichte dieser Thiere auf das Genaueste beschrieben. Gleichzeitig mit unserem verstorbenen CoUegen Yon Siebold, oder eigentlich schon vorher, hatte van Beneden die entozootische Fauna der ozeanischen Fische, besonders der Rochen und Haie, untersucht und gezeigt, dass die als blosse Köpfe oder finnenartige Parasiten in verschiedenen Organen vorkommenden Bandwurmköpfe (Tetrarhynchusköpfe) ans wandernden Embryonen hervorgehen und sich dann in dem Darmkanal von Fischen, welche dieselben mit den Wirthen Ferschlungen haben, durch Gliederbildung in die geschlechts- reifen Formen verwandeln. Dadurch lieferten van Beneden und Siebold den Beweis für Steenstrup's Anschauung über den Generationswechsel, nach welcher der Kopf des Band- wurmes eine larvenartige Amme ohne Geschlechtstheile dar-
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stellt, die Glieder aber die Geschlechtsthiere repräsentiren. Es existirt somit in einem gewissen Stadium der Entwicklang von den späteren Bandwürmern nur der selbständig lebende sogenannte Kopf (Scolex), der allmäblich unter günstigen Verhältnissen an seinem hinteren Ende ein Glied nach dem anderen hervortreibt. Die in den Organen abgelagerten Blasen Würmer hatte Siebold für pathologische Gebilde ge- halten, während van Beneden darthat, dass sie sich an die Tetrarhynchusköpfe anschliessen und unreife Zustände der Bandwürmer darstellen, die sich ebenfalls dann im Darm ge- eigneter Thiere in Bandwürmer verwandeln.
Diese seine Untersuchungen haben die Annahme einer Urzeugung, welche man bei den Eingeweidewürmern noch am längsten festgehalten hatte, da man deren Entstehung aus vorhandenen Eiern nicht nachzuweisen im Stande war, erschüttert und gestürzt. Die französische Akademie krönte sein Werk mit dem grossen Staatspreise für Naturwissenschaft.
van Beneden stellte in einer bedeutsamen Arbeit den Unter- schied zwischen Parasitismus und Commensalismus in der Thierwelt auf; die bei dem Menschen und den Mausthieren nicht vorkommenden Commensalen sind darnach nur schein- bare Parasiten, Geschöpfe, die zwar ganz nach Parasitenart auf grösseren Thieren leben und durch ihre Organisation den Parasiten ähneln, aber doch keine Schmarotzer sind, indem sie nicht von den Säften und Geweben ihres Tragers sich nähren, sondern als Mitesser von den Nahrungsstoffen desselben zehren.
In einer späteren Abhandlung beschrieb er die lebenden und fossilen Walfische, zu welchem Zwecke er sich an mehreren Expeditionen zum Fange dieser grossen Säuger be- theiligte. Auch als Paläontologe hat er sich verdient ge- macht, indem unter seiner Leitung die bei den Befestigungs- arbeiten von Antwerpen ausgegrabenen fossilen Ueberreste von Seethieren präparirt und aufgestellt wurden.
V. Voit: Nekrolog auf Älphonse de Candölle. 153
van Beneden gehört zn den Begründern der heutigen vergleichenden Anatomie; er war einer der Ersten, der die Zoologie aus den Fesseln einer bloss äusserlichen Beschreibung der Arten befreien half.
Älphonse de Gandolle.
Am 4. April 1893 ist zu Genf der berühmte Botaniker Älphonse de CandoUe^) aus dem Leben geschieden. Er hat vor Allem das Verdienst die von seinem Vater Pyramus de Gandolle begonnenen grossen systematischen und pflanzen- geographischen Unternehmungen in der erfolgreichsten Weise fortgesetzt zu haben. Durch den Einfluss des Vaters, in dessen Besitz sich umfassende Pflanzensammlungen und eine vrerthvolle Bibliothek befanden, wurde die Neigung zur Botanik in ihm erweckt; aber nachdem er anfangs an der Universität zu Genf Vorlesungen über Philosophie, beschrei- bende Naturwissenschaften und Physik gehört hatte, ver- anlasste ihn in den damaligen kritischen Zeiten der Vater vorerst die Jurisprudenz zu absolviren und den juristischen Doktorgrad zu erwerben, um sich eine sichere Lebensstellung zu verschaflen. Erst darnach gab er sich ausschliesslich den botanischen Studien unter der Leitung seines Vaters hin. Bald vermochte er den Letzteren in dem akademischen Unter- richte zu unterstützen, so dass er schon im Alter von 29 Jahren als sein Nachfolger erwählt wurde, nachdem jener sich von dem Lehramte zurückgezogen hatte, um ganz seinen wissen- schaftlichen Unternehmungen sich widmen zu können. Nach dem Tode des Vaters war er der Erbe des Herbariums, der Bücher und der Aufzeichnungen desselben; er hatte aber damit auch die Verpflichtung ererbt, dieselben im Sinne des Verblichenen fortzuführen und für die Wissenschaft nutzbar zu machen. Dies hat er nun auch in einer so freigebigen
1) Nach Mittheilungen von Herrn CoUegen Ludwig Radlkofer.
154 Oeff entliche Sitzung txm 28, März 1894,
und uneigennützigen Weise getban, wie es noch nie Ton einem Botaniker geschehen war. Im Älter von 44 Jahren wurde er 7a\ seinem Schmerz durch politische Einflüsse ge- nöthigt, seiner Professur und der Vorstandschaft des botani- schen Gartens zu Genf zu entsagen, was aber seinen wissen- schaftlichen Arbeiten zu Gute kam, ja sie in ihrer Aus- dehnung erst ermöglichte.
Es sind vorzüglich zwei Werke, durch welche Alphonse de Candolle sich schwerwiegende Verdienste um die Wissen- schaft erworben hat, jedes für sich ausreichend, um dem Manne die dauernde Dankbarkeit der Fachgenossen zu sichern und ihm eine Stelle unter den ersten Förderern der Wissenschaft zu gewinnen: der von seinem Vater im Jahre 1826 begonnene, von A. de Candolle (von dem im Jahre 1844 erschienenen VIII. Bande ab) fortgesetzte und im Jahre 1873 (mit dem XVII. resp. XX. Bande für die Dicotyledonen) abgeschlossene Prodromus systematis naturalis regni vegetabilis (gefolgt von den Suites au Prodromus für die Monocotyledonen etc.); femer dessen Geographie botanique raisonnee (1855).
Durch das erstere, grosse allgemeine Pflanzenwerk, von welchem er selbst wesentliche Theile verfasste, und zu dessen Durchführung es trotz des Zaubers, den der Name de Candolle auf die Systematiker ausübte, einer zielbewussten Ausdauer und Energie bedurfte, wie sie eben A. de Candolle aus- zeichnete, hat derselbe der Gewächskunde ein tieferes Funda- ment geschaffen, welchem er die grösstmögliche Festigkeit und Nutzbarkeit dadurch zu geben verstand, dass er ihm ein jederzeit erneuter Berathung zugängliches Archiv, eine Samm- lung naturhistorischer Dokumente zur Seite stellte, indem er in dem Herbarium Prodromi soviel nur immer möglich und in einem Maasse, wie es bis dahin noch nirgends geschehen war, ein reiches Material für die Bearbeitung der einzelnen Familien zu vereinigen und nach der Bearbeitung für die Dauer nieder- zulegen bestrebt war. Es bedurfte in einer Zeit, in welcher
V, Voit: Nekrolog auf Älphonse de Candolle, 155
die systematische Arbeit durch die in den Vordergrund ge- tretene anatomische und entwicklungsgeschichtliche Richtung eine wesentliche Einbusse erlitten hatte und noch fern von dem jetzt durch die Anwendung eben dieser Richtungen auf sie gewonnenen Aufschwünge war, der ganzen Hingebung eines für die ererbte Aufgabe begeisterten Mannes, wie A. de Candolle, um dieselbe zu entsprechendem Ende zu führen. Nach dem richtigen, in seiner „Phytographie* 1883 gemachten Ausspruche A. de GandoUe's selbst, dass die systematisch-descriptiven Werke am längsten ihren Werth behalten, mag man getrost den Prodromus als das wichtigste Werk de Gandolle^s betrachten, wenn er auch nicht lediglich, wie seine Pflanzengeographie, ihm selbst seinen Inhalt ver- dankt. Mit demselben hängt auch A. de Candolle^s verdienstvolle Arbeit bezüglich der gesetzmässigen Regelung der botanischen Nomenclatur (unter Sanctionirung durch den internationalen botanischen Congress zu Paris im Jahre 1867) zusammen. Durch das zweite, durch Alexander von Humboldts Schriften über die Verbreitung der Pflanzen sowie durch die Arbeiten seines Vaters angeregte Werk, die Geographie botanique, erscheint A. de Candolle gleichsam als der Schöpfer der pflanzengeographischen Disziplin, insoferne sich dieselbe die Erforschung der ursächlichen Momente für die gegen- wärtige Vertheilung der Pflanzenwelt auf der Erdoberfläche zum Ziele setzt. Um das ,Rerum cognoscere cuusas", wie er direkt hervorhob, handelte es sich ihm dabei, und nicht bloss, was bis dahin im Wesentlichen die Pflanzengeographie ausmachte, um die Registrirung und Schilderung der that- sächlichen Verhältnisse in der Vertheilung der Pflanzen. Er wendete namentlich der Abhängigkeit der Pflanzenver- theilung von dem Einflüsse der Wärme und des Lichtes sein Angenmerk zu und nahm zugleich entsprechende Rücksicht anf die damals bereits bekannt gewordenen geologischen Be- funde, jedoch nicht ohne entsprechende Vorsicht bei ihrer
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Verwerthung zu üben und zu verlangen. Mit besonderer Vorliebe ging er der Vertheilung und dem Ursprünge der Kulturpflanzen nach, über welche er noch in seinem 77. Jahre (1883) eine besondere, in den weitesten Kreisen geschätzte Arbeit (Origine des plantes cultivees) lieferte, welche ebenso seinen unermüdlichen Fleiss wie seinen kritischen Sinn her- vortreten lässt.
Eine besonders originelle Schrift ist seine: Histoire des sciences et des savants depuis deux siecles, suivies d'autres etudes sur des sujets scientifiques, en particulier sur la sSection dans Tespece humaine (1873), in der er in geistreicher Weise die Leistungen der Gelehrten aus ihren Eigenschaften abzu- leiten suchte.
:). Die Werke de Candolle's sind auf eine durch einen erstaunlichen Fleiss und eine musterhafte Genauigkeit und Treue der Untersuchung gewonnene umfassende Erfahrung ge- gründet: sie werden daher einen für alle Zeiten bleibenden Werth in der botanischen Wissenschaft besitzen.
Arcangelo Scacchi^)
geboren den 9. Februar 1810 in Gravina (Bari) auf Sizilien, Senator des Königreichs Italien, Professor der Mineralogie an der Universität und Direktor des mineralogischen Museums zu Neapel, seit 1867 auswärtiges Mitglied unserer Akademie, starb am 11. Oktober 1893 in Neapel, wo er mehr als 50 Jahre hindurch gewirkt hatte.
Am meisten bekannt ist Scacchi wohl durch seine Ar- beiten über den Vesuv. Seit 1842 widmete er seine Zeit dem Studium der Eruptionen dieses Vulkans und der Produkte desselben, und ihm verdanken wir wesentlich die Kenntniss der grossen Mannigfaltigkeit von Mineralien, welche sich theils als sublimative Bildungen auf den Laven des Kraters,
1) Nach Mittheilungen von Herrn CoUegen Paul Groth.
V, V<nt: Nekrolog auf Arcangelo Scacchi, 157
theils in den zahlreichen Auswürflingen der Sonima, hier meist metamorphiscber Entstehung, ünden. Nicht nur von den früher bereits bekannten Mineralien lieferte er ein- gehendere Untersuchungen, welche, wie die berühmte Arbeit über die Humitgruppe, die Grundlage jedes weiteren Studiums derselben geworden sind, sondern auch die Entdeckung zahl- reicher neuer Mineralien, zum Theil noch gar nicht bekannter chemischer Verbindungen, war das Ergebniss seiner Vesuv- studien, welche besonders bei den sehr vergänglichen Subli- mationsprodukten mit grossen Schwierigkeiten verbunden waren. Trotzdem war er stets darauf bedacht, jene in solchen Mengen zu sammeln, dass sie nicht nur zu seinen Untersuchungen und zur Bereicherung des von ihm geleiteten Museums dienen konnten, sondern ihn auch in den Stand setzten, seinen Fachgenossen in reichlichem Maasse davon mitzutheilen. Dies that Scacchi nun in einer selten liberalen Weise und ermöglichte dadurch auch eine Reihe wissen- schaftlicher Arbeiten Anderer über Vesuvmineralien, ebenso wie er gern fremde Sammlungen durch Abgabe von Mineralien unterstützte. So verdankt auch die hiesige Sammlung, an älteren Vorkommnissen des Vesuv wohl eine der reichsten ausserhalb Italiens, ihm wesentliche Vervollständigung durch seltene neuere Vorkommen. In chemisch-geologischer Be- ziehung nicht minder wichtig, als seine Studien am Vesuv, war seine Untersuchung der fluorhaltigen Auswürflinge der bis dahin unbeachteten kleinen Vulkane, welche die TuflFe von Samo und Nocera in der Campagna hervorgebracht haben, weil diese über Fumarolenwirkungen belehrten, welche eine merkwürdige Aehnlichkeit ihrer chemischen Produkte mit gewissen, in den ältesten massigen Gesteinen, besonders den Graniten, vorkommenden Mineralbildungen zeigen.
Neben diesen mineralogischen und geologischen Studien beschäftigten Scacchi zahlreiche und umfangreiche Arbeiten auf dem Gebiete der chemischen Krystallographie. Seine
158 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1894,
mit höchster Sorgfalt angestellten Beobachtungen über die Schwankungen der Flächenwinkel der Krystalle und die Ver- schiedenheiten der physikalischen und krystallographischen Eigenschaften chemisch übereinstimmender Körper führten ihn auf theoretische Vorstellungen, welche er in seinen Publikationen über ^Polyedrie* und „Polysymmetrie* nieder- legte. Wenn diese Vorstellungen auch heute nicht mehr als anerkannte gelten können, so behalten doch seine Be- obachtungen selbst stets hohen Werth in Folge der geradezu mustergiltigen Sorgfalt, mit welcher dieselben angestellt und in Wort und Bild wiedergegeben sind, so dass es möglich ist, sie in ganzem Umfange als thatsächliche Grundlagen der inzwischen aus den Fortschritten der Wissenschaft sich er- gebenden Anschauungen zu benutzen. Namentlich enthalten seine Arbeiten über die rechts- und linksweinsauren Salze ein hochinteressantes und bisher noch viel zu wenig berück- sichtigtes Material von Beobachtungen über gewisse merk- würdige Hemiedrieverhältnisse, welche erst in neuester Zeit als theoretisch möglich anerkannt, von ihm aber schon vor Jahrzehuten richtig beobachtet und beschrieben worden waren, so dass diese Arbeiten in nicht geringerem Grade, als die zuerst erwähnten, für 'alle Zeiten eine grosse Bedeutung für die Entwicklung der Krystallographie behalten werden.
Scacchi war einer der angesehensten Gelehrten Italiens; sein Name wird für immer mit dem des Vesuv's verknöpft bleiben.
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Sitzung vom 5. Mai 1894.
1. Herr N. ROdinger hält unter Vorzeigung von ana- tomischen Präparaten einen Vortrag: »über die Gehirne Terschiedener Hunderacen''.
2. Herr Hugo Seelioeb macht eine Mittheilung : »Max- well's und Hirn's Untersuchungen über die Consti- tution des Saturnringes".
3. Herr E. v. Lommel legt eine Arbeit der Herren L. Graetz und L. Fohm: i,über normale und anomale Dispersion elektrischer Wellen* vor.
4- Herr Ludwig Boltzhann bespricht drei Abhandlungen
a) von dem Vortragenden: „über den Beweis des Maxwell'schen Geschwindigkeitsverthei- lungsgesetzes unter Gasmolekülen**;
b) von dem Vortragenden : «zur Integration der Dif- fusionsgleichung bei variabeln Diffusions- coefficienten";
c) von Prof. A. Wassmuth in Graz: «über die An- wendung des Prinzips des kleinsten Zwangs auf die Elektrodynamik*.
5. Herr W. v. Qümbel überreicht eine Abhandlung des auswärtigen Mitgliedes F. v. Sandberger in Würzburg: .über die Erzlagerstätte von Goldkronach bei Bern- eck im Pichtelgebirge*.
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Marw^ell's und Hirn's Untersuchungen über die Constitution des Satumringes.
Von H. Seeliger.
(BtHffda^m 6. Mai.)
Bei verschiedenen Gelegenheiten habe ich darauf auf- merksam gemacht, dass ein Theil der Untersuchungen Max- well's^) über den Satumring keineswegs einwandfrei ist und dass sich gegen die Richtigkeit der von ihm angewandten Integrationsmethode begründete Zweifel yorbringen lassen. Ich möchte mir erlauben im Folgenden auf diesen Gegen- stand zurückzukommen, hierbei aber auch auf die von Hirn*) yeroffentlichten Untersuchungen, die wenig bekannt zu sein scheinen, in Kürze eingehen. Wie schon die ganz verschie- denen Wege, welche beide Forscher gehen, klar zeigen, ist die Hirn'sche Abhandlung ohne Kenntniss der mehr als 16 Jahre früher ausgearbeiteten Untersuchung von Maxwell entstanden. Es wird dies im Uebrigen noch besonders in einem von Hirn an Moigno gerichteten Briefe hervorgehoben, welcher der Abhandlung als Anhang beigegeben ist.
1) On the Stability of the motion of Satum's Ring. An Essay, which obtained the Adams Prize for the year 1856 in the University of Cambridge.
2) Memoire sur les conditions d'äqailibre et aar la nature pro- bable des anneauz de Satame, pr^ent^ le 16 Septembre 1872 a VAcadämie des Sciences.
im. lUth.-pb7a. CK 2. 11
162 Sitzung der math.-phys. Classe vom 5, Mai 1894,
Was die Maxwell'sche Untersuchung betriflFt, so werde ich mich hier im Wesentlichen nur mit seiner Theorie der Bewegung eines festen Ringes beschäftigen. Die Maxwell- sehe Arbeit enthält bekanntlich noch sehr viel mehr und darunter sehr interessante Dinge, freilich nicht alles in wün- schenswerther oder auch nur erforderlicher Strenge. Hierauf zurdckzukommen, muss ich mir für eine spätere Gelegenheit vorbehalten.
Zunächst möchte ich aber an die von Laplace in der Mecanique Celeste gegebenen Entwicklungen anknüpfen und einige Bemerkungen anschliessen, da hierdurch die Sachlage, wie sie die Annahme einer festen Constitution der Satum- ringe schafft, nicht schwieriger zu klären sein dürfte, als durch die viel complicirteren aber nicht strengen Unter- suchungen von Maxwell oder die Bemerkungen von Hirn.
Es seien R und S die Gesammtmasse des Ringes und des Saturn und mit denselben Buchstaben mögen die beiden Schwerpunkte bezeichnet werden.
Es sei ferner r die Entfernung RS, ^ der Winkel, den R S mit einer festen durch R gehenden Richtung bildet, cp der Winkel, den RS mit einer durch R gehenden mit dem Ringe fest verbundenen Richtung bildet, d m ein Massen- element des Ringes und q, r seine Entfernungen von R bezw. von S.
Setzt man dann q)-{-d' = ip und ausserdem das Potential
wo k die Anziehungsconstante ist, so werden die zuerst von Maxwell aufgestellten Diff'erentialgleichungen für die Bewe- gung von R gegen 5, sofern die Bewegung als in der Ring- ebene vor sich gehend betrachtet wird:
Seeliger: lieber die Canstitutian des Satumringes. 168
V dt)
(1)
dt\ dt) R dtp
E2s werde nun der von Laplace betrachtete Fall eines homogenen unendlich dünnen Kreisringes betrachtet. Hier ist V unabhängig Ton (p und demzufolge, wenn y eine Con- stante bedeutet:
|
dt* |
(d»\* B-\-S SV |
Führt man rechtwinkelige Coordinaten a: = r cos ^, j^ = rsin^ ein, so kann man schreiben:
d^x^R+SdV x_ dt^ R dr r
^y^R + S dVy^ dt"" R 'dr r
S beschreibt also um das Centrum des Ereisringes eine
Centralbewegung.
dV Nun lässt sich leicht zeigen, dass •^— stets positiv ist,
9 r
woraus folgt, dass 8 vom Centrum des Kreises abgestossen wird. Die Bewegung ist also instabil und ein Zusammen- sioss des Ringes mit dem Saturnkörper unausbleiblich. Es soll hier gezeigt werden, in wie hohem Grade der Zustand, wenn S genau im Centrum des Kreises sich befindet, instabil ist und wie eine minimale Verschiebung ausreicht, um das Auffallen des Ringes auf den Saturn in kurzer Zeit herbei- zuführen. Erhält S eine sehr kleine Geschwindigkeit c vom
11*
164
Siteung der math.-phya. Classe vom 5. Mai 1694.
Kreismittelpunkt fort, so wird es sich offenbar in gerader Linie dem Ringe nähern. Man hat dann
und hieraus
(^0'='-+^^-'<''-^.'
(2)
wo Vq der Werth von F für r = 0 ist. Für V ei^ebt sich sofort, wenn a der Ringradius ist:
27r J yr^-\-a^ — 2arcostp
Mit Hülfe der Transformation sin \p
V
= sin w
1 — 2 cos l// + -r
kann man für alle Rechnungen viel bequemer schreiben:
^2ĻB r^ du
K =
Man hat also jetzt
/^r\'-„, 41^(R + S)\ f du
j|/i-ysi„.«
2
Sediger: üeber die Constitution des Satwmringes, 165
Entwickelt man noch Potenzen von — und setzt zur Ab-
a
kOrzuDg :
r
x= —
'=°+(|)'-+(^D*^+-
2a so wird einfach
adx
dt =
Vc^ + i^QO^
Cm die Zeit t zu berechnen, welche verfliesst vom Anfange der Bewegung bis zum Zusammenstosse der Satumoberfläcbe mit dem Kinge^ hat man:
" J Vc» + ^»
QX^
0
wobei Xi den Endwerth von x bedeutet.
Das Integral kann unschwer mit beliebiger Annäherung berechnet werden. Ich begnüge mich, seinen Werth zwischen zwei genügend nahe Grenzen einzuschliessen. Man sieht sofort, dasa
wobei
V = .[. + (A)%, + (-)V + ...]
160 Sitzung der mathrphya. Claase vom ö. Mai 1894.
Mau hat demzufolge:
Der Saturnring könnte nach Ansicht von Laplace aus einer sehr grossen Anzahl unendlich dunner Ringe, welche aber inhomogen sind, bestehen. Der Augenschein lehrt aber, dass der Saturnring, als Ganzes aufgefasst, den Eindruck einer im hohen Grade homogenen Massen-Anordnung in periphe- rischer Richtung macht und man wird die Bewegung von S gegen das gemeinsame Gentrum dieser Ringe jedenfalls nahezu erhalten, wenn man den ganzen Saturnring als eine breite aber unendlich dünne Scheibe ansieht. Bezeichnet dann a^ und a^ den Radius der inneren bezw. der äusseren Begren- zung, a die Entfernung eines Ringelementes vom Ringcentram, d die homogene Dichtigkeit, so ist jetzt zu setzen:
J l/a» + r* — 2(Trcosi/i
aj 0
Benutzt man wieder die oben angewandte Transformation, und führt die Integration in Bezug auf a aus, so ergiebt sich :
«1 I ]/ ^-^\^'m^udu~aA 1/ l-^^sin»adu
Analog dem früheren wird man zur Abkürzung setzen
r
r
Seeliger: Ueher die Constitution des Saturnringes. 167
V 4 / iOo^^i
«o + «i Hierdurch erhält man
und die Zeit t vom Anfange der Bewegung bis zum Zu- sammenstosse der inneren Ringbegrenzung mit dem Saturn- körjier wird:
^«1
0
Es könnte ^ nun wieder innerhalb gewisser Grenzen einge- schlossen werden. Für die folgende Abschätzung genügt es aber vollkommen zu setzen:
In der ra. Entfernung 9.539 erscheinen die Grössen a^, a^ und der Radius des Saturn unter den scheinbaren Winkeln 19". 75, 13". 75, 8". 65. Es ist hierbei nur der helle Ring in Betracht gezogen, also der Florring ganz unberück- sichtigt gelassen worden, wodurch natürlich t zu gross wird. In den gewöhnlichen astronomischen Einheiten ausgedrückt, ergiebt sich so:
logA =7.8684 — 10 logXj= 9.4906 — 10 und hiermit:
168 Süeung der tnathrphys. Glosse vom 5, Mai 1894.
t erhält man also in Tagen. Die in eckige Klammem ge- setzten Zahlen bedeuten Brigg. Logarithmen, deren zoge- hörige Zahlen zu nehmen sind. Da es sich in den folgenden Zahlen nur um äusserst kleine c handelt, so wird genügend genau :
, = t9.3759]log{t^:^^5^}
So findet man beispielsweise f&r
— = 4 Millionen ^ = 1 .01 Tag
c
40000 Millionen 1.96
4 Billionen 2.44
Diesen 3 Anfangsgeschwindigkeiten entsprechen in der Zeit- secunde die Geschwindigkeiten von 420, 0.042, 0.00042 mm. Es ergiebt sich, dass also selbst bei einer so überaus kleinen Anfangsgeschwindigkeit wie 0.00042 mm pro Secunde schon nach 2^1% Tagen der innere helle Ringrand mit der Ober- fläche des Satumkörpers zusammenstossen ¥rird. In so hohem Grade instabil ist also der Anfangszustand.
Ich gehe nunmehr zur Integration der Gleichungen (1) über nach der von Maxwell angewandten Methode. Man kann aber gleich Ton Anfang an die Rechnungen sehr we- sentlich vereinfachen und die obigen 3 Gleichungen auf zwei zurückführen, wodurch eine wesentlich kürzere Darstellung sich gewinnen lässt. Setzt man zur Abkürzung
SO folgt aus (1) sofort
^ dt^"" dt-*"
(3)
Seeliger: üeber die Constitution des Saturnringes, 169
wo c eine Integrationsconstante ist. Und da weiter ijj =
dt A + r^ Hierdarch werden die zwei letzten Gleichungen (1):
Die Integration dieser Differentialgleicbungen ist selbst für sehr einfache Formen von V nicht durchführbar. Es soll nun die von Maxwell eingeführte Voraussetzung
gemacht werden, dass die Geschwindigkeiten -r-r und -ry
dt dt
stets sehr kleine Grössen sind, deren Producte und zweite
Potenzen fortgelassen werden können. Geschieht dies, so
ergiebt sich
ePr 2Äcr dtp ^ rc^ B + S dV
dt^^ {A + r'ydt (4 + r»)»'*" R dr d^tp 2c dr^{A-\'f^) R + 8 dV
di^ r(^-f-r»)d^ Ar* ' R 'dg>
Es werde weiter, ebenfalls mit Maxwell, die Annahme gemacht, dass r nur sehr wenig von einer constanten Grösse u abweicht, dass also in
r = u-\rQ
170 Sitzung der matK-phys. Classe votn ö, Mai 1894.
Q stets eine kleine Grösse ist, deren höhere Potenzen fort- gelassen werden können, und dass dasselbe von q> gilt, durch passende Wahl der Anfangsrichtung aber nur dann erreicht werden kann, wenn sich die Bewegung innerhalb eines
dV sehr kleinen Bezirkes abspielt. ^— ist in den folgenden
Anwendungen schon yon der Ordnung der q und g> klein und demzufolge vereinfachen sich die obigen Differential- gleichungen und nehmen folgende Form an : d^ , 2Acu dcp uc^
^ ^'' (Ä ^^4-^ + ^^ ^^
W
cPq) 2c dQ^B + S ıu^dV
rf7* u{A + u^)dt'^ R ' Au'^ dq>
Man sieht indessen, dass diese Gleichungen, selbst wenn alle anderen Voraussetzungen zugelassen werden, gewiss nicht mehr der Wahrheit nahekommen; wenn A m* sehr klein ist. Diese Fälle müssen also von vornherein ausgeschlossen wBrden. Sobald also A oder u klein werden, gelten die Maxwell- schen Gleichungen — denn im Wesen der Sache stimmen diese mit den obigen überein — gewiss nicht mehr. Die obigen Gleichungen sind nun stets, da man sich V in eine Potenz- reihe nach den Grössen q und q) entwickelt denken kann und nur die linearen Glieder mitzunehmen braucht, ohne im Allgemeinen neue Ungenauigkeiten einzuführen, lineare Dif- ferentialgleichungen mit Constanten Coefficienten und ihre Integration gelingt in bekannter Weise durch Exponential- functionen. Allgemeinere Fälle durchzuführen macht dem- nach keine Schwierigkeiten. Es soll hier nur der von Max- well ganz durchgerechnete Fall vorgenommen werden, dass ein unendlich dünner Kreisring mit dem Radius a vorliegt, welcher in einem Punkte mit der Masse m beschwert ist.
Steliger: Ueher die Constitution des Saturnringes. 171
Als die mit dem Ringe fest verbundene Richtung wählen wir dann die Gerade, welche durch m und den Ringmittel- punkt geht. Steht S genau im letzteren , so ist r = u, g> == 0. Der Einfachheit wegen werde noch die Masse des Ringes R gegen S vemachlässigt. Dann findet sich leicht,
wenn zur Abkürzung ^ = ^ gesetzt wird
IC
^=a»(l— A**); tt» = a»/u*; ^ + tt* = a» Das Potential V ergiebt sich mit Rücksicht auf die oben ausgeführte Transformation, wenn noch o die Entfer- nung zwischen 8 und dem Ringcentrum, also
a^ = r* -{- u* — 2 ur cos q> ist
2 (Jt — wi) Je* r^ du
~ «^a * I 1 /7 ä* TT
m_^
yr*-{- (o — m)* + 2 (o — m) r cos q>
Entwickelt man nach Potenzen von Q = r — u und cp und nioimt nur die ersten Potenzen mit, so ergiebt sich leicht:
«• 9 r a* 2 a*
1 aF 3iM ,, ii3^ = 2ä'^(^-''>"^
und hiermit werden die Bewegungsgleichungen: d*Q 2c fi(l — fi^) d<p
dt* a*ti'dt~2' B ' a*' n(l-{-ti)''^
172 Sitzung der math.-phys, Glosse Dom 5. Mai 1894,
Die Integrations-Constante c ist vollkommen willkürlich und die weitere Rechnung fQhrt nur dann auf das Maxwell- sche Resultat, wenn noch eine weitere Annahme gemacht wird, nämlich die, dass für ^ = 0, €p = 0 eine Gleichgewichts- lage überhaupt stattfindet. Diese Annahme ist aber keines- wegs selbstTerständlich. Diese an sich willkürliche Annahme spricht sich in der Gleichung
c» = Ä»Sa (5)
aus. In diesem Falle nun werden die obigen Differential- gleichungen überaus einfach. Setzt man zur Abkürzung
2c^(l_^») ^^^
l2"^2
P =
so wird:
^=^^{l + ^'^-^''*!
3 c» l
y~ 9 ' n*
2 a* 1 + /«
d*q) ,dQ
Zur Integration macht man bekanntlich den Ansatz:
0 yt yt
Qz=zie q)== f^e
dann muss sein:
liv^ — p' Xv = y fi
Die Elimination von X und fi ergiebt sofort:
v^ — v^{ß + Y — pp*)= — ßy (6)
Durch Auflösung dieser in y' quadratischen Gleichung und
durch Ausrechnung der zu den Wurzelwerthen von v ge-
X hörenden — kann man leicht, wie bekannt, die allgemeinen
Seeliger: Ueber die Constitutum des Satumringes, 173
Lösungen der vorliegenden Differentialgleichungen erhalten. Die Frage, welche hier vorliegt, ist aber, wann diese Lösungen sich dnreh Sinus- und Cosinusfunctionen von t ausdrücken. Dies tritt offlenbar ein, wenn (6) für v* reelle und negative Werthe ergiebt. Die Auflösung von (6) giebt hierfür als noth- wendige und hinreichende Bedingungen:
ßY>0,ß + y — pp'<0 und (ß + y — ppy>ißy
Die erste Bedingung heisst:
woraus folgt:
16 iu < 3 + VIÖS; d.h.fi< 0.8279 Die weitere Bedingung
^"--3^<3
ist fQr ju < 1 von selbst erfOUt. Die dritte Bedingung äcUiesslicb giebt:
4 , 28 , . 52 , 64 32
was aussagt /u > 0.8159.
Die angestellte Rechnung, welche mit dem MaxwelPschen
Resultate vollkommen übereinstimmt, zeigt also, dass A* = -p
zwischen den Grenzen 0.8159 und 0.8279 liegen muss, damit die Bewegung rein periodisch sei, in welchem Falle also 8 immer in der Nähe vom Ringmittelpunkt bleibt, wenn dies zu einer bestimmten Zeit der Fall war und die Geschwindig- keiten zu derselben Zeit sehr klein waren. Dies gilt aber nur, wenn die Gleichung (5) streng erfüllt ist. Ist dies nicht der Fall, so finden sich andere Grenzwerthe für n, und
174 Sitzung der wathrphys, Classe vom 5. Mai 1894.
man kann solche Werthe von c wählen, dass überhaupt keine periodischen Losungen mehr möglich sind. Ich gehe auf diese Entwicklungen nicht näher ein, weil ich der Meinung bin, dass die Maxwell'sche Integrationsmethode, wenigstens in dieser Form, überhaupt nicht geeignet ist, über die Stabilität der untersuchten Bewegung etwas aus- zusagen. Mir scheint es unzulässig zu sein, in Differential- gleichungen von der vorliegenden Form die Glieder höherer Ordnung fortzulassen und aus der Thatsache, dass sich dann eine rein periodische Lösung ergiebt, schliessen zu wollen, dass dies auch bei strenger Integration der Fall sei. Die Untersuchung der Stabilität . eines Zustandes hat von der Bedingung auszugehen, dass die Goordinaten und Geschwindig- keiten für eine bestimmte Zeit unendlich wenig geändert werden. Man hat also die Integrationsconstanten zu varüren. Bei Maxwell kommen diese Constanten gar nicht vor, viel- mehr werden die Veränderungen der Coordinaten als un- endlich klein für alle Zeiten betrachtet und mit Hülfe der Yernachlässigang der höheren Potenzen dieser Grössen nach- gewiesen, wann eine periodische Bewegung mit sehr kleinen Amplituden sich einstellt. Im Allgemeinen enthält dieses Verfahren unzweifelhaft einen Zirkelschluss und ist unzulässig und daran wird nichts geändert, wenn dasselbe auch in speciellen Fällen zu richtigen Besultaten zu fuhren geeignet ist. Ein auf diesem Wege gefundenes Resultat kann, wenn nicht die Zulässigkeit des Verfahrens zuerst in besonderen Fällen nachgewiesen wird, eben nur zufallig richtig zu sein. Die vorliegenden Differentialgleichungen 2. Ordnung enthalten die unabhängige Variable t nicht explicite. Dass aber auch in diesem Falle im Allgemeinen die MaxwelPsche Schlussfolgerung nicht zulässig ist, kann mit Leichtigkeit an beliebig vielen Beispielen gezeigt werden. Nehmen wir z. B.:
Seeliger: Ueber die Constitution des Salurnringes. 175
und es werde vorausgesetzt, wie in den obigen Gleichungen, dass sowohl x und y als auch die ersten DifFerentialquotienten nach t fär ^ = 0 sehr klein seien. Dann ergiebt die strenge Integration :
y=asin(|< + |)
a? = -- 4-a8in(}< + ß) + g-jCos(g^ + 6)
— — • ^ • sin (g ^ + 6)
worin a, a, &, ^ die 4 willkürlichen Integrationsconstanten sind ond die ersten beiden sehr klein sein müssen. Vernachlässigt man aber in den Gleichungen y*, so wird:
also
rc = a sin (g ^ + /J) y = a sin ( ^ < -|- 6 1
Die näherungsweise ausgeführte Integration giebt also eine rein periodische Bewegung mit sehr kleinen Amplituden, die strenge Darstellung dagegen enthält ein mit t multipli- cirtes Glied. Wie sich die Sachlage bei dem MaxwelPschen Problem über den Saturnring gestaltet, darüber ist vorläufig gar nichts bekannt. Keineswegs aber kann man ohne näheren Nachweis behaupten, dass dort die Fortlassung der höheren Potenzen der Variablen die Form der Integralgleichungen ungeändert lässt.
Danach wird man wohl zugeben müssen, dass das Max- welPsche Resultat, in der vorliegenden Form wenigstens,
176 Sitzung der math.-phys. Glasst vom 5, Mai 1894.
gänzlich unbegründet ist. Die vorliegende astronomische Frage scheint mir aber hiervon ganz unabhängig zu sein. Denn es ist sicher, dass die thatsächlichen Verhältnisse beim Saturnring völlig verschieden sind von den Annahmen, auf denen das Maxweirsche Problem beruht. Der Satumring ist ein sehr dünnes aber breites Gebilde und der Äugenschein lehrt, dass dasselbe im Grossen und Ganzen in peripherischer Richtung von homogener Dichtigkeit ist. Wenn man sich den Ring auch vorstellen will als bestehend aus sehr vielen^ sehr dünnen und sehr inhomogenen Ringen, so werden sich doch diese üngleichförmigkeiten in der Massenvertheilung der einzelneu Ringe nahezu compensiren müssen, so dass man sich offenbar weit mehr der Wahrheit nähert, wenn man den ganzen Ring als homogen betrachtet, als wenn man etwas anderes annimmt. Hierdurch entsteht aber, wie oben auseinandergesetzt wurde, eine im hohen Grade instabile Be- wegung und man wird diese mit viel mehr Recht als der Natur entsprechend ansehen können, als etwa die Conse- quenzen des MaxwelFschen Problemes.
Him's Untersuchung der Frage, ob die Saturnringe als fest anzunehmen seien, geht nach einer ganz anderen Richtung als die Maxweirsche Arbeit. Während letzterer versuchte die Dauerhaftigkeit der Bewegung des Satarn um das Ring- centrum zu untersuchen, beschäftigt sich Hirn mit den An- sprüchen, welche man an die Festigkeit der Ringe zu machen gezwungen ist, falls diese als fest angenommen werden. Hier- bei scheint Hirn von der Meinung auszugehen, dass ein nicht homogener Ring überhaupt einen stabilen Zustand zulasse d. h. dass sich Saturn stets in der Nähe des Ring- centrums aufhalten könne. Er stützt sich dabei auf Laplace, der allerdings in der Mecanique Celeste seine Untersuchungen über den Saturn ring mit der Bemerkung schliesst: ,les divers anneaux qui entourent le globe de Saturne sont par consequent
Seeliger: Ueber die Constitution des Sixtumringea. 177
des solides irregulaires d'ane lageur inegales etc. " . Diese Schluss- folgerung ist aber durch die vorangehende Analyse keines- w^ gerechtfertigt, denn Laplace hat nur die Bewegung homogener Ringe untersucht. Deshalb entbehren die auf Laplaee's Meinung sich stützenden Bemerkungen Hirn*s der sicheren Grundlage und müssen als wenig beweiskräftig angesehen werden. Jedoch enthält die Schrift Hirn's viele interessante Bemerkungen, weshalb ich auf eine kurze Analyse derselben eingehe.
Bin unendlich dünner Ereisring mit dem Radius r, der sich mit der Rotationsgeschwindigkeit to um den in seinem Mittelpunkt stehenden Saturn dreht, kann, wenn keine Cohäsion zwischen den einzelnen Theilen stattfindet, nur bestehen, wenn in jedem Punkte die Centrifugaikraft gleich der An- ziehungskraft ist. Ist also wieder k die Anziehungsconstante, S die Satommasse, so muss sein:
Es werde nun ein inhomogener und zwar einseitig be- lasteter unendlich dünner Kreisring betrachtet. Ein Massen- element desselben sei dm. Der Schwerpunkt B des Ringes fallt dann nicht mit seinem Centrum C zusammen. Hirn nimmt nun an, was eine durchaus willkürliche und unbe- wiesene Voraussetzung ist, dass durch die Stellung des Saturn S auf der Verbindungslinie CR ein stabiler Zustand gegeben sei. Es müsste also, da die Masse B gegen S zu vernach- lässigen ist, 72 um 5 rotiren und ebenso schnell um C. Nennt man noch ^ den Winkel, den der durch dm gehende Ereisradius r mit der Geraden BS bildet, so wird also bei Voraussetzung eines stabilen Zustandes die Entfernung BS^=q constant bleiben, also:
dt dt^
ISIH. Umih.'phy. Gl. S. 12
178 Sitzung der nuUh.'phys. Classe vom 5. Mai 1894.
sein. Dies führt sofort auf die Bedingung
^^2dm = 2dmcos&lw^r — ^[ = 0. (7)
Hierin erstreckt sich 2 auf die ganze Kingmasse. Nennt man den positiven Theil der linken Seite der letzten Gleichung/", so halten sich also zwei Kräfte + f ^^^ — f ^^ Gleich- gewicht. Es ist f nichts anderes als die Zug- bezw. Druck- kraft, welche bei dem bestehenden Zustand auftritt. In der Hauptsache (mit allerdings nicht bedeutenden Abänderungen in den Zahlen) kann man die auftretenden Fälle als durch folgende typische Annahmen hergestellt ansehen.
Die ganze Ringmasse denke man sich in zwei Massen- punkten fiiQ und m^ vereinigt. In m^ alle dm^ welche in der obigen Summe positive, in wij alle dwi, welche negative Coefficienten haben. Man denke sich ferner m^ und m, an die Enden eines Durchmessers des Ringes gebracht, in welchem Durchmesser sich auch S befindet. Die Enfernung S vom Centrum des Ringes, also der Mitte der Geraden m^ »ip sei in der Richtung nach m^ positiv gerechnet ß. Die Gleichung (7) wird jetzt
Setzt man i= -^, so findet man hieraus:
|
1 |
/ 7c* S |
X- |
CT;r |
|
|
r |
-e |
1 r-e |
l- |
r + e r — t |
Es ergiebt sich aus diesem Ansrlrucke, dass der ange- nommene Zustand unmöglich ist, wenn:
\r A- eJ
+-.'<'<-^
Seeliger: üeher die Constitution des Satumringes. 179
denn dann wird (o imaginär. Sonst aber wird die Kraft /*, welche die feste als schwerelos betrachtete starre Verbindung ron ffi^ und m^ zu zerreissen oder zusammenzudrücken strebt, sein:
Diese Kraft kann sehr bedeutend werden. Wenn man den oben gefundenen Werth von u) einsetzt und die zweiten Po-
tenzen der als klein vorausgesetzten Grösse - vernachlässigt,
findet man leicht:
'~ r^ 'l — l
Für die numerische Rechnung wird man die Intensität der Schwere auf der Erdoberfläche ^, den Erdradius q und die Erdmasse m einführen. Dann ist mk^==^gQ'^ und:
Will man nun diese Formel auf den Saturnring an- wenden, so wird, ausser den bereits erwähnten und als ziem- lich willkürlich bezeichneten Voraussetzungen, noch eine bestimmte Annahme über e gemacht werden müssen, da f bei sehr kleinem e ebenfalls sehr klein wird. Hirn stützt sich hierbei auf Beobachtungen von W. Struve, Harding u. s. f., wonach Saturn excentrisch im Ringe stehen, soll. Aehnliche Wahrnehmungen sind auch in neuerer Zeit gemacht worden, entschieden ist indessen diese Frage noch keineswegs. Dass eine excentrische Stellung des Saturn thatsächlich vorge- kommen ist, wird man zwar zugeben müssen, über den Betrag der Excentricität aber bestimmte Angaben zu machen, ist bei den einander widerstreitenden Einzelresultaten vorder-
12*
180 Sitzung der mathrphys, Claase vwn 5. Mai 1894.
hand noch nicht .möglich. Wesentlich ist ferner f&r die Anwendung der obigen Formel, dass Saturn die Rotation des Ringes um sein Gentrum mitmacht und immer auf einem Radius des letzteren und zwar an derselben Stelle zu liegen kommt. Dies durch die Beobachtungen gegenwärtig nach- zuweisen dürfte nicht leicht sein, jedenfalls liegen dergleichen Resultate nicht vor.
Hirn legt seiner Rechnung folgende Zahlen zu Grunde. Drückt man die Strecken in Heues zu 4000 Metern aus, so setzt er:
e = 200 r = 33454
wo die letztere Zahl dem äussersten hellen Ringrand ent-
q
spricht. Weiter wird angenommen — = 92.394. Dann wird
für ;i = 10
f=m^gX 0.00084:
Schon für kleine Massen kommen bedeutende Drucke heraus. Nimmt man z. B. an, dass m^, welches ungefähr der Masse des halben Ringes entspricht, die Masse einer Kubiklieue Wasserstoff ist, so ergiebt sich /*= 5 Millionen Kilogramm. Unter solchen Drucken würde aber jedenfalls ein aus so dünnem Stoffe bestehender Ring auseinanderbrechen müssen. Wollte man aber die Festigkeit so gross annehmen, dass diesen Drucken Widerstand geleistet werden könnte, so müsste man noch die Bedingung der beinahe vollständigen Starrheit hinzufügen. Denn sonst würden sehr bedeutende Verbie- gungen auftreten müssen, von deren Qualität man sich leicht Rechenschaft abgeben kann. Da aber die Beobachtungen dergleichen nicht verrathen, so muss man wohl, will man nicht mit ganz abnormen und unbekannten Verhältnissen rechnen, die Hypothese sehr dünner starrer Ringe aufgeben.
Es bliebe indessen noch übrig, den Satumring als ein oder mehrere sehr dünne Bänder von endlicher Breite auf-
Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes. 181
zufassen. Ein solches kreisförmiges Band habe am inneren bezw. am äusseren Rande die Radien n und r^,. Jeder als fest angenommene Theil des Bandes, welcher zwischen zwei den unendlich kleinen Winkel dO mit einander bildenden Radien liegt, wird mit den übrigen zusammen auch ohne Cohäsion die vorgeschriebene Rotation ausführen, wenn %ra
n
Bezeichnet e die sehr kleine Dicke des Ringes und ä die gleichförmige Dichtigkeit, so ist
dm = e'd'r'dr'dS und es müsste also sein:
/:
fi'-m
er ' ar = 0.
e ist im Allgemeinen eine Function von r, die aber völlig unbekannt ist. Hirn verfolgt ausführlicher zwei Annahmen: 1) Setzt man 6=^6^ = constant, so ergiebt sich :
Es giebt einen mittleren Radius r^, wo der Gentrifugal- kraft genau durch die Anziehung das Gleichgewicht gehalten wird. Hierfür ist
woraus sich ergiebt:
8,
...M
■)-
3iogr"
182 Sitzung der math^-^s, Claase fx>m 5, Mai 1894,
2) Man kann u. A. annehmen e r = Const. e entspricht dann der Ordinate einer gleichseitigen Hyperbel, deren Ab- scisse r ist. Dann findet sich leicht:
und
,=)/^
ra (n- + Ta)
2
Hirn setzt entsprechend der Begrenzung des inneren Theiles des hellen Ringes, vom Florring bis zur Gassini'scheu Linie, in Heues zu 4000 Meter:
n = 23670 Ta = 30599
Dann ergiebt die erste Annahme r», = 27134 und die zweite 26986, also wie zu erwarten nahe übereinstimmende Werthe.
Offenbar tiberwiegt bei jenen Ringtheilen, für welche r > r„„ die Centrifugalkraft die Anziehung und für r<rM findet das Entgegengesetzte statt. Die auftretenden Zug- kräfte werden also dahin streben bei Tm eine Theilung des Ringes herbeizuführen. Diese Zugkraft f wirkt längs der Fläche von der Höhe e^y in welcher der mit dem Radius Tm construirte Kreiscylinder die Ringraasse schneidet. Auf die Flächeneinheit bezogen wird demgemäss f ausgedrückt durch:
,. 1 Cdm{ , k'S\
oder
Seeliger: lieber die Gonstituiion des Satumringea. 183
Führt man hierin wieder die beiden oben verfolgten Annahmen durch nnd setzt zuerst e = fm^ so wird
f=
{H(f:)*-']-'<}
Durch Einführung der Schwere g und mit den obigen Zahlen ergiebt sich:
/•= 84591 l.(J.(/
Die analoge Rechnung für die zweite Annahme er=Const. ergiebt:
und in Zahlen f= 859258 d-g^
Die angestellten Rechnungen zeigen jedenfalls, dass sehr bedeutende Zugkräfte die Zertheiluug des ringförmigen Bandes herbeizuführen suchen, denen nur die Cohäsion der Masse sich entgegensetzt. Indessen wirkt auch die Anziehung der einzelnen Ringtljeile auf einander in gleichem Sinne. Man wird aber wohl Ton vom herein annehmen müssen, dass die letztere bei der nicht bedeutenden Dichtigkeit der Ring- materie nicht viel an dem erlangten Resultate ändern wird. Ich übergehe deshalb die von Hirn in dieser Richtung aus- geführten Betrachtungen, zumal dieselben gegenwärtig voll- kommener angestellt werden können, als dort geschehen. Hirn findet, dass bei Berücksichtigung der Ringanziehung der zuletzt angeführte Zahlenausdruck für f sich imi-
wandelt in:
/•=859258.(J-(/-0.57(d.(7)^
Dm eine genauere Vorstellung von der Grösse dieser Kräfte zu erlangen, sei erwähnt, dass Buchenholz ein Körper ist, der bei grösster Leichtigkeit die stärksten Drucke aushalten kann. Hierfür ist d = 0.7 und damit wird /"= 598687600 kg pro qm. Diese Belastung ist etwa 40 Mal so gross, als Buchen- holz erfahrungsgemäss ertrt^en kann. Indessen ist offenbar
184 Siteung der maUh.'phya. Glosse vom 5. Mai 1894,
die Kraft f bedeutend kleiner, wenn die Breite des Ringes abnimmt, und man kann sich die Frage vorlegen, wie breit die einzelnen Ringe sein müssen, um bei gegebener Festig- keit bestehen zu können. Die Rechnung ist leicht auszuführen, wenn die Ringanziehung yernachlässigt wird. Für eine Materie von der Beschaffenheit des Buchenholzes folgt dann, dass der innere helle Ring mindestens aus 5 einzelnen Ringen bestehen müsste. Ganz ähnliches gilt natürlich auch für den äusseren Ring, so dass also mit der festen Constitution der Ringe die Folgerung verknüpft ist, dass dieselben aus einer grösseren Zahl schmaler Ringe bestehen müssen. Der Augenschein und manche Beobachtungen, namentlich aus früherer Zeit, widersprechen dem durchaus nicht, und es ist bekannt, dass La- place etwas ganz ähnliches als durch die Beobachtungen bestä- tigt angenommen und hierauf seine Rechnungen gegründet hat.
So interessant dieses Resultat von Hirn auch ist, so ändert es doch nichts an der Unzulänglichkeit der Annahmen. Der der Rechnung zu Grunde gelegte Zustand ist ein im höchsten Grade instabiler, wie oben auseinandergesetzt, und demzufolge ist die Untersuchung über die Unmöglichkeit fester Ringe unnöthig, weil das System nur ganz kurze Zeit bestehen kann. Es ist schon oben erwähnt worden, dass auch einseitige Belastungen nichts an der Sachlage ändern können, wenn man nicht das Aussehen der Satumringe ganz ignoriren will und so wird wohl immer das Hauptargument gegen die Möglichkeit fester Ringe in den einfachen Rech- nungen bestehen, welche am Anfange dieses Auüsatzes aus- geführt worden sind.
Fragt man nun weiter nach der eigentlichen Constitution der Ringe, nachdem der feste Aggregatzustand ausgeschlossen ist, so drängt sich zunächst die Yermuthung auf, diese Ge- bilde könnten flüssiger oder gasförmiger Natur sein. Um die Mitte dieses Jahrhunderts hatte diese Hypothese an den beiden amerikanischen Gelehrten W. C. Bond und Peirce
Sediger: Ueber die Constitution des Satumringes, 185
energische Verfechter gefunden, man wird sie aber trotzdem nicht ernstlich in Betracht zu ziehen haben. Lange Zeit nnd vereinzelt auch jetzt noch hat man die berühmten Ex- perimente von Plateau über ringförmige Gebilde, die in rotiren- den Flüssigkeiten auftreten, als einen Beweis für die Möglich- keit solcher kosmischen Gebilde angesehen. Diese Versuche veranschaulichen aber nur die Wirkung der Gapillarität und haben mit Gravitationswirkungen gar nichts zu schaffen. Sie hangen also gar nicht mit den Gleichgewichtsfiguren kosmischer Massen zusammen, ganz abgesehen davon, dass sie auch äusserlich den Verhältnissen beim Satnmring nicht entsprechen. Denn hier liegt in der Mitte der Ringe von sehr geringer Masse, die bedeutende Satummasse, welcher Fall sich bei den genannten Figuren wohl kaum erzielen lässt.
Nachdem Laplace die Theorie der ringförmigen Gleich- gewichtsfiguren zu untersuchen begonnen hatte, ist dieses Problem ausführlich und streng von verschiedenen Seiten bebandelt worden. Die Hauptfrage, die aber bei einer Ver- werthung der erlangten Resultate in der Astronomie von der grossten Wichtigkeit ist, ob nämlich solche Figuren stabil sind und nicht durch Hinzutritt kleiner Störungen von aussen auseinanderfliessen, hat eine genügende Beantwortung bis jetzt nicht gefunden, indessen ist kaum wahrscheinlich, dass die erforderliche Stabilität vorhanden ist. Zu diesem Resultate kommt auch Hirn auf einem interessanten Wege, auf welchem ihm hier gefolgt werden soll.
Es werde angenommen, dass zu einer gewissen Zeit der flüssige Ring wirklich bestehe, wenn Saturn genau in dessen Centrum sich befindet. Dann wird der Ring mit gleich- förmiger Geschwindigkeit wie ein fester Körper um sein Centrum rotiren und die einzelnen Theilcheu werden keine Verschiebung gegen einander erleiden. Wenn nun Saturn sich aus irgend einer Ursache von dem Ringmittelpunkt ein wenig entfernt, so werden die einzelnen Theilchen nicht
186 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5, Mai 1894,
mehr gleichförmig rotiren können. Dort wo sie dem Saturn näher stehen, werden sie sich schneller, dort wo sie von ihm entfernter sind, werden sie sich langsamer bewegen müssen. Man wird sich, weil die Anziehung des Ringes auf seine einzelnen Theile gering ist gegenüber der Anziehung des Saturn, ein näherungsweise richtiges Bild von der Be- wegung bilden, wenn man annimmt, dass die einzelnen Theile Ellipsen beschreiben, deren Brennpunkt im Saturn liegt. Ist die Ringmaterie ein zusammendrückbares Gas, so werden die einzelnen Theilchen in der Saturnnähe, da sie sich hier schneller bewegen, auseinanderrücken und in der Satumfeme wird das Entgegengesetzte eintreten. Ist der Ring ans einer nnzusammendrückbaren Flüssigkeit gebildet, so werden sich die einzelnen Theilchen im letzteren Punkte anhäufen un der Ring wird hier breiter oder dicker werden müssen. Dieses Spiel wiederholt sich bei jedem Umlaufe, also alle 10 bis 14 Stunden. Infolge der Reibung zwischen den ein- zelnen Theilchen wird beim Anhäufen oder Zusammendrängen der Theilchen Wärme erzeugt werden, was aber in der Saturn- ferne stattfinden muss, während, wenigstens ist dies bei gas- formiger Constitution sicher, in der Saturnnähe eine Ab- kühlung erfolgen wird. Infolge der Wärmeleitung, des Stosses der einzelnen Theilchen gegeneinander etc., werd^ nun, wie die Thermodynamik zeigt, sich die Wärmewirkungen in der Saturnfeme und -Nähe und auch in den dazwischen liegenden Punkten nicht ausgleichen, vielmehr bleibt dm Rest übrig, welcher eine Temperaturerhöhung der Ring- masse hervorbringt. Dies kann aber nur auf Kosten der Bewegungsenergie geschehen und es werden sich also die Dimensionen des Ringes nach dem Saturn hin verkleinern. Die Innenseite des Ringes wird sich demzufolge ziemlich gleichmässig von allen Seiten, langsam dem Saturn nähern, um sich schliesslich mit ihm zu vereinigen.
Auf Grund seiner Untersuchungen kommt Hirn zu dem
Seeliger: üeber die Constitution des Saturnringes, 187
Resultate, dass sich alle Schwierigkeiten und Unmöglichkeiten beben, wenn man annimmt, der Satumring bestehe aus ein- zelnen discreten Massentheilchen oder er sei, kurz gesagt, ▼on staubförmiger Structur. Wie sich die mechanischen Ver- hältnisse in einem solchen Systeme abwickeln, hat Hirn nicht weiter untersucht und die kurzen Bemerkungen, die er in dieser Richtung macht, werden voraussichtlich theilweise der Gor- rectur bedürfen. Dagegen hat Maxwell diese Probleme in An- grifiFzu nehmen versucht, ohne dass es ihm aber, wie ich glaube, gelungen ist, zu einer einwurfsfreien Lösung zu gelangen.
Die Erscheinungen, welche ein staubförmiger Satumring darbietet, habe ich in zwei grösseren Arbeiten besprochen und ich glaube dort den stricten Nachweis geliefert zu haben, dass alle Erscheinungen, die zum Theil sehr complexer Natur sind, nur durch die zu Grunde gelegte Annahme erklärt werden können. Bei dem noch nicht gehörig entwickelten Zustande der Dynamik des Saturnringes dürfte auf diesem Wege die festeste Stütze gewonnen sein, die man bis jetzt der Maxwell-Hirn ^schen Annahme geben konnte.
Es ist interessant, dass die Forschung, nachdem der Keihe nach alle nur denkbaren Annahmen über die Constitution des Saturnringes discutirt und als wahrscheinlich hingestellt worden sind, wieder jener Ansicht zuneigt, welche als eine der ersten aufgestellt worden ist, um dann aber, wie es scheint, völlig der Vergessenheit zu verfallen. Es ist von verschiedenen Seiten bemerkt worden, dass Jacques Cassini (1677 — 1756) bereits die Maxwell-Him^sche Ansicht ausgesprochen hat. Die Wichtigkeit der Angelegenheit wird es wohl recht- fertigen, wenn ihr etwas nachgegangen wird. Bei Ge- legenheit der Veröffentlichung seiner Beobachtungen des Saturn, namentlich des Verschwindens des Ringes im Jahre 1715 ^) spricht sich Cassini ganz deutlich aus. Pag. 47 sagt er:
1) Observations nouvelles sur Satame. M^moires de mathe- matiqae et de physiqae, tir^s des registres de Tacaddinie royaie des Kciences de Tannee 1715 pg. 41 ff.
188 Sitzung der mcUh.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894.
„Cette apparence qui n'a poiat sa pareille dans les corps Celestes, a doune liea de conjecfcurer que ce pouvait etre an amas de satellites qai etaient dans le plan des autres et fiäisaient leur revolution autour de cette plannte, que lear grandeur est si petite qu^on ne peut pas les apercevoir chacun separement, mais qu'ils sont en mime temps si pres Tun de Tautre qu^on ne peut point distinguer les intervalles qui sont entr^eux, ensorte qu^ls paraissent former un corps continu".
Hieran werden Bemerkungen geknüpft über Schwierig- keiten, die bei der Darstellung der Beobachtungen auftreten sollen, in dieser Form aber wohl nicht existiren. Den Schluss bildet (pg. 48) die Bemerkung:
lyOn peut donc supposer avec beaucoup de vraisemblanoe que Tanneau de Saturne est form^ d*une infinite de petites Planetes fort pres Tune de Tautre, qui ^tant comprises dans son Atmosphäre, sont entralnes par le mouvement qui fait tourner Saturne autour de son centre et que dans cette Ätmosphere etc.*
Hiernach nimmt also Oassini an, dass die discreten Theil- chen, welche den Ring bilden, in der Atmosphäre des Saturn sich befinden und mit dieser durch die Rotation des Saturn herumgeführt werden. Das ist freilich ein Zusatz, welcher die ganze Auffassung völlig verschiebt, und da Cassini diesen Zusatz für ganz wesentlich hält, steht er doch auf wesentlich anderem Boden als auf dem der Hypothese von Maxwell und Hirn. Es erscheint demnach doch nicht so räthselhaft, dass die Cassini*sche Ansicht nicht allgemeine Verbreitung ge- funden hat.
Danach wird man, wie ich glaube, nicht gegen die historische Gerechtigkeit Verstössen, wenn man die Erkenntniss, dass die Satumringe eine staubförmige Constitution haben, an die Namen Maxwell und Hirn knüpft.
189
Ueber normale und anomale Dispersion elektrischer Wellen.
Von L. Graets und L. Fomm.
(mmffdtn^ 6, Mai,)
Vom Standpunkte der Maxweirschen Theorie ist nicht ZQ erwarten, dass die Dielektrizitätsconstante eines Körpers eine durchaus constante Grösse sei. Denn da ihre Wurzel der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektrischen Verschie- bang umgekehrt proportional sein soll (bei gleicher magne- tischer Inductionsconstante) und da wir aus den optischen Messungen wissen, dass der Brechungsexponent mit der Wellen- länge variirt, so ist von vorn herein zu schliessen, dass sich die Dielektrizitätsconstante eines Körpers abhängig zeigt von der Wellenlänge der elektrischen Bewegungen, durch deren Hülfe sie gefunden wird. Ebensowenig ist aus der MaxweU*schen Theorie mit Nothwendigkeit der (gewöhnlich angefQhrte) Schluss zu ziehen, dass die Constante der Cauchy- schen oder einer anderen Dispersionsformel (für normale Dis- persion) der Wurzel aus der Dielektrizitätsconstante gleich sein muss, ein Schluss, der ja auch durch die Erfahrung nur in wenigen Fällen bestätigt wird. Vielmehr ist aus der That- sache, dass die Dielektrizitätsconstante, in gewöhnlicher Weise bestimmt, sich meistens viel grösser ergiebt, als das Quadrat des auf unendlich lange Wellen reducirten Brechungsexponenten, consequent nur zu schliessen, dass im Gebiet der langen Wellen häufig Absorptionen und daraus folgende anomale
190 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5. Mai 1894,
Dispersionen vorkommen, welche den Gang der Dispersions* curve wesentlich beeinflussen.
Von diesem Gesichtspunkte ausgehend, haben wir uns die Frage gestellt, ob eine Abhängigkeit der Dielektrizitate- constante von der Wellenlänge der elektrischen Wellen experimentell zu constatiren ist. Man weiss von einer Reihe von Körpern, dass ihre Dielektrizitätsconstante, sta- tisch gemessen, sich viel grösser ergiebt, als gemessen durch Schwingungen, auch wenn diese nur die langsamen Schwingungen eines Induktionsapparates sind. Man nahm an, dass man sich dabei durch Abkürzung der Ladungs- zeit dem wahren d. h. kleinsten Werth der Dielektrizitäts- constante nähert. Nach der obigen Darlegung giebt es aber gar keinen „wahren" Werth der Dielektrizitätsconstante, vielmehr ist jeder durch einwurfsfreie Methoden sicher bestimmte Werth der Dielektrizitätsconstante als der wahre Werth für die zugehörige Wellenlänge anzusehen. Dass durch die Abkürzung der Ladungszeit man sich dem soge- nannten wahren d. h. kleinsten Werth der Dielektrizitäts- constante nicht immer nähert, wird bewiesen durch die Ver- suche von Lecher ^), welcher sogar bei raschen Hertz'schen Schwingungen ein Anwachsen der Dielektrizitätsconstante bei einigen Körpern constatirte, gegenüber den durch lang- same Schwingungen bestimmten. Man wird vielmehr nach der Ausdrucksweise der Optik sagen müssen, dass, wenn sich die Dielektrizitätsconstante um so kleiner ergiebt, je grosser die angewendete Wellenlänge ist, dass man es dann mit einem Körper mit normaler Dispersion zu thun hat, dass dagegen, wenn umgekehrt die Dielektrizitätsconstante mit wachsender Wellenlänge selbst wächst, in dem hinter diesem Gebiet Hegenden Theil der Wellenlängen (nach kürzeren Wellen- längen zu) anomale Dispersionen stattgefunden haben, und
1) Lecher Wied. Ann. 42 p. 142. 1891.
Chraetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 191
dass eodlich, wenn man mit den Wellenlängen in ein Gebiet der anomalen Dispersion selbst kommt, die Dielektrizitätscon- stanten mit abnehmender Wellenlänge zunehmen, dann bis zu einem Minimum abnehmen und dann wieder zunehmen müssen.
Bei Körpern, wie Schwefel, Paraffin, Schellack, für welche die gewöhnliche MaxwelPsche Beziehung gilt, ist natürlich eine Abhängigkeit der Dielektrizitätsconstante von der Wellenlänge, wie sie herstellbar ist, nicht zu erwarten. Wohl aber konnte ein solclier Einfluss bei Körpern mit grosser Dielektrizitätsconstante erwartet werden, da die meisten bisher untersuchten Substanzen zu der zweiten der oben erwähnten Klassen zu gehören scheinen. Wir sind aber beim Beryll mit dem von uns benützten Intervall der Wellenlängen gerade in ein Gebiet hineingekommen, welches für die Dielektrizitätsconstante genau denselben Gang zeigt, wie er bei anomaler Dispersion für den Brechungs- exponenten in solchen Fällen bekannt ist.
Za den Messungen benutzten wir die Erscheinung, welche wir früher ^) ausführlich dargelegt haben , dass dielektrische Ellipsoide in einem Ton elektrischen Schwingungen durch- zogenen homogenen Feld Drehungsbewegungen ausführen, welche dem Quadrat der angewendeten elektrischen Kraft proportional sind. Bei dieser Methode Hess sich die Wellen- länge der angewendeten Schwingungen leicht dadurch variiren, dass wir eine Reihe von Lejdener Flaschen von verschiedener Capacität anwendeten. Die Entladungsfunken derselben zwi- schen den Kugeln eines Mikrometers gaben uns Schwingungen, deren Wellenlängen sich nach der Theorie wie die Wurzeln der Capacitäten verhalten, wenn, wie es der Fall war, der ganze übrige Stromkreis möglichst unverändert blieb. Ausser- dem konnten wir sehr langsame Schwingungen mit derselben Anordnung dadurch hervorbringen, dass wir die Kugeln des Mikrometers so weit auseinanderzogen, dass keine Funken
1) Graetz und Fomm Sitzungsber. d. bayr. Akad. 23 p. 275. 1893.
192 Sitzung der fnaJtK-phys, Classe vom 5. Mai 1891,
übergingen. Dann folgten sich die Schwingungen nur in der Periode, welche der Unterbrecher des Induktionsapparates hatte, einige hundert in der Sekunde.
Die Anordnung war derartig, dass eine der Leydeoer Flaschen mit den beiden sekundären Polen eines Induktions- apparates verbunden und durch dessen Strome geladen wurde. Die Entladung geschah durch das Funken mikrometer, Yon dessen Kugeln aus zwei Drähte zu zwei parallel geschalteten Eohlransch'schen Condensatoren führten. Zwischen den Platieji derselben hingen an gefimissten Glasstäbchen die zu nnter- suchenden Scheiben oder Stäbchen, die durch einen Tropfm Schellack an den Stäbchen befestigt waren. Die Stäbohen selbst hingen au einem Spiegel, dieser an einem feinen Metall- faden, der an einer Ebonitfassung innerhalb einer Glas- röhre aufgehängt war. Wenn der Spiegel sorgfaltig den Platten des Gondensators parallel gestellt wird — was anf optischem Wege jedesmal controUirt wurde — , wird die ganze Aufhängung selbst von den Ladungen nicht be- einflusst. Die Stäbchen und Scheiben wurden sorgfalüg so befestigt, dass sie genau unter 45^ gegen den Spi^el und damit gegen die Condensatorplatten standen. In dem einen der Condensatoren, den wir als Standard bezeichnen, hing zunächst eine dünne Ereisscheibe aus Schwefel, deren Ausschläge uns das Mass für die vorhandene elektrische Kraft gaben. Später wurde für manche Korper ein Kupfer- stäbchen zum Vergleich genommen. Der Abstand der Conden- satorplatten wurde bei beiden Instrumenten gewöhnlich gleich gross gemacht (25 mm, bei grossen Dielektrizitatsconstanten 35 mm).
Theorie der Yersuche.
Ein dielektrisches EUipsoid wird in einem homogenen elektrischen Felde gleichmässig polarisirt. Hat das EUipsoid die Gleichung
Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 193
a» ^ 6» ^ c»
und wirken in der Richtung der xye-kne die indncirenden Kräfte XTZ^qo sind die dielektrischen Momente des EUipsoids pro Volumeneinheit*)
xX ^ xY xZ
l+xA, ^ l + x5, ' 1 + xCo
wo Aq Bq Gq von dem Yerhältniss der Axen abhängige Constanten sind und x die «Dielektrisirungsconstante" ist, ent- sprechend der Poisson'schen Magnetisirungsconstanten. Die Dielektrizitätsconstante D ist
2) = l-f.4 7ix.
In unserem Fall haben wir ein Rotationsellipsoid, dessen Rotationsaxe die :r-Axe sei. Die o;- und y-Axe mögen in einer horizontalen Ebene liegen und es möge die elektrische Kraft unseres Feldes den Winkel cp mit der a;-Axe bilden (q> ist bei uns nahezu == 45^). Ist P die ganze elektrische Kraft, d. h. die Potentialdifferenz W der Platten dividirt durch ihren Abstand und yerläuft P, wie in unserem Falle horizontal, so hat das dielektrische Moment unseres EUipsoids die Grösse (wenn V das Volumen des EUipsoids ist)
I»
(1 + X ^o)
und die dielektrische Axe bildet mit der x-Axe, der Rotations- axe, einen Winkel xp^ so dass
1 + X ^
Das Drehungsmoment, welches den Winkel qp zu ver- grössern strebt, ist
1) Kirchhoff, VorleBcmgen über Elektrizität S. 166. 18M. ]fAth.-ph7S. Gl. 2. 18
194 Sitzung der math,'phy8, Glosse vom 5. Mai 1894,
x»P»6in2y(.go-^)F ^~ (1 +xJJ(l+xB,)
Bei unserer Aufhängung wird bei den Stabchen der Winkel g> verkleinert, bei den Scheiben vergrössert.
Diesem Drehungsmoment wird, wenn der Winkel g> sich um o verkleinert hat, durch die Torsion des Drahtes das Gleichgewicht gehalten. Ist also M der Torsionscoef&cient
des Auf hängedrahtes und wird die Grösse — zz— gleich p ° cos2a
71
gesetzt und zugleich, wie bei unseren Versuchen 2 9 = ^ angenommen, so wird
Werden die entsprechenden Grössen für die Standard- scheibe mit y, p, 2W, %, SÖq, S5 bezeichnet und wird
yMgo-«o)g _^ (i + y«o)(i + y«o)
gesetzt, vorausgesetzt, dass y bekannt ist, so wird gv X* _pM s
0 + ^^0)0 +xBo) P~^r(B,-A,)
woraus x zu bestimmen ist, wenn -, ^, V gemessen, s, i«, Bq berechnet sind.
Die Grösse A^ und B^ ergeben sich *)
1. für eine Scheibe, wenn a die halbe Rotationsaxe,
b die andere Halbaxe ist und 1/ — ^ — = 6 gesetzt wird: 1) Kirchhoff Mechanik S. 131.
Graete und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen. 195 1 + c* f 1
-Bo = -^ |(1 + 6») arctang e — cj 2. für ein Stäbchen bei derselben Bezeichnung der Halb- axen, wenn 1/ ^ — == rj gesetzt wird
i'.-'^{(l-«(l«g..t]/ff-j) + ,}
Die Messungen.
Zq den Messungen wurden 4 Leydener Flaschen benutzt, die wir, von der kleinsten angefangen, als IV, III, II und I bezeichnen. Die Gapacitaten dieser Flaschen wurden direkt verghchen und ergaben, bezogen auf (7iv = 100, die Werthe Civ = 100, Cm = 151, Cn = 185, d = 396. Da aber in unseren Beobachtungen zu den Flaschen noch die beiden Condensatoren parallel geschaltet waren, so sind die Ver- hältnisse kleiner. Die in Betracht kommenden Gapacitaten lassen sich angenähert aus den Ausschlägen unseres Standard- instruments bei so grosser Entfernung der beiden Mikrometer- kugeln, dass keine Funken mehr überspringen (r = oo), Tergleichen. Es waren z. B. diese Ausschläge a und die daraus berechneten Gapacitaten G
Flasche lY III II I
a 644 431 880 199
C 100 149,6 170 324
Letztere Werthe von G sind für unsere Versuche mass- gebend.
13*
196 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5, Mai 1894,
Die entsprechenden Wellenlängen A, die den Wurzeln aus den Capacitäien proportional sind, sind
Aiv = 100 Äni = 122,3 An = 130,4 Ai= 180,0.
Die Wellenlängen umfassen also keine ganze Oktave. Ausserdem aber konnten wir, wie erwähnt, sehr grosse Wellen- längen anwenden, indem wir ohne Funken, bloss mit den Ruhmkorffschwingungen arbeiteten. Diese Wellenlänge wollen wir als Ir bezeichnen.
Bei jeder Flasche wurden gewöhnlich 4 Messungen in der Art gemacht, dass die Funkenstrecke auf 3 verschiedene, jeweils passende Abstände gebracht wurde, bei denen con- tinuirlich Funken übergingen und die wir von der groasten zur kleinsten mit Tai ^5i '^c bezeichnen, und eine vierte Messung ohne Funken, mit r^ bezeichnet. Wir nehmen an, dass bei derselben Flasche die Schwingungsdauer sich nicht wesentlich ändert, wenn man der Funkenstrecke die Längen %a^ ^«^ *^e giebt, die höchstens um einige Millimeter differirten. Feddersen zeigte bereits, dass diese Veränderung ohne wesentlichen Ein- fluss ist.
Beobachtungen an Schwefel.
Um die Dielektrizitätsconstante des Schwefels für ver- schiedene X zu messen und zugleich für unser Standard- instrument das y zu bestimmen, welches in die weiteren Messungen eingeht, wendeten wir eine Scheibe und ein Stäbchen aus Schwefel an. Aus dem Verhältniss ihrer Drehungen lässt sich y berechnen. Bezeichnen wir nämlich für die Scheibe alle Grössen mit deutschen, für das Stäbchen mit lateinischen Buchstaben, so ergiebt sich aus der obigen Formel 2)
(}_+_y3o)0^ + yJ&o) ^P M^ go-gg _ . (l + yA,){l + yB,) pm VB,-A^ ^'
Graetg und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen,
197
Es ist dabei yorausgesetzt, dass die beiden Schwefel- sificke dasselbe y haben, eine Voraussetzung, die wohl un- bedenklich ist, da Scheibe und Si^bchen gleichzeitig herge- stellt waren.
Die Resultate der Messungen sind folgende, wobei jeder
Werth von — aus mindestens 3 durch Schwingungsbeobach- tungen erhaltenen Einzelwerthen das Mittel ist.
W rf Vi ^ fri Schwefelstäbchen
p Schwefelscheibe.
|
X^ |
^III |
^n |
^l |
h |
|
|
T = a 1 = 5 T = C |
0,5695 0,5683 0,5706 |
0,6668 0,6648 0,5691 |
0,5866 0,6602 0,5491 |
0,5509 0,5578 0,5686 |
0,6684 aus I 0,5687 , II 0,5588 . III 0,6692 , IV |
|
Mittel |
0,5694 |
0,5684 |
0,6658 |
0,5689 |
0,5649 |
Diese Zahlen weichen vom Mittel um nicht mehr als 1% ab, so dass eine Abhängigkeit yon der Wellenlänge nicht zu erkennen ist, sie zeigen zugleich, dass die Methode bis auf 1 bis 2^/^ übereinstimmende Zahlen ergiebt. Diese Fehlergrenze beruht hauptsächlich darauf, dass der Unter- brecher des Ruh mkorff nicht regelmässig funktionirt, ein Uebel- stand, der durch die gleichzeitige Beobachtung an zwei In- strumenten wohl in seiner Wirkung reducirt, aber nicht ganz unschädlich gemacht werden kann. .
Die zur Berechnung von y nothwendigen Constanten sind
«0=11,8432 »0 = 0,3616 3» = 4,4174 f = ||| Jo= 0,6105 ^0 = 5,9780 Jlf = 4,3400.
Aus dem Mittelwerth aller — ergiebt sich
198
Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5, Mai tH94,
y = 0,24915 D = 1 4- 4 /r y = 4,131.
Dieser Werth für D Hegt nahe an dem von Boltzmann gefundenen, welcher für die drei Hauptaxen die Werthe fand D = 4,773, 3,970, 3,811, im Mittel also 4,184. Diese beiden Schwefelstücke wurden gleich nach der Herstellung (Guss) untersucht. Für andere, lange benützte Schwefel- stücke fanden wir y = 0,24915, woraus D = 3,798 sich er- giebt. Es ist bekannt, dass gegossener Schwefel beim Stehen spontan in eine andere Modifikation übergeht.
Beobachtungen an Paraffin.
Eine Paraffinscheibe von 20,9 mm Durchmesser und 1,2 mm Dicke wurde mit einer Schwefelscheibe verglichen, für welche s = 54,855 (s. p. 194) war. Es ergaben sich folgende
W fli ^ ffi Paraffinscheibe
p Schwefelscheibe.
|
Xjy |
^n |
^l |
h |
||
|
T = a T = C |
0,3289 0.3388 0,3582 |
0,8406 0,8607 0,8341 |
0,3115 0,8572 0,8531 |
0,3463 0,3375 0,3420 |
0,8492 aus I 0,8441 , II 0,3327 .111 0,3434 ,IV |
|
Mittel |
0,3386 |
0,3418 |
0,3406 |
0,3419 |
0,3423 |
Auch hier lässt sich, wie za erwarten, ein Gang der Dielektrizitätsconstante nicht erkennen. Aas dem Mittel-
werth der — und den Constanten der Paraffinscheibe A,
P = 11,5105, ^0 = 0.52788, F= 411,7 ergiebt sich
x = 0,1162 D = 1 -j- 4 nr X = 2,20.
Boltzmann fand far Paraffin 2,32.
Graete und Famm: Dispersion elektrischer Wellen,
199
Beobacbtangen an Wasser. Um Körper mit grosserer Dielektrizitätsconstante auf ihre etwaige Dispersion zu untersuchen, gingen wir bald zum Wasser über, dessen Dielektrizitätsconstante die grösste bisher gemessene ist. Wir brachten das Wasser in eine kleine dünnwandige Ebonitröhre (20,1 mm Länge, 3,0 mm Durch- messer), welche an den beiden Enden durch Ebonitpfröpf- chen Terschlossen war. Die Messungen wurden erst an der leeren, dann an der mit Wasser gefüllten Röhre vor- genommen und die ersteren Ausschläge, auf gleiche Standard- aussehlage reducirt, von den letztern abgezogen. Diese Correktion betrug 2 — 3®/o. Mit den Ruhmkorffschwingungen allein haben wir keine Messungen angestellt, weil bei unsern Potentialen dann die Ausschläge zu gross wurden, so dass merkbare Einwirkungen der Ladungen auf den Spiegel der Aufhängung stattfanden, die nur unsicher hätten eliminirt werden können. Wir beschränken uns also auf die Angabe der Resultate mit raschen Condensatorschwingungen. Die benützte Schwefelscheibe hatte ein s = 43,610. Die Beobachtungen ergaben folgende
rrr ^t P A. Wasserröhrchen
Werthe von — für ^r^j ^-, — r—r, —
p bchwefelscbeibe.
|
^I |
^n |
^IV |
|
|
T = a z = b |
4,1812 4,1677 4,1117 |
4,1823 4,1326 4,0481 |
4,1324 3,9869 4,0802 |
|
Mittel |
4,1602 |
4,1210 |
4,0665 |
Es scheint hier ein Gang der Dielektrizitätsconstante in der Weise vorzuliegen, dass mit wachsender Wellenlänge auch die Dielektrizitätsconstante grösser wird. Da jedoch
die Differenzen der — 2% nur wenig übersteigen, so ist das P
200 Süeung der math.-phya. Glosse vom 5. Mai 1894.
Resultat nicht sicher. Aus dem Mittelwerth der - and
P ^0 = 0,45998, 5o = 6»05330, r= 140,00 ergiebt sich
X = 5,8324
D = 73,54 ein Werth, der mit den bisher bekannten gut übereinstimmt. Es ist jedoch dieses Resultat bei so grossen Wertben von D nur durch aussergewöhnliche Sorgfalt zu erreichen und zwar
desshalb, weil eben der Werth von — so gross ist, dass kleine
Aenderungen in ihm und kleine üngenauigkeiten in der Be- stimmung der Dimensionen des Röhrchens schon grosse Aenderungen von D hervorbringen.
Um diesen Uebelstand, der auch bei anderen Substanzen sich zeigte, zu vermeiden, haben wir versucht, ob wir nicht derartige Körper mit grossem D mit Metallen vergleichen können.
Beobachtungen an Kupfer.
Wendet man die Mosotti-Poisson^sche Theorie auf Metalle an, so ist, weil ftlr diese bei statischen Zustanden das Potential constant sein muss, die Dielektrisirungsconstante X = 00 zu setzen. Es war die Frage, ob bei unsren, inmier- hin raschen Schwingungen die Ladungen den Metallen gegen über noch als statische oder besser quasistatische an- zusehen wären. War das der Fall, dann musste ein Kupfer- stabchen den Werth 2) = oo ergeben. Dabei ist zu bedenken, dass die oben entwickelte Formel 3, durch welche man D aus
— bestimmt, eine Curve von folgendem Verlauf giebt. Trägt
man die — als Abscissen auf, so steigt die Curve von D erst
langsam, dann rascher an und geht endlich steil bis -f^i um dann nach — oo zu springen und mit weiter wachsendem
~ allmählich kleinere negative Werthe von D zu liefern.
Oraetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 201
Wenn also die Beobachtungen einen selir grossen positiven oder negativen Werth von D ergeben, so ist dies ein Beweis für X = 00. Die Beobachtungen ergaben für ein Eupfer- stabchen von 23 mm Länge und 2,94 mm Durchmesser (an den Enden abgerundet) folgende
Werthe von ?■ '- Kapferstäbchen P
für
Schwefelscheibe.
|
^i |
^11 |
XiY |
|
|
j = a |
7,971 8,168 7,988 |
8,008 7,828 8,086 |
8,004 8,068 8,017 |
|
Mittel |
8,0867 |
7,9720 |
8,0280 |
Mit dem kleinsten Werth 7,9720 ergiebt sich 2) = + 7445, mit dem grössten 8,0357, der nur um 0,75 ®/o grösser ist, D = — 9120, so dass damit der Werth von x =oo für unsre Schwingungen als gültig bewiesen ist.
Wenn das Eupferstäbchen als Standard genommen wird, so ist der Werth der Grösse s (p. 194). (»o-«o)»
5 =
«0».
»-^ = 397,7.
Beobachtungen an Bromblei.
Ein Stabchen aus Bromblei von 21,6 mm Länge und 3,9 mm Dicke ergab mit Kupfer verglichen folgende
TX7 _xi. P i.« Brombleistabchen
Werthe von - für -=^^ — ^ — —r—r
p Kupferstäbchen.
|
^i |
^11 |
^in |
^IV |
|
|
T = 6 |
0.8767 0,8578 0,8487 |
0,7828 0,8486 0,8141 |
0,8856 0,7929 0,7956 |
0,8228 0,7884 0,7760 |
|
Mittel |
0,8592 |
1 0,8152 |
0,8080 |
0,7956 |
202
Sitzung der math.-phys. Classe vom 5. Mai 1S94.
P Hier zeigen die Zahlen — , von denen die Dielekfcrizitats-
constante abhangt, einen ausgesprochenen Gang mit der Wellen- länge und zwar so, dass die Dielektrizitatseonstante mit wachsender Wellenlänge selbst wächst. Die Berechnung er- giebt für die Dielektrizitatseonstante
Hv
D =
41,792
'^lii
^il
42,938
43,692
48,643
Dieser Gang zeigt an, dass bei kürzeren Wellen als Aiv Absorptionen und anomale Dispersionen stattgefunden haben und dass die Dispersionscurve in unserem Intervall noch in aufsteigendem Gang ist.
Beobachtungen an Jodblei.
Denselben Gang ergaben die Beobachtungen an einem
Jodbleistäbchen yon 21,7 mm Länge und 3,60 mm Dicke.
Es ergaben sich folgende
TXT .1 P I... Jodbleistäbchen
Werthe von - für :^—^ — tt^t-t —
p Kupferstabchen.
|
^i |
^11 |
AiY |
|
|
T= a Z = b |
0,8178 0,9303 0,9355 |
0,8030 0,9191 0,8977 |
0,8243 0,8644 0,8168 |
|
Mittel |
0,8946 |
0,8733 |
0,8316 |
Die DiflTerenz der äussersten Werthe ist 7%. Die daraus berechneten Werthe der Dielektrizitätsconstanten, die grössten bisher bekannten, sind
Äjy
113,2
147,7
172,8
(jhrctetz und Famm: Dispersion elektrischer Wellen.
203
Wenn nun auch der Gang der Dielektrizitätsconstante bei diesen beiden Körpern die frühere Ansicht zu bestätigen scheint, dass mit Abkürzung der Ladnngszeit die Dielektrizitäts- constanten kleiner werden, weil die Leitung sich dann nicht voll entwickeln kann, so scheinen uns gegen diese Erklärung die Gründe zu sprechen, dass erstens bei unserem Wasser (Wasser- leitungswasser, nicht destillirtes Wasser), welches ein besserer Leiter als Jodblei und Bromblei bei diesen Temperaturen ist,
ein so erhebliches Anwachsen von — mit waschsender Wellen-
P länge sich nicht zeigt, sondern nur ein noch in die Be- obachtongsfehler fallendes und zweitens, dass unsere nun anzufahrenden Beobachtungen an Beryll ein ganz anderes, anomales Verhalten zeigten.
Beobachtungen an Beryll.
Wir hatten eine senkrecht zur Axe geschnittene Beryll- Scheibe, welche wir der Freundlichkeit des Herrn Prof. Groth ▼erdanken. Ihr Durchmesser ist 15,5 mm, ihre Dicke 0,44 mm. Daraus ergeben sich ihre Constanten
Ä^ = 12,0254 B^ = 0,27038 F = 83,025 Folgendes ist das Resultat einer ersten Messungsreihe:
Werthe von - für
Beryllscheibe Schwefelscheibe.
|
^IV |
^11 |
^l |
^R |
|
|
T = a |
1,0246 |
0,7836 |
1,1270 |
0,6936 aus I |
|
T = ö |
1,1027 |
0,7149 |
0,9531 |
0,7186 , II |
|
x = c |
0,9410 |
0,7767 |
1,0698 |
0,6736 , IV |
|
Mittel |
1,0228 |
0,7684 |
1,0499 |
0,6962 |
Die Zahlen zeigen deutlich ein Minimum von ~ und daher auch ein Minimum der Dielektrizitätsconstante für die
204
Sitzung der math.-phys, Clasae w)im 5, Mai 1894,
Wellenlänge An. Die Dielektrizitatsconstanten ergeben sich aus diesen Zahlen:
|
hv |
^11 |
^1 |
^R |
|
|
D = |
8,503 |
6,580 |
9,207 |
5,948 |
Der Verlauf dieser Zahlen, die hier yon der kürzesten zur längsten Wellenlänge fortschreitend geordnet sind, ist genau derselbe, wie der ftir den optischen Brechungsindex bei anomaler Dispersion. Es sind z. B. für Fuchsin die Zahlen von Wemicke für die
Linie H Q C A
n= 1,54 1,81 1,90 1,73.
Um die Werthe von D sicherer zu bestimmen, haben wir eine zweite Versuchsreihe mit einer andern Schwefel- scheibe als Standard angestellt, indem wir noch die Flasche III, die eine Wellenlänge zwischen II und IV ergiebt, hinzu- nahmen.
Folgendes sind die
W rth von ^ fr Beryllscheibe.
i) Schwefelscheibe 11.
|
Ajy |
^III 0,5042 0,6189 0,4775 |
^11 0,5407 0,5426 0,5360 |
0,6233 0,6008 0,6572 |
^R |
|
|
T = a T = & T = C |
0,6274 0,6146 0,5738 |
0,5217 ans I 0,4885 , 11 0,5140 ,111 0,4876 . IV |
|||
|
Mittel |
0,6053 |
0,5002 |
0,5398 |
0,6271 |
0,5029 |
Es ist also hier der Gang der Zahlen genau derselbe, nur zeigt sich das Minimum noch bei kürzeren Wellen als früher, nämlich schon bei der Wellenlänge Ani.
Die hieraus berechneten Werthe von D sind, zusammen- gestellt mit den aus den vorigen Beobachtungen, folgende:
Oraeti und Fomm: Dispersion elektrischer WeUen.
205
|
^IV |
^III |
^11 |
^l |
^B |
|
|
Beob. I Beob.II |
8,60 7,80 |
6,60 |
6,68 7,08 |
9,21 8,04 |
6,94 6,68 |
|
Mittel |
8,16 |
6,60 |
6,83 |
8,62 |
6,81 |
Die aus der Formel n^ = D berechneten Brecfanngs- exponenten sind folgende:
n = 2,846 2,588 2,613 2,936 2,512.
Curie ^) fand fiir Beryll in der Richtung der optischen Axe De = 6,24, senkrecht zur optischen Axe Da == 7,58.
Die Dispersionscurve verläuft übrigens bei Beryll lange nicht so scharf, wie sie es bei Fuchsin thut.
Wir beabsichtigen diese Erscheinungen bei Beryllstäb- chen anderer Provenienz und verschiedener Orientirung der Axe weiter zu untersuchen und die Wellenlängen, bei denen die anomale Dispersion stattfindet, absolut zu bestimmen. Aus der Thatsache der anomalen Dispersion lässt sich auch erkennen, warum die Einzelbeobachtungen beim Beryll nicht denselben Grad der Uebereinstimmung zeigen, wie bei anderen Substanzen. Wir haben es ja sicher nicht mit ganz reinen WeUen zu thun, sondern jedenfalls mit etwas gemischten, zum mindesten schon dadurch, dassdie Ruhmkorffschwingungen sich den Funkenschwinguugen überlagern.
Wenn man die oben unter 1 angegebene Formel be- trachtet, so erkennt man, wie sich in unserem Falle das Analogen zu der prismatischen Trennung der Farben ergiebt. Denn der Winkel, den die dielektrische Axe des polarisirten Körpers mit der Rotationsaxe bildet, ist, wenn q) = 45^ ist.
tang)^:
1 + x^o
1) Garie Ann. chim. et phya. (6) 17. p. 886. 1889.
206 Sitzung der matK-phya. Claase vom 5. Mai 1894,
Hat also x für verschiedene Längen der Wellen ver- schiedene Wertbe, so ist die Richtung der dielektrischen Axe im Körper jedesmal verschieden und ein System von ver- schiedenen gleichzeitig ankommenden Wellen giebt eine Reihe von fächerartig auseinandergehenden dielektrischen Axen.
Da die Absorption der elektrischen Strahlen, die die Dispersion bedingt, von der Leitung abhängt, so folgt aus unseren Versuchen auch, dass die Leitungsfahigkeit solcher Körper bei verschiedenen Wellenlängen verschieden sein muss und allgemein, dass Dielektrizitätsconstante und Leitungsfähigkeit nicht vollständig von einander unabhängige Grössen sind, sondern dass sie in ähnlicher Weise durch die Constitution des Körpers zusammenhängen, wie in der Optik absorbirender Körper die Brechung und die Absorption.
München, Physik. Institut d. Univers., Mai 1894.
207
üeber den Beweis des Maxweirschen Geschwindig- keitsvertheilungsgesetzes unter Gasmolekiilen.
Von Ludwig Boltzmann. (SingOaufm 6, Mai.)
Der Abschnitt der KirchhofiTschen Vorlesungen über Gastheorie überragt so wie die übrigen Theile dieses Werkes sowohl in der Vorzüglichkeit der Auswahl des Stoffes als auch in der Darstellung weit die gewöhnlichen Lehrbücher. So wird dort zum ersten Male auf die Richtigkeit der That- Sache hingewiesen, dass die 3 experimentell so oft gefundenen Werthe 1 • 67, 1 • 4 und 1 • 33 für das Verhältniss der Wärme- capacitaten eines Gases bei constantem Drucke und Volumen, aus der Annahme der Analogie der Gasmoleküle mit festen Korperchen folgen und ich will bei dieser Gelegenheit nur beiläufig bemerken, dass der Haupteinwand gegen diese Analogie, der auf der complicirten Natur des Spectrums selbst des fii^-Dampfes begründet ist, durch die Versuche von Pringsheim^) sehr an Bedeutung verliert, welche beweisen, dass diese Spectra nicht durch die regelmässige innere Wärme- bewegung der Oasmoleküle zwischen je 2 Zusammenstössen, sondern durch fremdartige chemische Erregungen (elektrische Schwingungen im umgebenden Aether?) hervorgebracht werden.
1) Wied. Ann. 49, p. 347, 1898.
208 Sitzung der math.'phy8. Glosse vom 5. Mai 1894.
Umsomebr müssen, wie mir scheint, die Ungenauigkeiten der Darstellung in dem eingangs erwähnten Buche rück- haltslos aufgedeckt werden, damit sich nicht, von EirchhoffB Autorität gedeckt, Irrthümer in die Gastheorie einschleichen. Denn selbst diejenigen, die wie der Herausgeber des in Rede stehenden Theiles der Eirchhoff^schen Vorlesungen die Oas- theorie des auf sie aufgewandten Scharfsinnes unwerth achten, können und sollen nicht wünschen, dass, wer überhaupt über Gastheorie schreibt, es mit geringerem Schar&inn thue.
Auf Seite 147 des 4. Bandes der Vorlesungen über mathematische Physik findet KirchhofiF für die Wahrschein- lichkeit, dass gleichzeitig die Goordinaten und Geschwindig- keitscomponenten eines von einem Zusammenstosse kommen- den Molekülpaares in den durch das Integrale ang^ebenen Gebieten liegen, den Werth:
•Jdxidyid£fi d ^i d r]i d Zi d x^d yt d a^ d ^i d rji d li
Da hier Q einen bestimmten Werth hat, nach welchem später differentiirt wird, so sind die Grenzen der Gebiete so eng zu ziehen, dass sie nur Molekülpaare umfassen, die vor- her in ganz bestimmter Weise zusammengestossen sind. Das gleichzeitige Zusammentreffen zweier Moleküle in diesen beiden Gebieten kann daher nie durch die zufallige progressire Bewegung, bei welcher beide Moleküle von einander unab- hängig sind, veranlasst werden, sondern nur durch einen vorhergehenden Zusammenstoss. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Moleküle gleichzeitig in diesen Gebieten liegen, darf daher nicht, wie die Wahrscheinlichkeit des Zusammen- treffens zweier von einander unabhängiger Ereignisse be- rechnet und gleich
'Jd Xidyidjsfid^idrj^d^id XidyidjgtdSidrj^d £, gesetzt werden, wodurch die Beweiskraft der folgenden
BdUmann: MaxtoelVschea Geschmndigkeüavertheüungsgesetz. 209
Dedactionen hinfallig wird. Diese Wahrscheinlichkeit kann nur aus der Wahrscheinlichkeit der Zustände der beiden Moleküle vor dem Zusammenstosse und dem Verlaufe des letzteren berechnet werden, wodurch sich der Ausdruck 1) ergiebt. Erst wenn man die Gültigkeit der Gleichung
bereits voraussetzt, folgt, dass diese Wahrscheinlichkeit eben- sogross ist, als ob die beiden Moleküle unabhängig von einander in die betreffenden Bezirke gelangt wären, woraus dann Maxwell in bekannter Weise schliesst, dass sein Ge- schwindigkeitsvertheilungsgesetz durch die Zusammenstosse nicht verändert wird. Dass nicht auch andere Geschwindig- keitsyertheilungsgesetze möglich sind, die durch die Zusammen- stosse ebenfalls nicht gestört werden, kann auf diesem Wege überhaupt nicht bewiesen werden.
Bezüglich der Anwendung der auch von Kirchhoff be- nutzten Functionaldeterminante in der Gastheorie sowie deren Beziehung zu Liouville und Jacobis Rechnungen vergl. Wien. Sitzungsber. Bd. 58, Oct. 1868, Bd. 63, März 1871, April 1871 etc. bezüglich der Abgrenzung der Integrationsgebiete vor und nach dem Zusammenstosse, Wien. Sitzungsber. Bd. 66, Oct. 1872, Abschn. 4. Die letzte dieser Abhandlungen citirt auch Hr. Planck bei anderer Gelegenheit.
Um nicht missverstanden zu werden, will ich mich noch enger dem Texte des Eirchhoff^schen Buches anschliessen. Daselbst werden auf Seite 145 zwei Gebiete der Variabein jd XidyidjSid^idrj^d Ci und J^d x^dy^de^d^dri^d ^a be- trachtet. Nehmen wir nun an, es soll sich gleichzeitig ein Molekßl in dem einen und ein 2. in dem 2. Gebiete be- finden (d. h. die Werthe der Coordinaten und Geschwindig- kcitscomponenten des betreffenden Moleküls sollen innerhalb der durch das Integrale angegebenen Grenzen liegen). Dann
ISM. ]Uib.-phya. OL 2. 14
210 Sitzung der math.'phy8, Clcuae vom 5. Mai 1894.
sind, je nach der Lage der betreffenden Gebiete 3 Fälle möglich. 1. Die beiden Moleküle eilen eben einem Zusammen- stosse zu (d. h. sie stossen, nachdem sie gleichzeitig die Gebiete passirt haben, miteinander zusammen und keines stösst in der Zwischenzeit mit einem 3. zusammen). 2. Sie kommen eben von einem Zusammenstosse (d. h. sie stiesseo, vor sie in die Gebiete eintraten, miteinander zusammen, wieder ohne dass eines derselben in der Zwischenzeit mit einem 3. zusammenstiess). Der 3. Fall umfasst alle anderen Möglichkeiten.
Im Kirchhoff'schen Buche wird nun auch im 2. Falle die Wahrscheinlichkeit, dass beide Moleküle gleichzeitig in beiden Gebieten liegen, gleich dem Produkte der Wahr- scheinlichkeiten gesetzt, dass je eines der Moleküle im be- treffenden Gebiete liegt, was nur erlaubt ist, wenn man die Richtigkeit der zu erweisenden Gleichung f(ui + Q) f{u, — (?) ^=f{Ui)f{u2) schon voraussetzt. Denn da im 2. Falle die Gebiete so liegen, dass soeben eine Wechselwirkung der Moleküle stattgefunden haben muss, so kann die Anwesen- heit des einen Moleküles in seinem Gebiete nicht als ein ?on der Anwesenheit des andern Moleküls in seinem Gebiete unabhängiges Ereigniss aufgefasst werden.
211
Zur Integration der Diffusionsgleichnng bei variabeln Diffasionscoefflcienten.
Von Ludwig Boltzmann. (ÜngOauf^ 6. Mai,)
Herr 0. Wiener gab*) eine interessante Methode an, den Vorgang der Diffusion zweier Flüssigkeiten in allen Schichten gleichzeitig zu beobachten. Dabei zeigte sich be- deutende Veränderlichkeit des Diffusionscoefficienten. Herr Wiener zeigt, wie man diesem Umstände bei Berechnung der Versuche durch ein Näherungsverfahren Rechnung tragen kann. Ich habe nun schon vor langer Zeit ein Integrale der Diffusionsgleichimg für variabeln Diffusionscoefficienten gefunden, welches Hausmaninger^) allerdings mit geringem Erfolge zur Berechnung der Versuche Waitz's verwendete. Da dasselbe vielleicht zur Berechnung der Wienerischen Versuche nützlich sein könnte, so erlaube ich mir hier noch- mals darauf zurückzukommen.
Zählen wir, wie Hr. Wiener die ••]- x von der ursprüng- lichen Grenze der übereinandergeschichteten Flüssigkeiten aus vertikal nach abwärts, bezeichnen mit n^, n^^ n die Brechungsindices in der obem resp. untern reinen und an irgend einer Stelle der gemischten Flüssigkeit, mit t die
1) Wied. Ann. 49 p. 106, 1893.
2) Sitznngsber. d. Wien. Akad. Bd. 86, p. 1073, 1882.
212 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894,
seit Beginn der Diffusion verflossene Zeit und nehmen an, dass n die partielle Differentialgleichung
9
erfüllt^ wo k eine gegebene Funktion von n ist, sowie, dass die Diffusion weder Boden noch Niveau der obern Flüssig- keit in merklicher Weise erreicht hat, so folgt allgemein
n = Wj —
0
2)
Man sieht, dass n und daher auch k nur Funktion von a;:]/! ist. unter den Integralzeichen ist immer der Werth des k für x:Yt = l zu verstehen. Ich will mich hier nicht weiter darauf einlassen, wie diese Formel abgeleitet werden kann; dass sie alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt, sieht man ohne weiteres. Die Gleichung 2) würde auch richtig sein, wenn k direkt als Funktion von rciVT gegeben wäre; man könnte dann n unmittelbar daraus berechnen. Da aber hier k nicht direkt als Funktion von xiVt gegeben ist, sondern eine zu findende Funktion von n ist, so kann diese Formel zur Berechnung der Vei-suche nicht verwendet werden. Man muss vielmehr k aus derselben berechnen. Man findet zunächst, wenn man wieder A = x:V7 setzt
l.dn und hieraus bei constantem t
Ä = — -T- \-j—'X'dX' 4)
Boltzfnann: Zur Integration der Diffusionsgleichung, 218
Hr. Wiener findet nun durch das Experiment direkt Curven, deren (von einer schrägen Geraden an gezählte)
Ordinaten a den Werthen von -=— multiplicirt mit der Con-
stanien a d gleich sind, während die Abscissen y = y^ + xjt) sind. (Siehe dessen Fig. 13 pag. 123.) Dabei ist t] eine experimentell gegebene Gonstante, Pq aber der Werth des y für die Stelle, wo die schräge Gerade die ursprüngliche Trennungsfläche der beiden Flüssigkeiten schneidet. Daraus folgt :
-s-.h
y^^y 5)
Wir berechnen nun zu irgend einem x das dazu ge- hörige y, ziehen die diesem y entsprechende Ordinate z der Diffusionscurve, bezeichnen mit f den Flächenraum, der links von der Ordinate e^ oben von der schrägen Geraden, unten von der Diffusionscurve begrenzt ist, und mit y« die Abscisse des Schwerpunkts dieses Flächenraumes. Dann ist f^zj^zdy, yB'f=f^ zydy, daher ist
u=ylf^^ 6)
u t z
der Werth des Diffusionscoefficienten für das betreffende x und U Kann der Anfang der Diffusion nicht genau festgestellt werden, so ist er natürlich als 2. Unbekannte einzuführen, die Gleichung 6) für 2 verschiedene Zeiten aufzustellen, und daraus k und der Zeitanfang zu bestimmen. Die Vermuthung Herrn Wieners, dass der Diffusionscoefficient besser aus Ver- suchen mit geringen Goncentrationsunterschieden berechnet werden kann, dürfte vollkommen richtig sein. Dagegen kann die obige Formel dienen, um zu controliren, ob für beträcht- liche Concentrationsdifferenzen die Gleichung 1) gilt, in welchem
214 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5. Mai 1894,
Falle für beliebige Zeiten fQr gleiche Werthe von n also von n^ — ff] auch für k derselbe Werth folgen müsste.
Sollte die Gleichung 1) nicht gültig sein, so konnte eine analoge von der Concentration u gelten, so dass
dt ~dxVdx/ wäre. Wäre dann u = f{n) und setzt man /^ (n) = A, A x = i, so hätte man
dt • dx\ dx' oder !^ _ * ?!l' I 1 2»ft /»ny . , .
Au Stelle der Gleichungen 2), 3), 4) und 5) würde folgen
Vi
'"■hXdX
J¥--f
2 a)
_hXdn_cPndktdn\* .
^^^hxdx==^^y.(y-y,)av 4a)
WäreÄ als Function von «=nj, — j;/* bekannt, so müssten also die Ordinaten der DifFusionscurve eine Correction er- fahren und es müsste erst von dieser corrigirten Curve der Schwerpunkt gesucht werden.
Man konnte auch bloss voraussetzen, dass n die Glei- chung la) erfüllt und ohne Rücksicht auf ihre Bedeutung h und h als 2 unbekannte Functionen von n betrachten.
BoUgmann: Zur Integration der Diffusionsgleichung, 215
Dann mQsste mau so verfahren. Für eine bestimmte Diffuaions- curve ist t constant. Daher folgt aus Gleichung 3 a)
hxdn , , cPn . dh
2i dx
dn , , d* n , dk /d n\* ^ _.
also
\ dk In dieser Gleichung sind die beiden Grössen - -r— und
A 9n
V- also die beiden Coefficienten der Gleichung 1 b) als die
beiden unbekannten (unbekannte Functionen von n) zu be- trachten. Die übrigen Grössen können wie Hr. Wiener zeigt, leicht für jede Diflfusionscurve berechnet werden. Man muss also in 2 zu verschiedenen Werthen von t gehörigen Diffusionscurven solche Ordinaten (y) suchen, für welche n (also die Flächen f bis zu diesen Ordinaten) gleiche Werthe haben. Diese beiden Stellen der beiden Diffusionscurven liefern 2 Gleichungen für die zu jenem n gehörigen Werthe
von j- -r— und j-. Wäre auch der Zeitanfang unbekannt,
so müsste noch eine 3. Gleichung aus einer 3. Diffusions- curve beigezogen werden. Man kann also so für beliebig viele n die Werthe der beiden Coefficienten der Gleichung 1 b) bestimmen. Natürlich ist dieses Verfahren auch auf den eingangs betrachteten Fall, dass die Gleichung 1) gilt, an- wendbar und dürfte auch da dem früher beschriebenen vor- zuziehen sein.
Besonders einfach gestalten sich die Verhältnisse natür- lich wieder für den Punkt, wo z sein Maximum hat, also d£ldy = 0 ist. Für diesen Punkt ist
l^djc^ r]{yQ — y)ad gx
hdn 2zt
216 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5. Jlfa» 1894,
Bezeichnen wir den Maximalwertb des e z\x 2 yerschie-
denen Zeiten t^ und t^ mit e^ und 0^ die dazu gehörigen
y mit y^ und e/^, so ist also, wenn man annimmt, dass sich
1 dk
T -T-- in der Zeit L — t. nicht erheblich verändert hat
h dn 21
?«<^ r</o — y» _ yp — yi] ian
k dn
Man könnte nun aus Versuchen mit geringer Concen- trationsdiflferenz k als Function von n und daraus dkidn berechnen. Würden diese Werthe mit den für grosse CJoncen- trationsunterschiede nach der letzten Formel (darin A = 1 gesetzt) berechneten stimmen, so wäre dies ein Beweis der Gültigkeit der Gleichung 1).
Obwohl die vorliegenden Versuche Hrn, Wieners zu einer ausführlichen theoretischen Discussion, wie er selbst bemerkt, noch zu ungenau sind, so will ich doch die Formel9) auf das Diagramm Wieners Fig. 15 p. 135 anwenden, um überhaupt zu zeigen, wie die numerische Berechnung ge- schehen kann. Daselbst ist
fi — ?^^1£_| = 0-851, a = 100-6cm, (J = 1.027cm
t = Tage, y^ — y = etwa 4 mm, ;er = 20 mm, daher
1^ d A; _ 53 cm^ h dn Tag
Würde die Gleichung 1) gelten, so wäre A= 1; obiger Ausdruck wäre also gleich dk\dn. Anderseits findet Herr Wiener für k zwischen Wasser und 3®/oiger Salzsäure den Werth A^ = 2 • 8, zwischen Wasser und 26^/oiger Salz- säure aber Ä^ = 4 • 2, daher Ä, — ifei = 1 • 4 cm*: Tag. Der Unterschied der Brechungsindices zwischen Wasser und der
Bollzmann: Zur Integration der Diffusionsgleichung, 217
letzten Salzsäure ist tjfiad, wobei f die Fläche zwischen der schiefen Geraden und einer der Curven der Fig. 15 ist. Schätzt man /* zu 6 cm* (die Figur ist V« linear verkleinert), 80 wird f)f:ad=^0'05. Ä, und J, sind die Diffusions- coefficienten beim mittlem Salzsäuregehalt. Es entspricht also Äj fast reinem Wasser, ig aber 13 ^/o Salzsäure. Daher entspricht der Aenderung fcj — k^ des DiflFusionscoefficienten etwa die Aenderung ^ n = 0 • 025 des Brechungsindex; es ist also
^» 7 ^1 = 56
Dies stimmt gut mit dem oben für dkidn gefundenen Werth überein, was aber auch ein Zufall sein kann. Die Ableitung weiterer für die Berechnung nützlicher Formeln wird besser geschehen, wenn neue Beobachtungen vorliegen.
219
üeber die Anwendung des Princips des kleinsten Zwanges auf die Elektrodynamik.
Von A. Wassmuth in Graz. (Sfngtlanfnt 5. Mai.)
Eiu Punkt m eines Systems von Partikeln möge sich in der Zeit t, wenn er frei wäre, von a nach 6 bewegen, während seine wirkliche Bewegung durch die Strecke ac dargestellt sei; dann sagt bekanntlich das von Gauss aufge- stellte Princip des kleinsten Zwanges aus, dass 2m*hc^ ein Minimum ist oder dass, wenn a d irgend eine virtuelle d. h. mit den Bedingungen des Systems verträgliche Bewegung vorstellt, stets: -I?m«6c*<^w-6d* sein muss. Sind xys die Coordinaten des Punktes m, auf den die Kräfte ntX, mY^tnZ wirken sollen, so geht irgend eine Coordinate x in der sehr kleinen Zeit t für die wirkliche Bewegung über in:
, dx , l d^x ^ und für die freie Bewegung über in:
so dass das Quadrat der Ablenkung b c^ oder das Quadrat der Coordinatendifferenzen gleich x l ^ /i — ^y "^ • * ^^^^'
220 Sitzung der mcUh.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894,
Man hat daher einen Ausdruck Z — er soll der Zwang des Systems heissen — von der Form
z=.„[(--x)-+(^«-r)%(--.y]
wobei sieh die Summe auf alle Partikeln erstreckt, zu einem Minimum in Bezug auf die diversen Beschleunigungen:
-T^, -r^, . . die kurz x^ y^ a . . . geschrieben werden sollen,
zu machen. Differenzirt man dabei die Bedingungsgleichungen
des Systems: qp^ = 0, qn^ = 0 . . . zweimal nach der Zeit, so
muss man sich, wie aus der obigen Ableitung hervorgeht^),
gegenwärtig halten, dass die Goordinaten x und ihre ersten
Differentialquotienten als , gegeben" anzusehen sind; die
cP w d a> •'
Gleichung: -7-^5- = 0 drückt nur aus, dass die :^7-^ + '-- dt o t
unveränderlichen Werthen gleich sein müssen. Für ge-
d X **
gebene VVerthe der x und 3-r sollen also die x so bestimmt
dt
werden, dass Z zu einem Minimum werde. Man erhält so
die bekannten Gleichungen:
t»(i-X) + A.|^ + A,|5 + .. = 0 U. 8. w.
Statt der Goordinaten xy is , . . sollen nun n von einan- der unabhängige Variabein Pi/^gPs • • • P^ eingeführt werden, so dass die virtuelle Arbeit = Pj dp^ -}" ^% ^P% + . . + Pn^P«
und die lebendige Kraft ^=ö5j^xiPxPA ^i*"^! ^^^^
die Pfi, und a^^ = a^^ nur von den Goordinaten abhängen und die griechischen Buchstaben, wie im folgenden immer, von 1 bis n gehen.
1) Lipschitz, Borch. Jour. 82. Band 316 (Ransenberger Mechanik I 166); Gibbs, Beiblätter IV 319.
Wcissmuth: üeber die Anwendung des Prineips etc, 221
Dann wird der Zwang Z^ wie Lipschitz (a. a. 0. p. 330) zeif^, ausgedrückt durch:
^=^^[^if*Pi+<^^P2 + " + [ ]PiPi+[ ]pik+-~Pf*]
\oiyPi + ayp^ + . . + [^^PiPx + [ ^\PiPi + ' ' - P^\ wobei ^ die Determinante aas den a^x und Afty die adjungirte
vorstellt und
L^J 2[dpx '^'dp^ dpfi] gesetzt ist.
Der Ausdruck für Z wird tibersiclitlicher und für (ge- wisse) physikalische Probleme geeigneter, wenn die lebendige Kraft T eingeführt wird. Setzt man nämlich:
_ d dT dT ^~dtdpfi dpfjL so ist^) auch
JPiPi + l JPil^8+ • •• und es wird:
Z=-^^\T,^-m\.Ty-PA d.i. (I)
1) C. f. e. g. Rayleigh, der Schall, p. 111; St&ckel, Borcb. Jonr. 107, p. 322.
222 Süeung der miUh.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.
Da dieser Ausdruck fQr dea Zwang Z, wie es scheint, neu ist, so ist es nicht überflüssig, nachzuweisen, dass man in Ausführung der Minimumsbedingung für Z zu den Lagrange- schen Gleichungen kommt. Dabei hat man zu Folge der obigen Bemerkung bei der Differentiation des Z nach jpj die Grossen p^ und p^ als gegeben oder fix anzusehen und von der Beziehung:
Gebrauch zu machen. Man erhält so:
oder, da diese Summen einander gleich sind,
oder: ^2(2'v-P.)2«.A*V=7,I](r.'--P.')[«„^.v+a„^,r..l
Da nun nach einer Eigenschaft der Determinanten: a„ A^v + a,2 Al^v + . . = -^ oder Null wird, je nachdem
az
f == 1 oder y > 1 ist, so folgt also aus: ^..- = 0 auch
Tj — Pj = 0 d. i. die Lagrange'sche Gleichung: d dT _lT^_p
Für den Zwang Z lassen sich ganz ähnlich, wie man für die Lagrange'sche Grundgleichung Nebenformen^) auf- stellte, noch andere Ausdrücke finden.
Wichtig für die Anwendung ist die Bemerkung, dass sich der Zwang Z so darstellen lässt, dass darin eine Be-
1) Weinstein, Wied. Ann. 15. Budde, Mechanik I 397.
Wassmuth: lieber die Äntoendung des Princips etc, 223
schleunigung z. B. p^ von den übrigen losgelöst erscheint; es ist: Z- J = \ {L^p^^ + 2 M^p\ + N^) wo die L^M^N,
- . d Z ,
die t>, nicht enthalten und L, und Jf, aus jt-tt- = 0 leicht
gefauden werden können.
.Sind bei einem physikalischen Probleme die virtuelle
Arbeit '^PfAipf* und die lebendige Kraft T=s^^,a^2 V^Pi
gegeben, so lässt sich mittelst der Gleichung I der Zwang des Systems bestimmen; die Minimumseigenschaft von Z druckt ein — in vielen Fällen sicher neues — Gesetz für das System aus, ganz abgesehen davon, dass andere, Tielleicht schon bekannte Gesetze durch wirkliches Differenziren des Z daraus folgen/
So hat z. B. Herr Boltzmann in wundervoll einfacher Weise an der Hand der Lagrange'schen Gleichungen, somit sich stützend auf mechanische Vorgänge, in seinen Vor- lesangen I die MaxwelPschen Gleichungen der Elektrizität abgeleitet. Es erhellt, dass man auch vom Principe des kleinsten Zwanges in der Form der obigen Gleichung I als Obersatz ausgehen kann und, da die virtuelle Arbeit und die lebendige Kraft angegeben werden, durch Aufsuchen der Minininmsbedingung zu den Lagrange'schen Gleichungen und — nun ganz an der Hand Boltzmann's fortschreitend — zu den MaxwelPschen Gleichungen kommen muss. Wenn es auch auf diese Art schwer möglich sein wird, die klassischen Methoden Boltzmann^s, besonders die im 2. Theile seiner Vorlesungen, noch mehr zu vereinfachen, so drückt die Be- dingung: Z=^ Minimum immerhin eine neuerkannte Wahr- heit aus.
Als ein Beispiel möge der Fall von 2 cyklischen Goor- dinaten jp, =s Ti und j), =JJ — von den langsam veränder- Kehea Parametern k werde einstweilen abgesehen — be-
224 Sitzung der nuUh.'phys, Classe vom 5, Mai 1894.
1 • 1 • • •
trachtet werden. Hier ist : T = -^ a^ p\ -\- -^On p\ + a» Pi Pi
A , B
= ^ t! + "o ^»' + C Ti r2, wenn Boltzmann's Bezeichnung
eingeführt wird. Es folgt: a„ = -4, o« = JB, flu = Ci d= ^^ = Ä B - C, Än= B, A,,= - C, A„ = A.
T, = j'^{A r, + Gl), T, = ~-^ (-B Z; + er,). Ausserdem
möge wegen der Reibung oder Zähigkeit die von Bayleigh aufgestellte Zerstreuungsfunktion (a. a. 0. 108 und 109 pg.) 1 ^r-i • 1 • 1 • • •
durch J?'=22j(^»^' + ••)==2*"^*'^ 2 *"^" '***"''' ^* bezeichnet werden; dann tritt bekanntlich zu den Kräften
d F
Pu = Lu noch hinzu: — r-; — Auch erhellt aus inneren
dpfj^
Gründen, dass in = 0 ist.
Hiemit wird denn schliesslich der Zwang Z ausgedruckt durch :
z X {AB-(?) = ^[^-^(^ r» + gt:,)-l, - 6»*;]*
-2G\^-^(Al-^Cl,)-L,-hnl\^^^
2Z
und es soll Z ein Minimum sein, derart, dass ^-i = 0 und
de,
r-^ =: 0 ist. Hierin stellen (Boltzmann I pg. 34 und 35)
ti und t^ die Stromstärken in 2 Leitern, 6„ und bn deren Widerstände, L, und L, die elektromotorischen Kräfte in ihnen, A und B die Coefficienten der Selbstinduction und G den der gegenseitigen Induction vor. Sind noch Conden-
WcLssmuth: üeber die Anwendung des Prindps etc, 225
satoren (I. c. I 35) eingeschaltet, so treten noch Glieder von der Form: of, Zj und d^l^ in die Klammern.
Die Bedingung: Z= Minimum spricht also ein elektro- dynamisches Grundgesetz aus und liefert die Theorie der Selbstinduction und wechselseitigen Induction für nicht za schnelle Stromschwankungen. Will man auch die pondero- motorischen Kräfte erhalten, so muss ein langsam ver- änderlicher Parameter k neben l^ und l^ als 3. Yariabele eingeführt, der allgemeine Ausdruck für Z aufgestellt und
dZ
die Gleichung — ..- = 0, wobei k und k als constant anzu- dk
sehen sind, gebildet werden; erst nachher hat man ^ = 0 und
k = 0 zu nehmen und erhält, wie Boltzmann, die Beziehung;
dk 2 ~dk 2 dk ' ' dk
Auch die Akustik bietet ein weites Feld zur Anwendung des obigen Principes. Es treten da häufig in dem Aasdrucke für die lebendige Kraft nur rein quadratische Glieder mit gleichen Coefficienten auf, wesshalb sich dann die Gleichung für den Zwang einfacher gestaltet.
Fuhrt man die Abkürzung: T^ — P/4 -= Qf* ein, so ist der Zwang Z gegeben durch :
fjtv /iy
= A,,Q\ + 2A„Q,Q,i-.... +2 Ä^n (?. Qn -\-AnQl+ +2 A,n Q, Qn
+ A„n Öi
d Z ^ Z
Die Bedinsune: r-:7- = 0 lässt sich durch: -^-^ = 0
ersetzen. Man hat nämlich:
18B4. IfatiL-plijn. CL S. 16
22G Süiung der math.-phys. Classe vom 6. Mai 1894.
SQr dTr
Oder wegen - -„- = -^ = orp dZ dZ, dZ. . iZ , . , .
aus diesen n-Gleichungen folgt, da die Determinante: Z)=|a^; nicht verschwindet, allgemein:
Diiferencirt man demnach den obigen Ansdruck wirk- lich, 80 ergeben sich die n-61eichungen :
||^^ = ^,v<2, + ^,v (?,+ .. + ^^« (2. =0; (v = l ..»)
die, da die Determinante | ^;<v | = Z)"""^ nie Null werden kann, wiederum die Lagrange^schen Gleichungen: Ci = 0.. ön = 0 nach sich ziehen.
Haben die Kräfte P ein Potential Z7, so dass P« = — - -
wird, und enthalten die Bedingungen die Zeit i explicit nicht, so hat man für die lebendige Kraft T einerseits:
oder
.dT ■ d /dT\ ■■ dT ,
während andererseits, da T auch Funktion von j), p, . . ist.
dr ar-ar,
hieraas folgt durch Subtraction wegen:
dt\dp^/ dpfi -^f*
Waismuth: Ueber die Anwendung des Princip» etc.
227
^ = p,T,+p,T,+
wozu man
dU dU-
d7 = äK''' +
addirt und so schliesslich wegen T^ dt
Pf^ = Qf^ zur Gleichung:
gelangt. Man sieht sofort, dass für Qj = 0 . . Qn = 0 auch J? = 0 d. i. T -|- ^ = Constante sein niuss oder dass sich ans den oben gefundenen Lagrange'schen Gleichungen auch das Princip der Erhaltung der Energie ergiebt. Beides lässt sich gleichzeitig gewinnen, wenn man in dem Aus- drucke für Z mit Hilfe der Bezieliung: U =2'i Oi + • • • • eine der Grössen Q z. B. Q^ eliminirt und die Minimums-
dZ
3 Z
bedingungen: 5-7^- = 0 "* Vi
dQ.
= 0 nachher aufstellt. Zweck-
mässig ist es dabei, fQr den Zwang Z die Determinantenform anzuwenden; es ist z. B fQr n = 3:
— ZD =
0 (?, Q, Q,
Qi «n «1« «1»
Q» «21 «» «SS
<?s «»
«s« «s»
P\
0 B
Qi Kl «M
<?s K
^23
a,
38 '^SS
wobei
*11 = («11 Pl + «21 P2 + ö^si Pf,)Pi + -'
dT
= a7ri'.+ •=22'
^1 = *J2 = ^21 Pl + «22 P2 + «23 P3 '■
6,3 = a
31 1^1 + «32 P2 + «83 Pi = gJ
16*
ist.
228 Süzung der mathrphys. Classe vom 5. Mai 1894.
Die Ausführung der Minimumsbedingangen ergiebt: ^nJ? + «2[Pi^i2-ft^n] + «s[Pi^is-Ps^u]=0
Ai -B + Ö2 [Pl ^22 — k ^«l + Ö3 [Pl ^28 — Ps A%\ = 0 ^,3 R+Qi [Pl ^23 — Ä ^13] + Ös [Pl ^38 - k Azl = 0
oder, da die Determinante dieses System3 p\\Afiv\=p\' If nie verschwindet, U = 0 und Q^ = 0, Q3 = 0 d. i. das Princip von der Energie und die Lagrange^schen Gleichungen. Eiiminirt man in der allgemeinen Gleichung A^r Q^ + -^gv öj + . . . + Arn Qh = 0, r = 1 . . w etwa Q,, mit der Relation: i? = jPj öj + • • • so folgt natürlich ebenso: ü = 0,
e, = o.. e„ = o.
Nachtrag,
betreffend lineare Stromverzweigungen.
Sind px . . Ph wiederum cyklische Coordinaten, T= - o„ pj
+ 9 ^« Pj + • • + flu Pl l^a + • • die lebendige Kraft und ist
F = ^b^, p] + 2 &2a p5 + . . . + ii2 jii Pl + . . die von Lord
ßayleigh eingeführte Zerstreuungsfunktion, so kommt zu
jeder Kraft P^ noch die Kraft: — ^~r- ^ — (ft,/* p, + ^a* P^
dpfi
-}- • . 0 dazu und es ergiebt das Princip des kleinsten Zwanges,
Z^D=2Af,yQf^Qy=ÄnQ\ + A,,Ql+,. +2^„e,ft+.. (1) ein Minimum für jedes Q sein müsse; dabei ist also:
Qfi=^^^^aifiPi + a,fiPi+.^ — Pfi+^^^^
dB
Wassmuth: Üeher die Anwendung d^a Princips etc. 229
Geht man zur Elektrodynamik über und setzt: pi = «A, pi = J2^'» sowie
^[ai/ie7; + av^J,+ ..]— P,* + [6i^Ji + fcv^J,+ ..j(3)
so giebt die Minimumsbedingung (1) eine Eigenschaft einer linearen Stromverzweigung an. Dabei sind an, o«, a,, . . . die Coefficienten der Selbstinduction des ersten, zweiten Umlaufes, a,,, a^, a,t . . . die Coefficienten der gegenseitigen Induction, Pjn die constante elektromotorische Kraft; ferner ist {^„ der Widerstand des ganzen ersten Umlaufes, &2« der des ganzen zweiten Umlaufes u. s. w. und ^i, der Wider- stand jenes Stückes der Leitung, das dem 1. und 2. Umlaufe gemeinsam ist; 6j, ist positiv, wenn «Ti und «7, dieselbe, negativ, wenn sie entgegengesetzte Richtungen haben. Die
dZ ÄosfÜhrung der Minimumsbedingung r-^ = 0 liefert: Qi = 0
^ Vi
d. i. P, = 6„ eTj + 6„ eT, + . . . + fti„ Jn +
JJ [«11 Ji + OnJi+ " .] (4) u. s. w.
Das sind — etwas verallgemeinert — jene Gleichungen, die Herr H. von Helmholtz 1851 (Abhandl. I 435) für die Induction in linearen Stromverzweigungen, die man sich in die möglichst geringe Zahl einfacher Umgänge zerlegt denken muss, aufgestellt hat.
Für die Arbeit der verzögernden Kräfte erhält man vom
Zeichen abgesehen: --.- d/?, + . . = ^-^ Pi -f" • • \dt = 2Fdt
= [tu Jl + Ä„ Ja* + . . + 2 6,2 JiJ, + .,]dt i. i. die Joule- sche Wärme und sind alle Summanden in der Klammer positiv.
Nun werde angenommen, dass a« = ai» = aja = . . = 0; «11 = Om = «8« = • • = « sei, welcher Fall experimentell un- schwer zu verwirklichen wäre. Dann wird:
1
230 Sitzung der tnatK-phya. (Jlasae pom 5, Mai 1894,
QlJi = a ^^ [Jj + *^a + • •] — ^A* + '^1^ Ji + ^'lA* «A + • • «ö<i
es muss: ^Z^« a = QJ -}- QJ + • • ein Minimum sein, wie klein auch a genommen wird. Für lim a = 0 werden die Strom- stärken unabhängig von der Zeit, also constant und es folgt aus der Bedingung: Z* = ^J -|- öJ + . . = Minimum; Qfi
9Z*
Die Gleichung: ^-^r = 0 kann, weil die Determinante
9Z* aus den h nicht verschwindet, durch: r-y- =0 ersetzt werden.
Es ist demnach für constan te Ströme : Z* =2 [(6,;i «A + • •) — -P/*]*
für jedes J zu einem Minimum zu machen.
Anmerkung. Eine oft genannte Minimumseigenschaft für constante Strome ergiebt sich aus der wohlbekannten Gleichung:
worin: [7 = Pj ;;, -j- . . das Potential der constanten Kräfte vorstellt und wie oben: T = an ^J + • • = ö <^n «'i* + • -
F=\h,M^-^=\KJ\^^ ist.
Erlangen die Stromstärken : e7|, «Ti . . die anfangs Null
waren, für ^ = oo ihre vollen Stärken J',, J', . . so ist (wegen
dT dTdJ,. X 1 ^2^ . . , . _ . , , = ^— r -TT + • •) auch -^ T = ^ und das m I rechts dt d Ji d t ^ dt
stehende JP, das aus lauter positiven Gliedern besteht, erlangt
seinen grössten Werth. Demnach wird die negative linke
Seite in I d. i- ■? + f^^= ^ Ju ^1 + •• - (P. /. f P. /, + . -) ein Minimum für jedes J darstellen.
231
Ueber die Erzlagerstätte von Goldkronach bei Berneck im Fichtelgebirge.
Von F. V. Sandberger.
{Binffttaufm 5. Mai.)
Die seit Jahrhunderten bekannte Lagerstätte ist grössten- theils schon längere Zeit ausser Betrieb und es war mir daher nicht mehr möglich, als ich sie im Jahre 1884 be- such te, mehr als eine Anzahl Erzstufen auf den Halden zu finden, unter welchen derber Antimonglanz und Bruchstücke des völlig mit Kiesen imprägnirten Nebengesteins vorherrschten. Gegenwärtig wird nur die Grube Schickung Gottes wieder betrieben, auf wie lange, ist nicht vorauszusehen. Seitdem hat C. W. V. Gumbel Goldkronach in der Geognostischen Beschreibung des Fichtelgebirges S. 385 ff. eine gründliche von einer Gangkarte begleitete Darstellung gewidmet, die auf den Gängen auftretenden Mineralien aber nicht specieller geschildert. Da diese indessen in vieler Beziehung bemerkens- werth und in Folge früherer Einsendungen des K. Bergamts Bayreuth in der unter meiner Leitung stehenden Sammlung der Universität Würzburg fast vollständig vertreten sind, war ich in der Lage, sie genauer untersuchen zu können. In der Sammlung des Herrn Apotheker Dr. Schmidt zu Wun- siedel befinden sich auch Mineralien von Goldkronach, nament- lich schöne Erystalle von Antimonglanz und ein Stück mit
232 Sitzung der math.-phya, Glosse «om 5. Mai 189 A,
dem sehr seltenen Kupferkies. Ich statte Herrn Dr, SchoiiiU für die Mittheilung seiner Suite den besten Dank ab.
Das Grubenfeld ^) umfasst eine bedeutende Fläche vom Weissraain-Tbale längs dem Thale des Zoppatenbaches über das Dorf Brandholz hinaus, an welchem die bedeutendste Grube, die Ftirstenzeche , gelegen ist, während andere auf beiden Seiten des Baches in der Nähe der Dörfer Zoppaten und Escherlich liegen. Dasselbe ist mit zahlreichen, z. Th. noch in diesem Jahrhundert von dem preussischen und später bayerischen Staate, dann von Gewerken betriebenen Bauten bedeckt. Es hätte keinen Zweck, die Entwicklung und den Untergang dieser Gruben im Einzelnen zu verfolgen, nur soviel muss hervorgehoben werden, dass die Gänge am Aus- gehenden am reichsten an Gold und Silber gewesen sein müssen. Diese Thatsache erklärt sich hier, wie überall, durch lange fortgesetzte Verwitterung, welche die edlen Metalle als solche abschied, während die übrigen gelöst und weggeführt wurden, wie auch v. Gümbel*) mit Recht an- nimmt. Um auf sicherem Boden zu bleiben, beschränke ich mich auf die von ihm hauptsächlich nach Hahn's Berichten gegebene Darstellung der Hauptgänge, muss aber zunächst Bemerkungen über die Gesteine vorausschicken, in welchen dieselben aufsetzen.
Das herrschende Nebengestein ist ein Sericitschiefer von canibrischem Alter, welcher manchen des Taunus sehr ähnlieh sieht, so dass man wohl Handstücke verwechseln konnte, auch einige sächsische und böhmische Phjllite sind nahe verwandt.
Die grünlichen Schiefer enthalten neben vorwiegendem Sericit auch noch Quarzkörner und Chloritschüppchen; im Schlämmrückstande befindet sich mikroskopisches Magneteisen
1) Siehe das Kärtchen bei v. Gümbel a. a. 0. S. 386 a.
2) a. a. 0. S. 801.
V. Sandberger: lieber die EreJagerstätte von CroldkrofMch, 233
und Eisenkies. Die blassgelb gefärbten Schiefer enthalten weder Chlorit noch Magneteisen und nur sehr wenig mikro- skopischen Eisenkies, aber stets Quarzkörnchen, sie sind fast als reiner Sericit anzusehen. Dem entspricht auch das
|
Resnltat der |
Analysen von Ad. |
Schwager. *) |
Es enthielten |
|
nämlich |
|||
|
1. Ansgesncbter 2. |
Beiner Sericit |
8. Nicht ganz |
|
|
Sericit von Gold- |
von Nanrod |
reiner Sericit |
|
|
kronach nach |
nach List |
von Nanrod |
|
|
Schwaiger |
nach Schwager |
||
|
Kieselsäure |
45,88 |
49,00 |
49,53 |
|
Titansäure |
— |
1,59 |
— |
|
Thonerde |
33,96 |
23,65 |
28,97 |
|
Eisenoxyd |
4,57 |
8,07 |
7,26 |
|
Kalk |
0,22 |
0,63 |
0,14 |
|
Bittererde |
0,83 |
0,93 |
2,46 |
|
Kali |
9,32 |
9,11 |
7,43 |
|
Natron |
0,52 |
1,75 |
0,12 |
|
Wasser und |
|||
|
QlühTerlust |
4,89 |
3,44 |
4,97 |
100,26
98,17»)
100,88»)
Um etwa in geringer Menge vorhandene Metalle im Goldkronacher Gestein zu entdecken, wurden wiederholt 10 — 12 g des Gesteinspulvers mit kohlensaurem Natronkali aufgeschlossen. Nach Abscheidung der Kieselsäure ergab Schwefelwasserstoffgas in der salzsauren Lösung einen Nieder- schlag, welcher vorwiegend Antimon, weniger Arsen und recht wenig Blei und Kupfer enthielt; Kobalt wurde nach Abscheidung des Eisens ebenfalls in sehr geringer Menge
1) V. GQmbel, Sitzangsber. d. k. b. Akad. d. Wissensch., math.- naturw. Cl. 1880, S. 228 ff.
2) Ausserdem Fluorsilicium 1,69, Phosphorsäure 0,31.
3) In 12 g desselben ausserdem Arsen, sehr wenig Blei und Zink. (Sandberger.)
234 Sitzung der math.-phys. Claase vom 5. Mai 1894,
nachgewiesen. Diese Elemente habe ich meistens schon 1882 als in dem Gestein von Goldkronach enthalten angeführt.^) Um sich zu überzeugen, ob nicht eins oder das andere der- selben aus dem in minimaler Menge eingesprengten Eisen- kiese herrühre, wurde dieser für sich untersucht und frei davon gefunden. Antimon u. s. w. gehören also der Sericit- substanz an, wie an so vielen anderen Orten den Glimmern, z. B. jenen der Gneisse des Spessarts, dem des Granits von Magurka in Ungarn u. s. w. Dass Antimon (und Arseo) in den Silicaten als antimonige (bezw. arsenige) Säure alä Vertreter von Thonerde auftreten, ist unzweifelhaft, der Spinell von Tiriolo in Calabrien hat ja längst den Beweis geliefert.
Organische Substanz ist beim Glühen deutlich wahr- nehmbar und findet sich in Spuren auch noch in stark zer- setzten Schiefern. Wo sie in grösserer Menge und schwarz färbend auftritt, sind die Schiefer der Erzführung ungünstig gewesen.*)
Schliesslich wurden auch die in Wasser loslichen Be- standtheile untersucht. Zieht man den Goldkronacher Schiefer 2 Tage mit destillirtera Wasser in der Wärme aus, so giebt die Lösung sehr deutliche Reactionen auf Schwefelsäure und schwächere auf Chlor, welche an Kali gebunden sind; Natron tritt nur in geringster Menge daneben auf.
Die in der Nähe der Gänge vorkommenden stark ge- bleichten Schiefer sind wie so viele andere ausgelaugte Sericitgesteine ganz zu Schüppchen aufgelöst. Ebenso ver- halten sich die zahlreichen Bruchstücke derselben, welche in der Gangmasse eingeschlossen sind.
Ein zweites Nebengestein kommt nur an dem Gange der Grube Silberne Rose bei Zoppaten vor und soll dessen
1) Untersuchangen über Erzgänge I 8.31, II S. 286.
2) V. Gümbel, Geogn. Beschreib, d. Fichtelgebirga S. 385.
9. Sandberger: üeber die Erzlagerstätte von Goldkronach. 235
Haugeades bilden, während als Liegendes Sericitschiefer an- gegeben wird. Es ist ein feinkörniger Diabasmandelstein (Biatterstein) von graugrüner Farbe, welche in der Nähe des Ganges lichter wird, und führt ausser zahlreichen von Chlorit umschlossenen Kalkspathraandeln auch Gruppen von Eisenkieskrystallen. Weisser Ealkspath bedeckt in dünnen Ueberzügen auch seine zahlreichen Kiüftchen. Ein grösseres verhältnissmässig frisches Stück dieses bereits v. GümbeP) angeführten Gesteins lässt in der matten Grundmasse stellen- weise noch Plagioklaskrystalle erkennen, der Augit scheint aber schon ganz in Chloritsubstanz umgewandelt zu sein. Magnetkies und Magneteisen sind in mikroskopischen Körn- chen in dem Schlämmreste deutlich nachweisbar, auch Apatit fehlt nicht.
Kalte Salzsäure löst Kalkspath und Magnetkies auf, er- hitzte zersetzt auch den Chlorit und die meist schon stark angegriffenen Reste des Feldspaths.
Die Lagerung des Gesteins ist nicht genau bekannt, doch darf mit grosser Wahrscheinlichkeit angenommen werden, dass dasselbe einen kleinen Stock oder Gang in dem Sericit- gesteine bildet.
Die bei Zoppaten anstehenden schwarzen silurischen Gesteine mit Graptolithen treten, soviel bekannt, zwar sehr nahe an den Gang heran, kommen aber mit ihm nicht in unmittelbare Berührung.
Wie V. Gümbel folge auch ich in Bezug auf die Auf- fassung der Gänge den Mittheilungen des langjährigen Leiters des Grubenbetriebs, Bergrath Hahn in Bayreuth. Die Lage derselben ist auf dem von ersterem beigegebenen Kevier- kärtchen gut zu übersehen.
Hahn nimmt bei Brandholz drei Hauptgänge an, näm- lich den Kiesgang mit h. 2,4 Streichen und 00^ südöstlichem
1) a. a. 0. S. S93.
236 Siteung der math.-phya. Glosse vom 5, Mai 1894.
Einfallen, den Spiessglanzgang h. 12,7 streichend und den Quarzgang, welcher zu Anfang der sechziger Jahre aufge- schlossen, aber wegen der Armuth seiner Erze nicht weiter bebaut wurde. Auch die letzteren Gänge fallen südöstlich. Die Gänge der Grube Silberne Rose bei Zoppaten, deren Streichen 4 h 5 mit 50° Fallen zu sein scheint, und Schickung Gottes bei Escherlich, h. 1,8 streichend, sind offenbar selbst- ständig, obwohl ihre Ausfüllung dieselbe ist, wie jene des Spiessglanzganges. Was die Mächtigkeit betrifft, so wird für den Kiesgang Vl%m als Maximum angegeben, für den Spiessglanzgang 1 m, gewöhnlich scheint sie aber geringer zn sein, ich habe an Handstücken meist nur 10 cm beobachten können. Es giebt zwar noch manche Erzgänge, an welchen das sogenannte höfliche d. h. an eingesprengten Erzen reiche Nebengestein^) entwickelt ist, aber mit Ausnahme von solchen der Gegend von Freiberg,*) Schapbach und Wittichen, sowie mancher Zinnerzgänge habe ich es doch anderswo nicht leicht so schön gesehen. Neben dem Kiesgange und bis zu beträchtlicher Entfernung von ihm führt der stark gebleichte und hier und da von weissen Quarztrümem durchsetzte Schiefer zahllose bis erbsengrosse Eisenkieskrystalle. Die
LI 00 0 2 OD 0 2
l^ormen — - — , ooOco. — - — und seltener auch ooOoo. 0
sind meist sehr hübsch entwickelt. Der Arsenikkies in den Formen oo P. ^/4 P oo ist weniger häufig, fehlt aber doch selten ganz. Der durchschnittliche Goldgehalt der Kiese wird nur auf ^4 bis ^/s Loth im Centner angegeben und der Betrieb konnte daher nicht lohnend sein.
Die Gangausfüllung, welche sehr gewöhnlich Brocken von zersetztem Nebengestein uraschliesst, zeigt nur selten
1) Untersuchungen über Erzgänge I S. 149.
2) Vortrefflich beschrieben aber nicht erklärt von Vogelgesaag (Cotta's Qangstudien IJ S. 80) und Frenzel (Min. Lexikon für Sachsen
S. 28).
V. Sandberger: Ueber die Erzlagerstätte von Cröldkronach. 237
eine symmetrische Struktur, doch beobachtete ich an Stücken von der FQrstenzeche (Spiessglanzgang) vom hangenden zum liegenden Salband:
1. Weissen Quarz. 2. Eisenreichen Braunspath, meist schon zu ockerigera Eisenoxydhydrat verwittert, mit Nestern von strahligem Antimonglanz. 3. Quarz wie 1. 4. Braun- spath wie 2, aber in etwas breiterer Lage. 5. Quarz. Die Salbander bestehen also nur aus Quarz, der sich an beiden Seiten zuerst abgelagert hat.
Meist ist die Gangmasse sehr einfach zusammengesetzt and herrscht entweder Quarz mit eingesprengten Kiesen oder Äntimonglanz in verschiedenen Varietäten vor. Die folgenden Beispiele werden die Paragenesis hinreichend er- lautem.
I. Reihenfolge auf dem Spiessglanzgange bei Brandholz.
a) 1. Sericitschiefer mit zahlreich eingewachsenen Eisen- kies- und wenigen Arsenikkieskrystallen. 2. Weisser erzleerer Quarz. 3. Antimonglanz auf Klüftchen von 1.
b) 1. Sericitschiefer mit Eisenkieskrystallen. 2. Weisser Quarz. 3. Wasserheller Quarz oo R+R in Drusen. 4. Meneg- hinit in grösseren Krystallen. 5. Eisenspath in kleinen linsen- förmigen Rhomboedern.
c) 1. Fettquarz von weisser, ins Bläuliche spielender Farbe mit eingewachsenem Eisenkies und Arsenikkies, sowie einem Kömchen von gediegen Gold. 2. Meneghinit in netz- förmigen Aggregaten auf Klüften.
d) Weisser derber Quarz mit eingewachsenem Arsenik- kies nnd wenig derbem Kupferkies.
e) 1. Sericitschiefer. 2. Weisser Quarz mit derbem Plagionit. 3. In Drusen krystallisirter Plagionit und weisses Steinmark.
238 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5. Mai 1894.
f) 1. Derber Plagionit. 2. Eisenspath in Rhomboedern.
3. Menegbinit in netzförmigen Aggregaten.
g) 1. Weisser derber Quarz, 2. In Höhlungen Krystalle desselben. 3. Magnetkies OP. oo P in kleinen Krystallgruppen.
4. Bleihaltiges Federerz, haarformig.
h) 1 . Weisser Quarz mit eingesprengtem Antimonglanz.
2. Eisenspath in linsenförmigen Rhomboedern. 3. Strahliger Antimonglanz in Krystalle der Form oo P. ^a P. oo P 2 aus- laufend. 4. Antimonocker auf Klüften.
i) 1 . Blass fleischrother Braunspath in grosskörnigen Massen und Rhomboedern. 2, Strahliger Antimonglanz wie oben.
k) 1. Quarz. 2. Derber Antimonglanz, an der Oberfläche erdig und voll von Höhlungen, z. Th. mit gediegenem Antimon.
3. Antimonglanz in den oben angegebenen Formen krystalli- sirt. 4. Kalkspath in kleinen verzerrten Krystalleu R'.ooR.
1) 1. Weisser Quarz. 2. Strahliger Antimonglanz ge- mengt mit wenig gelbbrauner Zinkblende.
m) 1. Antimonglanz in der gewöhnlichen Form kry- stallisirt. 2. Antimonblüthe in Büscheln farbloser Nadeln. (Schmidt'sche Sammlung).
II. Silberne Rose bei Zoppaten. 1. Diabasmandelstein s. oben. 2. Lichter Braunspath, dünne Lage. 3. Grossstrahliger Antimonglanz. Quarz fehlt auffallender Weise hier völlig.
Es wird nun nöthig sein, die einzelnen Mineralien der Gänge etwas genauer zu betrachten.
1. Gediegen Gold habe ich nur einmal eingewachsen in bläulichem Quarze mit Kiesen gesehen, aber es kam ausserdem auch in grösseren Körnern und Blättchen vor und ist in früherer Zeit jedenfalls auch an dem verwitterten Ausgehenden und im Alluvialschutt reichlich getroffen worden.*)
1) v. Gömbel, Geognost. Beschreibung des Fichtelgebirges S.801.
V. Sandberger: lieber die Erzlagerstätte von Goldkronach. 239
Das Gold ist silberhaltig und darum licht gefärbt, das Ver- hältniss von Silber zu Gold ist in den wenigst reichen Proben 4:1, aber in anderen wohl höher.
2. Eisenkies ist in grosser Menge in bis erbsengrossen
Krystallen — - — , — - — . c»Ooo, selten auch mit 0 com-
binirt in dem höflichen Nebengestein, aber stellenweise auch im weissen Quarze der Gänge eingewachsen und stets schwach silber- und goldhaltig. Der Gehalt an Gold ist sowohl durch die hüttenmännische Probe als auch auf nassem Wege durch Behandlung des scharf gerösteten Erzes mit alkoholischer Jod- lösung nach der Methode von Skey (Dingler's Journal CXC. S. 58) nachgewiesen worden. Ausser den erwähnten Elementen enthält das Mineral zuweilen noch sehr wenig Kobalt und Arsen, aber keine Spur von Antimon.
3. Arsenikkies. Verhält sich wie der Eisenkies, isb aber nicht ganz so häufig. Schöne Erystalle zeigen die Form 00 P. '/i P oo, sind aber stets ziemlich klein. Da mich der Arsenikkies wegen seines Antimongehaltes lebhaffc inte- ressirte, so wurde er näher untersucht. Das specifische Ge- wicht ergab sich zu 6,09 bei 4^ C. Die quantitative Ana- lyse hatte Herr Hofrath Hilger freundlichst übernommen, der Gehalt an Silber wurde in der K. K. Probiranstalt zu Pribram auf trockenem Wege bestimmt, wobei sich auch ein sehr kleiner Goldgehalt ergab. Das schon einmal ge- legentlich*) mitgetheilte Resultat der Analyse war folgendes:
|
Schwefel . |
. 20,84 |
|
Arsen |
. 41,36 |
|
Antimon . |
. 3,73 entspr. 2,29 As |
|
Eisen |
. 34,07 |
|
Kobalt |
Spur |
|
Silber |
. 0,002 |
|
100,002. |
^43,65
Äs
1) Jabrb. f. Mineralogie 1890 I S. 99.
240 Sitzung der math.'phya. Glosse vom 6, Mai 1894.
Ein Arsenikkies von dieser Zusammensetzung war bis- her nicht bekannt, denn Breithaupt's Geyerit, welcher auch 1,37 Antimon enthält, gehört nach Behnke^ Analyse nicht hierher, sondern zu den vielen Mittelgliedern zwischen Ar- senikkies und Arseneisen.
4. Antimonglanz. Ist nächst den Kiesen das häufigste und in Masse vorkommende Mineral der Gänge, welches früher hauptsächlich wegen seines Silber- und Goldgehaltes geschätzt wurde, der aber nicht hoch ist, da in einer reinen Probe zu Ffibrara nur 0,0016 Silber nebst Spuren von Gold gefunden wurde. Gegenwärtig würden die hohen Antimon- preise ein erfreulicheres Resultat für die geforderten Erze liefern können, ob aber die noch von früherem Abbau her gebliebenen Reste eine Wiederaufnahme der Gruben räthlicb erscheinen lassen, vermag ich nicht zu beurtheilen.
Der Antimonglanz kommt in vielerlei Abänderungen vor. Sehr häufig sind grossstrahlige Massen, deren Strahlen bis zu 92 mm Länge bei 8 mm Breite erreichen. Wechselnde Lagen von grossblätterigen mit feinkörnigen Aggregaten, welche sich der , Bleischweif" genannten Varietät des Blei- glanzes durchaus analog verhalten, sind schon seltener and solche von rein feinkörniger Struktur ebenfalls, aber auch an eingesprengten Körnern mit sehr schwach entwickelter Spaltbarkeit fehlt es nicht. Recht selten sind wohlansge- bildete, aber nur 4 mm lange und 2 mm breite Krystalle der Form oo P. ^/a P.oo P 2 mit stark gestreiften Säulenflächen. Ich habe dieselben in zahlreichen Gruppen nur auf derbem an der Oberfläche mulmigem und mit zahlreichen Höhlungen verselienem, z. Th. mit gediegenem Antimon ausgefüllten Antimonglanz beobachtet. Es scheint demnach, als ob die Obei-fläche von alkalischen Gewässern angenagt, aber das gelöste Schwefelantimon an Ort und Stelle wieder abge- setzt worden sei. Die eben genannte hübsche Combination kommt an vielen Orten vor, besonders schön auch bei Kapnik
€7. Sandberger: 11 eher die Erzlagerstätte von Chldkronach, 241
in Ungarn und Rattenberg in Tyrol, wo der verhältniss- mässig junge Antimonglanz eines der Auslaugungsprodukte von Fahlerzen bildet.
Von Oxydationsprodukten kommen spärlich Antimonocker und Antimonblüthe vor, s. diese.
5. Nach Originalstücken, welche Herr Bergrath Hahn zur Sammlung des k. Oberbergamtes eingesendet hat, kommt in dru- sigen Höhlungen ausgeschieden auch gediegen Antimon vor.
6. Plagionit. Ist zu Goldkronach nicht häufig und findet sich in meist vereinzelten Krystallen oder derb. Die Flächen 0 P und — P treten nicht selten in oscillatorischer Combination mit Pyramiden auf und sind daher parallel den Combinationskanten stark gefurcht, wie zu Wolfsberg ^), gut zu erkenneti ist + Pi oo P oo und — 4P. Leider sind die Krystalle aufgewachsen und mit einander verwachsen, so dass genaue Bestimmungen der Flächen z. Z. unausführbar er- scheinen. Mit dem Wolfsberger Vorkommen, von welchem die Würzburger Sammlung ein gutes Stück enthält, könnte unseres geradezu verwechselt werden. Ausserdem ist der Plagionit eingesprengt und derb beobachtet worden. Die derbe Varietät ist wiederholt irrig für Fahlerz und Bournonit gehalten worden, welche zu Goldkronach nicht vorkommen. Der derbe Plagionit enthält wie der krystallisirte kein Kupfer. Er findet sich auch zu Wolfeberg und bei Arnsberg in West- phalen,*) hier mit kleinen Drusen, in welchen Kryställchen
0 P. — P nicht selten sind.
7. Meneghinit. Langgestreckte, bis 5 mm lange und
1 */a mm breite, stets schilfähnlich gestreifte Säulen von blei- grauer Farbe, welche sich den „Sagenit* genannten Rutil- aggregaten ähnlich häufig unter 40° kreuzen, bedecken derben Plagionit oder finden sich mit Eisenspath verwachsen
1) Lfidecke, Jahrb. f. Min. 1883 II S. 116.
2) Sandberger, Jahrb. f. Min. 1883 II S. 9i.
1894. Maib.-phy8. GL 2. 16
242 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.
in Drusen des Gangquarzes. Ueber ihr Erystallsystem lasst sich daram keine Gewissheit erlangen, weil die Enden nicht gut ausgebildet sind, sondern wie ausgefranst erscheinen und auch die Lage der etwaigen Spaltungsflächen nicht mit Be- stimmtheit constatirt werden kann. Die Härte des spröden Minerals ergab sich zu 3, das spec. Gewicht zu 6,4. Vor dem Löthrohre schmilzt das Mineral leicht unter Bedeckung der Kohle mit Beschlägen von Antimon- und Bleioxyd, tod heisser Salzsäure wird es unter Entwickelung von Schwefel- wasserstoff leicht gelöst. Als Bestandtheile wurden qualitativ Blei, Antimon und Schwefel nachgewiesen. £ine zuverlässige quantitative Analyse konnte bisher wegen Mangel an Material nicht ausgeführt werden.
Der von Groth^) angeführte Antimonglanz von Goldkro- nach in sagenitähnlichen Aggregaten gehört zweifellos hierher.
8. Federerz. Haarförmige bleigraue Erystallchen, welche Plagionit umhüllen oder auf Meneghinit oder Magnet- kies aufgewachsen sind, reagiren auf Antimon, Blei und Schwefel, sind also achtes Federerz, welches auch äusserlicb mit jenem von Wolfsberg auf das Genaueste übereinstimmt und daher wohl auch als haarförmiger Jamesonit zu betrachten ist. Es findet sich immer nur in sehr geringer Menge und eine quantitative Analyse war daher nicht möglich. Ein eigenthümliches Vorkommen ist jenes von der Scbmntzler- zeche, wo Federerz in Tausenden von haarfeinen Krystallchen grossblätterigen Braunspath erfüllt und schwarz färbt.
9. Bleiglanz ist mir in mittel- und feinkörnigen Aggre- gaten, auch mit Antimonglanz geraengt bekannt geworden. An einem Stückchen fand sich auch ein deutlicher Würfel. Häufig war das Mineral nicht.
10. Zinkblende von braungelber Färbung kommtselten im Gemenge mit strahligem Antimonglanz vor. Bleiglanz,
1) Mineralien-Sammlung der Universit&t Strassburg S. 22.
r. Sandberger: Ueber die Erzlagerstätte wn Ooldkronach. 243
welchen Breithanpt^) anch mit beiden zusammen beobachtet hat, ist mir in dieser Form nicht zu Gesicht gekommen.
11. Magnetkies in Gruppen kleiner rauhflächiger Tafeln (0 P. oo P) in Drusen des Quarzes aufsitzend ist sehr selten, war aber schon Breithaupt ^) bekannt, seine Bedeckung durch Federerz habe ich schon erwähnt. In der Würzburger Sammlung ist nur ein Stückchen davon vorhanden.
12. Kupferkies habe ich nur an einem Stücke, welches der Schmidt ^schen Sammlung angehört, in kleinen derben Massen mit Arsenikkies in weissem Quarze eingesprengt beobachtet.
13. Zundererz. Findet sich in dunkelrothen weichen Ueberzügen besonders auf Plagionit, ist aber recht selten. Es ist zwar jenem von Clausthal sehr ähnlich und enthält auch Blei wie dieses. Breithaupt (a. a. 0.) erwähnt es auch Ton Goldkronach. Alles bisher Angeführte gilt auch für das von Hausmann^) coustatirte Vorkommen des Zundererzes bei WolEsberg. Seine hochrothe Färbung kann aber nicht von eingemengtem Rothgültigerze herrühren, da solches zu Gold- kronach nicht vorkommt. Es besteht vielmehr offenbar wesentlich aus Rothspiessglanzerz im Gemenge mit einem Bleisalze und erdigem Plagionit.
14. Gelber erdiger Antimonocker erscheint hier und da auf Klüften von derbem Antimonglanz.
15. Antimonblüthe in strahligen Büscheln farbloser Krystalle auf Antimonglanz sitzend ist sehr schön in der Schmidt'schen Sammlung vertreten.
16. Steinmark. Weisse opake Massen, an welchen man unter dem Mikroskope zuweilen Krystallflächen wie bei dem sog. krystallisirten Kaolin zu bemerken glaubt, ist in geringer Menge über Quarz, häufig aber über Plagionit und Meneghinit zu beobachten. Das Löthrohr ergiebt reine Thonerdereaktion.
1) Paragenesifl der Mineralien S. 192.
2) Ebenda S. 192.
3) Handbuch d. Mineralogie I S. 195.
16*
244 Sitzung der mathrphys, Claase vom 5, Mai 1894.
17. Schwerspath wird von v. GümbeP) als Seltenheit von der Grabe Schickung Gottes angeführt, ich habe ihn nicht gesehen.
18. Braunspath. Ist auf den Gängen ziemlich ver- breitet, aber in Folge seines hohen Eisenoxydulgehaltes meist schon mehr oder weniger stark zersetzt. Das frischeste Stock mit erbsengrossen rauhflächigen, aber nicht gekrümmten Rhomboedern, deren Winkel über 106^ betragen, gehört der Schmidt^schen Sammlung an. Das Mineral ist im Grossen blass fleischroth gefärbt, die kleineren Spaltungsstückcben sind aber weiss wie auch das Pulver. Das spec. Gewicht beträgt 3,05. Die quantitative Analyse des Herrn Hofrath Hilger in München ergab als Zusammensetzung:
Kohlensaures Eisenoxydul . . 18,470 kohlensaures Manganoxydul . . 3,063 kohlensaurer Kalk . . . 56,066 kohlensaure Bittererde 21,997
~99;596.
19. Eisen spath. Kleine linsenförmige Rhomboeder kommen nicht häufig in Drusen des Gangquarzes mit Meneg- hinit oder Antimonglanz verwachsen vor. Der Spath ist chemisch rein, d. h. er enthält keinen Kalk und Bittererde.
20. Kalkspath. Gehört zu den allerjüngsten Bildungen und sitzt in kleinen verzerrten Krystallen der Form R'.xB über krystallisirtem Antimonglanz. Der Kalkspath gebort zweifellos der Breithaupt'schen Varietät diamesus syngeneticas an und ist recht selten.
Aus dem Vorhergehenden geht mit aller Bestimmtheit hervor, dass die Elemente von sämmtlichen auf den En- gängen vorkommenden Mineralien in dem Sericitschiefer und nur in diesem auftreten, an welchen ja auch die Erzgänge gebunden sind. Die Proterobasdurchbrüche mögen wohl
1) a.a.O. S. 801.
9. Sandberger: Üeher die Erzlagerstätte von Croldkronach. 245
bei der AufreissoDg der Gangspalten mitgewirkt haben, Erze haben sie denselben aber nicht zugebracht, da ihnen die Elemente derselben fehlen. £benso verhält es sich auch nach Liebe's*) vortrefflicher Schilderung in der Gegend von Schleiz a. a. 0. der reussischen Fürstenthümer.
Es fragt sich nun, wie man sich die Ausfüllung der Gänge zu denken hat. Die drei häufigsten Erze sind un- zweifelhaft Eisenkies, welcher vorzugsweise in dem höflichen Nebengestein und ebenso wie dort mit Arsenikkies in den lichten derben Quarzen auftritt, dann Antimonerz, vor Allem Antimonglanz. Die Sericitschiefer enthalten, wie oben nach- gewiesen, stets schwefelsaures Kali und organische Substanz, welche dasselbe zu Schwefelkalium reduciren konnte und zweifellos reducirt hat. Wo dies der B'all war, musste die organische Substanz grösstentheils verschwinden und wo sie noch in grösserer Menge vorhanden ist, hat daher dieser Reductionsprocess, dessen Produkte die Erze aus dem Schiefer aaslaugen und den Gangspalten zuführen konnten, nicht oder nur in geringem Grade stattgefunden. Das Fehlen der Erze an diesen dunklen Gesteinen erklärt sich damit von selbst.
Sobald sich in dem Schiefer, .welcher 4*/aproc. Eisen- oxfd enthält, dieses gleichfalls unter Mitwirkung organischer Substanz zu kohlensaurem Oxydul umgewandelt hatte, wurde es von Schwefelkalium ausgefällt und fixirt. Da auch Schwefelgold in Schwefelkalium löslich ist, so ist dieses gleichfalls ausgelaugt und mit dem Schwefeleisen niederge- schlagen worden, ebenso auch das Silber.^) Die Auslaugung des Eisens im Nebengesteine dauerte nur so lange fort, bis das Gestein breiartig erweicht war und daher den Flüssig-
1) Uebersicbt fiber den Schichtenaufban Ost-Thüringens in Ab- handlangen zur geolog. Karte von Preussen und den Thüring. Staaten, Bd. V 4. S. 515.
2) Diesea kann sehr wohl ursprünglich als Chlorsilber-Chlor- kalinm ausgezogen and durch Schwefel kalium zersetzt worden sein.
246 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 5. Mai 1894.
keiten keine ungehinderte Bewegung nach der Gangspalte mehr gestattete; dann war aber der Qnarz, welcher diese allmählich ausfällte, natürlich sehr arm an Erzen, wie der sogenannte Quarzgang deutlich beweist. Es giebt ja auch sonst im Erzgebirge, Schwarzwald, Alpengebirge und rheini- schen Schiefergebirge Gänge genug, an welchen die gleiche Erscheinung zu beobachten ist.
Aehnlich dem Eisenkiese verhält sich der weniger häufige Arsenikkies, welcher im Gegensatze zu dem Ton Antimon ganz freien Eisenkies ausnahmsweise bereits 3,7 proc. Antimon enthält. Aber sowohl der bleihaltige Meneghinit als der Antimonglanz selbst sind jünger als die eisenhaltigen Kiese und treten erst nach jenen auf. Besonders deutlich sieht man das auf Klüftchen des .höflichen* Nebengesteins und auf solchen derjenigen Gänge, welche in weissem Quarz ein- gesprengte Kiese enthalten. (Paragenetische Beispiele a und b.) Die weit grössere Affinität von Eisen zu Arsen als zu Antimon tritt hier ebensowohl hervor als an anderen Orten, z. B. m Thomasschlag in Böhmen; auch auf den Bräunsdorfer Gängen, welche in Folge von grossem Ueberschusse von Antimon im Nebengesteine sogar Verbindungen desselben mit Eisen (Ber- thierit) enthalten, ist der schwach silberhaltige Arsenikkies (Weisserz) älter als die Antimonerze. ^) Das erklärt sich durch den Umstand, dass Schwefelkalium-Schwefelarsen leichter löslich als die entsprechende Antimon Verbindung ist, aber auch von Eisensalzen leichter zersetzt wird, als diese.
Dem massenhaften Auftreten des Antimonglanzes ging zu Goldkronach das verhältnissmässig seltene von zwei blei- haltigen Antimonerzen, dem Plagionit und Meneghinit, voraus, welche vermuthlich nur lokale Bildungen an solchen Stellen sind, wo Blei in grösserer Menge vorhanden war. Das blei- haltige Federerz ist nur eine ganz lokale Erscheinung, ge- hört aber auch zu den älteren Gliedern der GangausfiilluDg,
1) H. Müller in v. Cotta's Gangstudien I S. 181.
r. Sandberger: Ueber die Erzlagerstätte von Goldkroncuh. 247
da es als Einschluss im Braunspath vorkommt. Bleiglanz tritfc erst später nur ganz untergeordnet im Gemenge mit Äntimonglanz auf.
Antimonige Säure, welche, wie oben nachgewiesen, in Vertretung von Thonerde im Sericitschiefer enthalten ist, löst sich in Schwefelkalium schon bei gewöhnlicher Tempe- ratur*) und zersetzt sich später zu schwefelsaurem Kali und Antimonglanz. Mit dem Auftreten des letzteren findet die ÄusftUung der Gangspalten ihren Abschluss, die ausserdem noch weiter vorkommenden Substanzen sind mit Ausnahme des sogleich zu besprechenden Braunspaths als Zersetzungs- prodakte des Antimonglanzes anzusehen, wie der Antimou- ocker und die A ntimonblQthe ; das Zundererz gehört nicht zu ihnen, sondern ist an das Auftreten des Plagionits ge- bunden und bleihaltig.
Der Braunspath zeigt in seiner Zusammensetzung das- selbe Verhältniss von Eisen zu Bittererde und Kalk, in welchem diese Elemente ursprünglich im Sericit enthalten waren (s. oben). Er verwittert zu Eisenoxydhydrat und hierbei wird natürlich kohlensaurer Kalk in Freiheit gesetzt, man begegnet ihm aber nur so selten auf dem Gange, dass man annehmen muss, er sei grössteutheils von kohlensäure- haltigen Wassern weggeführt worden. Genau dieselbe Ver- wachsung von Antimonglanz und Braunspath wie zu Gold- kronach habe ich früher auf den Gruben Ursula bei Welsch- steinach unweit Offenburg und St. Trudpert im Münsterthale bei Freiburg i. B. beobachtet.
Ausser Braunspath kommt, jedoch in ganz geringer Menge, ächter Eisenspath in kleinen linsenförmigen Rhoni- boedern mit Plagionit und Meneghinit vor. Noch seltener ist der Magnetkies. Beide Mineralien werden nur der Voll- ständigkeit wegen hier erwähnt.
1) Gmelin, Handb. d. Chemie 2. Aufl. III S. 782.
248 Sitzung der mathrphys. Classe vom 5. Mai 1894.
Die Goldkronacher Erzlagerstätten liefern wieder einen schönen Beleg für die AusfülIuDg der Gangspalten durch Auslaugungsprodukte des Nebengesteins und gehören zu jenen, deren Antimonglanz als primitiver Körper auftritt und nicht. wie das sonst so oft vorkommt, als Zersetzungsprodukt älterer Erze, namentlich Fahlerze angesehen werden kann. Ihnen überaus ähnlich verhalten sich zunächst die Gänge der Gegend von Schleiz, jene von Wolfsberg am Harze, sowie zahl- reiche andere, welche in Glimmer- und Sericitschiefer der Alpen, in Böhmen, bei Welschsteiuach im Kinzigthale, St. Trudpert im Münsterthale ^) und Sulzburg im Schwarz- wald vorkommen. Ausserdem finden sich goldhaltige Antimon- glanze auch in Gängen des Dacits, aber auch in älteren Gesteinen Ungarns und Siebenbürgens^) und in den Gneissen der Alpen (Gastein, Rauris u. s. w.) und Böhmens (Michels- berg u. a. 0.), sowie im Granit z. B. bei Magurka, Bocza und Lubella in Ungarn, Schönberg, Mileschau und Bitis in Böhmen, um nur bekanntere europäische Vorkommen zu citiren.
Die Goldkronacher Gänge vertauben in geringer Tiefe gänzlich, so der Hauptgang bei 71 m unter der tie£sten Stollensohle, der Schickung Gottes-Gang sogar schon bei 45 m unter Tag.
Es ist nicht meine Aufgabe, auch die Grubenbauten und deren Erträge zu schildern, da alles Nöthige in v. Güm- bels Darstellung geboten ist. Leider muss man nach auf- merksamer Würdigung derselben auch seinem Endortheile beistimmen, dass dieses Grubenfeld wohl niemals wieder eine Blüthezeit erleben wird.
1) Der Antimonglanz wurde s. Z. von Walchner und später auch von G. Leonhard irrig als Zinkenit angesehen, der im Schwarzwald nur bei Hausach vorkommt.
. 2) Zu Hideg-Szamos ist Sericitschiefer das anmittelbare Neben- gestein, wie zu Goldkronach.
249
üeber die Hirne verschiedener Hunderacen.
Von N. Rüdinger. iSing0lau/m 8. Juli.)
Die folgenden yorläutigen Mittheilungen betreffen die Ergebnisse einer mehrjährigen Untersuchung an den Hirnen Terschiedener Hunderacen, insbesondere die Feststellung des ^absoluten und relativen Gehirngewichts* bei den- selben.
Bei der Bestimmung des Körpergei^achtes der Hunde hat sich ergeben, dass dasselbe bei einer und derselben Race und bei gleichem Alter der Thiere eine grosse Schwankung haben kann, welche wesentlich abhängig ist von der grösseren oder geringeren Fettablagerung und dem Grade der Muskel- ausbildung bei den yerschiedenen Thieren.
Man erhält daher bei den Gewichtsbestimmungen des Körpers und des Hirns an mehreren Hunden zuweilen Zahlen, welche bei der Berechnung des relativen Hirngewichtes keinen korrekten Ausdruck geben. Zwei gleichschwere Hirne zweier Hunde, welche gleichgross und gleichaltrig sind, aber in Folge einer bedeutenden Fettablagerung bei dem einen und hochgradiger Magerkeit bei dem andern Thier ganz ungleiche Körpergewichte zeigen, ergeben bei der Berechung des rela- tiven Gewichtes auffallende Unterschiede. Diese Differenzen mögen ausgleichbar werden, wenn eine grössere Untersuchungs- reihe, als dies zur Zeit der Fall ist, vorliegt, und dann nur
250 Sitzung der mathrphya, Clctsse vom 5, Mai 1894,
Normalthiere mit Fettgehalt und Muskelentwicklung mittleren Grades miteinander verglichen werden.
So habe ich die Gewichtsangaben von zwei Thieren in einer zuerst angelegten Tabelle wieder gestrichen, weil die- selben von allen übrigen Gewichtsbestimmungen verschieden grosser Hunde eine so hochgradige Abweichung zeigten, das« ich einen Irrthum bei der Notirung des Körpergewichtes vermuthete. Allein weitere Beobachtungen Hessen erkennen, dass das allzugeringe Körpergewicht in den beiden Fällen die Folge einer Infectionskrankheit, an denen die Hunde zu Grunde gingen, war. Bei allen weiteren derartigen Unter- suchungen der Thiere ist stets eine hochgradige krankhafte Veränderung des Körpers mit in Betracht zu ziehen, wenu dieselben verwerthbare Resultate ergeben sollen.
Um eine Uebersicht über diese Gewichtsergebnisse za gewinnen, soll hier zunächst die Tabelle zur Mittheilung gelangen, in der von 24 Hunden das Alter, das absolute Körper- und Gehirngewicht und das berechnete rela- tive Gehirngewicht enthalten sind. (Siehe nebenstehende Tabelle.)
Was das Alter der Hunde anlangt, so darf nicht über- sehen werden, dass Angaben über dasselbe vorkommen, die an Genauigkeit zu wünschen übrig lassen; denn die Thiere werden nicht immer von jenen Besitzern gekauft, die sie auf- gezogen . haben, wesshalb ihre Wurfzeit unbekannt ist. Ver- werthet man für die Bestimmung des Alters bei einem Hunde die Bescha£Fenheit des Gebisses, so kann man auch nur er- fahren, ob ein Thier mit einem Milchgebiss, einem im Wechsel begriffenen oder mit einem bleibenden Gebiss versehen Ui. Aus der Beschaffenheit des Gebisses lässt sich daher nur Jugend und höheres Alter eines Thieres, aber nicht das Alter nach Monaten oder Jahren angeben. Die Altersbestimmung der Hunde hat, soweit ich bis jetzt ersehen kann, eine wesentliche Bedeutung desshalb, weil mit Hilfe derselben die
Büdinger: Ueber die Hirne verschiedener Hunderaccn. 251
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[ Erhalten aus wissenschaftlichen { Instituten ohne Angabe des Alters [ und Körpergewichtes. |
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Alter |
4 Jahre 6 Mon. 3 Jahre 8—9 Jahre 2 Jahre 3 Mon. 4 Jahre 7 Mon. 1 Jahr 4 Mon. 2 Jahre 2 Jahre 5 Monate 8 Jahre 1 Jahr 6 Mon. 9 Monate 6 Monate 2 Jahre 4 Monate 4 Monate 1 Jahr 6 Mon. 6 Monate 6 Monate 4 Monate |
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Race und Geschlecht |
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Rac Rao ace |
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Leonberger . Bernbardiner 9 • Bernhardiner § • Ulmer Dogge Bernhardiner $ Leonberger . Jagdhund 9 Hofhund Bernhardiner 9 Jagdhund 9 Affenpinscher Pjnscher 9 • Spitz 9 . Windhund 9 Mops (zweifelhafte Mops (zweifelhafte Pinscher Hund von engl. R Spitz . Spitz . Spitz . Hund Q |
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252 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5, Mai 1894.
maximale Wachsthumsgrenze des Hirns, d. h. die Grenze der Gewichtszunahme festgestellt werden soll. Vergleicht man z. B. die Hirngewichte der beiden Bernhardiner (Nr. 2 und 9) miteinander, so ergiebt sich, dass das fünf Monat alte Thier (Nr. 9) ein Hirngewicht von 116 g besitzt, während der dreijährige Hund (Nr. 2) der gleichen Race, welcher 29000 g schwerer ist als der erstere, nur ein Hirngewicht von 108 g hatte.
Aus den bisherigen Gewichtsbestimmungen der Körper und der Hirne bei den Hunden darf gefolgert werden, dass deren Hirne schon früh ihre äusserlich formelle Ausbildung, ihr maximales Wachsthum erlangen, die Körper aber noch weiter an Grösse und Gewicht zunehmen, ohne wesentliche Antheilnahme der Hirne.
Die Zahlenreihe über das absolute Gehirngewicht ergiebt, dass dasselbe nicht durch das Alter des Thieres, sondern durch das Körpergewicht bis zu einem gewissen Grade beeinflusst wird. Sind auch im Allgemeinen zwischen Hirn und Körpergewicht der Hunde mehrfache Schwankungen vorhanden, so lässt sich aus den Zahlen doch ersehen, dass die schwersten Hunde auch die schwersten Hirne und die leichten Hunde die kleinsten Hirne besitzen. Die Thiere wurden nach der Grösse ihres Körpergewichtes in die Tabelle eingetragen, während die Gehirngewichte in der Reihenfolge der Körpergewichte geordnet, einige Schwankungen zeigen. Verweise ich auf Nr. 9 — 14, so folgen hier Gehimgewichte von 109 g bei 32000 g Körpergewicht, 62 g Gewicht des Hirns bei 29000 g Körpergewicht und hier sind die Zahlen der Ausdruck von ganz ungleichen Verhältnissen zwischen Körper- und Hirngewicht. Bei diesen auffallenden Unter- schieden darf man wohl daran denken, dass das Alter, die Race und insbesondere der körperliche Zustand der Thiere einen nicht geringen Einfluss ausüben. Unverständlich bleibt es immerhin, wenn ein zweijähriger Hund bei einem Gewicht
Büdinger: Ueber die Hirne verschiedener Hunderacen, 253
Yon 32000 g nur 109 g Oehirn, ein gleichaltriges Thier bei einem Körpergewicht von 29000 g nur 62 g und sogar ein fünf Monat alter Bernhardiner, der 28000 g schwer war, 116 g Gehirn hatte.
Der Raceunterschied, an den man auch denken könnte, erscheint nicht ausreichend, diese Verschiedenheit zu erklären, ebensowenig wie der Unterschied verständlich ist bei Nr. 21 und 22, bei denen der 1137 g schwere Hund um 14 g mehr Gehimsubstanz besass, als das 3128 g schwere Thier.
Hier spielen noch Faktoren herein, welche bei den weiteren Studien eine ganz besondere Beachtung verdienen. Einerseits scheint das Alter der Thiere, andererseits aber die Krankheit, welche den Tod desselben verursachte, mit in Betracht zu kommen. Schon seit Jahren suche ich die Hirne von jenen Hunden zu sammeln, welche für physiologische Zwecke in den Instituten angekauft werden; dieselben ver- dienen ebenso den Vorzug vor kranken Thieren, wie wir die Bestimmungen des Körper- und Gehimgewichtes an den Verunglückten, den Selbstmördern und Enthaupteten jenen an chronischen Krankheiten verstorbenen Menschen vorziehen.
Schon aus der Zahlenvergleichung des absoluten Körper- und Gehirngewichtes lässt sich entnehmen, dass die relativen Gewichte auffallend diflferiren werden. Wie schon erwähnt sprechen mehrere Thatsachen dafür, dass das Wachsthum des Hirns bei den Hunden schon vor Ende ihres ersten Lebens- jahres seine Grenze erreicht, während der Körper noch be- deutend an Grösse und Gewicht zunimmt. Das relative Gehimgewicht zeigt demnach beim jungen und alten Thier einen in die Augen fallenden Unterschied:
Die Zahlenreihe über das relative Hirngewicht zeigt sich um so günstiger, je jünger das Thier ist. Bei dem drei Jahre alten Bernhardiner (Nr. 2) welcher ein Körpergewicht Ton 57000 g besitzt, ergiebt sich ein relatives Gehirngewicht wie 1^527,77; dagegen wurde bei dem fünf Monat alten
254 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5. Mai 1694,
Bernhardiner (Nr. 9), der 28000 g wog, ein relatives Him- gewicht wie 1:241,37 berechnet, und bei dem vier Monat alten Thier (Nr. 15), das nur 4878 g wog, ein relatives Hirngewicht wie 1:67,75 festgestellt. Bei allen leichten Hunden ergiebt sich ein relativ sehr günstiges Hirngewicht, weil das Körperwachsthum , nachdem das Hirn seine maxi- male Grösse erlangt hat, gar nicht mehr oder nur in geringem Grade fortschreitet.
In ganz ähnlicher Weise zeigt sich das relative Hirn- gewicht, wenn dasselbe auf 1000 g Körpergewicht berechnet wird. Bei den schweren Thieren kommen auf 1000 g Körper zwischen 2 — 6 g Hirn und bei den kleinen leichten Händen auf 1000 g Körper 8—22 g und mehr Hirn.
Bei den weiteren Studien werden noch in Betracht ge- zogen, das Volum des ganzen Schädels zu Volum der Schädel- höhle und das Verhältniss des Himschädels zum Gesichts- skelett.
Die äusserlich am Hundeschädel gewonnenen Messungs- ergebnisse können, wenn es sich um relative Beziehungen zwischen den äusseren Dimensionen des Schädels und des Hirns handelt, keine direkte Verwerthung finden, wie etwa bei dem Menschenschädel, weil bei den Hunden die nngleiche Dicke der Schädelknochen, die Muskelleisten und die pneu- matischen Räume am Himschädel die Messung hochgradig beeinflussen. Aber noch mehr wird der Kopf des Hundes beeinflusst durch den ungemein verschiedenen Grad der Aus- bildung des Gesichtsskelettes. Die Fresswerkzeuge sind bei der einen Kace sehr stark, bei der andern nur schwach aus- gebildet, so dass der Gesichts- und der sog. Sattel winkel höchst variabel erscheinen, ohne dass der Grad der Hirn- entwicklung einen nennenswerthen Einfiuss auf dieselben ausübt.
Alle die berührten Fragen bedürfen für ihre Beant- wortung noch eingehendere Studien und nach Gewinnung
Büäinger: üeher die Hirne verschiedener Hunderacen, 255
des Hirn- und Schädelmateriales von den Hunden verschie- dener Racen soll mit Berücksichtigung der spärlich vor- handenen Literatur das vorliegende Thema eine eingehendere Besprechung erfahren.
Vorläufig sollen einige Sätze über die Ergebnisse der bisherigen Untersuchungen hier zur Mittheilung gelangen.
1. Wenn auch in den Zahlen über das Körper- und Hinigewicht noch viele Schwankungen, welche durch eine grossere Untersuchungsreihe sich ausgleichen mögen, vor- banden sind, so ist doch schon festgestellt, dass das Hirn bei den Hunden schon im ersten Lebensjahre seine Wachs- thumsgrenze erreicht.
2. Der schwerste Hund hat auch das schwerste Hirn. Die Himgewichte nehmen bei den Hunden mit dem Körper- gewicht derselben zu, jedoch in einem ungleichen Verhältniss.
3. Das relative Hirngewicht ist bei kleinen leichten Thieren ein viel günstigeres als bei den grossen.
4. Der kleine leichte Hund besitzt auf 1000 g Körper- gewicht bedeutend mehr Hirn als der grosse.
/
/ ■ .
. J
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Glasse.
Sitzung Yom 2. Juni 1894.
1. Herr H. Sebliger legt eine Abhandlung: .über den Tierfachen Stern X» Cancri* vor.
2. Herr L. Boltzmann überreicht eine Arbeit des Herrn Dr. Ignaz Schütz, Hilfsarbeiter beim Unterrichte für theo- retische Physik im math.-physikal. Institut: ,über eine Ver- allgemeinerung der V. Helmholtz'schen Wirbel- Integrale, welcher eine unendliche Mannigfaltigkeit von mechanischen Bildern der MaxwelPschen Theorie entspricht*.
Ueber den vierfachen Stern X> Cancri.
Von H. Seeliger. {ßiiig9\a^9H 8. Juni.)
Die Resultate numerischer Rechnungen von der Art, wie ich sie in meinen beiden Arbeiten über C Cancri*) ver- öffentlicht habe, tragen immer mehr oder weniger den Character von Interpolationsformeln. Ihre Constanten lassen sich nicht mit so grosser Genauigkeit bestimmen, dass auf
1) Untersuchtingen über die Bewegungs Verhältnisse in dem drei- fachen Sterns jstem i Cancri. Denkschriften der Wiener Akademie 1881. Fortgesetzte Üntersnchungen über das mehrfache Sternsystem s Cancri. Abhandlungen der k. bayer. Akademie 1888. Im Folgenden soll die erste Abhandlang mit I, die zweite mit II bezeichnet werden. 18M. MtUk-phyt. GL 8. 17
258 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 2, Juni 1S94.
Jahre hinaus ein völlig befriedigender Anschlass an die Beobachtungen verbürgt werden kann. Ich habe diese Sach- lage, namentlich in II, ausdrücklich hervorgehoben. Es ist deshalb einerseits nicht zu verwundern, wenn die aus der Theorie folgenden Oerter mit der Zeit von den Beobachtungen um geringe Beträge abweichen, andererseits hat es kein Interesse in kürzeren Zeitintervallen immer von neuem die Beobachtungen an die Theorie genau anzuschliessen, wenn nur die characteristischen Ergebnisse der letzteren sich in den ersteren wiederfinden.
Bei der Ausarbeitung von I standen mir Beobachtungen bis zum Jahre 1880 zur Verfügung, während in II Messungen bis zum Jahre 1888, allerdings zum Theil in nicht hin- länglicher Zahl, benutzt werden konnten. Die Berechtigung der zweiten Untersuchung lag deshalb nicht sowohl in dem vermehrten Beobachtungsmaterial, als vielmehr in dem Um- stände, dass ich dort die Theorie nach verschiedenen Richtungen eingehender und vollständiger entwickeln konnte und in dieser Beziehung einen gewissen Abschluss erreichen zu können glaubte. Eine Aufforderung meine Rechnungen über C Cancri gegenwärtig wieder aufzunehmen, kann ich deshalb in dem Hinzukommen neuer Beobachtungen nicht erblicken. Da- gegen sind in den letzten Jahren von Herrn Burnham, einem verdienten Doppelsternbeobachter, Angriffe gegen meine Theorie der Bewegung des entfernteren Sternes C erfolgt, welche in den Augen derjenigen, die meine Arbeiten nicht genauer kennen, die Sachlage zu verdunkeln geeignet sind. Die von Herrn Burnham mit grosser Zuversicht vorge- brachten Argumente sind freilich nur geeignet zu beweisen, dass ihr Urheber weder genügende Sachkenntniss besitzt, noch sich die Mühe gegeben hat meine Arbeiten genauer anzusehen. Ich könnte deshalb die verdiente Würdigung der Burnham'schen Behauptungen ruhig der Zukunft und Anderen überlassen. Auf der andern Seite kann ich nicht
Seeliger: üeber den vierfctchen Stern C Cancri, 259
zugeben, dass durch ganz unbegründete Behauptungen die Resultate meiner Arbeiten über ^ Cancri in Frage gestellt werden und deshalb habe ich im Folgenden einige Rechnungen ausgeführt, die auch für den Fernerstehenden die Sachlage in, wie ich hoflFe, völlige Klarheit zu stellen geeignet sein durften.
Ich werde mich im Folgenden einzig und allein mit der Bewegung des entfernteren Begleiters C um den Schwer- punkt der beiden inneren Sterne A und JB beschäftigen. Ausführliche Untersuchungen in I und 11 haben zu dem Resultate geführt, dass die Beobachtungen keine merkliche Verschiedenheit zwischen dem Schwerpunkte von A und B
A + B
und der Mitte beider Sterne, ^ , ergeben. Weiter
zeigten sich in den Beobachtungen von C und zwar in ganz übereinstimmender Weise sowohl im Positionswinkel als auch in Distanz Undulationen, welche die Positionswinkel um un- gefähr ^ 2® und die Distanzen um ^ 0^2 um einen mittleren Werth herumschwanken liessen. Die constante Periode dieser Schwankung betrug nahezu 18 Jahre und es war möglich, dieselbe in mehr als 3 vollständigen Wieder- holungen zu bestätigen. Die ganze Erscheinung ist nach jeder Richtung vollständig durch die Annahme zu erklären, der Stern C besitze einen vorerst als dunkel zu betrachten- den nahen B^Ieiter. Die in II verarbeiteten Jahresmittel von 1880 ab konnten indessen nicht hinlänglich begründet werden, was nunmehr durch die inzwischen erfolgte Publi- cation mehrerer werthvollen Beobachtungsreihen möglich ist. Vom Jahre 1888 ab wäre aber auch gegenwärtig die Aufstellung von einigermaassen zuverlässigen Jahresmitteln nicht möglich, hätten nicht die Herren Schiaparelli, H. Struve und Lovett die grosse Freundlichkeit gehabt, mir aus ihren Tagebüchern die gewünschten Auszüge mitzutheilen. Nament- lich die sehr zahlreichen und ausgezeichneten Messungen
260
Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, Juni 1891,
Herrn Schiaparelli's bilden eine wesentliche Stütze der folgen- den Bemerkungen. Auf diese Weise war es möglich 15 neue und sichere Jahresmittel von 1880—1894 aufeostellen. Nach den obigen Bemerkungen kann es sich nicht darum handeln, diese neuen Messungsresultate in die früheren Rech- nungen einzufügen. Dagegen glaube ich ähnlichen unbe- gründeten AngriiSFen, wie die von Seite des Herrn Bumhani, am besten zu begegnen, wenn ich die neueren Messungen, die doch fast gar keinen personalen Zusammenhang haben mit den in den vierziger oder fünfziger Jahren ausgeführten, für sich allein behandle. Nachdem sich herausgestellt haben wird, dass sich meine früheren Formeln den neuen Be- obachtungen noch soweit anschliessen, als man überhaupt erwarten konnte, werde ich zeigen, dass auch die neuen Messungen, für sich allein betrachtet, wiederum der Annahme eines dunklen Begleiters von G völlig und zwar auch quanti- tativ den früheren Formeln entsprechend, genügen und das ohne eine solche Annahme Fehler übrig bleiben, die durch Anhäufung von persönlichen Fehlern zu erklären wohl Nie- mand in ernsthafter Weise versuchen wird.
Ich gehe nun zur Mittheilung der gesammelten Jahres- mittel der Beobachtungen von C, bezogen auf die Mitte von A und 5, über. Zur Abkürzung werden die Beobachter Hall(sen.), Jedrzejewicz, Schiaparelli und Hermann Starove mit den Buchstaben H, J, Sp, H. 2, bezeichnet
|
1800 + |
Be- obachter |
P |
Q |
Mittel |
|
|
80.16 |
Franz |
2 |
130°60 |
5^545 |
|
|
80.21 80.22 |
H. J. |
4 4 |
132.45 132.50 |
5.465 5.193 |
1880.21 (11.10) 132?25 5*372 |
|
80.31 |
Seabroke |
1 |
133.72 |
Stdiger: Ueber den vierfachen Stern f Cancri.
261
|
1800 |
Be- obachter |
4 |
V |
Q |
Mittel |
|
1 81.24 |
J. |
131?29 |
5;467 |
||
|
81.25 |
Doberck |
131.75 |
5.400 |
||
|
81.261 81.28' |
Seabr. 0.2. |
131.37 180.80 |
5.210 |
1881.28 (17.16) 131^42 5:431 |
|
|
81.30 Sp. |
131.57 |
5.445 |
|||
|
81,30' H. 1 |
131.54 |
5.508 |
|||
|
82.20; H. |
132.03 |
5.587 |
|||
|
82.251 Seabr. 82;26' Sp. |
129.83 131.06 |
5.468 |
1882.24 (14.13) 131?13 5:517 |
||
|
82.27! J. 1 |
130.94 |
5.497 |
|||
|
83.13 |
Engelm. |
129.43 |
5.653 |
||
|
63.29 |
Sp. |
130.16 |
5.598 |
||
|
63.31 |
H. |
130.21 |
5.567 |
1883.26 (15.14) 129!'73 5:599 |
|
|
83.32 |
Seabr. |
128.33 |
|||
|
83.35 |
Kfiatner |
129.20 |
5.557 |
||
|
84.21 |
Perrotin |
128.95 |
5.561 |
||
|
84.25 |
Sp. |
129.21 |
5.589 |
||
|
84.26 84.28 |
H. |
129.22 126.59 |
5.418 5.625 |
1884 28 (17.14) 1281*63 5:546 |
|
|
84.38| Seabr. |
131.00 |
— |
|||
|
84.39 Smith |
128.90 |
— |
|||
|
85 28j Seabr. |
126.20 |
5.760 |
\ |
||
|
85 29; Engelm. |
128.18 |
5.654 |
) 1885.29 ( 9 ) 128 09 5:643 |
||
|
85.29 |
Sp. |
128.48- |
5.603 |
j |
|
|
86.04 |
Tarrent |
125.71 |
5.480 |
||
|
86.24 |
Seabr. |
126.40 |
(5.06) |
||
|
86.25 |
Smith |
127.30 |
(4.61) |
||
|
86.28 |
1 fl. |
126.26 |
5.600 |
1886.26 (20.14) 126!'99 5:591 |
|
|
86.28 |
1 J. |
126.98 |
— |
||
|
86.30 Engelm. |
128.58 |
5.569 ! |
|||
|
86.3C |
) E.S. \ |
126.84 |
5.660 |
262
SiUung der math.-phys. Ctasse vom 3. Juni 1894.
|
1800 + |
Be- obachter |
P |
Q |
Mittel |
|
|
87.24 |
Sp. |
125?18 |
5:598 |
||
|
87.24 |
H. |
126.96 |
5.595 |
||
|
87.30 |
H.Z |
126.17 |
5.600 |
1887.27 (14.12) 125*96 5'ol»> |
|
|
87.35 |
Seabr. |
126.40 |
(4.51) |
||
|
87.36 |
Smitb |
124.80 |
(4.64) |
||
|
88.25 |
H. |
124.13 |
5.520 |
||
|
88.27 |
Sp. |
124.31 |
5.684 |
||
|
88.28 88.33 |
Smith |
125.20 123.84 |
(4.65) 5.667 |
1888.29 (17.15) 124/27 5!625 |
|
|
88.33 |
H.2. |
124.01 |
5.610 |
||
|
88.36 |
Maw |
124.70 |
5.790 |
||
|
89.12 |
Seabr. |
125.30 |
(4.85) |
||
|
89.18 |
Highton |
124.60 |
5 310 |
||
|
89.19 89.22 |
Leaven- worth Sp. |
123.80 123.01 |
5.530 5.536 |
1889.22 (18.17) 123*79 5.'534 |
|
|
89.23 |
H.^ |
123 51 |
5.590 |
||
|
89.23 |
H. |
123.91 |
5.680 |
||
|
89.29 |
Maw |
124.50 |
5 240 |
||
|
90.23 |
Sp. |
123.43 |
5.514 |
||
|
90.24 90.28 |
Comstock H. |
124.80 123.51 |
5.470 5.432 |
1890.28 (13 ) 123*51 5'507 |
|
|
90.33 |
H. Z |
123.26 |
5.580 |
||
|
91.21 |
Sp. |
122.43 |
5.527 |
||
|
91.22 |
H. |
122.87 |
5.479 |
||
|
91.26 91.27 |
Maw H. 2". |
122.50 122.31 |
6.300 5.570 |
1891.26 (13 ) 122?76 5^90 |
|
|
91.65 |
Byers & Collins |
125.10 |
5.610 |
||
|
92.26 |
Sp. |
122.40 |
5.443 |
1892.26 ( 4 ) I22N0 6:443 |
|
|
93.16 |
Jones |
(115.70) |
5.320 |
\ |
|
|
93.21 |
Lewis |
12370 |
5.185 |
\ 1893.24 ( 6.7 ) 122 54 5.2Sp |
|
|
93.25 |
Sp. |
121.96 |
5.331 |
1 |
|
|
94.16 |
H. 2, |
122.39 |
5.430 |
\ |
|
|
94.16 |
Lovett |
123.10 |
5.540 |
i 1894.19 (10 ) 122*46 5.405 |
|
|
94.24 |
Sp. |
122.22 |
5.318 |
1 |
Seeliger: Ueber den vierfachen Stern C CancH, 263
Zu dieser Zusammenstellung ist Folgendes zu bemerken :
1. Die Gewichtsbestimmung geschah wieder nach dem in II. aufgestellten Schema. Das genügt jedenfalls für die vorlie- genden Zwecke, wenngleich hierdurch die neuen mit so ausge- zeichneten Hülfsmitteln ausgerüsteten Beobachter sicherlich zu kleine Gewichte bekommen haben. Bei einer definitiven Bearbeitung wird man u. A. den aus sehr zahlreichen und augenscheinlich sehr genauen Abendmitteln zusammengesetzten Jahresmitteln Schiaparelli^s ein grösseres Gewicht zu geben haben. Die Jahresmittel Schiaparelli^s sind der Reihe nach aus 13, 12, 14, 8, 10, 10, 14, 14 Abenden gebildet.
2. Die ßeduction der auf A oder B bezogenen Messungen
von C auf — ^ — ist mit Hülfe von Annahmen über die
gegenseitige Stellung von Ä und B erfolgt, die nicht ganz sicher sind und nicht ohne grössere Rechnungen sicher her- gestellt werden konnten. Diese Ungenauigkeit, die übrigens kaum merklich sein wird, kann nur bei den Beobachtungen von H. 2. die letzte Stelle der obigen Zahlen beeinflusst haben.
3. Was die constanten persönlichen Fehler betrifft, so wurden durch Vergleichung mit der II. S. 71 gegebenen Ephemeride folgende Correctionen angebracht :
Sp. — 0?85 + oro7i H. +0.51 —0.025 H. i —0.41 + 0.097
Die letzte Beobachtung von H. 2, scheint indessen sich dieser Correction zu widersetzen. Dieselbe ist durch eine drei- jährige Pause von den früheren getrennt und besteht aus je 0 Vergleichungen von C mit Ä und mit B, welche voll- standig übereinstimmende Mittelwerthe geben. Danach scheint es besser zu sein, diese letzte Messung von H. Z uncorrigirt zu lassen. Im Uebrigen tritt auf den ersten Blick ziemlich deutlich die Thatsache hervor, dass hierdurch das letzte Jahresmittel in Distanz unsicher ist, und man wird das auch in der Folge bestätigt finden.
264 Sitzung der mathrphys, Classe wm 2, Juni 1894,
4. Die Messungen von 0. 2. aus dem Jahre 1881 und die mit dem 30 zölligen Refractor angestellten sind direct ohne Gorrection dem Anhange von II. entnommen worden. Die Gründe für dieses Verfahren lasse ich unerörtert, weil ein merklicher Einfluss hierdurch im Folgenden nicht hervor- gerufen werden kann. Alle anderen Beobachtungen sind, wie früher, uncorrigirt geblieben.
Was die in IL und im Anschluss hieran in der vor- liegenden Notiz angewandten constanten persönlichen Fehler betrifft, so geben sie nichts anderes an, als die Mittel der Abweichungen gegen die Ephemeride, welche wiederum aus provisorisch corrigirten Beobachtungen abgeleitet ist. Die Beobachtungen erscheinen hierdurch auf ein mehr oder we- niger willkürliches System der Positiouswinkel und Distanzen bezogen. Mit einiger Wahrscheinlichkeit wird man aber die gefundenen Correctionen als wirkliche constante persönliche Fehler betrachten dürfen, wenn das Mittel aller angebrachten Correctionen nicht merklich von Null abweicht, im anderen Falle ist das angenommene System noch nicht das normale. Die in II. und gegenwärtig benutzten Correctionen sind nun, wenn dort, wo für denselben Beobachter verschiedene Cor- rectionen gefunden worden sind, einfache Mittelwerthe an- gesetzt werden (mit Ausnahme von Sp., bei welchem wegen der grossen Verschiedenheit der Instrumente dies kaum za- lässig sein dürfte) :
|
W.^*. |
+ 1.82 |
— 0.070 |
|
0. 2, |
— 0.47 |
— 0.125 |
|
D. |
+ 0.84 |
— 0.083 |
|
S. |
+ 0.02 |
— 0.008 |
|
A. |
-0.26 |
— 0 031 |
|
Mädler |
+ 0.30 |
— |
|
Da. |
— 1.56 |
— 0.050 |
|
Sp.i |
+ 1.04 |
+ 0.004 |
|
Engel mann |
+ 1.88 |
+ 0.217 |
|
J. |
+ 0.71 |
- 0.103 |
Seeliger: (Jeher den vierfachen Stern C Cancri, 265
|
Kaiser |
+ l'79 |
~ 0!'280 |
|
Sp.ii |
-0.85 |
+ 0.074 |
|
H. |
+ 0.51 |
- 0.025 |
|
H.2'. |
-0.41 |
+ 0.097 |
|
Mittel |
+ 0l*35 |
— 0r024 |
Nimmt man nur die am sichersten bestimmten Correctio- nen, nämlich: W. Z, J,^ Sp.i, Sp.n, H., H. Z, so ergiebtsich als Mittel werth + 0^31 , + 0r008. Danach dürfte das System etwas zu grosse Positionswinkel angeben, während die Di- stanzen jedenfalls nahezu der Wahrheit entsprechen. Da aber eine constante Correction im Positionswinkel auf die Theorie keinen Einfluss übt, wird man das gewählte System ab nahezu normal ansehen dürfen. Ausserdem ist diese posi- tive Correction durch die etwas ungewöhnlich grosse Correction von W. 2, zum grössten Theile entstanden. Jedenfalls liegt vorderhand kein Grund vor, zu bezweifeln, dass sich meine Untersuchungen in II. auf Beobachtungen stützen, die auf ein wesentlich richtiges System bezogen worden sind, wenn- gleich nicht ausgeschlossen ist, dass sich in der Folgezeit, wo hoffentlich recht viele der jetzt zur Verfügung stehenden grossen Fernrohre zur Ausmessung von ^ Cancri benutzt werden, eine Modification nach der einen oder anderen Seite ergeben könnte. Die oben angeführten Jahresmittel wurden zunächst, zur Erleichterung aller Yergleichungen, auf dasselbe Zehntel des betreffenden Jahres reducirt. Es muss aber wiederholt dar- auf aufmerksam gemacht werden, dass die letzten Stellen, also die Hundertstel der Positionswinkelgrade und die Tau- sendstel der Distanzsecunden , um einige wenige Einheiten unsicher wird; das liegt in der Art ihrer Berechnung. Ebenso haben alle weiteren Rechnungen eine solche minimale, gänz- lich belanglose Unsicherheit. Den 15 neu abgeleiteten Jahres- mitteln habe ich nun noch die 4 zunächst vorangehenden aus IL hinzugefügt. Eine Aenderung oder Vervollständigung mit ihnen vorzunehmen, war ich nicht in der Lage.
266 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 2, Juni 1894.
Zuerst sollen die beobachteten Positionswinkel und Di- stanzen Pb und Qb mit den aus der Theorie (II 8. 68 — 71) folgenden Werthen pß und Qh verglichen werden. Die Diffe- renzen im Sinne Beobachtung — Rechnung finden sich unter der Rubrik B — R in der Zusammenstellung auf folgender Seite. Ein nur flüchtiger Blick auf diese Zahlen ergiebt nun, dass im Grossen und Ganzen der Anschluss an die Theorie zufrieden- stellend ist. Zum mindesten sind die eigenthümlichen Undu- lationen, welche die Beobachtungen in p und q ergeben, fast vollständig verschwunden. Uebrig geblieben sind Differenzen von allerdings wohl noch systematischem Betrage, die aber für den objectiven Beurtheiler absolut nichts Auffallende:» mehr haben, da sowohl systematische Fehler in den Beobach- tungen vorauszusetzen sind und ferner es sich ja um eine Extrapolation auf etwa 10 Jahre hinaus handelt. In An- betracht dessen darf die Uebereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung als befriedigend bezeichnet werden. Die Summen der absoluten Differenzen betragen im Positions- winkel 8.56, in Distanz 0.769.
Die ündulationen , welche die beobachteten p und q zeigen und die, wie ich in II. gezeigt habe, mit einer fast mathematischen Regelmiissigkeit an eine Periode von un- gefähr 18 Jahren geknüpft sind, treten deutlicher hervor, wenn man die Beobachtungen etwa durch eine Kreisbewegung darzustellen sucht. Hierbei ist wohl zu beachten, dass es sich am eine fortschreitende Veränderung der Positionswinkel um nur 9 Grad handelt. Nimmt man diese fortschreitende Ver- änderung Yonp nach II an und setzt:
Po = 145M6 — 0?513 {t — 1850.2), q^ = 5:459 entsprechend dem einfachen ohne Rücksicht auf die Gewichte gebildeten Mittelwerth aller Qb^ so geben die Differenzen Po — Pb, Qo — Qb nahezu das, was man als die übrig bleiben- den Fehler der Beobachtungen anzusehen hätte, wenn man die Annahme, dass der Stern C nicht wiederum doppelt sei, fallen
Seeliger: Ueher den vierfachen Stern C CancH,
267
Hesse. Differenzen von einem solchen Betrage sind nunmehr in der vierten Wiederholung aufgetreten. Es widerstrebt mir, angesichts dieser Zahlen die Behauptung des Herrn Burnham, dass solche Abweichungen als eine merkwürdige, nunmehr zum 4. Male in gleicher Weise auftretende Anhäufung von persön- lichen Fehlern aufzufassen seien, zu kritisiren. Dergleichen Behauptungen mit einem parlamentarischen Ausdrucke zu charakterisiren ist kaum möglich.
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OC0iO<ÖOOOI»O»^O«000»OC0l^Qa0^'^ '^Oi-«t*OOCOr-ii'-OOoO(NOiOO^OCOC»h-
**o* ddöööööööööööo'öööd
I I 1++ I I I I I I I I I +++++
QS QnkOlOO)ift(NO)CO*-4iOCOCO<^OkOtoOeOOO 5 OlMC^CIC0"«*««^»O«>«0«<^?0«0»OTt«'^fC0(N
»^f-ir*«o»o;ooo'^o:>o><NPico"H*i-«o»oo«N o d«-«'-^»-J«-*^'-<ddaöi*^d'»i<cr5c4c»ii-«'i-H.-J
*^ CQ0O0O0OaO0OCO0O(NdC4C>IOI&IC<lC^C«O4(N
«4 Ol
|^C0»O00ei»O'id<t*C0eil«-H00l>»Or-l"H<t*O'«J« r-lOOi»Ot-e«»-iC5't|t'<H050(NCOt-HOi'«4<C50 00C9C«C400^iO»OiOO»O»OC0iOiO'^TKC«^
«»3
»1
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lO 1-1 "^ «o e« -^ 1-4
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di>ooc5d«-«oicö'^io«Dt^odoidi-«<Noo'^
t>-t>.t«i<«aoaoooaOQOaoQOooccaoa>o>^0)c:
268 Sitzung der matK-phys, Clasae vom 2. Juni 1894.
Um indessen die entscheidende Thatsache deatlich vor- zuführen, dass die angeführten letzten 19 Jahresmittel, bei denen so viele und ausgezeichnete Beobachter (es sei hierbei hingewiesen auf die überaus gute üebereinstimmung, nament- lich in den Positionswinkeln) mitgewirkt haben, die in den Jahresmitteln vor 1876 nicht vorkommen, mit derselben Periode übereinstimmen, die in II aus der Gesammtheit der früher verfügbaren Messungen abgeleitet worden ist, habe ich die Differenzen Pq — ps nach der Methode des kl. Qu. durch eine, einer Kreisbewegung mit der genannten Periode ent- sprechenden Formel darzustellen unternommen. Es ergab sich so:
(II) Po —Pb = — 0?06 + l?9188in 19?947 t
+ 0n37cosl9?947^
worin die Zeit i in Jahren von 1850.2 anzusetzen ist. Wollte man noch einen besseren Anschluss dadurch erreichen, dass man die Veränderung von p^ etwas ändert, so wäre zu setzen
(III) Po-Pb=- 0?06 - 0?681 {^)
+ 2P268 sin 19?947 t + 0?286 cos WUl t
In der folgenden Tabelle sind die nach den Formeln ge- rechneten Werthe der Positionswinkel unter II bezw. III angegeben, ferner sind nunmehr die übrig bleibenden Fehler unter J bezw. J^ angeführt. Die gewonnene Darstellung ist, wie ja gar nicht anders zu erwarten war, eine zufrieden- stellende. Der systematische Charakter der Differenzen kann zum Theil gewiss durch eine mehr ausgearbeitete Theorie, ähnlich etwa der von mir früher dargestellten und einer mit Rücksicht auf die Gewichte durchgeführten Rechnung fortge- schafft werden, zum grösseren Theil sprechen sich hier eben wirklich jene rein persönlichen Beobachtungsfehler aus. Ich habe auf diesen Punkt in meinen früheren Arbeiten stets nach- drücklich hingewiesen. Für die Summen der absoluten
Seeliger: Ueber den vierfachen Stern f Cancri. 269
Werthe der J und J^^ ergiebt sich 6?05 bezw. 5?58. Man
wird demnach kaum nöthig haben, der Formel III etwa einen Vorzug vor II zu geben.
|
1876.2 |
+ l"61 |
+ 0?51 |
+ 1?10 |
+ 1?10 |
+ 0°61 |
5!'493 |
+ o!'031 |
|
77.2 |
+ 0.46 |
— 0.15 |
+ 0.60 |
+ 0.25 |
+ 0.20 |
439 |
— 0.023 |
|
78.2 |
— 0.33 |
— 0.49 |
+ 0.16 |
-0.21 |
— 0.12 |
465 |
+ 0.003 |
|
79.2 |
— 2.04 |
— 1.26 |
— 0.78 |
— 1.29 |
— 0.75 |
391 |
— 0.071 |
|
80.2 |
— 2.19 |
— 1.77 |
— 0.42 |
— 1.81 |
— 0.38 |
456 |
— 0.006 |
|
81.2 |
— 1.91 |
-1.97 |
+ 0.06 |
— 2.08 |
+ 0.17 |
449 |
— 0.013 |
|
82.2 |
— 2.13 |
— 1.94 |
— 0.19 |
— 2.15 |
+ 0.02 |
475 |
+ 0.013 |
|
83.2 |
— 1.27 |
— 1.69 |
+ 0.42 |
— 1.80 |
+ 0.53 |
499 |
+ 0.037 |
|
84.2 |
— 0.72 |
-1.24 |
+ 0.52 |
— 1.30 |
+ 0.68 |
899 |
-0.063 |
|
85.2 |
— 0.70 |
-0.65 |
— 0.05 |
— 0.46 |
-0.25 |
468 |
+ 0.006 |
|
86.2 |
— 0.07 |
0 |
— 0.07 |
+ 0.07 |
-0.14 |
410 |
— 0.052 |
|
87.2 |
+ 0.44 |
+ 0.66 |
— 0.22 |
+ 0.77 |
-0.33 |
429 |
— 0.033 |
|
88.2 |
+ 1.58 |
+ 1.22 |
+ 0.86 |
+ 1.85 |
+ 0.23 |
490 |
+ 0.028 |
|
89.2 |
+ 1.64 |
+ 1.63 |
+ 0.01 |
+ 1.73 |
— 0.09 |
449 |
— 0.013 |
|
90.2 |
+ 1.35 |
+ 1.84 |
— 0.49 |
+ 1.87 |
-0.52 |
486 |
+ 0.023 |
|
91.2 |
+ 1.62 |
+ 1.82 |
— 0.20 |
+ 1.73 |
— 0.11 |
634 |
+ 0.072 |
|
92.2 |
+ 1.47 |
+ 1.60 |
— 0.13 |
+ 1.32 |
+ 0.16 |
647 |
+ 0.085 |
|
93.2 |
+ 0.85 |
+ 1.12 |
-0.27 |
+ 0.70 |
+ 0.16 |
434 |
- 0.028 |
|
94.2 |
+ 0.43 |
+ 0.43 |
0 |
+ 0.08 |
+ 0.35 |
(682) (+0.120) |
Eine nicht unwichtige Oontrolle, wenn es derselben überhaupt noch bedarf, liefert nunmehr die Behandlung der Distanzen. Die Formel II zieht natürlich dann, wenn an- genommen wird, dass C eine Kreisbahn um einen dunklen Begleiter beschreibt, ganz bestimmte Veränderungen der Distanzen nach sich. Nennt man a den Radius der Kreis- bahn, welchen der Schwerpunkt von C und seinem Begleiter
nm — - — beschreibt, so kann man aus jedem Qb einen
Werth von a rechnen. Die angeführten a nebst den Differenzen ^i = 5^462 — a, wobei 5.''462 den einfachen ohne Rücksicht auf die Gewichte genommenen Mittel werth darstellt, liefern nun wieder eine und zwar eine ganz unabhängige Be-
270 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, Juni 1894.
stätigung der Theorie. Wenn man die geringen Abweichungen (J^g = 0:720 bezw. OreOO) überblickt, so wird man nicht zweifelhaft sein können, dass alle grösseren regelmässigen Undulationen in den Distanzen vollkommen verschwunden sind. Ich habe in dieser ControUe in meinen beiden früheren Ab- handlungen stets eine sehr gewichtige Stütze erblickt für die fast apodiktische Sicherheit der Annahme, dass C einen dunklen Begleiter haben müsse. Ich kann auch jetzt nur wiederholen, was ich über jene Annahme in II (S. 14) gesagt habe: ,Ich für meinen Theil stehe nicht an, derselben eine Sicherheit zu- zusprechen, die so gross ist, wie sie wenigen Erklärungsver- suchen in der Stellarastronomie zukommt, die nicht durch den blossen Augenschein sofort bewiesen werden können.*
Zum Schlüsse muss ich nochmals, obwohl nur ungern, auf Herrn Burnham zurückkommen. Nachdem ich die An- griffe des genannten Herrn ausführlich zurückgewiesen ^) und gezeigt hatte, welche sonderbaren Vorstellungen er sich über systematische Beobachtungsfehler gebildet hat, hat es Herr Burnham für gut befunden in No. 120 der Zeitschrift „Astronomy and Astrophysics* nicht nur seine Behauptungen zu wiederholen, sondern dies in einem Tone zu thun, den ich als ganz ungehörig auf das Entschiedenste zurückweisen muss. Auf seine Argumente nochmals einzugehen, dazu liegt auch nicht die mindeste Veranlassung vor, da diese durch meine früheren Aufsätze vollständig widerlegt sind. Ich kann mir aber nicht versagen, Nr. III der zuletzt genannten Burnham 'sehen Notiz hier abzudrucken, weil die Eigenart ihres Verfassers hierdurch sich von selbst kennzeichnet. „It is evident that Professor Seeliger has had little practical experience in double stars work, or he would not have criticised my remark that the dose pair of e Hydrae could
1) üeber Herrn Burnham*8 »Invisible Double Stars* und ins- besondere über 8 Hydrae. Astron. Nachrichten, Band 132.
Sediger: üeher den vierfachen Stern f Cancri. 271
not possibly afiEect the measures of C. The truth of this Statement must be so obvious to every practical astronomer who is accustomed to use the micrometer that it can hardlj be considered a debateable question.* Ich kann nur mein lebhaftes Bedauern darQber aussprechen, dass ein praktischer Astronom eine so auffallende Unkenntniss der Umstände be- sitzt, welche systematische Abweichungen nothwendiger Weise erzeugen mQssen, und noch mehr muss ich es bedauern, dass er diese Unkenntniss in so überaus anspruchsvoller Form zur Schau trägt. Schon hieraus folgt, dass ein wissenschaft- licher Gewinn aus einer Auseinandersetzung mit Herrn Burn- ham ober die vorliegenden Fragen nicht hervorgehen kann. Ich werde deshalb auch etwaige weitere Bemerkungen dieses Herrn über Z Cancri und meine Arbeiten, als für die Sache gleichgültig, in Zukunft unberücksichtigt und erneute Angriffe unbeantwortet lassen.
273
Ueber eine Verallgemeinerung der v. Helmholtz'schen Wirbel-Integrale, welcher eine unendliche Mannig- faltigkeit von mechanischen Bildern der Maxwell- schen Elektrodynamik entspricht
Von Dr. J. R. Schütz. (BingdaMftn 2, Juni.)
1. Wir setzen eine unendlich ausgedehnte reibungslose Flussigkeitsmasse voraus, der wir vorläufig die Beschränkung der Incompressibilität noch nicht auferlegen wollen; wir be- trachten vorerst nur solche Gebiete derselben, in welchen die 3 rechtwinkligen Qeschwindigkeitscomponenten Wj, Vj, tv^ ein- deutige und mit allen ihren Derivirten endliche und stetige Funktionen der 3 rechtwinkligen Rauracoordinaten x, y, a sind. Im Unendlichen soll die Flüssigkeit ruhen.
üeberall dort, wo die Grössen Wj, Vj, w^ eine Potential- funktion (Pj (das Geschwindigkeitspotential) besitzen, werden die Gleichungen bestehen
:0 1)
Dort wo die Potentialfunktion O^ zu existiren aufhört, werden gewisse Bewegungen auftreten, die v. Helmholtz in seiner Abhandlung „Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen etc". Crelle's Journal, Bd. 55, S. 25—55, 1858 unter dem Namen der „Wirbelbewegungen" eingeführt hat.
I8M. ]hth.-ph7a. Ol. 3. 18
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dx dx |
dy |
274 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 2. Juni 1894,
2. Wirbelpotential nenne ich eine Funktion <D,, deren Ableitungen nach den Coordinaten die nach diesen geschätzten Wirbelgeschwindigkeiten geben. Die Wirbelgeschwindig- keiten t«2i ^8« ^2 ^^^^ definirt durch die Gleichungen
"»~2\ay der "«"2 13* dxT
"'» 2 Va» ay/ '
Dort wo ein Wirbelpoteniial existirt, wird sein
dy de 3e Bx 3x 9y
An allen Stellen aber, wo diese Potentialfunktion zu existiren aufhört, setzen wir
„ _ i Z'^i?» _ !^^ « _ 1 PJt» ^^<\
"»~2Vay der ^^~2\de 3«/'
i/a», aM,\ ..
«'» = 2^-37; '^
Die Grössen u^, t'3, u;, haben eine einfache und an- schauliche physikalische Bedeutung, von der später noch die Rede sein wird; wir wollen sie die „Strömungsgeschwindig- keiten zweiter Ordnung* nennen. Die Grössen tij, f?j, ff, sind dann für uns die Strömungsgeschwindigkeiten erster Ordnung.
Es wird Stellen geben können, woselbst die Grossen "31 ^81 ^i ^^^^ *'s Ableitungen einer Funktion CPj darstellen lassen. Wir nennen diese Funktion das „Strömungspotential zweiter Ordnung" (O^ ist dann für uns das Strömungspotential erster Ordnung).
An allen diesen Stellen wird sein
L^3 _ ?3 == ^^3 _?«^ ^ ^ _ ?3 = 0 ^^
d y de dz d X d X d y
ScMte: Ueber die v. Heimholt^ sehen Wirbel-Integrale. 275 Dort wo CP3 zu existiren aufhört, setzen wir wieder
''^~2\dy der *'*~2Va0 dxr
2 \dx dy) ^^
w.
Die Grössen w^, v^^ w^ nennen wir die Wirbelgeschwindig- keiten zweiter Ordnung und eine etwa existirende Potential- funktion CP^ derselben das , Wirbelpotential zweiter Ordnung". In diesem Sinne sind dann ti,, v^, w^y bezw. (D, die Wirbel- geschwindigkeiten bezw. das Wirbelpotential erster Ordnung. Man sieht schon, wie sich der Faden weiter spinnt. Allgemein zu reden, nennen wir die Grössen M2h-i, V2n-u u^n^i, Cp2N— 1 die Strömungsgeschwindigkeiten und das Stromungspotential nter Ordnung und die Grössen t«2ni v^n^ w^n, ^2« die Wirbelgeschwindigkeiten und das Wirbelpotential nter Ordnung.
3. Die formale Uebereinstimmung der Dififerenzialglei- chungen 4) und 6) lässt erwarten, dass auch die Integral- eigenschaften der Wirbel und Strömungen höherer Ordnung wesentlich übereinstimmen. Eis wird sich daher zur Abkürzung empfehlen, dass wir uns für beide zuweilen eines gemein- samen Namens bedienen, und wir wählen hieftir, nicht ohne die Absicht, an den verwandten Quaternionen-Begriff des curl (vgl. Boltzmann, Vorl. 11 pag. 3) anzuklingen, den Ausdruck .Quirl*.
Demnach nennen wir die Grössen ti%, t;», w^ die nach den 3 rechtwinkligen Goordinatenaxen geschätzten Quirl- geschwindigkeiten iter Ordnung und (Z>* das Quirlpotential fcter Ordnung, und erinnern uns, wenn erforderhch, daran, dass diese Grössen Strömungsgeschwindigkeiten bezw. ein Strömungspotential bedeuten, wenn k ungerade, dagegen Wirbelgeschwindigkeiten bezw. ein Wirbelpotential, wenn k gerade ist.
18*
276 ^eung der matK-phys. Claase vom 2. Juni 1894.
Man hat fQr die Quirlgeschwindigkeiten kter Ordnung die Ausdrücke
1 {duk-i ^m^i\ * 2\ dx dy ) )
7)
Für den Fall der Existenz eines Quirlpotentials (P* ist
aa>* acpfc ao)*
dx dy' ' de ^
dWk dVk dUk dWk dVk duk ^ ^x
dy de de dx dx dy ^
Es lassen sich über die Wechselbeziehungen der Quirl verschiedener Ordnung zu einander eine grosse Reihe von Sätzen ableiten, von denen wir hier nur solche anfuhren wollen, die für unsere späteren Entwicklungen von einiger Bedeutung sind.
4. Bxistirt in einem Bereiche U ein Quirlpotential ftter Ordnung als variable Funktion der Coordinaten, so sind die Quirlpotentiale von höherer Ordnungszahl in demselben Be- reiche constante Grössen, Quirlpotentiale von niederer Ordnungs- zahl aber können in demselben Bereiche nicht existiren. Denn es ist in diesem Bereiche nach Gl. 9)
w/fe+i = Vi^i = Wk+i = 0, also Ok^i = const. und dasselbe gilt natürlich auch von den analogen Grossen noch höherer Ordnungszahl. Der zweite Theil des obigen Satzes ist eine nothwendige Consequenz des ersten Theiles.
Man kann daher aus der gesammten betrachteten Flüssig- keitsmasse solche Bereiche JBj hervorheben, die lediglich ein Quirlpotential erster Ordnung 0^ (d. i. ein Geschwindigkeits- potential) besitzen, dann solche Bereiche 22^, die lediglich ein Quirlpotential zweiter Ordnung (D^ (d. i. ein Wirbel-
Schute: Ueber die v. Heltnholtz' sehen Wirbel-Integrale. 277
Potential 1. Ordnung), dann solche jß,, die lediglich ein Quirlpotential 3. Ordnung (d. i. ein Geschwindigkeitspotential 2. Ordnung) bis zu solchen Bereichen Rk^ die lediglich ein Quirlpotential hier Ordnung besitzen. Wir können jetzt den obigen Satz auch so aussprechen:
In einem Bereiche Rh coexistiren nothwendig sämmtliche Arten von Quirlbewegungen, deren Ord- nungszahl kleiner ist als k^ und es existirt darin keine Quirlbewegnng von einer grösseren Ordnungs- zahl. (Satz I.)
5. Jedes Quirlpotential Ok Qc > 1) genügt der Laplace*schen Differentialgleichung (Satz II). Aus Gl. 7 ergibt sich (für Ä > 1)
dx ^ dy de ^
Für den Fall der Existenz einer Potentialfunktion kann diese Gleichung so geschrieben werden
JOu = 0 11)
Die Gleichung 10) gilt nicht für Ä;= 1; nur, wenn die Flüssigkeit incompressibel ist, hat man auch
du* d V* d W*
^*+^ + ^=0 12)
dx ^ dy ^ de ^
Eis müssen daher alle nachfolgenden Sätze, insoweit sie sich auf den Eingangs dieses Artikels angegebenen Satz stützen, entweder unter der beschränkenden Annahme A: > 1, oder unter der Voraussetzung der Incompressibilität der Flüssigkeit verstanden werden.
6. Es kann nicht ein einziger Bereich 22« die ganze unendliche Flüssigkeitsmasse erfüllen. (SatzIII.) Denn man hätte dann eine Funktion (Z>ik, welche im ganzen unendlichen Räume der Gleichung z/O« = 0 genügte und im Unendlichen, da die Flüssigkeit daselbst als ruhend vorausgesetzt wird, gegen einen constanten Werth C limitirte. Genau so gross
278 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 2, Juni 189 A,
wHrde daher auch das arithmetische Mittel der Funktion»- werthe von CP* auf der Oberfläche einer Kugel sein, die man mit unendlich grossem Radius um einen im Endlichen ge- legenen Punkt P beschriebe. Gemäss einem nach Herrn Riemann benannten Satze der Potentialtheorie müsste daher auch im Punkte P, und weil dieser beliebig gewählt wurde, überall im Endlichen (Pj^ = 0 sein. Nach Satz I mOsste demnach die Ordnungszahl des Bereiches Rk kleiner sein ab k und sie könnte, da k beliebig ist, nur gleich 1 sein, aber auch dies nur dann, wenn die Flüssigkeit compressibel ist
7. Es kann nicht ein Bereich 12» einem Bereiche 22» unmittelbar benachbart sein, es sei denn ä = m. (IV.)
Denn setzen wir etwa willkürlich m>*, dann würde nach Satz I das Quirlpotential CPjb im Bereiche Bk existiren, im Bereiche iJ«, aber zu existiren aufhören. Dagegen würde das Quirlpotential (Pm sowohl im Räume i2m als auch im Räume B,k existiren, im letzteren Bereiche aber als Constante. Da die beiden Bereiche einander unmittelbar benachbart sein sollen, so muss ein Theil ihrer Begrenzungsflächen beiden gemeinsam sein. Denkt man sich diesen Theil entfernt, so erhielte man einen grösseren Bereich, in welchem eine Funk- tion (l>m existirte, die überall der Laplace'schen Differential- gleichung genügte und in einem endlichen Theile des Be- reiches einen constanten Werth C besässe. Wir können dann eine Eugelfläche so construiren, dass deren Mittelpunkt in diesem Bereiche, in welchem 0^=0 ist, liegt, und die zum Theil in diesen Bereich selbst fällt, zum Theile aber in eine Region taucht, in der (D„^ grösser (oder kleiner) als C wird. Dann müsste aber auch das arithmetische Mittel der Funktions- werthe von ©„ auf der Kugeloberfläche grösser (oder kleiner) als G sein, und dies wäre ein Widerspruch gegen den Hie- mann'sehen Satz.
8. Es muss in der bewegten Flüssigkeitsmasse Bereiche, mindestens aber einen geben, innerhalb
Sdmz: Ueber die v. Hdmholts' sehen Wirbel-Integrale. 279
deren überhaupt kein Quirlpotential irgendwelcher Ordnungszahl existirt. (V.)
Dieser Satz ist eine nothwendige Consequeoz der Sätze III und IV. Wir wollen diese Gebiete die , charakteristischen Schichten* nennen; nach Satz IV muss jeder Bereich Bk von einer solchen charakteristischen Schicht Yollständig eingehüllt sein. Sie soll im Allgemeinen als von endlicher Dicke vor- ansgesetzt sein. An Stellen, wo sie unendlich dünn wird, degenerirt sie zu einer wahren Discontinuität; solche und andere Discontinuitäten wollen wir, wie schon Eingangs im Artikel 1 bemerkt ist, von unserer Betrachtung ausschliessen. Wir denken uns hiezu jede derselben einzeln von einer sie ganz umschliessenden, einfach zusammenhängenden Fläche umgeben, die wir passend yDiscontinuitatshülIe*' nennen können. Die Flüssigkeit, die sich ausserhalb dieser Discontinuitätshüllen befindet, ist für uns die , betrachtete Flüssigkeitsmasse''.
9. Ein für uns sehr wichtiger Satz ist der folgende: Die Bewegung der gesammten betrachteten Flüssig- keitsmasse ist zu irgend einem Zeitmomente überall eindeutig bestimmt, wenn in demselben Zeitmomente die Quirlgeschwindigkeiten irgend einer beliebigen Ordnungszahln in allen charakteristischen Schichten gegeben sind und gleichzeitig auch die Bewegung der Flüssigkeit an den Discontinuitätshüllen vorge- schrieben ist. (VI.)
Man erhält aus den Gleichungen 7), indem man in den- selben die Grössen uu-u ^k-u ^k-^i durch die Grössen Uk-2% t*t-2) u^ft— 2 ersetzt, die folgenden:
1 /^0*-2 ^ \
13)
280 Sitzung der math.-phys, Glosse wm 2. Juni 1S94.
Hiebe! ist
Nach Gleichung 10) verschwindet dieser Ausdruck för fc > 3 ; also ist für Ä > 1 und bei incompressibeln Flüssig- keiten auch für Ä = 1
Uki.2 = — J^Uk, Vk+2 = — J^Vk, tt;*+2 = — j^«^* 15)
Speziell in Bereichen von der Ordnungszahl k ist daher mit Rücksicht auf Satz I
Juk^x = 0, ^^t;ik-i=0, Jwic^i = 0 16)
und auch
Juk = 0, Jvk = 0, JiCk = 0 17)
Wir beweisen nun zunächst folgenden Hilfssatz: Sind in allen Punkten der betrachteten Flüssigkeitsmasse die Quirl- geschwindigkeiten von der Ordnungszahl n, also w„, t?», tr», in einem bestimmten Augenblicke gegeben, und ist gleich- zeitig die Bewegung der Flüssigkeit an den Discontinuitats- hüllen vorgeschrieben, so sind für denselben Augenblick auch die Quirlgeschwindigkeiten (n — l)ter Ordnung ii»-i, v«-i, Wn-^i überall eindeutig bestimmt. (Via.)
Zunächst ist klar, dass auch überall die Quirlintensitaten (w + l)ter Ordnung, die ja aus jenen wter Ordnung durch eindeutige Differenzation hervorgehen, gegeben sind. Nun ist nach Gleichung 15)
Jun^i =—4:Un+u ^t;„-i = — 4t;»4.i, ^Wn-i = — 4w„+i; 18)
gäbe es noch 3 andere Funktionen u„-i, ön-i, »•.-!, welche denselben Differentialgleichungen
J Vin-i = — 4 Un+i , etc. 18 a)
genügten, so wären Un^i — Un-i , Vn-i — ö„-i , Wn^i — to— i drei neue Funktionen, welche — wie sich durch Subtraktion
Schütz: lieber die v. Helmholts' sehen Wirbel-Integrale. 281
der Gleichung 18) und 18 a) ergibt — in der ganzen be- trachteten Flüssigkeit die Laplace^schen Differentialgleich- nngen befriedigen und an den Discontinaitätshtillen, sowie im Unendlichen verschwinden. Die — zufolge des Dirichlet'- schen Principes einzige — Lösung hiefür ist
««-1 U«-l = Vn-l — Ön-l = M'n-l — »n-l = 0.
Es sind demnach die Quirlgeschwindigkeiten (n — l)ter Ordnung und, da sich dieses Beweisverfahren beliebig oft wiederholen lässt, auch jene von beliebig anderer Ordnungs- zahl, demnach die gesammte Bewegung der Flüssigkeit ein- deutig bestimmt.
Sind nun nicht in der ganzen Flüssigkeit, sondern bloss an den charakteristischen Stellen die Grössen u^^ t;», Wn ge- geben, so lässt sich dieser Fall immer auf den durch den HilSssatz präcisirten Fall zurückführen. Denn sei etwa Bk derjenige Bereich, der unter allen Bereichen Bi bis Bk die höchste Ordnungszahl k hat, so bilden wir, wenn n<.k ist, aus den Grössen Un, v»^ Wn durch fortgesetztes Differenziren nach dem Schema der Gleichung 7) die Grössen
ui^iy Vk+1, Wk^i 19)
Da nun die Quirlgeschwindigkeiten (k-\' l)ter Ordnung in der ganzen Flüssigkeitsmasse, mit Ausschluss der charak- teristischen Schichten, verschwinden, in diesen letzteren aber die gegebenen Werthe 19) haben, so darf man sie in der gesammten Flüssigkeitsmasse als gegeben betrachten.
Ist aber ti > ft, dann sind ohnehin schon die Grössen K»i Vn, t^M in allen Bereichen Bi bis Bk gleich Null, also gleichfalls in der gesammten betrachteten Flüssigkeitsraasse gegeben.
10. Ein specieller Fall des vorigen Satzes ist der fol- gende: Sind in einem Augenblicke die Geschwindigkeiten tii, ri, wi in allen charakteristischen Schichten sowie an den
282 Sitzung der inath,-phys, Glosse vom 2, Juni 1894.
Discontinuitätshüllen gegeben, so sind fQr denselben Angen- blick die Geschwindigkeiten u^ vu Wi überall eindeutig be- stimmt. Es sollen hier die drei letzteren Grössen aus den drei ersteren berechnet werden.
Es sei wieder Rt jener Quirlbereich, der die höchste Ordnungszahl Je besitzt. Die auf die Zahl k zunächst fol- gende ungerade Zahl bezeichnen wir mit 2 i + 1 5 sie ist — unabhängig davon ob Je selbst eine gerade oder ungerade Zahl ist — jedenfalls durch die Formel gegeben
2t+l = ft + |-i(-l)», woraus folgt
* = | + |-j(-l)* 20)
Durch i-malige Anwendung der zi-Operation auf die ge- gebenen Funktionen lei, t;!, wi erhält man gemäss Formel 15)
— wenn wir uns für die i-raalige Anwendung der gedachten Operation des Symboles J* bedienen —
z/'m1 = (-4)'«^.4.i, z/'t;I = (-4)'t;^,+i, J'w{ = {-iyu>^i+i 21)
Ganz ebenso würde man durch t-malige Anwendung der ^^- Operation auf die zu suchenden Funktionen u^^ v^^ tc^ erhalten
J^ Wi = ( — 4)* U2i+i etc. 21a)
Nun sind aber die Grössen uit+i und U2i^i nicht nur in den charakteristischen Schichten, sondern auch in allen Quirlbereichen Ri bis Rk einander gleich, weil sie daselbst
— wegen 2i + 1 >Ä: — überall verschwinden. Also erhält man die Differentialgleichungen
J^ui = J^v{, J^vi = J*Vi, J*Wi = J*w{ 22)
Die vollständigen Integrale dieser Differentialgleichungen lauten:
Schute: lieber die v. Helmholtz" sehen Wirbel-Integrale, 283
"* (— 47iyJJJ n JJJ r,-i,,
r r Cdx^dy^de^ C C Cdxidyidsi ^.^, d_ cGda
_ 1 r r CdXjdyjdjSj C C CdXj^i dyj-i dgj^i 'i (— 47ryJ.!J r, JJJ n.i.,
1_ p r CdXj dyi dzj C C Cdx,-i <7y.-i dzt-i
'Gdff
Hiebei ist fi. 2 = y(«i — Ää)* + (yi — y2)' + («1 — BiY
n-i,,- = K(»i-i — Xif + (y<_i — y,)» + {Si-i—z,)*
U = V(a;, - x)* + (y.- - y)» + (*, - ^)» nnd
ri. = y(xd. - xf + (yd. - y)* + (^d. - -»)»
23)
24)
Alle dreifachen Integrale sind über die gesammte be- trachtete Flüssigkeitsmasse zu erstrecken, das einfache Integral
aber über die Oberfläche derselben, sowie über alle
DiscontinuitätshüUen .
G ist eine willkürliche Funktion, die so bestimmt werden muss, dass die Auswerthung der Gesammtintegrale für alle Punkte dieser Oberflachen die an denselben vorgeschriebenen Werthe von t«,, »j, «?, ergibt.
V. Helmholtz hat in seiner Eingangs erwähnten Ab- handlung über die Wirbelbewegung eine interessante Ana- logie entvnckelt, die zwischen dieser Art hydrodynamischer
284 Sitzung der math.-jahys. Glosse vom 2. Juni 1894.
Bewegung nnd den elektrodynamischen Erscheinungen be- steht. Die Gleichungen 23) lehren, dass man eine un- endliche Mannigfaltigkeit solcher Analogieen an- geben kann. Bevor wir auf dieselben mit einigen Worten eingehen, wollen wir noch den Begri£P der „Wirbellinie* verallgemeinern.
11. Wir verstehen unter einer „Quirllinie kber Ordnung* eine Curve, welche der DifiFerentialgleichung genügt
dx:dy:ds = Uk: Vk : Wk^ 25)
und unter einem „Quirlfaden" einen unendlich dünnen Faden, welcher aus der Flüssigkeit ausgeschnitten mrd, wenn man durch alle Punkte des Umfanges einer unendlich kleinen i Fläche die Quirllinien zieht. Auch erinnern wir uns wieder, dass wir es mit Stromlinien, bezw. -Fäden zu thun haben, wenn k ungerade ist, dagegen mit Wirbellinien bezw. -Fäden, wenn k gerade ist.
Durch Anwendung des Green'schen Satzes auf die Gleichung 10) erhalten wir
fvf,dq = 0 20)
Hiebei bezeichnet Vk die normal zum Oberflächenelemente dq geschätzte Componente der Quirlgeschwindigkeit kter Ord- nung. Wir nennen die Gleichung 26) die allgemeine Con- tinuitätsgleichung der Quirlbewegungen; sielehrt, dass kein Quirlfaden beliebiger Ordnungszahl inmitten der Flüssigkeit enden kann und dass für einen und den- selben Quirlfaden das Produkt ausseinem Querschnitt und der Quirlgeschwindigkeit
Vit' dq = ik = constans 27)
für seine ganze Erstreckung einen constanten Werth behalten muss.
12. Um uns nun die erwähnte unendliche Mannigfaltig- keit der elektrodynamischen Analogieen an einem Beispiele
SdiiUz: üeher die v. Helmholte'schen Wirbel-Integrale. 285
zu versinnlichen, wollen wir annehmen, es sei ein aus der betrachteten Flüssigkeitsmasse herausgetheilter zweifach zu- sammenhängender Raum mit lauter Quirlfäden Zrter Ordnung so erfüllt, dass er einen Quirlbereich Bk (im Sinne des Ar- tikels 4) darstelle. Gemäss Artikel 7 und 8 muss dieser Qairlbereich zunächst von einer charakteristischen Schicht S umgeben sein, von welcher wir annehmen wollen, dass ihre Dicke sehr klein gegenüber den Dimensionen des Bereiches Bk ist. Die ganze übrige betrachtete Flüssigkeitsniasse soll ein Bereich Ä-i von der nächstniederen Ordnungszahl sein. Bezeichnen wieder li*, t;*, u>k die Quirlgeschwindigkeiten im Bereiche Rk und Uk, Vk, Wk dieselben Grössen in der charak- teristischen Schicht, so ist für alle Punkte der betrachteten Flüssigkeitsmasse (die wir zur Vereinfachung so gross voraus- setzen wollen, dass wir die Randbedingungen vernachlässigen können)
— J_ rr C^kdxdy djB _1_ r C CUk dxdyde
Das erste Integral ist über den Bereich Rk zu erstrecken, das zweite über die charakteristische Schicht S. Wir wollen annehmen, dass letztere so dünn ist, dass der Beitrag, den das zweite Integral liefert, gegenüber dem des ersten ver- schwindet. Dann ist
1^ CC Cukdxdydz
^ C C C'^k dx dy de
— Jl C C C^kdxdydz
Wk^2
28)
Wir fuhren nun statt des Yolumelements dxdydz das Produkt dq-ds ein, d. i. jenes Volum, welches ein Längen- elemeiit ds des Quirlfadens vom Querschnitte dq besitzt. Ferner setzen wir
1
286 Sitzung der math,-jphy8. Glosse vom 2, Juni 1894.
wobei Vk die resultirende Qairlgeschwindigkeit und a, ß^ y die Richtungscosinus des äs sind.
Berücksichtigen wir endlich noch, dass das Produkt Vk' dq für die ganze Erstreckung des Wirbelfadens einen Constanten Werth i* besitzt (Gleichung 27), so lauten die Gleichungen 28) jetzt
Uk^2 = jikds-a-, Vk^2= UkdS'ß-, Wk-2== Ukds-y- Hieraus erhalten wir für Uk-i
"'-'=J'""L'-5jr~''~H-J
oder, wenn 9), Xi V^ ^^^ Richtungscosinus der Geraden r be- zeichnen,
Mfc-i = — jikji [yx — ß^p]
Der in der eckigen Klammer stehende Ausdruck i$t gleich dem Produkte sin {ds, r) • cos («, x), wo n die auf ds und r senkrecht stehende Richtung ist; also ist
Jifc d5 • sin (ds, r) j ^cos(n,ir), und analog
Jik ds sin (ds^ *•) / x ^ '- cos (n, y).
Jifc «5 sm (as, r) ^ '- cos (n, ißr).
Man kann diese Formeln so aussprechen: Jedes Element ds eines Quirlfadens von der Ordnungszahl k bedingt in jedem Theilchen der Flüssigkeitsmasse eineQairt- geschwindigkeit von der Ordnungszahl (i — 1), deren Grösse gleich dem Ausdrucke
Schütz: Üeber die v. Helniholtz' sehen Wirbel-Integrale. 287 ik ds sin (ds, r)
ist, und deren Richtung »t senkrecht zu jener Ebene sieht, die durch das Padenelement ds und das be- trachtete Flüssigkeitstheilchen bestimmt ist.
13. Es besteht also zwischen den Quirllinien Äter und (i— l)t€r Ordnung genau dieselbe Wechselbeziehung, die auch zwischen den elektrischen Stromlinien und den magne- tischen Kraftlinien statt hat. (Vgl. hiezu Boltzmann, Vor- lesungen T pag. 90.) Wäre etwa der Bereich Rt ein me- tallischer Leiter, innerhalb dessen das Strompotential (P* be- stände, so würde die hiedurch bedingte elektrische Strömung im Aussenraum eine Vertheilung der magnetischen Kraft- linien hervorrufen, die sich der Grösse und Richtung nach vollkommen mit der Vertheilung der Quirllinien {h — 1) ter Ordnung im Bereiche ü*~i decken würde.
Es entspricht diese Analogie genau jener, welche v. Helm- holtz a. a. 0. abgeleitet hat und welche man hier erhält, wenn man i = 2 setzt. Für fc = 3 erhält man das hydro- dynamische Bild, welches Boltzmann in den Sitzungsberichten der bayerischen Akademie ^) 1892 pag. 279 zur MaxwelPschen Elektrodynamik in Analogie gesetzt hat. Mit Bezug auf diese letztere Abhandlung, welche diese Analogie insbesonders auch für quasielastische Media mechanisch ausbaut, sei hier die übrigens selbstverständliche Bemerkung gemacht, dass unsere bisherigen Betrachtungen, da sie ja rein geo- metrischer Natur sind und desshalb jedweder physikalischen Voraussetzung entbehren können, natürlich auf jedes beliebige continuirliche Medium anwendbar sind.
14. Wir wollen aber sogleich eine andere wesentlich mechanische Analogie ableiten, welche die verwandtschaft-
1) Abgedruckt in Wiedemann^s Annalen, Bd. 48 pag. 78.
288 Sitzung der mcUhrphys. Glosse vom 2. Juni 1894,
liehen Beziehungen zwischen den allgemeinen Quirlbewegungen und den elektrodynamischen Phänomenen sehr enge knüpft.
Wir gehen dabei von den Integralen der Gleichung 23) aus; doch machen wir auch hier wieder die vereinfachende Annahme, dass die betrachtete Fltissigkeitsmasse so gross ist, dass wir die Oberflächenbedingungen vernachlässigen dürfen, sowie dass die charakteristischen Schichten im Vergleiche zo den Dimensionen der von ihüen umhüllten Quirlbereiche so dünn sind, dass ihre Beiträge in die Bewegung der betrachteten Flüssigkeitsmasse verschwindend klein sind. Wir behandeln den Fall, dass in der Flüssigkeit neben Quirlbereichen be- liebig anderer Ordnungszahlen sich zwei Quirlbereiche Rh und Rk von der Ordnungszahl k vorfinden, und es sei i die grösste unter den vorhandenen Ordnungszahlen. Ot und 01 seien die Quirlpotentiale in diesen Bereichen, v^ und yjt die Quirlgeschwindigkeiten in denselben und Uu^ t;«, u;*, beziehlich tiik, t;*, Wk deren Componenten.
Hier haben wir nun zum erstenmale zwischen den Strömungen und den Wirbeln höherer Ordnung zu unter- scheiden. Wir wollen vorerst den einfacheren Fall betrachten und annehmen , es sei k eine ungerade Zahl 2 t -j- 1. Wir haben es also mit Strömungen zu thun. * Es seien «j, Vj, w^^ die Geschwindigkeiten, welche irgend
ein Flüssigkeitstheilchen {dxdyde) haben würde, wenn bloss der eine Quirlbereich Rky und lil, rl, w'u jene, wenn bloss der zweite Quirlbereich iJi vorhanden wäre. Die Ge- schwindigkeiten, die dasselbe Flüssigkeitstheilchen bei der Coexistenz beider Quirlbereiche Rk und Rk hat, sind dann wegen der Linearität der Gleichungen 21a)
wi + wl. Vi + vi, Wi + w{ 30)
Es ist noch wichtig, zu bemerken, dass die Grossen «fc, Vk^ Wk bei gegebener Configuration der Systeme voll- kommen unabhängig von den Grössen tei, vi, w'k sind, so dass,
SduUz: lieber die v. Heimholte' sehen Wirbel-Integrale. 289
wenn z. B. bloss der eine Quirlbereich Bi existiren würde, an den Stellen, wo sich der yon diesen weggedachte Quirl- bereich Bk befindet, die Grössen Uk^ vt, Wk sämmtlich gleich Null wären, und umgekehrt.
15. Unter all den Voraussetzungen des vorhergehenden Artikels erhalten wir für u^ in Anlehnung an Gleichung 23) das Integral
_}:, C C C ^^< ^Pi ^^>' ^^~ ^J J J U
C C C dx^dy^dz^ r r r dx^ dy^ dss^ Uk ^
Um das letzte dreifache Integral in ein Linienintegral zu verwandeln, zerlegen wir den Quirlbereich Ä, der allen- falls die Form eines Ringes hat, durch einander unendlich nah geführte Querschnitte in unendlich viele Cylinder von unendlich kleiner Höhe ds. Diese Querschnitte g sollen so geführt werden, dass sie zur resultirendeu Geschwindigkeit Vk überall normal stehen. Ausserdem zertheilen wir das ganze Bündel von Quirlfäden, welches die charakteristische Schicht erfüllt, in N unendlich dünne Quirlfäden so, dass das Produkt aus dem Querschnitt dq eines Fadens in dessen Quirlgeschwindigkeit v^^ gleich einer für alle Fäden constanten
Grösse fu ist
d g • yj = p^ s= constans.
Dann kann man setzen
C C C dx^ dy^ dß^ Uk r ds cos (ds, x
und es lautet die Gleichung 30):
1 dxjdyjdxj
mdx^dy^dz^ n ds, cos {ds, x)
1894. ]faUi.-pb7B. CL 3. 19
32)
290 Sitzung der math.'phys, Claase vom 2. Juni 1894.
Das letzte einfache Integral ist über alle Qoirlfäden einzeln zu erstrecken. Nimmt man an, dass alle Qairl£ldeD nahezu parallel laufen und dass überdies der gesammte Quer- schnitt des Quirlbereichs klein ist, dann darf man N^ 1 setzen, und es braucht das Integral bloss über einen einzigen Stromfaden erstreckt werden, pk können wir dann passend die Quirlintensität des Bereiches Rk nennen.
Zur Abkürzung bezeichnen wir noch das gesammte viel- fache Integral der Gleichung 32) mit cT«, so dass
Ui=Pk' Jx^ t?i = j?* • cTy, Wi=Pk' Jm 33)
ist, wo Jff und Jg analog zu Jg zu bilden sind.
Ganz ebenso erhält man für die vom zweiten Qairl- bereich B'k bedingten Geschwindigkeiten Ui, i?i, Wi unseres Flüssigkeitstheilchens die Werthe
u{=PkJl, vi^pkJ;,, w{=pkJM 34)
16. Mit Rücksicht auf 30, 33 und 34 erhält man für die gesammte kinetische Energie T der betrachteten Flüssig- keitsmasse den Ausdruck
+ PkP'k fffa dx dp dM (j,j^ + J,J;-\- J. J-.)
3:.
q kt die Dicht« der FlQssigkeit. Wir bezeichnen das eiste Integral mit Ä(k,,t^i^, das ■weite mit B^^^,^^^^^ und das dritte mit C^|^,,|^^^, so dass
und es seien A,, A^, k^ drei Coonünaten (Parameter), welche dio g^vnnetrisohe Conliguration des Quirlbereiches JR^ bezogen Äuf seinen Silnvorpunkt l^estimmen, *^, ij, A^ die analogen
Schütz: Üeher die v, ßelmlwUz* sehen Wirbel-Integrale. 291
Parameter für den zweiten Quirlbereich und Ä,, Äg, Äg die Parameter, welche die relative Configuration der beiden Be- reiche zu einander bestimmen.
Wir wollen annehmen, dass alle diese Configurationen im Räume sich mit Geschwindigkeiten ändern, die klein fliegen die Geschwindigkeiten der Flüssigkeitsth eilchen sind. Dann liefert die Lagrange*sche Gleichung für die Kräfte Pi, Pk und Hi, welche beziehlich die cyclischen Coordi- naten pk^ pl und den beliebig gewählten Parameter hi zu beschleunigen streben, die Werthe
-P* = j^ (^(Al, A» »3) J^* + ^(A?. *8. h) PO
-P* = ^-^ (C'(*7. Ag. *9) Pk + ^{fu, As. Ab) Pk) U __ ^^-^(Ai.Ag,A3) p'l?dB(hi, Ab, Aß) ^ ^,^ C^(A7, Ag, A9)
37)
17. Gleichungen von ganz derselben Form erhält man auch, wenn man annimmt, dass die Ordnungszahl k gerade ist, in welchem Falle man es mit Wirbeln höherer Ordnung za thun hat. Doch haben dann die Parameterfunktionen A, jB, Ü eine etwas andere Bedeutung, von der sogleich die llede sein wird. Vergleicht man die Gleichungen 37) mit den Gleichungen 12) in Boltzmann's Vorlesungen über Max- weirs Theorie I, pag. 24, so sieht man, dass zwei Quirl- bereiche gleicher, im üebrigen aber beliebiger Ord- nungszahl ganz analoge ponderomotorische und In- ductionswirkungen aufeinander ausüben, wie elek- trische Ströme. Dieses Resultat ist an sich so wenig wunderbar, dass es sogar als ganz selbstverständliches Postulat der MaxwelPschen Theorie erscheint, wenn wir diese in der Allgemeinheit auffassen, in der sie in den wiederholt citirten .Vorlesungen" dargestellt worden ist.
19*
292 Sitzung der m<Uh,-phy8. Glosse vom 2. Juni 1894,
18. Es besteht aber in Bezug auf den Richtangssinn, in welchem diese ponderomotorisehen und Induktionswir- kungen erfolgen, eine bemerkenswerthe Differenzirung zwischen den Quirlbewegungen von gerader und jenen von ungerader Ordnungszahl. Man gelangt zu derselben durch eine Discussion der Parameterfunktionen J., JB, C. Wir wollen diese oben mit dem Index s versehen, wenn sie sich auf Quirlbereiche mit ungerader Ordnungszahl (Strömungen) beziehen, dagegen mit dem Index u;, wenn sie sich auf solche mit gerader Ordnungszahl (Wirbeln) beziehen. Nach den Festsetzungen der Artikel 15 und 16 haben die -4*, B*, C folgende Werthe:
^' =fffQ dx dy dB {Jl^J\^ a S'=fffQ äx dy de (Ji^ -|. j;2 + j;2) 0=fff(>dxdydz{J,J, + J,T^^J,T;)
Hiebei hat Jx den Werth
1 dxidyidzi
38)
^-inh"^
39) C C C dx^^dy%de^ p ds cos {ds,x)
Die Grössen Jy und Jt erhält man, wenn man im letzten einfachen Integral statt cos (ds, x) beziehlich cos {ds^ y) und cos {ds^ e) setzt, und die Grössen JJ, /y, Tg er- hält man, wenn man das einfache Integral beziehlich über alle Quirlfäden im Bereiche Bi erstreckt. Der Index t
1^ 1
hat den Zahlen werth — - — •
iL
Für die Parameterfunktionen il», B'\ C^ aber erhält man folgende Werfche:
40)
SdüUt: Ueber die v. Hdmhoitg'sehen Wiritd-Integrale. 293
^.J-J-J....,..[(lf-i5)'
"^ \dz dx) "*" vaa; dy) J
"^Va^ 3a;/ Va« a^/'^Vaa; dy)\dx dy)\
Die Grössen cT'x, Jy, J„ t^, <7j^, Jj haben auch hier noch die in Gleichung 39) gegebene Bedeutung; doch ist hier
19. Wir wollen die Grössen A^ B die Selbstinductions- coefBcienten der beiden Quirlbereicbe und die Grösse C den wechselseitigen Indnctionscoefficienten derselben nennen. Man kann dann die Inductionsgesetze so aussprechen, dass sie all- gemein für beliebige Quirlfaden gerader und ungerader Ordnungszahl gelten. Man sagt dann z. B.: ^Wird die relative geometrische Gonfiguration der beiden Quirlfaden so geändert, dass dadurch der wechselseitige Inductions- coefficient vergrössert wird, so erregen die Quirlfäden in einander Quirlbewegungen, welche den erregenden entgegen- gesetzt gerichtet sind.* Aehnliches gilt für das Gesetz der ponderomotorischen Kräfte. Würde man aber diese Sätze speziell so aussprechen: , Nähert man zwei geradlinige parallele Quirlfaden, so erregen sie in einander etc." oder ^zwei geradlinige parallele und gleichgerichtete Quirlfäden ziehen einander an*, so wären sie in dieser Form nur für Quirlfäden
294 Sitzung der mathrphtjs. Glosse vom 2, Juni 1894.
mit ungerader Ordnungszahl unbedingt zutreffend; überhaupt gebührt den letzteren auch noch in anderer Hinsicht der Vorzug, wenn man sich darüber entscheiden will, welche Art der Quirlbewegungen man den elektrischen Strömen zu* ordnen soll; auf einen hieher gehörigen Punkt hat schon Boltzmann^) aufmerksam gemacht; man kann die daselbst angewandte Betrachtungsweise leicht auf die Quirl jeder beliebigen geraden Ordnungszahl verallgemeinern. Aber gerade die Discussion der Parameterfunktionen -4*, 2?*, C* und A*% B^\ C*" liesse sogar auch noch unter den Quirl- bewegungen ungerader Ordnungszahl eine spezielle Vorzugs- wahl treffen. Die letzten Consequenzen, zu denen man dann gelangen würde, kann man aber auch noch auf einem anderen direkteren Wege erreichen. Tn einer Abhandlung über die Grundgleichungen der Elektrodynamik für rasch Terander- liehe Parameter, welche gleichzeitig mit der vorliegenden an anderer Stelle zum Drucke gelangt, findet sich einiges hierüber.
20. Hier sei noch folgendes bemerkt: Unsere Analof^ieen bleiben auch dann noch bestehen, wenn wir unter w^, r^, iCj, nicht die Geschwindigkeiten eines Mediumtheilchens, sondern die einfachen Verschiebungen eines solchen, unter Wjk, t^fci v.\ aber Grössen verstehen, welche aus jenen durch A; malige Anwendung der Gurl-Operation hervorgehen, nur bedarf es hiezu der Annahme, dass die durch diese Ver- schiebungen in das Medium gespeicherte (hier potentielle) Energie wiederum dem Ausdrucke kJ-J-vJ + wJ proportional ist. Auch sei besonders noch betont, dass alle unsere Aus- sagen ihren physikalischen Sinn in voller Strenge nur dann bewahren, wenn wir uns vorstellen, dass alle inneren Emfle des Mediums stets durch willkürlich hinzugefügte langsam veränderliche äussere Kräfte paralysirt werden.
Es mögen hier noch 2 Sätze Platz finden, welche wir
1) Wiedem. Ann. Bd. 48, 1893, p. 95.
Schütz: lieber die v. Heimholte' sehen Wirbel-Integrale. 295
als die mechanischen Bilder der beiden Hertz'schen Gleich ungs- systeme betrachten können:
a) Sind die Qairllinien (Ä + l)ter Ordnung elektrische Stromlinien, so sind die Quirllinien Ä;ter Ordnung ma- gnetische Kraftlinien. (Mechanisches Bild des »zwei- ten* Hertz'schen Gleichungssystems.)
b) Sind die Quirllinien Ärter Ordnung magnetische Stromlinien, so sind die Quirllinien (i — l)ter Ordnung elektrische Kraftlinien. (Mechanisches Bild des »ersten* Hertzschen Gleichungssystems.)
Der Begriff des magnetischen Stromes ist dabei natürlich nicht im vulgären elektrotechnischen Sinne zu verstehen, sondern in jener Auffassung, in welcher er zuerst wohl von Hertz (1884) gebraucht und später vornehmlich von Heaviside in die Theorie eingebürgert worden ist.
Der Satz a) gilt — sofern man der Ampere'schen An- sicht vom Wesen des Magnetismus beipflichtet — immer auch umgekehrt, der Satz b) dies aber nur dann, wenn das elektro- magnetische Feld frei von elektrostatischer Ladung ist.
Die beiden Sätze a) und b) umfassen — im wohlver- standenen bildlich-mechanischen Sinne — das gesammte Lehr- gebäude der Maxweirschen Theorie der Elektrodynamik des freien Aethera.
München, mathem.-physik. Institut d. Universität.
296
Sitzang vom 7. Juli 1894.
1. Herr Gustav Bauer hält einen Vortrag: »Bemer- kungen über zahlentheoretische Eigenschaften der Legendre'schen Polynome*.
2. Herr Gustav Bauer legt eine Abhandlung des Priyat- dozenten Dr. Ludwig Maurer in Strassburg: «zur Theorie der continuirlichen, homogenen und linearen Gruppen" vor.
3. Herr Ad. v. Baeter theilt die Resultate seiner neueren Untersuchungen «über das Eümmelöl* mit. Dieselben werden an einem anderen Orte veröffentlicht werden.
297
Zur Theorie der continuirliGheii, homogenen und linearen Gruppen.
Von L. Maurer in Strassburg. (EingOaufm 7. Jvli,)
Die folgende Untersuchung schliesst sich an die Ab- handlang von mir an, die der Akademie im Jahre 1888 vorgelegen ist.^) Es sei gestattet zunächst in Kürze an den Inhalt derselben zu erinnern.
Den Ausgangspunkt bildet die Aufgabe, die umfassendste continuirliche Gruppe linearer homogener Substitutionen zu bestimmen, die eine rationale und homogene Function /* der Yariabeln x^ x^. . Xn in sich selbst transformirt. Ist diese Gruppe gerade m-gliedrig, so genügt f einem System von m Differentialgleichungen der Form
M I]Sci^|^*^ = a(/0 = O i=l,2,..m
Diese Differentialgleichungen sind von einander linear unabhängig, d. h. ihre Goef&cienten genügen keiner Relation der Form
«icS + ?«4^-- +2mc2 = 0 A,iu = l,2,..w Damit ist nicht ausgeschlossen, dass nicht eine der Differentialgleichungen (y) eine Folge der übrigen ist.
1) üeber allgemeinere Invarianten Systeme. Ich citire diese Ab* hasdluDg im Folgenden kurz mit Inv.
298 Sitzung der moUK-phys. Classe vom 7. Jtdi 1894.
Die Coefficienten der Differentialgleichungen (y) genfigen Gleichungen der Form
A, /i = 1, 2, . . n ?\ Zr = 1, 2, . . m
Man kann dieselben auch in der symbolischen Form
darstellen.
Die Coefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe, die f in sich selbst transformirt, sind als Funktionen von m Parametern u^u^. . . u^ definirt durch die Differential- gleichungen
(«)
du- "ZjZj^A" V^> $ = 1,2, .. «
und die Anfangsbedingung, dass einem bestimmten Werth- system der Parameter — den Anfangswerthen — die identische Substitution entspricht.
Die m* Funktionen Pj der Parameter unterliegen der Bedingung, dass ihre Determinante nicht identisch ver- schwindet und dass sie insbesondere nicht fiir die Anfangs- werthe der Parameter gleich Null ist.
Die angegebenen Bedingungen reichen — wie aus der allgemeinen Theorie des H. Lie hervorgeht — aus, damit das m-fach unendliche Substitutionensystem
n
yA = S^A/i((w))^^ A= 1,2,.. n
eine Gruppe bildet. Damit aber diese Gruppe die um- fassendste Gruppe ist, die eine rationale Funktion in sich selbst transformirt, müssen noch weitere Bedingungen er- füllt sein.
L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 299
Die Aufstellung dieser Bedingangen führt zu einer Ein- theilung der „infinitesimalen Transformationen* der Form
C(f) = ±±cx,U--,
in verschiedene Arten.
Nehmen wir an, die zu C(f) gehörige charakteristische Determinante
verschwinde nur für i?==0, dann bezeichne ich G(ß als regulär von der ersten Art.
Nehmen wir zweitens an, J (p) verschwinde nur für ganzzahlige Werthe von p und es verschwinden für eine A-facbe Wurzel auch alle Unterdeterminanten n — Ä+ I.Grades des Systems
\%-0p\
dann bezeichne ich 0 (f) als regulär von der zweiten Art. In allen anderen Fällen heisst C{f) irregulär. Diese Be- zeichnungen werden auch auf das Coefficientensystem c^^^ angewandt. Ist C(f) irregulär, so kann man immer eine Anzahl regulärer infinitesimaler Transformationen
K(n K,if) K,{f).. Kßif)
derart bestimmen^) dass
G{f) = K{f)+Q,K,(f)+q,K,{f).. ■^dßKßi.f)
Von diesen inf. Transformationen ist die erste von der ersten Art, alle übrigen sind von der zweiten Art.
1) Das Symbol y ) bat den Werth 1 oder 0, je nachdem X
and fi gleich oder ungleich sind.
2) Inv. S. 123.
300 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 7. Jtüi 1894,
Die Zerlegung von C(f) in reguläre inf. Transformationen ist im wesentlichen vollkommen bestimmt, d. h. eine Unbe- stimmtheit tritt nur insoferne ein, als eine jede der inf. Trans* formationen K^ {f) K^{f) . . Kß{f) durch einen Ausdruck der Form
mit ganzzahligen Coefficienten a^a^. . ersetzt werden kann.
Die oben erwähnten weiteren Bedingungen, denen unsere Gruppe genügen muss, lauten nun:
Kommt unter den inf. Transformationen der Gruppe eine irreguläre Transformation C{f) vor, so gehören der Gruppe auch alle die regulären Transformationen K{f) K^{f)., ^ß (/) Ä^^i i^ ^^6 G if) zerlegt werden kann.
Daraus folgt sofort:
Unsere m-gliedrige Gruppe enthält m linear unabhängige reguläre inf. Transformationen.
Sind die angegebenen Bedingungen erfüllt, so kann man die Substitutionscoefficienten a^^ als rationale Funktionen von m Parametern u^u^, , Um darstellen und daraus folgt dann die Existenz rationaler Funktionen — der Invarianten der Gruppe — die durch die Gruppe in sich selbst trans- formirt werden.
Zu dieser rationalen Darstellung der Substitutionscoeffi- cienten gelangt man auf folgende Art:
Man wähle m linear unabhängige inf. Transformationen Cj (f) C^ (f) . . Gm (/*) der Art aus, dass eine jede derselben regulär ist.
Die infinitesimale Transformation Gi(f) „erzeugt" eine eingliedrige Gruppe jB, (w,). Ist die inf. Transformation Gi(f) von der ersten Art, so sind die Coefficienten ftj?, der allgemeinen Substitution der Gruppe Bi{i^ durch die Dif- ferentialgleichungen
L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen, 301
'-^=±€^1 X,^==l,2,..„
und die Anfangsbedingung bf = (^) för «,■ = 0 bestimmt.
Die Grössen bf^ sind in diesem Fall ganze Funktionen Yon Ui,
Ist dagegen die inf. Transformation C,- (f) von der zweiten Art, so sind die Substitutionscoefficienten bf durch die Differentialgleichungen
«'^ = I]*i'4 A,^=l,2,..«
und die Anfangsbedingung b^P = Q^ für u,- = 1 bestimmt.
In diesem Fall sind die Substitutionscoefficienten wenigstens rationale Funktionen des Parameters «i,-.
Setzt man nun die m eingliedrigen Gruppen Bi{ui) zu einer w-gliedrigen Gruppe
A (Mj w, . . w«,) = J5i (u J Bjj (wa) • • ^m (Wm)
zusammen, so ist klar, dass die Coefficienten der allgemeinen Substitution dieser Gruppe A sich als rationale Funktionen der m Parameter u^u^..%ini ergeben, und zwar gilt dies, wie auch immer die m inf. Transformationen 6',(/") im übrigen gewählt sein mögen, wenn nur eine jede derselben regulär ist.
Setzt man zwei Substitutionen der Gruppe A
n n
zusammen, so erhält man dem Gruppenbegriff gemäss wieder eine Substitution der Gruppe.
Es muss also möglich sein m Funktionen w^w^. . Wm der Grössen u^ ti^ . . ti^; v^v^. . Vm der Art zu bestimmen, dass
302 Sitzung der matK-phys. Classe vom 7. Juli 1894.
% ((«')) =S axv (W) «.M (("» ^, i« = 1 , 2, . . n
V=l
Die Grössen w sind im allgemeinen algebraische Funk- tionen der Grössen u und v, weil ja die SubstitationH- coefficienten rationale Funktionen der Parameter sind. Aber es gilt der Satz:
Man kann die m inf. Transformationen C, (/), von deren Wahl die Wahl des Parametersystems abhängig gemacht worden ist, so wählen, dass die Grössen w rationale Funktionen der Grössen u und v werden.
Der Satz ist für die allgemeine Theorie der continuir- lichen Gruppen insofern von Bedeutung, als er für eine sehr ausgedehnte Classe von Gruppentypen die Existenz einfach transitiver rationaler Gruppen nachweist. Es ist aber auch vom invariantentheoretischen Gesichtspunkt von Interesse, worauf aber hier nicht näher eingegangen werden soll.
Im Folgenden erlaube ich mir einen Beweis dieses Satzes vorzulegen.
Der Beweis wird in der Weise geführt, dass nachge- wiesen wird: bei passender Wahl der inf. Transformationen C, (/') ergeben sich nicht nur die Coefficienten der allge- meinen Substitution der Gruppe als rationale Funktionen der Parameter, sondern es sind auch umgekehrt die Para- meter rational durch die Substitutionscoefficienten bestimmt. Ist dies bewiesen, so ist klar, dass von den vorhin besprochenen drei Grössensystemen u; v; w ein jedes durch die beiden anderen rational bestimmt ist.
Für den Beweis ist es zweckmässig die hier in Betracht kommenden Gruppen in drei Classen einzutheilen. In die erste Classe rechnen wir die Gruppen, deren inf. Trans- formationen sämmtlich regulär von der ersten Art sind; in die zweite Classe die Gruppen, deren inf. Transformationen sämmtlich regulär von der zweiten Art sind; in die dritt«
i. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gi^ppen, 303
Classe endlich die Gruppen, die sowohl reguläre inf. Trans- formationen erster Art als auch solche zweiter Art enthalten. Jede dieser Classen muss für sich betrachtet werden.
T.
Die im Vorausgehenden ausgesprochenen Sätze kann man leicht von einer unnöthigen, ihnen anhaftenden Be- schränkung frei machen.
Diese Sätze beziehen sich nämlich zunächst nur auf solche Gruppen, für die Inyarianten existiren, die also nach der Lie'schen Terminologie intransitiv sind. Damit Inyarianten auftreten, ist erforderlich, dass die Differentialgleichungen (y) wenigstens eine Lösung zulassen, dass also die Anzahl der untereinander unabhängigen Differentialgleichungen kleiner als n ist.
Halten wir an der Voraussetzung fest, dass die Gleichungen
n
VX = 5j% ((")) ^f* ^ = 1, 2, . . n
eine m-gliedrige Gruppe definiren, lassen aber die Voraus- setzung, dass für diese Gruppen Invarianten existiren, fallen und machen wir statt dessen die Voraussetzung, die Gruppe sei durch algebraische Relationen zwischen den Substitutions- coefficienten definirt. Derartige Gruppen sollen im Folgenden als reguläre Gruppen bezeichnet werden.
Die Substitutionscoefficienten ax^^ genügen — wie aus der allgemeinen Theorie des H. Lie hervorgeht — einem System von Differentialgleichungen der Form (a) und den zuge- hörigen Anfangsbedingungen.
Wir betrachten nun ein System von q cogredienten Substitutionen
iß) yS:') = l]%((«))^if^ ;,= l,2,..n; 0 = 1,2,.. g (1=1
304 Sitzung der mathrphys. Glosse wm 7. Jtdi 1894,
und wählen die Zahl q so gross, dass qn>fn ist. Alsdann hat das System der Differentialgleichungen
a=l ^=1 /Ä=:l ^ ^x
qn — m unabhängige Lösungen und jede Lösung ist gegen- über der Gruppe 0^) invariant. Da aber die Gruppe (ß) durch algebraische Kelationen zwischen den Substitutions- coefficienten definirt ist, so gibt es rationale Invarianten der Gruppe^) und zwar sind darunter qn — m untereinander unabhängige.
Den Differentialgleichungen Siiß^^^O kommt also ein vollständiges System rationaler Lösungen zu. Es finden somit die in der Einleitung angegebenen Sätze auf die Gruppe (/?) Anwendung.
Nun überzeugt man sich leicht, dass die inf. Trans- formation Si(f) regulär oder irregulär ist, je nachdem die inf. Transformation C,(/^ regulär oder irregulär ist. Es gilt somit der Satz:
Findet sich unter den inf. Transformationen, die zu einer regulären Gruppe gehören, eine irreguläre Transformation C(/'), so gehören alle die regulären Transformationen, in die C(f) zerlegt werden kann, der Gruppe an.
IL
Um später den Gang der Untersuchung nicht unter- brechen zu müssen, schicke ich einige Hülfssätze aus der Theorie der bilinearen Formen voraus.
Wir stellen uns zunächst die folgende Frage: es seien n* Grössen C;^^ gegeben, unter welchen Bedingungen gibt es
1) Christoffel Math. Annalen Bd. 19 S. 280.
Zr. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 305
dann n* Grossen c/^, die nicht alle gleich Null sind und die den Gleichungen
_ n
Ich behaupte, ein derartiges System cl^ kann nur exi- stiren, wenn die Orösse co gleich der Differenz zweier der Werthe r ist, für die die charakteristische Determinante J (r) = I ci^ — (^) r\ A, ju SS 1, 2, . . n verschwindet.
Den Beweis führen wir indirect: wir nehmen an, ta sei nicht gleich der Differenz zweier Wurzeln der Oleichung J(f) = 0, und beweisen, dass dann alle n* Grössen cj^^ verschwinden müssen.
Die von einander yerschiedenen Wurzeln der Gleichung ^ (r) = 0 bezeichnen wir mit r^r^. . r«, und die Exponenten der zum Wurzelfaktor rk — r gehörigen Elementartheiler mit *w .<»)..«<»).
Wie ich in meiner Inauguraldissertation^) nachgewiesen habe, lassen sich n* Grossen [ghX\k mit nicht verschwinden- der Determinante so bestimmen, dass
2]ci^[lA/*]» = »-*[l*^]» ^=1,2,..«
''=1 «7 = 2, 3, . . c?>
^ h = 0,\,..h
2j Ci^ !>*/']» = »■» [^*^]* + l>- 1 Ä ^]* ifc = 1, 2, . . n
Nun folgt aus den Gleichungen (a)
Ä = l,2, ..« Weil nach Voraussetzung die Determinante ^ {r) für r == r* + Ol nicht verschwindet, so folgt hieraus
1) Znr Theorie der linearen Substitutionen, Strassburg 1887. 18M. ]Utfa.-ph7i. Cl. 8. 20
306 Sitzung der maih.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894,
n
J^Cx^l^J^f^l = 0 für A=l,2,..ti Nun folgt aus (a) weiter
11 OXr f i] ö;^ [2 A A«]») = (n + tr) 2 c/^ r2 A f,],
A==l, 2,.. w und hieraus ergibt sich
Diese Schlussweise fortsetzend erkennt man, dass
n
^cJi^lgf^^lk^O fQri=l,2,..n
und alle n Werthsysteme der Indices gr, h. Je.
Da die Determinante der Grössen [g h fi]k nicht ver- schwindet, so folgt hieraus cjl^ = 0 für X, // = 1, 2, . . «, w. z. b. w.
Aus dem eben Bewiesenen folgt der
1. Hülfssatz: Ist das System der w* Grössen Cj^ regulär von der ersten Art, so können die Gleichungen
n
S (^^v ^y'f^ " ^^'v V) =" '^ ^A^u A, A* = 1, 2, • . n
nur dann bestehen, wenn entweder o) oder alle w* Grossen c/^ gleich Null sind.
Denn in diesem Fall verschwindet die charakteristische Determinante J (r) nur für r = 0.
Man kann das Gleichungssystem (a) in bekannter Weise durch die symbolische Gleichung
i. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 307
CG' — C'C = (oC'
repräsentiren. Aus diaser symbolischen Gleichung ergibt sich:
GC^ — a^c ={ccf - (T G) a ^- c {cc - a c)=2to c'^
C(y^—Ci^G = {GG'^ — a^G)Cf'\'C^{GG'—aG) = ^ioC'^ und allgemein CC* — C'*C = A w C'*
Wählt man die Zahl h so gross, dass hw nicht gleich der Differenz zweier Wurzeln der Gleichung ^ (r) = 0 ist, was offenbar immer möglich ist, wenn co von Null verschieden ist — so müssen alle n* Elemente des durch das Symbol C'* reprasentirten Systems verschwinden. Das ist aber nur möglich, wenn die zu dem System ciu gehörige charakteristi- sche Determinante J' (r) für keinen von Null verschiedenen Werth von r verschwindet, d. h. wenn das System der n* Grossen cl^ regulär von der ersten Art ist.
Es gilt somit der
2. Hülfssatz: Bestehen die n^ Gleichungen
n
Zj (^^v <^vi, — ^iv V) = ^ ^^'^ ^, A* = 1 , 2, . . n
und ist die Constante cü von Null verschieden, so ist das System der n* Grössen c{^ regulär von der ersten Art.
Die beiden ersten Hülfssätze haben sich auf reguläre Systeme erster Art bezogen, die beiden folgenden beziehen sich auf i'eguläre Systeme zweiter Art.
3. Hülfssatz:
Wenn die charakteristische Determinante ^(♦') = l%-(i)r| A,^ = l,2,..«
nur Elementartheiler erster Ordnung besitzt, so können die Gleichungen
20*
308 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 7. Juli 1894.
n S (^Av <f, — <^Xv<^vfi)=^(^Xß
""^ A, ^ = 1, 2, . . «
S (^Av ^vj* — ^Xy ^vp) = ^ ^Xf* + <^Xfi
V=:l *
nur dann bestehen, wenn alle w* Grössen c^^ gleich Null sind.
Bezeichnen wir die Wurzeln der Gleichung ^(r) = 0,
unter denen beliebig viele einander gleiche vorkommen können,
mit fj fg . . r„. Aus unserer Voraussetzung folgt: es gibt
zwei Systeme von je n* Grössen d^ und d^^^ (a, il = 1, 2..ii) mit nicht verschwindender Determinante, die den folgenden Gleichungen genügen:
2j cxfA y = ^a ^X
^"' Ä,cj = l,2,..n
^CfiX^y=^a^X
Mit Hülfe dieser Gleichungen leitet man aus dem ?or^ gelegten Gleichungssystem das Folgende ab:
Xzslf4=l
{r,-r„-io)±tc;^4^^;^=^I^±ci^^f^d;,
P) Die erste Gleichung zeigt, dass der Ausdruck
X ft
verschwindet, wenn r^ — r^ — w von Null verschieden ist. Die zweite Gleichung zeigt, dass dieser Ausdruck auch dann
L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 309
verschwindet, wenn r^ — r^ — w = 0 ist. Der genannte Aus- druck Terschwindet also in allen Fällen und daraus folgt cl^ = 0 für A, ju = 1, 2, . . n, w. z. b. w.
4. Hülfssatz: Es seien m Systeme von je «* Grössen vorgelegt:
Wir setzen voraus, die zu einem jeden Systeme gehörige charakteristische Determinante di{r) habe nur Elementar- theiler erster Ordnung, und wir setzen weiter voraus, zwischen den Elementen von je zwei Grössensystemen bestehen die Gleichungen
r=l
A,iu = l,2, .. n i, Ä = 1, 2, . . m
Dann kann man ein System von «* Grössen d^ mit nicht verschwindender Determinante derart bestimmen, dass
2^c^f.ä^ -radx < = l,2,..m
Die « Grössen r^ y^O . , ^(0 gind die Wurzeln der Gleichung
0
^/,(r) = 0, also ganze Zahlen, wenn das System der cf re
gulär von der zweiten Art ist.
Dass der eben ausgesprochene Satz gilt, wenn nur ein Grössensystem cf^ vorgelegt ist, ist bekannt, um seine all- gemeine Gültigkeit darzuthun, wollen wir annehmen, er gelte, solange die Anzahl der vorgelegten Grössensysteme kleiner als m ist, und beweisen, dass er dann auch noch fQr m Grössen- systeme gilt. Wir nehmen also an, es gebe ein Grössen- system Vx mit nicht verschwindender Determinante, das den Gleichungen
310 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 7, Juli 1894.
(T) tc'^J^=r''^t^t A=l,2,..n;i = l,2,..m-1
genügt. Weil nach Voraussetzung die Determinante der t^ nicht verschwindet, so kann man die Gleichungen ansetzen
Nach dem bekannten Theorem des H. Weinstrass stimmeD die charakteristischen Determinanten.
^/i = l,2, .. n
in ihren Elementartheilern überein.
Nun folgt aus den Gleichungen, von denen wir ausge- gangen sind bei Benützung der Gleichungen {T) und (a)
a, A = 1, 2, . . w; i = 1, 2, . . m — 1
und hieraus ergibt sich a^^ = 0, wenn nicht rj;^=r^^ für i=l,2,..w-l
Ist nun für keinen Index v>\ gleichzeitig r^^ = n' für t = 1, 2, . . w — 1, so ist
2j % ^A* = "n ^A A — I, 2, . . «
und wir genügen den zu beweisenden Gleichungen, wenn wir dl^ = t^l^ und r^r^ = an setzen.
Nehmen wir nunmehr an, es sei
dagegen sei für keinen Index v> h gleichzeitig
L, Maurer: Zur Theorie der continuirlidien etc. Gruppen, 311
rj;^ = ri'^ i= 1,2,.. w — 1
Von den Elementen der Determinante
^'iW=l«A^-(J)»-| A,^=l,2,..«
verschwinden alle, die den ersten h Zeiten, aber nicht gleich- zeitig den ersten h Spalten angehören. Beachtet man , dass die Determinante Jm {r) ebenso wie die Determinante Jm (r) nur Elementartheile erster Ordnung besitzt, so überzeugt man sich leicht, dass auch die charakteristische Determinante des Systems Ä*®° Grades a^^ — (^^ r A, /i = 1, 2, . . A nur
Elementartheiler erster Ordnung hat, und daraus folgt: man kann ein System von A* Grössen ß^ mit nicht verschwinden- der Determinante derart bestimmen, dass
h
t'ß^^c.^r'^'ßay Q,v=\,2,..h
Setzt man dann
h
i^ßort? = d['^ A=l,2,..n; ^=1,2,. .Ä
so ergibt sich aus den Gleichungen (a)
tc'Sdf = r'^d^^ A=l,2,..ta; p=l,2,..A
Damit sind die ersten Ä der zu beweisenden Gleichungen als richtig erwiesen. Der Beweis der übrigen ergibt sich auf analoge Weise.
m.
Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns zunächst zu den Gruppen der zweiten Classe (s. Einleitung, Schluss).
Wir nehmen also an, eine jede inf. Transformation, die der vorgelegten w-gliedrigen Gruppe A angehört, sei regulär
312 SUsung der nuUh.-phys, Glosse vom 7, Juli 1894.
von der zweiten Art. Zwischen den Coefficienten von m linear unabhäDgigen inf. Transformationen der Gruppe Ä
^f
bestehen Gleichungen der Form
(X, ju = 1, 2, . . n; i, Ä= 1, 2, . . m) Ich behaupte, die Gonstanten ef müssen alle gleich Null sein. Wäre nämlich z. B. eine der m* Grossen e von Null Terschieden, so müsste die Determinante E(r) = \ej — (5)r. i,y=l,2, ..m entweder wenigstens für einen Yon Null verschiedenen Werth von r verschwinden, oder sie müsste, wenn sie durch r^ theilbar ist, wenigstens einen Elementar- theiler von höherer als der ersten Ordnung haben.
Tritt der letztere Fall ein, so kann man zwei Werth- Systeme, deren Elemente nicht alle verschwinden, eiCi-.e, und ei ei . . em so bestimmen, dass
Sef e* = 0 und f;6J*eA = c,- 0=li2,..m)
A=l A=l
Setzt man nun
|
l^^e.cf =kx und iJe;cJl = J^ (i,/i = l,2,. fei «=i |
.«) |
|
so bestehen die Gleichungen |
|
|
X,fi = 1,2,.. n |
Aber diese Gleichungen können nach Hülfssatz (3) nur dann statt haben, wenn alle n* Grössen ki^ verschwinden.
L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 313
Dies ist aber unmöglich, weil einerseits nicht alle m Grössen ti Null sind, und andererseits die m inf. Transformationen Giif) linear unabhängig sind.
Nehmen wir nunmehr an, die Determinante E{r) yer- schwinde für einen von Null Yerschiedenen Werth w von r. Unter dieser Voraussetzung kann man m Grössen e^e^. , e«, die nicht alle gleich Null sind, so bestimmen, dass
** \h Sj «y e* = w ej ftir y = 1, 2, . . m
A=rl
Setzen wir wieder zur Abkürzung
Diese Grössen Äjj genügen der Gleichung
^ (4lKf^ — hv<^v!i) = ^hf. ^,/i= 1, 2, .. n
Aber diese Gleichungen können nach Hülfssatz (2) nur dann bestehen, wenn entweder alle w* Grössen kj^^ verschwinden oder wenn diese Grössen ein reguläres System erster Art bilden. Beides ist durch unsere Voraussetzungen ausge- schlossen.
Damit ist bewiesen: die Coefficienten der vorgelegten tn inf. Transformationen genügen den Gleichungen
für A, iu = 1, 2, . . «; i, Ä = 1, 2, . . w
Es sind somit die Voraussetzungen erfüllt, auf denen der Hülfesatz (4) beruht, und man kann daher n* Grössen
dj^ mit nicht verschwindender Determinante so bestimmen, dass a, A = 1, 2, . . w; i = 1, 2, . . m
314 Sitzung der math^-phys. Glosse vom 7, Juli 1894,
Führt man an Stelle der inf. Transformationen d {f) m andere linear unabhängige inf. Transformationen
Ki{f)=j:q^ Ch(J') t = l,2,..fii
ein, so treten in den Gleichungen (T) an Stelle der Grössen rj' die Grössen
Qa = 2j qih ^a
A=l
während die Grössen aj^ unverändert bleiben.
Ich behaupte nun: man kann die verfügbaren Grossen Qih so wählen, dass
1. auch die Grössen q^ — ebenso wie die Grössen rj — ganze Zahlen sind, und dass
2. die aus m Spalten des Systems
^1 ^2 . . Qn
(2) (2) (2)
^1 Q2 ' ' Qn
Jm) Am) (m)
^1 ^2 . • Qh
gebildeten Determinanten m*®° Grades keinen gemeinschaft- liehen Divisor haben.
Zum Beweise ist zunächst zu bemerken: weil nach Voraussetzung die m inf. Transformationen G, (f) linear un- abhängig sind, so können nicht alle Determinanten m^^° Grades die aus m Spalten des Systems
Ji) „(1) Ji)
(2) (2) (2)
J.»n) im) (m)
gebildet sind, verschwinden. Wir können ferner voraussetzen, dass nicht alle n zu einer inf. Transformation C,(/) gehörigen Grössen
i. Maurer: Zur Theorie der continuMichen ete. Gruppen, 315
einen gemeinschaftlichen Divisor haben. Wären nämlich diese n Zahlen durch die Zahl a theilbar, so hätte man nur
die inf. Transformation dif) durch - Ci{f) zu ersetzen.
OL
Uifl nun unsere Behauptung zu beweisen, gehen wir Ton der Annahme aus^ dass nicht alle ünterdeterminanten Ä— 1**° Grades, deren Elemente den Ä— 1 ersten Zeilen des Systems (22) angehören, einen von 1 verschiedenen gemeinschaftlichen Divisor besitzen. Diese Voraussetzung ist, wenn nicht för grossere A, so doch sicher för A = 2 erfüllt. Es sei sodann a der grösste gemeinschaftliche Divisor aller der Unter- determinanten Ä*®" Grades, deren Elemente den h ersten Zeilen von (jB) angehören. Unter den Unterdeterminanten h — 1*®° Grades, deren Elemente den A— 1 ersten Zeilen von (JR) an- gehören, ist mindestens eine nicht durch a theilbar. Es sei dies die aus den Elementen der h — 1 ersten Spalten gebildete Determinante Da-i- Unter den Unterdeterminanten A*®° Grades, deren Elemente den h ersten Zeilen von (22) angehören und die alle Elemente von Dh-\ enthalten, hat mindestens eine einen von Null verschiedenen Werth. Es sei dies die aus den Elementen der Ä ersten Spalten gebildete Determinante Da. Es sei ferner h der grösste gemeinschaftliche Divisor von 2)a_i und a, so dass jedenfalls 6<a ist. Endlich sei t eine Wurzel der Congruenz t Rh^i ^i b mod a.
Wir lassen nun an Stelle der inf. Transformation Ch (f) die Transformation
treten. Dementsprechend tritt an Stelle des Zahlensystems (ß) ein Zahlensystem (2J'), das sich von (R) nur in den
316 Sitsung der math.'jphys. Classt fxm 7. Juli 1894.
Elementen der **•" Zeile unterscheidet, indem die Zahlen rj,*^ durch die Zahlen
Ä J2) .(2) ^O
(a = 1, 2, . . n)
ersetzt sind. Die Grossen q^ sind ganze Zahlen, denn der Zähler von q^ ist nach dem Modul a dem ^-fachen einer der ünterdeterminanten Ä**" Grades congruent, die aus den Ele- menten der h ersten Zeilen des Systems (22) gebildet sind, er ist also durch a theilbar.
Man überzeugt sich nun leicht, dass b der grösste ge- meinschaftliche Divisor der ünterdeterminanten ä*~ Grades ist, die aus den Elementen der h ersten Zeilen des Systems (iZ') gebildet sind. An Stelle des gemeinschaftlichen Divisors a ist somit ein kleinerer gemeinschaftlicher Divisor b getreten.
Es ist nun klar, dass bei wiederholter Anwendung des eben durchgeführten Verfahrens an Stelle des Systems (ü) ein System (R^) von der Beschaffenheit tritt, dass die Unter- determinanten A^° Grades, die aus den Elementen der h ersten Zeilen gebildet sind, keinen gemeinschaftlichen Divisor mehr besitzen. Aus diesem System (22^) leitet man dann in ana- loger Weise ein System (22,) von der Beschaffenheit ab, dass auch die Unterdeterminanten h + 1*®" Grades keinen gemein- schaftlichen Divisor mehr besitzen u. s. w.
Wir wollen nunmehr voraussetzen, die inf. Trans- formation C^if) C^if) * ' Cm (f) seien von Anfang an so ge- wählt, dass die aus m Spalten des Systems (22) gebildeten Determinanten m^^ Grades keinen gemeinschaftlichen Divisor besitzen.
Unter dieser Voraussetzung bezeichne ich die genannten
X. Maurer: Zur Theorie der eontinuirlichen etc, Gruppen, 317
inf. TransformatioDen als ein kanonisches System inf. Trans- formationen.
Die Coefficienten a^^ der allgemeinen Substitution unserer m-gliedrigen Gruppe A sind — wie in der Einleitung be- merkt worden ist — durch DiflFerentialgleichungen der Form
-^-^.h^'^'^^^^ i = l,2,...i
und die Anfangsbedingungen a^^ = Q^ für
tij = l «,= !.. M«=l
bestimmt. Ich setze nun ij = 0, wenn i und j ungleich
sind und P?^ = — . Dass diese Festsetzung nicht gegen die
Ui
Integrabilitatsbedingung verstösst, wird sich im Folgenden TOD selbst ergeben.
Die vorstehenden Differentialgleichungen kann man wegen der Gleichungen {T) durch die folgenden ersetzen:
V=l A«=l
(a, A = 1, 2, . . «; t = 1, 2, . . i»)
und aus diesen ergibt sich bei Berücksichtigung der Anfangs- bedingungen
Durch diese n^ Gleichungen sind die Substitutions- coefficienten als rationale Funktionen der Parameter bestimmt. Um zu beweisen, dass auch umgekehrt die Parameter rationale Funktionen der Substitutionscoefficienten sind, nehmen wir an, den beiden Werthsystemen der Parameter
iij «, . . Ufn und Vj v, , . Vm
318 Süeung der mathrphys, Glosse vom 7. Jtdi 1894,
entspreche dasselbe Werthsystem der Grössen a^^, und wir beweisen, dass dann nothwendig
Vj = W, Vg = Wg . . Vm = Um
Aus unserer Voraussetzung ergibt sich
und hieraus folgt, dass eine jede Yon den n Summen
ö^5rl,*Mog^
eine ganze Zahl ist.
Wir setzen nun, unter N^ eine ganze Zahl yerstehend. die n Gleichungen
^^'""^1'''' (»=1.2,..«)
an und bilden Yon denselben alle die Gombinationen zu m, die m von einander unabhängige Gleichungen umfassen. Die Auflösung eines dieser Gleichungssysteme ergibt die m Grössen
^ — : log — als Quotienten, deren Zähler von den Zahlen N„
abhängige, nicht näher bestimmte ganze Zahlen sind, und deren gemeinschaftlicher Nenner — die Auflösungsdeter- minante — eine von den Determinanten m^^ Grades ist, die aus m Spalten des Systems (22) gebildet sind, und es ist klar, dass jede derartige Determinante, die nicht verschwindet, als Auflösungsdeterminante zu einem unserer Systeme von w Gleichungen gehört. Der kleinste gemeinschaftliche Nenner
der m Brüche - — : log — muss daher gemeinschaftlicher Divisor
aller der genannten Determinanten sein: er ist also = 1-
L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen, 319
Demnach sind die Logarithmen der Quotienten — Multipla
von 2 Tri und es ist folglich Vj = i/j Vg = m^ . . Vm = Utn w. z. b. w.
IV.
Die beiden Theile unseres Beweises, die sich auf Gruppen der ersten und der dritten Classe (s. Einleitung) beziehen, beruhen auf einem gemeinschaftlichen Grundgedanken. Ich beginne mit der Darlegung dieses Beweisprincips.
Es seien tn reguläre, linear unabhängige, inf. Trans- formationen
C,{f) C,(f).. C„(f)
vorgelegt, die eine w-gliedrige Gruppe erzeugen. Wir be- stimmen die zu einer jeden inf. Transformation C,- (f) gehörige eingliedrige Gruppe Bi{Ui) (s. Einleitung) und setzen dann diese m eingliedrigen Gruppen zu der m-gliedrigen Gruppe
A (Mj Wg . , M«) = B^ {U^ J?j (Wj) . . Bm (Wm)
zusammen.
Bezüglich der inf. Transformationen Ci{f) machen wir nun die Voraussetzungen:
1. es sollen die q ersten von denselben für sich eine Gruppe bestimmen und ebenso sollen die m — q letzten für sich eine Gruppe bestimmen.
Alsdann werden die q ersten unter den eingliedrigen Gruppen Bi{u^ sich zu einer g-gliedrigen Gruppe A' (tij «2 . . Wg) = J?i (Wj) B^ (wg) . . B^ {ug)
zusammensetzen und ebenso werden sich die m—q letzten zu einer m — g-gliedrigen Gruppe
il" (flg+i U^2 . . «m) = B^i {Ug+i) Bg^2 K+2) • • B^ (w,n)
zusammensetzen.
Wir nehmen nun an, es sei bereits bewiesen:
320 Sitzung der maJthrphys. Glosse vom 7. Jvii 1894.
2. Die Parameter u, t^ . . Ug, von denen die Coefficienten aj[^ der allgemeinen Substitution der Gruppe Ä' abhängen, lassen sich als rationale Funktionen der Coefficienten a^^ dar- stellen und ebenso sind die Parameter t4^i Uq^2 • • t<«i von denen die Coefficienten a^ der allgemeinen Substitution der Gruppe J." abhängen, rationale Funktionen der Coefficientena^'
Bezüglich der Gruppe ä'* machen wir noch die weitere Voraussetzung:
3. Unter den Potenzen einer beliebigen Substitution 8 der Gruppe A'* soll die identische Substitution nur dann vorkommen , wenn 8 selbst die identische Substitution ist, wenn also die der Substitution entsprechenden Parameter die Werthe haben, die in der Einleitung als Anfangswerthe der Parameter bezeichnet worden sind.
Aus dieser Voraussetzung ergibt sich in bekannter Weise, dass alle Potenzen einer Substitution 8 der Gruppe A" unter einander verschieden sind.
Geht also die Substitution 8^ aus der allgemeinen Substitution der Gruppe dadurch hervor, dass man den ver- fügbaren Parametern t*^^.! Uq^2 . . w« die Werthe Wq^i ifffl^ . . Wm ertheilt, so sind diese Werthsysteme w^q^-i w^^2 • -i die den verschiedenen Potenzen von 8 entsprechen, alle unter einander verschieden.
Ich behaupte nun, die eingeführten Voraussetzungen reichen für den Beweis hin, dass sich die Parameter Ti^u^.. Um rational durch die Coefficienten a^^ der allgemeinen Sub- stitution der Gruppe A darstellen lassen.
Zum Beweis ist zunächst zu bemerken:
Weil die Substitutionscoefficienten a^^ rationale Funk- tionen der Parameter u^u^. . Um sind, so hängen umgekehrt die Parameter algebraisch von den Substitutionscoefficienten ab und weil die Gruppe Ä m-gliedrig ist, also über m der Substitutionscoefficienten durch geeignete Wahl der Parameter
i. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Chuppen, 321
verfögt werden kann, so kann einem Werthsystem der Sabstitutionscoefficienten nur eine endliche Anzahl von Werth- sjstemen der Parameter entsprechen. Um die eben aufge- stellte Behauptung zu beweisen, genügt es also zu zeigen:
Wenn einem Werthsysteme der Substitutionscoefficienten zwei verschiedene Werthsysteme der Parameter entsprechen, so entsprechen ihm unendlich viele Werthsysteme der Parameter.
Nehmen wir, um diesen Nachweis zu führen, an, den beiden Parametersystemen
u^u^..Ufn und Vj Vj, . . Vm entspreche dieselbe Substitution der Gruppe A, Es sei also
(G) A (Mj U^..Um) = A (Vj Vg . . Vfn)
ohne dass gleichzeitig die m Gleichungen Vj = «^ ^2 = ^'2 • • bestehen. Da allgemein A = A'ä' so kann man die symbolische Gleichung {G) durch die folgende ersetzen:
.g/. Ä' (m^ 14, . . Mg) 4" (W^i M^2 . . Wm)
= A' (V^ Vg . . Vq) A" {Vq^i V^o . . v^)
und hieraus folgt:
,^ [A' (t?i Vg . . Vq)]'^ ^' (Wj Mg . . Mg) A^^ (Ug+i Mg+2 . . Um) [A" {Vg+i Vg+2 . . Vfn)'] ^ = 1
wo in übhcher Weise die identische Substitution mit 1 be- zeichnet ist.
Wegen des Gruppencharakters der Substitutionen A' und A" kann man Funktionen w^w^., Wq von u^u^,, Ug und Vj t;, . . Vq und Funktionen Wq^i Wq^2 - - Wm von m^+i M,_j-2 . . Um und t?g+i Vq^2 • • Vm derart bestimmen, dass (J) [A' (Vj t;, . . v^Y^ ^ (^1 «*a • • Wg) = ^' (m;, m?j, . . Wg) und j1" (Wg-i-i Mg+2 . . M«) [^" (Vg+i t;g+2 . . v^.)]"^
Nach unserer zweiten Voraussetzung hängen diese Funktionen V) rational von ihren Argumenten ab.
I8M. ÜAUu-phyB. Gl. 8. 21
322 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 7. Jtdi 1894.
Setzen wir sodann für beliebige positive und negative Exponenten h
so sind auch die Grössen to^i^ w^^ . . w^q^ rationale Funktionen von u^ti^. . Uq und v^v^., Vq und die Grössen t^J+i U7J5.2 . . «f« rationale Funktionen von Uq^\ tig^2 • • f<m und Vq^\ Vq^'i . . r.,. Die Substitution
ist von der identischen Substitution verschieden. Denn andernfalls wäre
Ä' («j+i u^2 . . Wm) = Ä' (vj+i v^a . . r«) und nach unserer zweiten Voraussetzung folgt hieraus v^i =ti^!
Vqj^2 = Uq+2 " ^m — Um-
Wegen (G') wäre nun auch
Ä (u, W2 . . Wg) = -4' (v, v, . . v^) also auf Grund der zweiten Voraussetzung auch
im Widerspruch mit der Annahme, von der wir ausge- gangen sind.
Aus unserer dritten Voraussetzung ergibt sich nunmelir, dass die Werthsysteme
alle untereinander verschieden sind.
Nun folgt aus {H) bei Berücksichtigung von {J) und (K)
[-4' (U;i W^ . , Wqf [Ä' {Wq+i Wq^2 • • iVm)f
für beliebige positive und negative Exponenten h.
L, Maurer: Zur Theorie der amtmuirlichen etc, Gruppen. 323
Es entsprechen also der identischen Sabstitution un- endlich viele yerschiedene Werthsysteme der Parameter und hieraus schliesst man leicht, dass einem jeden System der Sabstitutionscoefficienten a^^ unendlich viele Werthsysteme der Parameter entsprechen.
Damit ist bewiesen, dass die Annahme, die Parameter seien nicht rationale Punktionen der Substitutionscoefficienten zu einem Widerspruch führt.
Durch ganz analoge Betrachtungen beweist man:
unter den Potenzen der Substitution
kann nur dann die identische Substitution auftreten, wenn sich die Substitution
Ä' (Wg4.i w^+2 . . u^) auf die identische Substitution reducirt.
Der Theil des Beweises, der sich auf Gruppen der ersten Classe bezieht, bietet nun keine Schwierigkeit mehr.
Ich nehme zunächst an, es sei nur eine reguläre inf. Transformation erster Art C{f) vorgelegt. Die zu dieser inf. Transformation gehörige eingliedrige Gruppe B{u) ist in meiner früheren Abhandlung (S. 122) in expliciter Form dargestellt werden. Aus den daselbst gegebenen Formeln ergibt sich
1. Der Parameter u lässt sich rational durch die Coeffi- cienten h^^ der allgemeinen Substitution der Gruppe B dar- stellen.
Ferner: Setzt man zwei Substitutionen der Gruppe B {u) und B{v) zusammen, so ergibt sich
B (w) B (t;) = B (w + v)
21*
324 Sitzung der fnath.-phys. Glosse wm 7. Juli 1894.
Es ist somit
[B(u)]' = B{hu)
Die identische Substitution entspricht dem Parameter- werth u = 0. Daraus folgt
2. In der Reihe der Potenzen der Substitution B{u) kann die identische Substitution nur dann auftreten, wenn t« = 0, also schon die Substitution B (u) selbst die identische Substitution ist.
Es sei nun eine m-gliedrige Gruppe der ersten Classe vorgelegt.
CAf) C,{f).. CLCn
seien untereinander linear unabhängig, im Uebrigen aber beliebige inf. Transformationen derselben. Sie sind alle regulär von der ersten Art, weil die Gruppe nach ihrer Definition keine anderen inf. Transformationen enthält.
Zwischen diesen m inf. Transformationen bestehen Re- lationen der Form
CiCk(f)-Cka{f) = tBfCj(f) i, Ä = 1 , 2 , . . m
Ich behaupte, die charakteristische Determinante
I«* — (/)^l fc,i=l,2,..in
kann für keinen von Null verschiedenen Werth von r ver- schwinden.
Nehmen wir nämlich an, diese Determinante verschwinde für den von Null verschiedenen Werth r = (o^ dann kann man eine lineare Combination K(f) der inf. Transformationen ^1 (f) C^2 (/) • • C^m if) derart bestimmen, dass
aK{t')-Kc,{f) = cüa(f)
Aber dies ist nach dem ersten Hülfssatz des Art. II un- möglich, weil Ci (/) regulär von der ersten Art ist.
Daraus folgt, dass die Gruppen erster Classe zu den-
i. Maurer: Zur Theorie der conHnuirlichen ete, Gruppen, 325
jenigen Gruppen gehören, die H. Killing als Gruppen vom Rang Null bezeichnet hat.
Für diese Gruppen gilt der Satz:*)
Man kann die inf. Transformationen Ci{f) so wählen, dass sie den Relationen
{J) GiC,(f)-CHQ{f) = j!efCi(f)
(i = 1, 2, . . i — 1; t = 2, 3, . . f») genügen.
Das charakteristische an den Relationen (J) ist: sie haben zur Folge, dass die i inf. Transformationen
für sich eine i-gliedrige Gruppe bestimmen, und zwar gilt dies für i = 1, 2, . . n».
Ein System von m unter einander linear unabhängigen Transformationen, das den Relationen (J) genügt, bezeichne ich als kanonisches System.
Um nun die w-gliedrige Gruppe A zu bestimmen, die von den m inf. Transformationen C,- (f) erzeugt ist, bestimmen wir zunächst die zu einer jeden inf. Transformation 0, (f) gehörige eingliedrige Gruppe Bi (Ui) und setzen dann diese m eingliedrigen Gruppen zu der m-gliedrigen Gruppe
A (tti Kg . . Um) = B^ (Ui) jB, (wj) . . JB« {u^) zusammen. Da die inf. Transformationen C,(f) C,(f).. C„-iif)
für sich eine Gruppe bestimmen, so setzen sich die m — 1 ein- gliedrigen Gruppen
B,K)5,(ei,)...B«-i(i*«_0
1) Dissertation von Umlauf: üeber die Zusammensetzung der Gruppen vom Rang Null. Leipzig 1891. Vergl. auch Engel, Leipziger Berichte 1887 S. 95.
326 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Jtdi 1894.
zu einer m — l-gliedrigen Gruppe
Ä (Uj t«j . . Um^i) = B^ (uj 5, (u,) . . -B.n-1 (m«-i)
zusammen und A {u^ u^ . . Un^ entsteht durch Zusammen- setzung von Ä (Wji Ug . . u«_i) und B« (um).
Um zu beweisen, dass sich die Parameter rational durch die Goefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe darstellen lassen, nehmen wir an, die Behauptung gelte für Gruppen, deren Gliederzahl kleiner als m ist, und beweisai, dass sie dann auch für m-gliedrige gilt. Da sie für ein- gliedrige Gruppen gilt, gilt sie dann allgemein.
Für die Gruppe Ä gelten auf Grund unserer Annahme die Voraussetzungen, die im vorigen Artikel bezuglich der dort mit Ä bezeichneten Gruppe gemacht worden sind; für die eingliedrige Gruppe gelten die im vorigen Artikel be- züglich der Gruppe Ä' gemachten Voraussetzungen. Somit ergibt sich der Beweis unserer Behauptung aus den Be- trachtungen des vorigen Artikels.
Die Gruppen erster Classe haben die bemerkenswerihe Eigenschaft, dass unter den Potenzen einer Substitution A (U| Wg . . Um), die der Gruppe angehört, nur dann die identische Substitution auftreten kann, wenn sich die Sub- stitution A (Uj u^ . . Uf^ selbst auf die identische Substitution reducirt. Der Beweis ergiebt sich aus der Schlussbemerkung des vorigen Art. Damach muss nämlich, damit unter den Potenzen der Substitution
A (Wj Wg . . Wm) = A (U, Mg . . tt„»_i) B^ (M,.)
die identische Substitution vorkommt, jB« (um) die identische Substitution sein, woraus u,» = 0 folgt. Man schliesst dann in derselben Weise weiter, dass sich jede der Substitutionen Bm-i (t^-i) JBm-2 (w«-2) • • B^ (ttj auf die identische Sub- stitution reducirt, dass also Uj == Ug = ti^ . . = u« := 0 iät Aus der Definition der Gruppen erster Classe hat sich ergeben: man kann m untereinander linear unabhängige
X. Maurer: Zur Theorie der ctmtmuM'lichen etc, Gruppen, 327
inf. Transformationen der Gruppe so wählen, dass 1) jede derselben regulär Yon der ersten Art ist, und dass 2) die Zusammensetzung der Gruppe durch Gleichungen der Form (J) bestimmt ist.
Es ist nicht schwer zu beweisen, dass umgekehrt diese beiden Eigenschaften eine Gruppe erster Classe — d. h. eine Gruppe, die nur reguläre inf. Transformationen erster Art enthält — charakterisiren. Ich unterlasse diesen Nachweis, weil er für das Folgende nicht nothwendig ist, und beschränke mich auf die Bemerkung, dass die beiden eben angeführten Eigenschaften für den Beweis hinreichen, dass sich die Parameter rational durch die Coefiicienten der allgemeinen Substitution der Gruppe darstellen lassen, und dass keine Potenz einer von der identischen verschiedenen Substitution der Gruppe, die identische Substitution ergeben kann. Es ergibt sich dies unmittelbar aus dem Gang des gegebenen Beweises.
Im Folgenden wenden wir die Bezeichnung , Gruppe erster Classe'' auf alle die Gruppen an, die die beiden eben ge- nannten charakteristischen Eigenschaften besitzen.
VI.
Wir gehen nunmehr zu den Gruppen der dritten Classe über, die reguläre inf. Transformationen sowohl von der ersten als von der zweiten Art enthalten.
Es sei Cj (f) eine beliebige in der Gruppe enthaltene reguläre inf. Transformation zweiter Art.
Unter den in der Gruppe enthaltenen inf. Trans- formationen K(f)^ die mit C^ (f) vertauschbar sind, d. h. der Relation C^K(f) — EG^if) =^ 0 genügen , wählen wir, — wenn es solche gibt — eine reguläre Transformation zweiter Art aus und bezeichnen sie mit C^ (/*). Gibt es weitere reguläre Transformationen zweiter Art, die mit C^ (f) und
328 Skzung der mocthrphys. Clause vom 7. JuLi 1894.
Cg (/) vertauschbar und von diesen linear unabhängig sind, so bezeichnen wir eine derselben mit C^ if) u. s. w.
Nehmen wir an, es finden sich genau m^ reguläre Tran-^- formationen zweiter Art
C,{f) C,(f).. C^if)
die untereinander linear unabhängig und paarweise yer- tauschbar sind. Diese bestimmen eine mQ-gliedrige Gruppe Ä^^ die der zweiten Classe angehört.^) Daran wird selbst- redend nichts geändert, wenn wir an Stelle der inf. Trans- formationen
lineare Combinationen derselben treten lassen. Wir können desshalb voraussetzen, diese m^ inf. Transformationen seien so gewählt, dass sie ein kanonisches System für die Gruppe A^ bilden (Art. III).
Mit Grn^lif) Cn^2(f)^. G„, (f)
bezeichnen wir irgend welche untereinander und von C^{f) G^if) ' • GfHQ {f) linear unabhängige inf. Transformationen der vorgelegten #n-gliedrigen Gruppe A.
Die m inf. Transformationen (7,(/) genügen Relationen der Form
iJ) C, Gu {f)—Cu C,(f)=f:e^ Cj(f) i,Ä;= 1, 2,.. iw
Aus der Art, wie die m^ ersten inf. Transformationen gewählt worden sind, folgt, dass
«f = 0 für t, fe = 1, 2, . . Wo und > = 1, 2, . . w
Zwischen drei inf. Transformationen besteht die Jacobi'sche Identität»)
1) Diese Zahl ttiq stimmt mit der Zahl überein, die H. Killing als Rang der Gruppe bezeichnet. Math. Annalen Bd. 33. 5) Lie, Transformationsgmppen I S. d4.
L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Chruppen. 329 C, (C, Cu - Ch C,) - (Q Cu - Cr, C,) C* + d (0* 0* - 0* C»)
Sind i und i Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . nio, so ist d Ct — CiCi = 0 und es folgt mit Rücksicht auf ( J)
S e^ (C, C,- - C C,) + L ef (C* Cj-Cj Ch) = 0 und hieraus weiter
^1 fc=l
Die m inf. Transformationen Ci (f) sind untereinander linear unabhängig, ferner ist e^ = — ef folglich ist
Reprasentiren wir das System der «i* Constanten ey (A, j' = 1, 2, . . m) durch das Symbol Ei^ so lassen sich die vorstehenden Gleichungen durch die symbolischen Gleichungen
E,Eh — EmE, = 0 t , * = 1 , 2 , . . Wo
reprasentiren. Die zu einem der m^ Systeme E^ gehörige charakteristische Determinante kann nur Elementartheiler erster Ordnung besitzen. Denn iändernfalls könnte man zwei nicht identisch verschwindende inf. Transformationen der Gruppe K (f) und K' (f) bo bestimmen, dass
aK(f)-KCi{f) = o,E:in
ar (f) - jt a(n = o^ K' if) + K(f)
Aber dies ist wegen des dritten Hülfssatzes des Art. II nicht möglich.
Demnach genügen die m^ Systeme J?^ den Voraussetzungen, auf denen der vierte Hölfssatz des Art. II beruht. Man kann also ein System von ru^ Gonstanten yi niit nicht ver* schwindender Determinante so bestimmen, dass
330 Sitzung der matK-phys. Glasse vom 7. Jtdi 1894.
Von den Gleichungen {J) benützen wir nun diejenigen, die einem der Indiceswerthe i = 1, 2, . . mg entsprechen, und setzen zur Abkürzung
tyfCj(n = K,(f) A = l,2,..»i
Es ergibt sich (ß) GiKH{f)-K,Ci{f) = i>ifK^{f) ^* = 3'f'-"'«
Weil 6/ = 0 für i, fe = 1, 2, . . w^; J = 1, 2, . . m, 80 kann man die Grössen yi so wählen, dass
Yf = (J) für i = 1, 2, . . fWo; fe = 1, 2, . . m
Es ist dann Ki{f) = dif) für * = 1, 2, . . m^ und lof = 0 für Ä, t = 1, 2, . . iiio.
In dem aus m^ Zeilen und m Spalten bestehenden System
^(«o) ^(«0) ^(««d)
haben also alle Elemente, die den ersten m^ Spalten ange- hören, den Werth Null.
Es kann der Fall eintreten, dass noch weitere Spalten dieses Systems kein von Null verschiedenes Element enthalten. Es seien dies etwa die auf die ersten nto Spalten folgenden f»o Spalten, dagegen möge in jeder weiteren Spalte wenigstens ein von Null verschiedenes Element vorkommen.
Jede inf. Transformation, deren Index h> mo -\' mi id, genügt somit einer Relation
CiK^{f)-KHC,{f)^io^^K,{f) (i<mo)
X. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 331
wo coi*' von Null verschieden ist. Daraus folgt: jede inf. Transformation Kh{f) (A > iwo + mi) ist regulär von der ersten Art (Art. U Hölfssatz 2) und es folgt überdies: die Grössen cc>i*^ sind ganze Zahlen. Denn a/^ muss gleich der Differenz von zweien der Werthe r sein, für welche die zu Ci (f) gehörige charakteristische Determinante Ji (r) ver- schwindet (Art II Anfang). Diese Determinante verschwindet aber nur ffir ganzzahlige Werthe von r, weil Ci(f) regulär ?on der zweiten Art ist.
Bezüglich m — mo von den inf. Transformationen
K,(f)K,{f)..Kn.{f)
steht nunmehr fest, dass sie regulär sind, nämlich von den Mo ersten und von dem m — wo — iwo letzten. Die ersteren sind von der zweiten, die letzteren von der ersten Art. Es bleiben nur noch die »lo inf. Transformationen übrig, die den Indices mo + 1, Wo -f- 2, . . »lo + ♦Wo entsprechen. Diese bedürfen einer besonderen Untersuchung, die im nächsten Art. durchgeführt wird.
Auf Grund der Formeln (fi) kann nun die vorgelegte Gruppe in bemerkenswerther Weise in Untergruppen zer- fallt werden. Zu diesem Zweck bilden wir zunächst — unter «1 S • • ^»H) g*^ze Zahlen verstehend — eine lineare Com- bination der inf. Transformationen zweiter Art
Aus den Gleichungen (ß) folgt LK,(f)-KHL(f) = QHK>,{f) Ä=l,2,..m
wo zur Abkürzung
gesetzt ist.
Die zur Verfügung stehenden Zahlen a denken wir so gewählt, dasa
332 Sitzung der math.-phys. Glosse wmi 7. Jvii 1894.
1) Qk nur dann = 0 ist, wenn gleichzeitig
also wenn Ä < wio + *Woi und dass
2) zwei verschiedene Zahlen Qh und ^i* nur dann einander gleich sind, wenn gleichzeitig
Die Indicesbezeichnung denken wir uns so gewählt, dass in der Reihe der Zahlen
die positiven den negativen und, unter Zahlen gleichen Vor- zeichens, die dem absoluten Werthe nach grösseren den kleineren vorangehen, m^ sei die Anzahl der positiTen, m. die Anzahl der negativen q.
Bilden wir nun die Jacobi'sche Relation für die inf. Transformationen Eh {f) Ky (f) L (/*). Sie lautet: L{K,Kj-KjKh)- {K^Kj-KjK^)L + K,{KyL^LKj\ -(KyL-LKj)KH + Kj{LK,^K^L)
Die 4 letzten Glieder ergeben
-{Qy + Q,){K,Ky-KyKH)
Sei nun Z* Z,- — Z; JT* = ä^K^ + ö^K^ , . +ä^K^ wo dj ^g . . dm Constante bedeuten, die in leicht zu über- sehender Weise von den Gonstanten ey , die in den Gleichungen (eT') vorkommen, abhängen.
Nun erhält die Jacobi^sche Relation die Form
oder auch
X. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Oruppen'ßSS
Weil die inf. Transformationen Ki untereinander linear unabhängig sind, so folgt hieraus
df = 0, wenn nicht Qi = Qy + Qh ist.
Nehmen wir zunächst an, j und h seien Zahlen aus der R«ihe l, 2, . . «lo + fw6. Dann ist Qy = 0 ?* = 0 also d< = 0 wenn nicht auch g,- = 0.
•In dem Ausdruck Kh Ky — Ky Kk kommen in diesem Fall nur die inf. Transformationen
K,(f)K,(f)..K,„^^{f)
TOT, Diese mo + «o inf. Transformationen bestimmen also für sich eine Gruppe T, die die w^-gliedrige Gruppe Aq als Untergruppe enthält.
Nehmen wir zweitens an, j und h seien Zahlen aus der Reihe fWo + »w6 + li two + m6 + 2, . . iwo + mj + iw-f , dann sind Qj und ^a positiv, also ist df = 0, wenn nicht auch Qi positiv ist. Da ferner die positiven q nach absteigender Grösse geordnet sind , so kann die Gleichung Qi = Qy + Qh nnr dann bestehen, also nur dann d,* von Null verschieden sein, wenn der Index i grösser als der grössere der beiden Indices j^ h ist. In dem Ausdruck Kh Ky — Ky Kh kommen ako nur solche inf. Transformationen Ki vor, die positiven Werthen Qi entsprechen und deren Index grösser als der grössere der beiden Indices ^', h ist. Demnach bestimmen die m^ inf. Transformationen, die zu positiven Werthen q gehören, für sich eine Gruppe erster Classe A^ (vergl. Art. V Schluss) und sie bilden ein kanonisches System inf. Trans- formationen derselben.
Ebenso bestimmen die m. inf. Transformationen, die zo negativen Werthen von q gehören, för sich eine Gruppe A- nnd bilden fiir dieselbe ein kanonisches System.
Nehmen wir endlich drittens für h eine Zahl aus der Reihe 1, 2, . . «lo + mo, für j eine Zahl aus der Reihe
334 Sitzung der math,'phy8, Glosse tom 7. Jtdi 1894.
»lo + Wo + l, mo + m6 + 2, .. mo + «i6 + »*+, ao ist e* = 0 Qy positiv und aus Qi = Qk -{- Qy folgt Qi =ä gy also aach Qi positiv.
Man schliesst hieraus: die inf. Transformationen, die za verschwindenden, und diejenigen, die zu positiven Werthen q gehören, bestimmen zusammengenommen eine Gruppe. Mit anderen Worten: die wto + mi-gliedrige Gruppe F und die iM-j--gliedrige Gruppe Ä^ setzen sich zu einer Gruppe H zu- sammen, deren Gliederzahl two -p f«6 + w+ = m — m- ist
VII.
Die Untergruppe F bedarf einer eingehenderen Unter- suchung.
Von den zu dieser Untergruppe gehörigen inf. Trans- formationen
ir,(/) = SL'*J5,3^a;^ i = l,2,..»«o + «i
Wissen wir:
1) Die ersten m^ derselben
K,(f) K,{f) . . K^if)
sind regulär von der zweiten Art und sie bestimmen för sich eine Untergruppe Aq,
2) Diese m^ inf. Transformationen sind mit allen inf. Transformationen der Untergruppe F vertauschbar, es ist also
K,Kr,{f)--KHK,{f) = ^ für i = 1, 2, . . fwo; Ä = 1, 2, . . fwo + m6.
In nicht symbolischer Form geschrieben heisst das:
i:(*r.«-*lt'Äli)=o
v=i
für A, iu = 1, 2, . . n und die eben angegebenen Werihe der Indices i^ h.
L. Maurer: Zur Theorie der cowtinuirlichen etc, Oruppen, 335
Da die mo + »»o inf« Transformatdonen eine Gruppe be- stimmen, so bestehen weitere Relationen der Form
v=i y=i
X, ^ = 1, 2, . . n; Ä, i = ftio + 1, Wo + 2, . . fWo + Wo.
Wir werden nun beweisen : die tno inf. Transformationen ^«0+1 (f) -^+« (f) ' • ^K«,o+«j(/^ können so gewählt werden, dass sie für sich eine nto-güedrige Gruppe Ao bestimmen, die der ersten Classe angehört. Ist dies erwiesen, so ist klar, dass die genannten inf. Transformationen so gewählt werden können, d&ss sie ein kanonisches System bilden. Zum Beweise bemerken wir zunächst: Die Coefficienten der m^ inf. Transformationen
genügen den Voraussetzungen des vierten Hülfssatzes des Art. II. Man kann also ein System von n* Grössen dj^ mit nicht verschwindender Determinante derart bestimmen, dass
S*£d<;> = r«dW X=i,2,..n;i==l,2,..mo
Wir fähren nun neue Variable durch die Substitution (8) xi = t4"^y„ A = l,2,..n
ein, wodurch die inf. Transformation Kk (/) in
_ n n _/jL\ 3 f
iT, 00 = 22*^3-^ y,
übergehen möge. Auf Grund des Weierstrass^schen Theorems stimmen die zu Ks (f) und K^ (/') gehörigen charakteristischen Determinanten in ihren Elementartheilern überein. Diese beiden inf. Transformationen sind also gleichzeitig regulär
336 Siteung der matK-phys, Glosse vom 7, Jtdi 1894,
oder irregulär. Es ist femer klar, dass zwischen den inf. Transformationen Kf^ (f) genau dieselben Relationen (2) and (3) besteben, wie zwischen den inf. Transformationen K^ (f). Nun ist für t = 1, 2, . . m^
V V J.^"^ ^f ^ - f f y^ Jfe« rf^^ ^f f/ - Tr^^'^ü
abo*£ = (J)rf und aus (2)
i/i.'^AvV '^AvV;-^ Ä = nio+l,fno + 2..mo+«i.
folgt: *g = 0 wenn nicht rf = rj*^ für t = 1, 2, . . «t^. |
Ist also etwa i
rl'^ = r^^.=ri? für i = 1, 2, . . iWo
aber für keinen Index v> k gleichzeitig
rt^ = rl*"^ für i = l,2,..mo
df so hängen die Coefficienten der DiflFerentialquotienten —
df df , -
X — . . r — in Kx (f) nur von yi y^ . . y^ «^h, und diese Variabein
^ Pi ^ ilx
kommen in den Coefficienten der übrigen Differenüalquotienten
nicht vor.
Die Variabein y^y^^ . y^ lassen sich also derart in eine Reihe von Systemen vertheilen, dass die Coefficienten der Differentialquotienten nach den Variabein eines Systems nur von den Variabein dieses Systems abhängen. Die Anzahl dieser Systeme sei q und die Anzahl der Variabein, die dem a*«° System angehören, sei w^. Dieselben mögen — unter Abänderung der bisher gebrauchten Bezeichnung — mit M (o) Ja)
bezeichnet werden.
L. Maurer: Zur Theorie der (xmtinuirlichen etc. Gruppen, 337
Es ergeben sich nun för unsere i»o + »Wo inf. Trans- formationen Ausdrücke folgender Gestalt:
a=i A=i 9 yx
tf=i^=i^=i ^ Vx Ä = Wlo + li Wo + 2 . . f/lo + *Wo Wir beweisen nun zunächst: die m6 inf. Transformationen ^+1 if) -^0+2 (^ • • -^0+*»^ (f^ können so gewählt werden, dass eine jede derselben regulär von der ersten Art ist.
Zu dem Zweck bemerken wir, dass unter den ge- nannten Transformationen keine vorkommen kann, die regulär von der zweiten Art ist. Denn eine solche mtisste von
^i(f) ^{f) ' • -^^ (f) linear unabhängig und mit jeder dieser inf. Transformationen vertauschbar sein. Es gäbe also entgegen unserer Voraussetzung (Art. VI Anfang) in der Gruppe A mehr als m^ linear unabhängige inf. Transfor- mationen zweiter Art, die paarweise vertauschbar sind. Eine jede der mo Transformationen Kk (f) ist also entweder regulär Ton der ersten Art oder irregulär.
Nehmen wir an , die inf. Transformation K^ (/) sei irregulär. Man kann dann (s. Einleitung) eine reguläre Transformation erster Art L (f) und eine gewisse Anzahl regulärer Transformationen zweiter Art L^(f) L^{f) . . so bestimmen, dass
Ku(f)^Hf)-{-Q,L,(f)-\-(!,L,(f).. + eßLß{f).
In den inf. Transformationen Lif) L^{f) L^(f) , , sind — wie man sich leicht überzeugt*) — die Variabein in genau derselben Weise getrennt, wie in K^ (/), und daraus
1) Vergl. die Inv. S. 128 gegebenen Formeln.
18M. HaUL-phys. Gl. 3. 22
338 Sitzung der math.'p/iys, Glosse vom 7, Juli 1894,
folgt, dass eine jede der inf. Transformationen L{f) L^(f) L^(f) . . mit den inf. Transformationen K^if) ^(J) - • -B^ (/^ vertauschbar ist. Weil unsere Gesammtgruppe A regulär ist, so gehört ihr eine jede der regulären Transformationen an (s. Einleitung), in die die irreguläre Transformation K^ (f) zerlegt worden ist, und weil eine jede der regulären Trans- formationen zweiter Art L^ {f) L^(f) . . mit K^(f) ^{f)" K^Q (f) yertauschbar ist, so kann keine der TransformationeD L,{f) L^if) .. von K,(f) K^(f) .. K^ (f) linear unabhängig sein. Denn sonst gehorten gegen unsere Voraussetzung der Gruppe A mehr als m^ untereinander linear unabhängige reguläre Transformationen zweiter Art an, die paarweise Yer- tauschbar sind. Man kann nun offenbar die der Gruppe f angehörige irreguläre Transformation Kk (f) durch die eben- falls der Gruppe F angehörige reguläre Transformation erster Art L(f) ersetzen.
Nachdem die Zulässigkeit dieser Annahme bewiesen ist, setzen wir nunmehr jede der inf. Transformationen -Bii^+i il) -^mQ+2 (f) . . -^m^-i-m^ (f) als rcgulär von der ersten Art voraus.
Damit die inf. Transformation
regulär von der ersten Art ist, muss jedes der q Coefficienten- systeme Jfe;^^ (A, ^ = 1, 2, . . n^ regulär von der ersten Art sein. In der Entwicklung der charakteristischen Determinante
IC-Oh A,^==1,2,..«„
nach Potenzen von r verschwinden also die Coefficienten aller Potenzen von r, abgesehen von r"», und es ist ins- besondere
X. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen. 339 L kii =0 a = l, 2,..3; Ä = fWo+ 1, Wo + 2.. mo + m6
A=l
Die unter (3) angegebenen Relationen
**o"^o
v=l j—\
A, A* = 1, 2, . . w; Ä, Z = mo + 1, mo + 2, . . mo + Wo
gelten, wie bereits oben bemerkt worden ist, unverändert für die Coefücienten der transformirten inf. Transformationen. Eis ist also
v=\ y=i
A,^ = l,2,..n^; a=l,2,..3; ä,Z=wo+1, ♦wo + 2,..Wo + mo
und hieraus folgen für A =: fi, wegen
2 h^^ = 0 för A = Wo + 1, Wo + 2, . . nio + mi
und 2 Ä?/^ = «a J*?^ für A = 1, 2, . . Wo
die Gleichungen
l,^Bf/^ = 0 a=l,2,..3; Ä,Z=t»o+l,wo+2,..wo + wi) y=i
Weil die inf. Transformationen
linear unabhängig sind, folgt hieraus
dy = 0 für Ä, Z = Wo + 1, Wo + 2, . . #»0 + Wo; und y = 1, 2 . . Wo
In dem Ausdruck Kk Ki (/) ~ Ki Kh (f) kommen dem- nach nur die inf. Transformationen
^0+l(Oi^„+2(/)-.^0+«'ö(/)
22*
340 Sitzung der math.'phya. Glosse vom 7. Juli 1894,
vor. Diese mo inf. Transformationen bestimmen demnach für sich eine Gruppe Äo und diese Gruppe gehört not- wendig der ersten Claase an. Denn die nio-gliedrige Orappe Äo ist regulär, weil sie mi linear unabhängige reguläre Transformationen enthält, und sie kann keine reguläre Trans- formation zweiter Art enthalten.
vm.
Damit ist auch für die regulären Gruppen der dritten Classe ein kanonisches System inf. Transformationen nach- gewiesen. Die m inf. Transformationen dieses Systems Ter- theilen sich auf vier Untergruppen Äo Äi Ä^ Ä^, Jede dieser Untergruppen ist regulär, und zwar gehört die erste Aq der zweiten Classe an, die drei übrigen gehören zur ersten Classe. Die inf. Transformationen, die einer dieser Unter- gruppen angehören, sind so gewählt, dass sie ein kanonisches System für die betreflFende Untergruppe bilden.
Für alle vier Untergruppen gilt nun der Satz:
Die Parameter der Gruppe lassen sich rational durch die Goefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe darstellen.
Für die drei Gruppen erster Classe gilt überdies der Satz: Unter den Potenzen einer von der identischen ver- schiedenen Substitution der Gruppe kommt die identische Substitution nicht vor.
Wir haben nun weiter bewiesen:
Die Untergruppen Äo und Äo setzen sich zu einer üoter- gruppe r zusammen.
Die Untergruppen F und A^ setzen sich zu einer Unter- gruppe H zusammen.
Endlich entsteht die w-gliedrige Gruppe Ä selbst durch Zusammensetzung von H und A^. Durch Anwendung der Principien des Art. IV beweist man nun erst für die Cnter-
Z. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Chruppen. 341
gruppe r, dann für die Untergruppe H^ endlich für die Gruppe Ä selbst den zu beweisenden Satz, dass sich die Para- meter der Gruppe rational durch die Coefficienten der all- gemeinen Substitution der Gruppe darstellen lassen.
Dass eine Gruppe A im Allgemeinen aus drei Unter- gruppen rA-^ A- zusammengesetzt werden kann, ergibt sich unmittelbar aus den sehr interessanten Sätzen des H. Eilling Ober die Zusammensetzung von Gruppen.^) Für die hier verfolgten Zwecke konnten aber diese Sätze nicht benützt werden. Denn H. Eilling beschränkt sich darauf, die Zu- sammensetzung der Gruppe zu untersuchen, und geht auf die Natur der einzelnen inf. Transformationen nicht weiter ein, während gerade diese für die vorliegende Untersuchung von wesentlicher Bedeutung ist. So gehören — solange man nur die Zusammensetzung der Gruppen in Betracht zieht — die Gruppen, die hier als Gruppen erster und zweiter Classe unterschieden worden sind, in dieselbe Kategorie: sie sind beide Gruppen vom Rang Null.
Sobald man aber die Substitutionen der Gruppe und die zugehörigen Invariantensysteme genauer untersucht, zeigen sie die allergrösste Verschiedenheit.
1) Math. Annalen, Bd. 31, 33, 34,
343
Bemerkungen über zahlentheoretische Eigen- schaften der Legendre'schen Polynome.
Von Gustav Bauer. iBinff§lauf«n 4. Aitgtut)
Das Legendre'sche Polynom w*®"* Grades sei nach Legendre- scher Bezeichnung durch X» bezeichnet; dann ist X^ Coefficient von s^ in der Entwicklung
und es berechnet sich hieraus
1 • 2 • 3 • • n \ 2 (2 w — 1)
I.
I n(n-l)(n-2)(n^3) \
^ 2-4-(2n-l)(2w— 3) /
Diese Formel kann als Definition von Z« für jeden Werth Ton x gelten. Nun sagt Heine in seinem »Handbuch der Kugelfanktionen« 1. Aufl. 1861, S. 7: „Nach der Be- merkung von Euler in einem Briefe an Ooldbach, dass in
der Entwicklung yon yl — n^ a nach aufsteigenden Potenzen von a alle Cioefficienten yon a ganze Zahlen werden, er- kennt man sofort, dass Z« nur eine Potenz von 2 zum numerischen Nenner hat*, indem er beifügt, dass ihm diese Eigenschaft der Polynome Xn von mir mitgetheilt worden sei.^)
1) In der 2. Auflage seines Handbuchs, I. Th. S. 14, kommt Heine auf diese Eigenscbaft der Polynome Xn zurück. Man kann hinzufflgen,
344 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7. Jtdi 1894,
Diese Bemerkung in Bezug auf die Coef&cienten der Form I und der bekannte Satz, dass alle Polynome Xh für x = l den Werth 1 annehmen , ist, so viel ich weiss, das einzige, was bisher in zahlentheoretischer Beziehung von diesen Polynomen bekanntgegeben wurde.
Es soll nun hier zunächst gezeigt werden, dass diese Polynome auch die bemerkenswerthe Eigenschaft besitzen, dass, wenn x irgend eine ungerade ganze Zahl ist, sie selbst ungerade ganze Zahlen sind.
2. Die Polynome X« genügen bekanntlich der DiAFerential- gleichung
DiiBferentiirt man diese Gleichung wiederholt und setzt sodann in diesen Gleichungen x= 1, so ergiebt sich sofort die Relation
d'^Xn ^ n (n + \) — m (m — 1) d'^-^ Xn dx^ 2 m d o;*"^
^ (n — m + l){n + m) d"*-^ Xh 2 w d a?"*~^
und hiemit, da Xn = 1 für a; = 1,
dXu^7i{n+l) (PXn^(n— l)n(n+l)(w + 2) dx 2 ' da;» 23
d»X._(n-2)(n-l)...(n + 3) dx* 2T4T6 "^^ ^"
Mittels dieser Werthe erhält man die Entwicklung
^ — 1 i 2 (X- 1) + ^— j^
1.2-3.. 2n (a;— D-
+ •• +
24. 6-. 2« 1.2.3.
sagt er hier, «dass sämmtliche Coefficienten mit 4«* moltiplicirt gaose Zahlen sind". Diese Angabe ist nicht genau. Denn man beweist leicbt mittelst dem in n® 4 angegebenen Verfahren, dasa die Coef&cie&ten der Formel I höchstens 2»«-i im Nenner haben.
G. Bauer: üeher Legendre'sche Polynome, 345
welche sich auch schreiben lässt
v_i .n(n+l)x-l , in^l)n(n + l)(n + 2)i'x^iy ^■"^■^ 1* 2 "^ V^ V 2 /
(n-2)(n-l).>>(^ + 3) /^:::n'* , (1)
■^ P.2».3» V 2 / "^
— - — ) in dieser Entwicklung wollen wir mit A^ bezeichnen, so dass
^_,+x"e-7i)+^?(i=i)v..
wo allgemein
" l»V2>-3»--Ä> ' '^ -*
Setzt man in dieser Reihe — x statt x, so hat man zugleich
(- ir X« = 1 - ^JJ' {^^) + x^' (^0 - + • • (^>
und wenn man in 1) X'\-2 statt :t; setzt,
X.(^.) = l + 4»^("-±2) + ^«>(^-±l)+... (4) Also ist auch
J (5)
1 Ä(x+2, - (_l)- 2,) = ^cj) (^+1)
346 Sitzung der fnafh.'phy8, Glosse vatn 7. Jtdi 1894.
Aus Oleichung 3) folgt sofort für rr = 1 , dass die Coefficienten A^ der Relation genfigen
l-4" + ^"- + --±^l"> = (-l)- (6)
3. Es soll nun bewiesen werden, dass die Coefficienten An sämmtlich ganze gerade Zahlen sind.^)
Hiezu haben wir zunächst zu fragen, wie oft eine ge- gebene Primzahl 6 in dem Produkt 1 • 2 • 3 • • • ^ enthalten ist. Diese Frage ist schon von Legendre^) beantwortet. Ist
nämlich E ir j die grösste ganze Zahl, welche in dem Bruch
N . . ,
-T- enthalten ist, so ist die gesuchte Zahl, d. i. der Exponent
der höchsten Potenz von d, welche in 1 • 2 • • • ^ enthalten ist, durch die Formel gegeben
»=^©+^©+^©+--
wo die Reihe fortzusetzen ist, bis der Nenner ö» grösser als N wird.
Theilt man nun j^ in zwei oder mehrere ganze Stahlen, z. B. in die drei Zahlen n, n\ n\ sodass ^=w+n^-fl^
1) Setzt man in den Gleichungen 1) 8) a; = coe a, = siii'-a,
2 «
— J— = cos* - a, so werden dieselben 2 2
X^(co8a) = l — ^JJNinala + ^^^Bin*ia- + --- 2 2
(— l)"Z„(coBa) = l — .iJJ^cosala + ^Jf^cos^la — + •••
In dieser Form sind die Gleichungen längst bekannt nnd schon von Dirichlet gegeben worden (Grelle J. Bd. XVII). Aber man scheint nicht bemerkt za haben, dass die Goefficienten dieser Reihen sämmt- lich ganze Zahlen sind, was allerdings auch wenig Interesse bietet, so lange man die Polynome X nur für Werthe von x^l betrachtet.
2) Legendre, Theorie des Nombres, S"^« ^d. 1830, T. I p. 10.
G. Bauer: üeber Legend/rasche Polynome. 347
so ist klar, dass -E(^) nicht kleiner sein kann als -S(^,)
+ J5(— .1 -)- iSl— . j; wohl aber kann es grösser als diese
Summe sein; denn bleiben bei der Division von w, n\ n" durch ß* die Reste a, /?, y und ist o + /^ + y>^i so wird
-E(-r^ j um 1 oder auch 2 grosser sein, als diese Summe.
Hieraus folgt, dass für irgend eine Primzahl 6
die Summen auf die Potenzen von 6 ausgedehnt, die in JV^ enthalten sind.
Hieraus folgt unmittelbar der Satz^): In dem Ausdruck
N! , i'f n, WO 2V= w + w' + n" H ,
ist jede in dem Nenner enthaltene Primzahl wenig- stens ebenso oft im Zähler enthalten als im Nenner und der Ausdruck stellt mithin eine ganze Zahl dar. Der Coefficient A^n kann nun auf diese Form gebracht werden, nämlich
An
{n--'k)!k!k!
Es ist hier 2V=w + Äi und diese Zahl ist in die 3 Theile n— i, Zf, i, zerlegt. Also ist A^^ eine ganze Zahl.
4. In dem besonderen Falle, wenn 0 = 2, ist für 37"= 2^ die Zahl cf = 2' — 1. Nun kann aber irgend eine Zahl N in der Form
N= 2P+ 2«+ 2«^H , p>i>r • • .
dargestellt werden, und die Anzahl der Faktoren 2, welche in dem Produkt 1'2'3« • jST enthalten sind, ist also 37"— A,
1) Unter N! ist hier das Produkt 1 •2« 8 • • • ^ zu verstehen.
348 Sitzung der math.-phya, Glosse vom 7. JüU 1894.
wenn h die Anzahl der Glieder 2^*, 2« • • in N ist (Legendre a. a. 0. p. 12).
Fragt raan nun, wie oft der Faktor 2 in
n!n!n ! • ■ /
vorkommt, so ersieht man, das« der ungünstigste Fall ein- tritt, wenn w, n', n' selbst Potenzen von 2 sind, fi = 2', w'=2«, n"--=:2^ also iV= 2«» + 2« + 2''; in diesem Falle ist der Faktor 2 nämlich im Zähler und im Nenner N — 3 mal
N! enthalten und die Zahl , >' », enthält den Paktor 2 gar
n!n!n !
nicht, und ist also eine ungerade Zahl. Eine Ausnahme
hievon tritt ein, wenn zwei der Zahlen n, n\ n oder auch
alle drei gleich sind; denn ist w'=w"=2*, so ist N=2P
+ 2H-1 und der Faktor 2 ist dann in dem Produkt 1.2•.^
noch N — 2 mal enthalten, während er im Nenner w/n'/n"/
nur N — 3 mal enthalten ist. Aber man sieht, dass ähnliches
eintritt, sowie überhaupt zwei der Zahlen w, n, n" gleich
sind. Ist n = n"= 2»+ 2"'H und i die Anzahl dieser
Glieder 2», 2«*- • • so wird JV^.' die Zahl 2 wenigstens t-mal
öfter enthalten, als der Nenner nlntn!-- und man kann
daher obigen Satz dahin ergänzen:
Sind in dem Ausdruck
n!n!n !.,. '
zwei (oder mehrere) der Zahlen n, n\ n", •• gleich, so ist derselbe eine ganze gerade Zahl.
Dieser Fall tritt ein bei dem Coefficienten-4if ^ = / \^h\fhfhf
und folglich ist dieser Coefficient immer eine gerade Zahl j
5. Setzt man in den Gleichungen 1) 3) für jc irgend j
eine ungerade ganze Zahl, ^ =5 2 y -|- 1, so werden dieselben j
G. Bauer: lieber Legendre^sehe Polynome, 349
(-l)«X,(2,+l, = l-4"(y+l) + ^<f>(y+l)»+..[ (7)
±X"'(y+i)»
woraus die in Nr. 1 angegebene Eigenschaft dieser Polynome Xm beryorgeht, dass sie ganze ungerade Zahlen werden, wenn für :r irgend eine ungerade Zahl 2y-|*l gesetzt wird. Zugleich ersieht man, dass dieselben sowohl nach Potenzen von y, als auch nach Potenzen von y-\'\ iu ganzzahlige Reihen entwickelt werden können.
Aus diesen Gleichungen ergiebt sich femer, dass für x = 2y+l
-X.» ii
für irgend welche Indices n, n immer durch y theilbar ist, und ebenso, dass, je nachdem »?, n gleichartig oder ungleich- artig sind, im ersten Falle
^n ^'» 1
im zweiten
-X« + X^
durch y+1 theilbar sind.
Aus den Gleichungen 5) folgt für :j; = 2y — 1
1
2-(X,(2H-i) -r (—1)" ^»(2y-i))
i (X„(2H-1) — (— 1)** X„(2y-1))
(8)
= ^j:^y + X'^y3 + ..
woraus ersichtlich, dass auch
3:«(2yf I) — (—!)•* X„(2y-i)
immer durch y theilbar ist.
Wenn nun aber x eine gerade Zahl ist, so zeigen die Gleichungen 1) und 3), dass sich X^ nur ausnahmsweise
350 Sitzung der math.-phys. Clwse vovi 7. Jvii 1894,
auf eine ganze Zahl reduciren wird.^) Da das höchste Qlied
der Reihe 1) Än^ l—x — ) ist, so steht darin 2*' im Nenner;
aber ,^ . ,
(n) _ (2n)/
n! n!
hat, wenn n = 2? + 2^ 2'' + • • rait i-Gliedern ist und also 2 n = 2H-1 + 2«+i + 2H-1 + .., nach Nr. 4 (2 n—i)—{n—ii)
— (n — %)=i Faktoren 2, so dass in Ä^^ l — — \ nur noch
2'*"* im Nenner bleibt. Nur wenn n eine Potenz von 2 ist, also i = l, bleibt noch 2**"^ im Nenner. Das vorletzte
Glied iliT"^' ic~^~^ ^^°" ^° ^^^^^ *'^^'® höchstens 2"-2 im Nenner behalten; das drittletzte höchstens nur 2*"^ u. s. f. Man sieht also, dass, wenn x eine gerade Zahl ist, X^ höch- stens den Nenner 2»~^ haben kann; dies wird aber nur eintreten, wenn n eine Potenz von 2 ist; in allen andern Fällen hat X«, wenn x eine ganze gerade Zahl ist, 2"-^ oder eine niedrigere Potenz von 2 im Nenner.
6. Da, wenn n gerade, X^ nur gerade Potenzen von x
Xn
enthält, und dasselbe von — gilt, wenn n ungerade, so lassen
X
sich diese Polynome auch nach Potenzen von x^ — 1 ent- wickeln. Man erhält für gerade n
wo
„,_n(n+l) ,(i,_(n-2)n-(ti +!)(« + 3) "» — 1» ' "» — 1».2* '
(9)
1) Dies tritt z. B. ein für n = 3.
O. Bauer: Ueber Legendr^aehe Polynome. 351
allgemein
(», _ (n-2fe+2)(«-2fe+4)-«-(n+l)(»+3)»(n+2fe-l) "" ~ l»-2»-3»--i»
FSr ungerade n
wo
r<.) _ (n-l)(ii + 2) ff, _ (n-3)(n-l).(n + 2)(n+4)
allgemein
(,)_(n-2fe+l)(n-2Ä;+3) •(t»~l)>(n+2)(n+4)"(n+2fe) '• ■" l».2».3»..fc^
Die Goefficienten a, 6 in diesen Reihen sind ebenfalls sämmtlich ganze und gerade Zahlen, wie sogleich gezeigt werden soll.
Setzt man rc = 2y+l, so wird — - — = y(y-j-l) und
man erhält also, wenn x eine ungerade Zahl 2y-f'l ist, folgende ganzzahlige Reihenentwicklungen nach Potenzen von y(y + l)*):
1) Ffir o; == cos a erhält man aus den Gleichungen 9) 10) far gerade n .„v
X,(cos«) = l-«<j'(!«|f)V«lf'(?i|-°)- + -±«r(?^)"
ftir ungerade n
X. (coB «) = C08 « {l - 62' (?|^) V b|?^ (?^) - + • •
tn-l
±€''\~y-')
Diese einfachsten ganzzah ligen Entwicklungen von X„ (cosa) sind, so viel ich weiss, bisher noch nicht gegeben worden.
(11)
(12)
352 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 7. Jttli 1894,
ftir gerade n
Z, = 1 + al/' y (y+ 1) + a<?) y» (y+ 1 )»+ • •
/n\ n n
+ an y (y+1)
für ungerade n
f? = i + 6i?'y(y+i) + 6l?y"(y+i)" + - + iy y' (y+1)"
Entwickelt man in 11) die Potenzen von (y + 1) und vergleicht sodann die Reihe mit der Reihe 7) so ergiebt sich
Üf^ =s An 1 Ü>n = -^n — Ön = ^n -oLn j
und allgemein
^"'=a«+(tti)«r'-i-cti)o!r*-^+'-+rrOai"-"+«?\i..
4f-"=G-i)«L*'+C±i)ar»4- +(V)aif»-''>+af -"i ' Da in diesen Recursionsformeln der höchste Coef&cient a immer den Faktor 1 hat, so berechnet sich hieraus a^^\ rei^p. oj?*"^^ durch eine Reihe der An mit ganzen Coefficienten. Also sind auch die a ganze gerade Zahlen.
Die Vergleichung der Coefficienten von y* und y""^ in den beiden Reihen 7) und 11) liefert
^^^2/ An) ^ M) j(«-l)
woraus
^<.-''=|^ir' (15)
sich ergiebt. Das Bildungsgesetz der An zeigt, dass diese Relation in der That stattfindet, und zwar für gerade und ungerade n. Es ist also auch An"^^ immer durch n theilbar. Dies ist aber nur ein specieller Fall des allgemeinen Gese^ dass An"^^ immer durch k theilbar ist. (Nr. 7.)
G. Bauer: lieber Legendre'sche Polynome, 353
Ebenso giebt die Vergleichang der Reihe 12) mit der Reihe 7) Recursionsformeln für die Berechnung der b^ aus denil„; dieselben sind wegen des Faktors :j; = 2t/ + l etwas complicirter als die Formeln 13) haben aber mit diesen die Eigenschaft gemein, dass der höchste Goefficient hn in den- selben den Faktor 1 hat. Man erhält also für die Coeffi- cienten hn ebenfalls eine Reihe der A^ mit ganzen Cioefficienten. Also sind auch die hn ganze gerade Zahlen.
Speciell ergiebt sich und ans der Vergleichung der Coefficienten von y**'"^ und y«
Hieraus folgt zunächst wieder die Relation 14); femer für den letzten Cioefficienten hn
r(^)_l .(n) (15)
Hiebei ist zu bemerken, dass, wie wir in Nr. 5 sahen, A^n immer den Faktor 2 mehrfach enthält, ausgenommen, wenn n eine Potenz von 2 ist. Dieser Fall Lst aber hier aus geschlossen, da in der Reihe 12) n eine ungerade Zahl ist;
(— ) ak) ist 6» ^ auch eine gerade Zahl.
7. Bildet man aus den Gleichungen 7) die Differenz X„+i — Z„_i, so trennt sich in den Coefficienten der Faktor 2 n4- 1 los und man erhält für a? = 2 y + 1
IKK. Math.-pb7a. CL 8. 28
354 Sitzung der math.'jphys. Glosse vom 7, Jtdi 1894, '
oder auch
fe^Ä+i-^»-i) = 2(y-fl)-a®(y+n» 2n+l (j;,
+ ai" (y+ 1)'- + • • ± sii"+" (y+ 1)"+^
wo von Ä = 2 an
^(,)__ (n-t + 2)(n-t + 3)-(n + A— 1) '^ ~^'^' P.2^.3»..*»
Dass trotz der Abtrennung des Faktors 2n + l aus der Differenz An\-i — Anl-i diese Coeffieienten ^^ wieder ganze gerade Zahlen sind, lässt sich auf folgende Weise zeigen. Die Polynome X genügen der Relation
(n + 1 ) Zh+1 — (2 n + 1 ) o; Z« + w Xn^, = 0 UI. Hieraus zieht man leicht
2n+l'— ^' ""'' n+1
Ist X eine ungerade ganze Zahl, so sind die Zähler der Brüche auf beiden Seiten ganze gerade Zahlen; und da 2 n-|- 1 und n-f- 1 keinen Faktor gemein haben, so folgt, dass
Xn^i — X„.i durch 2 n -j- 1 ^^^ xXn—X^.i durch «-fl
theilbar sind, wenn x eine ungerade Zahl. Da also die Reihen in den Gleichungen 16), 17) für alle ganze Zahlen jf ganze gerade Zahlen darstellen, so lässt sich schliessen, dass auch die Coeffieienten 9 ganze und gerade Zahlen sind.
Dies lässt sich aber auch mittelst des Satzes in Nr. 3 erweisen. Denn es ist
1 «,(*)_ (t> + fe - 1)/
2 " (w— *-|-l)/iS;/(Ä-l)/
O. Bauer: üeher Legendre*8ehe Polynome, 355
N/ Nun sagt der Satz aus, dass , ,' />. eine ganze Zahl
ist, wenn N= n'i'n+ n. In i 8?^ ist N= n + * — 1,
aber die Summe der drei Zahlen im Nenner ist n-f-*=-^+ !• Der Satz lässt sich also nicht unmittelbar anwenden. Aber wenn eine Primzahl B die Zahl Tc theilt, so theilt sie i— 1 nicht und ist also ebenso oft in (Ä — 2)1 enthalten, als in (Ä— 1)/; theilt B aber k nicht, so ist 6 jeden- falls ebenso oft in (Ic — 1)/ enthalten als in Tc! Man kann
daher bei der Bestimmung wie oft eine Primzahl ö in — ä^
als Faktor steht immer die Summe der drei Zahlen im Nenner um 1 yerringern, d. h. auf N reduciren, und sodann wie in in Nr. 3 schliessen, dass jede Primzahl wenigstens so oft im Zähler steht als im Nenner. ^^ ist also eine ganze gerade Zahl. Hieraus ergiebt sich auch eine Eigenschaft der Coeffi- cienten An> Denn die Vergleichung der Ausdrücke für Sin und Am liefert
und, da — %» eine ganze Zahl, so folgt, dass die Zahl A^"^^
durch li theilbar ist.
8. Bekanntlich giebt ^ — -r-rr (X^-j.! — X^-i) das Integral
von Zn, so genommen, dass es für o; = 1 verschwindet, d. h. es ist
Die Gleichungen 16) 17) zeigen also, dass dieses Integral yon X^ ebenfalls eine ganze Zahl ist (und zwar eine gerade), wenn x eine ungerade Zahl 2y+l ist, und geben die Entwicklung dieser Zahl nach Potenzen von y oder y+1.
28*
356 Sitzung d6r math.-phys, Clasae vom 7. Jtdi 1894,
Man kann auch die Gleichungen 11) und 12) be- nützen, um eine Entwicklung des Integrals nach Potenzen von J/(i/-|-l) zu erhalten.
Es ergiebt sich dann für x = 2y-\-l, wenn« an- gerade
118)
wo
m_, (n-l)(n+2) f3)_. (w-3)(n- l)>(n+2)(n+4) «n — *• ia.2a ' •* — l*.2*-3*
und allgemein von Ä = 2 an (fc)_ (w-2 Ä;+3) (n-2 Ä;+5) ■ » (n-1) ■ (w+2) (n-f4) - (n-f-2t-2)
Wenn n gerade
Jz,dx=^-^^ = (2y + l){2y(y+l)
WO
.(2,_ , (n-2)(«+3) (s)__ (n-4)(n-2)-(n+3)(n+5) "»— *• ia.2» 1 "» — o- 1».2».3»
und allgemein von A; =s 2 an
.(»)^2i. (»-2^+2j («-2 fe+4)- .(»-2)-(w+3) (w+5)--(>H-2m-l)
1».2».3».-*»
Auch hier lässt sich wie oben (Nr. 6) erweisen, dass die Coefficienten oi*', b»' sämmtlich ganze gerade Zahlen sind.
(r. Bauer: Ueber Legendr^ache Polynome, 357
&r Differentialquotieat von X^ durch d = (2 n- 1) Z^_i + (2 n-5) Z.-2 + •
9. Da der Differentialquotieat von X^ durch die Formel
dx
gegeben ist, so folgt, dass, wenn x eine ungerade Zahl ist,
A IT auch -3—^ eine ganze Zahl ist, und man sieht, dass sich
a X
diese Eigenschaft auch auf die höheren Differentialquotienten Ton Z» übertragt.
Das Polynom Z^ hat also die merkwürdige Eigen- schaft, dass, wenn x eine ungerade ganze Zahl ist,
nicht nur Z^ selbst, sondern Auch JX^dx und alle
1 Differentialquotienten von X» ganze Zahlen sind.
10. Es möge nun hier noch eine Tabelle der Ent- wicklungen von Xn nach den Gleichungen 7), 11), 12) und
wn y Xj^dx nach den Gleichungen 16 — 19) folgen. Es ist
1
darin auf der linken Seite immer x durch 2 y -j- 1 ^^ ersetzen.
-I. = l-2(y+l)
+ J[, = l-6(y+l) + 6(y+l)»
I,= l+ I2y+30y»+20y» - 2, = 1 - 12 (y+ 1) + 30 (y+ 1)» - 20 (y + 1)»
I^ = 1 + 20 y + 90 y» + 140 y» + 70 y* r X, = 1 - 20(y+l)+90(y+l)»-140(y+l)»+70(y+l)*
X5=l + 215y+3-70y»+4U0y» + 5-126y*+6-42y» J, = 1 + 2.21y»+3-140-y+4-420y»+5-630/+6-462y
+ 7-132y«
X, = 1 + 228 y + 3-252 y» + 41050J/» + 5-2310-»*
+ 6-2772y + 7-1716-y« + 8-429y'
358 Sitzung der mcUhrphys, Glosse vom 7, Juli 1894.
X
X, = l + 6y(y+l)
'5 = l + 10y(y+l)
X,= l + 20y(y+l) + 70»»(y+l)»
^ = l + 28y(y+l)+126y»(j^+l)»
SC
X, = 1 + 42 y (y+ 1) + 378 y» (y+ 1)» + 924 y» (y + 1)»
-^ = 1 + 54 y (y + 1) + 594 y« (y+ 1)» + 1716 y» (y + 1)»
Xg = 1 + 72 y(j,-{- 1) H- 1188 y» (y+ 1)» + 6864 y» (y+ 1)»
+ 12870 y*(y + l)*
j^X,rfa; = i(X,-Xo) = 2y + 2y» -fx,dx =2(y+l)-2(y+l)»
/x,da; = i(X,-X,) = 2y+6y» + 4y» + fX,dz =2(y+l)-6(y+l)»+4(y+l)»
/x,d» = i(X,-X,) = 2y+12y» + 20y»+10y*
-fx^dx =2(y+l)-12(y4-l)»+20(y+l)»
-10(y + l)* f^X^dx = ^(X,-X,) =2y+20y»+60y»+70y*+28y»
+f^X^dx =2{y+l)-20(y+l)»+60(y+l)»
-70(y+l)* + 28(y+l)»
Gr. Bauer: Ueber Legendre^sehe Polynome. 359
+ 2126 y» + 2-42 y« /x,d»=^(X,-Xj)=2y+2.21y»+2-U0y*+2420y*
+ 2-630y»+2-462y« + 2132y''
* fx,dx = 2y(y+l)
1
/X,da; = (2y+l)-2y(y+l)
1
fx^dx = 2y(y-\-l)+10y*{y+iy
1
/ X, d a; = (2 y + 1) [2 y (y+ 1) + 14 y» (y+ 1)*] /Xjdic = 2y(y+l) + 28y»(y+l)* + 84y»(y+l)» J^ X, d a; = (2y-}-l)[2y(y+l) +36y»(y+l)»+132yMy+l)»] j^ X, da; = 2y (y+ 1) +54 y» (y + 1)» + 396 y» (y+ 1)»
+ 858y*(y+l)*
*
361
Yerzeiebniss der eingelaufenen Druckschriften
Januar bis Juni 1894.
Die Torehrlleheii Gesellschaften und Institute, mit welchen unsere Akademie in TaoschTerkehr steht^ werden gebeten, nachstehendes Yerzeiebniss Engleich als Empikngs- bestltigiuig an betrachten.
Von folgenden GeseUscliaften nnd Institnten:
GescMcfUsverein in Aachen: Zeitschrift. Band XV. 1893. 8".
Observatory in Adelaide: Meteorological Observations 1886—87. 1898. fol.
Boyal Society of South AiMtralia in Adelaide: Tranaactions. Vol. XVII, 2. 1893. 8«.
Süddaviache Akademie der Wissenschaften in Agram: Monmnenta. Vol. XXIV, XXV. 1893. 8« Starine. Vol. XXVI. 1893. 8«. Ljeiopis. 1893. &^. Rad. Band 116. 117. 1893. 8».
Neto-York State Library in Alhany: 78-76 th annual Report. 1891—93. 8». State Library Bulletin. Legislation No. 4. January 1894. 8*^.
Historischer Verein in Augsburg: Zeitschrift. Jahrg. XX. 1893. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein in Augsburg: 31. Bericht. 1894. e9.
Texas Academy of Science in Austin: Traiuactions. Vol. I, No. 2. 1893. 8®.
Johns Hopkins ünioersity in Baltimore: Circulan». Vol. XIU, No. 109-112. 1894. 4». American Jonmal of Matheniatics. Vol. XIV, No. 4. Vol. XV, No. 1—4.
1892/93 8^ The American Journal of Philology. Vol. XIII. No. 4. Vol. XIV, No. 1—3. 1892/93. Sft.
364 Vergeiehniss der eingelaufenen Druchechriften,
Universität in Bonn: Wendelin Förster, Freandesbriefe von Friedrieb Diez. 1894. 4^. Naturhistorischer Verein der preuss, Bheinlande in Bonn: Verbandlungen. 60. Jabrgang, II. Hälfte. 189S. 8^.
Societi de giographie commerciale in Bordeaux: Bulletin. 1893. No. 23, 24. 1894. No. 1—10. 8«.
Ämerixian Äcademy of Arts and Sciences in Boston: Proceedings. Vol. 28. 1893. 4P.
Public Library in Boston: Annual Report 1893. 1894. 8°.
Boston Society of Natural History in Boston: Proceedings. Vol. 26, part 1. 1893. 8«. Memoirs. Vol. IV, No. XI. 1898. 4^. Occasional Papers. No. IV. 1893. 8».
Meteorologische Station in Bremen: Ergebnisse der meteorologischen Beobachtungen. 4. Jahrg. 1894. fol.
Naturwissenschaftlicher Verein in Bremen: Abhandlungen. Bd. XIII, 1 und Extrabeilage. 1893/94. 8^.
Naturforschender Verein in Brunn: Verhandlungen. Bd. 31. 1892. 1893. 8<>. XI. Bericht der meteorologischen Commission. 1898. 8^
Academie Boyale de Midecine in Brüssel: Bulletin. IV. Särie. Tom. 7, No. 10, 11. Tom. 8, No. 1-5. 1893/94. 8«.
Äcadimie Boyale des Sciences in Brüssel: Annuaire. 1894. 60« ann^e. 8^.
Bulletin. 68« ann^e. 3. Sörie. Tom. 26, No. 12, Tom. 27, No. 1-5, 1898/94. 80.
Sociite des Bdlandistes in Brüssel: Analecta BoUandiana. Tom. XIII, fiasc. 1, 2. 1894. 8^.
K. Ungarische Akademie der Wissenschaften in Budapest: Ungarische Revue. 1893. Hefl 10. 1894. Heft 1—4. gr. 8^.
K, Ungarisches geologisches Institut in Budapest: Mittheilungen. Band X, Heft 4, 5. 1894. S^. A m. kir. Földtani int^zet ävkönyve. Bd. X, Heft 5. 1894. S^. Földtani Közlöny. Band XXXIII, Heft 9—12. Band XXXIV, 1-6.
1893/94. 8Ö.
Academia Bomana in Bukarest: Eudoziu de Hurmuzaki, Documente privitöre la Istoria Romftnilor.
Suppl. I, Vol. 6. Suppl. II, Vol. 1. Vol. n, part 4 und VoL a
1893-94. 40. Analele. Serie H, Tom. XIV. Sect. literar, u. Sect. scientif. Tom. X7.
Part, adminifltrat. und Sect literar. 1893. 4<>. Etymologicum Magnum Romaniae. Tom. ÜI, 2. 1894. 4P.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 365
Instituto meteorc^gico in Bukarest: Analele. Vol. VII, anul 1891. 1893. AP.
Botanischer Garten in Buitemorg (Java): Verslag omtrent den staafc yan's lands plantentuin te Buitenzorg
over bet jaar 1892. Batavia 1894. 8^. Meteordogical Departement of the Chvernment oflndia in Cdlcutta: Indian Meteorological Memoirs. Vol. VI, part 1. 1894. fol. Rainfall Data of India 1892. 1893. fol. Monthly Weather Review. Aagust, September, October, November,
December 1893, January 1894. fol. Meteorological Observations. August, September, October, November, December 1893, Jauuary 1894. fol.
Äsiatic Society of Bengal in Calcutta: Journal. New Series. Vol. 62, No. 823, 327—332. 8«. Proceedings. 1898 No. 8, 9, 10. 1894 No. 1. 8^. Annual Address. 7th February 1894. 8®.
Geölogical Survey of India in Cdlcutta: Records. Vol. XXVI, No. 4. Vol. XXVII, part 1. 1893/94. 4^.
Philosophical Society in Cambridge: Proceedings. Vol. 8, No. 2. 1894. 8». Transactions. Vol. XV. part 4. 1894. 4^.
Ästronomical Observatory at Harvard College in Cambridge, Mass,: 48 th annual Report for the year ending Oct. 31, 1893. 8^ Annais. Vol. 25, 29. 1893. 4«.
Museum ofcomparative Zoology at Harvard College in Cambridge, Mass, : Bulletin. Vol. XXV, No. 2, 3, 6, 6. 1893/94. 8«. Annual Report 1892—93. 1893. 8<>.
Accademia Gioenia di scieme naturäli in Catania: Atti. Serie IV, Vol. 6. 1893. 4«. BuUettino. Fase. 33-35. 1893. 8».
Zeitschrift „The Open Court" in Chicago: The Open Court. Vol. VII, No. 325-350. Vol. VIII, 351 — 355. 1893/94. 4«.
Zeitschrift „The Monist" in Chicago: The Monist. Vol. 4, No. 2, 8. 1894. 8». y,Editoriäl Committee ofDen Norske Nordhavs-Expedition 1876—1878"
in Chnstiania: XXIL Zoologi Opbiuroidea ved James A. Grieg. 1893. fol.
Norske Gradmaälings- Kommission in Christiania: Vandatandsobservationer. Heft 5. 1893. 4^.
Chemiker -Zeitung in Cöthen: Chemiker -Zeitung 1898, No. 92—104. 1894, No. 1—41, 44—47, 50, 61. fol.
Universität in Czernowitz: Verzeichniss der Vorlesungen. Sommer-Semester 1894. 8®. Die feierliche Inauguration des Rectors am 4. Oktober 1893. 8^.
366 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Historischer Verein für das Qrossherzogthum Hessen in Darmstadt: Quartalblätter. 1893 in 4 Heften. S^.
Äcademy of natural Sciences in Davenpart, Jowa: Proceedings. Vol. V, part 2. 1893. 8«.
Colorado Scientific Society in Denver, Colorado: 8 kleine Schriften. 1898. 80.
The Question of a Standard of Valae, by 0. J. Frost. 1893. 8>. The Mode of occurrence of gold in the ores of the Cripple Creek Di- atrict by Richard Pearce. 1894. 8®.
Verein für Änhaltische Geschichte in Dessau: Mittheilungen. Band 6, Tbeil 4. 1893. 8^.
Gelehrte Estnische Gesellschaft in Dorpat: Sitzungsberichte 1893. 1894. 8^. Verhandlungen. Band XVI, 8. 1894. 8^.
Union giographigue du Nord de la France in Douai: Bulletin. Tom. 14. 8. et 4. trimeatre 1893. 8^.
Boyai Irish Äcademy in Dublin: Proceedings. III. Ser. Vol. III, No. 1, 2. 1894. 8®. Ti-ansactions. Vol. 30. part 6—12. 1893/94. 4«.
Boyal Dublin Society in Dublin: The scientific Transactions. Ser. IL Vol. IV. No. 14, Vol. V, No.1-4.
1892-93. 40. The scientific Proceedings. N. Ser. Vol. VII, part 6. Vol. VIII, part 1, 2. 1892—93. S^.
Scottish Microscopical Society in Edinburgh: Proceedings. Session 1891—92 and 1892—93. 2 Hefte. 1891-93. 8^.
Boyal Society in Edinburgh: Proceedings. Vol. XX, pag. 97—160. 1893. 8». Transactions. Vol. 37, part I, IL 1893. 4P,
Gymnasium in Eisenach: Jahresbericht auf das Jahr 1893—94. 1894. 40.
K. Akademie gemeinnütziger Wissenschaften in Erfurt: Jahrbücher. N. F. Heft 20. 1894. 8«.
Reale Accademia d^ Georgoßi in Florenz: Atti. Ser. IV. Vol. XVI, 8, 4. 1893. 8».
E. Ärchiüio di State in Florenz: 1 Capitoli del Comune di Firenze, Inventario e Regesto. Tom. 2.
1893. 40. Senckenbergische naturforschende Gesellschaft in Frankfurt a. M.: Abhandlungen. Band XVIII, No. 2. 1894. 40.
Verein für Geschichte und Älterthumskunde in Frankfurt a. M.: Mittheilungen ttber römische Funde in Heddernheim. I. 1894. 4*.
Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt a, 0.: Helios. 11. Jahrg. No. 6—12. 1893/94. 8®. Societatum Litterae. 1893. No. 8—12. 1894. 1—3. 8".
Verzeichfäsa der eingelaufenen Dnickschriften, 3G7
NcUurforsehende Gesellschaft in Freiburg i,Br.: Berichte. Band VII, 1, 2. Band VIII. 1898/94. 8^.
UniversUät FreHburg ». d, Sdiiceie: Index lectionnm per menses aestiyoB 1894. 8^.
Oeffentliche Bibliothek in Genf: Compte rendn ponr Tann^e 1898. 1894. 8^.
Institut national Genevois in Genf: Les Chroniqnes de Geneve par Michel Roset. 1894. 8^.
Museo civico di storia naturale in Genua: Annali. Ser. 2a. Vol. XIII. 1893. 8«
Geölogicäl Society in Glasgow: Transactiona. Vol. IX, part 2. 1893. 8«.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz: Nene« Lausitzisches Magazin. Band 69, Heft 2. 1898. 8^.
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: Gelehrte Anzeigen. 1893. No. 20—26. 1894. No. 1—6. 8®. Nachrichten. 1893. No. 15—21. 1894. No. 1. 2. 8«.
LebensversicherungsbanJc für Deutschland in Gotha: 65. ReclienBchafbsbericht für das Jahr 1898—1894. 4^
Ihe Journal of Comparative Neurology in Granvüle: Journal. Vol. III, p. 163-182. Vol. IV, p. 1—72, No. I — LXXX. 1893. 80.
Verein der Äerzte in Steierma/rk in Graz: Mittheilnngen. 80. Jahrgang. 1898. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein für Neu -Vorpommern in Greif swodd: Mittheilnngen. 25. Jahrgang. 1898. Berlin 1894. 8^.
Fürsten- und Landesschule in Grimma: Jahresbericht 1898/94. 1894. B^. Haag'sche Genootschap tot verdediging van de ehristelijke Chdsdienst
im Haag: Werken. VI. ßeeks. Deel V. Leiden 1894. 8^ K. Instituut voor de Taäl-, Land- en Volkenkunde van Nederlandsch
Indie im Haag:
Bijdragen. V. Reeks. Deel X, aflev. 1, 2. 1894. 8^.
Leopoldinisch-Carölinische Deutsche Akademie der Naturforscher
in Halle:
Leopoldina. Heft 29, No.21— 24. Heft 80, No.l— 10. 1893-94. 4^.
Deutsche morgeniändische Gesellschaft in Halle: Zeitschrift. Band 47, Heft 4. Band 48, Heft 1. Leipzig 1893/94. 8<>.
Ufiiversität Halle: Index lectionnm per aestatem 1894 habendarum, nebst Verzeichniss der Vorlesungen. 1894. 4^
Thüring, -Sachs, Geschichts- und Alterthums- Verein in Halle: Neue Mittheilangen. Band 18. 2. Hälfte, Heft 1. 1893. 8^.
368 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften.
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Ihüringen in Haue:
Zeitschrift für Naturwissenschaften. Bd. 66. Heft S, 4. Leipzig. 1893. 8°. Stadt-Bibliothek in Hamburg:
Verhandlungen zwischen Senat und Bürgerschaft 1892/98. 4®.
Handbuch der Hamburgischen wissenschaftlichen Arbeiten. IX. Jahr$r. 1891. I. und II. Hälfte. X. Jahrg. 1892. I. Hälfte nebst Bei- heft. 1891—93. 40.
Mittheilungen aus der Stadtbibliothek. X, 1. 1893. 8®.
Naturwissenschaftlicher Verein in Hamburg: Verhandlungen III. Folge I. 1894. 8®.
Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover: Zeitschrift. Jahrgang 1898. 8®.
Teylers Godgeleerd Genootschap in Harletn: Verhandelingen. Nieuwe Serie. Deel XIV. 1894. 8^ Teylers tweede Oenootschap in Harlem: Verhandelingen. N. Reeks. Deel IV, stuk 2. 1898. 8^. Jacob Dirks, Atlas behoorende bij de beschrijVing der Nederlandsch« Penningeu. Stuk 4. 1893. fol.
Sociäi Hollandaise des Sciences in Harlem: Archives Nöerlandaises. Tom. 27, livr. 4, 6. Tom. 28, livr. 1. 1894. 8*.
Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg: Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrgang 4. Heft 1. 1894 8^.
Naturhistorisch-medicinischer Verein in Heidelberg: Verhandlungen. N. F. Band V, Heft 2. 1894. Bfi.
Institut mitiorologique central in Helsingfors: Observations. Vol. VI-VIII, livr. I. Vol. XI, livr. I. 1898. 4«. Observations mdtöorologiques 1881—1888 in 4 Voll. Kuopio. 1893. fol.
Verein für siehe nbürgische Landeskunde in Hermannstadt: Archiv. N. F. Band 26, Heft 1. 1894. 8«. Jahresbericht für das Vereinsjahr 1892/93. 1893. 8®. Die Kerzer Abtei, von Lud. Reissenberger. 1894. 4®.
Historischer Verein in und für Ingolstadt: Sammelblatt. XVIII. Heft. 1893. 8<^.
Medicinisch-naturwissenschaftliche Oesellsdhaft in Jena: Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Band 28, Heft 2, 3. 1893—94. 8^
Kais. Universität in Kasan: ütscheuia Sapiski. Vol. 61, No. 1-8. 1894. 8*. 2 Dissertationen von Krasin und Agababon. 1893. 8^
Verein für Naturkunde in Kassel: 89. Bericht über die Jahre 1892—94. 1894. 8^.
Universität in Kharkow : Sapiski. Vol. 4. 1893. 8». Annales. 1894. Fase. 1. 8^.
Verzeichmss der eingelaufenen Druckschriften. 369
Section medicale de la Sociiti des sciences expirim, in Kharkow: Trndj. 1891. Teü II. 1892. Teil I. 1893. Heft I. 1892-94. 8^ Gesellschaft für Schleswig-Holstein-Lauenburgische Oeschichte in Kiel : Zeitschrift. Band 28. 1893. 8<>.
K. Universität in Kiew: laweslija 1898. Band 33, No. 12. Band 34, No. 1—4. 1898/94. 8«.
ÄerzÜich^naturwissenschaftlicher Verein in Klausenburg: Ertesitö. 4 Hefte vom Jahre 1893. 8<>.
I. Abtheilung. Band 18, Heft 2, 3. 1894. 8^. Stadtarchiv in Köln: Mittheilnngen. Heft 24. 1893. 80.
K Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen: M^moires. 6. aörie. Section des Lettres. Vol. III, No. 3. 1894. 4^. Regesta diplomatica historiae danicae. Ser. II, tom. 2, fasc. 2. 1893. 4^. Oversigt. 1893, No. 2, 3. 1894, No. 1. 1893-1894. 8». Skrifter. Naturvidensk. Afdeling. Band VII, No. 8, 9. 1893. 4«.
Gesellschaft für nordische Älterthumskunde in Kopenhagen: M^znoires. Nouy. Sdrie 1892. 1893. 8^.
AarbOger. II. Raakke. Band VLII, Heft 3, 4. Band IX, Heft 1. 1893/94. 8<>.
Akademie der Wissenschaften in Krakau: Anzeiger. 1893, December. 1894, Januar, Februar, April, Mai. 8®. Sprawozdania komisyi histor. Sztuki. Tom. V, fasc. 3. 1893. fol. Rozprawy wydz. filolog. Tom. XIX. 1893. 4«. Acta recioralia universitatis Cracoviensis. Tom. I, fasc. 2. 1898. 4^. Rocznik. Rok 1892/93. 1893. 8«. Biblioteka pisarzöw polskich. Tom. 25—27. 1893. 8®.
Botanischer Verein in Landshut: 13. Bericht über die Vereinsjahre 1892—93. 1894. 8«.
SocUti Vaudoise des sciences naturelles in Lausanne: Bulletin. IIL Sör. Vol. 29, No. 113. Vol. 30, No. 114. 1893. 80.
Maatsdiappij van Nederlandsche Letterkunde in Leiden: Tijdschrift. Deel XHI, Aflev. 1, 2. 1894. 8«. Observatorium in Leiden: Catalogue de la Biblioth^qne de FObservatoire. Supplement III.
'sGravenhage 1893. 8^. Verslag. 1891-92 et 1892—93. Leyde 1892-93. 8^
K, Oesellschaft der Wissenschaften in Leipzig: Berichte, Mathem.-phy8. Classe. 1893, No. VII, VHI, IX. 1894, I.
1894. 8«. Berichte. Philolog.-histor. Classe. 1893. II, III. 1894. 8<*. Abhandlungen der mathem.-phys. Classe. Bd. XXI, 1. 1894. 4*^. des phil08..hist. Classe. Bd. XIV, 5. 1894. 4«. Astronomische Oesellschaft in Leipzig: Vierteljahrsschrift. Jahrgang 28. Heft 4.
29. ,1. 1893/94. 4«. IflM. ][Atli.-pbys. Cl. 8. 24
370 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Journal für praktische Chemie in Leipzig: Journal. Neue Folge. Baud 48, Heft 8—12.
, 49, , 2-9. 1898/94. S« Verein für Erdkunde in Leipzig: MittheiluDgen 189S. 1894. 8».
Museum Franisco-Carolinum in Linz: 52. Bericht. 1894. 8«.
Societe phüosophique in Loewen: Revue N^o-Scolatisque. I. Ann^e, No. 1. 1894. 8^.
üniversite catholique in Loewen: Annuaire 1894. 8^.
Recueil de travaux publica par lea membres de la confdrence d^hiatoire. Fase. 4, 6. 1891-1893. S^.
Zeitschrift „La GeUvie" in Loewen: La Cellule, Recueil de Cytologie et d*histologie g^närale. Tom. X, fasc. 1. 1894. 40.
BoyoH Institution of Great Britain in London: Proceedings. Vol. 14, part I. 1894. ^.
The English Historicai Eeview in London: Review. Vol. IX, No. 38, 34. 1894. 8«.
Royal Society in London: Proceedings. Vol. 54, No. 328, 329, 330. Vol. 55, No. 381, 832, 333. 1894. 8^
B, Astronomical Society in London: Monthly Notices. Vol. 54, No. 2-7. 1893/94. 8«.
Chemical Society in London: Proceedings. Session 1893—94. No. 131—140. 1894. 8«. Journal 1893. Supplement Number. 1894. No. 374—879. (Jan. bis
June.) 8^. List of the OfBcers and Fellowa, April 1894. 8^. Geölogical Society in London: The quarterly Journal. Vol. 49, part 1—4. 1893. S^. List. November Ist 1893. 8®.
Medical and chirurgical Society in London: Medico-chirnrgical Transactions. Vol. 57. 1892. 8^ B, Microscopical Society in London: Journal. 1894, part 1-3. 8^.
Zoological Society in London: Proceedings. 1893, part IV. 1894, part I- 8®. Transactions. Vol. 18, part 8. 1894. 4».
Zeitschrift „Nature" in London: Nature. Vol. 49, No. 1255 — 1267, 1269, 1271 — 1278. Vol. 50, No. 1279-1284. 1893/94. 4«.
B, Accademia deUe scienze in Lucca: Atti. Tom. 27. 1893. S^
Verzeichni88 der eingelaufenen Druckschriften. 371
SociHS gia^ffique de Belgique in L&Hich: Annales. Tom. 20, livr. 1. 2. 1892/93. 8®. Universität in Lund: Acta aniversitatis Lundensis. Tom. 29, Abth. I, U. 1892/93. 4^.
Institut Chrand'Ducal in Luxemburg: Publications. Tom. XXII. 1893. 8».
Universiti in Lyon: Annales. Tom. VI, fasc. 8, 4. Paris 1893 und Lyon 1894. S^.
Wisconsin Äc<xdemy of Sciences in Madison: Transactions. Vol. IX, part 1, 2. 1893. 8».
Wctshbum Observatory in Madison: Publications. Vol. VIÜ. 1898. 4P.
The Government Astronomer in Madras: Madras Meridian. Gircle Observations. Vol. VII. 1894. 4^.
Real Äcademia de la historia in Madrid: Boletin. Tomo XXIV, No. 1—6. 1894. 8».
Societä Storica Lombarda in Mailand: Archivio storico Lombardo. Anno XX, fasc. 4. 1893.
, , Serie III. Anno XXI, fasc. 1, 1894. 8^.
Societä itaiiana di scieme naturäli in Maüand: Atti. Vol. 34, fasc. 4. 1894. 8^.
Literary and phüosophicai Society in Manchester: Memoirs and Proceedings. Vol. 7, No. 2, 3. Vol. 8, No. 1, 2. 1893/94. 8«.
Faculti des sciences in Marseille: Annales. Tom. 3, fasc. 4. 1894. 40.
Tuft's College in Massachusetts: TnflB College Studies No. 1. 1894. 8«.
Hennebergischer älterthumsforschender Verein in Meiningen: Neue Beiträge zur Qeschichte deutschen Alterthums. Lief. 12. 1893. 8^.
Fürsten- und Landesschule St, Afra in Meissen: Festschrift zur Feier ihres 350jährigen Bestehens. 1894. 4^
Scientific Association in Meriden: Transactions. Vol. 6. 1893. 8^.
Acadimie in Metz: Mdmoires. 3. S^rie. Annde 20. 1890—1891. 1893. 8«. Gesellschaft für Lothringische Geschichte und Altertumskunde in Metz : Jahrbuch. 6. Jahrg. 1893. I. Hälfte. 8^.
Observatorio meteorologico central in Mexico: £1 Glima de la ciudad de Mexico por Mariano BÄrcena. 1893. 8^.
Soeiedad dentifica Antonio Alzate in Mexico: Memorias y Reyista. Vol. VII, No. 3-10. 1893/94. 8«.
372 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,
Sociedad de historia natural in Mexico: La Naturaleza. II. Serie. Vol. II, cuad. 874. 1892. fol.
Eegia Äccademia di scienze in Modena: Memoria. Serie II, Vol. 9. 1893. 4^.
henediktiner-Äbtei in Montecassino: Pauli Wamefridi in sanctam regulam comment. 1880. 4^. Spicilegium Gasinense. Tomas I. 189S. fol.
SociStS Imperiale des Naturälistes in Moskau: Bulletin. Annöe 1893, No. 4. 1894, No. 1. 1894. 8».
Deutsche Gesellschaft für Anthropologie in Berlin und München: Korrespondenzblatt 1893. No. 11, 12. 1894. No. 1-5. 4».
K. Technische Hochschule in München: Personalstand. Somm.-Sem. 1894. 8^.
Metropolitan-Kapitel in München: Amtsblatt für die Erzdiöcese. 1893. 1894. No. 1—12. 8<>. Schematismus der Geistlichkeit für das Jahr 1894. 8^.
Universität in München: Schriften der Universität München. 1898. 4P u. 8^.
Historischer Verein von Oberhayem in München: Monatsschrift. 1894. No. 1—5. (Jan.-Juni.) 8«.
Kaufmännischer Verein München: 20. Jahresbericht. 1894. Q^
Verein für Geschichte und Älterthutnskunde Westfalens in Münster: Zeitschrift. Band 51. 1893. 8^. £rf?änzungshefte. I. Lieferung 1. 1898. 8^.
Äccademia delle scienze fisiche e matematiche in Neapel: Rendiconti. Serie 2a. Vol. VII, fasc. 8—12. Vol. VIII, fasc. 1—5. 1893/94. 40.
Historischer Verein in Neuhwrg: Neuburger KoUektaneen-Blatt. Jahrg. 56. 1892. 1893. 8^. North of England Institute of Engineers in Newcastle-upon-Tyne: Trausactions. Vol. 42, part 6. Vol. 43, part 2, 8, 4. 1893. 8®. An Account of the Strata of Northumberland and Durham. S-T. 1894. 80.
The American Journal of Science in Neto-Haven: Journal. Vol. 47, No. 277-282 (Jan.— June). 1894. 8®.
American Oriental Society in New-Haven: Journal. Vol. XVI, No. 1. 1894. 8°.
Academy of Sciences in New- York: Annais. Vol. VUI, No. 1-3. Vol. VlI, 6-12. Vol. VI. Index 1894. 1898/94. 8^ American Museum of Natural History in New-Tork: Bulletin. Vol. V. 1898. 8P.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 373
American Chemical Society in New- York: The Journal. Vol. XV, No. 12. XVI, No. 1-6. Easton. 1898/94. 8^.
American Geographica} Society in New-York: Bulletin. Vol. XXV, No. 4, part 1, 2.
Vol. XXVI, No. 1. 1893/94. 8^
Germanisches Nationalmuseum in Nürnberg: Anzeiger. 1893. 8^. Mittbeilungen. Jahrg. 1893. ^. Katalog der Gemälde. 3. Auflage. 1893. 8^.
Verein für Geschichte der Stadt Nürnberg: Jahresbericht fflr das Jahr 1892. 1893. 8®. Mittheilungen. Hefe 10. 1898. 8^.
Neurussische naturforschende Gesellschaft in Odessa: Sapiski. Band XVIII, 1, und Mathematische Abtheilung, Band XV. 1893. 8».
Historischer Verein in Osnabrück: Osnabracker Geschichtsquellen. Band 11. 1894. 8^. Geological Survey of Ganada in Ottawa: Anual Report 1890-91. N. S. Vol. V, part 1, 2 and Maps. 1893. 8*»'
R. Accademia di scienze in Padua: Atti e Memorie. Nuova Serie. Vol. IX. 1898. S^.
Sodetä Veneto-Trentina di scienze naturali in Padua: Atti. Serie ü. Vol. 1, fasc. 2. Anno 1894. 8«. Bullettino. Tom. V, No. 4. 1894. 8».
Circoh matematico in Palermo: Rendiconti. Tom. VII, fasc. 6. VIII, 1—4. 1893/94. 4P.
Coüegio degli Ingegneri in Palermo: Atti. Anno XVI. 1893. Maggio— Agosto. 1893. 4^.
Acadimie de midecine in Paris: Bulletin. 1893, No. 61. 1894, No. 1-26. 8^.
Acadimie des sciences in Paris: Comptes rendus. Tom. 117, No. 26. Tom. 118, No. 1—21, 23—26. 1893/94. 40.
Moniteur Scientifique in Paris: Moniteur. Livr. 626—630. Fävrier— Juin 1894. 4».
Sociiti de giographie in Paris: Comptes rendus 1893. No. 17, 18. 1894, No. 1—13. 8«. Bulletin. VII. Sdrie. Tom. 14. 1893. 3. et 4. trimeatre. 1894. 8".
Sociiti mathimatique de France in Paris:
Bulletin. Tom. XXI, No. 8, 9 et table des 20 premiers yolumes.
Tom. XXII, No. 1, 2, 8, 4. 1893/94. 8<».
Zeitschrift „L' ^lectriden'* in Paris:
L'filectricien. Tom. VI, No. 167, 168. Tom. VII, 169—183. 1893/94. 4P.
374 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,
Kaiserl. Russ, Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg: M^moires. Tom. 41, No. 2 -6. 1893. 4^. Repertorium für Meteorologie. Band XVI. 1893. 4°.
Botanischer Garten in St, Petersburg: Acta horti Petropolitani. Tom. 13, fasc. 1. 1893. 8®. Scripta botanica. Tom. IV, fasc. 1. 1893. 8^.
Kais. russ. archäologische Gesellschaft in St. Petersburg: Sapiski. Vol. 6. Heft 1—4. Vol. 8. Heft 1, 2. 1892/93. 8« Physikäl. -chemische Gesellschaft an der k. Universität in St. Petersburg: Schurnal. Tom. 26, No. 9. Tom. 26, No. 1—3. 1893/94. 8<>. Zum 26 jähr. Jubiläum der ehem. Abteilung der phj'sikalisch-chem. Gesellschaft (in russ. Sprache). 1894. 8°.
Physikalisches Centräl-Observatorium in Petersburg: Annalen. Jahrg. 1892. Theil I, II. 1893. 4P.
SocUti des naturälistes in St. Petersburg: Travaux. Tom. 24, Heft 1, 2. 1891. 8«.
Sternwarte in St. Petersburg: Publications de TObservatoire Central Nicolas. S^rie II, Vol. I.
1893. fol. Observations de Poulkova. Vol. 10. 1893. fol.
Kaiserliche Universität in St. Petersburg: Protokoly No. 48, 49. 1893/94. OP. Goditschnyi akt (Jahres-Akt) 8. Februar 1894. 8^. P. Kokowzow, Zur Geschichte der mittelalterlichen Philologie und
arab.-hebräischen Literatur. Band I. 1893. 8®. A. Domogarow, Von der freien Bewegung des Gyroskops. 1898. 8®. (Beide Schriften in russischer Sprache.) Historisch'philolog. Fakultät der Universität St. Petersburg: Sapiski. Tom. 33. Tom. 26, pars IL 1893 u. 1894. 8^ Äcademy of natural Sciences in Philadelphia: Proceedings. 1893. Part II, III. eP. JournaL IL Ser. Vol. X, part 1. 1894. gr. 4P.
American pharmaceutical Association in Philadelphia: Proceedings at the 41 th annual Meeting, Chicago August 1893. 8^.
The Geographical Club of Philadelphia: Charter, By-laws, List of Members. Bulletin Vol. 1, No. 2. 1894. SP.
Historical Society of Pennsylvania in Philadelphia: The Pennsylvania Magazine. Vol. XVH, No. 8, 4. 1893/94. 8^.
American philosophical Society in Philadelphia: Proceedings. Vol. 31, No. 142. 1898. 8^.
University of Pennsylvania in Philadelphia: Catalogue 1893—1894. 1893. &^.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 375
Sodetä Toscana di seienze naturcUi in Pisa: Atti. Memorie. Vol. XÜI. 1894. 4«. Atti. ProcesBi verbali. Vol. IX, pag. 1—61. 1894. 4P.
K. Gymnasium in Plauen: Jahresbericht über d. J. 1893/94. 4».
Historische Gesellschaft für die Provinz Posen in Posen:
Zeitschrift. Jahrg. 7 u. 8. 1892—93. QP.
Sonder -Veröffentlichungen. I, 1, 2. II. 1892—98. 8^.
Ästrophysikalisches Observatorium in Potsdam: PabHkationen. Band IX. 1894. 40.
Böhmische Kaiser Franz Josef Akademie der Wissenschaften, IMteratur und Kunst in Prag:
Almanach. Ro6nfk IV. 1894. 8^.
Rozprawy (Sitzungsberichte). 1893. Abth. I, II, III. 1894. TKda I. Roönfk 3. Öislo 1. 2. THda IL Ro6nfk 3. 40.
Rozprawy (Abhandlungen). Abth. III. 1893. I. 1894. 4«
Historicky Archiv. Öialo 2. 1898/94. 4^.
Vestnfk. Band IL Heft 1—9. Band IIL Heft 1-6. 1893/94. 8°.
Antonfn Pavliöek, Prävo listö zä^stavnich (Das Recht der Hypotheken- briefe). 1893. 8».
Sbfrka pramenäv ku poznäni ]ilerä.rniho üvota (Sammlung der Quellen zur Eenntniss des literar. Lebens in BObmen, Mähren und Schlesien). No. 1. 1893. 8^.
Otakar Eukula, 0 lithiasi (Von der Steinoperation). 1894. 8^.
Bulletin international. Classe des sciences mathdmatiques. I. 1894. 4^.
Antonfn Vesel^. Medicinskä Rus. 1894. 4P.
K. Böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag:
Sitzungsberichte: a) Klasse fär Philosophie 1893.
b) Mathem.-naturwis8en8ch. Klasse 1893. 1894. 8^ Jahresbericht /ür das Jahr 1893. 1894. 8<>.
Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur in Böhmen zu Prag: Rechenschaftsbericht vom 11. Dezember 1893. 8^. Qeorg Bruder, Die Gegend um Saaz. Saaz 1893. 8^. Aliscans mit Berücksichtigung von Wolframs von Eschenbach Wille-
halra, hsg. von Gustaf Rollin. Leipzig. 1894. 8^. Mittheilung. No. IL 1894. 8«.
Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag: Casopis. Band 23, No. 1, 2. 1898/94. 8<>.
Lese- und Redehalle der deutschen Studenten in Prag: Bericht. Jahr 1893. 1894. 8».
K, böhmisches Museum in Prag: Casopis. Band 67. Heft 1-4. 1893. 8^.
K. K. deutsche Universität in Prag: Ordnung der Vorlesungen. Somm.-Sem. 1894. 8^.
376 Verzeiehniss der eingelaufenen DruGkachriften,
Verein für Geschichte der Deutschen in Böhmen in Prag: Mittheilungen. 31. Jahrg. No. 1—4. 1892-93. 8».
Instituto historico e geographica in Bio de Janeiro: Revista trimensal. Tom. 56, parte II. 1893. 8^. Homenagem. Sessäo extraordinaria em commemora9&o do falleci- mento de S. M. o. Snr. D. Pedro IL 1892. 8".
Observaiorio in Bio de Janeiro: Annuario 1893. Q^.
Geölogical Society of America in Bochester: Bulletin. Vol. IV. 1893. 8».
Beäle Accademia dei Lincei in Born: Annuario 1894. 8^ Atti. Serie IV. Clasae di scienze morali. Vol. IX, parte 1 e Vol. X,
p. I. Memorie. 1893. 4^. Atti. Serie V. Classe di scienze morali. Vol. I, parte 2. Notizie
degli Bcavi 1893, Agosto — Dicembre e Indice per Tanno 1893.
1893. 4^ Atti. Serie V. Classe di scienze fisiche. Vol. II, aemestre II, fasc. 1, 2.
Vol. m, semestre l, fasc. 1—11. 1893/94. 4«. Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V, Vol. II, fasc. 11, 12.
Vol. m, fasc. 1-4. 1894. 09.
Accademia Pontificia de' Nuovi Lincei in Born: Atti. Anno 45, Sesaione III— VI. Anno 46, Sessione I— VIII. 1892/93. 40.
B, Comitato geölogico d'Italia in Born: Bollettino. 1893, No. 4. 1894, 1. 1893/94. 8«.
Kais, deutsches archäologisches Institut, röm. Abtheüung, in Bom: Mittheilungen. Band 8, No. 4. Band 9, No. 1. 1894. 8^
B. Ministero della Istruzione puhhlica in Bom: Le Opere di Galileo Galilei. Vol. IV. Firenze 1894. 4^. B. Societä Bomana di storia pairia in Bom: Archivio. Vol. XVI, fasc. 3, 4. 1893. 8^.
Bataafsch Genootschap der Proefondervindelijke Wi^shegeerte in Botterdam: Nieuwe Verhandelingen. II. Reeks, IV. Deel. Stuk I. 1893. 4«.
Accademia degli Agiati in Bovereto: Atti. Anno I— XI. (1883—1893.) 1893/94. 8^. L'Accademia di Roveretodal 1750 al 1880. 1882. 8^
Naturwissenschaftliche Gesellschaft in St. Gailen: Bericht über d. J. 1892/93. 1893. 8<>.
Instituto y Ohservatorio de marina de San Fernando (Cadiz): Annales. Seccion II. Ano 1892. 1893. fol.
California Academy of sciences in San Francisco: Memoirs. Vol. [I,.No. 3. 1894. 4«.
Verzeichmss der eingelaufenen Druckschriften. 377
SocieU scientifique du Chili in Santiago: Actes. Tom. III, IWr. 1-8. 1898/94. 4».
Bosnisch-Herzegoiüinisches Landesmuseum in Sarajevo: Wissenschaftliche Mittheilungen. Band I, IL Wien. 1898—94. 8^.
Verein für meJclehburgische Geschichte in Schwerin: Mecklenburgisches Urkundenbnch. Band XVI. 1893. 4<'.
K, K, archäologisches Museum in Spälato: Bulletino di archeologia. Anno XVI, No. 11, 12. XVII, No. 1—4. 1893/94. 80.
Historischer Verein der Pfalz in Speier: Mittheilungen. XVII. 1893. 8^.
Gesellschaft für Pommersche Geschichte in Stettin: Baltische Studien. 43. Jahrg. 1893. 8^.
K. Akademie der Wissenschaften in Stockholm: Observations du magn^tisme terrestre fsAies äUpsala en 1882—1883.
1893. 40. Meteorologiska iakttagelser i Sverige. Band 31 (1889). 1898. 4^. Ofversigt. Irgang 50 (1898). 1894. B^. Carl von Linn^ brefvexling, af Ewald Ährling. 1894. 8^. Institut Boycd Giologique de Sutde in Stockholm: Carte gdologique de la Su^de. Sdrie Aa, No. 108, 109. Sdrie Ab, No. 13—15, S^rie Bb, No. 7, Sörie C, No. 112. Nordisches Museum in Stockholm: Samfundet för Nordiska Museets främjando 1891 och 1892. 1894. 8^. Tr&sniderimönster i Allmogestil af Wilhelm Oldenburg. 1893. fol.
Soci^tS des sciences in Strasshurg: Bulletin mensuel. Tom. XXVII, 1893, No. 10. Tom. XXVIII, 1894. Fase. 1—4. 80.
K, statistisches Landesamt in Stuttgart: Württembergische Jahrbücher. Jahrg. 1898. 4^.
Württemhergische Kommission für Landesgeschichte in Stuttgart: Württembergische Vierteljahrshefte fQr Landesgeschichte. 11. Jahrg. 1893. Heft 1-4. 1893. 8^.
Department of Mines and Ägriculture in Sydney: Records of the Qeological Survey of N.-South- Wales. Vol. III, part 4.
1898. 40. Annual Report for 1898. 1894. fol. The New-South Waies Government Bard for intemcUional exchanges
in Sydney: The year Book of Australia 1894. 8^.
Boy dl Society of New-SotUh Wales in Sydney: Journal and Proceedings. Vol. XXVII. 1893. 8®.
Obseroatorio astronömico nadanal in Tacübaya (Mexico): Anuario. Afio de 1894. Boletfn. Tom. I, No. 15. 16. 1898/94. 4P.
378 Verseichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Deutsche Gesellschaft für Natur- und Välkerkunde Ostasiens in Tokio (Japan): Mittheilungen. Heft 63. 1894. 4P,
Canadian Institute in Toronto: Transactiona. Vol. IV. part 1. 1894. 8^. 7th annual Report. 1894. 8**.
Museo comunale in Trient: Archivio Trentino. Anno XI, faec. 2. 1893. 8^.
Societä Ädriaticä di scienze naturäli in Triest: Bolletino. Vol. XV. 1893. 8^. Korrespondenzhlatt für die Gelehrten und Bealsehulen Württembergs
in Tübingen: Korrespondenzblatt. 40. Jahrg. Heft 7, 8. Tübingen 1898. 8^.
Jß. Äccademia delle scienze in Turin: Memorie. Ser. H, Vol. 43. 1898. 4^. Oeservazioni meteorologiche, anno 1893. 1894. 8®. Atti. Vol. 29, di8p. 1—10. 1893—94. 8'^.
Universität in Upsäla: De Temploi des photogrammätres pour mesorer la hauteur des nuages,
par Ph. Akerblom. 1894. 8<>. Bulletin mensuel de TObservatoire mötöorologique. Vol. 26, annee 1893. 1893—94. fol.
Historisch Genootschap in Utrecht: F. de Bas. Brieven van Prins Willelm V. s'Öravenhage 1893. 8«. Werken. IIL Serie, No. 1. s'Gravenhage 1898. 8«. Physiologisch Laboratorium der Utrechtsche Hoogeschool in Utrecht: Onderzoekingen, IV. Reeks. Deel 3, aflev. 1. 1894. 8^.
JB. Istituto Veneto di scienze in Venedig: Temi di premio proclamati il 20 maggio 1894. 8^.
National Academy of Sciences in Washington: Memoirs. Vol. VI, part I, H. 1893. 4°.
Bureau of Education in Washington: Report for 1889—1890. 2 Vols. 1893. 8<>.
Bureau of Ethnology in Washington: Bibliography of the Salishan Languages, by F. Const. Pilling. 1893. 8^. Ninth annual Report 1887-1888. 1892. 4*. Museum of comparative zoology. Vol. 26, No. 4. 1894. 8^.
Smithsonian Institution in Washington: Annual Report for the year 1890/91. 1893. 8^. The internal Work of the Wind. By S. P. Langley. 1893. 4«.
U, S, Naval Ohservatory in Washington: Report for the year 1892—93. 1893. 8«.
U. S. Coast and Geodetic Survey in Washington: Bulletin No. 28—30. 1893—94. 8«. Annual Report for the year 1891. Part IL 1892. 8<^.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 379
Harzverein für Geschichte in Wernigerode: Zeitschrift. 26. Jahr^. 1893. S».
Naturwissenschaftlicher Verein des Harzes in Wernigerode: Schriften. 8. Jahrgang 1893. 8®.
K. K, Akademie der Wissenschaften in Wien: Sitzungsberichte, philo8.-hi8t. Classe. Bd. 129. 1893. 8^. M mathem.-naturwissensch. Classe.
Abtheilung I, 1893. No. 1— 7. Abtb. IIa, 1898. No. 1— 7.\,qoo oo IIb, 1893. . 1-7. . III, 1893. , 1~7./*^^- *^' Denkschriften. Philosophisch-historische Clasi^e, Bd. 42. 1893. 4^. Archiv für österreichische Geschichte. Bd. 78, II. 79, I, II. 80, L
1893. ^. Almanach. 43. Jahrg. 1898. 8^^.
Mittheilungen der prähistor. Rommission. Bd. I, No. 8. 1898. 4<>. 14 Stück Separat- Abdrücke aus den Sitzungsberichten der philos.- bist. Classe. 1893. ^.
K, K. geologische Beiehsanstalt in Wien: Jahrbuch. Jahrg. 1891, Heft 4. 1893. Band 43, Heft 2—4.
1894, Heft 4. 1898/94. 4«. Abhandlungen. Band XV, Heft 4—6.
, VI, II. Hälfte: Text und Tafeln. , XVni, Heft 3. 1893. fol. Verhandlungen. 1893. No. 11—18. 1894. No. 1—4. 4^.
K, K. Chradmessungs-Bureau in Wien: Astronomische Arbeiten. Band V. 1893. A^.
K. K. Gesellschaft der Aerzte in Wien: Wiener klinische Wochenschrift 1894. No. 1—26. 4».
Anthropologische Gesellschaft in Wien: Mittheilungen. Bd. XXIII, Heft 6. Bd. XXIV, Heft 1, 2. 1893/94. 4P,
Geographische Gesellschaft in Wien: Mittheilungen. Band 86. 1893. 8^.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien: Verhandlungen. Jahrg. 1893. Bd. 48, Quartal III u. IV. 1893. 8«.
£. K. naturhistorisches Hofmuseum in Wien: Annalen. Band VIII, No. 3, 4. Band IX, No. 1. 1893/94. 4».
iC. K. UniversitätsSterntoarte in Wien: Annalen. Band VIU u. IX. 1892/93. 4«.
Verein für Nassauische Alterthumskunde in Wiesbaden: Annalen. Band 26. 1894. S^.
Magnetisches Observatorium der kaiserl. Marine in Wilhelmshaven: Beobachtungen. Band I, II, lU. Berlin, 1890 - 98. 4^. Bestimmung der erdmagnetischen Elemente, von M. Eschenhagen.
Berlin, 1890. 4», Erdmagnetische Beobachtungen zu Wilhelmshaven, von E. Eschen- hagen. Hamburg, 1893. 4^.
380 Vereeichnias der eingelaufenen Druckschriften.
PhysikaliBch-medicinische OeaeiUschaft in Würgburg: Sitzunfirsberichte. Jahrg. 1893. No. 7—9, 11, 12. 1894. No. 1—4. 8^. Verhandlungen. N.F., Band 27, No. 6. Band 28, No. 1. 1898/94. 8».
Schweizerische meteorologische Centrdlanstalt in Zürich: Annalen. 28. Jahrgang 1891. (1894.) 4P.
Antiquarische Gesellschaft in Zürich: Mittheilungen. Band 28, Heft 6. Leipzig 1894. 4^. Allgemeine geschichtsforschende Gesellschaft der Schweiz in Zürich: Jahrbuch für Schweizerische Geschichte. 19. Band. 1894. 8^.
Naturforschende Gesellschaft in Zürich: Vierteljahrschrift. Jahrg. 38, Heft 3, 4. Jahrg. 39, Heft 1. 1893/94. 8^.
Schweizerische geodätische Kommission in Zürich: Das schweizerische Dreiecksnetz. Band VI. 1894. 4^.
Universität Zürich: Schriften der Universität aas dem Jahre 1893/94. 4<^ u. 8^
Von folgenden Privatpersonen:
Gabriel Amoux in Paris: Arithmätique graphique. Les espacea arithm^tiques hypermagiqaes. 1894. 80.
Dr, Beck in Kiosterwaid, Post Ottöbeuren: Die römischen Strassen Regensbargs. Ottöbeuren 1894. 8^.
Constäntin Chvru in Bukarest: Ganalisarca riurilor si irigatiuni6. 1893. 8^.
Hermann Escher in Zürich: Georg V. Wyss, Zwei Nekrologe von Paul Schweizer und Hermann Escher. 1894. &*.
H. Fritsche in St, Petersburg : Die magnetischen Lokalabweichungen bei Moskau. 1893. 8^.
Paul Galopin in Genf: Effets thermiques dus ä la compression. Th^se. 1893. 4^.
Hugo Gyld^n'in Stockholm: Trait^ analytique des orbites absolues des huit planbtes principales. Tom. I. 1893. 4^.
H, Haug in Gotha: Vergleichende Erdkunde und alttestamentlich geographische Welt- geschichte. Text- und Eartenheft. 1894. 4<>. J, G, Isöla in Genua: Storia delle lingue e litteratare romanze. Parte IH, disp. 2. Genova 1894. 80.
Joseph B. Jack in Konstanz: Carl Moriz Gottsche. 1893. 8<>. Stephaniella paraphyllina Jack nov. gen« Hepaticarum. 1894. 8^.
Verzeichnias der eingelaufenen DrucJcschriften, 381
Georges Jacquemin in Malzivüle hei Nancy: Emploi rationnel des Jevures pures s^lectionndes pour ram^lioration des boissons alcooliques. Nancy 1894. 8^.
James E, Keeler in London: Physical Observationa of Mars. 1893. 8^.
J. F. KM in München: Repertoriam zur Münzkunde Bayerns. Heft IV. 1894. 8®.
A. Kurz in Augsburg:
1. Der Mittelpunkt des hydrostatischen Druckes in ebenen Fij^^en.
2. Zur Theorie der Ausdehnung von Hohlkörpern. 3. Die kleinste
Ablenkung im Prisma. 4. Ballistische und Stoss -Versuche.
(4 Ausschnitte.)
Die thermischen Capaci täten der festen und tropfbar flüssigen Körper.
(Ausschnitt.) 1894. 8^ Ueber die gleitende und rollende Reibung bei der Fallmaschine. Leipzig 1894. 8^.
Henry Charles Lea in Philadelphia: The ecdesiastical Treatment of üaury. s. 1. 1894. 8^. Occult Compensation. Philadelphia. 1894. 8^.
Giuseppe de Leva in Padua: Storia documentata di Carlo V. Vol. V. 1894. 8^.
Mrs. Carvül Lewis in London: The glacial Geology of Great Britain and Ireland, by the late Henry Carvill Lewis. 1894. 8».
L. Martin in Bindjeij Deli: Neue Lepidopteren aus Sumatra. Batavia 1893. 8^.
Marc Micheli in Genf: Alphonse de Candolle et son oeuvre scientifique. 1893. 8^.
Gabriel Monod in Versailles: Revue historique. Tom. 64, No. 1, 2. Tom. 56, No. 1. 2. 1894. 8®.
Charles A. Oliver in Philadelphia: A Correlation theory of Color-Perception. 1884. 8^. 3d and 4th annual Report of tbe ophtbalmological Department of the State Hospital et Norristown. PA. 1888—89. 8^.
Emil Pallioppi in Pontresina: Dizionari dels idioms romauntschs. Fase. II, III. Samedan. 1894. 8^.
Ed, Piette in Saint Quentin: L*^poque ^umäenne et les races humaines de la pdriode glyptique. Saint-Quentin 1894. 8^.
J, de Eey-Paühade in Toulouse: Le temps dreimal. Paris 1894. 8^.
Eugenio Buidiaz y Caravia in Madrid: La Florida. 8u conquista y colonizacion por Pedro Men^ndez de Aviles. 2 tom. 1894. &^.
382 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften,
B, Schwalbe in Berlin: Die wissenschaftliche Fachliteratur. 1894. 8^
Ferdinando Cölonna dei Principi di Stigliano in Neapel: Le grotte del Monte Tabumo. Memoria 2^. 1889. 8®. Noticie storiche di Castelnnove in Napoli. 1892. 4^.
F. Thomsen in Kopenhagen: D^chiffirement des inscriptiona de FOrkhon. 1894. 8^.
August lischner in Leipzig: Le Monrement nniversel. 1893. 8®.
Victor Ritter von Tschusi zu Schmidhoffen in Hcdlein: Meine bisherige literarische Thätigkeit 186&~1898. 1894. 8^
Giuseppe Vincenti in lorea: L*insegnamento del sistema fonografico universale a mano. Torino
1890. 8°. La fonografia universale Michela. Torino 1893. 4^.
M. E. Wadsworth in Houghton: A Paper on the Michigan Mining School. Lansing 1894. 8^.
Rudolf Wolf in Zürich: Astronomische Mittheilungen. No. 83. 1894. 4®.
Inhalt.
Die mit * bezeichneten Abhandlungen sind in den Sitzungsberichten nicht abgedruckt
Sitzung vom 2, Juni 1894, ^^^^
H. Seeliger: Ueber den vierfachen Stern f Cancri .... 257 If?n. Schütz: üeber eine Verallgemeinerung der v. Helmholtz- schen Wirbel-Integrale, welcher eine unendliche Mannig- faltigkeit von mechanischen Bildern der Maxweiracben Elektrodynamik entspricht 273
Sitzung vom 7. Juli 1894.
G.Bauer: Bemerkungen über zahlentheoretische Eigenschaften der Legendre'schen Polynome
L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen, homogenen und linearen Gruppen
*Ad. V. Baeyer: Ueber das Kümmelöl 296
Einsendung von Druckschriften
343
297
Akademische Buchdruckerei von F. Straub in München.
^;'y. j 3
Sitzungsberichte
der
mathematisch-physikalischen Olasse
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu ]VIünchen.
1894. Heft IV.
Mflnchen.
Verlag der K. Ä.kademie. 1895.
In GommiSBion des 6. Franz'sohen Verlags (J. Botb).
385
lieber die Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes.
(Vorläufige Mittheiinng.) Von Robert Hartig.
(Btngtiamftn 8. Noptmbtr.)
Im Anschlüsse an meine Untersuchungen des Holzes der Traubeneiche^) unterzog ich im Laufe dieses Jahres das Holz der Stieleiche einer eingehenden Bearbeitung und liess zu dem Zweck theils im Guttenberger- und Gram- schatzer Walde bei Würzburg, theils in mehreren Wal- dungen Oberbajems etwa 30 Bäume fällen, welche ein reiches Untersuchungsmaterial darboten.
Die ausserordentlich grossen Verschiedenheiten, die die Vertheilung des Leitungs-, Festigungs- und Speichergewebes zu erkennen gaben, beruhen einerseits auf Eigenthümlich- keiten des Baumalters und Baumtheiles, andererseits auf Ein- wirkung äusserer Factoren. In demselben Baumindividuum kann Holz von 0.40 und solches von 0.82 specif. Trocken- gewicht auftreten.
Das in der Jugend des Baumes und im jugendlichen Alter jedes Baumtheiles gebildete Holz zeichnet sich durch geringe Grösse der Elementarorgane aus. Bis zum achtzigsten
1) Untersuchungen über die Entstehung und die Eigenschaften des Eichenholzes. Forstlich-naturwissenschaftliche Zeitschrift Bd. III, Heft 1. 2. 4. 5. 1894.
26*
386 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 3. November 1894,
Lebensjahre nimmt die Grösse der neu entstehenden Organe zu. Da nun besonders das Lumen der Gefösse an Grösse zunimmt, so erklärt sich schon daraus theilweise die Abnahme des Holz- gewichtes mit zunehmendem Baumalter. Der Antheil, den das Markstrahlgewebe am Holze nimmt, ist in der Jugend ein geringer, er wächst bis über das hundertste Lebensjahr und bleibt von da an mehrere Jahrhunderte hindurch ziem- lich gleich gross. Der Vorrath an aufgespeicherten Reserve- stofiPen erreicht also etwa im hundertsten Jahre ein Maximum. Wahrscheinlich steht damit der so späte Eintritt der Mann- barkeit der Eiche im Zusammenhange.
Das meiste Festigungsgewebe entsteht im Baume da, wo dieser den grössten Widerstand gegen Sturm u. s. w. leisten muss, d. h. am untersten Stammende und im Wurzel- anlaufe. Stammaufwärts vermindert sich der procentische An- theil, den das Festigungsgewebe am Holzringe ausmacht, bis zum Kronenansatze dann, wenn der Querschnitt des Jahr- ringes nach oben kleiner wird. Das Leitungsgewebe bleibt sich in den verschiedenen Baumhöhen bis zur Krone mit Schwankungen ziemlich gleich und so muss, wenn der Quer- schnitt des Ringes sich verkleinert, das Festigungsgewebe abnehmen.
Aehnliches habe ich schon früher für andere Holzarten nachgewiesen. Es wird dadurch erklärt, dass bei Wind- bruchschäden die Bäume meist unterhalb der Krone ab- brechen.
Die grossen Markstrahlen nehmen im Baume von oben nach unten zu und erreichen ihr Maximum in den Wurzeln. So betragen dieselben z. B. in dem Gipfel des Baumes 3®/o, am Stammende 12®/o und in den Wurzeln 22°/o vom ganzen Holzkörper. Mit Ausschluss des Wurzel- anlaufes enthalten die Wurzeln nur Speicher- und Leitungs- gewebe. Das Festigungsgewebe fehlt ganz. Sie bleiben auch stets ohne Kern und sind in Folge dessen für Speicherung
Hartig: Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes, 387
von Beservestoffen und für Wasserleitung ganz besonders geeignet.
Zahl und Breite der Markstrahlen sind bei den Eichen derselben Art ausserordentlich verschieden und hängt deren procentischer Antbeil am Holze von der Grösse der Baumkrone und dem Maasse der Lichtwirkung auf diese ab. Eine grosskronige 270 jährige Eiche des Mittel- waldes in freier Stellung besass 22 ^/o Ast- und Reisigholz und im Holz des unteren Stammtheiles 11 ^/o Markstrahlen, eine ebenso alte schwachkronige Eiche mit nur 7.5 ®/o Ast- und Reisholz dagegen nur 5^/o Markstrahlen. Eine völlig freistehende 70jährige Eiche hatte U^/o Markstrahlen, eine fast ebenso alte Eiche im geschlossenen Bestände nur 4^/o. Erfahrungsgemäss tragen freistehende Eichen mit grossen Kronen häufiger und reichlicher Eicheln, als schwachkronige Bäume im geschlossenen Bestände, da sie einen grösseren Procentantheil ihrer jährlichen Production in Form von Ueberschüssen als Reservestoffe aufzuspeichern vermögen.
Die Entwicklung des Leitungsgewebes hängt von der Verdunstungsgrösse des Baumes ab. Erzeugt ein Baum nur so viel organische Substanz, als erforderlich für die Aus- bildung des Leitungsgewebes ist, so entsteht überhaupt kein Festigungsgewebe. Je günstiger der Ernährungszustand des Baumes im Vergleich zu seiner Verdunstungsgrösse ist, um so mehr Festigungsgewebe wird von ihm erzeugt. Das Festigungsgewebe stellt gewissermassen den Ueberschuss der Production an Bildungsstoffen über den Bedarf an Lei- tungsgewebe dar, insoweit derselbe nicht zur Herstellung von Speichergewebe und Reservestoffen verbraucht wird. Auf nahrkÄftigem Boden wird desshalb mehr Festigungsgewebe gebildet, als auf magerem Boden. Die Breitringigkeit ist desshalb aber noch kein sicheres Zeichen für die Oüte des Holzes. Freistehende Bäume mit sehr grosser Krone und Blattmenge verdunsten so viel Wasser, dass oft der grösste
388 Sitzung der mathrphya. Glosse vom 3. November 1894.
Theil der erzeugten Bildungsstoffe zur Ausbildung von Lei- tungsgewebe verwendet werden muss. In einem geschlossenen Eichenbestande besitzen die breitringigen, am schnellsten ge- wachsenen Bäume fast nie das schwerste Holz, vielmehr findet sich dies bei denjenigen Eichen, deren Krone seit- lich eingeengt ist und desshalb weniger verdunstet. Die Bäume mit voller, hoher Krone besitzen in der Regel einen lieber fluss an verdunstenden Blättern, deren Assimilatious- energie durch Mangel an Nährstoffzufuhr aus dem Boden nicht zur Maximalhöhe gesteigert ist. Durch eine nicht zu weit gehende Entnahme belaubter Aeste wird die ver- bleibende Blattmenge zu voller Productionsthätigkeit befähigt. Die Menge der erzeugten Substanz bleibt dieselbe, die sie vor der Ausästung war, das nunmehr entstehende Holz zeigt aber weniger Leitungsgewebe und entsprechend mehr Festigungsgewebe, da mit der Entnahme von Blättern die Yerdunstungsgrösse sich vermindert hat.
Specifische Verschiedenheiten im anatomischen Bau des Holzes der Traubeneiche und der Stieleiche Hessen sich nicht erkennen, da alle Merkmale, die man bisher benutzt hat, um solche festzustellen, innerhalb der- selben Art den grössten Schwankungen unterworfen sind.
Substanzielle Verschiedenheiten im Holze beider Eichenarten waren ebenfalls nicht nachweisbar, da auch in dieser Beziehung innerhalb derselben Species grosse Schwan- kungen vorkommen. Beim Uebergange aus dem Splint- zustande in den des Kernes wird die Beservestärke der innersten Splintringe zur Entwicklung von Thyllen in den Gefässen grossentheils verbraucht. Durch Zufuhr von Gerb- stoff, durch Ablagerung desselben und seiner Spaltungs- producte vermehrt sich die Substanzmenge im Durch- schnitt um etwa 6 Gewichtsprocente. Zugleich vermehrt sich das specifische Gewicht der Wandungssubstanz erheblich. Bei der Traubeneiche des Spessartes und bei der
Hartig: Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes. 389
Stieleiche in Oberbayern schwankt das Gewicht der Wan- dungssubstanz im Splinte zwischen 1.55 und 1.565. Dasselbe steigert sich in Folge der Verkemung auf 1.59 bis 1.60. Der umstand, dass bei der Eembildung die Substanzmenge und zugleich das specifische Gewicht der Substanz sich ver- mehrt, berechtigt zu dem Schlüsse, dass die Zunahme des specifischen Substanzgewichtes der Zufuhr einer Substanz von sehr hohem specifischen Gewichte zuzuschreiben sei, womit aber die Möglichkeit nicht ausgeschlossen sein soll, dass auch die Holzwandungssubstanz selbst bei der Verkemung Veränderungen unterworfen sei.
In den bei Würzburg gefällten Eichen ergab die Unter- suchung sehr verschiedene specifische Gewichte der Substanz, nämlich 1.55 bis 1.66 für den Splint und 1.56 bis 1.71 für den Kern. Die Untersuchung, welchen Umständen diese grossen substanziellen Verschiedenheiten zuzuschreiben sind, hat noch nicht zu befriedigenden Resultaten geführt.
391
üeber den Beweis des Maxwell'schen Geschwindig- keitsvertheiliULgsgesetzes unter Gasmolekülen.
Von Max Planck.
unter obigem Titel hat Herr L. Boltzmann in den Sitzungsberichten der mathematisch-physikalischen Olasse der k. b. Akademie der Wissenschaften vom 5. Mai 1894 gegen den Beiveis des MaxwelFschen Geschwindigkeitsvertheilangs- gesetzes, wie er sich in den von mir herausgegebenen Kirch- hoffschen Vorlesungen über die Theorie der W&rme, S. 142 flF., findet, einen Einwand geltend gemacht. Da sich die Spitze des Angriffs zum grossen Theil gegen den Herausgeber jener Vorlesungen richtet, indem von Ungenauigkeiten der Dar- stellung gesprochen und sogar die Stellung des Herausgebers zur kinetischen Oastheorie damit in Verbindung gebracht wird, so liegt mir daran, mich gegen diesen Vorwurf zu vertheidigen. Es könnte nämlich durch ihn leicht die Mei- nung erweckt werden, als ob in die Darstellung des ge- nannten Beweises sich irgend ein Mangel in der Form ein- geschlichen habe, der durch Anwendung grösserer Sorgfalt und Genauigkeit von Seiten des Herausgebers hätte ver- mieden werden können.
Eine solche Meinung wäre aber durchaus irrig. Bei keiner anderen Stelle des EirchhofTschen Buches bietet das
392 Sitzung der mathrphys, Glctsse vom 3, November 1894.
vom Verfasser hinterlassene Manuscript mehr Garantieen da- für, dass die Vorlesung thatsäcblich genau so gehalten wurde, wie sie gedruckt vorliegt, und in der That handelt es sich bei dem Boltzmann^schen Einwand keineswegs um ein mög- liches Missverständniss oder um eine Unklarheit in der Aus- drucksweise, sondern der Einwand trifft gerade den Kern des ganzen Beweises ; es ist nicht denkbar, demselben Rech- nung zu tragen, ohne dass der Ideengang vollständig ab- geschnitten wird. Von einem Mangel in der Darstellung kann also gar nicht die Rede sein, und damit halte ich die Aufgabe des Herausgebers für erledigt, wie das auch in meinem Vorwort ausdrücklich hervorgehoben ist. Eine Kritik des vorgetragenen Gedankenganges und an Stelle eines un- vollkommenen Beweises womöglich einen besseren verlangen heisst doch nicht weniger, als vom Herausgeber ein neues Buch fordern. Wer würde dann wohl die Verantwortung über- nehmen können, ein nachgelassenes Werk herauszugeben? Nach der formellen Rechtfertigung sei mir auch noch ein Wort zum Inhalt verstattet. Den Boltzmann^schen Ein- wand habe ich mir seinerzeit ebenfalls gemacht, wenn auch in etwas anderer, doch in so wenig abweichender Form, dass ich hier nicht mehr darauf zurückkomme und mich einfach auf die Anerkennung seiner sachlichen Berechtigung be- schränke. Ich habe aber daran noch eine weitere Ueber- legung geknüpft, die ich bei dieser Gelegenheit hier anfügen möchte, obwohl ich nicht sicher weiss, ob sie nicht schon einmal angestellt worden ist. In dem Maxwell-Kirchhoff*- schen Beweis vrird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Moleküle nach Beendigung eines Zusammenstosses in be- stimmter Weise auseinanderfliegen, aus dem Satze von der Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens mehrerer unab- hängiger Ereignisse auf zwei verschiedene Weisen berechnet: einmal direct durch Betrachtung des Zustandes nach dem Stoss, das andere Mal durch Betrachtung des Zustandes vor
Planck: MfXXwelVsehes Gesehwindigkeit^vertheüungsgesetz. S93
dem Stoss. Aus der Oleichsetzung beider Ausdrücke resultirt dann das Maxweirsche Geschvnndigkeitsyertbeilungsgesetz. Die erste Bereclmungsart ist aber im Allgemeinen nicht zu- lässig, da die Zustande der Moleküle nach dem Stoss nicht mehr unabhängige Ereignisse sind im Sinne jenes benutzten Satzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nur bei Oültig* keit des MazwelPschen Gesetzes wird also jene Berechnung richtig, oder mit anderen Worten: wenn das MaxweU'sche Geschwindigkeitsvertheilungsgesetz gilt, so ist die Wahr- scheinlichkeit, dass zwei Nfoleküle mit bestimmten Geschwin- digkeiten auseinanderfliegen, ebenso gross als die, dass zwei Moleküle mit denselben Geschwindigkeiten zusammentreffen. Bei allen anderen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzen gilt dieser Satz nicht.
Wenn man nun in einem in vollständigem Gleichgewicht befindlichen Gas die Geschwindigkeiten sämmtlicher Moleküle plötzlich gerade umgekehrt denkt, so verwandelt sich je ein Paar gerade vor einem Zusammenstoss befindlicher Moleküle in ein Paar gerade auseinanderfliegender Moleküle und um- gekehrt; dann vertauschen sich also auch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Gilt nun das Maxwell'sche Verthei- lungsgesetz, bei welchem diese Wahrscheinlichkeiten einander gleich sind, so befindet sich auch nach dem Yerwandlungs- akt das Gas in einem Zustand dynamischen Gleichgewichts; gilt aber ein anderes Vertheilungsgesetz, so kann dies offen- bar nicht mehr zutreffen.
Nun besagt aber ein allgemeiner, aus dem Hamilton'- schen Princip abzuleitender Satz der Mechanik, dass in einem Punktsystem mit conservativen Kräften, welches sich im dynamischen Gleichgewicht befindet, eine plötzliche Um- kehrung aller Geschwindigkeiten abermals einen dynami- schen Gleichgewichtszustand bedingt. Demzufolge muss man schliessen: .Das MaxwelFsche Gesetz ist das einzige Ge- schwindigkeitsvertheilungsgesetz, welches im Einklang steht
394 Sitzung der mathrphys» Glosse vom 3, November 1894,
mit dem Satze der Mechanik, dass der dynamische Gleich- gewichtszustand eines Punktsystems durch ein plötzliches Um- kehren aller Geschwindigkeiten nicht gestört wird.* Durch diese üeberlegung wird, so viel ich sehe, der Boltzmann*» sehe Einwand ganz vermieden und das Maxwell^sche Gesetz auf einen festeren Boden gestellt. Hervorheben möchte ich noch besonders, dass die Frage, ob eine solche plötzliche Umkehrung aller Geschwindigkeiten physikalisch ausführbar ist, hiebei ganz ausser Betracht bleibt.
395
Oeffentliche Sitzung
za Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner Königlichen Hoheit des Prinz-Regenten
am 16. November 1894.
Der Präsident der Akademie, Herr M. v. Pettenkofer, eröfhet die Sitzung mit folgender Ansprache:
Entsprechend der Geschäftsordnung der kgl. bayer. Aka- demie der Wissenschaften finden jährlich zwei öffentliche Sitzungen statt, zu welchen nicht nur Eingeladene, sondern Jedermann Zutritt hat; die eine an einem sogenannten Königs- tage, zu Ehren ihres Protectors, die andere an ihrem Stif- tungstage. Die heutige Festsitzung gilt unserm durchlauch- tigsten derzeitigen Protector, Seiner königlichen Hoheit dem Prinz-Regenten Luitpold von Bayern, der in diesem Saale ebenso wohlwollend zu uns niederschaut, wie wir alle ehr- furchtsvoll und dankbar zu ihm aufschauen.
Zunächst sei mir gestattet, einige Thatsachen mitzu- theilen, aus welchen hervorgeht, wie unablässig unser Pro- tector und seine Staatsregierung für die Akademie und für die wissenschaftlichen Sammlungen, welche mit der Akademie verbunden sind, Sorge tragen, und nebstdem auch zu er- wähnen, was von anderen Seiten geschehen ist, die Zwecke der Akademie und des Generalconservatoriums zu fordern.
396 Oeffenüiehe Süeung vom 15. Kovember 1894.
Dann wird durch die HH. ClassensecreiSre die Ver- kündigung der von Seiner königlichen Hoheit bestätigten Wahlen neuer Mitglieder folgen und schliesslich Hr. College Professor Dr. Sohncke die Festrede über einen allgemein interessirenden Gegenstand, über die Bedeutung wissenschaft- licher Ballonfahrten, halten.
Als ich im vorigen Jahre an dieser Stelle über aka- demische Ereignisse der vorangegangenen Zeit berichtete, ge- dachte ich auch unseres an den damals versammelten Landtag gerichteten Antrages, der Akademie ein Capital von etwa 500 000 tJi oder einen jährlichen Zuschuss von 20 000 tÄ zu bewilligen, um damit wissenschaftliche Unternehmungen der drei Glassen unserer Akademie zu ermöglichen. Regierung und Landtag haben in dankenswerther Weise wenigstens einen Theil dieses Antrages sich angeeignet und einen auf 20 Jahre berechneten jährlichen Zuschuss von 5000 cÄ be- willigt, um damit die Kosten der von unserer Akademie im Bunde mit den anderen grossen wissenschaftlichen Körper- schaften Deutschlands und Oesterreichs geplanten und bereits begonnenen Bearbeitung eines neuen grossen lateinischen Wörterbuches (Thesaurus linguae latinae) zu bestreiten. Seither haben die hiefür verbundenen fünf Körperschaften eine eigene Commission für dieses Unternehmen gebildet, zu deren thätigsten Mitgliedern eines der Mitglieder unserer philosophisch-philologischen Classe, Prof. Dr. v. Wölfflin, gehört.
Wir erneuem den Ausdruck unseres lebhaften Wunsches, dass insbesondere den naturwissenschaftlichen Disciplinen weitere hochherzige Spenden des künftigen Budgetlandtages zu Hülfe kommen möchten.
Der neu begründete Verband wissenschaftlicher Körper- schaften hat seither zwei weitere Delegirten-Versammlnngen gehalten, die erste im Mai dieses Jahres in Göttingen, die andere im September in Innsbruck. Auf beiden wurde
V. Pettenhofer: Eröffnungsrede. 397
namentlicli der Plan eines weiteren gemeinsamen wissen- schaftlicben Unternehmens, gleichartig organisirte Unter- suchungen über den Zusammenhang der Erdschwere mit den tektonischen Verhältnissen der Erdrinde, berathen. In Göt- tingen wurde beschlossen, zu diesem Zwecke mit der seit Jahren bestehenden internationalen Gommission fdr Erd- messung, an der auch unsere Akademie durch eine eigene standige Gommission betheiligt ist, in Verbindung zu treten. Das ist nun auch in Innsbruck geschehen und hat dahin geführt, dass die vom 5. bis 12. September dort tagende permanente Gommission der internationalen Erdmessung sich bereit erklärte, dahin zu wirken, dass aus ihrem Schoosse eine eigene Section für das Studium der Schwere sowohl nach ihrer Intensität, wie auch nach ihrer Richtung gebildet werde, von welcher Section durch Beiziehung von Geologen auch die einschlägigen geologischen und geophysischen Pro- bleme bearbeitet werden könnten.
Von den vom bayerischen Landtag f)lr die Zwecke der Akademie und der mit ihr verbundenen wissenschaftlichen Sammlungen des Staates weiterhin neubewilligten Summen sind besonders hervorzuheben: der Betrag von 168000 e/4[ ftür den vollständigen Umbau der Gewächshäuser im Botani- schen Ghirten und für die neue Einrichtung des Botanischen Instituts, weiter die für den Neubau des Physiologischen Hörsaales und den Umbau des Physiologischen Instituts be- willigte Summe von 162 000 e^.
Kleinere Beträge, zusammen etwa 9400 e/4(, wurden für Einrichtung oder Ausstattung des Botanischen Instituts, dann der mathematisch-physikalischen, der geologischen und der mineralogischen Sammlung im ausserordentlichen Etat bewilligt. Der ordentliche Etat der zoologischen Sammlung wurde um jährlich Uli eA erhöht.
Mit Bedauern muss ich erwähnen, dass der Conservator der mathematisch -physikalischen Sammlung, Geheimrath
398 Oeffentliehe Süeung vom 15. November 1894.
Professor Dr. v. Boltzmann, schon nach einer Wirksam- keit von drei Jahren ans wieder verlassen hat, um einem höchst ehrenvollen Ruf in seine Heimath, nach Wien, zu folgen. Die Akademie kann, gleich der mit ihr zu ein- trächtigem Wirken verbundenen Ludwigs-Maximilians-Uni- versitat, nur den Wunsch und die Hoffnung aussprechen, dass recht bald ein dieses Vorgängers würdiger Nachfolger sich finden möge.
Eine wesentliche Aenderung ist auch bei dem bis in die jüngste Zeit mit dem k. Münzcabinet durch eine Art von Personalunion verbundenen Museum von Abgüssen classischer Bildwerke erfolgt, indem nach dem Rücktritt des inzwischen verstorbenen Gonservators der beiden Sammlungen, des Geheimen Raths Professor Dr. v. Brunn, das von ihm begründete Museum von Gypsabgüssen unter dem neuen Professor der Archäologie an der Universität München, Professor Dr. Furtwängler, zum Range eines selbstän- digen Conaervatoriums erhoben und damit einem von seinem Gründer seit langen Jahren gehegten Wunsch entsprochen wurde.
Aus dem der Akademie gehörenden, hauptsächlich der Vermehrung unserer wissenschaftlichen Sammlungen dienen- den, leider nur allzu kleinen sogen. Mannheimer Reserve- fonds haben seit meinem letzten Bericht die paläontologische Sammlung, das Botanische Institut, das Antiquarium und die mathematisch-physikalische Sammlung bescheidene Zu- schüsse erhalten, theils zur Vermehrung der Sammlungen, theils zur Anschaffung von Instrumenten. Sollte der nächste Landtag unserer Bitte um Gründung eines neuen akademi- schen Fonds Gehör schenken, so würde uns damit die Möglichkeit geboten, diese und andere ebensosehr der all- gemeinen Volksbildung wie dem strengen wissenschaftlichen Studium dienende Sammlungen auf eine Stufe zu heben, welche den verwandten Instituten anderer Staaten entspricht.
f>, Pettenhofer: Eröffnungsrede. 399
Inzwischen freuen wir uns, wenn hin und wieder — und geschähe es nur in zehnfach höherem Maassstab ! — der patriotische und wissenschaftliche Eifer von einzelnen Pri- vaten unsere Staatssammlungen bedenkt. Von dem, was im letzten Jahre auf diese Weise denselben zugekommen ist, gedenke ich dankbar der Geschenke, welche unsere Lands- leute, der kaiserliche Gouverneur von Kamerun, Eugen V. Zimmerer, dann Herr Hofrath Dr. Martin in Sumatra, weiter der Afrikareisende Dr. Hol üb in Wien dem ethno- graphischen Museum und der zoologischen Sammlung ge- macht haben. — Hochwillkommen waren auch schöne Ge- schenke, mit welchen die HH. Apotheker Burger und Zeichnungslehrer Heinrich Morin dahier, sodann Professor Selenka in Erlangen und Apotheker Wispauer in Singa- pore die zoologische Sammlung bedacht haben.
Die zoologische Sammlung hat ihrerseits gern zur wei- teren Verbreitung naturwissenschaftlicher . Kenntnisse im Lande beigetragen dadurch, dass sie entbehrliche Doubletten verschiedenen Gymnasien und anderen Mittelschulen zu- theilte.
Auf ihrem engeren Arbeitsgebiet hat die Akademie auch im vergangenen Jahre besonders nach zwei Richtungen hin sich thätig erwiesen: einerseits durch eigene wissen- schaftliche Publicationen philosophisch-philologischer, mathe- matisch-physikalischer und historischer Art, andererseits durch Pflege eines sehr ausgedehnten Schriftentansches mit zahl- reichen anderen wissenschaftlichen Instituten und Körper- schaften — ein Tausch, welcher insbesondere der kgl. Hof- und Staatsbibliothek zu gute kommt, der wir nach altem Herkommen alle uns nicht doppelt zugehenden Publicationen überreichen.
Von den speciellen Unternehmungen unserer Akademie gedenke ich heute auch noch des seit einer Reihe von Jahren theils durch Geldmittel, theils durch Arbeitskräfbe der Aka-
1804. ]Utb.-pb78. Gl. 4. 26
4:00 Oeffentliche SiUufig vom 15. November 1894,
demie geförderten Werkes, der Herstellung einer hydro- graphischen Karte des Bodensees, eines Unternehmens, zu dem sich die fünf üferstaaten verbunden hatten und welches nun Anfangs dieses Jahres zu einem gewissen Abschluss gelangt ist. Die gemeinsamen Kosten beliefen sich bis dahin auf etwa 56000 Francs; auf Bayern, d. h. auf unsere Akademie, trafen davon etwa 7300 Francs oder 5800 e^, ungerechnet die von uns besonders gedeckten Reisekosten einzelner Mitarbeiter an dem schönen Unternehmen. Wenn wir uns dabei erinnern , wie schwer es uns manchmal gewesen ist, einen an sich so kleinen Betrag an unsern laufenden jährlichen Ausgaben gleichsam abzusparen, so müssen wir immer wieder mit einem gewissen Neid unserer Genossinnen zu Berlin und Wien gedenken, welche für sich allein zehnmal grössere wissenschaftliche Unternehmungen in die Hand nehmen und zu Ende führen können.
Ich möchte desshalb schliesslich hier noch beifugen, dass die reichen Mittel, welche anderen Akademien zu Gebote stehen, nicht allein vom Staate kommen, sondern dass an- sehnliche Theile auch aus Schenkungen von Personen stam- men, welche unaufgefordert wissenschaftliche Forschungen und Werke grossmüthig zu unterstützen streben. So besitzt z. B. die Wiener Akademie durch mehrere testamentarische Verfügungen ein Capital von nahezu 200 000 Gulden öster- reichischer Währung, d.i. gegen 400 000 e^, dessen Zinsen sie im Sinne der Stifter für verschiedene wissenschaftliche Zwecke verwenden kann. Unsere Akademie hat nur ein einziges Mal einen reichen Geber gefunden, der aber kein Münchener, auch kein Bayer, noch aus einem anderen Theile von Deutschland ist. Im Jahre 1877 schenkte uns ein Grieche, der Bankier Hr. Christakis Zographos, zur Förde- rung des Studiums der griechischen Sprache und Literatur ein Capital im Betrage von 25 000 Francs oder 20 000 oM. Mit den Zinsen von diesem Capitale konnten Preisaufgaben
WMen, 401
gestellt und die rühmlichst gelösten honorirt werden. Zwei der Preisträger, die HH. Oberhummer und Krumbacher, wurden dadurch veranlasst, Reisen nach Griechenland und in den Orient zu unternehmen und seltene Handschriften in auswärtigen Bibliotheken zu untersuchen. Der Zographos- Ponds gehört ausschliesslich unserer philosophisch -philolo- gischen Classe zur Verwendung; aber auch die historische Classe und namentlich die mathematisch-physikalische hätte viele Wünsche und Aufgaben, die weder durch den Zographos- Fonds, noch durch den Thesaurus linguae latinae gefördert werden können.
Wahlen.
Der Glassensekretär, Herr C. v. Voit, giebt sodann die von der Akademie vorgenommenen und von Seiner König- lichen Hoheit dem Prinz-Regenten bestätigten Wahlen be- kannt. Es wurden in der mathematisch-physikalischen Classe gewählt :
zum ordentlichen Mitgliede:
Herr Generalmajor a. D. Dr. Carl v. Orff, bisher ausser- ordentliches Mitglied;
zu ausserordentlichen Mitgliedern:
Herr Dr. Ferdinand Lindemann, o. Professor der Mathe- matik an der Universität München;
Herr Dr. Alfred Pringsheim, a. o. Professor der Mathe- matik an der Universität München.
26«
402
Sitzung vom 1. Dezember 1894.
1. Herr H. Seeliqer legt eine Abhandlung: ,,über den Schatten eines Planeten" vor.
2. Herr Febd. Lindemann spricht: ,,über die conforme Abbildung der Halbebene auf ein einfach zusammen- hängendes Flächenstück, das von einer algebraischen Curve begrenzt wird."
3. Herr A. v. Baeter hält einen Vortrag: .über die Natur der Terpentinöle und verwandter Substanzen/
Die Resultate dieser Untersuchungen werden an einem anderen Orte veröflFentlicht werden.
403
üeber die conforme Abbildung der Halbebene anf
ein einfach zusammenhängendes Flächenstiick, das
von einer algebraischen Curve begrenzt wird,
Yon F. Lindemann. {Singita^m i« lhs$mbtr.)
Schon 1869 hatte Schwarz gelehrt, wie man das Innere einer Parabel und das Innere einer Ellipse auf das Innere eines Kreises (oder auf die Halbebene) conform abbilden kann; bald darauf fügte er die Abbildung des Aeusseren einer Parabel oder Ellipse hinzu.*) Auch für ein Flächen- stück, das durch eine endliche Anzahl von geradlinigen Strecken oder Kreisbögen begrenzt wird, kann man die Ab- bildung nach Schwarz leisten,^) d. h. auf die Lösung einer gewissen Differentialgleichung (dritter Ordnung) zurückführen. Sanio hat dann in seiner Dissertation*) einen Ansatz zur Lösung für den Fall gegeben, dass es sich um ein Polygon
1) Borcbardt*8 Journal Bd. 70 und Annali di matematica IL Serie t. 3. Vgl. Gesammelte Abhandlungen Bd. IT, p. 77 und 102.
2) YierteljahrsBchrift der naturforschenden GesellBchaffc in Zürich, 16. Jahrg. 1870. GeRammelte Abhandlungen Bd. II, p. 141.
3) BorchardVs Journal Bd. 70 und 76 ; vgl. fQr geradlinig be- grenzte Fl&chen Christof fei, Annali di matematica, IL Serie Bd. 1, 1867, und Bd. 4.
4) Die Abbildung des Aeusseren eines Kreisbogenpolygons anf eine Kreisfläche. Königsberg, 1886.
404 Sitzung der mcUK-phys. Classe vom 1. Dezember 1894,
handelt, das von gleichseitigen Hyperbeln mit gemeinsamem Mittelpunkte begrenzt wird; doch lässt dieser Ansatz nicht die Richtung erkennen, in welcher eine Verallgemeinerung zu erwarten sei.
Ändere Beispiele, in denen die Fläche durch einen stetig gekrümmten Gurvenzug begrenzt wird, waren nicht bekannt. Kürzlich habe ich nun eine Methode angegeben,^) nach der das fragliche Problem gelöst werden kann, wenn sich eine rationale Function von x und y mit reellen Coef- ficienten derartig bestimmen lässt, dass eine passende Potenz des Quotienten (wo O eine rationale Function bezeichnet)
IL
dz,
eine rationale Function von e wird, vorausgesetzt, dass die Gleichung der begrenzenden Curve in der Form
(1) /•(^,^i) = o
gegeben ward , und dass jp = a; + ty, z, = x — iy gesetzt wird, wobei x und y rechtwinklige Goordinaten bedeuten. Dieser Fall liegt in den von Schwarz behandelten Bei- spielen (Ellipse und Parabel) vor, femer bei der Hyperbel, bei jeder Curve dritter Ordnung, welche durch die imagi- nären Kreispunkte hindurchgeht, bei jeder Gurve vierter Ord- nung, welche in jedem der imaginären Kreispunkte einen Doppelpunkt hat, und bei vielen Gurven nter Ordnung, z. B. allen, deren Gleichung in der Form
az^'^i + 6^" + &i -e? + c = 0»)
1] SitzuDgaberichte der physikaliflch-ökonomischen Gesellscbaft za Königsberg i. Pr., 7. Jani 1894.
2) Früher hatte ich nur den Fall a = 0 erwähnt; Herr A. LOwy machte mich darauf aufmerksam, daes man das Beispiel in der jetzt gegebenen Weise verallgemeinern kann.
Lindemann: üeber die conforme Abbildung der HaXbehene, 405
geschrieben werden kann, wo a und e reell, h und h^ zu einander conjugirt sind.
Wird dagegen der Rand des abzubildenden Fläcben- stückes durch eine beliebige algebraische Gurve gebildet, so soll durch die folgenden Ueberlegungen ein Ansatz f(ir das betreffende Problem gegeben werden.
1. Wir setzen j? = aj + t^, Zi = x — iy, wo x und y die orthogonalen Goordinaten eines Punktes des Randes seien, und schreiben die Gleichung der begrenzenden Gurve nter Ordnung wieder in der Form (1); dieselbe möge keine sin- gulären Punkte besitzen.
Wir benutzen im Folgenden vielfach diejenige Function f)^ durch welche sich die Goordinaten eines Punktes der Gurve nach Schottky, Poincare und Klein als eindeutige Func- tionen darstellen lassen. Es werde allgemein
gesetzt, wo qp' = ^ ; dann ist bekanntlich nach Schottky und Gayley^), wenn jn als Function von Z gedacht wird:
(3) {<r,z} = {.,z} + {y,.}(|-|)'.
•Ersetzt man hierin g> und js durch a^^ so wird
(4) {....! (f 5)' =-W.)(f|)'.
Durch die complexe Variable Z = X -{- i Y werde ein Punkt der Halbebene Y > 0 dargestellt, auf welche das von der Gurve (1) umschlossene Oval abgebildet werden soll. Auf dem Rande ist dann Z=s*X reell, während e^^x-^-iy
1) Vgl. z. B. Schwarz, Gesammelte math. Abhandlungen, Bd. II, p. 862.
406 SiUung der matK-phya. Glosse vom 1, Dezember 1894,
und g^ = X — iy einander conjugirt sind. Man erkennt demnach aus (4), dass die linke Seite nur ihr Zeichen wechselt, wenn man t mit — % vertauscht; diese linke Seite ist also anf dem Rande rein imaginär.^)
2. Vermöge der Gleichung (1) fassen wir jer^ als Func- tion von e auf. üeber der ;er-Ebene haben wir dann eine Riemann'sche Fläche, deren Yerzweigungspunkte mit den Brennpunkten der Curve /*= 0 zusammenfallen.^) Die Aus- dehnung der Abbildungs-Aufgabe auf diese ganze Fläche führte mich in den eben bezeichneten einfachen Fällen zur Lösung und wird uns auch jetzt zum Ziele führen.
Das auf die Halbebene abzubildende Flächenstück wird durch ein Oval der Curve /'=0 begrenzt. Das Blatt der Fläche, in welchem das Oval liegt, bezeichnen wir als erstes Blatt. Dasselbe ist in der Regel durch mindestens zwei Brennpunkte, die im Innern des Ovals liegen, mit einem zweiten Blatte verbunden (wie man durch Grenzübergang erkennt, wenn man einen Doppelpunkt auflöst). Ausserdem hängt das erste oder zweite Blatt vielleicht durch andere Brennpunkte mit noch weiteren Blättern der Fläche zu- sammen. Alle Brennpunkte, zu denen man von einem im
1) Man seifig leicht, dass sie gleich 4 i -j-^ • j ^ ist, wenn k das
a JL a A.
Erümmangsmaass, und de das Bogenelement der Curve bezeichnen.
2) Bei Construction dieser Fläche ist es nützlich, sich derjenigen Vorstellungen zn bedienen, welche ich in den , Vorlesungen über Geometrie* (Bd. II, Theil 1, p. 621 ff., 1891) über die Interpretation der complexen Zahl z entwickelt habe, und welche den Zusammen- bang mit den imaginären Ereispunkten und sonach mit den Brenn- punkten sofort erkennen lassen. Klein erwähnt neuerdings in einem Berichte über seine Vorlesungen (1891 — 92), dass er sich derselben Art Riemann'scher Flächen bedient habe (Math. Annalen Bd. 46, p. 148); es sei bemerkt, dass ich die oben erwähnten Beispiele der Abbildungsaufgabe schon 1892 vorgetragen habe, vgl. anch Sitzungs- bericht der phjs.-ökon. Ges. zu Königsberg i. Pr. vom 6. Oktober 1892.
lAndemann: üeber die eonforme Ähbüdung der Hdlhehene, 407
ersten Blatte und innerhalb des Ovals gewählten Punkte ge- langen kann, ohne das Oval oder eine in anderen Blättern über dem Oval liegende Garve zu überschreiten, bezeichnen wir als innere Brennpunkte, alle anderen als äussere Brennpunkte. Ein Verzweigungspunkt, der zwar im In- nern des Ovals liegt, aber nicht in einem Blatte, in das man ohne das Oval zu überschreiten aus dem Innern des Ovals (im ersten Blatte genommen) gelangen konnte, ist also auch ein äusserer Brennpunkt.
Betrachten wir eine Function, welche von dem Punkte z^ 0^ innerhalb dieser untereinander verzweigten Blätter ein- deutig abhängt (wobei e^ e^ weder den Rand des Ovals noch eine darüber liegende Curve überschreitet), als Function von Z= X + iT (wo T>0 die als Bild dienende Halbebene definirt), so erhalten wir über der Z-Ebene eine Riemann'- sche Fläche, in welcher jedem »inneren* Brennpunkte der Curve /"= 0 ein Verzweigungspunkt der oberen Halbebene entspricht, und bei der vermöge dieser Verzweigungspunkte ebenso viele Blätter zusammenhängen als bei der gegebenen Fläche im Innern des Ovals. Es fragt sich nun, wie ist diese Riemann'sche Fläche über die reelle X-Axe hinaus in jedem der fraglichen Blätter fortzusetzen, wenn der Punkt a^ z^ den Rand des Ovals in einem der über der ^-Ebene liegenden Blätter über- schreitet?
Geschieht dies im ersten Blatte, so ist klar (da die be- trachtete Function für reelle Werthe von X im ersten Blatte reell sein muss, um für das Abbildungsproblem verwandt werden zu können), dass sich über die untere Halbebene eine symmetrische Riemann'sche Fläche als Fortsetzung des zu- erst betrachteten Theiles ausbreiten wird ; dieselbe besteht aus einer gleichen Anzahl von Blättern, und in ihnen nimmt die betrachtete Function Werthe an, welche denjenigen con- jugirt sind, die ihr in den entsprechenden Punkten der
408 Sitzung der mathrpkys. Glaaae vom 1, Dezember 1894.
Blätter über der oberen Halbebene zukommen. Wie sich aber die so über der unteren Halbebene ausgebreiteten Blatter nun wieder in die obere Halbebene fortsetzen, bleibt zu er- örtern.^)
3. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Curve f=0 aus p + l reellen Zügen besteht, wenn p das Geschlecht der Curve bezeichnet. Nach Schottky*) kann man die vom Punkte jn^ z^ gebildete Riemann^sche Fläche auf einen durch 2 p Kreise (von denen etwa einer die übrigen umschlieast) begrenzten Theil der Ebene conform und eindeutig abbilden. Ist ein Punkt der letzteren durch die complexe Zahl rj bestimmt, so geschieht die Abbildung durch Lösung einer Differentialgleichung der Form
(5) {n^ e] = 9 (^1 ^i)i
wo (p eine gewisse rationale Function von a und e^ be- zeichnet; es wird ij als Quotient der beiden particulären Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit algebraischen Coefficienten gefunden. Die 2 p Kreise sind einander paarweise zugeordnet, so dass der Punkt i; von dem einen Kreise eines Paares zu dem zugeordneten springt, wenn der Punkt ^, z^ einen be- stimmten von den ^ + 1 reellen Zügen der Curve über- schreitet. Jedem reellen Zuge (einen zunächst ausgenommen) entspricht so ein Paar von Kreisen; jedes Paar besteht aus
1) Bei den früher von mir behandelten Beispielen geschah dies einfach, indem die über Y ^ 0 liegenden Halbblätter sich s&mmtlich direct in die über Y'CO liegenden Halbbl&tter fortsetzten. Im All- gemeinen geschieht dies indessen nur im ersten Blatte.
2) Ygl. Borchardt's Jonmal Bd. 83, 1877 (und die 1876 erschie- nene Dissertation). Schottkj und Klein machen darauf aufmerk- sam (Math. Annalen Bd. 20, p. 300 und Bd. 21, p. US), dass sich in dem 1876 veröfifentlichten Rie mann 'sehen Nachlasse (Ges. Werke, p. 413) bereits ähnliche Untersuchungen finden.
Lindemann: üeher die canfarme Äbbüdung der Halbebene. 409
zwei KreiaeD, die einander in Bezug auf einen und denselben (2jp-f- l)ten Kreis zugeordnet sind und durch eine solche lineare Transformation von tj (eigentlich durch eine «Spie- gelung*) aus einander entstehen, welche diesen (2 p -{- l)ten Kreis ungeändert lässt. Der letztere geht aus dem (/>-f l)ten reellen Zuge der Gurve bei der Abbildung hervor. Die Function i; kann über jeden Kreis hinaus durch den be- kannten Process der «Spiegelung'^ fortgesetzt werden; da- durch wird die ünsymmetrie beseitigt, welche in Bezug auf den (p + l)ten reellen Zug nach der soeben gegebenen Dar- legung zu bestehen scheinen würde. Auf jedem Kreise, also auch auf jedem reellen Zuge der Curve /'=0, nimmt eine gewisse lineare Function von tj reelle Werthe an.
4. Denjenigen Kreis, welcher dem Rande des gegebenen Ovals entspricht, denken wir uns als reelle Axe einer H- Ebene, auf welche wir die 17-Ebene mittelst einer linearen Transformation abbilden. Die anderen 2 p Kreise liegen dann paarweise symmetrisch zu dieser Axe.
Die Function {H, Z) ist hiernach reell auf dem Rande des Ovals; für sie denken wir uns über der Z-Ebene die in Nr. 2 erwähnte mehrblättrige Fläche construirt.
Die reellen Coordinaten x^ y eines reellen Punktes der Curve lassen sich nach Schottky als eindeutige automorphe Functionen von H darstellen :
welche för reelle Werthe von H reell sind, also für con- jugirte Werthe von H auch einander conjugirte Werthe an- nehmen. In den Veränderlichen a und £^^ haben wir die Parameter-Darstellung
(6) ij = 9>(H) + »V(J?). e,^cpiH)-iipiH).
Es sei nun u,-^ ivr = q> (Ar), Wr -{■ i co, = if> (Hr) ; und es
410 Süeung der math.-phys, Clasae vom 1. Deeeniber 1894.
mögen JTj , J?, , ... H/i (wo f^^n bei einer n-blattrigen Fläche) einen nnd denselben Werth von jb (also über einander liegende Punkte der Fläche) ergeben, so dass:
U^ Wj = Wj CÜj =5 . . . . = «yji Wfi,
V, + M?j = V, + Wg = = Vfi -{-tOfi.
Wir behaupten, dass dann die den conjugirtenWerthen von -0J, . . . Hfl zugeordneten Punkte der Fläche nicht ebenfalls über einander liegen können, falls fi>2 ist. In der That, sollte dieses der Fall sein, so hätten wir für zwei verschiedene Werthe der Indices r und s
i w,),
|
Ur |
— iVr + i {Wr — t Wr) = |
= w,- |
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i {w, — t |
|
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also: |
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Wj + W^ : |
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.. ==Wn |
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|
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V,-W,: |
= V^ — t€^ |
= .. |
.. = t?„ |
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|
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|
u,=u,= . |
... = I4^, |
^1 = |
= V, = . . |
.. = Vfi, |
|
|
w,=w^^ |
. . . =Wfi, |
^1 = |
= 01, = .. |
. . = (Ofjt. |
Es würden also auch die zugehörigen Werthe von £f, (nem- lich Ur — Wy + i (vr + Wr)) sämmtlich einander gleich , uud der fragliche Punkt wäre ein (iu— l)-facher Verzweigungs- punkt der Curve f=0; das Auftreten eines solchen aber können wir, falls ^>>2, vorläufig ausschliessen. Der Fall /Ai=n = 2 ist durch die früher von mir behandelten Bei- spiele schon vollständig erledigt.
5. Kehren wir jetzt zu dem Probleme der Fortsetzung unserer über der ^Ebene ausgebreiteten Fläche zurück. Mit dem ersten Blatte der ursprünglichen Fläche (in dem das gegebene Oval liegt) mögen /u Blätter in der geschilderten Weise zusammenhängen ; wir denken sie uns durch Ränder rj, r,, ... rfi begrenzt, die über dem Ovale liegen, während
Lindemann: Ueher die eonforme Ahbüdung der HcHhebene, 411
Tj mit dem Ovale zusammenfällt. Letzteren entsprechen /i geradlinige Bander über der reellen X-Äxe: JSj, 22,, . . . 22^, welche ebenso viele Halbebenen (F>0) begrenzen. Die conJDgirten Halbebenen {T<0) werden durch die Bänder Bu üii . • • -Kici begrenzt, die ebenfalls über der X-Axe liegen, und von denen JSj mit R'i identisch ist. Diesen neuen Band- curven entsprechen wieder in der ursprünglichen Flache ge- schlossene Curven rj, rj, ...rjL, die zu den Curven r^, r,, . . .Tfi conjugirt sind , deren Bilder in der H-Ebene daher leicht zu bestimmen sind ; sie können, wie soeben in Nr. 4 gezeigt wurde, nicht übereinander liegen. Wir wählen die- jenige Curve r aus, welche am weitesten über die anderen Curven r hinübergreift;^) in dem ganzen durch sie begrenzten Gebiete ist dann ß als Function von Z definirt, also auch jede algebraische Function von jgr, und zwar letztere zugleich in allen darüber oder darunter liegenden Theilen von Blättern der ursprünglichen Biemann 'sehen Fläche. Diese Curve r und die /u — 1 über oder unter ihr in den anderen Blättern der Fläche liegenden Curven geben neue Bänder, welche das ursprünglich für die Variable e gegebene Gebiet wesentlich erweitem. In entsprechender Weise ist damit auch über der 2r-Ebene das Gebiet der Variabein Z und der zur Darstel- lung von {jH, Z} dienenden Fläche bis an neue Bänder JSJ, JSs, - . .Rfi über die Bänder iZi, l^si * - » B/i hinaus fortge- setzt. Dasselbe gilt von den conjugirt imaginären Gebieten der Fläche ; sie sind über die Bänder IZ,, R^, ... R/i hinaus in die untere Halbebene bis an neue Bänder Pg, Pj, . . . P^ fortgesetzt; vielleicht haben einige dieser Bänder dabei be- reits die ganze untere Halbebene überstrichen und befinden sich in neuen Blättern über der oberen Halbebene, in wel- chem Falle die entsprechenden (conjugirten) Bänder JR" in
1) Statt dessen könnte man eine neue Curye construiren, welche sich ans möglichst günstig gewählten Theilen der verschiedenen Caryen ^if ^it " • zusammensetzt.
412 Sitzung der mathrphya, Glosse vom 1, Dezember 1894,
der unteren Halbebene verlaufen. Den Rändern P,, P,, . . . P/i entsprechen über der j^-Ebene in der ursprünglichen Fläche Curven ß,, Pg, . . . ^/w , welche der Curve r und den direct über oder unter ihr liegenden Curven conjugirt sind (immer in dem Sinne, dass einander entsprechende Punkte durch conjugirte Werthe von H gemäss (6) dargestellt wer- den), und welche daher selbst nach Nr. 4 nicht übereinander liegen können. Mit ihnen kann man in gleicher Weise die gemachten Schlüsse fortsetzen. Jedem von a beschriebenen Wege entspricht gemäss diesen üeberlegungen ein angeb- barer Weg der Variabein Z und umgekehrt.
6. Es fragt sich zunächst, ob die Variable e sich viel- leicht einer Grenzcurve nähern kann, über die hinaus eine Fortsetzung nicht mehr möglich ist. Sollte dies geschehen, so mOsste der zum conjugirten Werthe von H gehörige Punkt e' sich ebenfalls einer natürlichen Grenze nähern; und dasselbe müsste für alle zugehörigen /« — 1 Punkte in der zur Darstellung von {?/, jn] dienenden Fläche der Fall sein. In jedem Blatte hätte man eine solche Grenzcurve über derjenigen, welche in einem Blatte als natürliche Grenze von e auftritt; die conjugirten Punkte müssten dann in den verschiedenen Blättern die conjugirten Grenzcurven bilden, also alle übereinander liegen, was nach Nr. 4 nicht mög- lich ist.
Das Gebiet der Variabein a ist also, wenn e als B^unction von Z betrachtet wird, in keiner Weise durch eine natürliche Grenze beschränkt.
7. In analoger Weise zeigt man, dass jet als Function von Z keinen wesentlich singulären Punkt haben kann, wenn die Variable rj auf das in Nr. 3 geschil- derte, von 2p Kreisen begrenzte Gebiet beschränkt bleibt.
Sollte nemlich an irgend einer Stelle £f die Function Z
Lindemann: Ueber die canforme Abbildung der Halbebene. 413
wesentlich singulär sein, so müsste auch {j^, Z} dort eine wesentliche Singularität haben, und es müsste dasselbe für alle über /s gelegenen Stellen der zur Darstellung von {17, z} dienenden Fläche gelten, ebenso für alle conjugirten Stellen. Die letzteren aber liegen nicht übereinander, jede von ihnen gibt also zu weiteren Punkten der zuletzt erwähnten Rie- man naschen Fläche Veranlassung, die ebenfalls wesentlich singulär sind, u. s. f. Einer der so erhaltenen singulären Punkte müsste dann in das Innere des ursprünglichen Ovals fallen, wie folgende Schlussweise lehrt.
Nehmen wir z. B. an, ein solcher Punkt Zq läge im Innern eines durch die in Nr. 5 benutzten Ränder P,, Pg, . . . P/j, und JBj, JBg, . , . RfA begrenzten Gebietes ; der ent- sprechende Punkt Zq liegt dann innerhalb des durch die Curve r begrenzten Gebietes, und zwar als wesentlich sin- gulär in allen übereinanderliegenden Blättern; die gleiche Singularität muss dann in den conjugirten Gebieten , d. h. auch innerhalb des ursprünglichen Ovals vorkommen, was nicht möglich ist. Liegt der Punkt Z^ ausserhalb der Ränder P, so hat man die frühere Schlussweise in gleicher Weise rückwärts fortzusetzen. Wesentliche Singularitäten sind also bei der Abhängigkeit der Grössen Z und z von einander ausgeschlossen, soweit solche nicht schon bei der Abhängig- keit der Function rj von z vorkommen , d. h. so lange 17 (oder H) keinen der früher besprochenen 2 p Kreise über- schreitet.
8. Wir untersuchen noch, wie sich die reellen Züge der gegebenen Curve über der Z-Ebene abbilden, d. h. wie sich Z ändert, wenn H einen der 2p Kreise über- schreitet.
Geht H von einem Punkte der reellen Axe aus in der oberen flalbebene zu einem Punkte des Kreises JT, so Uluft gleichzeitig der conjugirte Punkt E^ in der unteren Halb-
414 Sitzung der matK-johys, Claase vom 1. Dtsember 1894.
ebene dem entsprechenden Punkte des conjugirten Kreises £j zu. Diesen beiden Wegen entsprechen zwei Wege in der ursprünglichen (über der £r-Ebene ausgebreiteten) Riemann*- schen Fläche, welche vom Punkte z, e^ der Randcnrve des ersten Ovals zum Punkte e\ z'i eines zweiten reellen Zuges hinführen, und ebenso zwei Wege in der über der Z-Ebene ausgebreiteten Fläche, welche vom ursprünglichen Punkte der reellen X-Axe aus zu einem (in einem anderen Blatte gelegenen) Punkte Z' bezw. zu dem Punkte Z[ im conju- girten Blatte führen. Dabei ist Z' eine Function von e\ und umgekehrt; ebenso ist e\ eine Function von Zi^ also auch (da e'i eine Function von e ist) von Z\ und nach Gleichung (3) haben wir identisch:
Bedeutet t einen reellen Parameter, so ist die rechte Seite rein imaginär (vgl. oben Nr. 1); es ist folglich {e\Z'}[dZ')^ conjugirt zu {jg^J, Z'} (rf^)*; andererseits ist derselbe Aus- druck conjugirt zu {jg^i, ZI; (d Zi)*; es folgt also
{^i, z:] (d z'y - Wu z[} (d ZI)» = o.
Femer ist nach (3) die linke Seite der letzten Gleichung identisch gleich — {Z\ Zl} (dZi)*; es ist somit {Z\ Zi} = 0, d. h. es besteht eine Relation der Form
(7) aZ' Zi + ßZ' + yZi + d^O.
Dieses aber ist die Gleichung eines Kreises. Auf der über der Z-Ebene ausgebreiteten Riemann^schen Fläche entspricht daher jedem reellen Zuge der Curve f=^0 ein Paar von einander zugeordneten Kreisen. Ent- weder muss das Innere oder das Aeussere eines solchen Kreises als durch ihn begrenzt betrachtet werden.
TJeber diese Kreise hinaus kann man den Verlauf der
Lindemann: Üeber die eanfomie Abbildung der Salbebene, 41 o
Function Z durch den Process der ^Spiegelung* verfolgen, genau wie es mit der Function H durch Spiegelung an den 2 p Kreisen der Ä'-Ebene geschieht. Bei wiederholter An- wendung des Processes wird man schliesslich eine Fläche mit unendlich vielen Blättern und unendlich vielen Verzweigungen construiren. Nähert sich der Punkt Z einer Stelle, wo sich diese Verzweigungen unendlich häufen, so wird der Punkt e unendlich oft die reellen Züge der Curve /'== 0 überschreiten, also einen unendlich langen Weg beschreiben. Durch dieses Verhalten ist die Abhängigkeit der Grössen z und Z von einander als eine im Allgemeinen transscendente charakterisirt.
9. Es erübrigt noch, die Verzweigungspunkte der für \H^ Z} construirten Fläche näher zu untersuchen. Als solche treten, wie wir bereits wissen (Nr. 2), die den inneren Brenn- punkten von f=0 entsprechenden Punkte und die ihnen eonjugirten Punkte auf. Um die Frage allgemein in An- griff zu nehmen, setzen wir wie in Nr. 4
jßTj = M -{- i t; — i{w -{■ ioj) = u -{- w -j^ i{v — w).
Der conjugirte Punkt hat dann die Coordinaten
£ t=u — iv '\' i(fo — i(o) = u-\- ü} — i{v — w), £fi=zu — i t; — t (ti? — i w) = f« — w — i (r + u;).
Seien nun £ = a, ^i = a, die Coordinaten eines Punktes der ursprünglichen Fläche und
(8) ir = a + (Z-^)^^, ^, = a, + (Z-^f r,
wo ^ und ^ Potenzreihen bedeuten. Dann wird, da £{ zu jer, / zu £^ conjugirt imaginär ist
(9) / = (11 + (Z, - Af ^?, j,{ = a' + (Z, - Ä,)^ %
wenn a', al, ^i, ^i bezw. zu a, Oj, ^, ^° conjugirt ima- ginär sind.
18M. Math.-phya. Ol. A, 27
416 Sitzung der matK-phys, Glasae vom 1. Dezember 1894.
Für einen Punkt, dem derselbe Werth von js^ aber ein anderer yon xr^ zukommt, sei
C =u — cü -{- i {v + w) = js^ = u — 10 -{- i {v -{■ w) Ci = u -f w + i (v + w).
Ihm ist dann der Punkt
^ = w' + ^^' — i(v — ti;'), Ci=u — CO* — i {v + w)
conjugirt; es ist also, daw' — w' = m — co und t;' + M?' = t;-f-w? war, Ci identisch mit 0{. Werde ^ = 0 für Z^^Ä^^ so haben wir
(10) r = o + {Z,-A/ % ri = a + (Z, - A,)^ %
Sei nun erstens der Punkt a, a^ kein ausgezeichneter Punkt der Fläche /'=0, so ist A = ^. Ist der Punkt C Ö eben- falls nicht ausgezeichnet, so ist auch v = i = ju. Sei ^ von 1 verschieden, so haben wir nach (8) und (9) sowohl in A als in Ä^ einen Verzweigungspunkt, nach (10) aber auch in jedem Punkte, welcher in der ursprünglichen Fläche über einem zu a, a^ conjugirten Punkte liegt; das aber ist un- möglich , wie die in Nr. 7 angewandte Schlussweise sofort erkennen lässt. Wäre der Punkt a, a zufällig ein Brenn- punkt, so ist in der folgenden Betrachtung nur ^^ Ci durch a, Oj zu ersetzen.
Sei zweitens a, a^ ein Brennpunkt von /*= 0. Dann haben wir A = 2 ^. Ist auch v = i = 2 /u, so ergibt sich
für A ^ 1 dieselbe Unmöglichkeit , wie vorhin. Für A = 1 folgt aus (9)
rl — a =(/ — ai)*?3; diese Gleichung sagt aus, dass der zum Brennpunkte con- jugirte Punkt der Gleichung - ' = 0 genügt , wie es auch direct einleuchtet. Aus (10) ergibt sich kein Widerspruch;
Lindemann: Üeber die conforme Abbildung der Hcdbebene. 417
A = 1 ist also die einzig mögliche Annahme. Wäre v von
l verschieden, so wäre der Punkt a, a zufällig selbst auch
d f ein Brennpunkt oder ein Nullpunkt der Function r-^ ; dann
wird man einen anderen Über £, js^ liegenden Punkt be- nutzen können, dessen conjugirter kein Brennpunkt ist, und analoge Schlüsse wiederholen.
Nicht nur die „inneren*, sondern auch die »äus- seren* Brennpunkte der Curve f==0 gehen also bei unserer Abbildung in Verzweigungspunkte der für {/f, Z} construirten Fläche über. Letztere hat ausser- dem nur in den conjugirten Punkten Verzweigungs- punkte.
10. Wir haben jetzt alle Mittel bereit, um die Lösung unseres Abbildungsproblems auszuführen. Die Function {H^Z} ist in der ursprünglichen Riemann'schen Fläche überall holomorph, so lange der Punkt £, e^ keinen der p + 1 reellen Curvenzüge überschreitet.
Beim üebergange über einen solchen Zug aber springt H auf den conjugirten Werth H^ , gleichzeitig Z auf den conjugirten Werth Z^ über; dabei ist nach (7)
. aZ+b _ , _ aZ+b'
Zi. = ry , "j nnd ebenso Uy^ = -/ -r/r-^
* cZ-^ d ^ c Z -j- a
also nach (3) in bekannter Weise
Die Function {H, Z} ist ferner reell auf dem Rande des ab- zubildenden Ovals. Auf demselben Rande ist die Function
, dsf 1 . d/sf^ 1
^dZjl~'^^Jz"d7
dZi 3 2
reell. Das Quadrat der letzteren Function, dividirt durch
418 Sitzung der math.-phya. Glosse vom L Dezember 1894,
{n,Z}^ gibt daher einen Quotienten, der ungeändert bleibt, wenn der Punkt jer, j?, einen reellen Zug von f=^0 auf der Rie man naschen Fläche überschreitet, und welcher auf dem
Rande des abzubildenden Ovals reell ist. Auch | -:; ^ 1 ist
(sD* "^
überall holomorph, so lange die reellen Züge nicht über- schritten werden. Es besteht daher eine Gleichung der Form
(11) w^}=<»(-^^.)T^(|i)'
\dzj
wo <P eine rationale Function von e und xr^ bedeutet, die auf dem Rande des abzubildenden Ovals reelle Werthe annimmt, sich also als rationale Function von X und y mit reellen Goefficenten darstellt.
Die nähere Bestimmung der Function O wird von trans- seendenten Bedingungen abhängen, deren Aufstellung in explicirter Form grosse Schwieriglfeiten bereitet, wie dies ja auch für die entsprechende Function g> in der Differential- gleichung (5) eintritt^). Wir können aber das Verhalten der Function <P an den singulären Stellen angeben.
Für einen Brennpunkt a, a^ ist nach Nr. 9
also
wenn C eine Constante bedeutet. Ferner ist
1) Vgl. Poincar^, Acta matematica Bd. 4, p. 292 ff. und (für das Vei halten von (p an den singulSüren Stellen) Bd. 1, p. 278.
Lindemann: lieber die conforme Abbildung der Hcdhehene. 419
die Fanction <Z> muss daher der Bedingung genügen: (12) lim (P . (if — a) = Const.
Handelt es sich um einen Punkt a, a^ , welcher zu einem Brennpunkte conjugirt ist (d. h. einen Nullpunkt der Func-
tion ö"^ j 1 so haben wir nach Nr. 9 : also
df ferner -— = Const.; für <t> ergibt sich also die Bedingung:
lim CD • (je^i — a,) = Const.
Dieselbe entspricht genau der Bedingung (12); in der That hätte sie auch aus der Realität der Function (Z> direct ge- schlossen werden können.
Die Gleichung (11) können wir noch in bemerkens- werther Weise umformen. Ersetzen wir nemlich in (3) g> durch £f, so ergibt sich mit Hülfe von (11) unter Benutzung von (4):
(13) {z,z} = q>{z,z,)-^^^
Auf diese Differentialgleichung dritter Ordnung, in der q> und (P die in (5) und (11) vorkommenden rationalen Functionen von z und z^ bedeuten, ist hiernach das Problem zurückgeführt, ein durch ein Oval einer algebraischen Curve /"^O (die keine Doppelpunkte hat) begrenztes einfach zusammen-»
420 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1, Dezember 1894.
hängendes Flächenstück auf die Halbebene abzu- bilden.
11. Insbesondere kann es vorkommen, dass die Kreise, welche nach Nr. 8 in der Z- Ebene den reellen Zagen der Curve f=0 entsprechen, paarweise mit einander und mit der reellen Axe zusammenfallen. Dann schliesst sich die für {fli Z} construirte mehrblättrige Fläche, und {H, Z\ wird eine algebraische Function von Z. Die Gleichung (13) wird dann von der Form
^a-D'»".
<dZ}
wo \p eine algebraische Function von », V eine algebraische Function von Z bedeutet.
Von dieser Form war die Lösung in den früher von mir behandelten Fällen. Bei denselben tritt noch die weitere Besonderheit ein, dass die Rie mann 'sehe Fläche über der ^- Ebene mehrfach von dem Bilde der über der Z-Ebene construirten Fläche überdeckt wird. Es liegt dies daran, dass die ursprüngliche Rie man nasche Fläche in jenen Bei- spielen nicht nur in Bezug auf den reellen, gegebenen Curven- zug, sondern auch in Bezug auf die über demselben in den anderen Blättern gelegenen Curvenzüge, gewisse Symmetrie- Verhältnisse zeigt. Aehnliche Besonderheiten werden immer auftreten, wenn die zu der Curve /'=0 ge- hörige Fläche solche besondere Symmetrieverhält- nisse aufweist.
In dem einfachsten Falle, der Abbildung des Innern einer Ellipse auf die Halbebene, gestalten sich die Verhält- nisse z. B. folgeudermassen : lieber der «gr-Ebene haben wir eine zweiblättrige Fläche vom Geschlechte Null, deren beide Verzweigungspunkte mit den Brennpunkten der Ellipse zu- sammenfallen, über der Z-Ebene eine ebenfalls zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungen (also vom Qeschlechte Eins).
Lindemann: üeher die conforme Abbildung der HcUbebene, 421
Zwei von diesen liegen in der Halbebene T > 0, die beiden anderen sind die conjugirten Punkte der Halbebene F<;0. Den beiden Blättern der oberen Halbebene entsprechen die beiden Blätter des Innern der Ellipse, begrenzt durch die Ellipse selbst und durch die darüber liegende Curve. Den conjugirten Blättern der unteren Halbebene (F < 0) ent- spricht über der ir-Ebene ein Streifen, der von der gegebenen Ellipse und einer zu ihr confocalen Ellipse E^ begrenzt wird ; überschreitet man die letztere, so kommt man wieder in die beiden über der Halbebene Y> 0 gelegenen Blätter, denen nun in der jg^-Ebene ein weiterer, von der Ellipse jB, und einer zu ihr confocalen Ellipse JE^ begrenzter Streifen ent- spricht; u. s. f. Sowohl im oberen, als im unteren Blatte er- hält man so unendlich viele, von confocalen Ellipsen begrenzte, ringförmige Streifen , deren jeder auf zwei über einander liegende Halbblätter derjenigen Fläche abgebildet wird, welche über der Z-Ebene construirt wurde.
Auf diese und andere Einzelheiten werde ich bei anderer Gelegenheit näher eingehen. Es mögen hier nur noch fol- gende Bemerkungen Platz finden.
12. Wir setzten bei unserer Ableitung voraus, dass die Curve f=0 das Maximum von reellen Zügen besitze. Hat sie weniger als j? + 1 reelle Züge , so hat man statt der Seh ottky 'sehen Untersuchungen diejenigen allgemeineren Hülfsmittel anzuwenden, die wir Poincare verdanken;^) man wird dann ganz analoge Schlüsse durchführen können.
Ist das Geschlecht p= 1, so hat man statt {jy, Z] die
d \o(t t) Function — %,^ zu untersuchen, wo f] das zugehörige ellip-
tische Integral erster Gattung bezeichnet. Die in Nr. 8 auf- tretenden Kreise sind dann durch gerade Linien zu ersetzen.
1) Vgl. Acta Matematica, a. a. 0,
422 Sitzung der malK-phys. Glosse vom 1. Dezember 1694,
Das Auftreten von Doppelpunkten muss vorläufig aus- geschlossen bleiben; es scheint, dass man es nicht einfach durch Grenzübergang (d. h. durch Zusammenfallen von Brenn- punkten) erledigen kann. Man v^ürde dann weiter zum Zer- fallen der Curve /*= 0 fortschreiten können und dadurch zu Abbildungsfunctionen mit sehr bemerkenswerthen Eigen- schafken geführt werden. Ich hoflFe, hierauf bald zurück- kommen zu können. Erledigt habe ich zunächst üur den Fall, wo der Rand des abzubildenden Flächenstückes durch eine endliche Anzahl von Kegelschnitten gebildet wird, denen die Brennpunkte gemeinsam sind. Auf diese Aufgaben soll hier nicht mehr eingegangen werden.
423
üeber den Schatten eines Planeten.
Von H. Seeliger.
{SitigHenrftH 1. Dwtmber.)
Für einen leuchtenden Punkt ist die Schattenfläche eines Planeten, der als ein abgeplattetes Rotationsellipsoid ange- sehen werden darf, ein Kegel zweiter Ordnung. Infolge der Ausdehnung der kugelförmigen Sonne entsteht das Phä- nomen des Halbschattens. Die Schattenfläche giebt in diesem Falle die Grenze des Kern- bezw. des Halbschattens an und ist die Einhüllende aller gemeinschaftlichen Tangentialebenen an die Kugel und das EUipsoid. Die Gleichung dieser Fläche, welche yom 8. Grade ist, ist bekannt und u. A. in dem ver- breiteten Lehrbuche der analytischen Geometrie von Salmon gegeben, auch besitzt man Modelle, welche ihre wesentlichen Gestaltungsverhältnisse zur Anschauung bringen. Zu Ver- wendungen auf astronomische Aufgaben, bei denen es sich um wirkliche numerische Ausrechnungen handelt, wird in- dessen diese Gleichung nicht sehr geeignet sein. Laplace hat in der Mec. c^l.^) angegeben, wie man die Gleichung der Schattenfläche als das Resultat der Elimination eines Para- meters aus 2 Gleichungen erhält und es ist bei vielen An- wendungen bequemer an diesen Gleichungen die erlaubten
1) Livre VIII, Chap. VIII.
424 Sitzung der math.-phys. Glosse vofn i. Decemher 1894.
UDd erwünschten Vereinfachungen auszuführen. Laplace hat nur einen verhältnissmässig einfachen Fall, der sich bei den Verfinsterungen der Jnpitertrabanten darbietet, wirklich im Einzelnen verfolgt. Es blieb hier demnach noch manche Lücke auszufüllen und dies ist zum Theil durch die Arbeiten von HalF), Souillart*), Bruns^) geschehen. Die folgenden Zeilen verfolgen auf anderer Grundlage dasselbe Ziel, näm- lich die Vorschriften für die Berechnung von einigen Phä- nomenen, die mit der Schattenfläche zusammenhängen, mög- lichst einfach zu gestalten und die bereits bekannten auf einfachem Wege zu begründen. —
Es werde in den Mittelpunkt der Sonne der Anfang eines rechtwinkligen Coordinatensjstemes gelegt. Seine xy Ebene sei parallel zum Aequator des Planeten, dessen Mittel- punkt in der xjs Ebene liegen und die Goordinaten .4 und C haben möge. Es sei ferner R der Radius der Sonne, U' der äquatoreale und R\ der polare Radius des Planeten. Nennt
man noch e die Ellipticität e == — ^? — ^, so wird die Gleichung
der Sonnen- bezw. der Planetenoberfläche:
^* + y* + ^*=-B*;
{X - A)^ + y^ + {l+ey [{^ - Cy - /?.?] =0 (1)
Eine gemeinsame Tangentialebene an Sonne und Planet wird offenbar ausgedrückt durch
xy — ya^jsß — R = 0
wo y^ — a^ — ß die Richtungscosinus der Normale der Tan- gentenebene sind, welche parallel sein muss zur Normalen des Ellipsoides.
1) Astron. Nachr. Band 90 S. 305 ff.
2) AatroD. Nachr. Band 91 S. 129.
8) Vergl. J. Hartmann, die Vergrösserung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. Abhandlungen der sächs. Gesellsch. d. Wissensch. Leipzig 1891 S. 13. (375).
Seeliger: üeher den Schatten eines Planeten. 425
Man hat also
y = N(x — A); a^-^N.y; ß = -N{l+ey{j^-0 . (2)
^ = (x-Ä)^ + y^ + {l '\' ey(s-Cr
Schreibt man die Ebenengleichung so: y(x-Ä)-ay-ß{sf—C) = R — YÄ + ßC, so ergiebt sich mit Hülfe von (2):
Setzt man andererseits (2) in die EUipsoidgleichung (1) ein, so wird:
Man kommt also zu den zwei Gleichungen
^ + " ^ (1 + e)^ iJ'»
y» + a» + /?» = 1
und man kann demnach a und y durch ß ausdrücken.
Behält man ß als einen Parameter bei, so wird die Schattenfläche, d. i. die Einhüllende aller Tangentenebenen, sich ergeben durch Elimination von ß aus den Gleichungen:
yx — ay — ße — iJ = 0
dy da
oder, was dasselbe ist, durch Elimination von ß aus:
F=(yx — ßj3 — R)'^ — a*y^=0 und ^=0 (3)
dß
426 Sitzung der mathrphys. Classe vom 1. December 1894.
Indem man nun y und a durch ß ausgedrückt in (3) einsetzt, ist es vortheilhafb die Grösse
e = l L_
(1 + e)»
einzufahren. Es ist auch e oder das Quadrat der Excen- tricität =2aj — aj, wo a^ die Abplattung im gewöhnlichen Sinne bedeutet. Die obigen Gleichungen geben nun:
ß*e
Ffihrt man nun die Hnlfsgrössen ein:
so werden die Gleichungen (3) sich so darstellen: tn + nß + pß*=^(ti-\- ßv) Vl—ß^ü
n-^2pß=^f-^[{n-Yßv)yY^^i]
(4)
(5)
Seeliger: Ueher den Schatten eines Planeten, 427
Die Elimination von ß macht nun keine Schwierigkeit und man könnte das Resultat in Form einer Determinante, welche die Gleichung der gesuchten Schattenfläche darstellt, sofort hinschreiben. Diese Gleichung hat aber einen viel zu hohen Grad und die Absonderung der unnöthigen Factoren ist verwickelt. In mathematischer Beziehung ist demnach die Form (5) nicht befriedigend. Für die zur Anwendung kommenden Fälle aber ist sie, wie aus dem Folgenden her- vorgehen dürfte, recht geeignet. Wenigstens gelangt man durch verhältnissmässig nicht sehr complicirte Rechnungen zu den Resultaten, welche abgeleitet werden sollen.
Die Schattenfläche wird gebraucht, wenn man die Ver- finsterungen der Trabanten in unserem Sonnensystem genauer zu verfolgen hat. Suchen wir die speciellen Erfordernisse auf, welche hier auftreten. Bei der Verfinsterung des Erd- mondes ist eine ziemlich weit gehende Genauigkeit in den Angaben über den Verlauf der Schatten fläche erwünscht. Hier ist aber e rund y|^, also eine sehr kleine Grösse und man wird demzufolge mit Vortheil nach Potenzen von e ent- vrickeln und wie sich leicht ergiebt mit der Mitnahme nur der ersten Potenz ausreichen. Unter diesen Voraussetzungen ist die Aufgabe von den Herren Hall, Souillart und besonders im Anschluss an Herrn Bruns von Herrn Hartmann voll- ständig gelöst worden. Im Folgenden wird das Resultat des Herrn Hartmann ebenfalls auftreten.
Bei den Jupitertrabanten ist e nicht so klein, dass man hier ohne Weiteres e* vernachlässigen kann. Hier tritt aber der Fall ein, dass die Trabanten sich sehr nahe in der Aequatorebene bewegen und demzufolge der Verlauf der Schattenfläche nur in der Nähe dieser Ebene gebraucht wird. Die Aufgabe ist von Laplace a. a. 0. behandelt wor- den und die dort gegebene Lösung wird wohl den Anforde- rungen der Praxis genügen.
Es bleibt noch die Schattenfläche des Saturn zu be-
428 Sitzung der math.-phys, Ctasse iMtn 1, Deeemher 1894,
trachten übrig, e ist hier (rand ^) darchans nicht klein; eine Entwicklung nach Potenzen yon e ist jedenfalls nicht einwurfflfrei , wenn man schon die zweiten Potenzen fort- lassen will. Thut man Letzteres aber nicht, so werden die Entwicklungen äusserst complicirt, wenn sie auch durch- führbar sind. Es finden bei den Saturntrabanten aber an- dere Umstände statt, die sehr weitgehende Vernachlässigungen gestatten, besonders da hier eine grosse Genauigkeit der For- meln für die Praxis ziemlich bedeutungslos sein dürfte.
Nach dem Gesagten werden also die Verfinsterungen des Erdmondes und der Saturntrabanten zu behandeln sein.
Zuerst soll die Entwicklung von (5) nach Potenzen von e vorgenommen werden.
Setzt man
«>(/») = - (i" + "/») a/»'e + i/S*«' + . . . .) 90 wird (5):
Wird nun noch gesetzt:
SO ist Jß eine Grosse vom Range e. Nimmt man zunächst überall noch 6* mit, so erhält man
4p («» - M) -(«-»>)' = 4p {0) 0?„) + 0' (ß,) Jß - pjß»)
nnd da bis auf Glieder vom Range e
2p ist, so wird die Gleichung der Schattenfläche
Av{m- u) -{n^vy = ip0 (ß„) + [<P' {/?„)]• (6)
^ß-^y^ßo)
Seelufer: Üeber den Schatten eines Planeten, 429
Wenn man nun die Glieder vom Range 6^ fortlässt, 8o ist das zweite Glied rechts zu streichen und zu setzen
Den Grössen ja und v kann man auch durchweg das negative Vorzeichen vorsetzen.
Dieses doppelte Vorzeichen bezieht sich, wie leicht zu sehen, auf die beiden Schalen der Schattenfläcbe, welche den Kern- und Halbschatten begrenzen. Man braucht nur das eine Vorzeichen zu berücksichtigen und dann im Resultat Sf mit — B' zu vertauschen. Für die Anwendung auf Mond- finsternisse ist es am zweckmässigsten, wenn man den Durch- schnitt der Schattenfläche mit einer Ebene aufsucht, die senk- recht auf der Verbindungslinie Sonne -Erde steht und nicht weit vom Mondmittelpunkte entfernt ist. Nennt man die Ent- fernung Sonne -Erde 2), lässt in diese Richtung die ^-Axe eines rechtwinkligen Coordinatensystems fallen, dessen An- fang im Erdmittelpunkte sich befindet, dessen y-Axe zu der früheren parallel läuft und dessen £-Axe senkrecht darauf nach Norden zeigt, so hat man:
Wird noch zur Abkürzung gesetzt so wird
B-B' jj
a = — 2 — ; x = xa — R
m — n^j^ — y*{\—a')
„B'rc , f. Dl
430 Sitzung der math^-phys, Glosse vom 1, December 1894, Die Gleichung (6) wird jetzt:
4p (m — fi) — {n — vy = — ie-^{a^ + y') (m — fi)
= - (iu + vß,) . 2pßle
In den mit € multiplicirten Gliedern darf aber ange- nommen werden:
^_(n — vy_m — fi
^'~~W^ — Y^
und es wird also, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer für den Augenblick mit / bezeichnet wird,
was man nach leichter Zwischenrechnung und mit Ver- nachlässigung von 6* schreiben kann:
G 1 ^^^
In dem Ausdrucke / ist aber weiter
X + ?^a = $^^-J?' ß„ (8)
wenn man mit Qq den Radius der Kugel bezeichnet, die mit dem Mittelpunkt in ^ den im Falle £ = 0 entstehenden Schattenkegel berührt; ferner ist in (7) einzusetzen:
Seeliger: Ueher den Schatten eines Planeten. 431
Man kann sich nun überaus leicht davon überzeugen, dass man von der Erde gesehen die Schattenfläche in der Entfernung des Mondes nur um einige hundertstel Secunden verschieben kann, wenn man einfach setzt
femer in der Klammer der Formel (7) als unmerklich fortstreicht das erste, vierte und sechste Glied, schliesslich
iy .
^' gegßii "75 ™ Ausdrucke von / vernachlässigt. Auf diese
Weise wird
Ql-(y' + ^') = ^'§'^.^{lix-x'a-2xa-^0^
Mit Hülfe der im Vorigen enthaltenen Gleichungen kann man dies auch schreiben
oder auch, ohne Fehler zu begehen, die mehr als wie die Hundertstel der Secunde alteriren können,
eJ-(y' + C^ = f -^l«*?» (9)
und für x kann man für alle Fälle genügend genau
setzen. Die Gleichungen (8) und (9) geben nunmehr die Schattenfläche bei Mondfinsternissen in der Nähe des Mondes mit fast vollkommener Strenge.
Der Durchschnitt derselben mit der Ebene J = const. ist, wie man sofort sieht, eine Ellipse. Die beiden Halbaxen ^ und B liegen in der Richtung der y bezw. der K, Und OS ergiebt^sich sofort
1894. Math.-pby8. CK 4. 28
432 Sitzung der mathrphys, Glosse vom i. December 1894.
(10)
\ 2 Q, D'
Diese Formeln stimmen vollständig überein mit den von Herrn Hartmann gegebenen, die in der That die denkbar grösste Einfachheit bei wirklichen Ausrechnungen darbieten.
Wenn man nun die zweite oben erwähnte Aufgabe, die Schattenfläche des Saturn, wie sie bei den Verfinsterungen seiner Trabanten gebraucht wird, zu entwickeln, dadurch in Angriff nehmen wollte, dass man in der begonnenen nach Potenzen von e fortschreitenden Entwicklung weiter geht, so wäre dieser Weg durchaus beschreitbar, aber äusserst um- ständlieh; auch ist nur schwer auf diese Weise zu tibersehen, welche Vernachlässigungen begangen werden. Dagegen stellt sich eine einfachere Lösung der Aufgabe dar, die den prak- tischen Erfordernissen genügen dürfte, wenn man berück- sichtigt, dass an den Stellen, an welchen die Saturntrabanten in die Schattenfläche des Planeten treten, diese sich nicht weit von dem Tangentialkegel entfernt, den man vom Sonnen- mittelpunkt aus an Saturn legen kann.
Man wird demnach von diesem Kegel als erster Nähe- rung ausgehen können und die nöthigen Correctionen auf- zusuchen haben. Den genannten Tangentialkegel erhält man, wenn man in den Gleichungen (5) R^=0 annimmt. Setzt man:
»»o = ^'(*' + i/')-y'; »». = -1 [(x-4)' + y']
so kann man (5) schreiben
'^^''tZ%'^^'->
(11)
Seeliger: Ueher den Schatten eines Planeten. 433
Wenn A = A' = 0 angenommen wird , so ergiebt die Elimination von ß aus diesen Gleichungen den erwähnten Tangentialkegel. Setzt man noch zur AbkQrzung
so wird man leicht die Correctionen bestimmen können, welche an die den Tangentialkegel bestimmenden Goordi- naten angebracht werden müssen, um den Bedingungen der Schattenfläche zu genügen. Denkt man sich Polarcoordinaten in einer zur |-Axe des oben benutzten Coordinatensystems senkrechten Ebene eingeführt und setzt demgemäss
y^^Qcosq); ^ = ßsing); ? = const.
so kann O als Function von q und q) angesehen werden. Einem bestimmten Werthe von q> entspricht in der Schattenfläche ein Werth q = Qq-\'Jq^ ^<> Qq ^^ demselben Werthe von g> entsprechende q für den Tangentialkegel ist. Aber zu gleicher Zeit muss auch /? = /^^ -|" ^ß gesetzt werden, wenn ß^ der Werth von ß für 1 = 0 ist. Entwickelt man nun die Gleichungen (11), welche sich so schreiben lassen
0'{ß)=X'(ß)
und bedenkt man, dass ©(/?„, q^) = 0, ^^^^^«^ = 0, so er giebt sich
d0
^0
3^0
^? + ... = A(^)
^Qo^Po ^Po ^P
(12)
So wird man durch successive Näherungen zu den rich- tigen Werthen von Jq und Jß gelangen können. In erster Näherung ist aber
d(D
— Jg = l(ß^) (13)
28*
434 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 1, December 1894.
und da man bei den Saturntrabanten hierdurch den Verlauf der Schattenfläcbe (vom Saturn aus gesehen) auf einige Se- cunden genau erhält, so wird man, wie noch erörtert werden soll, dabei stehen bleiben können. Es soll nur diese Nähe- rungsformel entwickelt werden.
Die Q^ und ß^ werden aus den beiden Gleichungen be- stimmt:
Hieraus folgt:
^' v'-2m^p 2(i/»c + />") Die Gleichung des Tangentialkegels ist hiemach
»^ = 4mo(p + Woa) (14)
Für die weiteren Reductionen sind noch von Werth die Relationen:
Will man (14) vollständig entwickelt hinschreiben, so muss man die Hülfsgrössen ni^, m^, n etc. nach (4) ein- führen. Man kann diese aber so schreiben:
2rb: f , . ^ä ^c\
. = 2;f'.{2,'-t7)-ic}
Setiiger: Heber den Sehatten eine» Planeten. 435
Die Gleichung (14) gestaltet sieb jetzt so:
Wenn man aber bedenkt, dass für Saturn — sehr klein
A
ist (< Boioo) ^^^ y sowohl als auch C gegen x ebenfalls, so wird man mit hinreichender Genauigkeit setzen dürfen
2« ^0 - e,f = -, y— — e)ci? (15)
Hierdurch ist nun q^ bestimmt. Um auch (13) vollständig zu entwickeln, wäre jetzt eine etwas umständlichere Rech- nung auszuführen. Man vereinfacht aber die Sachlage durch weitere Vernachlässigungen, welche die Schattenfläche in dem betrachteten Falle, wo es sich um die Verfinsterung der Satumtrabanten handelt, ebenfalls höchstens um einige Bogen- secunden verschieben können. Diese Vernachlässigungen und deren Berechtigung ergeben sich aus den folgenden Werthen, die man den Hülfsgrössen m^, m^ etc. geben kann:
|
»»0 |
-y'; |
♦»1 = |
0; |
n = - |
-5 |
iC |
|
|
p |
ea;'; n |
= |
2RB' ~A' |
||||
|
.= |
2b: A |
D ' A |
x^ |
(16)
Hierdurch wird, weil auch x in den vorstehenden Gleich- ungen nahezu unabhängig von Qq ist;
436 Sitzung der maih.-phys. Classe vom 1. Decemher 1894.
'==j^-{-2y' + 2^,Qllil-v()^Vl-(ile]
d0
Man kann aber die rechte Seite mit Hülfe der oben an- gegebenen Relationen so darstellen:
dO 2t
**^ «>«f2
Für die rechte Seite von (13) ergiebt sich zunächst:
und wenn man (16) benutzt, so wird schliesslich mit aus- reichender Genauigkeit
Diese Formel lässt an Einfachheit nichts zu wünschen
übrig. Wollte man auch noch die zweiten Potenzen von c fort-
72 lassen, so ergäbe sich einfach ^p = + yr ^, was eigentlich
auch schon der Genauigkeit, welche die hier in Frage kom- menden Beobachtungen verlangen, voraussichtlich genügen dürfte.
Was den letzteren Punkt betriffi, so ist vor allem zu bemerken, dass die Grenze sowohl des Kernschattens als auch des Halbschattens eine rein mathematische Fiction ist, welche in den Beobachtungen nicht klar hervortreten kann. Wie der Halbschatten in unmerklichen Abstufungen in die volle Helligkeit übergeht, so bedeutet die Grenze des Kern- Schattens nichts anderes, als den Ort, wo der Halbschatten
Seeliger: Ueber den Schatten eines Planeten, 437
anfangt, sich in stetiger Weise aufzuhellen. Ich habe die Verhältnisse, wie sie sich in Folge dieser Umstände bei Mondfinsternissen darstellen, an einem anderen Orte^) be- sprochen und gezeigt, dass sich die Grenze des Eemschattens in Folge physiologischer Einwirkungen für das beobachtende Auge in den Halbschatten hinaus scheinbar verschieben muss. Es entsteht so das bekannte Phänomen der scheinbaren Yer- grosserung des Erdschattens. Ich habe dort einen Ausdruck abgeleitet für das Verhältniss der Helligkeit J, welche in der scheinbaren Entfernung x (hier gesehen von Saturn aus) von der Grenze des Eemschattens stattfindet, zu der unge- schwächten Helligkeit Jq und den Ausdruck gefunden:
J ^ 1 5A4- 1 /DxXl
worin i= ,» •> . Nimmt man, was in runden Zahlen un- gefahr den Verhältnissen entspricht, wie sie bei den Ver- finsterungen des Japetus durch Saturn stattfinden, -^ = 60, jj = xV^ny ' so w^^^ Ä = 30 und wenn x" den Werth von x in Bogensecunden bedeutet:
f =[6.672- 10](a;V
Hieraus folgt für x"= 5 : ^ = 0.005 und für x = 10: ^ = 0.015.
Mit Hülfe dieser Zahlen wird man leicht ermessen können, dass die Beobachtung des Eintritts nicht sehr sicher sein kann — bei Japetus entspricht einer Zeitminute ein
1) Vierteljahrsschrift der Astronomischen Qesellschaft. Jahr- gang 27. S. 197 ff.
438 Sitzung der tnath.-phys, Classe wm i. December 1894,
Bogen TOD 11" Tom Saturn ans gesehen — und dass es auf die Feststellung der Schattengrenze auf einige Bogen- secunden auch dann nicht ankommen kann, wenn sehr grosse Femrohre zur Verfßgung stehen. Wesentlicher Ein- fluss kommt hierbei auch noch dem Umstände zu, dass die Trabanten keine Punkte, sondern ausgedehnte Massen sind. Doch ist hier nicht der Ort, auf diese Gegenstande näher einzugehen.
439
Yerzeichniss der eingelaufenen Drncksehriften
Juli bis December 1894.
Die vorehrliohen OesellBchaften und Inatitate, mit welchen unBere Akademie in TaoBchyerkebr steht, werden gebeten, nachstehendes Veneichnise zugleich als Empftings- bMtitignng zu betraehten.
Von folgenden GeseUBchaften und Instituten:
Boyäl Society of South Äustrcdia in Adelaide: TranBactions. Vol. XVIU for 1898/94. 1894. 8®.
Akademie der Wissenschaften in Amsterdam: Verhandelingen. Afd. Letterkuode. Deel I, No. 8.
Afd. Natuurkunde. Deel II, No. 1—6. 8.
, III, No. 1-14. 1893. 80. ZittingsTerlagen. Natuurkunde. Jahrg. 1893/94. 1894. 8^^. Verslagen en Mededeelingen. Letterkunde. 8» Keeks. Deel 10. 1894. 8^. Jaarboek 1893. 8<^. PriJBTers Phidyle. 1894. 8^.
Universität Athen: Vorlesungsverzeichniss 1898/94 und 5 Schriften in griech. Sprache. 1886/98. 80.
Peäbody Institute in Baltimore: 27. annual Report. June 1, 1894. 8^.
Johns Hopkins üniversity in Baltimore: Circulars. Vol. XIII, No. 113. 114. 1894. 4». American Chemical Journal. Vol. 16, No.8. Vol. 16, No. 1—6. 1893/94. 8«. The American Journal of Philology. Vol. 14, No. 4. Vol. 16, No. 1.
1898/94. 80. American Journal of Mathematics. Vol. XVI, No. 1—3. 1894. 4«. Studies in historical and political science. XI. Series, No. 11. 12.
XII. Ser., No. 1—7. 1893/94. 80. Bataviaasch Oenootschap van Künsten en Wetenschappen in Batavia: Verhandelingen. Deel 47, 2. Stuk. Deel 48, 1. Stuk. 1893. 4°. Tijdschrift Deel 37, afl. 1. 2. 3. 1893/94. 80. Notolen. Deel 81, afl. 8. 4. 1893/94. 80.
440 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften.
Koninkl, natuurkundige vereeniging in Nederlandsch Indie zu Batavia: Natuurkundig Tijdachrift. Deel 53. 1893. 8».
Historischer Verein in Bayreuth:
Archiv für Geschichte von Oberfranken. Band 19. Heft 1. 1893. 8®.
Serbische Akademie der Wissenschaften in Belgrad:
Godischnjak. V—VII. 1891-98. 1892—94. 8^ Glas. No. 48. 44. 1894. 8». Spomenik. No. 23. 24. 1894. 4«.
K. preussische Akademie der Wissenschaften in Berlin: Sitzungsberichte. 1894. No. 1—38. 1894. gr. 8". Acta Borussica. Band I der Behördenorganisation. 1894. 8^. Abhandlungen aus dem Jahre 1893. 1893. 4^. Politische Korrespondenz Friedrichs des Grossen. Bd. XXI. 1894. 8^. Corpus inscriptionum latinarum. Tom. VIII. pars II. Suppl. 1894. fol. Tom. VI, pars 4, fasc. 1. 1894. fol.
K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Berlin: Abhandlungen zur geologischen Spezialkarte von Preussen. Band X, Heft 6 u. 7. 1894. 4«.
Permanente Commission der internationalen Erdmessung in Berlin: Verhandlungen der 1893 in Genf abgehaltenen Conferenz. Berlin 1894. 4**.
Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin: Berichte. 27. Jahrg., No. 12-18. 1894. 8».
Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin: Zeitschrift. Bd. 46, Heft 4. Bd. 46, Heft 1. 2. 1893/94. 8«.
Physiologische Gesellschaft in Berlin: Centralblatt fQr Physiologie. Bd. VIII, No. 7-19. 1894. S«. Verhandlungen. Jahrg. 1893/94, No. 11—18. 1894. 8«.
Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin: Jahrbuch. Band IX, Heft 2. 3. 1894. 4P.
K. Geodätisches Institut in Berlin: Jahresbericht 1893/94. 1894. 8».
Feier des 100jährigen Geburtstages des Generallieutenants Dr. J. J. Baeyer. 1894. 4».
K. preuss. meteorologisches Institut in Berlin: Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen II. und III. Ordnung.
1894, Heft I. Ergebnisse der magnetischen Beobachtungen in Potsdam in den
Jahren 1890 u. 1891. 1894. 4°.
Jahrhiich über die Fortschritte der Mathematik in Berlin: Jahrbuch. Bd. XXIII, Heft 3. 1894. 8^
Curatorium der SaüignyStiflung in Berlin: Vocabularium jurisprudentiae Romanae jussu instituti Savigniani.
Fasc. I. 1894. 4P,
VerzeichnisH der eingelaufenen Druckschriften. 441
Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin: Forschangen zur Brandenburgischen und Preussischen Geschichte. Band VII, 2. Hälfte. Leipzig 1894. 8'.
Naturicissenschaftliche Wochenschrift in Berlin: Wochenschrift. Bd. IX, Heft 7—10. Juli bis Oktober. Berlin 1894. fol.
Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin: XIV. Jahrgang 1894. Heft 7—11. 4».
Allgemeine geschichtsfarschende Gesellschaft der Schweiz in Bern: Quellen zur Schweizer Geschichte. Band XIV. Basel 1894. 8°.
Schweizerische Naturforschende Gesellschaft in Bern: Verhandlungen. 76. Jahresversammlung in Lausanne 1893. Nebst französischer Uebersetznng. Lausanne 1898. 8^. Naturforschende Gesellschaft in Bern: Mittheilungen. Jahrg. 1898. 1894. ef^.
Schweizerische geologische Kommission in Bern- Beiträge zur geologischen Karte der Schweiz. Lief. VIII, Suppi. I. Lief XXIV, Theil 3. 1893/94. 4fi.
Historischer Verein des Cantons Bern: Archiv. Band XIV, 2. 1894. 8».
Geto erbeschule in Bistritz: XIX. Jahresbericht für 1893/94. 1894. 8^.
B, Deputazione di storia patria per le Proüincie di Eomagna in Bologna: Atti e Memorie. HI. Serie. Vol. XII, fasc. 1-3. 1894. 8^.
Universität in Bonn: Schriften aus d. J. 1898/94 in 49 u. 8».
Verein von Alterthumsfreunden im Rheinlande zu Bonn: Jahrbücher. Heft 96. 1894. 4«.
Societi de geographie commerciale in Bordeaux: Bulletin. 1894. No. 11-22. 8^
Schlesische Gesellschaft für vaterländische Gultur in Breslau: 71. Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 8^. Historisch -statistische Sektion der mährischen Ackerbau- Gesellschaft
in Brunn: Schriften. Band 28. 1894. 8^. Notizenblatt 1893. No. 1—12. 4P. Eunstarchäologische Aufnahmen aus Mähren von Alois Franz. 1894. 4*^.
Acadimie Boy die de Medecine in Brüssel: Bulletin. IV. Sdrie. Tome 8, No. 6-10. 1894. S». M^moires couronn^. Collection in 8®. Tome XIU. 1894. &«.
AcadSmie Boyale des Sciences in Biilssel: Bulletin. S« Sör. Tome 27, No. 6. Tome 28, No. 7-11. 1894. 8<>.
Societi des Bollandistcs in Brüssel: Analecta Bollandiana. Tom. XIII, fasc. 3, 4. 1894. 8<>.
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Boletin. Tom XII, 1. 3. 4. XIII, 1—4. Buenos Aires. 1890. 1892/93. 8^.
Oficina meteorologica Argentina in Cördoba (Rep. Argent.J:
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Physikalischer Verein in Frankfurt a/M,: Jahresbericht für das Jahr 1892/93. 1894. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt a/0.: Helios. 1894. No. 1—6. 8^. Societatum Literae. 1894. No. 4—9. 8».
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Universität in Genf: Schriften aus dem Jahre 1893/94.
Botanischer Garten in Gent: Botanisch Jaarboek. VI. Jaargang. 1894. 8^.
Universitäts 'Bibliothek vn Giessen: Schriften der Universität Giessen aus dem Jahre 1893/94 in 4^ u. ^.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz: Neues Lausitzisches Magazin. Band 70, Heft 1. 1894. 8°. K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: Abhandlungen. Band 89.
a) Historisch-philologische Classe.
b) Mathem.-phy8. Classe. 1894. 4».
Gelehrte Anzeigen. 1894. No. 7—12. Juli bis Dezember. 1894. 4®. Nachrichten. Mathem.-phjs. Classe. 1894. No. 3. 4^. PhiloL-hist. Classe. 1894. No. 2. 3. AP.
K. Gesellschaft der Wissenschaften in Gothenhurg: Handlingar. Heft 26—29. 1891—94. 8«.
446 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,
The Journal of Gomparative Neurology in OranviUe (Ohio): The Journal. Vol. IV, p. 73—192. 1894. 8^.
Steiermärkischer Landesausschuss in Graz: 82. Jahresbericht des Steiermark. Landesmaseums Joanneum. 1894. 8^.
Historischer Verein für Steiermark in Graz: Mittheilungen. Heft 42. 1894. 8®. Beiträge zur Kunde steierm&rkischer Geschichtsquellen. 26. Jahrg.
1894. 80. Uebersicht der in den periodischen Schriften des historischen Vereins für Steiermark bis 1892 veröffentlichten Aufsätze. 1894. 8°. Naturwissenschaftlicher Verein für Steiermark in Graz: Mittheilungen. Jahrg. 1893. (Heft 30.) 1894. 8®.
Gesellschaft für Pommersche Geschichte in Chreifstoald: Pommersche Genealogien. Bd. 4. Herausg. von Th. Pyl. 1895. 8^.
Fürsten- und Landesschule in Grimma: A. Weinhold, Bemerkungen zu Piatons Gorgias als Schullekture.
(Programm.) 1894. 4P. K. Instituut voor de Taal, Land- en Volkenkunde van Nederlandsch
Indie im Haag: Bijdragen. V. Reeks. Deel X, afl. 8, 4. 1894. 8^. Naamlijst der leden op 1. Juni. 1894. 8^. Alb. C' Kruyt, Woordenlijst van de Bare6-Taal. 1894. 8^.
Ministerie van Kolonien im Haag: Pithecanthropus erectus : Eine menschenähnliche üebergangsform aus Java. Von Eug. Dubois. Batavia 1894. 4».
Nova Scotian Institute of Science in Halifax:
The Proceedings and Transactions. 11. Series. Vol. I, part 8. 1893. 8^.
Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher
in Halle:
Leopoldina. Heft 30, No. 11—20. 1894. 40.
Deutsche nwrgenläyidische Gesellschaft in Halle: Zeitechrift. Band 48, Heft 2. 3. Leipzig 1894. 8^.
Universität Halle: Schriften der Universität a. d. J. 1893/94 in 4*» u. ^, Thüring. 'Sachs, Verein für Erforschung des vaterländischen ÄlteHhums
in Halle:
Neue Mittheilungen. Band XVIII, der II. Hälfte Schlussheft. 1894. 8«.
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle :
Zeitechrift für Naturwissenschaften. Band 66. Heft 5. 6. Band 67,
Heft 1-4. Leipzig. 1894. 8^
Stadt- Bibliothek in Hamburg: Von den Hamburger wissenschaftlichen Anstalten im J. 1893 heraus- gegebene Schriften in 4^ und 8^.
Verein für Hamburgische Geschichte in Hamburg: Zeitschrift. Hand IX, 3. 1894. 80.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 447
GeschidUsverein in Hanau: Festschrift zu seiner 50 jährigen Jubelfeier. 1894. 4".
Naturhistorische Gesellschaft in Hannover: 42. und 43. Jahresbericht. 1894. S».
Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover: Zeitschrift. Jahrgang 1894. 8^.
Teylers tweede Genootschap in Hartem: Verhandelingen. N. R. deel III, stuk 3 in 8^ und Atlas, 5« stnk in fol. 1894.
Musee Teyler in Hartem: Archives. öer. II. Vol. IV, Partie 2. 1894. 4«.
Sociiti Hollandaise des Sciences in Hartem: Archives N^erlandaises. Tome 28, livre 2—4. 1894. 8".
üniversitätS'Bihliothek in Heidelberg: Schriften der Universität a. d. J. 1893/94 in 8®.
Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg: Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrg. IV, Heft 2. 1894. 8^.
Commission gSologique de la Finlande in Helsingfors: Carte g^ologique de la Finlande. Livr. 25. 26. avec 2 cartes. 1894. 8^.
Finländische Gesellschaft der Wissenschaften in Helsingfors: Acta societatis scientiarum fennicae. Tom. XIX. 1893. 4^ Oefversigt af Förhandlingar. XXXV. 1892-93. 1893. 8». Bidrag tili kännedomafFinlands Natur och Folk. Heft 52. 53. 1893. 8<).
Society de giographie de Finlande in Helsingfors: Fennia. IX. XI. 1894. 8«.
Astrophysik alisches Observatorium zu Hereny (Ungarn): Meteorologische Beobachtungen im Jahr 1891. Budapest 1894. 4^.
Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt: Jahresbericht für das Jahr 1893/94. 1894. 8^. Archiv des Vereins. N. F. Band XXVI, 1. 2. 1894. 80. Siebenbürgischer Verein für Naturwissenschaften in Hermannstadt : Verhandlungen und Mittheilungen. 43. Jahrgang. 1894. 8^.
Vogtländischer ÄUerthumsforschender Verein in Hohenleuhen: 61.— 64. Jahresbericht. 1894. 8».
Ungarischer Kar pathen- Verein in Iglo: Jahrbuch. 21. Jahrgang. 1894. 8«.
Ferdinandeum in Innsbruck: Zeitschrift. 3. Folge. Heft 38. 1893. S».
Naturwissenschaftlich-medizinischer Verein in Innsbruck: Berichte. XXI. Jahrg. 1892/93. 1894. 8^
Medicinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft in Jena: .lenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Bd. 28, Heft 4. Bd. 29, Heft 1. 1894. 8^ 1894. Matfa.-phys. Cl. 4. 29
448 Verzeichnisa der eingelaufefien Druckschriften,
Centralbureau für Meteorologie in Baden zu Karlsruhe: Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 4^.
Grossherzoglich technische Hochschule in Karlsruhe: Schriften aus d. J. 1893/94 in 4^ u. 8^
SociHe physioo-mathimatique in Kasan: Bulletin. 2« Serie. Tom. IV, No. 1. 2. 1894. 8«. Kaiserliche Universität in Kasan: Jubiläumsschrifb zu der hundertjährigen Geburtstagsfeier N. Lobatsch- ewski ^s. 1894. 4^. Utschenia Sapiski.' Tom. 61, Heft 4-6. 1894. 8^. 2 Dissertationen (von Troizky und Goluben) in russischer Sprache. 1894. 80.
Universität in Kiel: Schriften aus d. J. 1893/94 in 4^ u. 8«.
K. Universität in Kiew: Iswestija. Tom. 34. No. 6—10. 1894. S^.
Universite Imperiale in Kharkow: Annales. Tome 3. 1894. 8<>. Annales. 1894. Heft 2. Nebst 2 Abhandlungen in russ. Sprache. 1894. 8^.
Geschichtsverein für Kärnthen in Klagenfurt: Jahresbericht für 1898. 1894. 8®.
Archiv für vaterländische Geschichte. 17. Jahrg. 1894. 8®. Carinthia. I. 84. Jahrg., No. 1-6. 1894. 8^.
Äerztlich-nat urwissenschaftlicher Verein in Klausenhurg. Ertesitö. II. Abth. Band 19, Heft 1. 2. 1894. 8«.
Stadtarchiv in Köln: Mittheilungen. Heft 26. 1894. &>.
Physikuliscli-ökonomische Gesellschaft in Königsberg: Schriften. 84. Jahrgang. 1898. 4^.
Universität Königsberg : Schriften der Universität aus d. J. 1893/94 in 4<> u. S».
K. Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen: Oversigt. 1894. No. 2. 8».
Gesellschaft für nordische Alterthumskunde in Kopenhagen: Aarböger. II. Raekke. 9. Band, 2. Hälfte. 1894. 9fi.
Genealogisk Institut in Kopenhagen: L. H. F. de Fine Olivarius, Stamtavler over Slaegterne Olivarius og de Fine. 1894. 4^.
Akademie der Wissenschaften in Krakau: Monumenta medii aevi historica. Tom. XIII. 1894. 4®. Sprawozd. komiayi fizyograf. Tom. 28. 1893. 8®. Ri)zprawy wydz. materaat. Tom. 26. 1893. 8®. Zbior wiad. do Antropologii. Tom. 17. 1893. 8^ Anzeiger. 1894. Juni, Juli, Oktober, November. 8^. Biblioteka pisarzöw polskich. Tom. 28. 1893. 8^.
VerzeichnxHs der eingelaufenen Druckschriften. 449
Historischer Verein in Landshut: Verhandlungen. Band 30. 1894. 8°
Societe dliistoire de la Suisse Romande in Lausanne: M^moires et Documenta Tome 88. 1894. 8^.
Maatschappij van Nederlandsche Letterkunde in Leiden: Tijdschrift. XIII. Deel, Afiev. 3, 4. und Register zu Deel I-XII.
1894. &>. Handelingen en Mededeelingen 1898—1894. 1894. 8". Levensberichten der afgeatorven medeleden. 1894. 8®.
Archiv der Mathematik und Physik in Leipzig: Archiv. II. Reihe, Theil XIII, Heft 1. 2. 1894. 8^. Astronomische Gesellschaft in Leipzig: Vierteljahrsachrifb. Jahrgang 29, Heft 2. 189 K 8*. Katalog der aatronom. Gesellschaft. I. Abth., 6 Stück. 1894. 4".
Deutsche Gesellschaft zur Erforschung vaterländischer Sprache und
Alterthümer in Leipzig: Mittheilungen. Band IX, Heft 1. 1894. 8».
K. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig: Abhandlungen: a) Philol.-hist. Classe. Band XIV, 6. 7. XV, 1. b) math.-phya. Classe. Band XXr, 2. 1894. 4P. Berichte der philol.-hist. Classe. 1894. I. 8».
Journal für praktische Chemie tu Leipzig: Journal. N. Folge. Band 49, Heft 10-12. Band 50, Heft 1—12. 1894. 8^.
K. K. Bergakademie in Leoben: Programm für das Jahr 1894/95. 1894. 8®.
Agricultural'Experiment Station^ University of Nebraska in Lincoln: 7t^ annual Report for 1893. 1894. 8^.
Zeitschrift „La Gellule" in Loewen: La Cellule. Tome X, 2. 1894. 4^.
Ihe Ayent-general for New South - Wales in London: An Australian Language as spoken bj the Awabakal, by L. E. Threlkeld. Sydney 1892. 8». British Association for the Advancement of Science in London: Report on the 68^»» Meeting. 1894. S».
The English Historical Review in London: Hiator. Review. Vol. IX, No. 35, 36. July and October 1894. 8».
Boyal Society in London: PhiloBophical Transactions. Vol. 184. A. B. 1894. 4°. Liflt of Fellows. 30. Novbr. 1893. 4». Catalogue of Scientißc Papera. Vol. X. 1894. 4». Proceedings. Vol. 55, No. 334, 335. Vol. 56, No. 336-339. 1894. 8^.
JB. Astronomical Society in London: Monthly Notices. Vol. 54, No. 89 Vol. 55, No. 1. 1894. 8».
29*
450 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften.
Chemical Society in London: Journal. No. 380— S85. July— December 1894. 8®. Proceedings. No. 141. 142. Session 1893—94 and 1894-95. 8«.
Linnean Society in London: The Journal: a) Zoology, No. 155 — 167.
b) Botany, No. 177 und 205—208. 1894. 8». The Tranaactione: IW Serie:
a) Zoology. Vol. V, pari 9— 11. Vol. VI, part 1. 2.
b) Botany. Vol. III, part 9 — 11. Vol. IV, part 1. 1893—94. 40.
Proceedings. October 1893, May 1894. 1893/94. 8®.
List 1893/94. &.
Catalogue of the Library. Part II. Periodicals. 1893. 8^.
Medical and chirurgical Society in London: Medico-Chirurgical Transactions. Vol. 76. 77. 1893/94. 8®. Catalogue of the Library. Supplement VII. 1893. 8^^.
Eoyal Microscopical Society in London: Journal. 1894. part 4. 5. 8^.
Zoölogical Society in London: Proceedings. 1894. Part H. lU. 8®. Transactions. Vol. XIII, 9. 1894. 4P.
Zeitschrift „Natur e" in London: Nature. Vol. 50, No. 1285—1308. 1894. 4».
Society gSologique de Belgique in Lüttich: Annales. Tome 21, livr. 1. 2. 1893/94. 8«.
Historischer Verein der fiinf Orte in Luzern: Der Geschichtsfreund. 49. Band. Stans 1894. 8^. Government Museum in Madras: Bulletin. No. 1. 2. 1894. 8»
Real Äcademia de la historia in Madrid: Boletin. Tomo 26, cuad. 1—6. 1894. 8».
Naturwissenschaftlicher Verein in Magdeburg: Jahresbericht und Abhandlungen. 1893/94. I. Halbjahr. 1894. 8^ Festschrift zur Feier des 26 jähr. Stiftungstages des Vereins. 1894. 8^.
Fondazione scientifica Cagnola in Mailand: Atti. Vol. XI, 1891/92. 1893. S^.
Reale Istituto Lombardo di Scienze in Mailand: Kendiconti. Ser. II. Vol. 25. 1892. 8^. Memorie: a) Classe di scienze storiche. Vol. 19, fasc. 1.
b) Classe di scienze matematiche. VoL 17,;fasc. 2. 1892. 4^ Societä Storica Lombarda in Mailand: Archivio storico Lombardo. Ser. 111. Anno XXI, fasc. 2. 3. 1894. 8^.
Literary and phüosophicäl Society in Manchester : Memoira and Proceedings. IV. Ser. Vol. 8, No. 3. 1894. 8^
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 451
Verein für Naturhunde in Mannheim: 66—60. Jahresbericht. 1894. 8^.
üniversitätS'Bibliothek in Marburg: Schriften der Universität Marburg a. d. J. 1893/94 in 4® u. 8^.
Hennehergischer aJterthumsforschender Verein in Meiningen: Neue Beiträge. Lieferung XIII. 1894. 8«.
Verein für Geschichte der Stadt Meissen in Meissen: Mittheilungen. Band 3, Heft 2. 3. 1893. 8P.
ÄcadSmie in Metz: Memoire». 73« ann^e 1891/92. 1894. 8^.
Gesellschaft für lothringische Geschichte in Metz: Jahrbuch. 5. Jahrgang, 2. Hälfte. 1894. 40.
Observatario meteorologico central in Mexico: Boletin. Mensual. Tomo III, No. 5. 1894. 4^.
Sociedad cientifica Antonio Alzate in Mexico: Memorias. Tomo VII, No. 11—12. 1894. 8^.
Sociedad de geografia y estadistica in Mexico: Boletin. IV» ^poca. Tomo 2, No. 11. 12. Tomo 3, No. 1. 2. 1894. 8».
Societä dei na^uralisti in Modena: Atti. Ser. III. Vol. XII, Anno 27, fasc. 3. 1894. 8».
Sociiti Imperiale des NaturaJistes in Moskau: Bulletin. 1894. No. 2. 8°.
Statistisches Amt der Stadt München: Die Büchersammlung der städtischen Kollegien Münchens. 1894. 8^.
Deutsche Gesellschaft für Anthropologie und Urgeschichte in Berlin
und München. Correspondenzblatt. 1894. No. 6-8. München. 4«. K. Technische Hochschule in München:
Programm für das Studienjahr 1894/95. 1894. 8«. Bericht fiir das Studienjahr 1893/94. 1894. 4P. Personalstand. Winter .-Sem. 1894/96. 1894. 80.
Metropolitan-Kapitel München-Freising in München: Amtsblatt der Erzdiöcese München und Freising. No. 15—23. 8^.
K. Staatsministerium des Innern für Kirchen- und Schulangelegenheiten
in München: Geognostische Jahreshefte. Jahrg. VI. 1893. Cassel 1894. gr. 8^. 5. Bericht über die Thätigkeit der physikal. - techn. Reichsanstalt. Berlin 1894, 8«.
Universität in München: Schriften der Universität aus dem Jahre 1894 in 4® u. 8^,
Aerztlicher Verein München; Sitzungsbericlite. UI. 1893. 1894. 8^.
452 Verzeichnis» der eingelaufenen Druckschriften,
Bayerischer Dampfkessel-Revistons- Verein in München: 24. Jahresbericht 1893. 1894. 8^.
Historischer Verein in München: Monatsschrift. 1894. No. 7—12. Juli— Dezember. Ö«. Oberbayerischea Archiv. Band 48, Heft 1. 2. 1893/94. ^.
Westfälischer Provinzialverein in Münster: 21. Jahresbericht ftlr 1892/93. 1893. 8*^.
Äccadcmia dellc scieme fisiclve in Neapel: RencHconto. Serie II. Vol. VUI, fasc. 8—10. 1894. 4».
Societä Reale in Neapel: Atti della R. Accademia di scienze morali e politiche. Vol. 26.
1893/94. 80. Rendiconto dell* Accademia di scienze morali e politiche. Anno 31. 32.
1892/93. 8^. Atti della R. Accademia delle scienze fisiche. Ser. II. Vol. 6. 1894. 4°. Rendiconto dell' Accademia delle scienze fisiche. Ser. II. Vol. 8, fasc. 6 e 7. 1894. 4«.
Zoologische Station in Neapel: Mittheilungen. Bd. XI, 3. Berlin 1894. 8«.
American Journal in New-Haven: The American Journal of Science. Vol. 48, No. 283-288. July- December. 1894. 8^.
Observatory of the Yale ünicersity in Neiv-Haven: Report for the year 1893/94. 1894. 8^.
American Oriental Society in New-Uaven: ProceedingB at New- York. March 29-31. 1894. 8«.
North of England Institute of Mining and Mechanical Engineers
in Newcastle-upon- Tyne : Transactions. Vol. 43, No. 6. 6. Vol. 44. No. 1. 1893/94. 8®. Annual Report of the Council for 1893/94. 1894. 8«. Report of the Proceedings of the flameless explosives Committee. Part I. 1894. 8».
Academy of Sciences in New- York: Annais. Vol. VIII, No. 4. 1894, 8».
American Museum of Natural History in New- York: Annual Report for the year 1893. 1894. 8°.
State Museum in New -York: ib^^ and 4(i^^ annual Report for the year 1891 and 1892. Albany.
1892/93. 80. Bulletin. Vol. 3, No. 11. Albany 1893. 8«.
American Chemical Society in New- York: The Journal. Vol. XVI, No. 6—12. Easton 1894. S«.
American Geographical Society in New- York: Bulletin. Vol. 26, No. 2, 3. 1894. 8".
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 453
Nederlandsch Botanische Vereeniging in Nijmegen: Nederlandsch kruidkundij? Archief. IL Ser. Deel VI, Stak 3. 1894. 8«.
Naturhistorische Gesellschaft in Nürnberg: Abhandlungen. Band X, Heft 2. 1894. 8^.
KomitS für die HansSachs-Feier in Nürnberg: Hans Sachs znm 400 jährigen Geburtsjubiläum des Dichters. Von Ernst MumenhoiF. 1894. 8<>.
Neurussische naturforschende Gesellschaft in Odessa: Siipiski. Tom. XVIir, 2. 1894. 8«.
Organisation de Tdtude climaterique de la Russie par Klossovsky. 1894. 40.
Royal Society of Ganada in Ottawa: Proceedings and Transactions. Vol. XI, for the year 1893. 1894. 4».
The Radcliffe Observatory in Oxford: Radcliffe Catalogue of Stars 1890. 1894. 4^.
Societä Veneto-Trentina di scienze naturali in Fadua: Atti. Ser. IL VoL 2, fasc. 1. 1896. S».
Circolo matematico in Palermo: R«ndiconti. Tom. VIII, 6. 6. 1894. gr. 8«.
CoUegio degli Ingegneri in Palermo: Atti. Annata 17. 1894. Oennaio— Aprile. 4^.
Acadimie de vUdecine in Paris: Bulletin. 1894, No. 27-51. S».
Acadimie des sciences in Paris: Comptes rendus. Tome 119, No. 1—25. 1894. 4«
SociHe mathematique de France in Paris: Bulletin. Tome XXII, No. 5-8. 1891. 8».
Societe de geographie in Paris: Bulletin. VII. Sär. Tom. 15. 1« et 2« triraestre. 1894. 8^ Comptes rendus 1894, No. 14—17. 8».
Moniteur Sdentifique in Paris: Moniteur.' 4« S^r. Tome VIII, 2« partie, livre 631— 636. Juillet-Dcc. 1894. 40.
Zeitschrift „V^lectricien" in Paris: L'filectricien. 2® Sör. Tome VIII, No. 184—208. Paris 1894. 4».
Acadimie Imperiale des sciences tn St. Petersburg: Bulletin. Nouv. S^r. Tome IV, No. 1. 2. 1894. 4^. Bulletin. V» Särie. Tome I, No. 1—3. 1894. 4^ Mdmoires. Tom. 39. 41, No. 6-9. 42, No. 1-11. 1893/94. 4«. Byzantina Chronika. Tom. 1, Heft 1. 1894. 4®.
Comite geologique in St, Petersburg: Bulletins. Vol. XII, No. 3—7 et Supplement au T. XIL 1893. 8», Mömoires. Vol. IV, No. 3. 1893. 4».
Kais, russ. mineraiogisdie Gesellschaft in St. Petersburg: Verhandlungen. IL Serie. Band XIII. 1893. 8^
454 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Physikal. -chemische OeseUschaft an der kais. Universität St, Petersburg : Schurnal. Tom. XXVI, 4—7. 1894. dP.
SociHe des naturalistes in St Petersburg: Travaux. Section de ßotanique. Vol. XXIV. 1893/94. 8^. Chemitscheakaja Laboratoria. 1894. 8^.
Kaiserliche Universität in St. Petersburg: Sapiski. Tom. 34. 1894. 8^. Uebersicht der Wirksamkeit der naturwissenschaftlichen Gesellschaft
in St. Petersburg 1868-1893. (In russ. Sprache.) 1893. 8°. Oboscenie. (Vorlesungskatalog 1894/95.) 1894. 8*^.
Academy of natural Sciences in Philadelphia: Proceedings. 1894, part I. 1894. 8^.
The Oriental Club of Philadelphia: Oriental Studies. 1888-1894. Boston 1894. 8».
Historical Society of Pennsylvania in Philadelphia: The Pennsylvania Magazine. Vol. 18, No. 1. 1894. ^.
American philosophical Society in Philadelphia: Proceedings. Vol. 33, No. 144. 145. 1894. 8».
Societä Toscana di scienze naturali in Pisa: Atti. Processi verbali. Vol. IX, pag. 63-132. 1894. 4«.
Älterthums' Verein in Plauen: Mittheilungen. 10. Jahresschrift auf die Jahre 1893/94. 1893. S^.
K. geodätisches Institut in Potsdam: Polhöhenbestimmungen im Harzgebiet. 1887—1891. Berlin 1894. 4".
Böhmische Kaiser Franz Josefs Akademie in Pra^: Rozprawy. Tfida II. Rocnik III, «slo 1. 2. 1894. i^.
, III. , III. , 2. Historicky Archiv. Öislo 4. 5. 1894. 4«. Bulletin international. Cl. des sciences mathöm. I. 1894. 4®. Vgstnik. Rocnik III. öfslo 6. 1894. 4».
Sbirka pramenüo etc. Skupina I. Rada 2. Cislo 1. 1894. 4®. Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur in Böhmen in Prag: Uebersicht über die Leistungen der Deutschen Böhmens im Jahre 1892. 1894. 8«.
Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag: Casopis. Band 23, Heft 8—5. 1894. 8*^.
K. böhmisches Mtiseum in Prag: Pam^tky archaeologickd a mfstopisnd. Bd. XVI, 3—6. 1893. 4^.
R. K. Sternwarte in Prag: Magnetische und meteorologische Beobachtungen im Jahre 1898. 64. Jahrg. 1894. 4«.
K. K. deutsche Carl-Ferdinands- Universität in Prag: Ordpuijg der Vorlesungen. Winter-Sem. 1894/95. 8^. Perspnalstand. Studienjahr 1894/95. 8^.
Verzeichnias der eingelaufenen Druckschriften, 455
Verein für Geschichte der Deutschen in Böhmen in Prag: Mittbeilungen. Jahrg. 82. No. 1—4. 1893. 8«.
Historischer Verein in Begensburg: Verhandlungen. Bd. 46. 1894. 8«.
Naturwissenschaftlicher Verein in Begensburg: Berichte. IV. Heft. 1894. 8».
Instituto histarico e geographica in Bio de Janeiro: Reyista trimensal. Tomo 56, parte I. 1893. 8^.
Geological Society of America in Bochester: Bulletin. Vol. 6. 1894. 8».
Beate Äccademia dei Lincei in Born: Atti. Serie V. Classe di seien ze morali. Vol. 11, parte 2. Notizie degli
scavi. Gennaio— Agosto. 1894. 4P. Atti. Ser. V. Claaae di scienze fisiche. Rendiconti. Vol. III. Semestre 1,
fasc. 12, Semeetre 2, fasc. 1-8. 1894. 4». Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V. Vol 3, fasc. 5—9.
1894. B^, Rendiconti delV adunanza solenne del 8 Giugno. 1894. 4^.
Äccademia Pontificia de^ Nuovi Lincei in Born: Atti. Anno 47. Sessione I. IL III. 1894. 4«
Biblioteca Äpostolica Vaticana in Born: Studi e documenti di storia e diritto. Anno XIV, fasc. 1—4. 1893. 4^. Codices manuscripti graeci Ottoboniani Bibliothecae Vaticanae, re- censuerunt E. Feron et F. Battaglini. 1893. 4^.
Gomitato geologico d^Italia in Born: BoUettino. Anno 1894, No. 2. 3. 8».
Kais, deutsches archäologisches Institut in Born: Mittheilungen. Römische Abtheilung. Band IX, 2. 3. 1894. 8^
Societä Italiana delle scienze in Born: Memorie di Matematica. Serie III. Vol. 8. 9. Napoli 1892/93. 4».
JB. Societä Bomana di storia patria in Born: Archivio. Vol. XVII, fasc. 1. 2. 1894. 8».
Uffido centrale meteorologico italiano in Bom: Annali. Vol. XXII, parte 1. 1890. Vol. XIV, p. 1. 1892. Vol XV, p. 1. 1898. 1894. 40.
Universität Bostock: Schriften aus dem Jahre 1893/94 in 4P u. 8^.
lAck Observatory of the üniversity of California in Sacramento: Publications. Vol. H. 1894. 4°.
Äcademy of Science in St. Louis: Transactions. Vol. VI, No. 9—17. 1893/94. 8^
Essex Institute in Salem: Bulletin. Vol. 26. 1894. 8^.
l^)C) Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
K, K, Staats-Gymnasium in Salzburg: Programm för das Jahr 1893/94. 1894. 8».
Gesellschaft für Salzburg er Landeskunde in Salzburg: Mittheilungen. 84. Vereinsjahr. 1894. 8^.
Historischer Verein in St. Gallen: Mittheilungen zur vaterländischen Geschichte. XXV. 1894. 8**. Urkundenbuch der Abtei St. Gallen. Theil IV, 3. 1894. 49. Abt Berchtold von Falkenstein von Placid Butler. 1894. 4^
Instituto y Observatario de marina de San Fernando in Cadix: Almanaque näutico para 1895. Madrid 1894. 8^
Geographicäl Society of California in San Francisco: Bulletin. Vol. II. 1894. May. &^,
Observatorio astronömico in San Salvador: Obaervaciones meteorologicas. Oct. — Dez. 1892. 1894. 8°.
SocietS scientifique du Chili in Santiago: Actes. Tome 3, livr. 4. 5. Tome 4, livr. 1. 2. 1894. 4».
Commissäo geographica e geologica i Säo Paulo (Brasilien): Boletin. Dados climatologicos. 1890—1892. 8 Hefte. 1893. 8. Contribu9oes para a archeologia. Heft 1. 1893. 8®. Histor. Verein für das Württembergische Franken in Schwäbisch- Hall : Württembergisch Franken. Neue Folge V. 1894. 8^
Verein für mecklenburgische Geschichte in Schwerin: Jahrbücher. 59. Jahrgang. 1894. 8®.
Chinu Branch of the Boyal Äsiatic Society in Shanghai: Journal. N. S. Vol. 26. 1891/92. 1894. 8«.
Meteorologische Centralstation in Sophia (Bulgarien): Bulletin mensuel meteorologique de Bulgarie. 1894. Jan. — Sept. 4^.
Bosnisch-Herzegoüviisches Landesmuseum in Sarajevo: Die prähistorischen Fundstätten von V. Kadimsky. 1891. 4®. Römische Strassen in Bosnien und der Hercegovina von Ph. Ballif. Th. I. Wien 1893. fol.
K. K. archäologisches Museum in Spalato: Bullettino di archeologia. Anno 17. 1894. No. 6—7. 8^.
Historischer Verein der Pfalz in Speier: Mittheilungen. XVIII. 1894. 8^.
Schwedische Akademie der Wissemchaften in Stockholm: Handlingar. Band 25, Heft 1. 2. 1892-94. 49. Bihang tili Handlingar. Band XIX in 4 Abtheil. 1894. 8^ Meteorologiska iakttagelser. Bd. 32. (1890.) 1894. A^. Lefhadstockningar. Band III, 2. 1894. 8«.
K. öffentliche Bibliothek in Stockholm: Sveriges offentliga bibliotek Accessions-Katalog VIII. 1893. 1894. 8«.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. -157
Sociite des sciences in Stransburg: Bulletin mensuel. Tome 28, fasc. B. 6. 1894. S«.
Universität Strasshurg ; Schriften aus dem Jahre 1893/94 in 4P u. 8^.
AustraJcisian Association for the Ädvancement of Science in Sydney ' Report. Vol. V. Adelaide Seesion. 1893. 8°.
Department of Mines in Sydney: Records of the Geological Survey of New -South -Wales. Vol. IV, part 1. 1894. 4<\
Geological Survey of New-South- Wales in Sydney: Records. Vol. IV, part 2. 1894. 4«.
Observatorio astronömico nacional in Tacubaya (Mexico): Boletin. Tom. I, No. 17-19. 1894. 4^ Anuario. Aiio XV. Mexico. 1894. 4».
College of Science, Imperial University, Japan, Tokio. The Journal. Vol. VI, 4. VII, 1. VIII, 1. 1894. 4«. Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokio: Mittheilungen. Band VI. Suppl. Heft 1. Heft 64. 1894. fol.
Tufts College Mass.: Tufta College Studies No. III. 1894. 4«.
üniversitätS'Bibliothek in Tübingen: Schriften der Universität Tübingen a. d. J. 1893/94 in 4" u. 8^.
B. Accademia delle scienze in Turin: Atti. Vol. 29, disp. 11—16. 1894. 8^ Memorie. Ser. 11, tom. 44. 1894. 40.
Comite miteorologique international in Upsala: Extrait des proces-verbaux de la P® r^union a üpsal en'Aoüt 1894. 8**.
Societe Royale des Sciences in Upsala: Nova Acta. Ser. III. Vol. XVI. 1893. 4».
Universität in Upsala : Schriften aus d. J. 1898/94 in 4® u. 8«.
SodHe provinciale des Arts et Sciefices in Utrecht: Verslag. 1893. S«.
Aanteckeningen van Sectie-vergaderingen. 1893. 8^. L. A. van Langeraad, De Nederlandsche Ambassade-Kapel te Parijs. 2. Voll. s'Gravenhage. 1893. ^.
American Historical Association in Washington: Annual Report for the year 1892 and 1893. 1893/94. 8<>.
Bureau of Ethnology in Washington: Tenth annual Report 1888-89, by J. W. Powell. 1893. 4^. The Maya Year, by Cyrus Thomas. 1894. 8^.
Bibliography of the Wakashan Languages, by F. C. Pilling. 1894. 8*'. The Pamunkey Indiana of Virginia, by J. H. PoUard. 1894. 8.
458 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Smithsonian Institution in W(Mhington: Annual Report, to July 1892. 1893. 8<'.
Surgeon General, ü. S. Army in Washington: Index Catalogue. Vol. XV. 1894. 4«.
Harzverein für Geschichte in Wernigerode: Zeitschrift. 27. Jahrg. 1894. 8».
Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien: Mi tthei langen aus dem Vatikanischen Archive. Band II. 1894. 8®.
K. K. geologische Reichsanstalt in Wien: Verhandlungen. 1894. No. 6-9. 40.
K. K. Gesellschaft der Aerzte in Wien: Wiener klinische Wochenschrift. 1894. No. 27—52. 4«.
Anthropologische Gesellschaft in Wien: Mittheilungen. Band 24, Heft 3—5. 1894. 4^.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien: Verhandlungen. Jahrg. 1894. Band 44, I. u. II. Quartal. 8^.
Oesterr eichische Chradmessungs-Kommission in Wien: Verhandlungen üher die am 11. und 13. April 1894 abgehaltenen Sitzungen. 1894. 8°.
K. K. naturhistorisches Hofmuseum in Wien: Annalen. Band IX, No. 2. 1894. 4«.
0, Kuffnerische Sternwarte Wien: Publikationen. Band 111. 1894. 4».
K. K. Universität in Wien: Jahrbuch für das Studienjahr 1893/94. 1894. 8^. Uebersicht der akademischen Behörden fQr das Studienjahr 1894/95.
1894. 80. Oeffentlicbe Vorlesungen. Sommer-Sem. 1894. Wintei>Sem. 1894/95.
1894. ^, Die feierliche Inauguration des Rektors am 8. Nov. 1894. 8®.
Verein zur Verbreitung natnnvissenschaftlicher Kenntnisse in Wien: Schriften. 34. Bd. Jahrg. 1893/94. 1894. 8».
Naturwissenschaftlicher Verein an der Universität Wien: Mittheilungen ftir das Jahr 1893/94. 1894. 8^.
Nassauischer Verein für Naturkunde in Wiesbaden: Jahrbücher. Jahrg. 1847. 1894. 8°.
Naturforschende Gesellschaft ifi Zürich: Vierteljahrsschrift. Jahrg. 39, Heft 2. 1894. 8^
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 459
Von folgenden Privatpersonen:
Franz Ludwig Baumann in Donaueschingen: Geschichte des Alfi^äus. Band III Kempten 1894. 8^.
Ä. Brill in TObingen: Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen. Berlin
1893. 8«.
Franz Bücheier in Bonn: Anthologia latina. Pars II, fasc. 1. Leipzig 1895. 8^.
Hartmann Caviezel in Chur: Litteratnra veglia (rhaeto-romanscha). 1894. 8^.
Carlo Cipolla in Turin: Ricerche sull* antica biblioteca del monastero della Novalesa. 1894. 8^.
Salvatore de Crescenzo in Neapel: Saggio di una scala normale del pensiero astratto. 1893. 8^.
B. Fresenius in Wiesbaden: lieber die Schwankungen im Gehalte der Mineralwasser. 1894."^ 8^.
Ernst Haeckel in Jena: Systematische Phylogenie der Protisten und Pflanzen. Th. I. Berlin
1894. 8«.
X. Harperath in Cörddba. (Bep, Ärgent.J: Die Weltbildung. Köln 1894. 8«.
P. de Heen in Brüssel: 5 Separatabdrücke aus dem Bulletin de PAcad. R. des Sciences, physikalischen Inhalts. 1894. 8^.
Professor Hegewald in Meiningen: Introduction au discours sur Tunitä de Pdspece humaine. 1894. 8^.
W, J. Hoffmann in Philadelphia: Gshicht fun dft altä Tsaitä in Pensilfani. By W. J. Hofmann. 1894. 8«.
/. B. Jack in Konstanz: Hepaticae in insulis Vitiensibui} et Samoanis lectae. Sep.-Abdruck. 1894. 8^.
James E. Keeler in London: On the Spectra of the Orion Nebula. s. 1. 1893. 8^.
Friedrich Keinz in München: Hans Sachsens Zeitgenossen und Nachfolger im Meistergesang. Nürn- berg 1894. 8^
Albert von Köllikei' in Würzburg: Der feinere Bau des sympathischen Nervensystems. Würzburg 1894. 8®. Ueber den Fornix longus von Foral und die Riecbstrahlungen im
Gehirn des Kaninchens. Strassburg 1894. 8^. üeber die feinere Anatomie des sympathischen Nervensystems. Wien 1894. 8«.
M. E, Lemoine in Paris: 4 Abhandlungen über Geometrie. 1894. 8^.
460 VerzeichnisH der eingelaufenen Druckschriften.
G, Lorenteen in Bamberg: Ueber die üntersuchang der Scalen eines Heliometers. 1894. &^.
Se, Hoheit Prinz Albert von Monaco in Monaco: Resultats des Campagnes scientifiques. fasc. VII. 1894. gr. 4^.
Gabriel Monod in Versailles: Revue historique. Tome 66, No. 1. 2. Paris 1894. 8<>.
Gifford Pinchot in New -York: Biltmore Forest, the property of Mr. George W. Vanderbilt. Chicago
1893. 80.
S, Riefler in München :
Die PräcisioBS-ühren. 1894. gr. &^.
Andreas Schmid in München:
Geschichte des Georgianums in München. Regensburg 1894. 8^. Festbericht über die IV. Centenarfeier des Georgianums Augsburg
1894. 80.
August Tischner in Leipzig: Le pouvoir grossissant de Tatmosph^re. 1892. 8®.
Albrecht Weher in Berlin: Vedische Beiträge. 1894. 4P.
Henry Wilde in London: Ueber den Ursprung der elementaren Körper und über einige neue Beziehungen ihrer Atomgewichte. London 1892. 4^.
A. Wolf er in Zürich: Astronomische Mittheilungen. No. 84. 1894. 8^.
461
Namen-Register.
V. Baeyer Adolf 51, 61, 296, 402. Bauer Gustav 843. Bauflchinger Johann (Nekrolog) 114. van Beneden Peter J. (Nekrolog) 161. Boltzmann Ludwig 207, 211. Brunn Hermann 93.
de Candolle Alphonse (Nekrolog) 153.
Döhlemann Karl 41.
Fomm L. 189.
Graetz L. 189.
Hartig Robert 385.
Hertz Heinrich Rudolf (Nekrolog) 146.
Kummer Ernst Eduard (Nekrolog) 140. V. Kupffer Carl 51.
Lindemann Ferdinand (Wahl) 401, 403.
Maurer Ludwig 297.
V. Middendorff Alexander Theodor (Nekrolog) 148.
V. Orff Karl (Wahl) 401.
V. Pettenkofer Max 395.
Planck Max 391.
Pringsheim Alfred (Wahl) 401.
462 Namen - Begisfer.
Bicharz F. 8. Rüdinger Nikolaus 249.
y. Sandberger F. 231.
Scacchi Arcangelo (Nekrolog) 156.
Schütz Ignaz 278.
Seeliger Hugo 161, 257, 423.
Sohncke Leonbard 61.
Stankewitscb B. W. 63.
Steinbeil Adolf (Nekrolog) 120.
Stern Moritz Abraham (Nekrolog) 142.
Tyndall John (Nekrolog) 148.
V. Voit Carl 113.
Wassmuth A. 219. Weinschenk Ernst 388.
463
Sach- Register.
Ansprache in der öffentlichen Sitzung? 395.
Diffusionggleichung, Integration bei variabeln Diffnaionseoefficienten 21 1 . Dispersion elektrischer Wellen 189. Drackschriften eingelaufene 861, 489.
Eichenholz, Verschiedenheiten im Bau desselben 385. Elektrodynamik, Anwendung des Princips des kleinsten Zwanges auf
dieselbe 219. Erzlagerstätte von Goldkronach 231.
'Gehirne verschiedener Hunderacen 249. Geschwindigkeitsvertheilungsgesetz Maxwells 207, 391. Gewitterstudien auf Grund von Ballon£aihrten 61.
Halbebene, conforme Abbildung derselben 403.
Kräfte, elektrische und magnetische der Atome 3. KümmelOl 61, 296.
Monorhinie und Amphirhinie 51.
Ovale, Theorie derselben 93.
Polarisation, dielektrische in Flfissigkeiten 63. Polynome, Legendre'sche 343.
1894. M»tb.-pbya. Cl. 4. ^^
464 Snch'Register.
Rauratransformation dritter Ordnung 41.
Satarnriug, Constitution desselben 161. Schatten eines Planeten 423. Stern CCancri 257.
Terpentinöl 51. 402.
Theorie der continuirlichen , homogenen und linearen Gruppen 207.
Wahlen 401.
Wirbel-Integrale, Helmholtz'sche 273.
Inhalt
Die mit * beMiehneien Abhandlongen sind in den Sitsimgiberichten nicht abgedraokt.
Sitzung vom 3. November 1894.
Seite B. H artig: Ueber die Verschiedenheiten im Bau de» Eiche n-
holzea 386
M. Planck: Ueber den Beweis des MazwelUchen Geschwindig-
keitsvertheilongsgesetzes unter Gasmolekülen .... 891 ^E. Weinschenk: Beitr&ge zur Petrographie der östlichen
Centralalpen, speciell des Gross-Yenedig^rstockes . . . 888
Oe/fentliche SUetmg zu Ehren Seiner MajesiM des Königs und Seiner Königl. Hoheit des Prine-Begenten am 15. Novernber 1894,
M. V. Pettenkofer: Eröfl&iungsrede 896
Wahlen 401
Sitzung vom 1, Dezember 1894,
H. Seeliger: Ueber den Schatten eines Planeten 428
F. Lindemann: Ueber die conforme Abbildung der Halbebene auf ein einfach zusammenhängendes Flächenstück, das Ton
einer algebraischen Curve begrenzt wird 403
*A. V. Baeyer: Ueber die Natur der Terpentinöle und ver- wandter Substanzen 402
Einsendung von Druckschriften 489
AkademiBche Bachdmckerei von F. Stntnb in M Onohen.
Sitzungsberichte
der
mathematisch -physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu ÜVEünchen.
Band XXV. Jahrgang 1895.
Mflnchen.
Verlag der K. A.kademie. 1896.
Tn CommiMion des 6. Fmis*8eh6n YerUgs (J. Both).
Uebersicht
des Inhaltes der Sitzungsberichte Bd. XXY Jahrgang 1895.
Die mit * bezeichneten Abhftndlungen sind in den Sitzungsberichten nicht abgedruckt.
OeffenÜiche Sitzung der kgl. Akademie der Wissenschaften zur Feier des 136. Stiftungsiages am 28. März 1895. ^^^
▼. Pettenkofer: Nekrologe 155
▼. Veit: Nekrologe 161
OeffenÜiche Sitzung zu Ehren Säner Majestät des Königs und Seiner Königl. Hoheit des Frinzregenten am 15. November 1895.
V. Pettenkofer: EröfifiiDogsrede 365
Wahlen 370
Sitzung vom 5. Januar 1895.
* Walter Djck: Ueber die Bestimmung der Anzahl dereinem System von n-Gleichungen mit n- Variabein gemeinsamen Wurzeln und über die Berechnung der Summe der Werthe, welche eine weitere Funktion dieser Variabein in diesen Nnllstellen annimmt 1
Joh. Ranke: Zur Anthropologie der Halswirbelsäule; Beitrag
zur Entwickelungsmechanik der menschlichen KOrperform 3
L. Boltzmann: Nochmals das MaxwelFsche Vertheilungsgesetz
der Geschwindigkeiten 25
Joh. Rückert: Zur Kenntniss des BefruchtungsYorganges . . 27
*H. Seeliger: Vorzeigung astronomischer Photographien des
Herrn Professor Wolf in Heidelberg 2
Alfred Pringsheim: Ueber den Gauchj'schen Integralsatz 39
IV
SUeung vom 9. Februar 1895.
Seite
^K. Göbel: üeber directe Anpassung 73
Alfred Pringßheim: üeber die Entwickelang eindeutiger
analytischer Functionen in Potenzreihen 75
M. Nöther: Die 7 -Systeme von Kegelschnitten, welche durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer ebenen
Gunre 4. Ordnung gehen 93
Ed. V. Weber: Ueber simultane partielle Differentialgleichungen
II. 0. mit drei Variabein 101
F. V. Sandberger: Ueber Blei- und Fablerzgänge in der Gegend
von Weilmünster und Runkel in Nassau 115
N. Rfidinger: üeber Leucocyten Wanderung in den Schleim- häuten des Darmkanals 125
Sitzung vom 2. März 1895.
*C. V. Kupffer: üeber die Entwicklung der KiemenknorpeL
bei Petromyzon Planeri 197
*Ad. T. Baeyer: üeber das Caron 197
Sitzung vom 4. Mai 1895.
R. H artig: üeber den Drehwuchs der Kiefer 199
F. Lindemann: Die Abbildung der Hulbebene auf ein Polygon,
das von Bögen confocaler Kegelschnitte begrenzt wird 219
J. Bauschinger: Üeber eine neue Bestimmung der Refrac-
tionsconstante auf astronomischem Wege 239
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. I. üeber die Dar- stellung der Kronecker'schen Charakteristiken eines Fnnc- tionensystems durch bestimmte Integrale 261
Sitzung vom 15. Juni 1895.
R. U artig: üeber den Nadelschüttepilz der Lärche, Sphaerella
laricina n. sp 279
A. Pringsheim: Zum Cauchy'schen Integralsatz 296
* F. Lindemann: üeber die conforme Abbildung eines Flächen- stückes, das durch Parabeln mit gemeinsamer Axe be- grenzt wird 278
Seite
*F. Linde mann: Vorlage eines ans Vorder- Asien stammenden antiken Modelles (Bronze - Guss) eines Archimedischen Körpers (Rhomben-TriakontaSder) 278
*A. V. Baeyer: üeber das Kümmelöl 278
Sitzung vom 6. Juli 1895.
*A. Schmidt: Mittheilungen über eine neue Berechnung des
erdmagnetischen Potentials 805
*W. Dyck: Beiträge zur Potential theorie. IL Die Gauss'sche Formel für die gegenseitige Umschlingung zweier Raum- curven und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfaltig- keiten. Darstellung als Kronecker'sche Charakteristik eines Funktionensystems 805
Sitzung vom 2. November 1895.
*L. Radlkofer: Monographie der Sapindaceen-Gattung Paullinia 829 E. Goebel: Ueber die Abhängigkeit der Blattform von Gam-
panula rotundifolia Yon der Lichtintensit&t 831
AI fr. Pringsheim: Ueber Potenzreihen auf dem Convergenz-
kreise und Fourier'sche Reihen 887
Sitzung vom 7. Dezember 1895.
R. Lehmann-Filh^s: Ueber die Säcularstörung der Länge des Mondes unter der Annahme einer sich nicht momentan
fortpÜanzenden Schwerkraft 871
Ed. V. Weber: Ueber gewisse Systeme PfalFscher Gleichungen 423 C. V. Voit: Ueber den Eiweisaumsatz bei Zufuhr von Antipepton 443
Kachtrag zur Sitzung vom 6. Juli 1895. W. Dyck: Beiträge zur Potential theorie. II 447
Einsendungen von Druckschriften 307, 501
Sitzungsberichte
der
kOnigl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Glasse.
Sitzung vom 2. NoTember 1895.
1. Herr L. Radlkofer legt eine Monographie der Sapin- daceen - Gattung Paollinia vor. Dieselbe ist fQr die Denk- schriften bestimmt.
2. Herr E. Goebel macht eine Mittheilung: ,Ueber die Abhängigkeit der Blattformen von Gampanula rotundifolia von der Lichtintensität.'
3. Herr Alp. Pringsheim spricht: »lieber Potenz- reihen auf dem Gonvergenzkreise und Fourier*sche Reihen."
189& Mat]i.-pb3rt. Ol. & 22
'fp'
■jri^ if f '
Sitzungsberichte
der
mathematisch -physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu M^ünchen.
1895. Heft L
Mfinehen.
Verlag der K. A.kademie. 1895.
In Commission des G. Franz'schen Verlags (J. Roth).
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch-physikalische Classe.
Sitzung vom 5. Januar 1895.
1. Herr Walter Dyck trägt vor: „Ueber die Be- stimmung der Anzahl der einem System von n-Glei- chungen mit w-Variabeln gemeinsamen Wurzeln und über die Berechnung der Summe der Werthe, welche eine weitere Funktion dieser Variabein in diesen Nullstellen annimmt/
Er bespricht die Stellung der hierauf bezüglichen Ar- beiten von Kronecker zu den anschliessenden von Picard, und gibt die Weiterführung dieser Untersuchungen im Sinne der ursprünglichen Cauchy'schen Theoreme.
Die Resultate sind in einem Schreiben an Picard (ver- öffentlicht in den Comptes rendus de TAcad. francaise vom 31. Dezember 1894 und 7. Januar 1895) niedergelegt und werden später in ausgeführter Form veröffentlicht.
2. Herr Johannes Ranke macht eine Mittheilung: ,Ziir Anthropologie der Halswirbelsäule; Beitrag zur Ent- wickelungsmechanik der menschlichen Körperform."
1895. Mat)i.-pbys. Ol. 1. 1
3. Herr E. v. Lommel legt eine Notiz des auswärtigen Mitgliedes der Classe, Herrn Ludwig Boltzmann in Wien, vor: ^Nochmals das MaxwelTsche Vertheilnngsgesetz der Geschwindigkeiten."
4. Herr Johannes Rückert bespricht seine Unter- suchungen: „Zur Kenntniss des Befruchtungsvor- ganges." Ein Auszug daraus folgt in den Sitzungsberichten.
5. Herr Hugo Seeligek zeigt eine Anzahl astronomischer Photographien von Herrn Prof. Wolf in Heidelberg vor. Genaue Zeichnungen von 5 dieser Photographien erscheinen mit dem erläuternden Text in den Denkschriften.
6. Herr Alfred Pringsheim spricht: „Ueber den Cauchy'schen Integralsatz. "
Zur Anthropologie der Halswirbelsäule. Beitrag znr Entwiekelungsmechanik der mensehliehen KSrperform.
Von Johannes Ranke.
[Eingeiauftn 5. Januar.)
Bei der Fortsetzung der Studien zur Entwickelungs- mechanik der menschlichen Körperform wurde ich von der Untersuchung der anthropologischen Bau Verhältnisse der Schädelbasis^) zu jenen der Halswirbelsäule geführt.
Hier fesselt zunächst die Bildung des Atlasgelenkes die Aufmerksamkeit. So ähnlich der Bau dieses Gelenkes bei dem Menschen und den menschenähnlichen Affen auch ist, so zeigt sich doch ein mechanisch wichtiger unter- schied in der Stellung der im Gelenk vereinigten Knochen- flächen. Die beiden Gelenkhöcker des Hinterhauptbeins, die Condylen, welche sich mit dem Atlas in einem zweifachen Gelenke vereinigen, sind bei dem Menschen bei normaler aufrechter Kopfhaltung direkt nach unten gerichtet, während ihre Richtung bei den menschenähnlichen Affen, wie bei allen Wirbelthieren, mehr oder weniger nach hinten geht.
Bei dem Menschen steht daher der Hauptkrümraungs- radius der Gelenkfläche der Condylen auf dem Scheitel ihrer
^) über welche Herr Professor Dr. von Kupffer in der Sitzung der k. b. Akademie d. W. vom 8. Juli 1893 berichtete unter Vorlage meines Buches: Ueber einige gesetzmässige Beziehungen zwischen Schädelgrund, Gehirn und Gesichteachildel. 4^. 132 S. Mit 30 Tafeln. München 1892. Fr. Bassermann.
4 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Januar 1895,
Convexität senkrecht, sodass der nach vorn und der nach hinten gewendete Abschnitt des von der Gelenkfläche gebildeten Bogens gleich gross ist. Bei dern Gorilla bildet der Krüm- mungsradius der Gelenkfläche unter denselben Verhältnissen einen Winkel von ca. 45*^ mit der Horizontalen und ^/s des Bogens sind nach hinten gewendet. Dabei sind die Gelen k- fiächen der Condylen bei dem Gorilla viel stärker gekrümmt, bei dem Menschen entsprechend flacher. Bei beiden hat der von der Gelenkfläche gebildete Bogen eine Länge von circa 28 — 30 mm. Der Krümmungsradius^) beträgt aber bei dem Gorilla nur 10, bei dem Menschen dagegen 18 mm, also fast das Doppelte. Ganz entsprechend verhalten sich die Gelenk- gruben des Atlas, sie sind bei dem Gorilla entsprechend tiefer und umgreifen die Condylen in weiterer Ausdehnung als bei dem Menschen, das Gelenk ist bei dem Gorilla daher fester und weniger frei.
Der eben beschriebenen Stellung der Gelenkflächen der Condylen entspricht die Stellung der für ihre Aufnahme im Schädelatlasgelenke bestimmten Gelenkgruben des Atlas. Der Vorder- und Hinterrand dieser Gelenkgruben ist bei dem Menschen bei horizontaler Stellung des Wirbels etwa gleich hoch. Bei dem Atlas des Gorilla erhebt sich der Hinterrand wie die Lehne eines Stuhles, während der Vorderrand niedrig ist. Durch diese Lehnenbildung wird für die nach hinten gewendeten Gelenkfortsätze des Schädels ein Widerlager ge- schaffen.
Auch die seitlichen Gelenke zwischen Atlas und zweitem Halswirbel sind bei dem Gorilla weniger frei als bei dem Menschen. Bei letzterem gleiten fast ebene Flächen an einander hin, während die betreffenden Gelenkflächen bei dem Gorilla ausgesprochen gewölbt sind mit einem Radius von etwa 65 mm.
*) Durch Abnahme der Krümmungen mittelst Blechdrabt ge- messen.
J, Ranke: Zur Anthropologie der Halswirbehäule, 5
Der ganze Bau der Hals Wirbelsäule überhaupt ist bei den menschenähnlichen Afien weit mehr auf Festigkeit und Stabilität gerichtet als bei dem Menschen. Auf Festig- keit zielt schon die tiefe zapfenförmige oder gelenkkopfartige Einsenkung der einzelnen Körper der Halswirbel in einander bei dem Gorilla wie bei allen Affen. Bei der menschlichen Halswirbelsäule ist eine solche Einsenkung der einzelnen Wirbelkörper in einander viel geringer, worauf z. Th. die hohe Beweglichkeit des Menschenhalses im Ganzen beruht. Die untere convexe Randcurve des menschlichen 2. Hals- wirbels hat in der Mitte einen Krümmungsradius von circa 11 mm und flacht sich nach beiden Seiten zu noch weiter etwas ab; die Krümmungscurve bildet im Ganzen, einschliess- lich jener seitlichen Abflachung, ziemlich genau einen Halb- kreis^) mit dem Radius von 11 mm. Bei dem männlichen Gorilla misst der Krümmungsradius nur ca. 6 mm, die Krüm- mungscurve ist eine sehr gestreckte Ellipse*); der Bogen beträgt mehr als einen Halbkreis, sodass der obere Wirbel- körper zapfenartig in den unteren eingesenkt ist.
Der gesteigerten Festigkeit der Halswirbelsäule entspricht auch das im Ganzen beträchtlichere Volumen der einzelnen Hals- wirbel bei den grossen menschenähnlichen Affen (Gorilla), wäh- rend bei dem Menschen gerade die Halswirbel besonders wenig voluminös sind. Dieses höhere Volumen der Gorillahalswirbel spricht sich für die äussere Betrachtung vor Allem in den extrem lang- und starkentwickelten Dornfortsätzen aus, welche an- nähernd senkrecht auf die Längsachse des Halses gerichtet sind. Ganz entsprechend sind die Verhältnisse bei allen Anthro- poiden. Während bei dem Menschen die Halswirbel und na- mentlich ihre Dornfortsätze (mit Ausnahme des 7.) besonders schwach, die Dornfortsätze gabelförmig ausgeschnitten sind, sind die Dornfortsätze der Halswirbel bei den grossen Anthro-
^) In Wahrheit eine Parabel. «) Eesp. Parabel.
^> Sitzung der math.-phys. Classe vom 5. Januar 18i)5.
poiden besonders stark. Der 4. Halswirbel des Menschen hat oft einen besonders schwachen gewöhnlich gabelig aus- geschnittenen nach abwärts gebogenen Dornforisatz, der sich nur etwa 10 mm oder wenig mehr über die Hinterfläche des Wirbels in senkrechter Projection erhebt; bei dem Gorilla ragt er dagegen ca. 80—90 mm hoch über den Bogen hervor. Der erste Halswirbel hat, soviel ich sehe, bei keinem menschenähnlichen Aifen einen längeren Dornfortsatz; beim Gorillamännchen ist auch der zweite relativ kurz, da die Hinterfläche des Schädels bei vorwärts gewendetem Gesichte direkt auf dessen Spitze aufruht, sodass er sich schon aus diesem Grunde nicht höher entwickeln kann. Bei allen, welche ich untersuchen konnte, ist der Dornfortsatz des 4. Halswirbels am grössten und endigt, wie das beim Gorilla alle Halsdornfortsätze zeigen, in eine Art von Knopf. Huxlej^) hebt als eine menschenähnliche Bildung des Schimpanse (Troglodytes) den gabeligen Ausschnitt seines 2. Halswirbel- dorn fortsatzes hervor, indem er sagt: „Aber dieser menschliche Charakter fehlt den übrigen Anthropoiden.* Die Sache verhält sich doch etwas anders. Bei dem von mir untersuchten Schim- panse umgreift die gabelig ausgeschnittene Spitze des Dom- fortsatzes des zweiten Halswirbels zangenartig die Spitze des dritten, sodass beide zusammen eine einheitliche breite und hohe Stützfläche für Band- und Muskelansatz bilden. Aehnlich zeigt sich eine Einrichtung bei dem zu den Halbaffen, Lemuren, gezählten grossköpfigen und namentlich extrem grossäugigen „plumpen oder faulen Lori**, Stenops (111.) oder Njcticebus tardigradus (Geoffr.). Bei diesem umgreift der ebenfalls gabel- förmig oder besser gesagt zangenartig ausgeschnittene Dorn- fortsatz des zweiten Halswirbels sogar die Spitzen der Dom- fortsätze des dritten und vierten Halswirbels, offenbar um die Festigkeit und Tragfähigkeit der Halswirbelsäule zu
^) Handbuch der Anatomie der Wirbelthiere. Uebersetzt von F. Ratzel. JS. 399.
./. Ranke: Zur Anthropologie der Ilalswirbehätife. 7
steigern. Auch bei niederen Säugethieren kommen ähnliche und mechanisch ähnh'ch wirkende Bildungen an der Hals- wirbelsaule vor. So bilden die Dornfortaätze des 2. — 5. Hals- wirbels bei einigen geschickt kletternden mittel- und süd- amerikanischen Beutelratten (Didelphis cancrivora und Azarae) eine in gewissem Sinne gemeinschaftliche Bildung, indem die Halsdornfortsätze yom 2. Halswirbel an eine relative hohe und dicke, convexgewölbte, annähernd geschlossene, gegen Kopf und Brust zu abfallende Leiste bilden.
Diese besondere Festigkeit bedarf die Halswirbelsäule der grossen anthropoiden Affen zum Tragen und Halten ihres schweren Kopfes und zwar in ihrer der menschlichen auf- rechten Körperhaltung angenäherten, wie man gewöhnlich sagt, halbrechten Stellung.
Die moderne Zoologie erkennt als ein den Menschen von den menschenähnlichen, sowie den niederen Affen unter- scheidendes systematisches Merkmal den aufrechten Gang^) an, aber es wäre ein Missverständniss , wenn man annehmen wollte, nur der Mensch sei zu dem „aufrechten Gang* be- fähigt. Auch die anthropoiden Affen haben diese Fähigkeit in ausgesprochener Weise und benützen sie gelegentlich, am besten verstehen diese Kunst die, eine Mittelstellung zwischen höheren und niederen catarrhinen Aifen (den Anthropoiden und Cynomorphen) einnehmenden Gibbonarten, die Langarm- affen. Gelegentlich aus Bedürfniss oder durch Dressur dazu gezwungen, sehen wir viele der Säugethiere den aufrechten Gbng annehmen.^)
Die speciellen Skeleteinrichtungen, welche soeben von den grossen anthropoiden Affen geschildert worden sind, beziehen sich, wie die nähere Untersuchung ergibt, speciell auf das Bedürfniss, den grossen und schweren, an der Wirbelsäule
1) R. Hertwig, Lehrbuch der Zoologie. IL Aufl. S. 666 f. *) Wie die auf den beiden HinterfÜssen, die Vorderfaese in der Luft) zweibeinig einherscbreitenden Elephanten Hagenbeck*8 u. a.
n Sitzung der mathrphys. Classe vom 5. Januar lö95.
seitlich befestigten Kopf in der mehr oder weniger auf- rechten Körperstellung zu halten.
Bei den wirklich vierfüssig gehenden Thieren sind die Halteeinrichtungen für den Schädel am Skelet anders als bei den menschenähnlichen Affen. Den betreffenden niederen Säugethieren fehlen die mächtig entwickelten Dornfortsätze der Halswirbel der Anthropoiden, ebenso wie dem Menschen. Dagegen ragen bei den eigentlichen „Vierfüsslern* die Dorn- fortsätze der ersten Brustwirbel, welche bei dem Menschen wie bei den menschenähnlichen Affen dachziegeltörmig nach abwärts geneigt sind, mächtig in die Höhe, um den starken elastischen und muskulösen Haltorganen des Kopfes, dem Nackenband und der Nackenmuskulatur als feste Angriffs- und Stützpunkte zu dienen. Von diesen Nackendornen aus spannt sich das elastische Nackenband zur Hinterfläche des (2. Hals- wirbels und) Kopfes. Der letztere wird dadurch, wie der Querbalken eines Galgens oder eines Krahns seitlich an der Spitze der, vom Nacken vielfach annähernd senkrecht sich auf- richtenden Halswirbelsäule gehalten. Je schwerer der Kopf ist, desto mächtiger sind auch die Nackendornen; bei dem Skelet eines erwachsenen Bison ^) fand ich die Dornfortsätze der ersten Brustwirbel, der Nackenwirbel, länger als irgend einen der langen Extremitätenknochen, speziell der Dornfortsatz des 4. Brustwirbels hat eine Länge von 470 mm.
Dass diese auffallende Bildung der Nackendornen wirklich mit dem Tragen eines schweren Kopfes correspondirt, ergibt sich bekanntlich daraus, dass bei den Geweih- oder Hörner-tragen- den Säugethieren ihre Höhe und Stärke im Allgemeinen be- deutender erscheint, und dass sie einerseits bei den hornlosen Weibchen der Schafe, der Hirsche u. a. schwach bleiben, wäh- rend andererseits die gehörnten Männchen, der weit schwerern Last des Schädels entsprechend, besonders hoch und stark
^) Münchener zoologinche Sammlung.
J, Ranke: Zur Anthropologie der HcUstcirbelsänle. 0
ausgebildete Nackendornen aufweisen. Die Dornforfcsätze der Halswirbel sind dagegen bei all den eigentlich vierfüssiggehen- den Säugethieren ^) auffallend klein und in diesem Sinne men- schenähnlich, nur der zweite Halswirbel hat entwickeltere An- satzflächen für die elastisch-muskulösen Haltapparate des Kopfs.
Schon ohne nähere Untersuchung erweckt die Betrach- tung der mächtigen Halsdornen des Gorilla und der andern grossen menschenähnlichen Affen, Orangutan und Schim- panse, den Eindruck, dass man es hier mit einem deti eben geschilderten Nackendornen entsprechenden Halteapparat für den schweren, ebenfalls seitlich an der Spitze der Wirbel- säule, befestigten Kopf zu thun habe. Entsprechend der halbrechten Stellung dieser Affen könnte ja der Halteapparat von dem Nacken auf die Halswirbelsäule verlegt sein: das ist die Frage.
Wie gesagt sind die Dornfortsätze der Rückenwirbel bei den Anthropoiden relativ schwach und menschenähnlich, dagegen bieten die Dornfortsätze der Halswirbel die nöthigen Angriffsflächen für Ansatz oder Ursprung der mächtigen Band- und Muskelraassen, welche noth wendig sind, um den gewaltigen Kopf, trotz seines, wie wir sahen, seitlichen An- satzes an der Spitze der Wirbelsäule bei der halbrechten oder aufrechten Körperhaltung des Thieres beim Gehen und Klettern mit parallel zur Bodenfläche gerichteten Augen- achsen geradeaus vor sich hinsehen zu lassen, ganz ähnlich wie letzteres beim Menschen der Fall ist.
Um die eben gestellte Frage nach der mechanischen Bedeutung des Halsdornenapparates der Anthropoiden zu losen, gibt es eine einfache Betrachtung. Ist die besondere Grössenausbildung der Halsdornen bei den menschenähnlichen Affen wirklich eine mechanische Bedingung für die halb- rechte oder mehr weniger aufrechte Körperhaltung, so muss
^) Aasnahmen s. oben S. 7 und unten S. 11, Anmerkung.
10 Sitzung der inath.-phys. Olctsse vom 5. Januar lü9o.
sie sich bei allen Thieren finden, die sich darin den menschen- ähnlichen Äffen ähnlich verhalten, dagegen denen fehlen, welchen die mehr weniger aufrechte Körperhaltung fehlt.
Das Charakteristische der Halsdornenbildung der Anthro- poiden besteht darin, dass im Gegensatz gegen das bei dem Menschen, wie bei der tibergrossen Mehrzahl aller Säuge- thiere, bestehende Yerhältniss, dass die Dornfortsätze der Halswirbel kürzer sind als die Dornfortsätze der Brustwirbel, bei den Anthropoiden dagegen die Brustwirbeldornfortsatze kürzer sind als die Halswirbeldornfortsätze.
Bei den relativ kleinköpfigen Gibbons und der Mehr- zahl der niederen Affen der alten und neuen Welt besteht insofern eine Annäherung an die Halsdornenbildung der An- thropoiden, als die Dornfortsätze der Hals- und der Brust- wirbel wenig an Grösse unterschieden sind, vielfach sind so- gar die Halsdornen etwas länger. Es stimmt das in dem fraglichen Sinne mit der Lebensgewohnheit der niederen Affen gut überein.
Unter den Lemuren^) gibt es aber ein Thier, welches vielleicht in noch höherem Grade als irgend ein menschen- ähnlicher Affe es liebt, eine ganz oder halb aufrechte Rumpf- haltung anzunehmen. Es ist das der Lichanotus Indri Geoff., der Madagassische Jagdafte, welcher gern und gut aufrecht geht und, namentlich in Hinblick auf die Längen proportionen der Beine und Arme, eine auffallende Menschenähnlichkeit zeigt, nur der kleine Kopf mit der thierischen Schnauze u. n. a. passt nicht zu diesem Eindruck. Abgesehen vom Kopf sieht das wunderliche Thier ganz wie eine menschliche Puppe in Pelzkleidern aus. Obwohl nun der Kopf für die Körpergrösse verhältnissmässig klein und wenig voluminös ist, sind bei dem Indri doch die Halsdornen länger und breiter als die Nackendornen, und entsprechen in der Form
^) Ueber den faulen Lori s. oben S. 6.
J. Ranke: Zur Anthropologie der Halstoirbclsäule. II
weitgehend den Dornfortsätzen der Lendenwirbel. Vom dritten Halswirbel an nimmt die Höhe und sagittale Breite seiner Halsdomen bis zum siebenten Halswirbel zu, von da, vom ersten Nackenwirbel an, wieder ab, sodass der erste Nackenwirbeldomfortsatz in Grösse und Form etwa dem vierten, der zweite und dritte dem dritten Halswirbel ent- sprechen ; vom vierten Nackenwirbel an beginnt die typische dachziegelförmige Abwärtsneigung der Brustwirbeldornfort- sätze. *)
unter den Vögeln gibt es eine Anzahl aufrecht sitzender und gehender Formen: die Pinguine (Aptenodytes), Eistaucher- (Colymbus) und Steissfuss- (Podiceps) Arten, auch bei diesen findet sich eine entsprechende Bildung an den Halswirbeln. Namentlich die Pinguine besitzen im Gegensatz gegen die mit horizontaler Rumpfhaltung gehenden und sitzenden Vögel wie z. B. die Hühner und Gänse u. v. a. an den oberen Hals- wirbeln starke Dornfortsätze neben noch anderen seitlichen knöchernen Halteinrichtungen, welche der weit tiberwiegenden Mehrzahl der Vögel fehlen. Eine Andeutung davon zeigt sich sonst nur noch bei solchen Arten, bei welchen der Hals einen ganz besonders schweren und grossen Kopf auch an- nähernd aufrecht zu tragen hat, wie Buceros, Alcedo, grosse Vultur- Arten.
Aus dieser Umschau ergibt es sich, dass die oben ge- stellte Frage im bejahenden Sinne beantwortet werden darf: die mächtig entwickelten Halsdornen der grossen Anthropoiden sind ein den Nackendornen der eigentlich vierfüssig gehenden Säugethiere entsprechender Halteapparat für den schweren Kopf, welcher im mechanischen Zusammenhang mit der
^) Merkwürdigerweise findet sich auch bei den niedrigsten Säugethieren, dem Schnabel thier und dem Ameisenigel, das Verhält- siss, dass die Halsdornfortsätze länger sind als die Brustdomfort sätze, offenbar auch, wie bei einigen der oben erwähnten Vögel: Buceros etc., zur Haltung und Bewegung ihres relativ schweren Kopfes.
12 Sitzunfß der math.'phys, Glosse vom 5. Januar 1895,
mehr oder weniger aufrechten Rumpfhaltung der höchsten Äffen auf die Halswirbelsäule verlegt ist. Hier findet sich eine entsprechende Skeleteinrichtung bei allen sich aufrecht haltenden Wirbelthieren. Die grossen Halswirbeldornen er- gänzen sonach die zuerst geschilderten knöchernen Einrich- tungen zur Kopfhaltung am Hals der Anthropoiden, wofür am Schädel selbst die mächtig entwickelten Ansatzflächen am Hinterhaupt mit dem Hinterhauptkamm an der oberen Grenze der Hinterhauptschuppe u. a. zählen.
Aus dem Gesagten geht hervor, dass die mehr oder weniger aufrechte Körperhaltung der Anthropoiden, in wel- cher man in älterer Zeit manchmal eine Art von Deber- gang zu der typisch menschlichen Körperhaltung finden wollte, mechanisch auf principiell verschiedenen Ursachen wie letztere beruht.
Der schwere seitlich an der Wirbelsäulenspitze befestigte Kopf der Anthropoiden wird durch elastische und Muskel- kräfte in seiner bei der halbrechten Körperstellung horizon- talen Lage gehalten, die aufrechte Körperhaltung wird bei ihnen mechanisch ermöglicht durch eine namentlich zwischen Hinterkopf und den Dornfortsätzen der Halswirbel specifisch entwickelte Halte Vorrichtung für den Schädel, für welche, abgesehen von den elastisch-muskulösen Apparaten, specielle Skeleteiurichtungen (am Schädel und der Hals Wirbelsäule) vor- handen sind. Die aufrechte Körperhaltung der anthropoiden Affen beruht sonach /um grossen Theil auf Muskelarbeit.
Bekanntlich ist das mechanische Verhältniss der Kopf- haltung bei dem Menschen ein anderes.
Die Verbindungsstelle des Kopfes mit der Wirbelsäule ist bekanntlich an allen Schädeln dort, wo das Rückenmark aus der Schädelhöhle durch das grosse Hinterhauptsloch, Foramen magnum, aus- und in die Rückgratshöhle eintritt. Zu beiden Seiten der Vorderhälfte des Hinterhauptsloches befinden sich
J, Ranke: Zur Anthropologie der Hälatcirhehäule. 13
die beiden oben besprochenen convexen tielenkhöcker, die CJondylen, zur Verbindung des Schädels mit dem ersten Hals- wirbel, dem Atlas. Bei dem Menschen sehen nnn, wie gesagt (S. 3), die Oelenkflächen der Condylen bei normaler, horizontaler, Kopfhaltung direkt nach unten, während sie, wie wir oben sahen, auch bei dem Gorilla, dem menschen- ähnlichsten Affen, wie bei allen anderen Wirbelthieren bei der normalen, d. h. für die Anthropoiden auch horizontalen Kopfhaltung nach hinten gewendet sind. Ist der Menschen- schädel an dieser Stelle unterstützt, so genügt nachweislich ein Minimum von Kraftaufwand, um ihn in seiner für den lebenden Menschen normalen Ruhestellung zu erhalten, während ein Gorillaschädel dabei nach vorne herabsinkt. Der mechanische Grund dafür ist bekanntlich der, dass das Foramen roagnum mit den Condylen bei dem Menschen sehr annähernd in die Mitte der Unterfläche des Schädels gerückt ist, sodass bei senkrechter Unterstützung der Condylen der Schädel auf diesen, wie ein Wagbalken auf seinem Hypomochleon , im Gleich- gewicht zu ruhen vermag. Ein Minimum von Muskel- und elastischer Spannung genügt, um diese Gleichgewichtsstellung zu erhalten. Daher kann die Halswirbelsäule des Menschen trotz des mächtigen Kopfes, den sie zu tragen und zu halten hat, so schwach sein, dass dieses Verhältniss als ein beson- deres typisches für den Menschen schon den alten Anatomen, z. B. Eustachius, auffallen niusste.
Bei den menschenähnlichen Affen, wie bei allen anderen Säugethieren ist dagegen, wie ich wiederhole, der Kopf an der Spitze der Wirbelsäule nicht balancirt, sondern an ihr seitlich aufgehängt. Bei alleiniger senkrechter Unterstützung der Gelenkflächen der Condylen fällt daher der Kopf, bei horizon- taler Haltung, wie sie der normalen Körperhaltung der Anthro- poiden bei ihrer typischen Körperstellung entspricht, nach vorn(» herab, wenn er nicht durch eine Kraft gehalten wird, welche der Schwere des Kopfes, einschlieaslich der bei solcher Stellung
14 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5, Januar 1895,
sich geltend machenden Hebelwirkung, gleichkommt. Die Ursache für die seitliche Befestigung des Schädels an der Wirbelsäule liegt darin, dass das Hinterhauptsloch mit den Condylen bei den Anthropoiden an das hintere Ende der Schädelbasis, bei der Mehrzahl der Wirbelthiere auf die Hinterseite des Schädels, gerückt ist. Dieser Stellung der Condylen entspricht dann die oben beschriebene, von der menschlichen Einrichtung sich so auffallend unterscheidende, Rückwärtswendung ihrer Gelenkflächen.
Bei dem Menschen beansprucht sonach die Aufrecht- haltung des Kopfes so gut wie keine Muskelarbeit, sie ist die aufrechte Ruhestellung des Kopfes, und durch diese ist dann, was hier keines weiteren Beweises bedarf, die auf- rechte Körperhaltung des Menschen im Ganzen und Ein- zelnen, als eine Ruhestellung, zu deren Erhaltung ein Mini- mum von Muskelarbeit gehört, bedingt. In dieser Hinsicht ist die aufrechte Körperhaltung des Menschen in ihrem mechanischen Zustandekommen etwas Besonderes. Während doch auch der menschenähnlichste Affe eine wirklich auf- rechte Körperhaltung, die er ja relativ leicht anzunehmen vermag, durch, auf die Dauer ermüdende, Muskelanstrengung erzwingt, ist bei derselben Stellung der ganze Körper des Menschen in all seinen Theilen sehr annähernd im (labilen) Gleichgewicht balancirt. Die aufrechte Stellung ist, wie gesagt, eine Ruhestellung des Menschenkörpers, zu deren Erhaltung das geringste Mass von Muskelanstrengung er- forderlich ist, ganz entsprechend der vierfüssigen Stellung der meisten Säugethiere oder der typisch halbrechten Haltung der Menschenaffen, bei welchen auch sie sich auf ihr vor- deres Extreuiitätenpaar stützen. Für Maximaldauerleistungen nehmen Thier und Mensch diejenige Körperhaltung an, welche auf die Dauer für sich selbst am wenigsten Muskelleistungen in Anspruch nimmt, sodass, z. B. für rasche Flucht, von der im Ganzen dem Körper zur Ortsbewegung und Körperhaltung zu
J. Ranke: Zur Antliropologie der Halawirbelsättle. 15
Gebote stehenden Summe von Muskelkraft noch möglichst viel übrig bleibt. Bei raschester Flucht richtet sich der Mensch auf, aber auch der menschenähnliche Affe benützt dazu, wie die niederen Yierfüssler, seine vier Extremitäten. In dem dar- gelegten Sinne muss der Mensch aufrecht gehen, kein Säuge- thier muss das. Der Grund dafQr liegt, wie wir gesehen haben, in der verschiedenen Art der Befestigung des Kopfes auf der Wirbelsäule.
Dafür ist nun die Lage des Hinterhauptsloches resp. der beiden zu seinen Seiten gelegenen Gelenkhöcker für das Atlasgelenk das entscheidende Moment: die typische mühelose menschliche Kopfhaltung und damit die gesammte mühelose aufrechte Körperhaltung wird durch die centrale Lage der Schädelcondylen an der Schädelbasis bedingt, die bei den menschenähnlichen Affen weit nach hinten rücken.
Für ein kausales mechanisches Verständniss dieses ent- scheidenden Unterschiedes im Skeletbau haben wir sonach die mechanische Ursache zu erforschen für die centrale Lage des Hinterhauptsloches (resp. der Condylen) bei dem Menschen einerseits und die Ursache der Verschiebung desselben auf die Hinterseite der Schädelbasis (resp. des Schädels) bei den anthropoiden Affen sowie bei allen anderen Wirbelthieren andererseits.
Die Frage nach der Kausalität der aufrechten Körper- haltung des Menschen spitzt sich sonach zu zu der Frage nach der mechanischen Ursache für die typische Stellung des Hinterhauptsloches am Schädelgrund.
In der schon oben (S. 3) erwähnten Untersuchung: üeber einige gesetzmässige Beziehungen zwischen Schädel- grund, Gehirn und Gesichtsschädel ist mir der so lange ver- geblich gesuchte Nachweis gelungen, dass die besondere Gestaltung des Schädelgrundes bei Mensch und Thier von dem relativen Grössenverhältniss des Gehirns zum Gesammt- schädel ursächlich bedingt ist.
16 Sitzung der matK-phys. Classe vom 5. Januar 1895.
Bei der Formausgestaltung des Schädels der Vertebraten sind wesentlich die zwei Organsysterae betheiligt, welche überhaupt die gesammte Eörperansgestaltung beherrschen : das Nervensystem und das Darmsystem, von ersterem zu- nächst, und für den Menschen immer überwiegend, das Gehirn, von dem zweiten die Kauwerkzeuge. In gegen- seitiger Beeinflussung gestalten einerseits das Gehirn mit Sinnesorganen und andererseits die Kauwerkzeuge die speci- fische Schädelform.
Bei der ersten Anlage der definitiven Schädelform ist bei allen Säugern, wie eigentlich bei allen Vertebraten, das form- gestaltende Prinzip das Gehirn, während der Einfluss der Or- gane des Darmsystems am Kopfe, der Kauwerkzeuge, sehr zurücktritt. Bei der ersten embryonalen Ausgestaltung des Kopfes, so lange dieselbe noch nicht stärker durch die Kau- werkzeuge beeiuflusst wird, sind bei allen Säugethieren die Bildungsverhältnisse des Kopfes und seines Schädelgrundes in so hohem Grade menschenähnlich, dass man für manche Fälle sogar fast von Identität reden konnte. Bei allen Säugefchieren geht die nähere Ausgestaltung der Kopfform von einem Stadium aus, welches man als anthropine Kopf- form bezeichnen darf. Jene rel. frühe anthropine Periode ist dadurch charakterisirt, dass unter der stärkeren Beein- flussung der Wachsthumsenergie der Schädelbasis durch das übermächtig wachsende Gehirn, der dann noch weich beweg- liche Schädelgrund in der Gesichtskopfbeuge eine scharfe Abknickung ungefähr in der Mitte der Schädelbasis erfährt. Die Knickungsstelle entspricht im Allgemeinen jener Knorpel- fuge (Symphysis spheno-basilaris), durch welche der Basilar- theil des Hinterhauptsbeines (pars basilaris oss. occ.) mit dem Körper des Keilbeins, wie R. Virchow schon vor mehr als einem Menschenalter bewiesen hat, auch noch bei Neu- gebornen und jugendlichen Individuen bis zu einem gewissen Grade beweglich verbunden ist. An dieser Fugenstelle ist
J. Hanke: Zur Anthropologie der Hatstoirbelsäule. 17
bei den Säugethierembryonen wie bei dem ungeborenen Menschen der Basilariheil des Hinterhauptsbeins gegen den Körper des Eeilbeins winkelig abgeknickt, ein Verhältniss, welches bekanntlich Virchow als Sattelwinkel messend ver- folgte.
Bei dem Menschen bleibt nun dieses embryonale Ver- haltniss während der ganzen Entwicklungsperiode sich wenig vermindernd vor der Geburt bestehen und erhält sich auch im nachembryonalen Leben nicht nur, sondern steigert sich unter dem steigenden Wachsthum des Gehirns noch weiter«, sodass die Kiiickung der Schädelbasis bei dem Erwachsenen beträchtlich stärker ist als bei dem Neugebornen und wieder die primären embryonalen Verhältnisse erreicht. Bei der Eopfbildnng des Menschen bleibt auch in den späteren Stadien der embryonalen Entwicklung, in welchen sich auch bei ihm der umgestaltende Einfluss der Kauwerkzeuge (d. h. der Organgruppe des Darmsystems) in gesteigertem Maasse geltend macht, die primär führende Rolle dem Gehirn gewahrt, die Schädel b&sis bleibt geknickt. Bei der Kopfbildung der Thiere sehen wir dagegen bald die führende Rolle von dem in seinem Wachsthum relativ zurückbleibenden Gehirn auf die Organe des Darmsystems, die Kauwerkzeuge, übergehen. Dieses letztere Verhalten, welches sich schon im embryo- nalen Leben geltend macht, tritt immer greller hervor im nachemhryonalen Leben bis zur Vollendung des Schädel- wachsthums.
Die Knickung der Schädelbasis ist Wirkung des übermäch- tigen Gehirnwachsthums auf den Schädelgrund; tritt dieser ge- staltende Einfluss des Gehirns mehr und mehr zurück, indem die relative Grösse des Gehirns (resp. der Hirnschädelkapsel) immer weiter gegen die fortgesetzt gesteigert wachsenden Kauwerk- zeuge (Gesichtsschädel) zurückbleibt, so vermindert sich die Knickung der Schädelbasis mehr und mehr, bis der Verlauf ihrer sagittalen Mittellinie zuletzt ein vollkommen gerader, gestreckter
1895. MAtli.-ph78. Gl. 1. 2
18 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5. Januar 1895.
wird. Bei den niederen Säugethieren (Pferden, Rindern u. y. a.) biegt sich sogar in der Hinterfaauptskeilbeinfnge der hintere Abschnitt der Schädelbasis, im umgekehrten Sinne wie der Sattelwinkel, nach aufwärts, einen nach oben offenen Winkel bildend.
Das mechanische Verhältniss dieser Abknickang ist im Sinne der bekannten His^schen Theorie einfach zu verstehen. Wir wissen z. B. aus den Untersucbungen Rüdingers über die Entstehung der Bogengänge im Labyrinth und aus anderen Beobachtungen mehr makroskopischer Art z. B. über die Ausbildung der embryonalen Schwanzkrümmung, dass, wenn von zwei mit einander verbundenen elastisch beweglichen Schichten die eine stärker wächst, das im Allgemeinen zu einer convexen Aufwärtswölbung dieser stärker wachsenden und zu einer concaven Einkrümmung der im Wachsthum zurück- bleibenden Schichte führt. Ist die im Wachsthum zurück* bleibende Schichte, wie in dem vorliegenden Falle relativ starr, nicht im Ganzen elastisch krümmbar, sondern nur an einer Stelle gleichsam wie in einem Scharniere beweglich, so erfolgt, wie eine einfache Ueberlegung lehrt, keine im Allgemeinen concave Krümmung, sondern eine nach der schwächer wachsenden Schichte hin offene winkelige Ab- knickung. Umgekehrt, wenn das Wachsthum der anfäng- lich stärker wachsenden Schichte mehr und mehr von der anfänglich schwächer wachsenden Schichte eingeholt und schliesslich übertroffen wird, so gleicht sich diese Knickung wieder aus, die den Verlauf repräsentirende Mittellinie der anfanglich schwächer wachsenden und daher eingeknickten Schichte streckt sich endlich gerade und wenn das Verhält- niss der Wachsthumsenergie in den beiden Ijetreffenden Schichten sich umkehrt, so tritt eine Knickung in der ent- gegengesetzten Richtung ein.
Aus meinen schon citirten Untersuchungen über den Schädelgrund hat sich aus zahlreichen Messungen ergeben.
J. batike: Zur Anthropologie der ÜaUwirbeUäule, Id
dass je grösser im Verhältniss zu dem übrigen Schädel die Hirnkapsel, resp. das diese erfüllende Gehirn, ist, dass um so menschenähnlicher die Knickung der Schädelbasis ist. Mit der relativen Zunahme des Gehirns zum Gesammtschädel knickt; sich thatsächlich, wie bei dem Menschen nach der Geburt leicht nachweislich ist, die Schädelbasis in der Hinterhaupts« keilbeinfuge, Synchondrosis sphenobasilaris, um so stärker ab; mit der relativen Abnahme des Gehirns im Verhältniss zum Gesammtschädel, wie das in immer steigendem Maasse sich bei Anthropoiden und allen anderen Säugethieren aus- bildet, gleicht sich äusserlich die Knickung mehr und mehr aus und geht schliesslich in die entgegengesetzte Knickung über.
So zeigen auch die Schädel des Gorilla, des Orangutan, des Schimpanse im erwachsenen Zustand, wenn sich die bei ihnen wie bei allen Säugethieren primär typisch menschliche Schädel- form vollkommen in die Thierform umgebildet hat, äusser- lich einen horizontalen flächenhafteu Verlauf der Schädel- basis. Es gibt sich das besonders deutlich an der Stellung das Basilartheils des Hinterhauptbeins, pars basilarisossisoccip., zu erkennen, welches sich vorne durch die erwähnte Knorpel- fuge, wie gesagt in der Jugend beweglich, mit dem Körper des Keilbeins verbindet und nach hinten den Vorderrand des grossen Hinterhanptloches bildet.
Bei der flachen gestreckten Lage des Basilartheils des Hinterhauptbeins rückt sonach das Hinterhauptlocb — wie ein Blick auf die schematische Zeichnung S. 20, Fig. 2 u. la lehrt — an die Rückseite des Schädels; mit einer nach oben offenen Knickung der Schädelbasis gelangt das Hinterhauptloch ganz auf die Rückseite des Hinterhaupts. Mit dem übermächtig sich entwickelnden Gehirn, welches die Schädelbasis in einem nach unten offenen Winkel abknickt, gelangt das Foramen magnum mehr auf die Unterseite des Schädels und rückt endlich bei dem Menschen in der Zeit, in welcher er laufen lernt, in seine typisch centrale Stellung in der Schädelbasis ein, Fig. 1.
2*
20
Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Januar 189b,
Man kann von diesem mechanischen Vorgang leicht eine schematische Vorstellung gewinnen. Gehen wir von einer menschlichen Schädelkapsel, Fig. 1, aus, deren Schädel- basis wir durch ein Scharnier in der Hinterhauptkeilbeinfage / beweglich gemacht haben und schneiden quer ein keilförmiges Stück heraus (die Schneide dieses Keils an der Sphenobasilar-
Fig. ].
Fig. 2.
Fig. 2a.
Fig. la.
Mensch.
GoriUa.
fuge, den breiten convex von dem betrefiFenden Ausschnitt des Schädeldaches begrenzten Theil nach oben), so können wir in dem Scharnier der Sphenobasilarfuge den nach diesem Aus- schnitt übrig bleibenden vorderen und hinteren Theil des Schädels an einander legen. Ich habe die Grösse des aus- geschnittenen Keils so gewählt, dass der übrig bleibende Hirn- ranni der Schädelkapsel dem eines erwachsenen männlichen
J.Ranke: Zur Anthropologie der Hcdswirbelsätde. 21
Gorilla entspricht. Die direkte Beobachtung ergibt nun, dass durch die eben beschriebene Aneinanderlagerung der beiden Keststücke der verkleinerten Schädelkapsel die Schädelbasis flach gelegt wird. Der Basilartheil des Hinterhauptbeins legt sich flach und das Hinterfaauptloch rOckt an die Hinterseite des Schädels. Wir haben damit durch entsprechende Verkleinerung des Hirnraumes, entsprechend einer Verkleinerung des Gehirns selbst, den Menschenschädel in Beziehung auf die Stellung des Hinterhauptlochs in die typische Form des Anthropoiden- schädels (Gorillaschädels) umgestaltet (Fig. la). Die Schädel- basis ist bei den menschenähnlichen AjBTen (Gorilla) nicht kleiner und kürzer, sondern im Allgemeinen sogar etwas grösser und länger als bei dem Menschen. Setzen wir in unserem Schädelmodell den ausgeschnittenen Keil wieder ein, so rückt durch die damit erzeugte Vergrösserung des Gehirnraums des Schädels, resp. durch die relative Vergrösserung des Gehirns im Verhältniss zu dem Gesichtsschädel resp. den Kauwerkzeugen, das Hinterhauptloch wieder in die für den Menschen typische centrale Lage in der Schädelbasis ein.
Schneidet man in ähnlicher Weise, wie wir das bei dem Menschenschädel gethan haben, eine Schädelkapsel eines menschenähnlichen AjBTen (Gorilla) in der Mitte von rechts nach links quer bis zur Sphenobasilarfuge durch, die wir wieder in einem Scharnier beweglich machen (wie Fig. 2 demonstrirt), und setzen nun den aus dem Meuschenschädel ausgeschnittenen Keil, um den Gehirnraum des Afifenschädels dem des Menschen gleich zu machen, in den Affenschädel ein, so wird der Hinterhauptstheil im Ganzen nach abwärts gedrückt, der Basilartheil des Hinterhauptsbeins knickt sich in der Fuge gegen das Keilbein ab und das Hinterhauptsloch rückt damit in die für den Menschen typische centrale Lage an der Schädelbasis (Fig. 2a): Wir haben aus dem Afien- schädel, in Beziehung auf die Stellung des Hinterhauptsloches, einen Menschenscbädel gemacht.
22 Sitzung der math.-jjhys. Glosse vom 5. Januar 1895,
Dass der Gorillaschädel dadurch im Ganzen nichfc menschenähnlicher aussieht beruht darauf, dass seine colossal entwickelten Fresswerkzeuge thierisch vorstehen. Bei der menschlichen Schädelform kommt eben neben der über- nmchtigen Gehirnentwicklung, Makroencephalie, noch etwas Anderes in Frage: eine typische Minderentwicklung der Fress- werkzeuge, eine extreme Mikrognathie, welche sich z. Th. daraus erklärt, dass bei dem Menschen schon in einer relativ sehr frühen Periode der embryonalen Entwicklung die Nähte zwischen Ober- und Zwischen kiefer verwachsen, auf deren OflFen- bleiben auch im nachembryonalen Leben bei den Säugethieren etwa ebenso die Möglichkeit eines gesteigerten Wachsthums der knöchernen Fress Werkzeuge beruht, wie das nachembryo- nale Wachsthum des Gehimschädels mit dem Gehirn bei dem Menschen durch das OflFenbleiben der Himschädelnähte mög- lich wird, in einer Lebensperiode, in welcher bei den Thieren, auch den anthropoiden AflPen, meist längst schon die Verwach- sung der Hirnschädelnähte*) erfolgt ist.
So schematisch die eben gegebenen Darstellungen ober die ursächlichen Momente für die Stellungsverschiedenheiten des Hinterhauptlochs bei dem Menschen und den menschen- ähnliclien Affen (sowie allen anderen Wirbelthieren) auch erscheinen mögen, so genügen sie im Zusammenhalt mit den früheren Ergebnissen der Untersuchung über den Schädel- grund, um den Beweis zu liefern, dass die centrale Stellung des Hinterhauptlochs bei dem Menschen mechanisch bedingt ist durch die den Menschen charakterisirende Gehirnent- wickelung.
Auf der centralen Lage des Hinterhauptlocbs an der Schädelbasis, d. h. der beiden seitlich von ihm stehenden Gelenkhöcker des Schädels, der Condylen, welche mit der Wirbelsäule im Atlasgelenke sich verbinden, beruht aber
*J J. Ranke, 1. c. S. 46. flF.
/. Ranke: Zur Anthropologie der IlalswirbeUätde, 23
mechanisch die Möglichkeifc der mühelosen Balancirung des Schädels bei der aufrechten Körperhaltung und damit der typischen aufrechten Ruhestellung des menschlichen Körpers im Ganzen, durch welche dann weiter seine specifische äussere und innere Körper- und Organgestaltung bedingt ist.
Die für den Menschen typische aufrechte Ruhestellung des Körpers, der aufrechte Gang, ist sonach mechanisch bedingt durch die übermächtige Entwickelung seines Gehirns.
Damit erscheint aber auch die gesammte typisch-mensch- liche Körperentwickelung von dem Gehirn mechanisch be- herrscht und geleitet. Dazu kommt noch, dass das Gehirn nicht nur die typische Körperform sondern auch die psychische Stellung des Menschen in der animalen Welt begründet.
Wir können dieses Gesammtverhältniss wohl nicht schärfer als mit dem schon von Richard Owen gefundenen Worte: Archencephalie,^) Hirnherrschaft, bezeichnen.
1) Owen, The anatomy of vertebrates. Vol. II, S. 274, 1866: Archencephala, ägz^^i I overrule; syxicpaXog^ brain.
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Nochmals das Maxwell'sche Vertheilungsgesetz der Geschwindigkeiten.
Von Ludwig Boltzmann in Wien.
{Ringilaufm 6. Januar,)
Wenn ich in meiner kurzen Notiz über den Beweis des Maxweli^schen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzes*) von einer Ungenauigkeit in der Darstellung in Kirebhoff's Vorlesungen über Wärmetheorie sprach, so meinte ich damit nicht die Redaktion derselben durch Herrn Planck, sondern den In- halt des Buches selbst, welches ja wie alle Vorlesungen vor- nehmlich den Zweck hat, von andern gefundene Sätze in neuer Form darzustellen.
Die Spitze meiner Notiz war überhaupt nicht gegen eine Person, sondern lediglich gegen einen Beweis gerichtet, den ich nicht für beweisend halte. Herr Planck gab dem- selben nun eine vielversprechende Abänderung.*)
Sei jedes von den folgenden Bestimmungsstücken Grösse und Richtung der Geschwindigkeit jedes der stossenden Moleküle vor dem Stosse, Richtung der Centrilinie im Momente des Stosses zwischen gewissen unendlich nahen Grenzen eingeschlossen (was wir die Bedingungen Ä nennen wollen). Dann werden dieselben Bestimmungsstücke nach dem Stosse ebenfalls zwischen gewissen unendlich nahen Grenzen liegen (sagen wir die Bedingungen B erfüllen). Wenn das Max- weirsche Vertheilungsgesetz der Geschwindigkeiten herrscht, so ist bekanntlich die Wahrscheinlichkeit eines Zusammen-
1) Diese Sitzungsberichte Bd. 24, Heft 2, Wied. Ann. Bd. 58, p. 965, 1894.
3) Diese Sitzungsberichte Bd. 24, Heft 4, November 1894.
26 Sitzung der math.-phijs. Classe vom 5. Januar 1895,
stosses, für den die Bedingungen A erfüllt sind, gleich der eines Zusammenstosses, für den sonst genau die Bedingungen B gelten, nur daas die Richtung der Centrilinie umgekehrt, also die Orte der beiden stossenden Moleküle im Moment des Stosses vertauscht sind.
Wenn man aber nicht eine neue Analyse zu Hülfe nimmt, kann man nicht beweisen, dass es nicht noch andere Vertheilungsgesetze gibt, für welche zwar obiges nicht gilt, aber doch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül eine gewisse, bestimmt gerichtete Geschwindigkeit durch irgend welche sonst wie immer beschaffene Zusammenstosse verliert, noch immer gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Molekül eine gleiche, gleichgerichtete Geschwindigkeit durch irgend welche Zusammenstosse erhält^) Unter diesen Vertheilungsgesetzen könnten beliebig viele sein, für welche jede Geschwindigkeit gleich wahrscheinlich, wie die gleiche, entgegengesetzt gerichtete wäre. Jede durch die letztern Vertheilungsgesetze dargestellte Zustandsvertheüung würde durch eine plötzliche Umkehrung aller Geschwindigkeiten nicht verändert. Aus einer derartigen Umkehrung auf das dynamische Gleichgewicht gezogene Schlüsse haben oft viel Bedenkliches. *) Im vorliegenden Falle aber scheint die TJm- kehrung in der That alle möglichen Phasen der Zustaads- vertheilung wieder in alle Phasen überzuführen und daher die Veränderung der Wahrscheinlichkeit irgend eines Zu- sammenstosses durch die Umkehrung unmöglich.
^) für welche also in der Formel 16) meiner , weitem Stadien über das W&rroegleichge wicht unter Gasmolekülen', Wiener Sitzungs- berichte Bd. 66, 10. Oct. 1872, das doppelte Integrale verschwindet, ohne dass die Grösse unter dem Integralzeichen für alle Werthe der Variabeln identisch gleich Null ist.
^) Vergl. Boltzmann, Bemerkungen über einige Probleme der mechanischen Wärmelehre II, Wiener Sitzungsberichte Band 75, Jänner 1877; Nature, febr. 1895; Culverwell, Burbnry, Bryan, N»t. oct.— dec. 1894.
27
Zur Eenntniss des Befruchtungsvorganges.
Von J. Rückert.
(Sit^^ufBn 6. Jitnuar.)
Bei einer Untersuchung der sich furchenden Eier von Cyclops strenuus traf ich auf ein eigenthilmliches Verhalten der Kerne, das in naher Beziehung zum Befruchtungsvor- gang steht und von mir im Folgenden geschildert werden soll.
An die grundlegende Entdeckung 0. Hertwig^s, dass der wesentliche Vorgang bei der Befruchtung in einer Ver- einigung der Kerne der beiden Geschlechtszellen beruht, knüpft sich naturgemäss die weitere Frage nach der Art und Weise dieser Verbindung. Besteht dieselbe in einer völligen Verschmelzung, in einer Vermischung der Substanzen beider Geschlechtskerne oder nur in einer Aneinanderlagerung derselben, derart, dass die von den beiden Erzeugern ge- lieferten Kernbestandtheile sich innerhalb der Kerne des neuen Organismus selbständig erhalten ? Wenn wir von dem sogenannten „ersten Furchungskem" absehen, so spricht der äussere Anschein sehr gegen die letztere Ansicht, denn die Furchungskerne, ebenso wie die Kerne der späteren Em- bryonalzellen und der fertigen Gewebszellen, erweisen sich, soweit man dieselben bis jetzt kennt, als völlig einheitliche Gebilde, welche von einer Zusammensetzung aus 2 Hälften nichts bemerken lassen. So nahmen denn auch 0. u. K. Hert- wig eine innige Verschmelzung der beiden Geschlechtskerne an und betrachteten dieselbe sogar als einen wesentlichen und nothwendigen Akt bei der Befruchtung. In einer von beiden
28 Sitzung der mcUhrphys. Classe vom 5. Januar 1895.
Forschern gemeinsam herausgegebenen Schrift*) heisst es«: »Nur dann, wenn die Substanzen von Ei- und Spermakern sich ganz durchdringen, entstehen Kerne, welche mit allen für die weitere Entwicklung nöthigen Lebenseigenschaften ausgerüstet sind/ An dieser Auffassung hält 0. Hertwig auch noch in einer späteren Arbeit*) fest, nur verlegt er hier mit Rücksicht auf van Beneden ^s Befunde bei Ascaris die Verschmelzung nicht mehr auf den Moment, in welchem die bläschenförmigen Vorkerne zusammentreffen, sondern auf den Zeitraum nach Ablauf der ersten Furchungstheilung.
van Beneden selbst ist hierin anderer Meinung. Aus seiner wichtigen Entdeckung,'*) dass bei Ascaris megalocephala (bivalens) die Vorkerne, ohne mit einander zu verschmelzen, sich in je zwei Chromosomen umwandeln, von denen bei der ersten Furchungstheilung in jeden Tochterkern eine Spalt- hälfte gelangt, zog er neben anderen bedeutsamen Schluss- folgerungen auch diejenige, dass in den zwei ersten Furchungs- kernen die zwei väterlichen und zwei mütterlichen Chromo- somen in getrennten Gruppen neben einander sich befinden, und er vermuthete weiter, dass wie die erste, so sich alle folgenden Kerngenerationen verhalten möchten, d.h. dass auch in ihnen die vom Vater und der Mutter abstammenden Kern- substanzen sich von einander gesondert erhalten. Er stützte diese Annahme auf die weitere Beobachtung,*) dass der Mutter-
') 0. u. R. Hertwig: Ueber den Befnichtungs- und Theilangs- vorgang des thierischen Eies unter dem Einfiass äusserer Agentien. Jena 1887.
^) 0. Hertwig: Vergleich der Ei- und Samenbildung bei Nematoden. Eine Grundlage för cellnlftre Streitfragen. Arch. f. m. A., Bd. 36, 1890.
^) E. van Beneden: Recherches snr la maturation de Toeaf, la f^condation et la division cellulaire. Arch. de Biol. T. IV, 1888.
*) E. van Beneden et A. Nejt: Noavelles Recherches aar la fäcondation et la division mitosiqne chez rAscaride M^galocephale. Bull, de TAcad. roj. de Belgique. 1887.
»/. Riickert: Zur Kenntniss des Befruchtungsvorganges. 29
knäuel in den Furchungskernen von Ascaris meg. bivalens nicht einen continuirlichen Faden bildet, sondern zunächst zwei Fadenstücke, deren jedes alsdann durch Quertheilung zwei Chromosomen liefert. Möglicherweise, so meint van Beneden, entspricht jedes dieser beiden Fadenstücke den zwei Chromo- somen eines Vorkems. Den Beweis dafür konnte er freilich an diesem Object nicht erbringen, und es hat daher die andere Möglichkeit, dass jedes Fadenstück ein väterliches und ein mütterliches Chroraosoma enthält, vorläufig ebensoviel Wahr- scheinlichkeit für sich. Uebrigens bestreitet Boveri*) die letztere Beobachtung van Beneden's und Neyt's entschie- den und gibt an, dass die vorübergehende Verbindung je zweier Chromosomen zu einem einzigen, in sich geschlassenen, Faden nur eine scheinbare ist, hervorgerufen durch dichte Aneinanderlagerung derselben. Man kann daher aus van Be- neden's Untersuchungen nur folgern, dass die väterlichen und mütterlichen Chromosomen getrennt in das Ruhegerüst der zwei ersten Furchungskerne eingehen, ob sie aber aus diesem als gesonderte Gruppen bei der nächsten Theilung wieder hervortreten, das ist nicht gezeigt. Gerade hierauf aber kommt es an, denn in dem zwischen die zwei Theilungen eingeschobenen feinfadigen Ruhegerüst kann eine Vermischung des väterlichen und mütterlichen Chromatins stattfinden.
Es scheint somit, dass bei Ascaris unsere Frage über- haupt nicht zu lösen ist, denn würden hier zwei den Vor- kernen entsprechende Abtheilungen in den Furchungskemen unterscheidbar sein*) so wäre dies kaum den vortrefflichen Beobachtern entgangen, die sich gerade mit diesem Objekt
1) Boveri: Zellenstudien. Heft 2. Jena 1888.
*) Nur nm diese rein empirisch festzustellende Frage handelt es sich fQr mich, nicht aber um die von van Beneden damit verknüpfte Ersatztheorie und Lehre vom Hermaphroditismns der Zell- kerne. Anch die von Rabl, namentlich aber von Boveri ver- tretene Ansicht von der Individualität der Chromosomen , der ich
30 Sitzung der mathrphya. Classe vom 5. Januar 1896.
befasst haben. Hingegen dürfte der von mir nntersachte Cyclops strenuus in dieser Hinsicht günstigere [Jntersuchungs- Verhältnisse bieten, wie aus dem Folgenden hervorgeht.
Ich fand in der ersten Furchungsspindel dieses Copepoden in derjenigen Phase, in welcher die Tochterplatten auseinanderzuweichen beginnen, die den Vorkemen entspre- chenden Chromatin Portionen durch einen deutlichen Spalt getrennt. Leider treten die Spindelfasern an meinen mit Sublimat fixirten Objekten nicht so scharf hervor, dass man entscheiden könnte, ob auch die Spindel sich aus zwei solchen Hälften zusammensetzt. Hacker^) hat bei Cyclops strenuas eine jüngere Theilungsphase des ersten Furchungskerns, näm- lich „den Uebergang aus dem Bläschen- in das Asterstadinm'' beobachtet und gibt an, dass hier „die Anlagen von zwei gesonderten Kernspindeln mit vier Centrosomen zu bestehen scheinen." Er bildet auch (1. c. Fig. 27a) zwei Spindeln ab, die nur im Bereich des Aequator zusammenhängen, gegen die Pole zu aber weit auseinander liegen. Es wäre von grossem Interesse zu erfahren, ob hier wirklich, wie es den Anschein hat, jeder Vorkern seine eigene Spindel bildet. Auf Grund meines jetzigen Materials kann ich zu dieser Frage keine bestimmte Stellung einnehmen, denn wenn die von mir beobachteten älteren Spindeln überhaupt aus zwei scharf gesonderten Hälften bestehen, dann sind die letzteren
mich selbst mit aDgeschloasen habe, berührt sich zwar mit der vor- liegenden Frage, deckt sich aber mit ihr keineswegs. Denn es wäre einerseits möglich, dass die Yorkerne sich selbständig erhalten, die Chromosomen innerhalb derselben aber nicht, eine Anschauung, die van Beneden vertritt. Aber auch das Umgekehrte wäre denkbar: es brauchen sich die Chromosomen nicht aufzulösen, aber sie könnten sich doch derartig untereinander verlagern und vermengen, dass die den Vorkernen entsprechenden Gruppen alsbald verloren gehen.
^) Hacker: Die Eibildung bei Cyclops und Canthocamptus. Zool. Jahrb. A. f. A. u. 0., Bd. V.
J. Kückert: Zur Kenntniss des Befruchtuyigacorganges, 31
doch sicher mit ihren Polen viel dichter aneinander gerückt als iu Hacker 's Figur. Die Attraktionssphären allerdings erscheinen hier, sowie auch in den folgenden Furchungs- theilungen von auffallender Breite, so dass der Gedanke aufkommen könnte, sie möchten aus je zwei nebeneinander gelegenen Sphären hervorgegangen sein. Andererseits darf aber nicht unerwähnt bleiben, dass ich in dem Befruchtungs- stadium, in welchem die noch bläschenförmigen Vorkerne sich berühren, im Ganzen stets nur zwei Sphären fand, für jeden Theilungspol eine einzige, und dass ich diese genetisch auf den Spermakern zurückverfolgen konnte.
Nachdem die Tochterplatten der ersten Furchungsspindel gegen die Pole der Theilungsfigur gerückt sind, finde ich in ihnen die väterlichen und mütterlichen Chromosoraengruppen noch weiter von einander getrennt als vorher. Da die Ver- bindungsfäden sich nur zwischen den correspondirenden Hälften der Tochterplatten ausspannen, so erscheint bei Seitenansicht auch dieser mittlere Abschnitt der Theilungs- figur durch einen breiten Spalt in zwei Hälften zerlegt. Bei Polansicht lassen sich in jeder Hälfte einer Tochterplatte 11 oder 12 Chromosomen zählen, nicht 4, wie Hacker für die Aequatorialplatte der ersten Theilung von Cyclops strenuus angibt und abbildet. Im Ganzen enthält also jede Tochter- platte des ersten Furchungskernes die Normalzahl von 22 oder 24 Chromosomen, was mit den von mir*) bei der Eireifung gefundenen Zahlenverhältnissen übereinstimmt.
Wenn dann weiterhin das Chromatin der Tochterplatten sich in ein Ruhegerüst umwandelt, tritt eine Anzahl bläschen- förmiger Unterabtheilungen auf, die anfänglich offenbar den einzelnen Chromosomen des Dyasters entsprechen, wie dies schon für die Furchungskerne bei anderen Objekten wieder- holt beschrieben wurde. Die Bläschen beginnen schon früh-
^) R ackert: Zur Eireifung bei Copepoden. Anat. Hefte 1894.
32 Sitzung der math.-pkys. Clasae vmn 5. Januar 1895
zeitig zu confluiren und zwar innerhalb ein und desselben Kerns in ungleichem Tempo. So möchte ich es wenigstens erklären, dass man neben kleineren, meist peripher gelegenen Bläschen in der Regel auch einige grössere antrifft, welche häufig durch vollständige oder unvollständige Scheidewände wieder in Unterabtheilungen zerlegt erscheinen. Indem schliesslich alle Abtheilungen zusammenfliessen und die un- regelmässigen Vorbuchtungen und Zerklüftungen der Kern- oberfläche verschwinden, tritt eine einheitliche Kernblase auf. Bei diesem Vorgang, der nicht nur nach Ablauf der ersten, sondern auch der späteren Furchungsth eilungen zu beobachten ist, macht sich die Zusammensetzung des Kerns aus zwei Hälften bemerkbar. Zwar rücken die den Vorkernen ent- sprechenden Abtheilungen jetzt dicht zusammen, aber man kann sie bei einigermassen günstiger Lagerung des Kerns doch noch recht deutlich unterscheiden, namentlich bei An- wendung schwächerer Vergrösserung, bei welcher man einen besseren Ueberblick über den gesammten Kern erhält als mit Hilfe der Immersion. Wenn die erwähnten ünterabtbeilungen des Kerns schon confluirt sind, und ein einheitliches Ruhegerüst aufgetreten ist, lässt sich die Grenze der beiden ursprünglichen Kernhälften in Gestalt einer Scheidewand noch erkennen, welche senkrecht zum grössten Durchmesser des länglichen Kerns steht. Diesen Zustand der beiden ersten Furchungskeme hat Hacker (1. c.) schon bei Gjclops tenuicomis gesehen und dahin gedeutet, dass die zwei Abtheilungen des Kerns selbständig gebliebene Abkömmlinge der Geschlechtskerne seien. Solange die vorausgegangenen Theilungsphasen nicht bekannt waren, konnte man die Berechtigung dieser Auf- fassung anzweifeln, nachdem sich aber jetzt bei Cyclops str. die beiden Kernhälften an einer lückenlosen Entwicklungs- serie von der ersten Furchungsspindel bis zur Ruhephase der Tocliterkerne haben verfolgen lassen, erscheint dies nicht mehr möglich.
<71 Bückert: Zur Kenntniss des Befruchtungsvarganges. 83
Aus der Rufaephase der zwei ersten Furchungskerne konnte ich nur wenige Eier untersuchen, die demselben Thier angehören und sich daher auch in genau dem gleichen Ent- wicklungszustand befinden. Ich kann daher nicht sagen, ob im weiteren Verlauf der Buhephase die Trennung der beiden Kernhälften aufgehoben wird. Sicher aber ist, dass beim Uebergang zum Knäuel der zweiten Theilung von einer Scheidewand innerhalb des Kernraumes an meinen Präparaten nichts mehr zu sehen ist. Nur an der Kernmembran fand ich bei einem Theil der Objekte an der betreffenden Stelle noch eine Einkerbung. Der Chromatinknäuel selbst erscheint bei einigen Kernen einheitlich, bei anderen in zwei Hälften zer- legt. Das Gleiche gilt für die Aequatorialplatte der zweiten Furchungsspindel. Im Dyaster hingegen liess sich wieder die Zusammensetzung der länglichen Tochterplatte aus zwei Hälften in der Mehrzahl der Kerne mit aller Deutlichkeit erkennen. Es ist offenbar in dieser Theilungsphase ein Aus- einanderweichen der Kemhälften leichter möglich, als in der Aequatorialplatte, was sich aus der Mechanik des Thei- lungsvorganges erklären lässt. Auch im Dyaster der zweiten Fnrchungstheilung war ich im Stande, bei Polansicht das oben mitgetheilte Zahlenverhältniss der Chromosomen för beide Hälften der Tochterplatte festzustellen, so dass die Ab- leitung der letzteren von den Vorkernen nicht bezweifelt werden kann. Es wird hierdurch die eingangs aufgestellte Frage, ob aus den Buhekemen der ersten Theilung die väterlichen und mütterlichen Chromosomen wieder in ge- trennten Gruppen hervorgehen können, in bejahendem Sinne entschieden.
Von der dritten Theilung habe ich den Dyaster nicht zu Gesicht bekommen, doch konnte ich im Mutterknäuel und in der Aequatorialplatte für einen Theil der Kerne noch ebenso eine Zusammensetzung aus zwei Hälften nachweisen wie bei der zweiten Theilung. In den folgenden Furchungs-
1895. Mntb.-phys. Cl. 1. 3
34 Sitzung der m(Uh.'pky8. Classe vom 5. Januar 1B95.
Stadien wird diese Erscheinung während der eigentlichen Theilungspbasen immer seltener, und nur noch beim XJeber- gang zur Ruhephase treten die Kemhälfben in der oben be- schriebenen Weise hervor. Oft sieht man ausser der Scheide- wand auch an der Oberfläche der länglichen Kerne eine Einschnürung, wodurch das ganze Gebilde Bisquit- resp. Bohnenform erhält. Diese Einkerbung bleibt, nachdem die Scheidewand geschwunden, oft noch als einziges Merkmal der ursprünglichen Trennung erhalten. Zuweilen erscheint auch die eine Eernhälfte intensiver gefärbt als die andere, offenbar weil ihr Chromatin sich noch im Zustande stärkerer Concentration befindet. Da diese Doppelkerne sich im Wesent- lichen noch ebenso verhalten, wie diejenigen, welche nach Ablauf der ersten und zweiten Theilung auftreten, so müssen sie auch in dem gleichen Sinne wie jene gedeutet werden. Der Umstand, dass während der mittleren Furchungsstadien die Duplicität der Kerne bloss bei Eintritt der Kemruhe, in den eigentlichen Theilungspbasen dagegen nur mehr aus- nahmsweise sichtbar ist, beweist nichts gegen die vorge- tragene Auffassung. Es lässt sich vielmehr diese Erscheinung in ungezwungener Weise damit erklären, dass die Chromo- somen innerhalb der karyokinetischen Figuren zu dieser Zeit schon dichter gelagert sind, als während der ersten Thei- lungen, ein Verhalten, das offenbar auf die zunehmende Verkleinerung des Zellenleibes und die dadurch bedingte Raumbeengung zurückzuführen ist.
In späten Furchungsstadien und während der Keim- blätterbildung weist ein immer kleiner werdender Bruchtheil der im Ei vorhandenen Kerne eine Zusammensetzung aus zwei Hälften auf. Doch konnte ich vereinzelte solcher Kerne soweit verfolgen, als ich meine Cntersuchungen über- haupt ausgedehnt habe, nämlich bis zu dem Stadium der dreigliedrigen Larvenanlage. Es muss daher die Möglichkeit zugegeben werden, dass schon während der Furchung eine
«r. Bückert: Zur Kenntniss des BefrucfUungsvorganges, 35
totale Verschmelzang und VermischuDg der beiden ursprüng- lichen Kernhälften eintritt, wenigstens bei einem Theil der Kerne, während bei den übrigen dieser Vorgang erst später einsetzen würde. Mindestens ebenso berechtigt erscheint aber die gegentheilige Auffassung. Nur während der ersten Fur- chungszeit theilen sich sämmtliche Kerne des Eies gleich- zeitig, später dagegen nur mehr ein Theil derselben und dieser Bruchtheil wird immer geringer, je weiter die Ent- wicklung fortschreitet. Man darf daher gar nicht voraus- setzen, in vorgerückteren Entwicklungsstadien eine grössere Anzahl von Kernen in dem für unsere Untei'suchung ge- eigneten Zustand anzutreffen. Dafür muss man aber er- warten, einige wenige derselben in einem jeden derartigen Ei vorzufinden. Man begegnet aber auch hier bei genauerem Zusehen wohl stets einigen Kernen, welche die Spuren einer Zusammensetzung aus zwei Stücken erkennen lassen.
Es sind mehrere Forscher darauf ausgegangen, der Zelle einen bilateral symmetrischen Bau zu vindiciren, indessen haben derartige Versuche sich bisher als nicht durchf&hrbar erwiesen. Die bei Cyclops vorhandenen Doppelkerne zeigen nun eine bilaterale Symmetrie. Und wenn die Zusammen- setzung des Kerns aus zwei Hälften während der Mitose sichtbar ist, was für die ersten Furchungstheilungen von Cyclops gilt, dann liegt eine bilaterale Symmetrie der ge- sammten Zelle vor, von dem Augenblicke an, in welchem die Einstellung der Chromosomen in den Aequator der Spindel vollendet ist. Die Symmetrieebene schneidet die Aequatorial- platte resp. die Tochterplatten in einem Winkel von 90^ und theilt sie in zwei Hälften, deren eine vom männlichen, deren andere vom weiblichen Vorkem abstammt.
Die mitgetheilten Beobachtungen beziehen sich nur auf embryonale Zellen. Es wäre von Interesse zu wissen, ob sie auch für die Gewebszellen des fertigen Thieres Geltung besitzen. Eine Untersuchung in dieser Richtung verspricht
36 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Januar 1895.
indess von vornherein weüig Erfolg wegen der geringen Grösse der betreffenden Kerne; ist doch schon die Beur- theilung der älteren Embryonalstadien aus diesem Grunde sehr erschwert. Im ausgebildeten Thier existirt nur eine einzige Art von Zellen, in welchen das Chroraatin innerhalb eines verhältnissmässig sehr grassen Kernraumes liegt; es sind das die reifenden Eizellen. Wenn sich die väterlichen und mütterlichen Ghromosomengruppen bis in diese Zell- generation selbständig erhalten würden, dann könnten sie hier, wo sie einer räumlichen Beengung nicht mehr unter- worfen sind, auch gesondert zum Vorschein kommen und zwar von dem Zeitpunkt ab, in welchem die kurzen und compacten Chromosomen der ersten Richtungsspindel aus dem feinfadigen Keimbläscheugerüst hervorgegangen sind. In der That zeigen nun bei Cyclops diese Chromosomen, wenn sie aus der Peripherie des Keimbläschens gegen den Aequator der zukünftigen Richtungsspindel vorrücken, eine Qruppirung, die sehr auffallend ist und schon von Hacker und später mir selbst erwähnt und abgebildet wurde, ohne dass jedoch einer von uns sie zu der vorliegenden Frage in irgend welche Beziehung gebracht hätte. In mehreren seiner Arbeiten stellt Hacker*) Keimbläschen dar, in deren Peripherie, an zwei gegenüberliegenden Punkten, sich eine Anhäufung von vier chromatischen Doppelstäben befindet. Dass diese Gruppirunf^ der Chromosomen in Hack er 's Präparaten eine sehr reguläre gewesen sein muss, geht nicht nur aus seinen Abbildungen sondern auch aus der Deutung hervor, welche er der Er- scheinung gab. Er betrachtete die 2 Gruppen als die Tochter- platten der eben vollzogenen Richtungstheilung, eine Auf- fassung, die, wie ich an anderer Stelle (1. c.) gezeigt habe.
^) l. c. Fig. 22. Derselbe: Das Keimbläschen, seine Elemente und Lageveränderungen. I. Arch. f. m. A. Bd. 41. Fig. 11. Der- selbe: Die Kerntheilungsvorgänge bei der Mesoderm- und Entoderm- bildung von Cyclops. Ibidem Bd. 89, Fig. 31.
/. Rückert: Zur Kenntniss des Befruchtungsvorganges. 37
schon desshalb nicht richtig ist, weil^die erste Bichtiings- theilung in dem fraglichen Stadium sich erst vorbereitet. Ich selbst^) habe mir diese Gruppenbildung der Doppelstäbe, die übrigens an meinen Objekten zahlreichen individuellen Schwankungen unterliegt, früher nicht erklären können. Nachdem sich aber jetzt herausgestellt hat, dass sich in den Kernen der befruchteten Cyclopseier zwei den Vorkemen entsprechende Abtheilungen über eine Anzahl von Furchungs- theilungen hinaus gesondert erhalten können, liegt es nahe, die räthselhaften Cbromosomengruppen des reifenden Eies auf diese Abtheilungen zu beziehen. Das Zusammentreffen der beiden Erscheinungen ist jedenfalls ein so auffälliges, dass man es nicht unberücksichtigt lassen darf. Auf der andern Seite muss aber ausdrücklich betont werden, dass die Gruppen- bildnng individuell variirt. Dass eine Gruppe wieder in Unter- abtheilungen aufgelöst sein kann, scheint mir weniger von Belang, wenn dies Verhalten auch zu Beginn des betreffenden Reifungsstadiums die Orientirung oft erschwert und zuweilen unmöglich macht. Mehr in Betracht kommt das Zahlenver- hältniss zwischen beiden Hauptgruppen. Zu Anfang des Stadiums ist die Zählung der Doppelstäbe schwierig, und kann ich daher nicht angeben, ob die Gesammtzahl derselben im Keimbläschen 11 oder 12 beträgt. Wenn die Einstellung in den Aequator der Spindel fast vollendet ist, finde ich stets 11. Nur bei einem Theil dieser Eier stehen die beiden Gruppen in dem Verhältniss von 5 : 6, bei anderen fand ich 4 : 7 und sogar 3 : 8. Man müsste also, wenn man die Gruppen auf die ursprünglichen Kemhälfben bezieht, jeden- falls die Möglichkeit zulassen, dass in individuell wechselnder Weise einzelne Chromosomen aus der einen Gruppe sich los- lösen und sich der anderen anschliessen. Ohne auf die Con- sequenzen einzugehen, welche sich hieraus für den Beductions-
1) 1. c. Fig. 12 und ]5.
38 Sitzung der mathrphys. Gasse vom 5. Januar 1895,
Vorgang ergeben würden, möchte ich doch zu erwähnen nicht unterlassen, dass gerade die berührten individuellen Differenzen sich mit einer Yererbungsthatsache (Ungleich- heit der successiven Kinder eines Elternpaares) in Einklang setzen liessen, welche von mehreren Forschern (Weismann, Boveri) mit der Chromosomenreduction in Verbindung ge- bracht wird. Durch welche Einrichtungen in der Kem- struktur die Gruppenbildung hervorgerufen oder erhalten wird, ob durch achromatische, nicht sichtbare Verbindungs- faden zwischen den zusammengehörigen Chromosomen oder durch ein Eingreifen entsprechend angeordneter Spindelfasern, ist vorläufig nicht zu ermitteln.
39
üeber den Gaucliy'sclien Integralsatz.
Von Alfred Prlngsheim.
{Bing^u^sH 7. Januar.)
Der Satz, dass ein über eine complexe Werthenreihe ausgedehntes Integral von der ¥orm ff {e)* dz unter ge-
wissen Bedingungen von der Wahl der zwischen z^ und e gelegenen Zwischenwerthe, dem , Integrationswege", un- abhängig ist, oder, was im Wesentlichen dasselbe besagt, dass unter analogen Bedingungen das Integral J/*(ir)*c?jer, erstreckt über einen geschlossenen Integrationsweg, ver- schwindet, wird wohl ziemlich allgemein schlechthin als der Cauchy^sche Integralsatz bezeichnet und zwar wohl nicht lediglich darum, weil er von Cauchy zuerst ausge- sprochen und bewiesen wurde ^) (denn so verstanden gibt es eine ganze Anzahl Cauchy^scher Integralsätze), sondern weil er als die eigentliche Grundlage der modernen
') Soviel mir bekannt ist, in dieser Form zum ersten Male in dem 1825 als besonderes Heft herausgegebenen «Memoire snr les integrales d^finies prises entre des limites imaginaires", §8. — In Lanrent's Traitd d'Analyse (T. III, p. 267) und Kron- eck er *8 Vorlesungen Ober Integrale (p. 52) wird das Jahr 1814 als Pnblicationsjahr angegeben. Obschon dieser Bemerkung eine nähere Quellenangabe nicht beigefügt ist, so lässt sich doch mit ziemlicher Sicherheit annehmen, dass dieselbe auf das im Jahre 1814 der Pariser Akademie vorgelegen .Memoire sur les integrales däfinies' (Oeuvres compl^tes, T. I, p. 899 — 506) zurückzufahren sein dürfte. Sollte dies aber wirklich der Fall sein, so muss jene Angabe als
4Ö Sitzung der math.-phys. Claaae vom 5. Januar 1695,
Functionentheorie im Cauchy-Riemann'schen Sinne ohne jeden Vorbehalt eine der bewunderungswürdigsten und fracht- unrichtig oder yielmehr als nur theilweise richtig bezeichnet werden. In der eben erwähnten Abhandlung finden sich n&mlich in Bezug auf den fraglichen Gegenstand nur die folgenden Gleichungen (mit unerheblichen, zum Zwecke leichteren Verständnisses hier vorge- nommenen AenderuDgen der dort angewandten Bezeichnung):
X X ff tf
f8X^,y)'dS-fs(S,0)'dS=fü(x,v)'drj^fuiO,v)'dfi
0 0 0 0
wo Sf ü Funktionen von S, v bezeichnen , welche der Differential-
ds dU
gleichung g^ = T> genügen (a. a. 0. p. 334, Gl. 4), und femer:
» X y ff
ff(S.+ yi)'d^^ff{S)^dS = iJnx + vi)'dri-iff{fl*l'dfj 0 0 0 0
(p. 340, Fussnote, Gl. B). Diese Gleichungen enthalten allerdings den betreffenden Satz, aber nur für den speciellen Fall eines Rechtecks als Integrationsweg. Die wesentliche Bedeutung des G au chy 'sehen Satzes für die Functionentheorie liegt aber gerade in seiner Anwendbarkeit auf einen beliebigen Integrationsweg. Und wenn es auch keine besondere Schwierigkeit hat, aus der Gültig- keit des Satzes für ein Rechteck durch einen geeigneten Grenzüber- gang jene allgemeinere Form abzuleiten (wie dies z. B. auch in dem hier weiter unten abzuleitenden Beweise geschieht: cf. § 4), so kann doch von einer derartigen Verallgemeinerung überhaupt erst dann die Rede sein, wenn der Begriff eines Integrals von der Form JiS-dx-j-ü'dy) oder J'f(2)' dz f genommen über einen beliebigen Integrationsweg, wirklich definirt ist. Eine solche Definition findet sich aber wohl zum ersten Male in der genannten Abhand- lung von 1825 (§ 2 und § 9), wenigstens ist in dem «R^um^ des le9ons sur le calcul infinitesimal* vom Jahre 1828 hiervon noch keine Rede, und Cauchj bemerkt auch in der Einleitung zu jener Ab- handlung ganz ausdrücklich, dass keine einzige aller bisher et- schienenen Arbeiten «den Grad von Allgemeinheit genügend fixirt habe, dessen ein solches Integral fähig ist''. Durch die Veröffentlichung des Briefwechsels zwischen Gauss und Bessel (1880) ist die merk* würdige Thatsache bekannt geworden, dass Gauss den fraglichen Satz in seiner allgemeinen Fassung schon im Jahre 1811 kannte. (Brief an Bessel vom 18. December 1811.) Er ist indessen niemaUi
Ä, Pringsheitn: Ueber den Gaucht/^ sehen Integrcdsatg. 41
barsten Entdeckungen des grossen Mathematikers genannt werden darf.
Cauchy bewies den fraglichen Satz mit Hülfe von Continuitätsbetrachtungen : er zeigte, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung der Integrationscurve mit Festhaltung der Endpunkte das obige Integral nur um eine unendlich kleine Grösse zweiter Ordnung geändert wird, oder anders ausge- sprochen,*) dass die Variation des Integrals den Werth Null hat. Die Beweise, die sich in der Mehrzahl franzö- sischer Lehrbücher für jenen Satz finden, sind im Wesent- lichen einfache Reproductionen oder Modificationen dieses Cauchy 'sehen Beweises. Meiner Ansicht nach haftet allen diesen Beweisen, nach dem Maassstabe moderner analytischer Anschauungen gemessen, ein mehr oder weniger erhebliches Manco von überzeugender Strenge an. Entweder sie wenden die Principien der Variationsrechnung, deren strenge Be- gründung zu den schwierigsten Problemen der Infinitesimal- rechnung gehört, mit einer Unbedenklichkeit an, die durch das Maass der gemachten Voraussetzungen kaum gerecht- fertigt ist.*) Oder sie suchen mit Umgehung der Variations-
wieder darauf zurückgekommex), und es scheint, dass sich auch in seinem Nachlasse keinerlei Aufzeichnungen hierflber vorgefunden haben. Man wird daher wohl Eronecker nur Recht geben können, wenn er hieran anknüpfend a. a. 0. folgendes bemerkt: «Es ist doch ein grosser Unterschied, ob Jemand eine mathematische Wahrheit mit Tollem Beweise und der Darlegung ihrer ganzen Tragweite ver- öffentlicht oder ob ein Anderer sie nur so nebenher einem Freunde unter Discretion mittheilt. Desshalb können wir den Satz mit Recht als das Cauchy^sche Theorem bezeichnen."
^) a. a. 0. p. 6 : . Ainsi 1a d^monstration du principe ci-dessns ^nonc^ repose sur cette seule Observation, que la Variation de Tint^- grrale est nulle.*
^) Man sehe z. B. Briot et Bouquet, Fonctions doublement p^riodiques (1869) p. 20. — ßertrand, Calcul integral (1870) p. 295, — Laurent, Fonctions elliptiques (1880) p. 6; desgl. Trait^ d' Analyse (1888) T. III, p. 210. — Picard, Traitä d'Analyse (1891/93) T. I, p. 77; T. II, p. 4.
42 Sitzung der mathrphys, Glmse vom 5, Januar 1895.
rechnung deren Princip durch eine directe Infinitesimal- betrachtung zu ersetzen, imputiren aber dabei der Function f{£i) eine für alle diese Beweise unentbehrliche Eigenschaft ziemlich complicirter Natur, welche entweder ganz direct in die Voraussetzung aufgenommen oder zuvor auf Eigenschaften einfacherer Art zurückgeführt werden müsste. Es ist dies die
Annahme, dass der Dififerenzenquotient — 1 ~ — - für
h
alle in Betracht kommenden Werthe von e gleichmässig nach f'i^i) convergirt, d. h. dass nach Vorgabe einer be- liebig kleinen positiven Grösse e sich eine positive Grösse q angeben lässt, sodass:
f(,+h)-f{^)
■rw
<e wenn nur: |A|<ß
für alle in Betracht kommenden Werthe von £.^) Nimmt man diese Eigenschaft ohne weiteres in die Voraussetzung des Satzes auf, so verliert derselbe vollständig seinen ein- fachen und elementaren Charakter. Man müsste also vor
^) Ohne diese Annahme fallt z. B. der Überhaupi wenig streng gehaltene Beweis bei Camille Jordan, Cours d* Analyse, T. II (1888) p. 275; aber anch der sorgfältiger durchgeführte Beweis von Briot et Bouqaet, Th^rie des fonetionB elliptiqnes (1876), p. 128~i32, und ein mit dem eben genannten nahe verwandter von Mittag- Leffler: GOttinger Nachrichten 1875, p. 65—73. (Ein in dem letst- genannten Aufsatze angefahrter, angeblich vollkommen strenger Be- weis von Malmsten war mir leider bisher nicht zag&nglich, da er nur in schwedischer Sprache erschienen ist (1865)).
Der gleiche Vorwurf trifft auch den anscheinend sehr einfachen Beweis, den Herr Goursat im 4. Bande der Acta mathematica (1884) veröffentlicht hat. üebrigens wird die scheinbare Kürze dieses Beweises auch noch dadurch ziemlich illusorisch, dass die von vorn- herein als erwiesen angenommene Giiltigkeit des Caachy'schen Satzes für J^dz, J*zdz in Wahrheit eine Grenzbetrachtung erfordert» die nicht wesentlich einfacher ausfällt, als die in § 2 dieses Aofsaties allgemeiner durchgeführte.
Ä. Pringsheim: Ueber den Cauch^ sehen InUgralaatz, 43
Allem versuchen, dieselbe etwa aus der vorauszusetzenden Stetigkeit*) von f {is) abzuleiten, ein Unternehmen, das, wenn überhaupt durchführbar, zweifellos auf ziemlich schwie- rige und umständliche Betrachtungen führt, da es sich bei dem obigen Differenzenquotienten in Wahrheit um eine Function von 4 Veränderlichen (nämlich: jer =s a? + yf, A ==s f + iy i) handelt.
Eine völlig andere Methode schlug bekanntlich Rie- mann beim Beweisendes in Rede stehenden Satzes ein, in- dem er denselben auf einen Specialfall des Qreen*schen Satzes gründete, nämlich auf die Reduction eines über ein gewisses Ebenenstück zu erstreckenden Doppelintegrals von
der Form j j ( r-^ — y- j dx • dy auf ein einfaches Integral
jiP'dX'^' Q'dy) erstreckt über die Begrenzung.*) Dieser Beweis ist ziemlich unverändert in fast alle einschlägigen deutschen Lehrbücher,^) aber auch in viele ausländische^) übergegangen und wird ganz allgemein ausdrücklich als der „Riemann^sche* Beweis des Cauchy^schen Satzes bezeichnet: wie mir scheint, mit einigem Unrecht. Denn wenn auch
^) Bei der grossen Mehrzahl der aDgefflhrteu Beweise wird so- £^r nar die Endlichkeit, nicht die Stetigkeit von f {z) voraus- gesetzt, wodnrdi deren Grundlagen noch problematischer werden.
3) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen etc. (Inauguraldissertation, 1851).
') Man vgl. z. B. die Lehrbücher über Functionentheorie oder elliptische besw. Abersche Functionen von Durbge, Thomae, Königsberger, Neumann, sowie die Compendien der Analjsis von Schlömilch, Lipschitz, Harnack.
*) Man sehe z. B. Houäl, Theorie ^l^mentaire des quantit^s com- plezes; desgl. Oalcul infinitesimal, T.III. — Her mite, Cours d'Analyse (r^. par Andoyer). — Oasorati, Teorica delle funzione. — Auch mehrere der schon oben genannten Compendien (B er trän d, Laurent), welche den Beweis neben dem Cauchy'schen ausdrücklich als den Riemann^schen anführen.
44 SUeung der mcUhrphys. Glosse vom 5. Januar 1895,
derselbe erst durch Riemann*s Darstellung allgemeine Ver- breitung gefunden hat, so lässt sich doch mit unbestreitbarer Sicherheit nachweisen, dass Cauchy bereits fünf Jahre vor dem Erscheinen der Riemann*schen Dissertation ihn nicht nur gekannt, sondern in der Hauptsache auch publicirt hat. Da ich nach dem Gesagten wohl annehmen darf, dass diese Thatsache bisher völlig unbemerkt geblieben ist, so möchte ich an dieser Stelle folgendes darüber mittheilen:
Im 23. Bande der Gomptes Rendus findet sich auf S. 251 eine Note von Cauchy mit dem Titel: .Sur les integrales qui s'etendent ä tous les points d*une courbefermöe.* In dieser Note wird zunächst das Integral (8)=J*k-ds erstreckt über die Begrenzung einer Fläche S bei beliebiger Anzahl von Variablen bezw. Dimensionen definirt, alsdann aber heisst es wörtlich folgendermassen (S. 254):
,Lorsque, la surface S etant plane, a?,y se re- duisent ä deux coordonnees rectilignes, ou polaires, ou de toute autre nature, propre ä determiner la Position d*un point dans le plan de la surface 5, alors, en designant par X, Y deux fonctions continues des variables a?, y et supposant
k = X'DsX + Y'D,y on a
(S) = ±SS(DyX - D,Y) dx dy
rintegrale double s*etendant ä tous les points de la surface Ä."
Nun folgt eine Bemerkung über die Bestimmung des zweifelhaften Vorzeichens, worauf Cauchy folgendermassen fortfahrt:
„Dans le cas particulier oü la somme
XdX'\'Ydy
Ä. Pringsheim: Ueber den Cauchi/ sehen Integrälsatz. 45 est une differentielle exacte, on a
et la formule qui determine la valeur de (S) se re- duit a l'equation d^jä trouvee
Das ist aber in der Tbat ganz genau der fragliche »Riemann'sche* Beweis mit dem einzigen unterschiede, dasd die Rechnung, welche zur Reduction des doppelten Integrals auf das einfache dient, an dieser Stelle nicht mit- getheilt wird.^) Cauchy setzt eben diese Reductionsformel einfach als bekannt voraus, und das war sie ja auch da- mals schon seit längerer Zeit.*) Wirklich neu ist nur ihre äusserst sinnreiche Anwendung auf den vorliegenden Fall, deren Priorität man bisher fälschlich Riemann zugeschrieben hat. Riemann selbst hat wohl niemals jenen Beweis als sein specielles Eigenthum in Anspruch genommen, und es erscheint auch relativ bedeutungslos, darüber Vermuthungen anstellen zu wollen, ob er die citirte Note gekannt haben möge oder nicht. Hingegen halte ich es für nicht unwichtig, an dieser Stelle einmal die Frage aufzuwerfen, ob denn
1) Im EiDgange der betreffenden Note theilt Cauchy der Akademie mit, dass er sich an dieser Stelle auf einen kurzen Aaszng beschr&nke, da er die eigentliche Abhandlung demnächst in seinen Ezercices d'Analyse et de Physique math^matiqne publi- ciren wolle. Dies ist indessen aas mir unbekannten Qründen unter- blieben, and, soviel ich feststellen konnte, ist die angekündigte Ab- handlung auch an keiner anderen Stelle gedruckt worden. Hierüber bezw. ob sich dieselbe vielleicht in Gauch y*s Nachlasse vorgefunden bat, werden vielleicht die noch im Erscheinen begriffenen Oeuvres complbtes Aufklärung bringen.
^) Die Abhandlung von Green: ,An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism*, auf welche man ja bekanntlich die fragliche Formel zurückzuführen pflegt, ist schon im Jahre 1828 erschienen.
46 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 5. Janttar 1896,
zwischen den Arbeiten Cauchy's und Riemann's berQhnater Dissertation überhaupt kein nachweisbarer Zusammen- hang besteht? Es muss doch sicherlich sehr merkwürdig erscheinen, dass der Name Cauchy's in jener Schrift mit keiner Silbe erwähnt wird, wenn man bedenkt, dass zu jener Zeit nicht nur Cauchy nächst Gauss wohl unbestritten als der bedeutendste unter den lebenden Mathematikern galt, sondern dass auch gerade er von seinem ersten Auftreten an einen grossen Theil seiner gesammten literarischen Pro- duction ganz speciell der consequenten Einführung der complexen Grössen in die Analysis gewidmet und auf diesem Gebiete damals eine ganze Reihe von Resultaten bereits publicirt hatte, die für die Entwickelung der Func- tionentheorie in der von Rieroann verfolgten Richtung als fundamental anzusehen sind; ich nenne ausser dem hier in Rede stehenden Satze nur die Einführung des Begriffes der monogenen d. h. mit einem von der Differentiations- richtung unabhängigen Differentialquotienten versehenen Func- tion,*) ihre Entwickelbarkeit in Potenzreihen,*) die Definition der Periodicitätsmoduln („indices de periodicite*) eines Integrals und die hieraus resultirende Periodicität der üm- kehrungsfunctionen.^) Obschon die Priorität Cauchy's in diesen und einer Reihe daran anknüpfender Fragen wohl niemals ernstlich bestritten worden ist, so erschien es mir
1) Noav. Exerc. T. IV p. 846 (1847). Hier findet sich wohl %xxm ersten Male der Ausdruck „monogen* und dessen Definition darch die Bedingung:
dx i' dy*
^) Zuerst in einem 1882 zu Turin herausgegebenen lithogra- phirten Memoire (wieder abgedruckt 1841 im 2. Bande der Nouv. Exerc. p. 50). In anderer Form: Nou7. Exerc. T. I p. 269 (1840).
3) C. R., T. 23 p. 689 (1846). Diese Abhandlung enthält ihat- sächlich die vollständige Grundlage für die moderne Theorie der elliptischen nnd AbeFschen Fonctionen.
Ä, Pringsheim: lieber den Caucht^ sehen IntegrälacUe. 47
dennoch angemessen, bei dieser Gelegenheit einmal aus- drücklich hierauf hinzuweisen, da sich neuerdings eine ge- wisse Tendenz bemerkbar gemacht hat, die mit Recht ausser- ordentlich hohe Schätzung der Verdienste Riemann's um die Eutwickelung der Functionentheorie bis zur Ueber- schätzung auf Kosten nicht minder verdienstvoller Mathe- matiker auszudehnen.
Lässt sich nun auch gegen die Stichhaltigkeit des zu- letzt besprochenen Beweises keine Einwendung machen (falls man noch die Stetigkeit oder wenigstens Integrabilität von
dY d je
^— , -^— in die Voraussetzung aufnimmt), so scheint mir V X o y
derselbe in Bezug auf Einfachheit und Natürlichkeit der Methode noch keineswegs denjenigen Anforderungen zu ge- nügen, welche man an den Beweis eines so grundlegenden, gleichsam im Anfange einer ausgedehnten Disciplin stehen- den Satzes stellen möchte. Die Herbeiziehung des Doppel- integrals wird, rein methodisch betrachtet, immer als ein nicht hinlänglich zu motivirender Umweg erscheinen und wirkt erfahrungsgemäss bei der Einführung in das Studium der Functionentheorie für den Anfänger äusserst erschwerend.*) Ich habe daher versucht, einen neuen und, wie ich glaube, sowohl hinlänglich einfachen, als strengen Beweis abzuleiten,^) dessen Mittheilung den Hauptzweck des vor- liegenden Aufsatzes bildet. Ich benütze diese Gelegenheit,
*> Die Schwierigkeit, welche die AbleituDg der Gree naschen Reductionsformel dem Anfänger zu bereiten pflegt, hat Ero necker (cf. Berliner Sitzungsberichte von 1886 p.785 und Vorlesangen über Integrale p. 87-~41) dadurch zu vermindern gesucht, dass er die fragliche Formel zunächst für ein Dreieck oder ein Rechteck beweist und sodann das allgemeine Resultat mit Hülfe eines Grenz- überganges daraus zusammensetzt.
^) Derselbe berührt sich in mancher Beziehung mit den Be- trachtungen, welche Herr Thomae über die Integration zwei- gliedriger Differentialien angestellt hat (s. Einleitung in die
48 Sitßung der math.'phys. Clcuse vom 5. Januar 1895.
um etwas genauer auf die Definition eines Integrals der Form jP'dX'\' Q'di/^ erstreckt über eine Curve, einzugehen und dabei gewisse Punkte zur Sprache zu bringen, die vielleicht vielfach bekannt, aber meines Wissens noch niemals scharf präcisirt worden sind.
Schliesslich will ich nur noch bemerken, dass die im Folgenden benützten Methoden auch eine Verallgemeinerung für die Betrachtung ein- und mehrfacher Integrale mit mehr als zwei Variablen gestatten, worauf ich vielleicht bei späterer Gelegenheit zurückzukommen gedenke.
§ 1. Definition und allgemeine Eigenschaften eines Gurven-Integrals.
Es sei: (1) V'=<Pii)
für das Intervall Xq<1^<x eine eindeutige und stetige Function von f und zwar insbesondere:
femer P{S,r]) eine gleichfalls eindeutige und stetige Function von {S,v) f^^ ^l^^ Werthe f des genannten Inter- valles und die durch Ql. (1) zugeordneten Werthe von i;. Alsdann hat das bestimmte Integral:
einen festen endlichen Werth und soll bezeichnet werden als das Integral von P (f, ^) • d f , genommen über den Integrationsweg C in der Richtung Xq...x^ in Zeichen:
Theorie der bestimmten Integrale p. 86 ff.). Doch wird da- selbst von einer Definition des nnbestimmten Inte/frals von {P'dx-^-Q-dy) ausgegangen, wodurch die ganze Beweisf&hrong sehr wesentlich an Einfachheit und Durchsichtigkeit verliert.
Ä, Pringshcim : lieber den Cauchy^schen Integraiaatz, 49
/P(f,^).rff=/P(f,<p(f)).df
wenn C diejenige Punktreibe bedeutet, welche der Gleichung f] =q^ (f ) bezogen auf irgend ein Coordinatensystem — etwa, wie wir der Einfachheit halber annehmen wollen, ein ge- wöhnliches rechtwinkeliges — entspricht, während die Be- zeichnung (-|- C) andeuten soll, dass diese Punktreihe bei der Integration in der Richtung der wachsenden x durch- laufen werden soll. Wir pflegen diese Punktreihe schlecht- hin als Integrations-Curve und das betreffende Integral als ein Curven- Integral zu bezeichnen, obschon hierbei keines- wegs stets an eine »eigentliche* Curve d. h. eine im allge- meinen mit einer bestimmten Tangente versehene stetige Linie zu denken ist: denn thatsächlich genügt für die Existenz des obigen Integrals die blosse Stetigkeit von (p (|), ohne dass man genöthigt wäre, über das Vorhandensein eines im Allgemeinen bestimmten , endlichen Diflerentialquotienten irgendwelche Voraussetzung zu machen.^)
Bezeichnet man mit ( — C) die nämliche Curve, falls die Integration in der entgegengesetzten Richtung vorge-
^) Gerade ans diesem Grunde gebe ich dem hier eingeschlagenen Wege den Vorzug vor dem fast allgemein üblichen, wobei das Inte- gral zunächst als Grenzwerth einer Summe definirt und sodann dessen Existenz mit Hülfe einer Parameterdarstellung von der Form:
nachgewiesen wird. Bei diesem Verfahren ist die Voraussetzung eines integrablen Differentialquotienten q?' (t) und ebenso fdr das so- gleich noch einzuführende Integral jQ(^ti])'dii die analoge Voraus -
ic)
Setzung bezflglich v^' (t) unerlässlich , was mir aus dem Grunde wenig wünschenswerth erscheint, weil hierdurch die Vorstellung von dem Zustandekommen eines solchen Integrals nicht nur eine zu eng begrenzte, sondern in gewissem Sinne geradezu eine principiell un- richtige wird, wie später noch des näheren erörtert werden soll. 1895. Math.-pby8. Gl. I. ^
50 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Januar 1895,
nommen wird, so folgt ohne Weiteres aus der obigen Definition, dass:
(3) /P(|,^).rf=-/P(f,.y)df
(-0 (+0
und ferner, wenn man die Curve C in eine beliebige Anzahl, in dem gleichen Sinne wie C zu durchlaufender Theilcurven Cy (r = 1, 2, • • • n) zerlegt denkt:
(4) fP a ^) • rf I - i\fP (I, n) • d I.
(^ 1 (Cv)
Schliesslich erkennt man auch, dass das Integral (2) einer ganz analogen Mittelwerthrelation genügt, wie die ge- wöhnlichen bestimmten Integrale einer Veränderlichen, nämlich :
(5) /P (f , )y) . d f = P (f ', ,/) . {X - X,)
wo {^\r}') ein passendes Werthepaar aus dem Gebiete:
Xq<J<x ^ = 97(f),
also einen gewissen Punkt der Curve C bedeutet. Diese Beziehung lehrt insbesondere, dass der Integralwerth gleich- zeitig mit (x — Xq) gegen Null convergirt (d. h. zunächet immer unter der Voraussetzung, dass ri=iq){^) eine ein- deutige Function).
Hat die Gleichung rj = (p{^) die specielle Form rj = y^^ wo t/o eine Constante bedeutet, d.h. reducirt sich die Curve C auf eine zur X-Axe parallele Gerade, so folgt ohne Weiteres aus der Definition, dass:
(6) fP{^.,j)-cn=fP{^,y,).di
10) «0
wird. Dagegen ist der Fall, dass G sich auf eine Parallele zur F-Axe reducirt, in der oben gegebenen Definition nicht enthalten. Denkt man sich jedoch als Integrationscurve C
A, Pringsheim: lieber den Gaueh^/ sehen IntegraHaats, 51
zunächst eine beliebige andere Gerade XqX^ so lehrt der Mittelwerthsatz (5), dass der betreffende Integralwerth be- liebig klein wird, sobald die Neigung der Geraden gegen die F-Axe der Null zustrebt, und man wird daher der bis- her gegebenen Definition noch die Gleichung:
(7) /P(f,i;).df = 0
als consequente Erweiterung hinzuzufügen haben, für den Fall, dass die Curve G in die fragliche Verticale übergeht. Die Gl. (4) kann sodann dazu dienen, um den vor- liegenden Integralbegriff auf solche Fälle auszudehnen, in denen ^ = 9?(f) eine mehrdeutige stetige Function von i darstellt, sofern dieselbe nur der Beschränkung unterworfen wird, dass sich das Intervall (XqX) in eine endliche Anzahl theil weise oder gänzlich sich überdeckender Intervalle {XqX^)'" {x^-i x^) ' ' ' (xn^i XnY) umformeu lässt, für welche dann die Gl. t} =^(p {() ersetzt werden kann durch ein Gleichungs- system von der Form:
(8 a)
r] = (p,(^) für: Xq<S<x^ rj = (pn (I) Xn^i < ^<^X,
wo jetzt (pi iS) durchweg eindeutige Functionen bedeuten. Hierbei ist noch zulässig, dass für eine endliche Anzahl von Werthen x^ die Variable rj in der Weise unendlich viel- deutig wird, dass sie bei constantem | = d?^ eine continuir- liche Werthenreihe Vf^"' y'f^ durchläuft (geometrisch ge- .sprochen, dass einzelne Stücke der Integrationscurve C aus
1) Dabei kann also inabesondere x^ _i beliebig oft mit Xq, desgl. XX mit X zusammenfallen.
4*
52 Sitzung der math.'phys. Claase vom 6. Januar 1895,
aus verticalen Geraden bestehen), sodass also zu den Glei- chungen (8 a) noch eine endliche Anzahl von Beziehungen der Form:
(8b) y^<V<y'^ für: $ = x^
hinzutreten würde.
Eine Function rj = 9? (f ) , welche den ebengenannten Bedingungen genügt, soll in Zukunft nach bekannten Analogien als abtheilungsweise eindeutig bezeichnet werden.
Bedeutet dann wiederum G diejenige Curve, welche der Gleichung rj = (p (^) zugehört, Cv diejenigen Theilcurven, welche den Beziehungen (8 a) und (8 b) entsprechen, so soll die Definitionsgleichung gelten-:
(9) fP{l rj) . d^ = y2rfP(^. T})^dS
sofern als Integrationsrichtung für die einzelnen Gurven Cr diejenige festgehalten wird, welche sich bei stetiger Durch- laufung der Gesammtcurve C in dem einmal vorgeschriebenen Sinne ergibt.
Die 61. (9) kann ferner auch zur Definition des frag- lichen Integrals dienen, falls die bisher auf (G) als durch- weg stetig angenommene Function P{S,r]) in o;,, a?,, • • • a?« endliche Unstetigkeiten besitzt, und es hat keine Schwierig- keit diese Definition, nach genau denselben Principien, wie
X
für Integrale der Form ff{^)'d^, auf den Fall auszudehnen,
dass jene Stellen Xj, ajj, • • • gewisse unendliche (sog. unaus- gedehnte) Punktmengen bilden: hierauf soll indessen nicht näher eingegangen werden, da eine derartige Betrachtung mir keinerlei besonderes Interesse zu bieten scheint.*)
') Auch übergehe ich hier den Fall, dass P (f, 17) an einseinen Stellen unendlich gross wird, und verweise in dieser Hinsicht aaf die allgemein übliche Behandlungsweise.
A. Prifigsheim: lieber den Cauchy^schen Integrdlsate. 53
Es bedeute nun ferner f = ^ (iy) eine für das Intervall Vo^V^y stetige und schlechthin oder abtheilungs- weise eindeutige Function von 77, Q(SfV) ^^^^ ^^^^ ^i^ eben genannten Werthe (f , 17) eindeutige und schlecht- hin oder abtheilungsweise stetige Function von (f, ^), so ist aus dem zuvor gesagten vollständig klar, was unter einem Integral von der Form:
(CO
ZU verstehen ist, falls C die der Ql. ^ = yj (rj) zugehörige Curve bedeutet, und man erkennt ohne Weiteres, dass dieses Integral ganz analogen Gesetzen gehorcht, wie das unmittel- bar zuvor betrachtete. Insbesondere wird:
(10) fQ{S.n)'drj=fQ{x,,rj)drj
bezw. fQ ($,fj) ' dt] = 0,
falls sich die Integrationscurve C auf die zur F-Axe parallele Gerade | =s x^, bezw. auf irgend eine Parallele zur X-Axe reducirt.
Man habe nun schliesslich gleichzeitig:
.... r ^I = <f{^) für: x,<^<x
Ui; ) f = vK^) für: y^^ri<y
(sodass also y) die inverse Function von cp — vice versa), wo 99(1), w W) ^^ ^®™ bezeichneten Umfange durchweg stetige und schlechthin oder abtheilungsweise ein- deutige Functionen ihrer Argumente bedeuten. Ferner seien P (f, ?;), Q (f, r}) zwei für sämmtliche durch die Be- dingungen (11) definirten Werthepaare (f, »7) eindeutige und schlechthin oder abtheilungsweise stetige Func- tionen von (f, ^). Alsdann definiren wir:
54 Sitzung der mathrphya. Glwse vom 5. JaniMr 1895,
falls C die durch jede der beiden Gleichungen (11) darge- stellte, jedesmal in demselben Richtungssinne zu nehmende Curve bedeutet. Dabei lässt sich die auf die Stetigkeit und Eindeutigkeit der beiden Functionen 9? (f ) und v C*?) bezügliche Voraussetzung leicht so umformen, dass schliess- lich nur von irgend einer dieser beiden Functionen darin die Rede ist. Damit nämlich die im Intervalle ^y^i^S^Xy eindeutige und stetige Function ^ = 9?^ (f ) eine im Inter- valle y^-i = 9^ (^y-i) bis y^ = q^{x^) eindeutige und stetige Umkehrung f=i/>y(f) besitze, ist offenbar noth- wendig und hinreichend, dass 7j = <py{^) mit wachsen- den Werthen von ^ monoton zu- oder abnehme — vice versa. Hiernach lässt sich aber die oben ausgesprochene Bedingung einfacher folgendermassen formuliren: £s mass eine der beiden Functionen 9? (f ), y^ {rj) stetig, endlich- vieldeutig und abtheilungsweise monoton sein — wo- bei nach dem früher Gesagten rj oder f für eine endliche Anzahl endlicher Intervalle auch constant sein darf.
Wenn in Zukunft von einem „beliebigen" Integrations- wege die Rede ist, so soll immer ein solcher darunter ver- standen werden, welcher die eben näher bezeichneten Eigen- schaften besitzt. Dabei sei aber auch hier wieder ganz aus- drücklich hervorgehoben, dass die obigen Bedingungen wieder- um noch keinerlei Voraussetzung bezüglich der Existenz von <p (f) bezw. y)* (rj) involviren. Denn es gibt thatsächlich stetige und beständig monoton zu- oder abnehmende Functionen (also auch ohne sog. Invariabilitätszüge), die nichtsdestoweniger für unendlich viele Stellen jedes Inter- valles (z. B. alle rationalen) entweder unendlich grosse oder überhaupt keine bestimmten Differentialquotienten be-
A, Pringsheim: üeber den Cauchy^achen Integralsatz, 55
sitzen.^) Mir scheint dies insofern yon Interesse, als von der Existenz eines zum Mindesten integrablen Differential- quotienten q) (f), oder genauer gesagt von der Integrabilität des Ausdruckes V^l -j- ^'* (f) • df, die Existenz einer be- stimmten Bogenlänge der Curve in dem gewöhnlich accep- tirten Sinne*) abhängt, und sich hiernach die, wie ich glaube, ziemlich vielfach verbreitete, auf der üblichen Parameter- darstellung der Integrationscurve beruhende Annahme als irrig erweist, dass die Existenz eines bestimmten Werthes för ein Curvenintegral wesentlich mit derjenigen einer bestimmten Bogenlänge (Rectificirbarkeit) der Integrations- curve zusammenhänge. Wie die hier angestellte Betrachtung zeigt, ist die Existenz einer bestimmten Bogenlänge för das Integral völlig belanglos. Weiterhin wird sich aber auch noch ergeben, dass in Fällen, wo eine solche Bogenlänge existirt, ihr Werth auf denjenigen des IntegralsJ P«df + Q-dr]
überhaupt keinen merklichen Einfluss ausübt, genauer ge- sagt, dass Curven mit angebbarer, endlicher Längedifferenz Integrale liefern können, deren Werthe einander beliebig nahe kommen (NB. ohne dass über P (|, ?;), Q(S,t]) irgend- welche weitere Voraussetzung gemacht wird).
^) 8. z. B. Cantor, Condensation der Singularitäten. Math. Ann. Bd. 19, p. 691. Ferner: Dini, Theorie der Functionen etc., öbers. von Lüroth-Schepp, §112* Ein anderer Typus von der- artigen Functionen: ebendaselbst § 182.
2) cf. Du Boia-Reymond, Erläuterungen zu den Anfangs- gründen der Var.-Rechnung. Math. Ann. Bd. 15, p. 285. Bekannt- lich hat Scheeffer (Acta math. Bd. 5, p. 60) für den Fall der Nicht-
X
existenz von Cyd^ + ^ »7^ eine erweiterte Definition der Bogen-
länge gegeben. Doch lassen sich dagegen Einwendungen erheben (cf. Du Bois-Reymond, Acta math. Bd. 6, p. 167), welche bisher nicht widerlegt worden sind.
56 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Januar 1895.
§ 2. Angenäherte Darstellung eines beliebigen Gurren- integrals durch ein sogenanntes Treppenintegral.
Eine gebrochene, beliebig auf- und absteigende Linie, deren Stücke den Coordinatenaxen wechselsweise parallel laufen, soll im Folgenden schlechtbin als eine Treppe und, falls der Endpunkt mit dem Anfangspunkte zusammenfällt, als eine geschlossene Treppe oder als ein Treppen- polygon bezeichnet werden. Ein Integral, dessen lutegrations- weg eine solche Treppe ist, soll dann kurz ein Treppen- integral heissen.
Es sei nun 8 diejenige Treppe, welche durch die Eck- punkte:
Kiyo)i (^nyo)i (^11^1)1- ••• (^H-l,y«-l), (Xn.Pn^l), {Xn.yn)
bestimmt wird, so hat man mit Benützung der Gleichungen (6), (7), (10) offenbar:
(13)
fP (f, .;) . d f = ^vfP (f, y,^,) ' d I
Es soll nun gezeigt werden, dass sich jedes Curven- integral mit beliebig vorzuschreibender Annäherung durch ein solches Treppenintegral ersetzen läset, sobald sich die Stetigkeit von P(f, jy), QiS,rj) noch auf eine gewisse Nachbarschaft der Integrationscurve erstreckt.
Ich nehme als Integrationscurve C zunächst eine von Xq bis X monoton verlaufende, etwa, um die Anschauung zu fixiren, beständig aufsteigende Curve. Ferner sei P(S,r]) eine eindeutige und stetige Function von (f , 1?) nicht nur auf der Curve C, sondern noch für ein gewisses benachbartes Gebiet zum Mindesten auf einer Seite der
A. Pringsheim: üeher den Gauchi/ sehen Integralsatz, 57
Curve z. B. der rechten: dieses Gebiet mag bei x^ bezw. x durch ein gerades Linienstück parallel zur X- bezw. F-Axe, im üebrigen seitlich durch eine beliebige Curve begrenzt sein, und zwar sollen diese Grenzen mit zum Stetigkeits- bereiche von P (f , ri) gehören. Alsdann ist nach einem be- kannten Satze P(f, Yj) für das definirte Gebiet gleichraässig stetig, d. h. nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Grösse o lässt sich eine positive Grösse d so bestimmen, dass:
(U) |P(r,»?')-P(l..7)l<a für:{j^,"^^j}<<5,
sofern (f, rj), (f', rj) dem fraglichen Gebiete einschliesslich seiner Grenzen angehören.
Man theile nun das Intervall {Xq x) durch Einschaltung der Theilpunkte a;<^\ x^^\ • • • a;^"»-^^ in irgendwelche Theil- intervalle, deren Länge durchweg < d sein soll. Es seien ferner y<^\ ^^^\ • • • y^*"*"^^ die zugehörigen, auf der Y-Axe verzeichneten Curvenordinaten. Sind dann unter den Inter- vallen (y yt^) solche vorhanden, deren Länge y — y < <J, so kann man durch weitere Theilung erzielen, dass schliesslich nur Intervalle < d vorhanden sind. Die auf diese Weise zum Vorschein kommenden y-Werthe (d. h. die früheren y^^^ und die etwa noch eingeschalteten) mögen, der Grösse nach geordnet, bezeichnet werden mit:
und die zugehörigen Curvenabscissen (unter denen also die ursprünglichen x^^^ mit enthalten sind) seien:
Alsdann denke man sich diejenige Treppe construirt, welche durch die Punkte:
(«0' y©)' (^r ?/o)» i^V 2/1)1 • • • (^n-U yn-l), (x, //n-l), (x, y)
58 Sitzung der malh.'phys. Classe vom p. Januar 1895.
bestimmt wird, und bezeichne die Theilcurven, in welche C durch die Punkte (xy^ yv) (v = 1, 2, • • • (n — 1)) zerlegt wird, alle in der Richtung der wachsenden | gerechnet, mit
Man hat nun:
u (« » (Cy)
n
1 (NB. Xu = x)
Xy^i <^y<Xy y^^i < riv < yr.
Andererseits ergibt sich:
wo:
1
(NB. a:„ = Ä;) wo:
Hieraus folgt zunächst:
3c - 3^ = ly {^' (f-' ^/>') - p (f^'^ ^^--i)} • (^'^ - ^--i)
1 und da offenbar:
; f V — 1^"^ \<x^ — av_i < i ■ t]y — yv_i I < yv — tJv-\ < <5
so findet man schliesslich mit Berücksichtigung von üngl. (14):
(15) fP'd^ — fP'äV<<^'{x- x^\
{C) (S)
A, Pringsheim: üeher den Gauchtf sehen Integralsatz, 59
Ganz analog ergibt sich:
(16) \fQ'dri-fQ'dri\<o{y-y,)
{C) (5)
und aus der Zusammenfassung beider Resultate:
(17) iC) iS)
<o[_{x—Xf)'\'(y—yo)].
Da aber jeder beliebige Integrationsweg in eine endliche Anzahl solcher Curven C zerlegt werden kann, so folgt schliesslich ganz allgemein die Richtigkeit des oben ausge- sprochenen Satzes.^)
Das vorstehende Resultat wurde zwar hier wesentlich desshalb abgeleitet, weil dasselbe gestattet, den eigentlichen Beweis des Cauchy 'sehen Satzes auf ein Rechteck zu be- schränken. Dasselbe kann indessen auch dazu dienen, um die am Schlüsse des vorigen Paragraphen gemachte Be-
^) Der analytische Begriff des ^Treppenintegrals" und die eben bewiesene Beziehung zwischen beliebigen Curvenintegralen und solchen Treppenintegralen ist natürlich völlig unabhängig von der hier ledig- lich der grösseren Anschaulichkeit halber und namentlich mit Rück- sicht auf die übliche Darstellung einer complexen Variablen ge- wählten Auffassung von f und rj als rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes. Ein Treppenintegral ist lediglich eine Summe von
Quadraturen der Form jP(^j y)ä^, jQ(Xji])di], wobei im ersten
Integral y = yy^i bezw. = y^, im zweiten x = Xy bezw. = Xy^i zu setzen ist. Und der obige Satz, von jeder geometrischen Vorstellung
losgelöst, besagt, dass ein Integral der Form JP' d^ + Q 'ärj^ wo
zwischen | und i/ eine Beziehung von den näher definirten Eigen- schafben besteht, stets mit beliebiger Annäherung durch eine endliche Anzahl solcher Quadraturen ersetzt werden kann.
<)0 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5. Januar 1895,
merkung in sehr einfacher und anschaulicher Weise zu er- läutern.
Nimmt man nämlich als Integrationscurve G eine die Punkte Xq und x verbindende Gerade, deren Länge also den Werth y (x — Xq)^ + (y — J/o)* besitzt, so kann man nach dem eben Gesagten das betreffende Integral mit beliebiger Annäherung durch ein solches über eine Treppe ersetzen, welche offenbar die unveränderliche Länge \x — Xq\ -f- \y — y©! besitzt, wie klein man auch die Abstände ihrer Eckpunkte wählen mag. Mit anderen Worten : Bei unbegrenzter Verkleinerung der Treppenstufen convergirt der Werth des Treppenintegrals genau gegen denjenigen des gerad- linigen Integrals, obschon die beiden Integrationswege die unveränderliche Längendifferenz \ x — ^o I + i S' — ^o I y (^ — ^o)* + {y — yo)* besitzen.
§ 3. Aufstellung einer nothwendigen Bedingung für
die Unabhängigkeit des Integrals f(P - dS -\- Qdt)
vom Integrationswege.
dP d Q
Es seien P {x, t/), Q (x, y), ^ — , ^ innerhalb eines ge-
o y ex
wissen (ein- oder mehrfach) zusammenhängenden Gebietes T
eindeutige und im Allgemeinen stetige Functionen von
(x^y). Alsdann gilt der Satz:
Soll das Integral /P-df + Q^drj) erstreckt über
eine beliebige innerhalb T verlaufende Curve einen lediglich von den Grenzen, aber nicht vom Inte- grationswege abhängigen, bestimmten Werth be- sitzen, so muss für jede Stelle {x\y') in deren Um- gebung die oben genannten Functionen stetig sind, die Beziehung bestehen:
Ä. Pfingsheim: Üeber den Cauchy* sehen tntegrcdaatz. 61
dP _dQ
Beweis. Soll das fragliche Integral vom Integrations- wege unabhängig sein, so muss offenbar jedes über eine ein- fach geschlossene, innerhalb T verlaufende Linie erstreckte Integral /*(P • d f + Q' ärj) verschwinden.
Sei nun {x\ y') ein beliebiger Punkt innerhalb T von der Beschaffenheit, dass die vier genannten Functionen ftir eine gewisse Umgebung derselben stetig sind. Alsdann denke man sich parallel zu den Coordinatenaxen ein Rechteck R construirt, welches einschliesslich seiner Begrenzung (iJ) noch in die betreffende Umgebung des Punktes {x\y') hineinfallt und diesen selbst im Innern enthält. Bezeichnet man so- dann irgend einen Eckpunkt (etwa den linken unteren) von R mit (^0, ^o), dagegen mit (x, y) jeden beliebigen Punkt im Innern (einschliesslich des Punktes {x\ y)) und mit r jedes durch die Punkte (ar^, y^ (a?, y) bestimmte, zu den Coordinaten- axen parallele Rechteck, so muss offenbar die Beziehung stattfinden :
/{Par;).d|+(?(f,,?).d,?} = 0
(r)
d. b. man hat für alle Werthe [x, y) des genannten Gebietes:
y oder anders geschrieben:
(18) W,{x,y) = W,{x,y) wenn gesetzt wird:
(19) W, (OJ, y) ^fP (.', yo) 'd^+fQ {X, r,) ■ d ,,
62 Sitzung der math.'phys, Glasse votn 5. Januar 1895.
(20) W,{x,y)=^'iQix„v) • dv + Jp^-y) -dl
Aus Gl. (19) folgt sodann durch Differentiation nach y:
dW
(21)
dp
= Q(x,y)
und aus Gl. (20) mit Berücksichtigung von 61. (18) durch Differentiation nach x:
(22)
dx dx —^^^^V)
und hieraus durch weitere Differentiation:
(23)
3 i^W\dQ
dx\dy ) ~ dx
dy\dx ) '^ d tj
Da aber die Gleichungen (21)— (23) lehren, dass mit
Py^^Vh Qi^^y), -z-, r^ auch -~-\ -—-\ — ( 1), dy dx dx 9y 9y V dx I
_— ^ ) stetig sind, so gilt die Beziehung: y\dx / dx\ dy /
d_ dx
d y \ ä x / äx\ dy und man findet somit nach Gl. (23):
(24)
dP
11
d X
fflr alle Werthe {x,y) im Innern des Rechteckes ü, ins- besondere also für X = x', y = y — womit der oben aus- gesprochene Satz bewiesen ist.
Ä. Pringsheim: lieber den Cauchy* sehen Integralsatz. 63
§ 4. Der Cauchy'sche Satz.
Hauptsatz. Sind P{x,tj), Q(x,y), -— , --^ inner-
o y o X
halb eines gewissen (ein- oder mehrfach) zusammen- hängenden Gebietes T durchweg eindeutige, end- liche und stetige Functionen von(a;, v),^) welche der Bedingung genügen:
d P du
(24) o- = V
dy dx
80 verschwindet das Integral J (P • d f -\- Q'ärf) er- streckt über die vollständige Begrenzung jedes in- nerhalb T liegenden zusammenhängenden Flächen- stückes, und es ist j(P-df + (? • dfiy) für alle inner-
halb eines einfach zusammenhängenden Gebiets- theiles von T verlaufenden Integrationswege eine eindeutige und stetige Function W{x^y) mit den partiellen Differentialquotienten:
dW dW
Beweis. Zunächst lässt sich zeigen, dassJ(P«df4"^'^^) erstreckt über die Begrenzung eines vollständig innerhalb T liegenden Rechtecks iJ den Werth Null hat.
Es seien (x^, y^), {x^, t/o), {x^, y^), {x^. y^ die Eckpunkte von JJ, {x,y) irgend einer und jeder beliebige Punkt im Innern oder auf der Begrenzung von iJ. Alsdann definire ich für dieses Gebiet B zwei Functionen Wj (a;, y),
^) Es sind somit die genannten Functionen gleichmässig stetig im Innern und auf der Begrenzung jedes innerhalb T liegen- den Gebietes T\ wobei man die Begrenzung von T derjenigen von T beliebig nahe bringen kann.
64 Sitzung der math^-phya. Glosse vom 5, Januar 1895,
Wg (x, y) als diejenigen besonderen Werthe des Integrals
S {P ' d ^ -^ Q - d t])^ welche sich ergeben , wenn man ein-
mal auf den Schenkeln des rechten Winkels über (a?, y^j), das andere Mal über (aj^, y) bis (x, y) integrirt, also:
(a)
(25)
(b)
Es sind hiernach W^ {x^ y), W^ (x, y) für das betreffende Gebiet eindeutig definirte, lediglich von {x^y) abhängende Functionen, und zwar hat man offenbar insbesondere:
(26) W,{x,,y,)^W,{x,,y,) = Q.
Man erkennt ferner leicht, dass W^{Xyy\ W^{x^y) stetige Functionen der beiden Variablen (a;, y) sind. Bezeichnet man mit Ä, k zwei beliebige (positive oder negative) Incremente von x^y (wobei die Stelle (a; + A, x-^-k) auch eventuell ausserhalb von jR fallen kann, in welchem Falle Ä, fc von vornherein so klein anzunehmen sind, dass das durch die vier Eckpunkte: {x^, y^), (a; + A, y^), {x-^h, y + k), (x^, y + A) definirte Rechteck noch innerhalb T liegt), so wird:
W,(x + h, y + Ä) = jP(f,yo)-df + je(x + Ä,.;).di?
und daher:
X
+ SQi!^ + fu>l)-d,i + S{Qix-\-h,i])-Qix,t,)}-d,]
^h-P{x+»h,yo) + k-Q(x + h.y + i'>'.k)
+ i-{Q{x + Ä, Po + .?"• J) - Q {X, ,/o + .9". J )}
Ä. Pringsheini: (Jeher den Cauchxf sehen Integralsatz. 65
wo: A == y — y^ und d, ^', #" in den Grenzen 0 • • • 1 liegen. Da die Stellen:
{X + *.Ä, y,), {x + h,y + i>'.A), (x + A, yo + ^"•^).
sämmtlich dem Gebiete T angehören, so können die beiden ersten Glieder der rechten Seite wegen der Endlichkeit von P^^ytj), Q(^,t]\ das dritte wegen der Stetigkeit von Q (f, 1]) durch Wahl einer oberen Grenze für h und k be- liebig klein gemacht werden, womit die Stetigkeit von W^ (x^y) in dem behaupteten Umfange erwiesen ist. Ganz analog er- kennt man aber auch die Stetigkeit von W^ (x^ y).
Ferner ergibt sich durch DiflFerentiation von Gl. (25 a) nach y und Gl. (25b) nach x unmittelbar:
(27) ^y' = «(-,y), '^' = Pi-^y)
und sodann aus (25a) durch Differentiation nach x zunächst:
In Folge der gleichmässigen Stetigkeit von Q (rc, rf) als Function der beiden Veränderlichen {x^ tj) darf man im letzten Gliede die Reibenfolge der Differentiation und Inte- gration vertauschen und erhält daher mit Berücksichtigung der nach Voraussetzung bestehenden Beziehung (24):
y« <^V =^P{x,y)-P{x,y,)
1895. MatlL-phyB. Gl. 1. 5
66 Sitzung der nuUh.-phya. Glosse vom 5, Januar 1895.
und somit:
(28a) Y^' = P(x,y).
Analog ergibt sich:
(28b) ^JL3 = Q(x,y),
Die Gleichungen (27), (28) lehren also, dass für alle (a?, y), welche dem Innern oder der Begrenzung von U an- gehören, die Beziehungen bestehen:
(29) ^-I^i = ?Z2 9^_awS ^ ^ dx dx dy dy
und es können daher die für das nämliche Werthegebiet als stetig erkannten Functionen W^ (x, y), TT, (x, y) nach einem bekannten Satze höchstens um eine additive Constante ver- schieden sein, welche aber oflPenbar den Werth Null haben
muss, da nach Gl. (26) W^j (i^oi yo) = ^a (^o^ .Vo) ^^' ^^^ findet somit schliesslich insbesondere:
(30) W;(«„y,) = W,(a!„y,)
d. h. das Integral J(P-rff + Q-d?;) erstreckt über je ein
xo.yo Paar anstossender Rechteckseiten hat den gleichen Werth, oder anders ausgesprochen: Das Integral, continuirlich er- streckt über die Begrenzung des Rechtecks, hat den Werth Null. Angenommen nun, man habe ein innerhalb T liegendes, von einem oder mehreren Treppenpolygonen voUtsändig be- grenztes zusammenhängendes Flächenstück S^ so lässt sich ein solches stets mit Hülfe einer endlichen Anzahl von Parallelen zu den Coordinatenaxen in eine endliche Anzahl von Rechtecken rv (v = 1, 2, • • • «) zerlegen, deren Begren- zung theils von den einzelnen Stücken der ursprünglichen
A, Pringsheim: Ueber den Cauehy^schen Integralsatz, 67
Treppenbegrenzung, theils von Stücken jener Hülfslinien gebildet wird, und zwar gehört jedes Stück der ursprüng- lichen Begrenzung nur einem einzigen (rv), dagegen jedes Stück einer Hülfslinie stets zwei benachbarten (tv) gleich- zeitig an. Man hat nun zunächst:
(31) y]J(Pd|+(2.rfi;) = 0
1 W
da jedes einzelne dieser Rechtecksintegrale verschwindet. Führt man hierbei alle Integrationen in demselben Sinne aus, etwa dem sog. positiven, wo also die Fläche jedes einzelnen Ty bei der Integration über den Umfang zur Linken bleibt, so wird offenbar über jedes Stück einer Hülfslinie genau zweimal und zwar in entgegengesetzter Richtung inte- grirt: es heben sich also die betreffenden Integralbestand- theile vollständig heraus, während nur die auf die Stücke der ursprünglichen Begrenzung (S) bezüglichen Integrale mit einer bestimmten, eindeutig vorgeschriebenen Integrations- richtung zurückbleiben. Durch Addition dieser Theilintegrale geht dann 61. (31) in die folgende über:
(32) S{Pd^^Qdri)^0
wobei offenbar die Integration in dem Falle, dass (Ä) aus mehreren Treppenpolygonen besteht, über das äussere Polygon in der schlechthin als positiv geltenden (d. h. in der Richtung der wachsenden Winkel fortschreitenden), über jedes innere Polygon in der entgegengesetzten Richtung auszuführen ist.
Hat man schliesslich ein dem Gebiete T angehöriges, von einer oder mehreren Randcurven vollständig begrenztes, zusammenhängendes Flächenstück T', so kann man diesen Randcurven zunächst nach § 2 eine entsprechende Anzahl von Treppenpolygonen mit der Gesammtbegrenzung (S) zu- ordnen, dergestalt, dass die Differenz:
6*
68 SUgung der maih.-phys, Claase vom 5. Januar 1895,
S {P'dS + Q'drj) - S {P'dS + Q'drj)
beliebig klein wird. Und da das zweite Integral den Werth Null hat, das erste aber einen bestimmten Werth haben muss, so folgt, dass auch:
(33) S(P'd^+Q'd7j) = 0
(n
sein muss.
Bedeutet sodann U irgend ein einfach zusammen- hängendes in T liegendes Flächenstuck , und sind (a:^, Vo)' (^11 yj zwei beliebige Punkte in U, so werden irgend zwei innerhalb U zwischen {Xq, y^) und {x^^ y^ verlaufende Curven G und C\ die sich weder selbst noch gegenseitig schneiden, einen Flächentheil von TT vollständig begrenzen, sodass also das betreffende Integral über diese Begrenzung verschwindet. Man erhält somit, wenn man als Integrationsrichtung auf G und C' die von {x^^y^ nach (x, y) festhält:
(34) X (P.df + Q^dr^) = J (P.df + Q'dri).
(C) KC')
Dieses Resultat wird aber offenbar durch das Auftreten etwaiger Doppelpunkte bei C und C' in keiner Weise alterirt, da die Integrale über die auf diese Weise entstehen- den Schleifen nach Gl. (33) jedesmal verschwinden.
Wenn endlich die Curven G und C' sich auch gegen- seitig schneiden, sodass sie also mehrere nur in diesen Schnittpunkten zusammenstossende Flächen theile vollständig begrenzen, so werden zunächst die Integrale über die be- treffenden Einzelbegrenzungen verschwinden müssen. Wählt man daher die einzelnen Integrationsrichtungen in der Weise, dass über die Theile der Curve G jedesmal in der Richtung (^0' yo) ' • • (^1 y)i über diejenigen von G' in entgegengesetzter Richtung integrirt wird, so ergibt sich durch Addition der betreffenden Theilintegrale und schliessliche Umkehrung der
Ä, Pringsheim: üeber den Cauchy*8chen IntegraUatz, 69
Integrationsrichtung für alle auf Stücke von G' zu erstrecken- den Integrale wiederum die Richtigkeit der Beziehung (34).
Hieraus folgt aber, dass das Integral jiPdS+Qdr])
innerhalb des Gebietes U einen vom Integrationswege un- abhängigen, eindeutig bestimmten Werth besitzt, sodass also in diesem Gebiete:
(35) W(x,y) = jTcP.dl + Q-dv)
bei variablem {x^ y) und constantem (x^ y^ eine eindeutige Function von (x, y) darstellt. Bildet man sodann unter der Voraussetzung, dass die Stelle a? -|- Ä, y + Ä) gleichfalls dem Gebiete TJ angehört:
W{x + h, y + k) = j (P.rff + Q'dri)
so kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Integrationsweg dieses Integrals über {x^ y) führen und erhält also durch Subtraction:
«4-*.y+-» W{x + h,y + k)-W{x,y)=^SiP'dS + Q^dr))
und da man auch diesem Integrale ohne Beschränkung der Allgemeinheit einen speciellen Integrationsweg zutheilen kann, nämlich die Horizontale von (a?, y) bis («-f-Ä, y), dann die Verticale von {x-\-h, y) bis (a? + Ä» y + i) (wobei nur A, k von vornherein so klein anzunehmen sind, dass dieser Weg noch dem Gebiete U angehört), so folgt:
W{x + h,y + k)-W(x,y)
(36) Jfp(^,yydx +T« {^ + K V)dv
= h'P{x+»h,y) + Jc'Q(x+h,v + »'1c) d. h. W{Xy y) ist eine stetige Function von («, y).
70 SUsung der math^-phys. Glosse wm 5. Januar 1895,
Aus der letzten Gleichung ergibt sieh dann speciell f&r 4 = 0, bezw. k = 0:
rC
und hieraus durch üebergang zur Grenze ä=0, bezw. fe=0: (37) '~ = PM |f=«(^.J/)-
Hiemit ist aber der ausgesprochene Satz in allen Theilen bewiesen.
Zusätze. 1) Der Satz erleidet keine Aenderung, wenn die ursprünglich als ausnahmslos vorausgesetzte Stetigkeit
dp d Q
von P, ö, -^— , -— gewisse Unterbrechungen erleidet oder
a y a X
3 p d Q die Relation -z — = — nicht durchgängig erfüllt ist. Man
zeigt dies in der bekannten Weise, indem man die Ausnahme-
d P
stellen, die für P, Q nur in einzelnen Punkten, för - — ,
dQ ^
;^— (d. h. sowohl hinsichtlich der Stetigkeit dieser beiden
ti^ ap dQ\
Functionen, als auch in Bezug auf die Relation: -— = -—)
^ dy dxf
auch in einzelnen Linien bestehen dürfen, zuächst durch beliebig nahe anzuschmiegende, zur Gesammtbegrenzung von T' hinzuzufügende Gurven ausschliesst und sodann nach- weist, dass die Integrale über jede dieser Gurven beliebig klein gemacht werden können, also das Gesammtresultat nicht alteriren.*)
^) Der auf der Reduction des Doppelintegrala
j/ai-n)-^»
3 P 9 0 beruhende Beweis gestattet freilich in Bezug auf ^~, g^ von vom-
A. Pringsheim: üeher den Cauehj^ sehen IntegraUaU. 71
2) Erstreckt sich die gleichmässige Stetigkeit Ton P, Q mit eyentuellem Ausschluss einzelner Punkte auch noch auf die Begrenzung von T, so yersch windet das Integral J* {P'(lS-{'Q'd7j\ auch wenn man es über die Begrenzung (T') erstreckt. Man erkennt dies, indem man zunächst ein Treppen- polygon {8) construirt denkt, dessen Ecken abwechselnd auf der Begrenzung und im Innern von T liegen, und sodann durch Verbindung der freien Eckpunkte ein gewöhnliches offenbar ganz innerhalb T liegendes Polygon (P) her- stellt. Bei hinlänglicher Verkleinerung der Treppenstufen unterscheidet sich dann das Treppenintegral über (S) beliebig wenig von den beiden Integralen über (T) und (P), also kann auch die Differenz der beiden letzteren Integrale be- liebig klein gemacht werden. Und da das Integral über (P) verschwindet, dasjenige über (T) jedenfalls einen bestimmten Werth haben muss, so folgt, dass dieser Werth gleichfalls Null sein muss.
herein eine etwas allgemeinere Fassung der betreffenden Bedingungen,
insofern ffir die Gültigkeit des Satzes nicht die Stetigkeit, sondern
dP dQ nur die Integrabilität von ^— » :^— • genau gesagt die eindeutige
d y d J^
Existenz von I \ ^- dx dy, I I 9^ ^'^^y in Frage kommt. Die genauere Feststellung der hiefOr noch zulässigen ünstetigkeiten von
ap dP
^^Z* "ö^ führt indessen auf Betrachtungen, mit deren Hülfe man o y d X
ebensogut auch den hier gegebenen Beweis in analoger Weise ver-
allgemeinem könnte. In der That braucht ja die Bedingung
dx ^ dx dy " dy
keineswegs für ein gewisses Gebiet 22 als ausnahmslos erfallt voraus- gesetzt werden, um daraus die üebereinstimmung der beiden stetigen Functionen W^ (x, y\ W^ (x, y) (bis auf eine additive Constante) zu erschliessen. Ich gehe indessen auf derartige Verallgemeinerungen hier nicht ein, da mir dieselben für die Theorie der Functionen complezer Yariablen keine sonderliche Bedeutung zu besitzen scheinen.
72 Sitzung der math.-phys. Glosse vom ö. Januar 1895.
3) Kennt man eine innerhalb irgend eines einfach zu- sammenhängenden Flächenstückes U von T eindeutige und stetige Function F (x, y) mit den partiellen Differential- quotienten:
so muss offenbar für jeden innerhalb ü verlaufenden Inte- grationsweg die Beziehung bestehen:
da das rechtsstehende Integral mit F{x^y) innerhalb TJ die Stetigkeit und die partiellen Differentialquotienten P(a;, y), Q {x,y) gemein hat. Da aber das Integral für a? = a:^, y = y^ verschwindet, so folgt:
Fix„y,) = C also schliesslich:
YiPdS + Qdf,) = F(x,y) -F(x^, y^).
73
Sitzung vom 9. Februar 1896.
1. Herr Karl GObel häU einen Vortrag: ^lieber directe Anpassung/ Wird an einem anderen Orte ver- öfiFentlicht.
2. Herr Nikolaus ROdinger spricht: «Ueber Leuco- cytenwanderung in den Schleimhäuten des Darm- kanales.*
3. Herr Alfred Prinqsheim macht eine Mittheilung: , lieber die Entwickelung eindeutiger analytischer Functionen in Potenzreihen.*
4. Herr Walter Dyck legt zwei Abhandlungen vor: Eine von dem correspondirenden Mitgliede der Classe Herrn Max Nöther in Erlangen: „Die 7-Systeme von Kegel- schnitten, welche durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer ebenen Curve vierter Ord- nung gehen" ;
und eine weitere von Herrn Eduard v. Weber in München: , lieber simultane partielle Differential- gleichungen II. 0. mit drei Variabein."
5. Herr W. v. Gümbbl überreicht eine Abhandlung des auswärtigen Mitgliedes der Classe P. v. Sandberger in Würzburg: , lieber Blei- und Fahlerzgänge in der Qegend von Weilmünster und Runkel in Nassau.*
75
üeber die Entwickelnng eindeutiger analytischer Functionen in Fotenzreihen.
Von Alfred Prinirslieim«
(SittgtUMtfm P. Aftmar.)
Begründet man die Theorie der Functionen einer com- plexen Veränderlichen auf die Cauchy'sche Definition der monogenen Functionen und ihrer Integrale, so ergibt sich die Entwickelbarkeit einer für 0^\x\ <. R bezw. für RQ<i\x\<. B eindeutigen und monogenen Functionen nach positiven ganzen Potenzen von x (der »Cauchy'sche" Satz), bezw. nach positiven und negativen ganzen Po- tenzen von X (der , L au r entasche'' Satz) sowie der wahre Convergenz- und Geltungsbereich der betreffenden Ent- wickelungen ganz unmittelbar aus den bekannten Cauchy- sehen Tntegralsätzen. Wesentlich anders liegt die Sache, wenn man die Eigenschaften der im Sinne des Herrn Weierstrass analytischen und monogenen, d. h. durch ein „Func-
tionenelement" von der Form y^» a^ - (x — x^Y und dessen
0
analytische Fortsetzungen definirten Functionen auf elemen- tarem Wege, also insbesondere ohne Anwendung der com- plexen Integration ableiten vnll. Gestaltet sich hier schon die Feststellung des wahren Convergenzbezirkes für die
00
Entwickelnng ^v a^ {x — x^^ einer innerhalb eines einfach
76 Sitzung der math.'phy8, Glosse vom 9. FebrtMr 1895.
zusammenhängenden, die Stelle Xq enthaltenden Gebietes eindeutigen und analytischen Function ziemlich umständlich/) 80 bietet die Erkenntniss der blossen Möglichkeit, eine in einem Ringgebiete um die Stelle Xq eindeutige und analytische Function nach positiven und negativen Po- tenzen von {x — Xq) zu entwickeln, bei dem jetzigen Stande der Theorie ganz unverhältnissmässige Schwierigkeiten: man erschliesst dieselbe entweder nach dem Vorgänge des Herrn Mittag-Leffler*) aus einem von Berrn Weierstrass ab- geleiteten Hülfssatze von ziemlich verwickelter BeschaflFen- heit,') oder etwas kürzer mit Hülfe einer von Scheeffer herrührenden, im Grunde genommen zwar auf denselben Principien beruhenden, aber directeren Beweismethode.*) In- dessen selbst dieser auf den ersten Blick relativ einfach er- scheinende Scheeffer'sche Beweis setzt doch eine Reihe von Vorkenntnissen, namentlich über die Eigenschaften mehrdeutiger Functionen voraus, welche es unmöglich machen, den betreffenden Satz an der für einen natür- lichen und consequenten Aufbau der elementaren Functionen- theorie erforderlichen Stelle erscheinen zu lassen.
Hiernach dürfte es nicht ohne Interesse erscheinen, wenn ich im Folgenden einen neuen Beweis für die fragliche Ent- wickelungsform einer analytischen Function mittheile. Die Grundlagen der hierbei von mir angewendeten Methode finden sich zwar schon im Wesentlichen in einer Cauchy- schen Abhandlung: „Considerations nouvelles sur la theorie des suites et sur les lois de leur conver- gence**^): allein abgesehen davon, dass die dort gegebene
1) Cf. Stolz, Vorlesungen über allg. Arithmetik, Bd. II, p. 180. Biermann, Theorie der analyt. Functionen, p. 166. 3) Acta mathematica, Bd. IV. p. 80. ") Abhandl. ans der Fanctionenlehre, p. 28. ^) Acta mathematica, Bd. IV. p. 875. ^) Ezercices d* Analyse et de Phjsique math^matique, T. I, p. 269.
Ä, Pringaheim: Enttßickelung eindeut. andlyt, Functionen, 77
Darstellung sich nur auf die Entwickelung einer Function nach positiven Potenzen bezieht, so enthält dieselbe auch verschiedene Lücken principieller Natur, und hierin mag wohl der Grund davon zu suchen sein, dass man, soviel ich weiss, auf jene Methode nicht wieder zurückgekommen ist,^) deren Kern in der Anwendung gewisser Mittelwerthe an Stelle der sonst bei der Coefficientendarstellung üblichen Integrale liegt. Derartige Mittelwerthe — nämlich Grenz-
l
werthe von der Form lim ] —7ivf{^n,v) J, wo die Xn^y für
jedes n und v arithmetisch wohl definirte Zahlen von der BeschaiBFenheit bedeuten, dass |a;„y^i — x^y\ mit wach- sendem n beliebig klein wird — kann man natürlich stets auch als specielle Fälle von bestimmten Integralen auffassen. Immerhin haben dieselben mit dem Infinitesimalbegriff in Wahrheit absolut nichts zu thun, da es sich bei ihrer Bildung keineswegs um eine Summe schliesslich , unendlich
^) Ich bin nachträglich durch Herrn Dyck darauf aufmerksam gemacht worden, dass sich in: Serret, Gours de calcul diff^ren- tiel et intdgral, T. I, p. 670 (in der deutschen Ausgabe von Har- nack, T. I, p. 527) gleichfalls die Ableitung der Mac Laurin'schen Reihe mit Hülfe von Mittelwerthen findet. Die dort gegebene Dar- stellung ist im Wesentlichen eine Reproduction der im Texte citirten Cauchj^schen, bei welcher die erwähnten Lücken vermieden sind; allein der fragliche Beweis hat hierbei vollständig seinen elemen- taren Charakter verloren. Die dabei benützten .Mittelwerthe" sind in Wahrheit nur umständlicher geschriebene bestimmte Integrale mit veränderlichen Grenzen, die ausserdem noch von einem ver- änderlichen Parameter abhängen. Nach beiden Grössen wird differenzirt, wobei der Satz von der Differentiation eines be- stimmten Integrals nach der oberen Grenze, sodann auch derjenige von der Vertanschbarkeit der Differentiations- reihenfolge in Anwendung kommt; kurzum dieser Beweis gehört vollständig der Infinitesimalrechnung an und erscheint in der That weit einfacher und durchsichtiger, wenn man statt der benutzten Mittelwerthe die üblichen Integralbezeichnungen anwendet.
78 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 9. Februar 1895.
klein^ werdender, sondern lediglich um eine Summe wohl definirter, stets endlich bleibender Grossen, dividirt durch deren Anzahl, handelt. Hiernach ist aber ein solcher Mittelwerth genau in demselben Sinne , elementar' wie jeder gewöhnliche, von einer positiv wachsenden ganzen Zahl abhängige Grenzwerth, z. B. wie die sogenannte Summe einer unendlichen Reihe (die man ja schliesslich auch stets als speciellen Fall eines bestimmten Integrales auffassen kann), sodass gegen die Einführung derartiger Mittelwerthe in die elementare Functionen theorie irgendwelche princi- pielle Bedenken schwerlich erhoben werden können, zumal die fraglichen Sätze auf diasem Wege eine Einfachheit und Abrundung erhalten, welche die mit Hülfe der complexen Integration erzielte noch merklich übertrifft. So lässt sich insbesondere der für diese ganze Betrachtung grundlegende Satz, dass der Mittelwerth einer eindeutigen analytischen Function f{x) für die Stellen |a?| =r einen von r unab- hängigen bestimmten Werth besitzt, weit leichter völlig streng begründen, als der entsprechende Cauchy'sche Inte- gral-Satz für monogene Functionen (im Cauchy'schen Sinne); und es gestaltet sich die Darstellung der Entwick- lungscoefficienten einer Potenzreihe durch solche Mittel- werthe wesentlich einfacher und natürlicher als die be- treffende Integral- Darstellung, welche die Einführung des völlig fremdartigen, d. h. zu der Potenzentwickelung einer beliebigen analytischen Function in gar keiner nothwen-
digen Beziehung stehenden Factors - — . nach sich zieht.
Im Uebrigen habe ich, um der folgenden Betrachtang einen möglichst elementaren Charakter zu wahren, absichtlich davon Abstand genommen, die Lehre von den Einheitswurzeln oder gar deren Darstellung durch trigonometrische Func- tionen, ja selbst auch nur den Satz von der Wurzelexistenz einer algebraischen Gleichung zu benützen. Vielmehr stütze
A, Fringsheim: Entwickelung eindeut, analyt. Functionen, 79
ich mich lediglich auf den elementaren Satz, dass eine qua- dratische Gleichung von der Form oi^ =s ß -j- yi stets zwei und nur zwei verschiedene, vermittelst reeller Quadratwurzel- ausziehungen zu berechnende Wurzeln besitzt.
§ 1.
ist y > 0, ß beliebig, so hat man bekanntlich:
(1) VßWi
wo sämmtliche Quadratwurzeln auf der rechten Seite positiv zu nehmen sind. Dabei soll derjenige Wurzelwerth, welcher resultirt, wenn man auf der rechten Seite als Gesammtvor- zeichen das positive wählt, der Kürze halber schlechthin als der positive Werth von Vß+yi bezeichnet werden.
Sei nun ferner N = 2", so lassen sich offenbar die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung
(2) x^=l
mit Hülfe von n successiven Quadratwurzelausziehungen be- rechnen, dergestalt, dass allgemein:
(3)
=±K±|/±--±|/±|/"i
(wobei die Indices an den einzelnen Wurzelzeichen lediglich zur Charakterisirung ihrer Anzahl dienen). Daraus folgt zu- nächst, dass die Anzahl der verschiedenen Wurzelwerthe nur < 2", also ^. N sein kann.
Unter den auf diese Weise sich ergebenden Wurzeln
4
ist eine besonders ausgezeichnet, welche aus yl = -\- i ent-
80 Sitzung der moAK-phys. Glosse vom 9, Februar 1895,
steht, wenn man bei jeder weiteren Wurzelausziehung die im obigen Sinne definirte positive Wurzel beibehält. Be* zeichnet man dieselbe durch:
(4) an = ßn + yni
so ergibt sich mit Hülfe der Formel (1):
(5)
2
Man erkennt alsdann leicht:
1) dass keine Wurzel der Gl. (2) mit positiv reellem und positiv imaginärem Theile existirt, welche näher an der positiven Einheit liegt als a»;
2) dass die Potenzen a», ai, • • • a^"*^ durchweg von einander verschieden sind und der Gl. (2) genügen, also die sämmtlichen Wurzeln dieser Gleichung darstellen;
3) dass diesen ^-Werthen ebensoviele, in der gleichen Anordnung auf einander folgende, aequidistante Punkte auf dem Einheitskreise entsprechen, deren constanter Abstand I 1 — Gn I der Bedingung genügt:
«-3
(6) |i_a„,<(/r)'
Nun bedeute f{x) eine für alle x mit dem absoluten Betrage | a; | = r eindeutig definirte und im Allgemeinen stetige Function, so soll gesetzt werden:
(7) ©n,(/"w) = ^i]./'(a:-r),
Ä. Pringaheim: EfUteiekelung eindeut, anaHyt. Functionen, 81
sodass also fPPin {f{r)) das arithmetische Mittel aus den Werthen bedeutet, welche f{x) an den -W-Stellen x = att'r (v = 0, 1, • • • N — 1) annimmt. Aus der vorausgesetzten Stetigkeit von f(x) längs des Kreises | a; | = r und der Be- ziehung (6) ergibt sich sodann, dass 91^^ (/^W) ™^^ unbe- grenzt wachsenden Werthen von n einer festen Grenze zu- strebt, sodass die Bezeichnung:
(8) 9tt(/"('-)) = ii™9K:,{/'W)
einen bestimmten Sinn besitzt. Zugleich erkennt man un- mittelbar aus der Definition von 9]^(/W)i ^ass:
(9) Sn{Ä--/'(r)) = 2r.ent(/-(r)),
wenn K einen beliebigen für alle x mit dem absoluten Be- trage r Constanten Factor bedeutet; und ferner:
.... €JTt(/-.('-)+--+/i(r))
^ ^ = Sit (/■, w) + • • • + ©k: (A w).
wenn man mit f^ (a?) . . . /i (x) Functionen von analoger Be- schaflFenheit wie f(x) bezeichnet.
Ist jetzt (p{x) eindeutig und analytisch für alle x des Gebietes IIq<^\x\<R (wobei eventuell auch 2?^ = 0 sein kann), so besteht der Satz, dass 911/ (q? (r)) für l?o_*Cr<jB einen bestimmten von r unabhängigen Werth besitzt, so- dass also:
wenn So^^<^' ^.ü-
Der Beweis dieses Satzes beruht auf einem Hülfssatze^)
des Inhalts, dass der DiflFerenzenquotient ^- r
^) Beweis dieies Haifssatses s. am Ende von § 1.
1895. ]Uth.-pbyB. Gl. 1.
82 Süßung der mathrphys. Glosse vom 9. Februar 1895,
für alle x des betreffenden Gebietes nnd hinlänglich kleine Werthe von h eine gleich massig stetige Function von h ist, d. h. man kann jeder beliebig kleinen positiven Grosse e eine positive Grosse d so zuordnen, dass für alle x des Ge- bietes: -Bo^l^l^-^ ^^® Beziehung besteht:
I (p {x + h) — (p{x) __ <p{x+k) — (p(x) (10)
I h k
<^,
11*1/
falls { :\}<d
Angenommen nun, man habe r > 0 beliebig klein fixirt, so bestimme man zunächst eine positive ganze Zahl m so, dass die positive Grösse:
1^ = ^
m
klein genug wird, um die Gültigkeit der Ungleichung (10) für |Ä| ^ ^, 1*1 <(J zu sichern. Wählt man hierauf die positive ganze Zahl n bezw. ^=2* gross genug, dass:
r'- I 1 — a„|<^ (also a fortiori r- 1 1 — a^ | < ö),
so hat man:
«n-^ al(a—l)'r
oder nach Multiplication mit d und Berücksichtigung von
cp (an-(r + (5)) - (p (an-r) - d • (^ J, i) /
<d'€
Setzt man der Reihe nach v = 0, 1, . . . (^—1) und addirt die resultirenden Ungleichungen, so heben sich offenbar alle von dem dritten Gliede der linken Seite herrührenden Be-
A. Pringaheim: Entwiehelung eindeut. analyt. Functionen, 83
standtheile yollständig heraus (NB. es ist ja insbesondere a^-r =s=aH-r), und es ergibt sich:
S-?' («»•(»•+ '^))-I]'- ?'(««■'•)
< N-d-e
0
oder nach Division mit N:
I m.Avir-^d)) - ef\l„(<pir)) I < de
und daher, wenn man r ins Unendliche wachsen lässt:
Schreibt man in dieser Ungleichung r + (/* — 1) ^ statt r (wo: r + (/i — l)'d<r' für /i = l, 2, . . . m — also auch: (r + (^— 1) (5)«|1 — a„| <5), so wird:
und wenn man die für /i = 1, 2, . . . w hieraus resultirenden Ungleichungen addirt und beachtet, dass: m-d == r' — r, schliesslich :
I Sit {<P ('•')) - m:.i9 «) I ^ (r'-r).e.
Da aber e von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, und andererseits ^ÜIC [q) {r'))^ ^^{^^(f')) ein- deutig bestimmte Werthe besitzen, so muss geradezu:
(11) i©n(v'(0)-sn (<?(»•)) 1=0
sein, womit die ausgesprochene Behauptung bewiesen ist.
Beweis des Hülfssatzes. Für jede Stelle x des Be- reiches -Bo^l^l — ^ S^^^ eine Entwickelung von der Form:
6*
84
Sitzung der matK-phys. Glosse vom 9, Februar 1895,
deren wahrer Convergenzradius bekanntlich eine mit x stetig veränderliche, positive Grösse ist und demnach ein bestimmtes von Null verschiedenes Minimum q besitzen muss. Fixirt man nun eine positive Grösse:
d<Q
so ist für alle x und h des Bereiches: Rq^I^I^^ ^^^ \h\<d die Reihenentwickelung (12) gültig und absolut con- vergent, und daher auch in dem gleichen Umfange:
(v+2)
(x)
Da aber für den angegebenen Werthebereich 9?"(a?+A) eine stetig veränderliche Function ihres Argumentes ist, so besitzt daselbst |9?"(a^ + Ä)| ein bestimmtes endliches Maxi- mum g, und es ist daher nach einem bekannten Satze:
(13)
<P
(v+2)
(^>.aH
VJ
9
für:
\h\<l.
Setzt man nun Gl. (12) in die Form:
-.■« = »-S-^(rFf-*'
SO hat man für h< d mit Benützung von Ungl. (13):
<p{x-\-K) — q){x) ,, , ^ ,,,'^ 1
^^^'-<f\x) <g'\h\^.
(v+l)(v + 2)
d.h. <g-\}i\ und daher, wenn auch |Ä;{<d angenommen wird:
(14)
99 (»+ A) — 9? {x) y (g-f A;) — y (g) Ä Ä
Ä, Pringsheim: Entwickelung eindeut. antUyt. Functionen. 85 sodass also die fragliche Differenz unter b herabsinkt, wenn
£
von vornherein d < ^— angenommen wird. ^ ff
§2.
Lehrsatz, Ist f(x) eine eindeutige und ana- lytische Function für alle Stellen x des Gebietes ^o^\^\^^^ s^ 8^1^ ^^^ dieses Gebiet die Ent- wickelung:
+ 00 — 00
undr einen beliebigen Werth desIntervallesBQ^r<i2J bedeutet. Ist insbesondere 5^ = 0, so reducirt sich die obige Entwickelung auf die folgende:
OB
0
Beweis. Bezeichnet man mit Xq irgend eine willkür- lich gewählte Stelle im Innern des fraglichen Bereiches, sodass also Bq<\Xq\<,B und setzt man:
(p(X) = X ,
X Xf^
so ist 9? {x) für alle x des Bereiches BQ<x<It gleichfalls eindeutig und analytisch. Man erkennt dies ohne Weiteres für jede von x^ verschiedene Stelle x\ in der Umgebung
der Stelle x^ hat man aber:
1 A*-
86 Sitzung der mathrphys. Glosse wm 9, Februar 1895.
also:
d. h. (p (x) ist dort gleichfalls analytisch. In Folge dessen ist nach dem Satze des vorigen Paragraphen:
oder mit Berücksichtigung von Gl. (9) und (10) des § 1:
(15)
\R — Xt,/ \Rn — Xf,/
Nun ist:
0 0 *- R
und daher: (17)
\R—Xq/
Da nun: (18)
" ^'^b"'(i-Wr|ü
F(ß)^
««I
"iäI
l_-«i
wenn i^(-R) das Maxiraum der absoluten Beträge von f(x) für \x\=R bezeichnet, so folgt, dass dieser letztere Aus-
A, Pnngsheim : EntwiekelufUf eindeut. aiuüyt, Functionen. 87
druck mit unbegrenzt wachsenden Werthen Ton m gegen Null convergirt, und Zfirar, wenn r <C ü angenommen wird, offenbar gleichmässig für alle Xq, welche der Bedingung genügen: |^ol^^* Lässt man also in Gl. (17) m ins Un- endliche wachsen, so wird:
(19) 9Tt(|;^J^) = ;£>9ii(B-''.Ai?)-*r
wobei diese Reihe zunächst unbedingt und gleichmässig convergirt fär |a;0|<r<J?. Es lässt sich indessen leicht zeigen, dass dies auch noch f^r \x^\ =^ B der Fall sein muss. Da nämlich f(x) nach Voraussetzung noch für |:i;| = i{ analytisch sein sollte, so gehört zu jeder Stelle x' des Kreises mit dem Radius B eine angebbare Umgebung, für welche f(x) nach Potenzen von {x — x') entwickelbar ist. Diese Umgebung muss dann ein gewisses, von Null ver- schiedenes Minimum q besitzen. Nimmt man alsdann eine positive Grösse ^<^ an, so folgt, dHssf(x) auch noch für |x|^-B4-^ analytisch ist. Alsdann besteht aber eine Be- ziehung von der Form (19), sofern man daselbst B durch B'\'d ersetzt, und diese muss nach dem Gesagten unbedingt und gleichmässig convergiren für Ix^l <r < JB-j-^, also insbe- sondere für.|a?o| = ^' Da aher nach dem Satze des vorigen Paragraphen:
80 ist die zuletzt genannte Entwickelung von der in Gl. (19) nicht verschieden, sodass also diese letztere in der That noch für \Xf^\^ss B unbedingt und gleichmässig convergirt. Analog ergibt sich aus Gl. (17):
(20)
Min — a?ft/
■■ — '^fr[i{K.nR)).x:'*-xr fiz(ff^^)
88
Süzufig der mathrphys, Glosse wm 9, Februar 1895,
Da aber (21)
'6)k:(^|))|
X.
F{R,)
1 —
\^\
(wenn wiederum F(Rq) das Maximum von \f(x)\ för |a?| = JS^ bezeichnet), und da dieser Ausdruck wegen \xq\>Rq mit unendlich wachsendem m gegen Null convergirt, so hat man:
(22) 9Tt (M^) = _ y« 9n (iif /-(ij)).*-".
Diese Reihe convergirt dann zunächst wieder unbedingt und gleichmässig fQr l^ol^^o- ^ folgt aber genau wie oben, dass dies auch noch für |^ol '^^o ^^^ ^^'^ ^^^^ muss, sofern man vorlaufig Rq> 0 annimmt. (Der Fall Rq = 0 wird weiter unten besprochen werden).
Da die in den Entwickelungen (19) und (22) als Coeffi- cienten auftretenden Mittelwerthe nach dem Satze des vorigen Paragraphen (in dem durch die analytische Beschaffenheit von f(x) bezw. x'^*f{x) gegebenen Umfange) von R bezw. Rq unabhängig sind, so kann man die Gleichungen (19) und (22) auch durch die folgenden ersetzen:
(23)
9n (§Ä>) = — ^ 9n(A Ar))-*/
wo r einen ganz beliebigen Werth des Intervalles -8© ^ *" ^ JJ bedeutet. Ersetzt man jetzt in (23) f{x) durch die Einheit, so folgt insbesondere:
(24)
9n(^-)=-S'9R:(/').*7'' (wo:w>jJo)
A, Pfingsheim: Enttoiekelung eindeut. amüyt. Functionen, 89
Nun ist aber für ^ ^ 1 — falls n von vornherein so gewählt wird, dass -N'=2**>/i:
0 ■'' 1— a?
also auch:
Dagegen für /i = 0, offenbar :
©Tl^ (rO) = 1, also auch: SIL (r^) = 1, sodass die Gleichungen (24) sich auf die folgenden reduciren:
(25)
Mit Benützung der in 61. (23) und (25) enthaltenen Resultate geht dann Gl. (15) — wenn man statt x^ jetzt x schreibt — in die folgende über:
f{x)^^m. {r-''.f{r)) . *^ + 2> ?nt (/ -m . x-"
0 1
(26) +»
—00
wobei also diese Entwickelung unbedingt und gleichmässig convergirt für liQ<^\x\<It^ und die in den Coefficienten auftretende Grösse r einen beliebig zu wählenden Werth des Intervalles ItQ^r<ZR bedeutet.
Ist jetzt speciell Rq = 0, so kann man zunächst in den Coefficienten von der Form ©TL (*^-/'(r)) für ^ > 1 r = 0 setzen. Alsdann wird aber:
90 Sitzung der matK-phya, Glosse vom 9, Februar 1895,
9TCn(»^-/W)r=o = 0 also auch: 91t{^-/"(r)) = 0 sodass Gl. (26) sich auf die folgende reducirt: (27) f(a;) = |>9Tl(r-''./'(r)).«^
0
Dabei würde nach dem oben Gesagben diese Entwicke- lung zunächst gültig sein für 0<|a?|^JS. Man erkennt aber unmittelbar, dass sie auch noch für o; = 0 besteht. Im Falle ^ = 0 geht nämlich die rechte Seite über in:
9TC(/-(r))
und da man hier wiederum r = 0 setzen darf, so folgt: em:(/-(r)) = lim ©tl^ {f(r))r=o = f(0)
d. h. Gl. (27) gilt in der That auch für a; = 0.
Damit ist aber der oben ausgesprochene Satz bewiesen.
Zusatz I. Ist f(x) nur für das Gebiet B^ < |a;| < JS eindeutig und analytisch, so gilt die Entwickelung (26) zu- nächst für jedes Gebiet Bq<\x\<R\ sofern nur iJ^, B' der Bedingung genügen : Bq< B^< B' < B: sie gilt somit schliesslich für alle x des Gebietes BQ<\x\<iB. Sind also \x\ = B bezw. \x\==Bq die wahren Convergenzgrenzen der betreffenden Entwickelung, so muss f{x) für |a;|==iJ bezw. {:c|=i2o mindestens eine singulare Stelle besitzen.
Bleibt f(x) beim Uebergange von Werthen mit dem absoluten Betrage \x\ < R bezw. \x\>Bq zu solchen mit dem absoluten Betrage \x\ = B bezw. \x\ = Bq noch im allgemeinen gleichmässig stetig, und ist f{x) für |a;|=Jf? hezw,\x\ = Bq durchweg endlich, so kann man oflFenbar die in den Coefficienten auftretende Grösse r eventuell
A, Pringsheim: Entwickelung eindeut analyt, Functionen, 91
auch durch B bezw. Rq ersetzen, da in diesem Falle die Differenzen :
i/\i{R^'fiR)) - €nt{Ä'^./-(B'))
bezw. 9n«./'(Äo) - ?^{B',^^f(R;,))
beliebig klein gemacht werden können.
Zusatz II. Man erkennt leicht, dass der bewiesene Satz auch umkehrbar ist, d. h. wenn die Reihe:
^^a^a/' = f{x)
— 00
zum Mindesten für alle x mit dem absoluten Betrage {x| == r gleichmässig convergirt, so hat man:
a^ = m,[r-''.f{r)).
Hieraus ergibt sich dann die Eindeutigkeit einer der- artigen Entwickelung zunächst in dem Umfange, dass aus dem Bestehen der Gleichung:
~00 —X
zum Mindesten für alle x mit einem gewissen absoluten Betrage \x\ = r, für welche jene Reihen gleichmässig convergiren, deren Identität folgt. Auch hat es keine besondere Schwierigkeit, diesen Identitätsbeweis auf den Fall auszudehnen, dass die Gleichheit der beiden Reihensummen nur für irgend eine unendliche Punktmenge feststeht.
Fehlen in der betrachteten Reihe die negativen Potenzen, sodass also:
92 Sitzung der math.'phys. Glosse vorn 9. Februar 1895,
so hat man offenbar:
^{r-'-m^lf^ko).
Jene Mittelwerthe stellen also in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung der Ableitungen von f(x) für a?=0 dar.
93
Die 7-Systeme von Kegelschnitten, welche durch
die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer
ebenen Gurve 4. Ordnung gehen.
Von M. Nöther in Erlangen. {BingOaufeH 9, Febmar,)
Für die 315 Kegelschnitte, welche eine Curve 4. Ord- nung in den Berührungspunkten von vier ihrer Doppel- tangenten treffen, hat 0. Hesse zuerst angegeben (Grelle's Joum., Bd. 40), dass man aus ihnen 7-Systeme bilden kann, die je durch die Berührungspunkte aller 28 Doppeltangenten hindurchgehen. Auf die von ihm (Cr. J. 49) gestellte Frage nach allen derartigen 7-Systemen bin ich in Bd. 15 der Mathem. Annalen*) so weit eingegangen, dass ich einmal 135 irreductible 7-Sy8teme mit „Tripeleigenschaft" nachwies, sodann 315.24 uneigentliche Systeme construirte, in welchen je einer der Kegelschnitte ausgezeichnet war. Aus Anlass der von der k. b. Akad. d. Wiss. demnächst erfolgenden Herausgabe der gesammelten Abhandlungen Hessens möchte ich die Frage hier vollständig beantworten.
1. Bezeichnungen und Beziehungen. Ich bediene mich der Bezeichnung (i&), wo i, k von 1, 2, ... 8 gehen, k^i, für die Doppeltangenten (^Dtgn.'^) und der in dem ge-
^) «Ueber die Gleichungen achten Grades und ihr Auftreten in der Theorie der Cur^en vierter Ordnung."
94 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 9, Februar 1895,
nannten Aufsatz, oder auch in Abhandl. d. bayer. Akad. d. Wiss., Bd. 17,^) auseinandergesetzten Rechenregeln. Von diesen übrigens nur der folgenden: In einer Combination zu //, ij /iCj tg ^2 • • • V ^ui ^^^ ^^® Anordnung der Zahlen gleichgültig und zwei gleiche Zahlen heben sich gegenseitig auf. Ist /jl gerade, so gelangt man, indem man [12 ... 8] ^^ 0 setzt, zu den 63 gleichberechtigten Steiner^schen Gruppen („St. Gr.**) [iÄ], [iklm]; für ungerades /i zu den 28 (ik) und zu 36 unter einander gleichberechtigten (iklm) und (12 ... 8). Jede St. Gr. [a] lässt sich auf 6 Arten in Paare der Art «\ k^ ig ig zerlegen, und jede der zwölf entsprechen- den Dtgn. {ik) heisst: ,in [a] enthalten.* Zwei St. Gr. [a], \b] heissen „syzygetisch" (Ausdruck von Frobenius), wenn [b] sich gegen die beiden Dtgn. eines Paares von [a] gleich- massig verhält, d. h. beide enthält oder beide nicht enthält; Drei syzygetische St. Gr. [a], [6], [a&] von der Combination [a6a6]^^0, mögen ein „ Steiner 'sches Tripel* heissen; sie enthalten vier Dtgn. gemeinsam, deren Berührungspunkte auf einem Kegelschnitt Ä liegen; die 315 Kegelschnitte
ß = fj&i • igÄg • ijÄg . i^k^, wo [ijÄ:^ igÄg i^\ i^kj ^ 0,
und die 315 Steiner'schen Tripel
[i,k, ?g/fg], [ijÄj fgig], [i,k, i^ÄJ ^ [igig i^k^]
entsprechen sich so eindeutig; zu jedem Ä „gehören* drei St. Gr. eines Tripels.
Die Beziehungen zwischen zwei Kegelschnitten St sind von mir Math. Ann. 15 gegeben worden, ausführlicher von Pascal,*) der auch die Beziehungen zwischen dreien der Ä abgeleitet hat. Ich benütze davon Folgendes:
^) «Zur Theorie der Berührangscurven der ebenen Corve vierter Ordnung.*
^) RendicoDti d. R. Accad. dei Lincei, 1892 Nr. 11, 12; 1893 Nr. 1.
M. Nöther: Die 7'Sy steine v&n Kegelschnitten etc. 95
Zwei Kegelschnitte fi und St\ welche keine Doppel- tangente gemeinsam haben, stehen in , Beziehung erster Art* (ftft), oder »zweiter Art' (ftft'),, je nachdem die beiden zu ft und Ä' gehörigen St. 'sehen Tripel eine St. Gr. gemeinsam haben oder nicht. Zu einem jt gibt es 18 R\ für welche (ftft'), gilt, 144 «', für welche (ßtSt\ ist. Aus dem 9 Zerlegungsschema'' eines ft, nämlich aus
JS: ^ 12 . 34 . 56 . 78
[1234] ^ 13-24, 14-23, 57-68, 58-67
[1256] -:= 15-26, 16-25, 37 • 48, 38-47
[1278] ^ 17-28, 18-27, 35-46, 36-45,
erhält man die K\ für welche (JCÄ^)j, indem man zwei Paare einer Horizontalreihe zusammenfasst, wie etwa 13-24- 14-23; und die K"^ für welche (KK")^, indem man aus zwei der drei Reihen je zwei ik so herausnimmt, dass die Gesammt- combination 0 ergibt, wie 13-14-37-47. Die 18 ersteren K' zerfallen dem zu Grande gelegten K gegenüber in 9 Paare, indem ein solches Paar K^ K^ eine Horizontalreibe von K erschöpft; solche drei Kegelschnitte K, ifp K^ bilden ein „Tripel erster Art* {KK^K^\, dessen Glieder gleichartig eingehen und alle derselben St. Gr. [a] zugeordnet sind, während umgekehrt eine St. Gr. [a] auf 15 verschiedene Tripel der Art (KK^K^\ führt. Von letzteren existiren 63-15. Auch die 144 K" zerlegen sich K gegenüber in 72 Paare, der Art {Kl Kl\, indem K^ jene 4 Dtgn. enthält, welche die 4 Dtgn. von K[ in den beiden ausgezeichneten St. Gr. von K zu Paaren ergänzen. Einem Paar 2. Art {KK'\^ ist ein Kegelschnitt K' „conjugirt*, für welchen (KK'\, {K''K\ ist; derselbe kann dadurch erhalten werden, dass man aus den beiden, gegen einander syzygetischen , St. Gr. von K und K'\ von welchen die erstere keine Dtg. von JST", die zweite keine Dtg. von K enthält, die vier gemeinsamen Dtgn. herausnimmt.
96 Sitzung der math.-phys. Classe vom 9. Februar 1896,
Im obigen Beispiel bilden
JT, JE^ = 13 . 24 . 14 . 23, iT, = 57 • 68 • 58 • 67
ein Tripel erster Art;
Kl = 13 . 14 . 37 • 47, K; = 24 • 23 • 48 • 38
sind zweiter Art gegen K und gegen K gepaart; durch K und K' sind die St. Gr. [1278], [34] ausgezeichnet, welche zu dem, zu {KKl\ conjugirten Z^' = 35 • 36 • 45 • 46 fähren.
2. Siebentripelsysteme. Ein solches System entsteht aus JBT, indem man aus jeder der drei St. Gr. von K diesen Kegelschnitt zu einem Tripel erster Art ergänzt; aber so, dass nur Beziehungen erster Art entstehen. Durch das erste Tripel ist das Quadrupel der vier übrigen Kegelschnitte schon be-
stimmt. So gibt es — = — = 135 solcher Systeme, je 7
Tripel enthaltend.
Einem solchen System entspricht ein Tripelsystem von 7 Steiner'schen Gruppen und zwar je den Elementen des einen Systems die Tripel des anderen (vergl. das System S, Math. Ann. 15, pag. 95). Man erhält dasselbe einfach aus drei syzygetischen St. Gr. [a], [&J, [c], für welche [abe] nicht H=:s 0 ist, in
[«], U>1 [c], [all [acl [bei [a*c]-
3. Eigentliche Siebensysteme zweiter Art. Es gibt 5 ! 36-8 eigentliche (irreductible) Systeme zweiter Art von je 7 Kegelschnitten ft, deren Glieder alle in Beziehung zweiter Art zu einander stehen. Jedes solches System führt auf eine Galois'sche (also algebraisch lösbare) Gleichung 7. Grades. Dieselben sind, je zu 120, den 36*8 Aronhold- sehen 7-Systemen von Dtgn. zugeordnet.
M. Nöther: Die 7-Syateme von Kegelschnitten etc, 97
Ein solches 7-Ä-System ist z. B.
Zo = 12 . 34 . 56 . 78
irj = 14.27.35.68, z, = 15.36.47.28, ^3 = 16.24.57.88,
ir^= 13.25.67.48, ^5 = 26.37.45.18, Zß = 17.23.46.58.
Um die Eigenschaft desselben zu erkennen, dass aus irgend zwei der 7 Kegelschnitte die übrigen sich eindeutig ergeben, beachte man, dass, Kq gegenüber, sich die übrigen 6 in 3 Paare K^ Äg, K^ K^, K^ K^ ordnen, derart, dass der einem Paare {K^ K^^ ,conjugirte" Kegelschnitt Äjg mit K^ (und nur mit K^ zwei Doppeltangenten gemein hat; ebenso bez. {K^K^^ und bez. {K^K^^. Dieselben sechs ft ordnen sich, Kq gegenüber, auch in zwei Cjklen 2. Ordnung, K^ K^ K^ und K^K^K^\ insofern man von (Kq K^^ auf jBT^, von (KqKj^^ auf Jfg, von {K^K^^ auf JTj, und ebenso von {KqK^\ auf ÜT^, von {K,K^\ auf K,, von (KqK^\ auf Z« kommt, genau so wie vorher von (JE*, K^^ auf K^, Und analog ist es, wenn man, statt von K^^ von einem der übrigen sechs fi ausgeht.
Die Gleichung 7. Grades, welche dem 7-Systeme ent- spricht, hat also für die Indices i der 7 Kegelschnitte die metacyklische Substitutionsgruppe
{i\ßi'\- a),
|
1 = 0,1,. |
..6 |
|
a = 0,l,. |
.6 |
|
/» = 1,2,. |
,.6 |
mod. 7.
Ferner ist für das obige System in Kq die Dtg. (78) vor den übrigen dreien insofern ausgezeichnet, als in den 3 Kegel- schnitten ftjg, Ä43, ffg-, welche je den obigen drei Paaren (iTj Äg)^, {K^K^^^ {K^K^^ conjugirt sind, jedesmal die Dtg. (78), aber nur je eine der drei übrigen Dtgn. von Kq vor- kommt; und auch dadurch, dass, wenn man die 6 Kegelschnitte Ä^, , , . Kq auf andere Weise paarweise zusammennimmt und jedesmal den conjugirten ft aufstellt, (78) niemals, die übrigen
1805. Math.-phys. Gl. I. 7
Ö8 Sitzung der mathrphys, Classe vom 9, Februar 1896,
drei DtgD. von K^ aber je zweimal vorkommen. Auf diese Weise ist in dem obigen System das hervorgehobene Aron- hold'sche 7-System von Dtgn. ausgezeichnet, das, combinirt, (12345678) liefert.
Zugleich folgt, dass mittelst des Siebenkegelschnittsystems die 28 Dtgn. alle eindeutig bestimmt sind. Und da die Gleichung für diese Dtgn. eine Gruppe von 8! 36 Substi- tutionen besitzt, das 7-ft-System aber eine solche von 7-6 Substitutionen, so existiren 5! 36 »8 der genannten 7-Sy8teme. Man erhält dieselben sämmtlich aus dem obigen speciellen, indem man etwa erst auf die Doppeltangentenindices 1, 2, ... 5 alle 120 Vertauschungen ausübt, was das zugehörige Aron- hold'sche 7-System nicht ändert, und indem man dann noch diejenigen Substitutionen vornimmt, welche letzteres System in die 36 • 8 Aronhold'schen 7-Systenie überzuführen erlauben.
4. üneigentliche Siebensysteme.
a) Man ergänzt, wie in Nr. 2, K aus jeder der drei St. Gr. von K zu einem Tripel erster Art; aber so, dass die drei Paare A^ A^, B, B^, C^ C^ gegenseitig in Beziehung zweiter Art stehen; z. B.
ir= 12.34.56.78, ^1 = 13.24.57.68, ^,= 14.23-58.67, £, = 15.26.16.25, Bg = 37.48.38.47, 0^ = 17.28.36.45, (7^ = 18.27.35.46.
In diesem System ist K ausgezeichnet. EJs gibt 315.6 der- artige Systeme.
b) Man verfthrt wie in a), nur dass zwei der drei Paare gegen einander in Beziehung erster Art, gegen das dritte in Beziehung zweiter Art stehen. So erhält man aus dem System a) ein System b), wenn man nur Bj B^ ersetzt durch
-Bi = 15. 26. 37. 48, B^ = 16.25-38.47.
Jtf. Nöther: Lie T-Systeme von KegeUchnUten etc. 9d
Auch in diesem System ist K ausgezeichnet, und es gibt 315 -IS derartige Systeme.
In a) und b) zusammen hat man die in Math. Ann. 15 angegebenen 315*24 uneigentlichen Systeme.
c) Zu K nimmt man drei Paare erster Art, die aber alle gegenüber K in Beziehung zweiter Art stehen. Dieselben stehen dann auch gegenseitig in Beziehung zweiter Art; so dass K wiederum ausgezeichnet auftritt; z. B.
ä:= 12.34.56-78, ^, = 13.57.26.48, ^ = 15.37.24.68, J?, = 16.38.27.45, B, = 18.36.2547, (7, = 14.67-28.35, C, = 1746.23.58.
Von dieser Art gibt es 315.192 Systeme; und zu ihnen gehört auch das von Hesse, Cr. J. 49, angeführte.
d) Zu K nimmt man ein Paar A^ A^, das mit K ein Tripel erster Art bildet; ferner JB^ B,, die K gegenüber in Beziehung zweiter Art und gepaart stehen, und welche zu- gleich mit A^ A^ in Beziehung 2. Art sind; endlich die (7, C^, welche noch in Beziehung erster Art (nicht gepaart) zu K stehen; z. B.
Jr= 12.34-56.78, ^, = 13.24-57.68, ^ = 14.23.58-67, Bj = 15- 16-35-36, £, = 25-26-45-46, 0^ = 37.38-47-48, C, = 17.18.27.28.
Auch hierbei ist -K" ausgezeichnet; und es gibt 315. 144 der- artige Systeme.
e) Zu einem Tripel erster Art {KÄ^A^)^ nimmt man eines der am Anfange von Nr. 2 erwähnten Quadrupel (B^B^ C^C^)^^ das aber nicht, wie dort, zu {KA^A^\ gehört, sondern durchaus mit diesem in Beziehung zweiter Art stehe; wie etwa:
ir= 12.34.5678, i4, = 13.24.5768, ^ = 14-23. 5867, Bj = 15.38.27.46, B, = 18. 35-26 47, 0^ = 1637.28.45, 0, = 17-36 2548.
lOÖ Sitzung der fnatK-phys, Classe vom 9, Februar 1895.
Jedem Tripel zugeordnet, hat man hier 8 Quadrupel; da in dem System ein Tripel erster Art ausgezeichnet ist, so gibt es 63« 15-8 derartige Systeme.
Die bezeichneten Systeme erschöpfen alle existirenden Siebenkegelschnittsysteme, ^ie man, von dem Zerlegungs- schema von K ausgehend, leicht beweist.
101
üeber simultane partielle Differentialgleichungen n. 0. mit 3 Variabein.
Von Eduard t. Weber.
{Binffdtmfm 9. Ftbrmar.)
Die Frage nach den gemeinsamen Integralen zweier partieller Differentialgleichungen 2. 0. in 3 Variabein ist von den Herren Valyi*) und Bianchi*) untersucht worden. Nach einer neuen, sehr einfachen Methode, welche nament- lich mehrere der Bianchi'schen Fallunterscheidungen un- nöthig macht, leiten wir im Folgenden die Hauptergebnisse der genannten Untersuchungen noch einmal ab, und wenden uns dann zum Studium eines besonderen Falles,*) der in der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleiichungen höherer Ordnung eine bekannte*) wichtige Rolle spielt.
I.
Wir bezeichnen wie üblich mit pq, rst, uvww bez. die ersten, zweiten, dritten Ableitungen von e nach x und y. Jedes gemeinsame Integral der beiden Gleichungen:
1) Crelle'8 J., Bd. 96, p. 99 f.
3) Atti d. R. Acc. dei Linoei, Rendiconti (4) 11, Nota I p. 218, N. II p. 287, N. III p. 807.
«) Bianchi 1. c, Nota IL
*) Vgl. Darboux, Ann. de TEc. Norm. 7, 1870.
102 Sitzung der maih.-phys. Glosse vom 9, Februar 1895.
F {xyepqrst) = C (U
F'(xyzpqr8t) = C (2)
wo C, G' willkürliche Constanie bezeichnen, befriedigt dann auch ein System Pfaif 'scher Gleichungen von der Form:
dg = pdx-{- qdy, dp = rdx-i- 8 dy,
dq ^= sdx-j- tdy
dr = udx -\- V dy^ ds ^== vdx -\- w dy^
dt = wdx + (bdy
(3) (4)
worin unter uvwcö gewisse Functionen von x . . . t zu ver- stehen sind, die den Gleichungen
M + Bu -\- 8v + Tw =0 (5)
N -\-Bv-^Sw + Tä> = 0 (6)
M'-\- B'u -\-S'v+ T'w =0 (7)
JT +B'v + S'w + r^ = 0 (8)
genügen; dabei ist M== X-\-pZ-\-rP + 8Q; N =^ T + qZ-\- sP -\- tQ
jif'=r+..., 2r=r+.... x=|f-, 2"=^-
Sind die Gleichungen (5) man aber identisch:
B S T 0
OBST
B' s' r 0
0 B' 8' T'
(8) linear unabhängig, hat
= 0,
(9)
SO existirt augenscheinlich kein gemeinsames holomorphes Integral von (1), (2). Besteht (9) nicht identisch, so sind ti. . . to vermöge (5).. (8) als Functionen von x..*t bestimmt, und die Bedingungen dafür, dass das System (3), (4) un- beschränkt integrabel sei, lauten
DJ,v)-DM = DJ^w)-D^v) = Z).(Ä)-Z)» = 0 (10)
E, V. Weber: Simultane pari, Differentialgleichungen II, 0. 103 worin
gesetzt ist.
Indem man aber (5) mit D^, (6) mit i)« diflferentiirt und snbtrahirt, erhält man zufolge einfacher Rechnung:
B {D,iu) - 2),(t>)) + S(D,{v) - D.H
+ T{D,{w)~D,{&)^0. (11)
ebenso aus (7) und (8):
B'{D,{u) ~ D,(v)) + 5'(D,(t;>- J5,(u;))
+ T'(D»-2),(d>)) ZT-: 0 (12)
sodass die Bedingungen (10) nur mit einer einzigen äquivalent sind. Diese eine Bedingung, welche die 2. Ableitungen von jP* und F' nach x , . . t linear enthält, ist nothwendig und hinreichend dafür, dass jede der oo^ Gleichungen (1) mit jeder der oo^ Gleichungen (2) ein Integral mit 4 Constanten gemein habe; dieses Integral ergibt sich durch Integration von (3), (4) unter Berücksichtigung der aus (1), (2) folgen- den Anfangsbedingungen. Die willkürliche Annahme von C' liefert dann für jede der Gleichungen (1), die von C für jede Gleichung (2) ein vollständiges Integral.
Verschwinden dagegen alle 4-gliedrigen Determinanten der Matrix von (5) . . (8) identisch, was wir durch
104 Sitzung der mathrphys, Glasse vom 9, Februar 1895.
M R S T 0 \
N 0 B S T ' ^ ,.^.
M' R' s' r 0 i; = ^ (^^>
JV" 0 R' S' T' ,,
ausdrücken, ohne dass jedoch alle 3-gliedrigen ünterdeter- minanten von (9) zu Null werden, so können wir aus (5) , . (8) drei der Grössen m.. d> durch eine unter ihnen, etwa o>, aus- drücken. Die eine, in (10) enthaltene Bedingung stellt dann eine partielle Differentialgleichung I. 0. mit der unbe- kannten Function cü und den unabhängigen Variabein x..i dar; ist deren allgemeines Integral gefunden, so bleibt noch (3), (4) zu integriren; also:
„Das identische Bestehen der Relationen (13) hat zur Folge, dass die Gleichungen (1), (2) ein ge- raeinsames Integral besitzen, das von einer will- kürlichen Function abhängt und durch Integra- tion gewöhnlicher Differentialgleichungen gefunden werden kann.*
II.
Ehe wir in die genauere Untersuchung des Falles (13) eintreten, schicken wir einige Hilfsbetrachtungen voraus.
Zwei Flächenelemente IL 0.^) E(x., t) und E' (a? + ^^-- t-\'d{) heissen nach Lie vereinigt liegend, wenn sie die Relationen
&z = p6x-{-q6y^ 6p^=^rdx-\-sdyy dg[ = sdx'\rtiy (14)
befriedigen; eine Serie von oo^ Elementen II. 0., deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt, heisst ein Streifen II. 0. Eine infinitesimale Transformation X (f) der Elemente
^) Vgl. meine Arbeit: Theon'e der Fläcbenelemente des Kanmes von 3 Dimensionen, Math. Ann., Bd. 44, p. 468 fif.
E, V. Weher: Simultane pari, Differentialgleichungen IL 0. 105
x..t des Raaines heisse eine infinitesimale Streifen- transformation, wenn sie jedes Element in ein benach- bartes mit ihm vereinigt liegendes überführt. Definiren wir fortan das Symbol d durch die Identität
df^X{f)dl, (15)
80 hat man identisch:
d0 = pdx-\-qdy; dp^=rdx-\-sdy; dq^== sdX'\-tdy (16) und X{f) hat die Form
wo ^fjQor Functionen von x.,t bedeuten. Die oo'' Streifen, welche sich durch Integration der Gleichungen:
dx : dy : da : dp: dq: drids : dt = f :»;:fjpH-»??:|r-i-i;«:f5 + iy^:^:a:T
(18)
ergeben, sollen die Bahn streifen von X(f) heissen.
Zwei vereinigte Elemente x . .t und x '\- dx , .t '\- dt werden durch X(f) in benachbarte Elemente x-\-dx.. und x-\-dX'\-d(X'\-dx) . . . übergeführt, welche wieder vereinigt liegen, wenn man hat:
ddg = dpdx + dqdy -}- pddx + qddy ddp = drdx 4- dsdy -\- rddx + sddy ddq = dsdx + dtdy + sddx + tddy
(19)
Subtrahirt man von diesen Gleichungen bez. die folgen- den drei:
dds = dpdx -f dqdy -\- pddx + qddy ddp = drdx -|- dsdy + rddx + sddy ddq = dsdx + dtdy + sddx + ^ddy
(20)
106 Sitzung der math.'phys, Glosse vom 9, Februar 1895,
welche ausdrücken, dass die Elemente x -{■ dx., t-^- dt und x-^ öx-^- d{X'\'dx),,. t'\' dt-^- dit-^-öt) vereinigt liegen, so folgen die Beziehungen:
dpdx — dpdx '\- dqdy — dqdy = 0 drdx — drdx -\- dsdy — dsdy = 0 dsdx — dsdX'\- dtdy — didy = 0
von denen die erste wegen (14), (16) von selbst erfüllt ist. Die andern beiden schreiben wir abkürzend:
{dd\ = 0, {dd\ = 0. (21)
Da umgekehrt aus (21) wegen (20) die Relationen (19) folgen, so haben wir den Satz:
, Damit die infinitesimale Streifentransformation X(/*) 2 benachbarte vereinigt liegende Elemente wieder in solche überführe, ist nothwendig und hinreichend, dass jene Ele- mente den Bedingungen (21) genügen, wo d durch (15) definirt ist."
Es erhebt sich nun die Frage: Wie muss X{f) be- schaffen sein, damit irgend 2 benachbarte Elemente, die (14), (21) befriedigen, in benachbarte vereinigte Elemente übergeführt werden, die wiederum den Relationen (21) genügen? Dazu ist nothwendig und hinreichend, dass man identisch habe:
d{d6\-ix,{dd\i-ti,{dd\ ^ ^
unter Aj . . /i^ unbestimmte Factoren der Grössenordnung 6X verstanden. Führt man die Differentiationen links mit Rück- sicht auf (14), (15) aus, und vergleicht die Coefficienten von dx^ dy^dr^ 08^ dt auf beiden Seiten, so folgt, wenn partielle Differentialquotienten durch untere Indices angedeutet werden :
(23)
(24)
E. V. Weher: Simultane part, DifferenHalgleidiungen IL 0. 107
Xa + qMS) — f ^jf (ö) + c^^jf W — ^^A^)
— Ziy + ^f, — f ^, + 01], — v<^B = — Aj»; — A,|
Xa + aM() - f ^. W + ^MV) - VM'') 1 Xr + (TJy(f) - f Jy(a) + TZf^Ciy) - i;zfy(r)
air — f Gr + rrjr — lyZr = — /i^f
— Xi? + oSt — f a^ + rt]i — ^T| = — /igi;.
Da es sich augenscheinlich um eine Eigenschaft der Bahnstreifen handelt, so kann man unbeschadet der All- gemeinheit S ^-^ 1 setzen, wodurch sich obige Formeln etwas vereinfachen.
Gendgen die |, 97, ^, o, t identisch den Relationen, welche durch Elimination von A^Ag/ij/x, aus (23) (24) folgen, so hat das Bahnstreifensystem (18) ofifenbar folgende Eigenschaft:
,Hat man einen beliebigen Streifen 5, der den Differentialgleichungen (21) genügt, so bilden die 00^ Streifen des Systems (18), welche bez. von den 00^ Elementen von 8 auslaufen, eine Fläche, da ja je 2 aufeinanderfolgende dieser Streifen nach ihrer ganzen Ausdehnung vereinigt liegen.*
Wir nennen ein solches System von 00' Streifen „ein unbeschränkt integrables Streifensystem.*"
108 Sitzung der mcUh.-phys, Glosse wm 9. Februar 1895,
III.
Wir setzen in (17) f = 1, tj = A, und legen der im Uebrigen beliebigen Streifentransformation X (f) nur die Bedingung auf, dass die 2 totalen Differentialgleichungen (21) eine integrable Combination liefern sollen, d. h. eine Relation der Form:
dF^-Q,{dd),-\-Q,idd\ (25)
erfüllt sei, worin F eine Funktion von x.,t bedeutet, und unter Gebrauch der Abkürzungen pag. 102:
dF ^ Mdx + Ndy + Rdr + Sds + Tdt
gesetzt ist; q^ q^ sind unbestimmte Faktoren der Grossen- ordnung lidX,
Indem man in (25) die Coefficienten der willkürlichen Differentiale auf beiden Seiten gleichsetzt und ^j, q^ eliminirt, folgen die Bedingungen
RA^ — 8A + T = 0, (26)
B^ + {S-ItA)p+M=^ 0 dx ' ^ ^dx '
dx ^ ' dx '
Dies sind aber zusammen mit
(28)
^ = p + 5^, p-=.r+sA, p^=s + tA (27a) dx '^ ^ ^ dx dx ^ ^
nichts anderes als die Gharakteristikengleichungen der par- tiellen Differentialgleichung (1). Da aus (26), (27), (28) umgekehrt (25) folgt, so gilt der Satz:
U. p. Weber: Simultane part, Differentialgleichungen IL 0, 109
«Die Bedingung, dass die Gleichungen (21) eine integrable Gombination öF zulassen, ist äquivalent mit der andern, dass die Bahnstreifen yonX(/^ den Charakteristikengleichungen von jF= C gentigen.*
Die Gleichungen (28) sind völlig äquivalent mit den folgenden :
dx dx ^ dx
unter w . . a> die allgemeinsten Funktionen von x..t ver- standen, die (5), (6) befriedigen; berechnet man nämlich uvw aus (29) und substituirt in (5), (6), so kommen gerade wieder die Gleichungen (28); umgekehrt, sind die letzteren befriedigt, so gentigen alle Werthsysteme uvtvcb^ die (29) erfüllen, auch den Relationen (5), (6).
Des weiteren verlangen wir jetzt, dass die Gleichungen (21) noch eine zweite, von (25) unabhängige integrable Gom- bination zulassen, d. h. dass man ausser (25) noch habe:
dF" =^e[(dd\-heUd^\ (30)
mit der Bedingung
QiQ',-Q2Qi^(> (31)
Es folgt zunächst, dass die Gleichung
B'A^ -S'A + T' = 0 (32)
mit (26) eine Wurzel gemein hat, die wir gerade mit A bezeichnen wollen ; es besteht also (9) identisch. Ferner mtissen alle Systeme von Funktionen u . . c5, die (29), mithin nach obiger Bemerkung auch (5), (6) erfüllen, nun auch den Rela- tionen (7), (8) gentigen ; da die Gleichungen (5) . . (8) somit eine der Grössen u,,cb ganz willkürlich lassen, mtissen tiberhaupt alle 4-gliedrigen Determinanten (13) verschwinden. Umge- kehrt, ist letzteres der Fall, ohne dass alle 3-gliedrigen
110 Sitzung der mathrphys, Classe vom 9. Februar 1895.
Determinanten von (9) null werden, so kann man ans dreien der Gleichungen (5) . . (8), etwa aus (5), (6), (7) die uvw in der Form berechnen:
w = Jj — A^cb^ v =i fcg + -4*ö>? u; = Äj — A(b (33)
wo A die wegen (9) vorhandene gemeinsame Wurzel von (26), (32) bedeutet; man erkennt dies leicht durch Anwendung von Sylvester's dialytischer Eliminationsmethode auf (20), (32). Setzt man jetzt
Q = h^'\'Ak^, a = Ä, + ^Ä3, ^ = *8 (34)
so genügt das Streifensystem, das durch die Gleichungen
^ ^ j j, (35)
da , ^ j dr ds dt ^ ^
definirt ist, wegen (34), (33) den Relationen (29), worin jetzt W..CÜ Punktionen von x,.t bedeuten, die sowohl (5), (6), als auch (7), (8) befriedigen. Wir haben somit den Satz:
„Das identische Bestehen der Relationen (13) ist die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die beiden Differentialgleichungen (1), (2) ein System von oo'' Charakteristiken miteinander gemein haben; dieses System ist durch (35), (34), (33) ein«- deutig festgelegt."
Setzt man in (27), (27a), (29) für A die zweite Wurzel») A^ von (26), so erhält man die Definitionsgleichungen des zweiten Gharakteristikensystems von F. Nennen wir einen Streifen der die Differentialgleichung <J JF' = 0 befriedigt, kurz einen Streifen von F\ so gilt der Satz:
^) Dass die Gleichungen (2G), (82) keine verschwindenden Dis- kriminanien besitzen, ist, wie man leicht sieht, eine nothwendige Voranssetzung ffir die Gültigkeit obiger Entwickelangen.
E, V, Weher: Simultane pari, Differentialgleichungen IL 0. 111
, Die Relationen (13) sind die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass alle charakte- ristischen Streifen des 2. Systems von F Streifen von J^', sowie alle charakt. Streifen des 2. Systems von F' Streifen von JF seien/ Wegen des völligen Reciprocitäts- verhältnisses zwischen F und F' genügt es, den ersten Theil der Behauptung zu erweisen.
Wir haben zu zeigen, dass jede der Gleichungen (5), (6) und:
M'-tA,N'+V:u+{S>-]'B'A,)v^{T'+S'A,)W'^rÄ^(b = 0
eine Folge der beiden andern ist. Rändert man aber die Matrix dieser 3 Gleichungen mit der Horizontalreihe N*^ 0, It\ S\ T\ und der Verticalreihe 0, 0, 0, 1, so folgen nach leichter Umformung die Bedingungen:
M R 8 T 0 0
N 0 R S T 0 M' R' S' T' 0 -A, N' 0 R' S' T' 1
= 0
welche, wie leicht ersichtlich, mit (13) vi3llig äquivalent sind, w. z. b. w.
Wir behaupten nun:
,Das gemeinsame Charakteristikensystem (35) von (1), (2) ist ein unbeschränkt integrables Streifen- system.*
Es genügt zunächst den beiden Identitäten (25), (30); ersetzt man darin die 6x.. durch die dx.,^ so folgt:
dF ^- 0, dF" ^ 0 (36)
Differentiirt man jetzt (25), (30) mit dem Symbol d und beachtet die für jedes f geltende, leicht zu verificirende Identität
d{öf)-d{df)
dp '3g *
112 Sitzung der math.-phys. Glaste vom 9. Februar 1895. so fo^ wegen (36):
e[d{dd),-\-e',d{dd),-jr{de[-P-Xdd\+iciQ^-Q'Xäd\ -- o
woraus sich wegen (31) zwei Identitäten der Form (22) er- geben, w. z. b. w. Die gemeinsamen Integralflächen von (1), (2) werden demnach durch folgenden Process erhalten:
.Man bestimme einen Streifen II. 0. 5, der den Differentialgleichungen (14), (21) genügt, worin die d durch (35) definirt sind, oder auch (was wegen (25), (30), (31), auf dasselbe herauskommt) irgend einen gemeinsamen Streifen von F und F'; sodann durch Integration von (35) die oo^ Streifen, welche bez. von den einzelnen Elementen von S auslaufen und durch sie bez. eindeutig festgelegt sind. Diese 00^ Streifen ordnen sich dann zu einer gemeinsamen Integralfläche von (1), (2) zusammen/
Wir können für den Ausgangsstreifen S y und z als willkürliche Funktionen von x annehmen, femer in einem beliebigen Punkte der so definirten Raumcurve ein Werth- system j), g, das die Relation de = pdx -\' qdy befriedigt, was 00^ Möglichkeiten bietet; endlich können wir noch für st beliebige Anfangswerthe festsetzen, wodurch dann auch der Anfangswerth von r bestimmt und vermöge (14), (21) der Raumcurve entlang ein Streifen festgelegt ist. Also:
„Bestehen die Relationen (13), so gehen durch jede Raumcurve oo^ Integralflächen von (1), (2) hin- durch.*
Soll eine Integralfläche von (1) auch (2) befriedigen, so müssen die auf ihr verlaufenden oo* Streifen des 1. Cha- rakteristikensystems von (1) der Gleichung
dF' = 0 (37)
genügen; da aber das System der Relationen (27), (27a),
H. V, Weher: Simultane part. Differentialgleichungen II. 0. 113
(28), (37) augenscheinlich auf (35) zurückführt, so schliesst man leicht, dass durch unsere Methode alle gemeinsamen Integrale von (1), (2) geliefert werden.
Das Bemerkenswerthe dieser Methode besteht darin, dass sie ein vollkommenes Analogon zu der von Lagrange, Ghar- pit, Monge begründeten, von Lie geometrisch präcisirten Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen 1. 0. darstellt. In der That lässt sich auch ein grosser Theil der an die genannte Methode sich anschliessenden geometrischen Sätze auf unsern Fall übertragen, was indes hier nicht weiter ausgeführt werden soll. Worauf es uns hier vor Allem an- kam, war, den Begriff des unbeschränkt integrabeln Streifen- systems aufzustellen und an einem besonders einfachen Falle zu erläutern.
1895. Matb.-ph7B. Gl. 1.
115
Ueber Blei- nnd Fahlerz-Gänge in der Gegend von Weilmünster nnd Rnnkel in Nassan.^
Von F. T. Sandberger.
(Singdaufm 9, FOruar,)
Die fragliche Gegend gehört zu der dem nordwestlichen Abhänge des Taunusgebirges vorgelagerten Hügellandschaft, welche vielfache Gesteinswechsel bemerken lässt. Dachschiefer der oberen Abtheilung des ünterdevons (Orthoceras-Schiefer) sind an vielen Orten entwickelt und werden bei Langhecke seit Jahrhunderten abgebaut. Nur zuweilen, z. B. bei Lützen- dorf nächst Weilmünster, Eufingen und Niederselters ent- halten sie Leitversteinerungen (Orihoceras trianguläre und commutatum, Goniatites compressus u. a.), die freilich auch auf grossen Strecken fehlen. Graugrüne ganz in Schalstein umgewandelte Diabastuffe sind ebenfalls sehr häufig und ebenso wie eruptive dichte Diabase für das Vorkommen der Erze von hervorragender Bedeutung.
Eine grosse Anzahl von aufgelassenen Gruben, sowie einige noch im Gange befindliche sind in diesen Gesteinen unter eigenthümlichen Verhältnissen betrieben, wie Verfasser z. Th. noch selbst gesehen hat. Dieselben liegen fast sämmt- lich in einem von NO nach SW von Weilmünster bis Weyer
^) Behufs der geographischen Orientirang empfiehlt sich die der Beschreibung des Bergreviers Weilbnrg von Fr. Wenckenbach, Bonn 1879f beigefugte Uebersichtskarte.
8*
116 Süzung der tnatK-phya, Glosse wm 9, Februar 1895.
verlaufenden Zuge. Am besten beobachtet wurde das Vor- kommen von Weyer bei Runkel,^) welches längere Zeit von dem um den naßsauischen Bergbau hochverdienten Geh. Berg- rath Fr. Odernheimer geleitet und erst 1846 aufgelassen wurde. Die Schichten streichen hier h. 4 — 5, die drei Gänge aber h. 7 — 9, jenseits h. 9 hörte die Erzführung auf. Die Erze waren grossblättriger Bleiglanz mit geringem und Fahl- erz mit höherem Silbergehalte. Als Gangarten traten Braun- spath und Quarz auf, an letzteren waren die Erze gebunden. Bleiglanz fand sich hauptsächlich, wo der Thonschiefer an dichten Diabas anstiess, Fahlerz dagegen, wo er mit aufge- lockertem Schalsteine wechselte, seltener kamen beide Erze gemengt vor. In der Teufe legten sich die Schichten ganz flach und der Diabas wurde immer mächtiger und dichter, während die Gangspalte ganz zusammengedrückt und nur als Besteg erschien. Es unterliegt wohl keinem Zweifel, dass der in höherer Teufe vorgefundene Diabas nur Aus- läufer eines Stockes in der Teufe darstellte, welcher noch keine Auslaugung erfahren hatte und daher auch keine Erze liefern konnte. Was ich in der letzten Zeit des Betriebs (1840) selbst auf der Grube Mehlbach gesehen habe, stimmt ganz mit Odemheimer*s Bericht über Weyer überein, auch hier erschien der damals betriebene Erzgang in dichtem Diabase, dessen Klüfte zuweilen mit Verwachsungen von blauem Asbest und Kalkspath ausgefüllt waren, völlig zer- drückt und nur als Besteg. Es unterliegt also keinem Zweifel, dass beidemale die Aufreissung der Gangspalte in dem über- aus zähen Diabase aus mechanischen Gründen unmöglich war und selbstverständlich auch eine Injection der Mineralien der Erzgänge von unten im Sinne der damals noch allgemein angenommenen Erzgang-Theorie ganz unzulässig erscheint.
^) Odernheimer in b. Zeitschr. Das Berg- und Hfittenwesen im Herzogthum Nassau. L S. 90 f.
F. 17. Sandberger: üeber Bleir und FMerz-Gänge, 117
Durchaus analog verhalten sich die Fahlerz führenden Gänge der Gruben Eduard und Alter Mann bei Langheeke, Goldkante bei Weinbach, vielleicht auch der Grube Laubus bei Haintchen.
Die Grube Alter Mann resp. die zu ihr gehörende Grube Rothenküppel bietet das einzige mir bekannte Beispiel von höflichem, d. h. mit Erzen imprägnirtem Nebengestein. Der Schalstein im Hangenden des Bleiglanzganges enthält nämlich eingesprengte und angeflogene Kupfererze, besonders Kupferlasur^) in Menge; doch kommen auch kleine Partien vor, welche ganz den Habitus von aus Fahlerz entstandenem Ziegelerz besitzen, wie ich s. Z. selbst gesehen habe.
Die Mineralien der Gänge zeigen keine bestimmte Reihen- folge, besonders der Braunspath, welcher in der Regel unter, aber wie auch anderwärts stellenweise auch über dem Quarze erscheint. Im Ganzen kommen folgende vor:
1. Braunspath in schwachgekrümmten Rhomboedern von 2,94 spec. Gew. oder derben Massen, im frischen Zu- stande von rein weisser Farbe. Auf den Halden geht die Farbe sehr bald in das Gelbliche und schliesslich Tiefbraun über, weil Eisen- und Manganoxydul in höhere Oxydations- stufen umgewandelt werden. Nach dem spec. Gew. würde der Braunspath Breithaupt^s Tautoklin zunächst stehen.
2. Ealkspath findet sich sparsam in kleinen wasser- hellen Krystallen R*. R über dem Braunspath. Ich bin sehr geneigt, ihn für ein Zersetzungsprodukt des letzteren anzu- sehen, welches bei der Oxydation der übrigen Bestandtheile abgeschieden worden ist.
3. Quarz. Ist einer der wichtigsten Bestandtheile der Gänge und findet sich entweder derb und von grauweisser
1) Wenckenbach, Jahrb. d. nasa. Vereins für Naturkunde. XXXI u. XXXII. S. 100.
118 Sitzung der math^-phys, Glosse vani 9. Februar 1895,
Farbe oder in farblosen kleinen KrystÄllgruppen oo R. -£- R, welche nicht selten krystallisirtes Fahlerz umscfaliessen.
0 202
4. Fahlerz häufig krystalliairt in den Formen ^'—^r-'^^*
202» wozu selten noch - hinzukommt, oder derb. Das Mi- neral von 4,82 spec. Gewicht ist stahlgrau mit rein schwarzem Strich. Es gibt vor dem Lothrohre sehr deutliche Reactionen auf Antimon, Arsen und schwache auf Wismuth; Kobalt ist in demselben nicht enthalten, sondern nur Kupfer, Eisen, Zink und wechselnde Quantitäten von Silber, welche zuweilen bis zu 1 proc. steigen. Es handelt sich daher um ein Antimon- Arsen -Fahlerz, welches den Vorkommen von Musen bei Siegen und Brixlegg zunächst stehen dürfte. Wie ersteres zeigt es auch zuweilen einen dünnen Ueberzug von Kupfer- kies, über dessen Bedeutung ich mich wiederholt ausge- sprochen habe.*) Von den Producten der Oxydation des Fahl- erzes wird später die Rede sein.
5. Antimonsilberblende (dunkles Rothgültigerz). Kry- stalle dieses stets über Fahlerz auftretenden Erzes sind sehr selten, doch fand ich deutliche Säulenflächen an Stücken von Grube Mehlbach, aber die Enden waren nicht gut aus- gebildet. Derbes Rothgültigerz ist in früheren Jahrhunderten offenbar auf mehreren Gruben getroffen worden. So berichtet Wenckenbach*) nach den Acten über eine 2*/a Gentner schwere Masse, welche um 1600 auf der Grube Altermann bei Langhecke eingebrochen ist. Von Weyer wird kein Rothgültigerz erwähnt.
6. Bleiglanz. Das Mineral ist auf allen Gängen und zwar in grossblättrigen Aggregaten vorgekommen, aber in grösserer Menge nur zu Weyer am Contacte von Thonschiefer
^) Untersnchungen über Erzgänge. II. S. 289 f. '^) Jahrb. d. nass. Vereins f. Naturkunde. XXXL u. XXXII. S. 196.
F. V. Sandberger: üeber Blei- und FaMerz-C^önge. 119
mit dicbtem Diabas, sowie in faustgrossen Knollen in Braun- spath eingewachsen auf der Grube Goldkante bei Weinbach unweit Weilburg; auf der Grube Mehlbach hat er nur eine untergeordnete Rolle gespielt. Krystalle sind mir nicht zu Gesicht gekommen. Der Silbergehalt ist gering, nur 1 Loth im Gentner.
7. Kupferkies. In geringer Menge derb und zuweilen in verzerrten quadratischen Sphenoiden krystallisirt auf Quarz, sowie sehr selten als dünner Deberzug auf Fahlerzkrystallen auf Gnibe Mehlbach. Eine bergmännische Wichtigkeit hat er nicht besessen.
Zersetzungs-Produote. a) Yon Fahlerz.
8. Gelbeisenerz. Wie an vielen anderen Orten beginnt auch an den Fablerzen der hier besprochenen Erzgänge die Zersetzung mit der Bildung einer Menge von Eltiftchen, in welchen schwefelsaures Eisenoxydul und Kupferoxydul ent- halten ist und durch destillirtes Wasser ausgezogen werden kann. Das Erz geht dann in eine matte schmutziggrüne Masse und schliesslich in eine ockergelb gefärbte erdige Substanz über, welche weder Kupferoxyd, noch Arsen oder Antimon enthält, wohl aber Eisenoxyd und viel Wasser, daher als Gelbeisenerz bezeichnet werden muss. Es ist der letzte Rest des Erzes, aus welchem auch Arsen und Antimon durch alkalische Gewässer ausgelaugt worden sein müssen; Ziegelerz kommt nicht vor.
9. Eupferschaum in blätterigen Partien bedeckt zu- weilen die eben erwähnte graugrüne Schicht des Fahlerzes, ist aber bisher nur auf der Grube Mehlbach als Seltenheit gefunden worden.
10. Thrombolith. Aus dem Gemenge mit arsensaurem Kupferoxyd scheidet sich stellenweise ein mattgrünes, halb-
120 Sitzung der math.-phya, Glosse vom 9. Februar 1895.
erdiges Mineral aus, welches aus Eupferoxyd, Antimonsaure und Wasser mit wenig Eisenoxyd besteht und ganz mit dem Thrombolith von Rezbanya übereinstimmt.
11. Eupferlasur. Ueberdeckt die gelbe Zersetzungs- schicht in kugeligen und traubigen Aggregaten, die zuweilen in deutliche Krystalle ooPoo«OP* — P-ooP auslaufen. Be- sonders schon von Orube Eduard bei Langhecke.
12. Malachit in kleintraubigen Aggregaten findet sich in geringerer Menge zwischen und über der Kupferlasur und muss als jünger wie diese gelten. Die kohlensauren Eupfer- oxyde sind daher sehr spät, vermuthlich durch Zersetzung des Vitriols durch kohlensauren Ealk des Braunspaths aus- gefällt worden.
13. Eupfermanganerz von schwarzer Farbe und brau- nem Strich tritt ebenfalls in kleintraubiger Form als jüngstes Eupfererz über den bisher erwähnten Mineralien auf, genau so wie bei Saalfeld, Eamsdorf und Freudenstadt.
b) von Bleiglanz.
14. Weissbleierz. Ist auf Grube Mehlbach in kleinen bündelartig zusammengehäuften Aggregaten in geringer Menge gefunden worden.
15. G^rttnbleierz. In dünnen grünen Ueberzügen auf Quarz gleichfalls auf Grube Mehlbach.
16. Mennige in deutlichen Pseudomorphosen nach Weiss- bleierz, welche in zerfressenem Quarze eingewachsen waren. Ich habe diese merkwürdige und seltene Pseudomorphose schon 1845^) bekannt gemacht, mich aber einer Erklärung derselben enthalten. Auch jetzt bin ich noch nicht zu einer solchen gelangt, da ich mich den von Blum^) gegen eine
1) Jahrb. f. Min. 1845. S. 677.
^) I. Nachtrag zu den Pseadomorphosen. S. 92.
F. V. Sandberger: Ueber Blei- und FMerz-Gänge. 121
Entstehung derselben durch Einwirkung von Hitze vorge- brachten Bedenken nicht verschliessen kann. Dass in ur- alter Zeit einmal Betrieb durch Feuersetzen stattgefunden haben könnte, ist ja nicht zu leugnen, aber eine so schöne Erhaltung der Form nur denkbar, wenn die Wärme all- mählich auf das von Quarz umschlossene Weissbleierz ein- gewirkt hätte. Leider besitze ich das Belegstück nicht mehr. Solche von anderen Fundorten, die ich untersucht habe, zeigen keine Erscheinungen, welche auf Einwirkung hoher Temperatur deuten.
Wenn man sich die Art der Ausfüllung der Gänge klar zu machen sucht, so ist es vor Allem nöthig, die Bestand- theile der Nebengesteine in Betracht zu ziehen.
In erster Linie sind die Schalsteine näher zu charakteri- siren. Von diesen liegt zwar eine Anzahl von Analysen von Neubauer und Dollfus^) vor, wobei aber nur die bei gewohnlichen quantitativen Analysen übliche Menge von l—l^a g untersucht wurde; Schwermetalle, Antimon und Arsen sind in diesen gewöhnlich nicht berücksichtigt. Allein das constante Auftreten von Beschlägen secundärer Kupfer- erze in den Schalsteinen und das Gebundensein der Kupfer- kiesgänge an sie hatte mich schon 1852^) veranlasst, den Kupfergehalt des Nebengesteins als Quelle dieser metalli- schen Ausscheidungen zu bezeichnen. Dieser ist nun durch Analysen mit 10—12 g Substanz unzweifelhaft nachgewiesen worden, aber daneben auch in einigen ein solcher von Antimon, Arsen und Zink, d. h. sämmtliche Bestandtheile des Kupferkieses und des Fahlerzes. Um auf Silber zu prüfen, hätte noch eine weit grössere Menge Schalstein in Arbeit genommen werden müssen, da es auch in den Fahl- erzen nur in geringer Menge auftritt. Trotzdem ist aber
1) Jahrb. d. nass. Vereins f. Naturkunde. X. S. 49 fiP.
2) Jahrb. d. nass. Vereina f. Naturkunde. VUL S. 6.
122 Sitzunff der mathrphys, Glosse vom P. Februar 1895.
sein Vorkommen nicht zweifelhaft und seine locale Concen- tration za RotbgQltigerz augenfällig. Dass das Fahlerz in den Gängen an Schalstein als Nebengestein gebunden war, ergibt sich aus obigen Bemerkungen als nothwendig. Das zur Umwandlung der Oxyde in Schwefelmetalle nothige schwefelsaure Natron fehlt in keinem Schalstein und organi- sche Substanz ist ja in allen vorhanden, welche einiger- massen zersetzt erscheinen.
Anders verhält sich der Bleiglanz, welcher vorzugsweise da einbrach, wo Thonschiefer das Nebengestein bildete. Es erscheint auffallend, dass die Schalsteine kein Blei enthalten, während dasselbe doch in Ealkspathklüftchen jüngerer Diabase z. B. in der Gegend von Weilburg und Diez häufig genug als Bleiglanz in Begleitung von Zinkblende und Kupferkies beobachtet wird, aber die Thatsache bleibt desshalb doch bestehen. Dagegen ist Blei in den Orthocerasschiefern und auch älteren (ßhipidophyllen-)Schiefern der Lahngegend sehr verbreitet, während Kupfer in diesen nur untergeordnet auf- tritt. Es wird das wohl der Grund sein, warum Bleiglanz vorzugsweise in den Gangklüften zwischen Thonschiefer und dichtem Diabase auftrat und nur ausnahmsweise mit Fahlerz zusammen vorkam.
Betrachtet man femer die Gangarten, so lässt sich im Allgemeinen behaupten, dass Braunspath schon in einer frühen Periode der Auslaugung des Nebengesteins reichlich gebildet wurde, da er schon als solcher in dem Schalstein vorhanden war, während Quarz erst bei sehr starkem Angriffe des Nebengesteins aus dessen Silicaten abgeschieden werden konnte, wobei auch die schwermetallischen Bestandtheile desselben in Freiheit gesetzt und auf bekannte Weise in Schwefel- metalle umgesetzt wurden. Dass dieselben in der Regel erst mit dem Quarze auf der Gangspalte erscheinen, ist ako sehr erklärlich.
Vergleicht man andere Gänge, so erscheint das hier
F. V. Sandberger: Ueber Blei^ und Fahlerzgänge» 123
geschilderte Vorkommen gewissermassen als eine Miniatur- ausgabe der an Diabas mit silberhaltigem Augit (0,001 Silber) gebundenen weltberühmten Gänge von Andreasberg am Harze; auch mit Pfibram bestehen gewisse Analogien. Entfernter sind schon diejenigen mit dem Wolfacher Wenzelgange, da zwar die Art der Ausfüllung, nicht aber auch die Lagerungs- verhältnisse mit den nassauischen Uebereinstimmung bemerken
Die Ausbeute war im vorigen Jahrhundert nicht unbe- trächtlich und yermuthlich durch häufige Einbrüche von Rotbgültigerz bedingt, die aktenmässig festgestellt sind; von der Grube Mehlbach gibt es auch eine hübsche Ausbeute- münze mit dem Bilde des damaligen Regenten, Fürsten Carl August von Nassau -Weilburg. Gegenwärtig würde eine Wiederaufnahme des Bergbaues angesichts des ungünstigen Verhaltens der Gänge in der Teufe und des tiefgesunkenen Preises des Silbers keine Aussicht auf Erfolg haben.
125
üeber Leucocytenwandemiig in den Schleimhänten des Darmkanales.
(Mit 17 Figuren auf Taf. I u. II.) Von N. Bftdinger.
{EktgtUn^ 6, Aprü.)
L Umwandlung der lieberktthn'schen DrOsen dnrch Leucocyten beim Hunde.
In meinem Au&atz über die Umbildung der Lieberkühn- schen Drüsen beim Menschen^) habe ich zu zeigen versucht, dass überall dort in der Darmschleimhaut,' [wo Leucocyten- foUikel vorhanden sind, die Lieberkühn'schen Drüsen voll- ständig fehlen. Ich sachte zu zeigen, dass die Follikel der Darmschleimhaut, indem dieselben aus der Tunica propria mucosae, sich vergrossernd, vorrücken, die Lieberkühn^schen Drüsen derart umwandeln, dass aus den Gylinderepi- thelien der Drüsen Rundzellen werden, die sich von den Leucocyten nur äusserst schwer unterscheiden lassen.
Diesem Vorgang, der sich in dem Dünn- und Dickdarm des Menschen, insbesondere in dessen Wurmfortsatz unaus- gesetzt vollzieht, konnte erst dann eine Bedeutung zuge- sprochen werden, wenn ein ähnliches Verhalten zwischen
^) Sitzungsberichte der math.-phys. Classe der K. b. Akademie der Wiss. 1891, Bd. XXI.
126 Sitzung der mcUh.-phya, Glosse vom 9, Februar 1896.
den Leucocyten und den Lieberkühn^schen Drüsen auch bei den Thieren nachgewiesen ist.
In meinen Figuren 12 und 13 habe ich dieselben Ver- änderungen, die sich in der Schleimhaut des Darmes beim Menschen vorfinden, in genauer Gopie vom Hundedarm zur Darstellung gebracht.
An der Abbildung (Fig. 12) zeigte ich im Hundedarm, und zwar im Wurmfortsatz, eine Schleimhaiitbacht mit normal besetzten Cylinderepithelien an der freien Oberfläche (Kg. 12, Zahl 1.) An die Epithelien der Bucht grenzt ein Leucocyten- haufen an, der bis zur Cylinderepithellage vorgerückt ist (2). Während zu beiden Seiten der Wanderzellengruppe viele normale Lieberktihn'sche Drüsen auf dem Quer- oder Schief- schnitt getroffen sind, sieht man in dem Leucocytenhaufen nur vier Lieberkühn'sche Drüsen, welche kein normales Aus- sehen darbieten. Dieselben sind vergrössert, weil ihr Zellen- material in Unordnung gerathen ist. Die Gylinderzellen sind theilweise gelockert und ihre Kerne liegen nicht mehr in einer Reihe, sondern sie sind unregelmässig angeordnet (Fig. 12, Zahl 5, 6 und 7).
Dass die Wanderzellen schon in der Nähe durch die Darmschleimhaut durchgedrungen sind, erkennt man an jener Masse, welche bei der Zahl 8 und 9 angegeben ist. Die- selbe zeigt bedeutende Verkleinerungen und Zerfall der lym- phoiden Zellen,
Von einer anderen Stelle des Hundedarmes wurde die Fig. 13 gewonnen. Die Leucocyten dringen ebenfalls gegen die Darmschleimhaut vor, und nachdem dieselben die Lieber- kühn'schen Drüsen erreicht haben, beginnt durch das Ein- dringen derselben zwischen die Cylinderepithelien der Drüsen zunächst die Lockerung. Die Eittsubstanz löst sich und die Epithelcylinder werden zu Rundzellen.
Während an der Schleimhautseite bei der Zahl 1 und 2 die Gylinderzellen noch geordnet neben einander stehen,
N. Büdinger: üeber Leucoeytentoanderung, 127
zeigen sich die gegenüberstehenden Gruppen schon so ver- ändert, dass dieselben kaum mehr als Cylinderepithelzellen erkannt werden. Bei der Zahl 3 sind fast alle Epithelien so formell umgeändert, dass dieselben einen ovalen Kranz von mehr oder weniger vollständig umgewandelten Rund- zellen darstellen. Man darf wohl sagen, dieselben haben Leucocyten-Eigenschafben angenommen. Bei der Zahl 2 ist die Tunica propria der Drüsen mit ihren Kernen im halben Umkreise noch erhalten, während die übrigen beiden Drüsen fast vollständig ihren normalen Charakter verloren haben.
Die ganze übrige Umgebung ist von Leucocyten durch- setzt und bei einem Vergleich dieser mit den Rundzellen, die aus den Epithelzellen hervorgegangen sind, besteht der wesentliche Unterschied darin, dass die Kerne der Rundzellen viel grösser sind als jene der Leucocyten, ein Verhalten, das ganz gut in der Abbildung zum Ausdruck kommt. Ein weiterer Unterschied besteht auch noch darin, dass die Kerne der Leucocyten etwas intensiver gefärbt erscheinen, als jene der Epithelzellen, insbesondere dann, wenn man blaue Farb- stoffe anwendet.
Auf Grund der Studien an einer grosseren CoUection von Darmpräparaten vom Hunde kam ich zu der Ueber- zeugung, dass die Umwandlungen der Lieberkühn- schen Drüsen durch Leucocyten-Einwanderungen sich beim Hunde ebenso vollziehen, wie es für den Menschen schon früher von mir beschrieben wurde, insbesondere, wenn ein grosser und reifer Follikel sich den Drüsen nähert.
Ich will zur Zeit nicht den Satz aussprechen, dass die Cylinderzellen der Lieberkühn'schen Drüsen direkt zu Leuco- cyten umgewandelt werden. Diese Anschauung würde ja gegen die herrschende Schulmeinung gerichtet sein, und doch wage ich zu behaupten, dass zwischen den Leucocyten in der Darmschleimhaut und den aus den Zellen der
128 Süzung der mathrphys, Glosse vom 9. Februar 1895.
Lieberkfihn*schen Drüsen entstandenen Rundzellen kein wesentlicher formeller unterschied besteht.
W. Flemming^) sagt: ,Wenn Wanderzellen ebenso aussehen, sich ebenso bewegen, ebenso wechselnde und polymorphe Eernformen und wechselnden Kern- inhalt zeigen, wie ausgewanderte Blutleucocyten oder Lymphzellen, wie will man dann beide noch auseinander halten?*'
Ohne mich hier in die vielumstrittene Frage über die verschiedenen Arten von Leucocyten näher einzulassen, kann ich doch nicht umhin, auf die beschriebenen Beziehungen zwischen den wandernden Leucocyten der Darmschleimhaut und dem Epithel der Lieberkühn*schen Drüsen wiederholt hinzuweisen, weil ich an der Anschauung festhalte, dass im Darm bedeutungsvolle Vorgänge sich abspielen, die noch weitere Studien erforderlich machen.
II. Durchwandening der Leucocyten nach den Gkdlenwegen.
Soweit ich die Literatur kenne, sind in der Schleimbaut der Gallenblase Durchwanderungen von Leucocyten noch nicht beobachtet worden.
Ich konnte von einem Enthaupteten eine normale Gallen- blase einlegen und ihre Erhärtung gelang sehr gut. Zu- nächst soll die eigenartige Beschaffenheit der Schleimhaut der Gallenblase eine kurze Erörterung finden. Mir schien es von Werth zu sein, dass man die geöffiiete Gallenblase sofort in Sublimat oder in eine andere erhärtende Flüssigkeit bringt, damit so viel als möglich das Secret mit der Schleim- hautfläche in Berührung bleibt. Die Schnitte zeigen dann stellenweise den Secretbeleg in unversehrtem Zustande. Da ich mich an keine gute Abbildung von einem Querschnitt
^) Archiv für mikroskopische Anatomie, Jahrgang 1891, S. 261.
^. Büdinger: Üeber Leucocyienwandtrung, 129
der Gallen blasen wand erinnere, so habe ich einen solchen (s. Fig. 14) abbilden lassen. Jedermann kennt die zierlichen Schleimhautfalten der öallenblase, welche unter Flüssigkeit mit Hilfe schwacher Vergrösserungen schon klar übersehen werden. Zunächst erkennt man die der Längsachse der Blase entsprechend angeordneten etwas grosseren Längsfalten, welche durch quer oder schief gesteUte Falten mit einander verbunden sind. So entstehen die vieleckigen Felder, in welchen kleinere secundäre Falten in verschiedener Orosse und Richtung sich erheben. An der Abbildung (Fig. 14) erkennt man die höher vorspringenden Falten und dazwischen die kleineren secuudären einfachen oder auch die verzweigten Erhebungen, die sich dadurch auszeichnen, dass die Binde- substanz zwischen je zwei Epithelreihen einer Falte äusserst spärlich ist. Alle Anordnungen sprechen dafdr, dass die gitterartige Faltenbildung darauf berechnet ist, möglichst grosse Epithelflächen zu Stande zu bringen mit sehr wenig Bindegewebe zwischen denselben, in welchem nur Kaum für Blut- und Lymphgefasse und insbesondere für wandernde Leucocyten vorhanden ist. Auch in den grösseren Gallengängen und in den Buchten derselben tritt ebenso, wie in der Gallenblase, ein hohes Cylinderepithel auf. Weder am Körper noch am Fundus der Gallenblase finden sich Schleimdrüsen vor.
Da sich meine Besprechung nur auf das Epithel und die Durchwanderung der Leucocyten in demselben beziehen soll, so will ich nicht näher auf die specielle Gewebsbetrach- tung der Gallen wege eingehen.
In der Fig. 17 erscheint das Epithel an dem oberen Ende der Abbildung einschichtig, abwärts an derselben mehr- schichtig. Ich halte die letztere Stelle für das Ergebniss eines Schiefschnittes, an welchem mehrere Zellen auf der Schnittfläche getro£Pen sind, während alle die reinen Quer- schnitte nur ein einschichtiges Epithel zeigen.
1895. Hatfa.-pbyB. Gl. 1. 9
130 Sitzung der matkrphys, (Hasse vom 9, Februar 1896.
Die LeucocytendurchwanderuDg findet an allen von der Gallenblase gewonnenen Präparaten statt. Die lymphoiden Zöllen bewegen sich, eingebettet in den schmalen Falten zwischen den Epithelien, in jener spärlichen Bindesub- stanz, welche diese Epithellagen mit einander vereinigt. Dass man an den Falten der Gallenblasenschleimhaut nicht von einer Schleimhaut im Sinne der Darmschleimhaut sprechen darf, wird sofort an jedem Schnitt erkannt. Schwer lässt sich feststellen, ob das Cylinderepithel auf einer Basalmembran aufgepflanzt ist, ähnlich wie im Darmrohr. Eine Begrenzung des Epithels durch eine Basalmembran ist wahrscheinlich vorhanden; allein mit Bestimmtheit konnte ich dieselben nicht constatiren. Man sieht an einzelnen Stellen hie und da Grenzlinien an der Aussenseite der Epithelzellen, jedoch von einer scharf begrenzten Basalmembran konnte ich mich nicht überzeugen. Die etwas konische, kleiner werdende Beschaffenheit der Cylinderzelien an der Aussenseite, wo der gegenseitige Gontact der Epithelzellen fehlt, ist wohl der wesentliche Grund, dass man über die Basalmembran nicht leicht Aufschluss gewinnen kann.
Die Leucocyten im Epithel.
Ueber die Art der Durchwanderung der Leucocyten bedarf es nur weniger Angaben. Man findet die Leucocyten ganz vereinzelt, oft zu zweien hinter einander oder zwei Zellen, welche nur durch eine oder zwei Epithelzellen von einander getrennt werden, durchwandernd. Stellenweise be- gegnet man ganzen Gruppen und ich konnte in einem Falle G und in einem andern annähernd 25 Wanderzellen zählen. Grö&sere Zerstörungen der Gylinderepithelschichte kommen nicht zur Beobachtung. Massenweises Durchtreten der Leuco- cyten, wie etwa im Darmrohr, kommt in der Gallenblase nicht vor und wie dieselben in dem gra<«en Sehleimbant-
ir. Rüdinger: Ueber Leiicocytenwafiderung. I3l
gebiet isolirt wandern, so treten sie auch meist vereinzelt zwischen den CylinderepitheKen durch.
Die Art und Weise des Durchtrittes geschieht in Form von stiftartigen Gebilden, die sich langgestreckt zuspitzen und an ihrem der Blasenhöhle zugekehrten Ende eine Ver- längerung zeigen, welche als feinkörnige Masse die Epithelien auseinanderdrängt.
Unzweifelhaft stellt dieser langgestreckte Fortsatz des rundlich langen Kerns, der sich durch seine dunkle Färbung auszeichnet, die Zellenmembran und das Protoplasma des Leucocyten dar, die dem Kern ebenfalls in Stiftform voraus- eilen und die Epithelzellen auseinander drängen.
Ist ein Leucocyt zwischen die Cylinderzellen eingedrungen? so benützt ein zweiter oder mehrere den jetzt präformirten Spaltraum und rücken nach, so dass man auch zwei und mehrere hintereinander gelagert beobachten kann.
Sind die Leucocyten an den inneren Enden der Epithel- zellen angekommen, so drängt sich ihre Zellmembran mit dem Protoplasma als bläschenförmiges Gebilde nach dem Blasenraum vor und man kann beide gut übersehen. Der Kern ist in diesem Falle noch nicht ganz durchgetreten, sowie derselbe aber seinen engen Kanal zwischen den Cylinder- zellen verlassen hat, nimmt er sofort die ursprüngliche runde Form an und man wird in dieser Hinsicht an die Kern- veränderungen erinnert, welche die Blutkörperchen in engen Passagen erfahren, indem diese ebenfalls, nach dem Durch- gang durch enge Kanäle, ihre normale plattrunde Form wieder annehmen. Wenn auch der Kern eines Leucocyten gross, das Protoplasma gering ist und die Zellen membran zuweilen nur einen geringen Abstand vom Kern zeigt, so muss man doch ihre Fähigkeit, die Form zu ändern, be- wundem.
Haben die Wanderzellen ihren Durchgang zwischen den Cylinderzellen vollbracht, so triflEt man dieselben in einem
9*
132 Sitzung der math.-phy8, Glosse vom 9, Februar 1895.
Secret von gleichmässiger gelber Färbnng, in dem sich nur die Leacocyten als geformte Elemente vorfinden. In grosserer Entfernung von der Schleimhaut begegnet man den Wander- zellen nicht mehr und ich habe vielfache Grfinde, anzunehmen, dass dieselben sich vollständig auflösen, so dass man zuweilen noch zerfallenen Bruchstücken der Kerne begegnet. Schliess- lich sieht man im Secret der Gallenblase eine gleichmässig homogene Masse, in der gar keine geformten Elemente mehr vorhanden sind.
Nachdem man eine massenhafte Einwanderung der Leu* cocyten in die Gallenblase beobachtet hat, in der Nahe der Schleimhaut dieselbe vorfindet, dann aber in dem amorphen Secret keinen Zellen mehr begegnet, so ist man wohl be- rechtigt, aus diesen Thatsachen den Schluss zu ziehen, dass alle in die Gallenblase eingewanderten Leucocyten sich voll- ständig auflösen und von hier an nur durch die ihnen eigenthümlichen chemischen Stoffe zur Wirkung gelangen.
Zieht man die Grösse der Oberfläche der Gallenblase und die zahllosen Mengen der Leucocyten in Betracht, welche einwandern, so muss die Secretmenge, wenn ich mich so aus- drücken darf, welche durch sie entsteht, als eine sehr be- deutende bezeichnet werden. Kann man die Leucocytenein- wanderung in die Gallenblase als einen constanten normalen Vorgang ansehen, so darf die Gallenblase nicht mehr als ein einfaches Reservoir für die Galle, sondern als ein bedeutungs- voller secretorischer Apparat, der die Leucocyten zur Galle durchtreten lässt, angesehen werden.
Ueber den Werth der Leucocytensubstanzen in den Secreten des Darmkanales lässt sich selbstredend auf Grund der bis jetzt bekannten Thatsachen kaum eine Andeutung machen.
Dass in der Gallenblase höchst wahrscheinlich, wie in allen übrigen Drüsen, eine periodische Steigerung und Ver- ringerung der Leucocyten und ihrer Durchwanderung vor- handen sein mag, darf a priori angenommen werden.
N. Büdingen üeher Leueoeijtenwanderung. 133
m. Hasseneinwandemiig der Leucocyten aus den Solitärfollikeln in den Darmkanal,
Im letzten Decennium hat Herr College Stöbr in mehreren vorzüglichen Aufeätzen den sicheren Nachweis er- bracht, ,dass aus der adenoiden Substanz unmittel- bar unter dem Epithel (der Schleimhäute) eine normale Auswanderung der Leucocyten statt hat, vorwiegend durch jenes Epithel, welches die Kuppen der Lymph- knötchen deckt, und so die Leucocyten in die Darm- höhle wandern*.
Dieser Vorgang in der Darmschleimhaut ist nach dem, was bis jetzt von verschiedenen Autoren über denselben bekannt geworden ist, als unzweifelhafte Thatsache anzu- sehen. Im Vorausgehenden wurde schon erwähnt, dass in der Gallenblase und den Gallenwegen Leucocytendurchwande- rnng stattfindet, und ich will nur noch hinzufügen, dass das Gleiche auch in der Tuba Eustachii zu beobachten ist.
In den folgenden Zeilen will ich die Beobachtungen mittheilen, welche ich an den solitären Follikeln des Darm- kanales und des Processus vermiformis des Menschen gemacht habe.
üeber das Verhalten der Darmfollikel liegen zwei spe- cielle Arbeiten von v. Davidoff und Ph. Stöhr vor. Die Angabe von His, dass in der Schleimhaut des Dünn- und Dickdarmes an jenen Stellen, welche Follikel einschliessen, die Lieberkühn'schen Drüsen fehlen, wurde oben schon erwähnt.
Die Follikel drängen sich nicht einfach zwischen die Lieberkühn'schen Drüsen hinein und verdrängen dieselben, sondern die genannten Drüsen gehen zu Grunde und indem ihre Cylinderzellen sich zu Rundzellen umbilden und sich mit den Leucocyten mischen, entsteht für den jetzt ausge- bildeten Follikel genügend Raum, sodass derselbe als convexer Hügel gegen das Darmlumen vorspringt. Beim Kaninchen
134 Sitzung der math,-phys. Glosse vom 9. Februar 1895,
sind die Follikel in Buchten der Schleimhaut eingeschlosäen, sodass der die Lieberkühn'schen Drüsen führende Theil der Schleimhaut über die Zotten hervorragt. Wenn die Schleim- haut etwas neben der Kuppe des Follikels getroffen wird, so macht derselbe den Eindruck, als sei er vollständig von einer Schleimhautkapsel umhüllt. Jeder Follikel, gleich- viel ob er einfach abgerundet ist, oder zwei bis drei secon- däre Hügel besitzt, ragt in das Lumen des Darmrohres in der erwähnten Weise hinein. Die Follikel, welche die freie Schleimhautfläche erreicht haben, stellen beim Kaninchen sämmtlich kleine runde Erhöhungen dar. Von hier aus ist die ganze Mucosa bis zur Muscularis propria des Wurmfort- satzes erfüllt von Follikeln.
Beim Menschen ist das Verhalten der Follikel wesentlich verschieden von jenem im Wurmfortsatz des Kaninchens.
Dort drängt sich der Leucocytenhaufen gegen die freie Oberfläche der Schleimhaut und bildet an derselben ein con- vexes Knötchen. Die Entwickelung geht von der äusseren Schleimhautzone aus und wenn der Follikel eine gewisse Qrösse erlangt hat, so rückt derselbe bis in die Submucosa hinein und berührt selbst die Muscularis propria des Darmes. Der gewöhnliche Vorgang ist jedoch der, dass der Follikel bald gegen die Lieberkühn*schen Drüsen vorrückt, diese in der angegebenen Weise umwandelt und das Epithel der Schleimhautoberfläche erreicht.
Der Druck, welcher von Seite des Follikels auf das Epithel ausgeübt wird, verdünnt dasselbe derart, dajss seine Cylinderzellen immer niedriger werden. Während an den seitlichen Flächen des Hügels die Cylinderzellen ihre normale Form beibehalten und direkt in jene der Lieber- kühn'schen Drüsen sich fortsetzen, schreitet die Verkürzung der Zellen auf der Kuppe des Hügels (s. Fig. 1) immer weiter fort und schliesslich ist aus der Gylinderzelle eine ganz platte, aber immer noch vierseitige Zelle geworden,
N, Büdinger: Ueber Leucoeytenwanderung, 135
welche sich endlich loslöst. Der Follikel ist nach dem Darmlumen hin geöffnet und die Leucocyten dringen massen- weise aus demselben in den Darm ein (s. Fig. 2 und 3). Dass die Perforation ständig vor sich geht, kann man un- schwer beobachten. Ich besitze Präparate von einem Ent- haupteten, welcher im Darmkanal keinerlei pathologische Veränderungen zeigte. Es ist anzunehmen, dass diese Er- öffnung der solitären Follikel eine periodische ist und wohl abhängig sein mag von den Yerdauungsvorgängen im Darm.
Was soll das Vorrücken der Follikel nach der freien Oberfläche der Darmschleimhaut, die allmähliche Verdünnung des hohen Gylinderepithels und die endliche Zerstörung des- selben bedeuten, wenn alle diese Vorgänge nicht die Frei- legung der Leucocytenhaufen und die endliche Einwanderung der Wanderzellen aus ihm in den Darmkanal das Endziel der- selben wäre?
Ich besitze Präparate, welche gar keinen Zweifel auf- kommen lassen, dass diese Vorgänge an allen Follikeln in der besprochenen Weise sich abspielen. Wir sehen, dass die Einwanderung der Leucocyten ins Darmrohr durch diesen massenhaften Eintritt der Leucocyten in dasselbe noch ge- steigert wird und so eine Quantität von Material in die Ver- dauungswege gelangt, welches dort unzweifelhaft eine Bolle spielt, deren Bedeutung noch erst ermittelt werden muss.
Das Secret der Tonsille und der Follikel, die Einwande- rung der Leucocyten in der Form, welche uns Stöhr zuerst kennen gelehrt hat, sowie die Durchwanderung der Leuco- cyten in der Gallenblase und den Qallenwegen kann un- möglich zwecklos für die physiologischen Vorgänge im Darm- rohr stattfinden.
Die chemischen Produkte der Leucocyten müssen im Darm eine Bedeutung haben, eine Annahme, die umsomehr Berechtigung hat, wenn man nachweisen kann, dass die eingewanderten Zellen sich alle auflösen, indem dieselben
136 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 9, Februar 1895.
in dem Inhalt des Darmrohres verschwinden nnd bei der Behandlung mit FarbstoiFen stellenweise eine amorphe Masse in dem Inhalt des Darmrohres jene Färbung annimmt, welche die Kerne der Leucocyten zeigen.
Nach allem, was ich beobachten konnte, verlieren alle Leucocyten, welche aus der Schleimhaut ausgetreten sind, ihre normalen Eigenschaften. Das erste, was man beobachten kann, ist der Zerfall der Kerne.
Zwei, vier und mehr Kerne entstehen aus dem grossen Kern eines Leucocyten und dieselben treten endlich verein- zelt (s. Fig. 10) in der Nähe der Schleimhautoberfläche auf. Sobald dieselben sich aber mit dem Darminhalt vermischt haben, gehen die geformten Eigenschaften verloren und es können nur die von ihnen abstammenden chemischen Sub- stanzen eine Bedeutung haben.
Stöhr sagt am Schlüsse seiner Abhandlung im Archiv f&r mikroskopische Anatomie mit Recht: „Wir stehen hier noch vor einer ganzen Reihe offener Fragen, deren Beant- wortung weiteren Untersuchungen vorbehalten ist.** Je mehr man hier die einzelnen speciellen Vorgänge kennen lernt, um so klarer erkennt man, dass noch eine Anzahl von Pro- blemen der Lösung harren. Ich begnüge mich vorläufig mit der Mittheilung der Thatsachen und enthalte mich, Hypothesen zu erörtern.
IV. DurchwanderuDg der Leucocyten an der Tonsille.
Die zweite Mittheilung, welche den Durchgang der lymphoiden Zellengruppen in der Tonsille betrifft, erfordert zunächst, dass ich ziemlich weit zurückgreife in die Literatur jener Zeitperiode, in der die ersten genauen Angaben über den Bau der Tonsillen überhaupt gemacht worden sind. Wenn auch Langenbeck und E. H. Weber die besten und eingehendsten Beschreibungen der Balg-
N. Büdingen üeher Leucocytenwanderung. 137
drüsen der Zangenwurzel geliefert haben, so muss man doch mit Eölliker einverstanden nein, wenn er im Jahre 1852 angibt, dass noch von keinem Autor die Balgdrüsen an der Zungenwurzel der Natur entsprechend geschildert worden seien. Kölliker gab damals schon an, dass es beim Menschen in sehr vielen Fällen ganz unmöglich sei, begrenzte Follikel in den Wänden der Tonsillen aufzufinden, eine Angabe, welche der Autor damals auf die sehr häufigen Erkrankungen, denen die Tonsillen unterworfen seien, zurück- führte. „Es scheinen", sagt Eölliker, „bei den Entzün- dungen des Organes und ihren Folgen diese Follikel anzu- schwellen, in ihrem Inhalte sich zu ändern und dann zu bersten* und so, meinte dieser Forscher, werde in den Wänden der Mandeln der normale Bau nicht mehr erkannt.
Die Frage nach der normalen und pathologischen Be- schaffenheit des Tonsillengewebes dürfte unzweifelhaft am einfachsten zu beantworten sein, wenn man diethierischen Mandeln studirt, bei denen die krankhaften Veränderungen gewiss viel seltener vorkommen, als bei dem Menschen, ob- schon auch hier fast ganz constant Eigenthümlichkeiten sich zeigen, die wegen der Constanz ihres Vorkommens nicht als pathologische gedeutet werden können. Schon 1852' gibt auch Kölliker an, dass das, was beim Menschen schwer sich gewinnen lasse, bei Thieren mit Leichtigkeit zu erlangen sei.
Was die Zahl und die Grösse der Follikel in den Ton- sillen anlangt, so wissen wir heute, dass die lymphoiden Zellen in den Schleimhäuten innerhalb physiologischer Grenzen sehr wechselnd sind. Man kann bei dem einen Individuum eine bedeutende Ansammlung von Leucocyten und lymphoiden Zellengruppen beobachten, bei einem anderen treten dieselben sehr spärlich auf. Die Querschnitte des Wurmfortsatzes lassen bei dem einen Menschen doppelt so viele Follikel zählen, als bei einem anderen, ohne dass nennenswerthe Oiganerkrankungen im Körper nachgewiesen werden könnten.
138 Sitzung d^r matK-phys. Clasae vom 9, Februar 1895.
Ein verhungerter AfPe zeigte im Dünndarm, Dickdarm und Wurmfortsatz äusserst wenige Scbleimfaautfollikel, eine Thatsache, welche von mehreren Forschern schon beobachtet wurde und die zweifellos für die Annahme spricht, dass der Keichthum der lyraphoiden Zellen im Wirbelthier wesentlich abhangig ist von der Ernährung desselben.
Wenn Eölliker schon im Jahre 1852 mittheilen konnte, dass in der Tonsille des Ochsen die Follikel minder deutlich, oft gar nicht auftreten, so stimmt diese Angabe ganz und gar überein mit den zahlreichen späteren Beobachtungen, nach denen der Follikel überhaupt nicht immer als ein scharf begrenztes Gebilde, sondern auch als ein diffuses Infiltrat von lymphoiden Zellen in der Schleimhaut auftreten kann. Wenn auch in den mehr oder weniger dichtgedrängten Zellengruppen eigenartige «Keimcentra*' auftreten und um diese herum die lymphoiden Zellen in concentrischen Reihen sich gruppiren, so ist doch zur Zeit festgestellt, dass auch die einzelnen Follikel niemals scharf von einander abgegrenzt sind, sondern an ihrer Peripherie in einander übergehen. Die lymphoiden Zellen treten nur als ein Infiltrat in der reticulären Bindesubstanz der Schleimhaut, der ^conglobirten Drüsensubstanz " Heulens auf. Neben dem Keimcentrum und der dichtgedrängten Randzone der Leucocyten befindet sich in jedem Follikel ein peripheres Zellenstratum, das ohne nach- weisbare Grenze in ähnliche Zellenstrata anderer Follikel über- geht und, wie Kölliker sich ausdrückt, «formlose Massen", die Henle*sche „conglobirte Drüsensubstanz'' darstellt. Man kann gegenwärtig als feststehend annehmen, dass in ver- schiedenen Abschnitten des Yerdauungstractus diffuse Infiltrate von lymphoiden Zellen ohne Follikelbildung vorkommen. Selbst in der Tonsille sind nicht immer ausgebildete Follikel nachweisbar, während an der Zungenwurzel, im Dickdarm und im Wurmfortsatz die Leucocyteninfiltrationen meist in Form von Follikeln auftreten. Auch in dieser Hinsicht will
N, liüdinger: üeher Leucocytenwanderuiig. 139
Kolliker zwei Gruppen, consfcante und variable, unterscheiden. Die Constanten seien in den Mandeln, dem Pharynx, in den Zungenbalgdrüsen, der Milz, den Peyer^schen Haufen und in dem Dickdarm vorhanden ; während die weniger constanten in dem Magen und dem Dünndarm sich vorfinden (s. Dis- ciission nach dem Vortrag von Stöhr in der physikalisch- medicinischen Gesellschaft in Würzburg 1883). Aber auch die weniger constanten lymphoiden Follikel hält Eölliker für normale Gebilde.
Von den Pathologen sind schon seit längerer Zeit Angaben vorhanden, nach welchen sowohl durch Cylinderepithel, als auch durch Plattenepithel die Durchwanderung der lymphoiden Zellen beobachtet wurde und selbst in Geschwülsten hat man die Leucocyten in grosser Zahl beobachtet. In einer unter der Leitung von Prof. Oertel bearbeiteten Dissertation von Dr. Lange wird auch darauf hingewiesen, dass in einem papillären Epitheliom das Epithel von zahllosen Leucocyten durchsetzt gewesen sei, und zwar insbesondere in den obersten Lagen.
Die Zahl der Beobachtungen über den Durchgang der lymphoiden Zellen durch das Epithel der Tonsillen in dem Isthmus faucium ist sehr gross, so oft aber diese Thatsache zur Beobachtung kam, wurde dieselbe meist als eine patho- logische Erscheinung zurückgedrängt. Man suchte den Ge- danken, dass möglicherweise doch ein normaler Vorgang von hoher Bedeutung vorliege, stets zu bekämpfen.
Die Forschungsergebnisse Stöhr 's über die Durch- wanderung der Leucocyten durch die Schleimhäute waren ganz und gar geeignet, die vielumstrittene Frage über die Bedeutung der zahllosen lymphoiden Zellen in den Schleim- häuten des Tractus intestinalis ihrer Lösung näher zu bringen. Die lymphoiden Zellen wandern durch das ver- schiedenartigste Epithel der Schleimhäute durch und gesellen sich, wo ein Inhalt sich befindet, diesem bei, oder dieselben
140 Sitzung der mathrphys. Claase vom 9. Februar 1895.
mischen sich mit dem Secret der Drüsen in den Kespirations- wegen und werden aus dem Körper, als Auswurfsprodukfce, entfernt.
Zuerst hatte Stöhr lymphoide Zellen zwischen den Cylinderepithelien der Magenschleimhaut beobachtet. Obschon beiläufig gemachte Beobachtungen bekannt waren, aber keine Deutung erfuhren, verfolgte Stöhr die am Magen gemachte Beobachtung auch an anderen Schleimhäuten und stellte fest, dass an den Tonsillen, den Balgdrüsen, an den soIi- tären und conglobirten Drüsen des Darmes, in der Bronchialschleimhaut normalerweise eine massen- hafte Durchwanderung lymphoider Zellen zwischen dem Epithel (nach dem Innern des Lumens) statt- findet. Ich will noch weiter hinzufügen, dass die lymphoiden Zellen nicht nur zwischen den Epithel- zellen durchwandern, sondern in die Plattenepi- thelien an der Tonsille eindringen, diese lockern und zerstören und Lücken in der Epithellage her- vorrufen, durch welche eine massenhafte Einwande- rung der Leucocyten aus der Schleimhaut in das Darmrohr erfolgt.
Was meine eigenen Beobachtungen an der Tonsille des Menschen anlangt, so wurden dieselben mit Rücksicht auf die Einwendungen, dass die Mandel beim Menschen häufig pathologisch verändert sei, auch auf die Thiere ausgedehnt Soviel ich bis jetzt ersehen konnte, sind in den wesentlichen Punkten so auffallende üebereinstimmungen in den Ergeb- nissen, welche an der Tonsille des Menschen und der Säuge- thiere gewonnen wurden, vorhanden, so dass man sagen kann, die Resultate an der Mandel des Menschen wurden mit einem gewissen Vorurtheil entgegengenommen.
Indem ich meine Beobachtungen in Folgendem rait- theile, will ich mich auf jene Figuren beziehen, welche
N. Hüdinger: Üeber Leucocytentvanderung. 141
theils von menschlichen, theils von thierischen Präparaten gewonnen sind.
Da%s der Reichthum an lymphoiden Zellen in der Mandel individuell wechselnd erscheint, wurde von verschiedenen Autoren schon constatirt und von mir oben schon hervorge- hoben; allein in der Tonsille sind sowohl die Follikel, als auch die lymphoide Infiltration viel constanter, als in den übrigen Schleimhäuten. Die Zahl und Grösse der lymphoiden Zellen wechseln im Dünn- und Dickdarm viel mehr, als in den Mandeln. Es sind auch in ganz kleinen, atrophischen Mandeln immer noch viele Leucocyten vorhanden. Im Darmkanal dagegen kann man Objekten begegnen, in welchen die lymphoiden Zellen überraschend gering an Zahl sind.
Prüft man eine Reihe von Schnitten, so findet man an einzelnen Stellen die Plattenepithellage ganz unversehrt. Die tiefste Zellenlage ist ganz regelmässig gebildet. Die hohen mehr cylinderformigen Zellen stehen als tiefste Lage so geordnet nebeneinander (s. Fig. 5), dass selbst ihre Kerne keinerlei Abweichungen von einander erkennen lassen. Jeden- falls muss es auffallen, dass man solchen regelmässigen An- ordnungen der tiefsten Zellenlagen im Verhältniss zu den ungleich dicken und irregulären Bildungen nur vereinzelt begegnet. Die abwechselnde Dicke des Epithels, und die Unregelmässigkeit aller Zellenschichten des Plattenepithels ist an den Tonsillen ungewöhnlich häufig zu beobachten, eine Erscheinung, die einer besonderen Aufmerksamkeit werth erscheint, wenn man dieselbe vergleicht mit Präparaten der äussern Haut, der Speiseröhre oder des Darmkanales. Die Darmschleimhaut, welche keine Leucocyten einschliesst, zeigt im Allgemeinen in der Anordnung des Cylinderepithels, der Becherzellen u. dgl. eine nur ganz geringe formelle Ver- schiedenheit. Während Hunderte von Schnitten, die von der Dünn- oder Dickdarmschleimhaut gewonnen werden, einander sehr ähnlich sind, zeigen die Tonsillenpräparate von ver-
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schiedenen und von einem und demselben Objekte auffallende unterschiede. Die verschiedene Dicke des Epithels, die regellose Anordnung ihrer einzelnen Epithelschichten wird durch das Verhalten der Leucocyten in der Tonsille hervorgerufen. Solange die Follikel in der Tonsille nicht gross sind, haben sie von der tiefsten Zellenschichte des Epithels einen geringen Abstand. In dem Verhältniss aber, als sich ein Follikel vergrössert, rückt er der Epithellage immer näher und bei seiner Annäherung ist der erste Vorgang der, dass die Zellen des Rete Malpighii in Unordnung gerathen; ihre Verbin- dung wird gelockert (s. Fig. 6), was sofort an der veränderten Stellung der Kerne erkannt wird. Sehr bald bemerkt man, dass die Verschiebung der Zellen durch das Vordringen ein- zelner Leucocyten zwischen dieselben bedingt wird. Ist einmal die tie&te Zellenlage in Unordnung, dann scheint das massen- hafte Vordringen der lymphoiden Zellen ganz rasch vor sich zu gehen. Während des Vordringens vereinzelter Zellen, das man vielfach beobachten kann, findet keine Veränderung der Epithelien statt. Die Leucocyten drängen sich in diesem Falle, indem sie eine langgestreckte Form annehmen, zwischen den Plattenepithelien bis zur freien Oberfläche durch und hier sieht man sie vereinzelt oder auch in kleinen Gruppen, entweder frei in einer Tonsillenspalte, oder sie kleben noch an der Oberfläche der glatten Epithelien, die keine wesent- lichen Veränderungen zeigen, fest.
War der AngriflF von Seite eines grossen Follikels ein intensiver, so gehen die tiefsten Epithelzellen, welche mehr runde Formen annehmen, zu Grunde und in den weiteren Zellenlagen kann man beobachten, dass der Leucocyt in die Epithelzelle eindringt und, wie ich vermuthe, zunächst das Protoplasma der Zelle und dann diese selbst zerstört. Die Epithekelle wird bald hell, der Raum, wo die Zelle lag, wird grösser und schliesslich findet man lichte, grosse Lücken mit Zellen und mehreren runden, kleinen Kernen erfüllt,
if. Rüdinger: Üeher Leucocytenwanderung, 143
welche durch mitotische Vermehrung der Leucocyten (Plem- ming) bei dem Zerfall der Epithelzellen entstanden sind.
Dass eine theilweise Isolirung und auch eine Zerstörung der Epitbelzellen stattfindet, unterliegt keinem Zweifel. Man muss viele derartige Präparate studirt haben, um die üeber- zeugung zu gewinnen, dass das Plattenepithel in der ge- schilderten Weise eine Zerstörung und Vernichtung erfährt. In den Tonsillenspalten findet man auch Epithelien als einzelne Zellen oder abgerissene Conglomerate mehrerer Epithelzellen von Leucocyten umringt (s. Fig. 10).
An gelungenen Präparaten, welche den Durchbruch der Epithellage nicht ganz vollständig zeigen, kann man die Art der Zerstörung des Plattenepithels sehr gut übersehen. Jene tiefere Zone der Epithellage, welche zuerst der Angrifik- punkt für die Leucocyten war, zeigt nur vereinzelt eine Plattenepithelzelle, während in dem Randgebiet des Epithels die Zellen noch zahlreich vorhanden sind, aber nicht mehr geordnet erscheinen. In die einzelnen Epithelzellen sind die Leucocyten eingedrungen, und man erkennt die Zerstörung dann erst, wenn die Protoplasmazone der Epithelzelle heller, der Kern derselben zackig, unregelmässig und kleiner geworden ist. Wenn auch der Kern ganz vernichtet ist, treten kleine, runde Leucocyten in Gruppen miteinander verbunden auf. Diese Erscheinung ist so constant, dass es nicht gewagt er- scheint, den Vorgang so zu deuten, dass die Epithelzellen durch die Leucocyten zerstört werden und zwar zunächst das in denselben noch vorhandene Protoplasma, dann auch der Kern und schliesslich eine Theilung, eine Vermehrung der Wanderzelle im Innern der Epithelzelle erfolgt. Bei dem weiteren Wachsthum der Theilstücke entstehen ganze Leucocytennester an jener Stelle, wo die Epithelzelle sich befand.
Hat die vollständige Durch Wanderung stattgefunden, dann zeigt sich an einzelnen Schnitten die Tonsillenspalte
144 Sitzung der tnathrphys. Ctlaaae vom 9, Februar 1895.
ganz erfüllt von Epithelien, Leucocyten und auch nnter- mischt mit Riesenzellen.
Da aus der FoUikelzone das Zellenmaterial immer nach- rückt, so muss dasselbe, wie aus dem Ausführungsgang einer Drüse, an der Oberfläche der Mandel zum Vorschein kommen. Dass die Tonsillenspalten eine gewisse Regelmässigkeit zeigen, ergeben die Horizontalschnitte durch jene. An einer und derselben Spalte findet der Durchbruch in bestimmten Ab- ständen statt, welcher, wie mir scheint, von der jeweiligen Reife, resp. der Grösse des Follikels abhängig ist.
Wenn in den Spalten der Tonsille viele vereinzelte oder auch zusammenhängende Gruppen der Plattenepithelien vor- handen sind, dann scheint der Durchbruch rasch stattgefunden zu haben, wobei Epithelgruppen zusammenhängend mit Leucocyten losgerissen wurden; in jenem Falle dagegen, in welchem der Durchbruch, wie anzunehmen ist, langsam erfolgt, beobachtet man sehr wenige Epithelzellen und zahl- reiche Gruppen von Leucocyten mit kleinen runden Kernen.
Je tiefer man in alle diese Vorgänge einzudringen sucht, umsomehr zeigt sich die Schwierigkeit auf alle die auftauchen- den Fragen eine befriedigende Antwort zu geben.
Von besonderem Interesse erscheint die Lücke, welche in dem Epithel an der Stelle des Durchbruchs entstanden ist. Wollte man für die einzelnen Stellen die entstandene Oeffnung nachbilden, so bekäme man einen Trichter, dessen engstes Gebiet der freien Oberfläche des Epithels, das weiteste dorthin, wo der Follikel war, gerichtet ist. Die Zerstörung der Epithellage nimmt nach der Tiefe zu und die ganze Umrandung stellt eine zerklüftete Wand dar. In dem Lehr- buch der Histologie des Menschen von Böhm und Davidoff befindet sich auf S. 165 die Abbildung Fig. 115, an dem zerklüfteten unterminirten einen Rand der OefiPnung auf dem Durchschnitt sehr klar zur Darstellung kam (s. auch in meiner Fig. 8).
N. Büdmg&r: üeber Zeucocyttnvxmderung. 145
Noch andere Wege der Einwanderung der Lenco- cyten in der Epitbellage kann man beobachten. Man begegnet an den Tonsillenschnitten Haufen von Leacocyten, welche zapfenfonnig oder inselartig im Epithel stecken. Die- selben verhalten sich zum Plattenepithel geradeso, wie die beschriebenen Follikel. Das Endresnltat dieser Zapfen ist auch das Vorrücken gegen die freie Oberfläche und die Aus- wanderung ihrer lymphoiden Zellen in die Mandeispalten.
Nach eingehendem Studium musste man die Ueberzeugung gewinnen, dass die Zapfen an den stellenweise spärlich vor- handenen Papillen in dem Epithel entstehen, indem die Leucocyten von der Basis der Papillen aus, nach der Spitze hin vorrücken und die Epithelzellen ebenso zerstören, wie das papillenfreie Epithel, das viel mehr Widerstand entgegen- setzt, als die mehr oder weniger ausgebildeten Papillen an der Mandel. Die inselartig auftretenden Lencocytengruppen zeigen sich an Schie&chnitten, an wdchem der Zusammenhang der Inselgruppe an einem Schnitt nnterbrochra worden ist.
Hat man lückenlose Schnittreihen zur Verfügung, so lässt sich der Zusammenhang des Leucocjrtenhaufens mit jenen unter dem Epithel befindlichen Gruppen stets leicht nach- weisen.
Eine besondere Aufmerksamkeit schenkte ich den Per- forationszonen und der Art ihrer Verschliessung. Man kann hier nur aus dem wechselnden Verhalten der Epithellage an den verschiedenen Stellen einen Schluss ziehen auf die Regeneration des Epithels. Fasst man diese Stellen an der TonsiUenoberfläche oder in den Spalten ins Auge, wo unter der Epithellage keine oder nur wenige Leucocyten vorhanden sind, so zeigt sich die Epithellage normal, gleichmässig dick und mit Papillen, wenn auch nicht gleichmässig, durchsetzt. Dort jedoch, wo lymphoide Zellengruppen an das Epithel angrenzen, treten die variablen Veränderungen der Deck- schichte auf. Was man aus einem Vergleich der Präparate
1895. Math.-pfay0. Gl. 1. 10
146 Sitzung det math.-phys, Classe vom 9. Feiruat 1895.
eninehmeii kann, ist, dass eine Vermehrang der EpitheUen an der Peripherie der Perforationsöffnung als wahrscheinlich anzunehmen ist. Unzweifelhaft werden hier ganz ähnliche Vorgänge stattfinden, wie bei jeder Wundheilung, die am Plattenepithel der Mundhöhle oder der äusseren Haut ein- treten. Von den vorhandenen normalen Epithelzellen der Umgebung einer Lficke schieben sich die Zellen vor und bilden anfanglich eine dünne Epithellage, die weder den Charakter der Plattenepithelien, noch jenen der Zellen des Rete Malpighii tragen. Solange die Leucocyten oder die zu Follikel umgewandelten Gruppen fehlen, behält die Epithel- lage ihre normale, gleichmässig dicke Beschaffenheit bei. Treten stärkere Ansammlungen in der Tunica propria des Epithels auf, so beginnt auch sofort die beschriebene Ein- wirkung auf die Epithelschichte. Bei diesem unausgesetzt wechselnden Vorgang an dem Epithel, welcher abhängig ist von der Neubildung der Leucocyten, beobachtet man auch normale Epithellagen, welche mit zerstörten abwechseln an allen Stellen der Mandel, gleichviel ob dieselbe an der freien Aussenseite oder in den Spalten untersucht wird.
Je bedeutender der Defect am Plattenepithel ist, um so reicher hat sich das Material in den Mandelspalten angesammelt. Dass der Inhalt der Spalten (s. Fig. 10), welcher an Präparaten von Thieren und dem Menschen ge- prüft wurde, nicht entfernt an pathologische Bildungen, an zerfallene Massen erinnert, ist leicht zu constatiren.
Schlussbemerkung.
Wir sehen, dass an der Mandel zweierlei Vorgänge sich abspielen. Der eine Vorgang besteht in der von Stöhr beschriebenen Durchwanderung von einzelnen Leucocyten zwischen den Epithelzellen ohne Zerstörung der Epithel- schichte. Waren auch durch Arnstein, Edinger, Franken-
N. Büdinger: üeber Leticoctftenwanderung. 147
häuser, Rauber, Bonnet and Toldt die Durcbwanderungen der Leucocyten schon bekannt, so muss man doch Stöhr das Verdienst zuschreiben, diesen Vorgang als einen constanten, normalen zuerst festgestellt zu haben.
Der zweite Vorgang ist der der Epitbelzerstörnng an der Mandel darch die Leucocyten und massen- hafter Einwanderung derselben nach dem Isthmus faucium. Diese massenhafbe Einwanderung in den Schluck- apparat hat eine Entleerung der Leucocyten aus dem Stratum proprium und aus dem Epithel zur Folge und nachherige Regeneration der ganzen Schleimbaut. Dass die Mandeln mit ihren Spalten, wenn dieselben von Leucocyten erfüllt sind, beim Schlackakt unter dem Einflass einer ganz kräftigen Maskelcontraction stehen, unterliegt gar keinem Zweifel. Die Compressiondwirkung des Muse, glossopalatinus und pharyngo- palatinus, welche eben keine isolirten Muskelzttge, sondern nur Torspringende Partien der verticalen LängszUge des Pharynx darstellen /Jst eine von verschiedenen Autoren längst festgestellte Thatsache. Die ganze Muskelnische in Verbindung mit dem Gaumensegel mass bei jedem Schluckakt eine Compression der Mandel hervorbringen und dieselbe muss, wenn Oeffnungen im Mandelepithel vorhanden sind, die Leucocyten mit auspressen.
Warum sind die Mandeln an der freien Oberfläche der Schleimhaut am Isthmus &ucium zwischen den beiden Muskel- arcaden eingebettet? Hätten dieselben keine besonderen Beziehungen zum Verdauungsapparat, sondern nur zu den Lymphgefässen, so könnten sie ähnlich den Lymphdrüsen an den verschiedensten Eörperstellen angebracht sein. Müssten die Wanderzellen in den Mandeln nur die Wege nach den Lymphbahnen aufsuchen, so wäre ihre topographische Lage durchaus nicht an der freien Oberfläche der Schleim- haut des Schluckapparates erforderlich.
. Die Lage der Mandeln, ihre Einbettung in Muskel- niscben und die Eröfihungen ihrer Follikel nach der freien
148 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 9. Februar 1895.
Fläche und den Mandelspalien oder Buchten derselben legen denn doch die Frage nahe, ob hier nicht drüsige Organe vorliegen, die ihren Inhalt an den Bissen abgeben und die Annahme gestatten, dass die Milliarden von Leucocyten, in denen man schon .Nucleinsäure*^ constatirt hat, eine physiologische Verwendung im Darmkanal finden.
Fasst man alle Thatsachen : den Dorchbruch der Leuco- cyten an den Mandeln, die Eröffnung der Sollitärfollikel im Darmkanal, die Durcbwandernng zahlloser Leucocyten an der gefalteten grossen Oberfläche der Gallenblasenschleimhaut u. A. zusammen, so muss man sich sagen, dass alle diese erwähnten Vorgänge nur sehr schwer die Annahme begründen lassen, dass ein so reiches Material, welches der Nahrung im Darm beigegeben wird, nur als ein Auswurfsprodukt gedeutet werden kann. Da kein Beweis hiefür erbracht ist, so ist gewiss die Vermuthung berechtigt, dass die grossen Massen der Leuco- cyten, welche vom Schlundkopf und dem Isthmus faucium an bis hinab zum Mastdarm in den Darmkanal eintreten, in diesem eine physiologische Bolle zu spielen bestimmt sind, oder wie Kolli ker schon meinte, dass diese Zellen nach ihrem Austritt aus der Schleimhaut möglicherweise noch Verwendung finden.
Jedenfalls ist die Frage über die Einwanderung der Leucocyten in den Darm eine Frage von hoher Bedeutung, gleichviel ob dieselbe durch weitere Forschungen in dem einen oder anderen Sinne entschieden werden mag.
Unterlassen will ich es nicht, noch auf eine andere Seite der vorliegenden Betrachtung hinzuweisen, die für patho- logische Vorgänge besondere Beachtung verdient. Ich meine die in Folge des Durchbruches der Leucocyten, insbesondere, wenn derselbe massenhaft erfolgt, entstandenen Sohleim- hautdefecte, wie sie sowohl an der Tonsille, als auch an den solitären und Peyer*schen Drüsen im Darm vorkommen.
N, Büdinger: üeber Leuoocytenwanderung. 149
Hier werden Schleimhautdefecte erzeugt, welche wie bei einer Haut- oder Schleimhautwunde eine gewisse Zeit zur Regeneration erfordern. Sollen diese Scbleimhautzerstörungen nicht als offene Pforten anzusehen sein, durch welche patho- gene Ursachen von aussen her eindringen können? Ich meine, es sei berechtigt zu fragen, warum die Diphtherie gerne an den Mandeln und dem Pharynx, bei dem Abdominal-Typhus die pathologischen Veränderungen an den solitären und den Peyer^schen Drüsen vorwiegend auftreten? Hier wie dort sind stets kleine, zahlreiche Schleimhautdefecte vorhanden, mit einer, wenn auch nur vorübergehenden Zerstörung der epithelialen Schichte und der Basalmembran. Wenn nun pathogene Ursachen mit den Schleimhautstellen, welche vorübergehend keine epitheliale Deckschichte besitzen, in unmittelbaren Contact kommen, so erscheint doch die An- nahme plausibel, dass Einwirkungen ebenso zu Stande kommen, wie an jeder Wunde, wie auch beispielsweise an einem Uterus, der in Folge einer Geburt an seiner Schleimhaut verwundet ist. Auch hier ist die Zerstörung der Uterus- schleimhaut und deren Neubildung ein physiologischer Vor- gang, ebenso, wie die Veränderungen am Graaf^schen Follikel des Eierstockes und der Schleimhaut des Uterus bei jeder Menstruation.
150 Sitsung der maih.-phys, Clasae vom 9. Februar 1895,
Y. Beschreibung der Figuren (auf Tafel I u. U).
Fig, L Querschnitt eines lymphoiden Follikels aus dem Processus vermiformis des Menschen.
1. Lieberkühn'Rche Drüse, welche an der Schnittfläche den Follikel an beiden Seiten umrahmen. Ich hebe hier besonders hervor, dass die grossen Drflsen nicht verdrängt erscheinen, sondern mit ihren Längsdurchmessem zur Oberfläche der Schleimhaut eine mehr recht- winkelige Stellung einnehmen. 2. Fundus der Lieberkühn*tchen Drüsen mit hohen Cylinderepithelien. 8. An der freien convezen Seite des Follikels, welcher stark an der Oberfläche der Schleimhaut vorspringt, ist das Cylinderepitbel ganz im Verhältniss der Vergrösserung des Follikels niedrig geworden. Bei noch mehr erhöhtem Druck von Seite des Follikels auf das Epithel entstehen allmählich gans dünne Platten, deren Querdurchmesser den ehemaligen HOhendurchmesser des Cylinders sehr bedeutend überwiegt. 4. Einzelne Lieberkühn'sche Drüsen. 6. Helleres Eeimcentrum des Follikels. 6. Periphere dunkle Zone des Follikels.
Fig. IL Ein Follikel aus dem Wurmfortsatz, an wel- chem das Epithel durchbrochen ist.
1. Ziemlich hohes, normales Cylinderepitbel am Rande des Follikels. 2. Niedriges Epithel an dem am meisten vorspringenden, convexen Abschnitt des Follikels, welches bei 3. ganz zerstört ist und den Follikel freigelegt hat. Die Begrenzungsmembraa des Epithels ist noch stellenweise erhalten, allein auch diese geht verloren. Die Zahl der Leucocyten hat an der offenen Region des Follikels be- deutend abgenommen. 4. Lieberkühn*8che Drüsen, welche, soweit der Follikel reicht, vollständig fehlen. 6. Centrale helle Zone des Follikels.
Fig, III. Solitärfollikel vom Wurmfortsatz des Men- schen mit den ausgewanderten Leucocyten.
1. Mündungen der Lieberkühn^schen Drüsen. 2. Epithel an dem nach dem Darmrohr prominirenden Abschnitt des Follikels, welches bei 3. durchbrochen ist. 4. Fundus einer Lieberkühn*schen Drüse. 6. Follikel ohne Lieberkühn*sche Drüse. 6. Die in das Lumen des Wurmfortsatzes eingewanderten Leucocyten, welche ihre speciflschen Eigenschaften noch nicht geändert haben.
N. Büdinger: XJeher Leucocytenwanäerung. 151
Fig. IV. Follikel ans der Tonsille yom Hunde.
1. Plattenepithelschichte, durchsetzt von Leucocyten. 2. Zer- störte und losgelöste Flattenepithelien. 8. Geöffneter Follikel mit vereinzelt erhaltenen Epithelzellen. 4. Follikel nach der freien Schleim- hautfläche prominirend. 5. Die ausgewanderten Leucocyten hängen noch gruppenweise zusammen; dieselben haben sich jedoch schon vom Follikel entfernt.
Fig.V. Vollständig normales Epithel an einer Stelle der Tonsille, wie man es sowohl an deren Oberfläche, als auch in den Tonsillenspalten stellenweise antrifft. An dem gezeichneten Abschnitt waren nur zwei lymphoide Zellen zwischen den Epithelien nachweisbar.
1. Oberflächlichste Epithellage mit ganzen Plattenzellen an der Oberfläche. 2. Die^tiefere Schichte mit polygonalen Zellen. 8. Das unterste Stratum mit den cylindrischen basalen Zellen grenzt das Stratum Malpighii gegen das Stratum subepitheliale ab. 4. Die an die basalen Zellen angrenzenden Leucocyten. 6. Vereinzelte Leuco- cyten zwischen den polygonalen Epithelzellen.
Fig. VI. Epithellage der Tonsille mit ein- und durchgewanderten Leucocyten. (Die Figuren 6, 7 und 8 sollen in der Aufeinanderfolge die Art der Durchwanderung und der Veränderungen des Epithels demonstriren.)
1. Oberflächlichste Schichte des Epithels, welches zwischen den 2ellen und an der Oberfläche vereinzelte Leucocyten und Leucocyten- gruppen zeigt. 2. Die mittlere Epithelschichte erscheint mehr von Leucocyten durchsetzt, als die tiefste Zellenlage mit den Basalzellen. Wird die Fig. 6 verglichen mit der Fig. 6, so föUt sofort die Un- regelmässigkeit der basalen Zellen auf, welche in Folge der Durch- wanderung der Leucocyten ihre geordnete normale Anordnung ver- loren haben (3). 4. Die im Stratum subepitheliale befindlichen Leuco-* cytengruppen.
Fig. VII. Ein Abschnitt des Epithels, in welchem die Leuco- cyten in das Epithel eingedrungen sind und als Qruppen von kleinen runden Kernen, an dem schwer eine Zellenmembran zu unterscheiden ist, auftreten.
1. Oberflächlichste Plattenepithellage. 2. Die Epithelzellen zeigen in dieser Schichte stellenweise einen grösseren Abstand von einander. 8. Die basalen Zellen zeigen bei 4. ein irreguläres Verhalten gerade dort, wo die grösseren Massen der Leucocyten im Eindringen begriffen sind. 6. Leucocyten, welche mehr und mehr in das Epithel eintreten.
l52 Sitzung der matK-phys. Olaase wnn 9, Febr%Mr 1695,
Fig. VIII, An diesem Objekt sind die LeuGOcyten massenhaft in das Epithel eingewandert. Die lichten Stellen werden von den Wandenellen eingenommen, w&hrend die Epithelzellen an den lichten Stellen immer mehr abgenommen haben.
1. Oberfl&ohliche Flattenepithelien, welche ihre frei ebene Ober* fläche verloren haben. 2. Leucocytengruppen und Epithelgrappen annähernd in gleichem Yerhältniss auftretend. 8. Eine sasammen- hängende EpiÜielgnippe. 4. Zasammenhängende Leucocytengruppen . 6. Leucocytenmassen unterhalb der ursprünglich vorhandenen Basal- zellen, welche als solche nicht mehr zu erkennen sind. 6. Leucocyten, welche an der freien Oberfläche angekommen sind und die Dnrch- wanderung vollbracht haben.
Fig, IX, Querschnitt eines grossen DrfisenausfÜhrungsganges am Schlundkopf. Auch an dem Ausführungsgang dringen die Leuco- cyten in grosser Zahl zwischen dem Cylinderepithel hindurch und gesellen sich schliesslich zu dem Secret im Ausfuhrungegange.
1. Weites Lumen des Ganges. 2. Cylinderepithel desselben. 3. Leucocyten an der Aussenseite des Ganges. 4. Lencocyt in einer etwas tingirten Secretmasse. 6. Leucocyten, welche in das Lumen eindringen.
Fig.X. Die in einer Tonsillenspalte befindliche Secret- masse.
1. Epithelzellen von bedeutender Grösse. 2. Epithel zellen mit mehreren Kernen. 3. Einfache Epithelzelle. 4. und 5. Vier Epithel- zellen und zwei Leucocyten, dtum eine Epithelzelle und eine Wander^ zelle. 6. Vereinzelt auftretende Leucocyten. 7. Leucocyten mit mehr- facher Eerntheilnng, welch letztere auch vereinzelt auftreten.
Fig, XL Tonsillenepithel vom Hunde mit zapfenförmig vorspringenden Leucocytenhaufen. In dem Epithel selbst sind nur wenig eingedrungene Leucocyten sichtbar.
1. Epithel an der Oberfläche. 2. Fast vollständig durchbrochene Epithellage. 8. Leucocytenmassen unter dem Epithel. 4. Kleiner abgerundeter Fortsatz. 6. Grosserer Fortsatz, welche beide den Pa- pillen entlang sich entwickelt haben und von den BasalsteÜen der- selben aus in verschiedener Richtung in das Epithel eingedrungen sind.
Fig, XII, Abschnitt eines Wurmfortsatzes vom Hunde.
1. Normales Verhalten des Epithels an der Oberfläche der Schleimhaut. 2. Tiefe Bucht zwischen zwei Schleimhautfalten. 8. Lieberkühn'scbe Drüsen. 4., 6., 6. und 7. stellen Lieberkühn'sche
N. Biklinger: lieber Leucocytenw ander ung. 153
Drüsen dar, welche durch die Einwirkung der Leucocyten in der Veränderung begriffen. An der einen Wand einer Drüse sind die Cylinderzellen schon zu Rundzellen umgewandelt, während sie an der andern noch in regelmässiger Ordnung gestellt sind. 8 und 9. Frei im Darmrohr befindliche Leucocyten, welche sich allmählich auflösen und endlich als gleichmässige Masse auftreten.
Fig, XIII. Drei Lieberkühn'sche Drüsen vom Wurm- fortsatz des Hundes, welche in der charakteristischen Veränderung durch Einwirkung der lymphoiden Zellen begriffen sind.
Bei Fig. 1, 2 und 3 zeigen sich die Veränderungen ganz ebenso, wie ich dieselben am menschlichen Processus vermiformis beschrieben habe. 1 und 2 sind die Gylinderepithelien noch in regelmässiger An- ordnung. Bei 3 ist kaum mehr eine charakteristische Gylinderzelle sichtbar. Die Mehrzahl derselben sind Rundzellen geworden and nur schwer von den Leucocyten zu unterscheiden. 4. Die Tanica propria der Drüse ist an jener Seite, wo die Leucocyten den Angriff vollzogen haben, zerstört. 5. Leucocytengruppe an der Stelle, wo die Lieber- kühn'sche Drüse gewesen ist. 6 und 7 stellen Leucocytengruppen von verschiedener Dichtigkeit der Zellen dar.
Fig,XIV, Querdurchschnitt der Wand der Gallenblase des Menschen.
1. Muscularis der Gallenblase, deren Schichtung eine abwechselnde ist. 2. Grössere Zweige der Art. cystica. 8. Die Submucosa der Gallen- blase ist sehr schwach, kaum nennenswerth ausgebildet, und vielfach reicht die Muscularis direkt an die Schleimhaut an. 4, 6, 6 und 7 zeigt die zierlichen, nicht verstreichbaren Falten der Schleimhaut, welche das bekannte ziemlich regelmässig angeordnete Faltennetz darstellen. Man erkennt die Falten als isolirte, zusammenhängende und netzartig verbundene Erhebungen (5), welche eine sehr bedeutende Oberfläche zu Stande bringen.
Fig. XV. Schleimhautfalte der Gallenblase durch- schnitten.
1. Ein Abschnitt der Falte, an welchem die Cylinderzellen mit ihren Kernen eine grosse Regelmässigkeit zeigen. Jede einzelne Zelle tritt an der freien Oberfläche etwas gewölbt hervor. Die nach der Tiefe gerichteten Enden stehen häufig, konisch zulaufend, etwas von einander ab. 2. Der Zwischenraum zwischen den Epithelreihen ist äusserst gering. In der Bindesubstanz befinden sich fixe Bindegewebs- körperchen und Leucocyten. Zwischen den Epithelzellen erkennt man an diesem Präparat keine durchwandernden Leucocyten.
154 Sitzung der math.-phys. Clctsse vom 9, Februar 1895.
Fig. XVI, Querschnitt einer Schleimhaatfalte mit darch- wandernden Leucocyten.
1. Vollständig normale Epithelzellen. 2. Ein Leacocjt mit langgestrecktem Kern, der zwischen zwei Gylinderzellen eingetreten ist. S. Ein Leucocyt, der in der Mitte der Gylinderzellen steckt, und an dem die Zellenmembran an der freien Epithelseite sichtbar wird. 4. Leucocyt, welcher im Austreten begriffen ist. 5. Bei allen jenen Zellen, welche im Austritt begriffen sind, wird die sich ab- rundende Zellenmembran leicht sichtbar. 6. Leucocyten nach dem Durchtritt, welche stets die ursprünglich runde Form annehmen.
Fig, XVII. Schleimhaut des Ductus cysticus 7om Menschen.
1. Stratum subepitheliale mit Leucocyten. 2. Gylinderzellen de^ AusfÜhrnngsganges. 8, 4 und 5 zeigen die Durchwanderung der Leucocyten in verschiedenen Stadien, vom Eintritt zwischen die Gylinderepithelien an bis zum Austritt derselben.
Inhalt.
Die mit * bezeichneten AbhAndlangen sind in den Sitzungsberichten nicht abgedmekt,
Sitzung vom 5. Januar 1895,
^ Seit»
"^Walter Dyck: Ueber die Bestimmung der Anzahl der einem
System von n-Gleichungen mit n- Variabein gemeinsamen
Wurzeln und über die Berechnung der Summe der Werthe,
welche eine weitere Funktion dieser Variabein in diesen
Nullstellen annimmt 1
Joh. Ranke: Zur Anthropologie der Halswirbelsäule; Beitrag
zur Entwickelungsmechanik der menschlichen EOrperform 8 L. Boltzmann: Nochmals das Maxwell'sche Vertheilungsgesetz
der Geschwindigkeiten i , 26
Joh. Rückert: Zar Kenntniss des Befruchtungsvorganges . . 27 *H. Seeliger: Vorzeigung astronomischer Photographien des
Herrn Professor Wolf in Heidelberg 2
Alfred Pringsheim: üeber den Cauchy 'sehen Integralsatz 39
Sitzung vom 9, Februar 1895.
•K. Göbel: Ueber directe Anpassung 73
Alfred Pringsheim: üeber die Entwickelung eindeutiger
analytischer Functionen in Potenzreihen 75
M. Nöther: Die 7 -Systeme von Kegelschnitten, welche durch die Berührungspunkte der Doppeltangenten einer ebenen Curve 4. Ordnung gehen 93
Ed. V. Weber: üeber simultane partielle Differentialgleichungen
II. 0. mit drei Variabein 101
F. V. Sandberger: üeber Blei- und Fahlerzgänge in der Gegend
von Weilmünster und Runkel in Nassau 115
N. Rü ding er: üeber Leucocyten Wanderung in den Schleim- häuten des Darmkanals 125
Akademische Buchdruckerei von F. Straub in München.
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der
mathematisch -physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
ZU IVEünchen.
1895. Heft IL
'^München.
Verlag der K. A.kademie. 1895.
In Commission des 6. Franz'schcn Verlags (J. Both).
Sitzungsberichte
der
königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.
OeflFentliche Sitzung
zar Feier des 136. Stiftungstages
am 28. M&rz 1895.
Der Präsident der Akademie, Herr M. v. Pettenkofer, eröffnet die Sitzung mit folgenden Worten zum Gedächtniss zweier Ehrenmitglieder der Akademie:
Der 28. März heute ist der Stiftungstag der k. bajer. Akademie der Wissenschafken, welcher jährlich durch eine öflFentliche Festsitzung gefeiert wird. Diese Stiftungsfeier dient herkömmlich dazu, jener unsrer Mitglieder zu gedenken, welche während des abgelaufenen Jahres verstorben sind.
Ich habe zweier verstorbener Ehrenmitglieder zu ge- denken.
Adolf Friedrich Graf von Schack.
Am 14. April 1894 starb zu Rom Seine Excellenz Adolf Friedrich Graf von Schack, geboren am 2. Au- gust 1815 zu Schwerin, am 15. Juli 1856 von der Gesammt- Akademie zum Ehrenmitgliede gewählt. Der Vorschlag, von unserem verstorbenen Mitgliede Markus Müller ausgehend, lautet wörtlich:
1895. Math.-phys.Cl. 2. 11
156 Oeff entliehe Sitzung vom 28, März 1895,
„Als Edelmann, Diplomat und Freund der höchsten Person des Staates nimmt Adolf Friedrich Graf von Schack eine ausgezeichnete sociale Stellung ein, und als Gelehrter und Dichter steht er auf gleicher Stufe mit den ersten Grössen unseres Vaterlandes.
Seine Geschichte der dramatischen Literatur und Kunst Spaniens (3 Bände 1845) ist ein Meisterwerk literarisch- historischer Forschung und zeugt ebenso von tiefen Studien wie von einer seltenen Schärfe und Besonnenheit der ür- theile und einer gediegenen Vollendung des Geschmackes. Daran reiht sich sein spanisches Theater (2 Bände 1845), in welchem er mehrere der spanischen Dramas von Buiz Alarcon, Cervantes, Lope de Vega und Calderon in deutschem Gewände dem Publikum geschenkt hat, mit einer Gewandt- heit der Sprache und Schönheit und Adel des Ausdrucks, die ihn neben die ersten Meister der Uebersetzungskunst stellt. Dasselbe gilt von seiner üebersetzung der epischen Gedichte des Firdusi, in welcher er ebenso durch gründliche Kenntniss des persischen Idioms, wie durch den feinen poeti- schen Sinn und Trefflichkeit der Uebertragung glänzt."
Die Akademie trat einstimmig diesem Vorschlage bei.
Adolf Friedrich von Schack hat sein Leben lang der Wissenschaft und der Kunst getreulich gedient. Es liegt nun ein Leben geschlossen vor uns da, welches allen materia- listischen Verlockungen widerstrebend stets idealen Zielen geweiht war. Sein Lebensgang ist merkwürdig. Neben seinen juristischen Studien an den Universitäten Bonn, Heidel- berg und Berlin (1834 bis 1838) betrieb er eifrig das Studium der europäischen Literaturen und der orientalischen Sprachen, machte in den Ferien Reisen für wissenschaftliche Zwecke, trat dann in die Dienste des Grossherzogs von Mecklen- burg und begleitete denselben als Kammerherr und Legations- rath auf seinen Reisen nach Italien und Konstantinopel. Dann wurde er nach Frankfurt am Main zum Bundestage,
V, Pettenkofer: Nekrolog auf Adolf Friedrieh Grafv, Schock, 157
wo sein Vater mecklenburgischer Gesandter war, versetzt, nod 1849 kam er als Bevollmächtigter seines Souveräns, dann als Geschäftsträger nach Berlin. Von Haus aus reich begütert und schon in einem Alter von 34 Jahren zu einer ehrenvollen diplomatischen Stellung gelangt, lag Herrn von Schack ein weiterer glänzender, genussreicher Lebens- lauf vor, den wohl die meisten Menschen gerne weiter ge- wandelt wären. Aber der junge Adolf Friedrich von Schack verzichtete 1852 auf seine amtliche Stellung und ging als Privatmann nach Spanien, um dort über die Geschichte und Cultur des Landes und der spanischen Araber weiter zu forschen. Er hatte sieh dafür durch eingehendes Studium der orientalischen Sprachen, namentlich des Sanskrit, Arabi- schen und Persischen vorbereitet. Im Jahre 1856 folgte er einer Einladung unseres damaligen Protektors König Maxi- milian IL, nach München überzusiedeln, wo er sich in der Briennerstrasse ein Wohnhaus kaufte, welches später nach den Plänen des Architekten und Bildhauers Lorenz Gedou umgebaut wurde, in welchem Anwesen er auch die von ihm gegründete, berühmte Bildergalerie unterbrachte. Diese Galerie enthält Meisterwerke von damals lebenden, aber viel- fach noch verkannten Künstlern (Genelli, Peuerbach, Böck- lin etc.) und dazu auch Gopien von hervorragenden Werken anerkannter alter Meister (Tizian, Velasquez, Murillo etc.). Diese Schack-Galerie ist zur Zeit eine vielbesuchte Sehens- würdigkeit Münchens. Ihr Gründer vermachte sie letztwillig Seiner Majestät dem Deutschen Kaiser, welcher sie aber in huldvollster Weise nicht nach Berlin verpflanzte, sondern in München beliess. Die Gründung dieser Galerie und die wissenschaftlichen und poetischen Leistungen ihres Gründers veranlassten Seine Majestät, Herrn von Schack in den Grafen- stand zu erheben, und veranlassten auch den Magistrat München, ihn zum Ehrenbürger zu ernennen.
Ueber Schacks Bedeutung als Gelehrter hat sich MarkoB
11*
158 OeffentUche Sitzung vom 28. März 1895,
Müller in dem eben verlesenen Antrage bezeichnend aus- gesprochen, und habe ich dem nichts beizufügen ; über seine Bedeutung als Dichter theilt mir ein sachverständiges Mit- glied unserer Akademie folgendes mit:
„Wie uns Schack in seinen meisterhaften Uebersetzungen die fremde Welt der Inder, Perser und Araber näher ge- bracht hat, so liebt er es auch in seinen zahlreichen eigenen Dichtungen, uns in die verschiedensten Welttheile, die ver- schiedensten Zeiten zu versetzen und weitschauenden Blicks die geistige Entwicklung der Menschheit bis zur lebendigen Gegenwart zu verfolgen mit prophetischem Hinweis auf eine kommende Verbrüderung aller Völker. Er ist der Cultur- dichter im vollen Sinne des Wortes mit all seinen Licht- und Schattenseiten, kein unmittelbar wirkender Lyriker, aber ein tief und vielseitig gebildeter Geist, der erhabene Gedanken und edles Streben in klangvoller Sprache zum Ausdruck bringt und die mannigfaltigsten Kunstformen mit sicherer Meisterschaft beherrscht.'
Unsere Akademie wird des Verblichenen stets ehrend gedenken.
Ismail Pascha.
Ein anderes Ehrenmitglied, Ismail Pascha, früher Chediv von Aegypten, geboren am 31. Dezember 1830 zu Kairo, starb jüngst am 2. März 1895 in Konstantinopel und wurde am 12. März in Kairo feierlich bestattet. Er war der erste Muhamedaner, der unserer Akademie angehörte, am 18. Juni 1874 gewählt. Der Vorschlag zu seiner Wahl ging von unserem verstorbenen Mitgliede Franz von Kobell aas und lautet wörtlich: «Der Unterzeichnete erlaubt sich zum Ehren- mitglied der Akademie Seine Hoheit den Vicekönig von Aegypten Ismail Pascha vorzuschlagen. Dieser Herr hat sich durch die liberale Unterstützung der geographischen
V. Pettenkofer: Nekrolog auf Ismail Pascha, 159
Expedition von Baker und Schweinfurt und durch die glän- zende Ausrüstung der Rohlf sehen Expedition zur Erforschung der libyschen Wüste wesentliche Verdienste um die Wissen- schaft erworben. An letzterer Expedition bat auch unser Mitglied Professor Zittel Theil genommen und die paläonto- logische Sammlung des Staates ist von ihm durch interessante Erwerbungen bereichert worden. Der Vicekönig hat sehr liberal gestattet, dass die auf der Reise gemachten natur- historischen Sammlungen überhaupt den betreffenden Samm- lungen in Berlin und München einverleibt werden. Es dürfte daher vollkommen gerechtfertigt sein, dass dem hohen Herrn von Seite unserer Akademie ein Zeichen der Anerkennung geboten werde.*
Die Akademie trat diesem Vorschlage einstimmig bei.
Ismail Pascha musste bekanntlich von der Regierung zurücktreten. Darüber weiss ich nichts Besseres und Ent- sprechenderes zu sagen, als was der berühmte Aegyptologe Professor Dr. Georg Ebers, welcher länger in Aegypten weilte und mit Ismail Pascha persönlich verkehrte, uns rait- getheilt hat. „Die verschwenderische Rücksichtslosigkeit, mit der der jüngst verstorbene Chediv Ismail über die reichen Mittel seines Landes verfügte, musste er in der Verbannung büssen. Die Bevorzugung, die den Europäern so deutlich und lange durch ihn zu Theil ward, hatte die national ge- sinnten Unterthanen gegen ihn aufgebracht, und es mag dahingestellt bleiben, in wie weit ihn die Hoffnung auf Vermehrung seiner Einkünfte und der Wunsch sich in Europa Berücksichtigung und Lob zu erwerben, antrieben, sich als Förderer der Cultur zu bewähren. Jedenfalls besass er Eigenschaften und bethätigte er seinen Geist und seine Thatkraft durch Handlungen und Werke, die es einer wissen- schaftlichen Körperschaft, deren Bestrebungen er gelegentlich verständnissvoll und freigebig unterstützt hatte, nahe legen durfte, ihrer Anerkennung auch äusserlich Ausdruck zu geben.
160 OeffenÜiche Sitzung vom 28. Mars 1895,
Von seinem Grossvater Mohammed Ali, dem Erneuerer Aegyp- tens, hatte er den lebhaften, der europäischen Cultur ge- neigten Geist, von seinem Vater Ibrahim, dem Sieger von Nisibi, wo unser Moltke gegen ihn focht, den unternehmen- den Sinn geerbt. Seinen französischen Erziehern verdankte er eine Bildung, die, obwohl sie nicht tief ging, ihm doch gestattete, die Bedeutung und Würde der Wissenschaft zu erkennen. Neue Gedanken und Entwürfe, die man ihm mittheilte und vorlegte, begriff er und verstand es ihnen zu folgen und ihnen das für seine Zwecke Brauchbare zu ent- nehmen. Darum wurde es auch Herrn von Lesseps leicht, den Ghediv Ismail für die unter seinem Vorgänger begonnene Durchstechung der Landenge von Suez zu gewinnen, so viele Hillionen sie auch wieder und wieder in Anspruch nahm. Ebenso glückte es dem französischen Alterthumsforscher Auguste Mariette, den Ghediv für die Denkmäler aus der Pharaonenzeit zu interessiren und von ihm die Mittel zu Ausgrabungen in grossem Stil, zur Herausgabe von nützlichen Publicationswerken und endlich für die Anlage jenes Antiqui- tätenmuseums in Kairo zu erlangen, das schon bei Ismails Verjagung seinesgleichen nicht hatte. Als Gerhard Rohlfs und Karl Zittel die Erforschung der libyschen Wüste unter- nahmen, schenkte er dieser ergebnissreicfaen Expedition, so- wie der früheren von Baker und Schweinfurt nicht nur materielle Unterstützung, sondern auch verständnissvolle Theilnahme. Auch vielen anderen Forschem gewährte er thatkräftige Unterstützung. So dem Astronomen Mahmud Be (später Pascha) bei seinen der Topographie des alten Ale- xandrien gewidmeten Arbeiten, und Ernst Haeckel, indem er ihm für seine zoologischen Untersuchungen im Rothen Meere einen Dampfer zur Verfügung stellte. Die Bibliothek im Palast Derb-el-Gamamiz zu Kairo dankt ihm die Ent- stehung und ihre tüchtige Verwaltung durch deutsche Ge- lehrte (Dr. Stern und Dr. Spitta). Jetzt steht ihr Dr. Völlers
V. Voit: Nekrolog auf Carl Majcimüian v, Bauernfeind. 161
vor. Herr Dor, ein tüchtiger Schweizer Pädagog, richtete seine Aufmerksamkeit auf das Erziehungswesen des Landes. Mit schöner Duldsamkeit unterstützte, der Ghediv die Errich- tung auch christlicher Schulen und Kirchen. Die Neu- gestaltung des ägyptischen Medicinal- und Gerichtswesens ging gleichfalls von ihm aus. Was er für die Bewässerung seines Reiches, für den Verkehr durch Anlage von Eisen- bahnen und Telegraphen, för die Wohlfahrt der Unterthaneu durch die Pflanzung Schatten spendender Bäume in gross- artiger Menge that, verdient so gewiss der Erwähnung, wie dass er die Zwangsarbeit aufhob und den Sklavenhandel beschränkte."
Also Segen auch seinem Angedenken!
Der Classensecretär, C. v. Voit, gedenkt der seit dem letzten Stiftungstage gestorbenen Mitglieder der Classe.
Die mathematisch - physikalidche Classe hat im ver- flossenen Jahre zwei ordentliche Mitglieder: Carl Maximilian V. Bauernfeind und Carl v. Haushofer, ferner vier aus- wärtige Mitglieder: Die Physiker August Kundt und Her- mann V. Helmholtz in Berlin, den Botaniker Nathanael Pringsheim in Berlin und den Anatomen Josef Hyrtl in Wien durch den Tod verloren.
Carl Maximilian von Banemfeind.
Am 3. August vorigen Jahres endete das Leben eines Mannes, der in rastloser fruchtbarer Thätigkeit nur durch eigene Kraft und Tüchtigkeit sich zu angesehenster Stellung emporgearbeitet, die Geodäsie und Ingenieurkunde mächtig gefördert und durch die glückliche Organisation des techni- schen Unterrichtes seinem Vaterlande die grössten Dienste geleistet hat.
Carl Maximilian Bauernfeind wurde .am 28. No-
162 Oeff entliche Sügung vom 28. März 1895,
vember 1818 in dem Städtchen Arzberg im Fichtelgebirge als Sohn eines Schmiedmeisters geboren. Die an Kindern reichen, an Mitteln armen Eltern waren nicht in der Lage den Knaben, dessen besondere Begabung sich früh zeigte, einen regelmässigen Studiengang durchmachen zu lassen. Er wurde in die Lateinschule nach dem benachbarten Wun- siedel geschickt, dann in die Gewerbeschule und die poly- technische Schule nach Nürnberg, woselbst er drei Jahre (von 1836 bis 1838) verblieb. Aber gerade die entgegen- stehenden Schwierigkeiten stählten seinen Willen und trieben ihn zu ernster Arbeit.
Er hatte das grosse Glück, dass an der polytechnischen Schule zu Nürnberg damals als Professor der Mathematik und Physik Georg Simon Ohm, gleich bedeutend als Forscher wie als Lehrer, wirkte. Bauernfeind schildert ihn in einer am 28. Juli 1882 gehaltenen Gedächtnissrede als unver- gleichlichen Lehrer, an welchem die Jugend einen begeistern- den Führer nicht bloss im Bereiche der Mathematik und Physik, sondern des Wissens überhaupt fand, von dessen Geiste Jeder eine innerliche Wirkung verspürte. Ohm war sich klar darüber, dass die gewöhnliche Lehr weise durch Vorträge in den Naturwissenschaften nicht ausreichend sei; er suchte die Schüler in ununterbrochenem lebendigem Ver- kehr durch Fragen und Uebungen an der Tafel zu selb- ständigem Denken anzuregen. Bauernfeind stand mit seinem geliebten Lehrer noch länger in Briefwechsel und verkehrte später nach dessen Berufung nach München viel mit ihm.
Auf diese Weise vortrefflich vorbereitet, bezog Bauern- feind (1838) die Universität München, wo damals noch die technischen Beamten, die Architekten, Ingenieure etc. ihre Ausbildung empfingen; er war daselbst während zweier Jahre als Studirender der Industrie inscribirt und hörte mathe- matische, naturwissenschaftliche und staatswirthschafthcbe Vorlesungen.
f?. Voit: Nekrolog auf Carl Maonmüian v, Bauernfeind, 163
Hier warde für sein Leben die Begegnung mit einem hervorragenden, ganz eigenartigen Manne der Technik, mit Josef V. Utzscbneider, entscheidend. Dieser i, edelste Vater- landsfreund'', wie ihn die Grabschrift nennt, hatte sich um die Staats- und Yolkswirthschaft in Bayern in höchstem Grade verdient gemacht: ihm verdankt man die Reform der Finanzverwaltung, des Steuerkatasters und der Staatsschulden- tilgung, femer die Durchführung einer für die damalige Zeit musterhaften Landesvermessung, die Anbahnung einer rationellen Forst- und Landwirthschaft, die ersten Versuche mit dem Runkelröbenbau während der Continentalsperre, die Gultivirung ausgedehnter Moosflächen, die Verbesserung des Salzbergbaues und des Sudwesens; er machte ferner mit Georg Beichenbach und Josef Fraunhofer München durch Gründung der mathematisch - mechanischen und optischen Institute zur Pflanzstätte für Feinmechanik; und ward nach seinem Rücktritte vom Staatsdienste als Bürgermeister Mün- chens in uneigennützigster Weise der Begründer einer In- dustrie der Stadt durch bedeutende Unternehmungen: durch Anlage einer Lederfabrik, einer Tuchfabrik, einer Spiritus- fabrik, einer Glashütte, einer ersten grossen Brauerei etc. An diesen merkwürdigen Mann hatten Bauemfeind seine Nürnberger Lehrer empfohlen, der den Werth und das Streben des jungen Mannes alsbald erkannte, ihm die zur Fortsetzung seiner Studien nothigen Mittel gewährte, ihm Wohnung in seinem Hause in Obergiesing, dem jetzigen Warthofe, gab und ihn bis zu seinem im Jahre 1840 er- folgten Tode ein wahrer väterlicher Freund und Rathgeber blieb.
Utzscbneider hatte ein besonderes Geschick die rechten Leute zu finden und sie auf den ihren Talenten passenden Platz zu stellen. So bestimmte er seinen Schützling, sich dem Ingenieurfach zu widmen. Damals (1840) wurde eben der vierte Jahreskurs der hiesigen polytechnischen Schule
164 Oeffentliche SiUung vom 28. März 1895.
in einen, von dem trefflichen Friedrich Aagust Pauli, dem späteren Oberbaudirektor, geleiteten Ingenieurcurs verwandelt, in welchen Bauernfeind eintrat. Schon ein Jahr darauf bestand er die Staatsprüfung für das Ingenieurfach mit Aus* Zeichnung und kam alsbald als Baupraktikant zu der Eisen- bahnbaucommission nach Nürnberg und dann zu der Eisen- bahnbausektion nach Hof, woselbst er mit den Projectirungs- arbeiten und der Bauleitung für die dortigen schwierigen Bahnbauten beschäftigt war.
Diese für seine fernere Laufbahn äusserst nutzbringende praktische Thätigkeit wurde (1844) unterbrochen durch die Einberufung als Hilfslehrer des Ingenieurcurses nach München, an welchem er drei Jahre vorher noch Schüler war. Neben- bei erhielt er (1846) die Stelle eines functionirenden In- genieurs der Direction der Eisenbahnen. Im Jahre 1849 erfolgte seine Anstellung als zweiter Professor der Ingenieur- wissenschaften an der polytechnischen Schule, 1851 die als erster Professor, womit er die Stellung als Bauingenieur wieder aufgab.
Damit begann für Bauernfeind eine durch fast 50 Jahre fortgesetzte fruchtbare Lehrthätigkeit in der gesammten In- genieurkimde: im . Strassen-, Brücken- und Eisenbahnbau, sowie in der Geodäsie; er war ein ganz vorzüglicher, klarer und gewissenhafter Lehrer, dem alle bayerischen Ingenieare ihre Ausbildung verdanken, nicht nur die theoretische, son- dern auch die praktische durch den Unterricht in der prakti- schen Geometrie und im Gebrauche der Messinstrumente. Zu dieser Zeit, wo seine Stellung fest begründet war, begann er auch sich mit wissenschaftlichen Problemen zu befassen. In Folge davon hat ihm (1853) die Erlanger Universität, besonders für seine Arbeit über die Planimeter, den Titel eines Doktors der Philosophie verliehen. Doch wurde er (1858) noch einmal in den praktischen Dienst gerufen durch die Ernennung zum Baurath bei der obersten Baubehörde,
V, Voit: Nekrolog auf Carl Maximüian «. Sauemfeind. 165
wo er während zehn Jahren das Referat über Eisenbahn- und Brückenbauten hatte.
Mittlerweile war ein wichtiger Abschnitt in dem Leben Bauernfeind^s herangekommen. Seit längerer Zeit (1857) befasste man sich in Bayern mit dem Plane einer Neu- organisation der technischen Lehranstalten, aber man konnte über die Principien nicht einig werden. Keine Geringeren wie Georg Reicbenbach und Josef Fraunhofer hatten schon im Jahre 1823 eine Denkschrift dem Ministerium vorgelegt, worin sie für alle technischen Studien eine auf wissenschaft- licher Grundlage aufgebaute Hochschule verlangten. Erst der Minister v. Schlor griff diesen Gedanken wieder auf und fand in Bauemfeind einen für die Aufgabe begeisterten, ebenso sachkundigen wie energischen Ratbgeber. Nicht eine Anstalt zur empirischen Abrichtung und zur Erlernung ge* wisser Regeln sollte entstehen, sondern eine Stätte der Wissen- schaft, in welcher die Schüler befähigt werden za denken und in den einzelnen Fällen selbst zu entscheiden, was das Richtige ist. Es stand bei ihm fest, dass die Mathematik und die Naturwissenschaften wie Physik, Mechanik, Chemie, Geognosie, Physiologie etc. ebenfalls zu einer allgemeinen Bildung führen, indem sie die Befähigung geben, in fremde Gebiete mit klarem Blicke zu schauen und deren Beziehungen zu dem eigenen Berufe zu erfassen. Ihm wurde nach manchen Kämpfen die ganze Organisation der neuen Hoch- schule anvertraut, er wählte mit grossem Geschick die ersten Lehrer derselben aus, und er wurde zum Professor der Ingenieurwissenscbaften und der Geodäsie, sowie zum Director während der sechs ersten Jahre ernannt. Als im Jahre 1868 die Hochschule in dem prächtigen Neubau eröffnet wurde, da konnte man sagen, dass ein gelungenes Werk vorliege und dass Bauernfeind sich um dasselbe das grösste Verdienst erworben habe. Im Jahre 1874 erhielt er den Titel und Rang eines Directors der technischen Hoch-
166 Oeffentliche Sitzung wm 28. Mä/rg 1895,
schule, und von 1880 bis 1889 fährte er abermals das Amt eines Directors derselben. Solange die technische Hoch- schule bestehen bleibt, wird man sich dankbar des Mannes erinnern, der das Meiste zu ihrer Gründung und zu ihrem Gedeihen gethan hat.
Noch an einer andern bedeutungsvollen Aufgabe konnte sich der Geodät Bauemfeind betheiligen, an der europäischen Gradmessung. Dieses grossartige wissenschaftliche Unter- nehmen hatte im Jahre 1861 der k. preuss. Generallieutenant J. J. Baeyer, der Schüler BessePs, ins Leben gerufen; fast alle Staaten Europas betheiligten sich an demselben, so dass es später zu einer internationalen Erdmessung erweitert wurde. Zur Durchführung der für die Zwecke der euro- päischen Gradmessung in Bayern vorzunehmenden Arbeiten wurde (1868) eine bayerische Commission, bestehend aus Mitgliedern der math.-phys. Glasse der Akademie, gebildet. Bauemfeind wurde ständiger Secretär und Stellvertreter des Vorstandes dieser Commission. Dieselbe sollte darüber wachen, dass alle auf Bayern treffenden Gradmessungsarbeiten nach den Beschlössen der allgemeinen Conferenzen und der per- manenten Commission der europäischen Gradmessung voll- zogen werden. Sie hatte zunächst die zur Durchführung der Gradmessung in Bayern nöthigen Arbeiten einzuleiten; Bauemfeind fielen die geometrischen Nivellements erster Ordnung zu, wozu er die Instrumente wählte und die Me- thoden der Nivellirung, sowie die Berechnung der Resultate angab, eine Arbeit, die ihn bis an seine letzten Lebenstage beschäftigte. Im Jahre 1871 trat er in die aus den be- deutendsten Fachmännern zusammengesetzte permanente Com- mission ein, in welcher er an der Seite Baeyer's zum Vice- präsidenten gewählt wurde.
Indem wir uns nach diesem TJeberblicke über den Lebens- gang Bauernfeind's zu seiner wissenschaftlichen Thätigkeit wenden, muss zur Charakterisirung derselben bemerkt werden,
V, Veit: Nekrolog auf Carl Maximilian v. Bauemfeind, 167
dass dieselbe sich stets als Bedürfniss für seine praktischen Arbeiten als Geodät und Ingenieur ergab; er verfolgte damit den Zweck, die letzteren zu fördern und genauer zu gestalten.
Eine seiner ersten Veröflfentlichungen (1846) war der Beitrag zur Theorie der Brückengewölbe. Pauli hatte bei seinen Vorträgen im Ingenieurcurs eine wahrscheinlich aus englischen Quellen geschöpfte höchst einfache graphische Behandlung der in einem Gewölbe thätigen Kräfte mitge* tbeilt; an Stelle dieses graphischen Verfahrens setzte nun Bauernfeind das analytische und erweiterte so die Gewölbe* theorie. Die erste von Pauli construirte Fachwerkbrücke über die Günz entsprach nicht ganz den Anforderungen, was Banem- feind (1856) veranlasste ein anderes Trägersystem zu berech* nen, wornach die von Gerber ausgeführte Construction bei der Grosshesseloher Brücke zur erstmaligen Anwendung kam.
Das von ihm (1851) angegebene Prismenkreuz, ein neues Messinstrument zum Abmessen von Winkeln für In- genieure und Geometer, hat eine weite Verbreitung gefunden; indem er statt der Spiegel Glasprismen als reflectirende Flächen anwendete, gelaug es ihm in Folge der Durch* sichtigkeit der letzteren die Bilder zweier Gegenstände in grösserer Aasdehnung zur Deckung zu bringen, als es bei den Spiegeln möglich ist, und so eine genauere Messung zu erzielen.
Seine Besprechung der drei damals (1853) existirenden, aber noch wenig bekannten Planimeter von Ernst, Welti und Hansen hat zur Anwendung dieser Instrumente in der Praxis viel beigetragen.
Bauernfeind^s Elemente der Vermessungskunde, ein Lehr* buch der praktischen Geometrie in zwei Bänden (1856 in erster, 1890 iu siebenter Auflage erschienen) sind wohl sein bedeutungsvollstes Werk, welches zu seiner Zeit nur von ihm bearbeitet werden konnte. Dieses ungemein klar und ver- ständlich geschriebene, von wissenschaftlichem Geiste erfüllte Lehrbuch hat durch die systematische Zusammenfassung der
168 Oeffentliche SUeung vom 28, Märe 1895.
damaligen Kenntnisse die Erlernung der Methoden der Ver^ messungskunde ungemein erleichtert.
Auch die von Bauernfeind herausgegebenen Vorlage- blätter zur Brückenbaukunde, zur Strassen« und Eisenbahn- baukunde und zur Wasserbaukunde haben för die Ausbildung des Ingenieurs grossen Nutzen gebracht.
Die seit Anfang des Jahrhunderts in Bayern vorgenom- mene Landesvermessung hatte zunächst eine nach wissen- schaftlichen Principien ausgeführte Triangulation ausgeführt, welche für jene Zeit als musterhaft anerkannt war: Schiegg hatte sich an der Ausführung betheiligt, Soldner die Methoden der Berechnung geliefert und Utzschneider die Einrichtungen gemacht; die besten, aus den Werkstatten von Reichenbach und Ertel und von Fraunhofer hervorgegangenen geodätischen und astronomischen Instrumente waren zur Verwendung ge- langt. In dem von der k. b. Steuerkatastercommission und dem k. b. topographischen Bureau (1878) herausgegebenen grossen Werke: Die bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage prüfte Bauernfeind, ob diese Triangulirung auch den höheren Anforderungen einer Grad- messung genüge, wobei sich zeigte, dass dieselbe, nach Er- gänzung des Hauptdreiecknetzes durch eine Anzahl neuer Winkelmessungen und nach Umrechnung der Resultate eines Theils des Hauptnetzes sehr wohl der europäischen Grad- messung eingefügt werden durfte.
In Verbindung mit der europäischen Gradmessung wurden ferner in Bayern ausgedehnte Präcisions-Nivellements unter Bauemfeind's Oberleitung durch die Assistenten der bayerischen Gradmessungscommission ausgeführt. Diese Ni- vellements längs der Eisenbahnen und Landstrassen, durch welche die Meeresspiegel an den Küsten Europas verbunden und in allen Ländern eine grosse Anzahl genau nivellirter Marken als Grundlagen für weitere Höhenmessungen zu technischen und wissenschaftlichen Zwecken geschaffen werden
V. Vait: Nekrolog auf Conti Maximilian v, Sauemfeind. 169
sollten, gehören zu dem Besten, was die neuere Zeit auf diesem Gebiete geleistet hat.
Für geodätische Höhenbestimmungen benützt man be- kanntlich das Barometer und die trigonometrische Messung; die letztere ist genauer, die erstere aber bequemer. Die barometrischen Bestimmungen erwiesen sich durch noch un- bekannte Einflüsse als unsicher. Dies führte Bauernfeind dazu, umfassende Untersuchungen über die Genauigkeit der barometrischen Höhenmessungen anzustellen. Er liess zu dem Zwecke (1857) den grossen Miesing genau geometrisch nivelliren und dann an fünf in Höhenabständen von 270 m befindlichen Punkten von 10 Schülern gleichzeitig Beobach- tungen über die Aenderungen des Druckes, der Temperatur und des Wassergehaltes der Luft mit der Höhe machen.
Daran schlössen sich seine beiden Untersuchungen über die atmosphärische Strahlenbrechung (1864 und 1866) an. In der ersteren über die astronomische Strahlenbrechung stellte er die Besserschen mittleren Refractionen bis zu 90^ Zenithdistanz fest; in der zweiten über die terrestrische Strahlenbrechung ermittelte er auf theoretischem Wege die Abnahme der Coefficienten derselben mit der Höhe als eine nothwendige Folge der früher aus seinen barometrischen Messungen aufgestellten Luftdichtigkeitsformel. Später (1877) wurden auf Veranlassung der Commission der europäischen Gradmessung noch weitere Beobachtungen der terrestrischen Refraction im Fichtelgebirge und dann zwischen dem Schlier- see und dem Chiemsee unter seiner Leitung gemacht.
Aus allen diesen Beobachtungen erkannte er in der Wärmestrahlung des Erdbodens die Ursache, warum bei den barometrischen Messungen tägliche Perioden auftreten, indem Mittags grössere, Morgens und Abends kleinere Höhen als die wirklichen erhalten werden. Er entwickelte ferner Gleichungen für die die verschieden dichten Schichten der Atmosphäre durchdringenden Lichtstrahlen und wies auch
170 Oeffentliche Sitzung vom 28. März 1895.
für die trigonometrische Höhenmessung einen Einflnss der Wärmestrahlung des Erdbodens in täglichen Perioden nach. Für die Geodäsie, die barometrischen Höhenbestimmnngen, sowie auch für die Meteorologie waren diese Arbeiten Bauernfeind's von Belang; er hat sie für seine bedeutendste Leistung gehalten.
Es ist, wie man ersieht, nicht die reine Mathematik oder die Physik, welche Bauernfeind durch neue Erkennt- nisse bereicherte; er hat vielmehr durch die Anwendung derselben für die wissenschaftliche Ausbildung der Geodäsie und Ingenieurkunde Bedeutsames geleistet und ist dadurch, sowie durch die mit Geschick organisirten und geleiteten gemeinschaftlichen Messungen seiner Schüler zu einem der angesehensten Vertreter in seinem Fache geworden. Das hohe Ansehen und die Achtung, welche er sich allseitig er- rungen hat, zeigte sich besonders bei der Feier seines 70. Geburtstages am 28. November 1888, den er noch in voller Rüstigkeit im Amte beging.
So ist der aus dem Volke hervorgegangene Sohn des Schmiedes durch eigene Kraft seines Glückes Schmied ge- worden. Der mächtige Kopf mit den ausdrucksvollen scharfen Zügen Hess alsbald den bedeutenden Mann von festem Cha- rakter erkennen, welcher genau wusste, was er wollte, und mit umsichtiger Klugheit durchsetzte, was er anstrebte. Eine vornehme Erscheinung von gemessenem Wesen ver- langte er Beachtung seiner Stellung und zeigte, dass er zu herrschen gewohnt war.
Ein Jahr nach seinem 70. Geburtstage legte er die Ge- schäfte eines Directors der technischen Hochschule nieder, da sich Symptome des Nachlassens der Kräfte bemerklich machten; 1890 trat er auch vom Lehramte zurück. Es stellten sich die Anfänge eines schweren Leidens ein, dessen Qualen er mit Heldenmuth ertrug. Klaren Geistes nahm er Abschied von seiner Familie und seinen Freunden mit dem Bewusstsein sein Leben gut angewendet zu haben.
t>. Vait: Nekrolog auf Karl v. Haushof er. 171
Karl von Haushofer.
Die mathematisch-physikalische Glasse beklagt den allzu- frühen Tod eines verdienten, reich veranlagten und höchst liebenswürdigen CoUegen, welcher wissenschaftliche und künst- lerische Befähigung in gleichem Grade in sich vereinigte.
Karl Haushofer erblickte am 28. April 1839 zu München als Sohn des Landschaftsmalers Max Haushofer das Licht der Welt. Letzterer gehörte zu denjenigen hiesigen Malern, welche damals begannen im bayerischen Gebirge Studien nach der Natur zu machen; es war eine idyllische Zeit voll Frohsinns und freudigen Schaffens. In der Sorge um seine Familie verliess er 1844 mit schwerem Herzen die Heimath, um einen Ruf als Professor an die Kunstakademie zu Prag anzunehmen, woselbst der Sohn die Jugendjahre verbrachte.
Letzterer hatte von dem Vater das Verstandniss für die Schönheit der Natur und das Talent für die künstlerische Darstellung geerbt. Frühzeitig fing er an zu zeichnen und zu malen, und zwar Alles, was ihm vorkam. Landschaftliches und Figürliches. Dieser aufs Feinste ausgebildete Farben- und Formensinn und das Talent des Zeichnens kam ihm später bei seinen wissenschaftlichen Arbeiten, bei den von ihm entworfenen geologischen Wandtafeln und bei den Vor- lesungen sehr zu Statten. Die Liebe zur Naturschönheit wurde gepflegt und entwickelt durch den Aufenthalt an dem Chiemsee, wo die Eltern Haushofer's, an beständigem Heim- weh nach der bayerischen Heimath leidend, alljährlich zwei Sommermonate zubrachten. Die Bilder jener Landschaft: See, Wald und Hochgebirge senkten sich tief in die Seele des Knaben und noch in späteren Jahren suchte er dorten, bis kurz vor seinem Tode, Erholung nach den Mühen der Arbeit.
In Prag besuchte er das deutsche Gymnasium auf der Kleinseite (1849 — 1856), an welchem einsichtsvolle Lehrer
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wirkten. Auch die Naturwissenschaften wurden daselbst eifrig gepflegt: Physik, Botanik, Zoologie und Mineralogie waren obligate Lehrgegenstände. Der junge Haushofer nahm das grösste Interesse daran und beschäftigte sich auch zu Hause mit physikalischen und chemischen Experimenten. Besondere Neigung brachte er der Mineralogie entgegen; der Vater besass eine nicht unbedeutende Mineraliensamm- lung, welche dem Sohn zur Anregung diente, so dass er schon als Gymnasiast jedes ihm vorkommende Mineral be- stimmen lernte.
Nur ungern hatte sich der Vater von seinen beiden Söhnen (1856) getrennt, um dieselben in Bayern das Gym- nasium absolviren zu lassen, da er wünschte, dass sie in der alten Heimath ihren künftigen Lebensweg suchen sollten, nicht in Böhmen, wo schon damals die Nationalitätenfrage das Dasein immer unerquicklicher gestaltete. So absolvirte der junge Haushofer (1857) das Maximilians-Gymnasium zu München und trat dann an die hiesige Universität über.
Es war fast selbstverständlich, dass die Liebe zur Natur und die schon erlangten Kenntnisse ihn bestimmten, sich den Naturwissenschaften, insbesondere der Mineralogie und Geognosie zuzuwenden. Nachdem er noch ein Semester in Prag zugebracht hatte, ging er (1859) an die sächsische Bergakademie zu Freiberg. Der Berghauptmann v. Baust war damals der Leiter dieser in höchstem Ansehen stehenden Anstalt, an welcher Stadirende aus allen Welttheilen sich zusammenfanden; unter der Führung des alten Weishaupt wurden berg- und hüttenmännische Studien neben Chemie und Mineralogie betrieben.
Nach Vollendung der Freiberger Studien musste er sich entscheiden, ob er der Theorie oder dem praktischen Bergwesen sich zuwenden sollte. Namentlich auf eine An- regung aus den Kreisen von Prager Grossindustriellen hin und auch in der Hoffnung bälder zu einem selbständigen
t>. Voit: Ifekrolog auf Karl v. Bauakofet. 173
Erwerb zu gelangen, entschloss er sich dazu, sich dem Eisenhüttenwesen zu widmen. Er trat (1861) in eines der grössten böhmischen Eisenhüttenwerke, in die Hermannshütte bei Stab nächst Pilsen, ein, um mit dem einfachsten Arbeiter die harte Arbeit bei der Oluth des Puddelofens zu theilen. Obwohl er bald zum Walzmeister und Betriebsassistent vor* rückte, war es dem wissensdurstigen, feinfühlenden jungen Manne nicht möglich eine solche Beschäftigung und die Auf- sicht über 400 Arbeiter weiter zu führen. Todmüde, mit Kohlenstaub bedeckt und häufig mit Brandwunden an den Händen von der Arbeit nach Hause kommend, vermochte er nicht mehr ein Buch zu lesen und sich weiter zu bilden.
Der Vater war sehr bestürzt, als er bei einem Besuche der Hütte eine gewisse Verwahrlosung des Sohnes bemerkte; er drang in ihn, die aufreibende praktische Laufbahn und die schon erlangte gute Stellung zu verlassen und zu der Wissenschaft zurückzukehren. Die in der Hütte erworbenen Erfahrungen waren jedoch für ihn nicht verloren; er konnte sie für seine späteren Vorlesungen an der technischen Hoch- schule gut verwerthen.
Er kam wieder an die Universität München, hörte Vor- lesungen bei Liebig und Jolly, und arbeitete namentlich bei Eobell, welcher ihn als Assistenten aufnahm und den ihm in seinem ganzen Wesen sympathischen und in vielen Stücken gleichgesinnten jungen Forscher lieb gewann; er blieb ihm ein allzeit wohlwollender Gönner und Freund.
Im Jahre 1864 löste Haushofer eine von der philosophi- schen Facultät gestellte Preisfrage physikalischen Inhalts: „Untersuchungen über die bei Auflösung von Salzen in Wasser eintretenden Temperatur-Erniedrigungen**. Die Auf- gabe war von Jolly gestellt und in seinem Laboratorium bearbeitet worden. Nun promovirte Haushofer, habilitirte sich (1865) als Privatdozent an der Universität für das Fach der Mineralogie, und wurde, als die technische Hochschule
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(1868) dahier gegründet wurde, Professor für Mineralogie und Eisenhüttenkunde an derselben. Als solcher hatte er die mineralogische und hüttenmännische Sammlung und das mineralogische Laboratorium einzurichten. Er war ein vor- züglicher, pflichtgetreuer Lehrer, beföhigt durch ausgebreitete theoretische und praktische Kenntnisse in seinem Fache.
Durch diese seine Eigenschaften und durch sein ein- nehmendes Wesen erwarb er sich bald das Vertrauen seiner Collegen, die ihn wiederholt zum Vorstände der chemisch- technischen Abtheilung erwählten. Und als im Jahre 1889 der Geh. Rath y. Bauernfeind das Directorium der technischen Hochschule niederlegte, kam Haushofer an seine Stelle, welche er bis zu seinem Lebensende behielt. Er hat die in ihn ge- setzten Erwartungen erfüllt ; als ein gerechter, friedliebender, umsichtiger Vorstand hat er sein schwieriges Amt verwaltet, nur das Wohl der Anstalt berücksichtigend.
Die nicht sehr zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten Haushofer^s zeichnen sich durch feine Beobachtung aus.^)
In seiner Habilitationsschrift (1865) beschäftigte er sich mit den regelmässigen Vertiefungen, welche durch Aetzung mit Säuren auf den Flächen des Ealkspaths entstehen, und den durch Brewster entdeckten Lichtfiguren, welche derartige geätzte Platten hervorbringen. Nachdem er in den folgenden Jahren verschiedene Mineralanalysen und die trefflichen „Hilfstabellen zur Bestimmung der Gesteine^ veröffentlicht hatte, wandte er im Jahre 1873 sein Interesse der schwie- rigen Frage der chemischen Constitution der natürlichen Sili- kate zu. In einer Abhandlung in den Annalen der Chemie und in einer besonderen Schrift (1874) versuchte er, die mo- dernen chemischen Anschauungen auf die in der Natur vor- kommenden kieselsauren Verbindungen anzuwenden und für
1) Die Notizen über Haushofer^s wiBsenschafbliche Thätigkeit verdanke ich der Güte dea Herrn Collegen Grotb.
ö. Voit: Nekrolog auf Karl v, Haushof er. 175
dieselben Gonstitutionsformeln aufzustellen, welche den geneti- schen Beziehungen derselben Rechnung tragen. Da diese letzteren die einzige thatsächliche Grundlage einer solchen Aufstellung bilden, so können die so erhaltenen Formeln nicht denjenigen Grad von Wahrscheinlichkeit besitzen, welche den Formeln von organischen Verbindungen zukommt, die entweder durch Synthese aus Constitutionen bekannten Kor- pern gewonnen oder durch allmählichen Abbau in einfachere Verbindungen zerlegt werden können. Dazu kommt, dass die damalige Eenntniss der empirischen Zusammensetzung der natürlichen Silikate noch vielfach eine ungenügende war und in zahlreichen Fällen noch heute nicht zu einem Ver- suche, auf die Constitution derselben zu schliessen, berechtigt. Immerhin finden sich in Haushofer^s Zusammenstellungen, welche er selbst nur als einen »Versuch** bezeichnet, manche Auffassungen, die auch jetzt noch als richtig anerkannt werden müssen.
Auf dem Gebiete der Erystallographie veröffentlichte Haushofer eine Reihe kleinerer Mittheilungen, meist Unter- suchungen über die Erystallformen organischer Substanzen, theils in der Zeitschrift für Erystallographie, theils in den Arbeiten der Chemiker, welche jene Eörper dargestellt hatten, seit dem Jahre 1877 bis zu seiner letzten Erkrankung.
Daneben gingen her Versuche über das Verhalten des Dolomits gegen Säuren , besonders aber seit 1880 Studien über die mikroskopischen Erystallformen in Niederschlägen. Der Gedanke, die Gegenwart gewisser Elemente durch mikro- skopische Beobachtung der Erystallform von Verbindungen zu erkennen, war zuerst von einigen Petrographen zu mikro- skopischen Reactionen auf Bestandtheile der Mineralien in Gesteinen benutzt worden. Haushofer wandte denselben nun als Hülfsmittel der qualitativen chemischen Analyse auf eine Reihe von Stoffen an, für welche es an empfindlichen Re- actionen fehlt, und zeigte, wie man auf diesem Wege in
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vielen Fällen, selbst bei sehr geringen Mengen verfügbarer Substanz noch den einen oder anderen darin enthaltenen Be- standtheil sicher nachweisen könne. Namentlich bei den so- genannten seltenen Erden ist durch ihn die mikroskopische Methode ein wichtiges Hülfsmittel bei der chemischen Ana- lyse geworden. Eine systematische Zusammenstellung der mikroskopischen Reactionen, als Anleitung zur Erkennung verschiedener Elemente und Verbindungen unter dem Mikro- skope und als ein Supplement zu den Methoden der quali- tativen Analyse, gab er im Jahre 1885 heraus; auch führte er zahlreiche junge Chemiker durch ein von ihm abgehal- tenes Practicum in diese Methode ein.
Seine rege Theilnahme an dem deutschen und oster- reichischen Alpenverein, zuerst als Redacteur der Vereins- zeitschrift, dann als Präsident der Section München, hat auch der Wissenschaft Nutzen gebracht, denn er war stets bemüht, dem Verein wissenschaftliches Interesse zu verleihen, die Ver- öffentlichungen in der Zeitschrift gediegen zu gestalten und die bildliche Ausstattung derselben zu veredeln : seine Gebirgs- landschaften zeichnen sich durch die scharfe Charakteristik der Bergprofile und seine Hochgebirgskarten durch ein besonderes landschaftliches Verständniss aus. Er wird auch in der Ge- schichte der Erschliessung der Ostalpen genannt als einer der ersten, welche die Zillerthaler Eispässe begingen, zu einer Zeit, wo das Führerwesen und der Wegbau noch in den Anfangen waren.
Sowie in der Natur suchte er auch im Leben das Rechte und Schöne. Er war ein ideal denkender Mensch, der höhere Ziele erstrebte und seinen Gedanken und Gefühlen auch in poetischer Form Ausdruck zu geben wusste.
Der im Jahre 1890 erfolgte Tod seiner geliebten Gattin wirkte auf den vorher so kräftigen Mann erschütternd ein; zwei Jahre darnach hatte er einen heftigen Anfall von In-
V, Voit: Nekrolog auf August Kundt. 177
fluenza, von welchem er sich nicht mehr erholen konnte. Er starb nach langem Leiden am 8. Januar 1895, betrauert von Allen, welche seine edlen Eigenschaften gekannt haben.
August Eundt.
Die Physik hat in den letzten Jahren durch das Ableben ihrer hervorragendsten Vertreter in Deutschland die schmerz- lichsten Verluste erlitten; nach dem viel betrauerten Heinrich Hertz ist August Eundt und nach diesem Hermann Helm- holtz im Zeitraum von 9 Monaten gefolgt.
August Eundt ist am 21. Mai 1894 in vollem Schaffen, erst 54 Jahre alt; gestorben. Ein Schüler von Magnus ist er durch sein Talent in kurzer Zeit einer der ersten Physiker geworden; an den Hochschulen von Zürich, Würzburg, Strass- burg und Berlin hat er als unübertrefflicher Lehrer, der eine überaus grosse Zahl wissenschaftlich thätiger Schüler in seinem Laboratorium vereinigte, und als hervorragender For- scher gewirkt.
Von seltener Frische des Geistes und unverwüstlicher Arbeitskraft war er ein von Wenigen erreichter Meister im Experiment, der mit ungewöhnlichem Geschick und Scharf- sinn die Mittel fand, die schwierigsten Aufgaben durch den Versuch zu lösen, wodurch es ihm gelang, auf den ver- schiedensten Gebieten die Physik mit vielen wichtigen That- sachen und Erkenntnissen zu bereichern. Er gehörte nicht zu den eigentlichen mathematischen Physikern, aber er ging bei seinen Arbeiten zumeist mit feinem Verständniss für die vorliegenden Fragen von theoretischen Betrachtungen aus.
Bei seinen ersten, auf dem Gebiete der Akustik sich bewegenden Arbeiten, gelang es ihm, eine neue höchst sinnreiche Methode der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles zu finden, deren Anwendung ihn zu bedeutungsvollen Aufschlüssen führte. An seine Untersuchungen über die
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Doppelbrechung des Lichtes in tonenden Stäben hatte sich ein Versuch über die üebertragung der Bewegung longitu- dinal schwingender Röhren auf hineingesteckte Körper, sowie auf die Luft in denselben angeschlossen; es zeigte sich dabei die auffallende Erscheinung, dass an der Innenfläche der Glasröhre vertheilter feiner Staub sich in bestimmten Figuren, den Knotenpunkten stehender Schwingungen der eingeschlos- senen Luft, anordnet, wenn man die an beiden Enden ver- schlossene Röhre durch Reiben in longitudinale Schwingungen versetzt. Daraus war er nun im Stande in einfachster und genauester Weise die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schall- wellen in den in der Röhre befindlichen Gasen und Dämpfen, sowie auch in festen Körpern zu bestimmen. Indem er diese Methode immer mehr vervollkommnete und verschiedene longi- tudinal schwingende Körper unter mannigfaltigen Bedingungen anwandte, ergaben sich ihm Resultate von allgemeiner Be- deutung, die auch zu dem chemischen Verhalten der Stoffe in Beziehung zu bringen waren. Hierher gehören auch seine Versuche über die Klangfigureu in Orgelpfeifen, über die Schwingungsform tönender Platten, die Erzeugung von Tönen durch Flammen, die Schwingungen von rechteckigen Luftplatten.
Nach diesen akustischen Studien ging er zu optischen Fragen über. Er war auf den Gedanken gekommen, dass Metalle und metallisch glänzende Körper Unregelmässigkeiten in der Brechung des Lichtes zeigen miissten. Durch einen genialen Kunstgriff* besiegte er die der Beobachtung fast un- durchsichtiger fester Körper und Lösungen entgegenstehenden Schwierigkeiten und that dar, dass in der That eine Anzahl von Lösungen von Stoffen, welche im festen Zustande Ober- flächenfarben besitzen, anomale Dispersion zeigen.
In einer für die kinetische Gastheorie höchst folgereichen mit seinem Schüler K. Warburg ausgeführten Untersuchung bestimmte er die Reibung und Wärmeleitung der Gase und
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die speci&che Wärme des Quecksilberdampfes. Es war näm- lich die Frage zu entscheiden, ob im Quecksilberdampf wie bei anderen Gasen mehrere Atome zu einem Molekül ver- einigt sind oder ob es, wie unser College v. Baeyer ver- muthete, ein einatomiges Gas sei. In letzterem Falle musste ein bestimmter Quotient der Wärmecapacität bei constanter Temperatur und constantem Druck sich ergeben, der aus der Fortpflanzungsgeschwindigkeit sich bestimmen liess. Dieser Quotient wurde nun auch wirklich durch den Versuch ge- funden.
Mit Hilfe des Lichtenberg'schen Pulvers untersuchte er die elektrischen Erscheinungen an Erystallen, die Thermo-, Actino- und Piezo -Elektrizität derselben. Es folgte der Nachweis der elektro-magnetischen Drehung der Polarisations- ebene des Lichtes in Gasen, z. B. im SchwefelkohlenstoflT- dampf, in der Luft, dem Sauerstoff, dem Kohlenoxydgas und Sumpfgas; und dann auch im Eisen, Nickel und Kobalt, indem er den Durchgang des polarisirten Lichtes durch dünne durchsichtige Schichten dieser Metalle, welche er starken elektrischen Strömen aussetzte, beobachtete. Femer die Ent- deckung der Doppelbrechung des Lichtes in bewegten reiben- den Flüssigkeiten, und die Untersuchung über die Doppel- brechung elektrisirter Flüssigkeiten.
Die Kunst der Darstellung äusserst dünner durchsichtiger üeberzüge von Metallen auf Glasplatten benützte er in seiner letzten hervorragenden Arbeit zur ersten directen Bestimmung der Brechungsexponenten der Metalle.
Kundt's Name wird sich stets an die von ihm durch seine Experimentirkunst erschlossenen Gebiete der Physik knüpfen.
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Naihanael Pringsheim.
Der am 6. Oktober 1894 zu Berlin im 71. Lebensjahre gestorbene Botaniker Nathanael Pringsheim war einer der ältesten Vertreter der durch Alexander Braun, Schieiden, Nägeli u. A. begründeten pflanzenphysiologischen Richtung, dem die Botanik vielfache Aufschlüsse über den Bau und das Leben der Pflanzenzellen verdankt; vor Allem sind es seine meisterhaften Untersuchungen der mikroskopischen Algen, womit er seinen Ruhm begründet hat.
Pringsheim widmete sich, angeregt durch Alexander Braun, frühe der Botanik zu, habilitirte sich an der Berliner Universität, wurde bald in Folge seiner Algenstudien auf Ehrenberg's Antrag in die dortige Akademie der Wissen- schaften aufgenommen, folgte aber einem Rufe nach Jena als Nachfolger Schleiden^s. In Jena gründete er da^ erste gut eingerichtete pflanzenphysiologische Institut, in welchem zahlreiche Schüler unter seiner Führung wissenschaftlich thätig waren. Er gab jedoch nach einigen Jahren diese Professur wieder auf und siedelte nach Berlin über, um als unabhängiger Mann und Privatgelehrter ungestört ganz der Wissenschaft leben zu können. Mit den reichen ihm zu Gebote stehenden Mitteln errichtete er daselbst abermals ein Laboratorium, worin er freigebig seine Schule aufnahm.
Er begann die lebenden Pflanzenzellen ihrem Bau und ihrer Entwicklung nach unter dem Mikroskope genau zu beobachten, wobei sich neue Auffassungen über das Proto- plasma der Zellen und seine Beziehungen zur Membran, die man früher als das Wesentliche der Zelle angesehen hatte, ergaben. Er wurde dadurch zum Studium der mikroskopi- schen Algen geführt, deren gründliche Durchforschung wohl seine grösste Leistung ist. Er war der erste, der diese interessante Gruppe von niederen Pflanzen, welche die wich- tigsten Aufschlüsse über allgemeine Fragen der Morphologie,
V, Vait: Nekrolog auf Nathanael Pringaheim. 181
Physiologie und Systematik gegeben hat, aus dem GhaoK vereinzelter und unvermittelter Beobachtungen zu erlösen angefangen hat, indem er mit unvergleichlicher Ausdauer die winzigen Pflanzen mit dem Mikroskop verfolgte, bis er ihre Geschichte erforscht hatte. Er ist es gewesen, der an ihnen (an der grünen Süsswasseralge Vaucheria terrestris und an Oedogonium) im Jahre 1 855 zuerst den Befruchtungs- act bei Pflanzen, als geschlechtliche Fortpflanzung und Zeu- gung, wirklich beobachtete, indem vor seinen Augen die männlichen Spermatozoen sich mit dem frei gelegten In- halte der weiblichen Eizelle vereinigten und somit beide Theile sich an der Bildung des befruchteten Embryo be- theiligten, während man früher die Befruchtung als eine Contactwirkung oder als Diffusion von gelösten Substanzen ansah; ein Jahr vorher war beim Thier (Frosch und Kanin- chen) von de Bary das Eindringen der Spermatozoen in das Ei nachgewiesen worden. Pringsheim zeigte ferner dabei, wie bei den Algen geschlechtliche und ungeschlechtliche Fortpflanzung regelmässig mit einander abwechseln und wie die Species von der sexuell gebildeten Spore aus durch eine Reihe von Wachsthumsprocessen und geschlechtslosen Ver* mebrungen in gesetzmässigem Turnus zu dem nämlichen Ausgangspunkte zurückkehrt. Indem er so von einzelnen dieser Pflanzen eine ausführliche von Zelle zu Zelle fort- führende Wachsthumsgeschichte und Entwicklung gab, wurde er zur Bildung natürlicher systematischer Abtheilungen in dem Gewirre räthselhafter Formen geführt, zur Aufstellung bestimmter Arten in diesen Gruppen, welche man bis dahin meist nur nur nach der Grösse der Zellen unterschieden hatte. Nur die in dieser Weise beobachteten mikroskopischen Algen können jetzt als wissenschaftlich erkannt gelten; sie erheben sich wie Inseln aus dem Meere der übrigen noch unbekannten Formen.
Er machte ferner zuerst die auffallende Wahrnehmung,
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wie gewisse niedere parasitische Pilze in das Innere gesander unverletzter Pflanzen eindringen, sich in letzteren weiter ent- wickeln und verbreiten, sodass sie durch den Eindringling allmählich erkranken und absterben; es ist dies ein Vorgang, der später manche Pflanzenkrankheiten erkennen liess und besonders durch den weiteren Nachweis des Entstehens epi- demischer Erkrankungen des Menschen durch in ihn gelangte Spaltpilze von Bedeutung ward.
Von den weiteren Arbeiten Pringsheim's mögen nur einige der wichtigeren zur Charakterisirung seiner Thätigkeit noch Erwähnung finden: seine Untersuchung über die Ent- wicklung und die Dauerschwärmer des sogenannten Wasser- netzes, über die Vorkeimfaden oder die Protonemen der Arm- leuchtergewächse, über die Keimung und den Aufbau der zierlichen Wasserfarn, über die Embryobildung der Qefass- kryptogamen, über die Morphologie der Utricularia, deren Schläuche er auf Schwärmsporen zurückführte, über die männ- lichen Pflanzen und Schwärmsporen der Gattung Bryopsis.
Von grundlegender Bedeutung ist seine Arbeit über die Paarung der Schwärmsporen, in welcher er die Copulation der Schwärmsporen von Pandorina beschrieb und als morpho- logische Grundform der Zeugung im Pflanzenreiche darthat.
In mehreren Beiträgen zur Morphologie, zum Befruch- tungsakt und zur Systematik der Saprolegnieen wies er die Copulationswarzen der Oogonien und die Copulation der Be- fruchtungsschläuche der Antheridien mit ersteren nach; auch dass bei ihnen häufig eine parthenogenetische Entwicklung der Oosporen unbefruchteter Oogonien stattfindet.
Die Abhandlung über den Gang der morphologischen Differenzirung in der Sphacelarienreihe bringt eine Darstellung des von den niederen Gattungen derselben zu den höheren fortschreitenden morphologischen Aufbaues in den Vege- tations- und Reproduktionsorganen.
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Von Wichtigkeit sind ferner die umfangreichen Unter- suchungen über das Chlorophyll, in welchen er das spektro- skopische Verhalten desselben, sowie die Einwirkung des di- recten Sonnenlichts auf dasselbe prüfte. Er sah in diesem grünen Farbstoff ein Athemorgan und ein Schutzorgan des Protoplasmas gegen die Wirkung des Lichtes.
Von grossem Interesse war der Nachweis, dass die Zellen der Mooskapseln, sowie die ihres Stieles unmittelbar zu den fadenförmigen Vorkeimen und zu den beblätterten Moos- pflanzen auswachsen können, wobei also die generative Sporen- bildung übersprungen wird. Er hat daran später wichtige allgemeine Betrachtungen über den Generationswechsel der Thallophyten und seinen Anschluss an den Generationswechsel der Moose geknüpft.
Endlich hat er über die Absonderung von Ealk an ge- wissen Pflanzen, z. B. den Charaarten berichtet; da aus wässrigen Lösungen von kohlensaurem Kalk diese Ausschei- dung nicht stattfindet, so musste sie durch die Lebensthätig- keit jener Gewächse bedingt sein.
Ein grosses Verdienst erwarb sich Pringsheim durch die 1858 erfolgte Gründung der Jahrbücher für wissenschaft- liche Botanik, welche er bis zu seinem Tode leitete; ebenso durch die Gründung der deutschen botanischen Gesellschaft, deren ständiger Präsident er war.
Pringsheim hat wesentlich dazu beigetragen, der Botanik ihre heutige Gestaltung zu geben. Immer sind es Fragen von allgemeiner Bedeutung, welche er durch scharfe Beob- achtung und kritische Betrachtung zu lösen unternahm; seine Arbeiten sind dauernde Fundamente für die Wissen- schaft geworden.
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Josef Hyrtl.
Mit Josef Hyrtl, welcher am 17. Juli 1894 im 83. Lebens- jahre auf seinem Landgute zu Perchtoldsdorf bei Wien ge- storben ist, ist der letzte Vertreter der berühmten Wiener niedicinischen Schule dahingegangen. Er war einer der er- fahrensten Anatomen seiner Zeit und ein unübertroffener, seine Schüler begeisternder Lehrer. Schon während seines Studiums an der Wiener Universität hatte er eine Vorliebe für die Formen der thierischen Organisation; er zeichnete sich durch eine seltene Geschicklichkeit in der Präparation der Theile aus, sodsu» sein Lehrer, der bekannte Anatom Berres, ihn zu seinem Prosektor machte. Bald nach seiner Promotion wurde der 26 jährige Gelehrte als Professor der Anatomie an die Prager Universität gerufen und erhielt dann nach dem Tode von Berres dessen Stelle in Wien, wo er bis zu seiner Emeritirung thätig war und in höchsten Ehren stand.
Hyrtl basass eine umfassende allgemeine Bildung, er war ein geistvoller origineller Mann, schrieb ein klassisches Latein und sprach gewandt viele neuere Sprachen; in der Literatur und Geschichte der Medicin war er wie Wenige bewandert.
Als feinsinniger Beobachter hat er die fast abgeschlossen erscheinende Anatomie des Menschen um eine grosse Anzahl neuer Thatsachen bereichert, besonders aber die vergleichende Anatomie, welche er mitbegründen half und in der seine zahlreichen Beiträge sich in ihrer Bedeutung nur mit denen von Johannes Müller vergleichen lassen.
Von ganz besonderer Wirkung fttr die Ausbreitung anatomischer Kenntnisse sind seine klassischen Lehrbücher geworden: das Lehrbuch der Anatomie des Menschen, wel- ches 23 Auflagen erlebte und sein Lehrbuch der topographi- schen Anatomie. Es war in denselben nichts mehr von der gewöhnlichen trockenen Aufzählung der Theile zu bemerken,
V, Voit: Nekrolog auf ff ermann ffelmholtz. 185
es sind vielmehr darin die Formen in klarster plastischer Darstellung zu einem lebendigen* Ganzen verbunden, das durch die Verwebung mit historischen Daten, sowie durch die Hervorhebung der physiologischen Bedeutung das lebhafte Interesse des Lesers erweckt.
Er war ein Meister in der anatomischen Technik und noch jetzt werden seine Präparate, namentlich seine Injectionen der feinsten Blutgefösse, als kostbare Objecte in den ana- tomischen Sammlungen aufbewahrt. Hyrtl wird stets zu den geschicktesten Anatomen gezahlt werden.
Hermann von Helmholtz.
Mit Hermann Helmholtz ist der berühmteste und be- deutendste Naturforscher unserer Zeit, welcher auf vielen Gebieten, in der Mathematik, Physik, Physiologie, Philo- sophie und der Aesthetik, ganz neue Bahnen geebnet hat, geschieden. Uebersehen wir jetzt das vor uns abgeschlossen liegende Leben und Wirken dieses mächtigen Geistes, so gewahren wir, wie von frühester Jugend an in ihm das er- kennbar, was sich später so glänzend entfaltete, wie er mit einer wunderbaren Klarheit die schwierigsten Probleme er- fasste und durchdachte und mit unerreichtem Geschick dem Experiment zugänglich machte, bis er die Lösung gefunden hatte, so weit als es überhaupt möglich war. Mit Ehrfurcht und Dankbarkeit gedenken wir seiner, der trotz aller äusser- lichen Anerkennung and Bewunderung stets ein schlichter bescheidener Gelehrter und edelgesinnter Mensch blieb, und nur nach der Erkenntniss der Ursachen der Dinge und nach der Wahrheit strebte.
Der Lebensgang von Helmholtz ist in der letzten Zeit so oft und in so vorzüglicher Weise geschildert worden, dass ich hier nur einen Ueberblick über seine hauptsächlichsten Leistungen auf dem Gebiete der Physiologie geben will, um
186 Oeff entliehe SitzwUg vom 28. März 1896.
uns die Bedeutung des Forschers und Denkers nochmals zu vergegenwärtigen und ihm auch von Seite unserer Akademie den schuldigen Tribut der Verehrung darzubringen.
Für Alles, was sich begreifen und logisch entwickeln lässt, zeigte er schon als Knabe eine Vorliebe und ein aus- geprägtes Talent, für die Sätze der Geometrie und dann für die Lehren der Physik. Es ist für die Wissenschaft ein Glück zu nennen, dass ihm seine Mittel nicht erlaubten sich alsbald der Physik zuzuwenden, sondern dass er vorerst Mediciner werden musste; viele und zum Theil die wichtigsten seiner Arbeiten wären sonst kaum entstanden. So wurde er zunächst zu derjenigen medicinischen Wissenschaft; geführt, welche vor Allem sich mit der Erklärung der Erscheinungen befasst, zu der Physiologie, und von da erst später zu den rein physikalischen Vorgängen. Den weiten Ueberblick über andere Wissensgebiete, sowie die Neigung zu philo- sophischer Betrachtung verdankt er der Physiologie mit ihren engen Beziehungen zu der Philologie, Aesthetik, Philosophie und Psychologie. Aber auch für die Physiologie war es ein Glück, dass ein so grosses Talent für Mathematik und Physik sich ihr widmete und zwar zu einer Zeit, wo eine Menge der wichtigsten physikalischen Probleme der Lösung harrten.
Es war auf seine Entwicklung sicherlich von bestimmen- dem Einfluss, dass er als Lehrer in der Anatomie und Physiologie Johannes Müller fand, welcher, obwohl er noch längere Zeit in der Lehre von der Lebenskraft befangen war, doch die Lebensvorgänge durch Beobachtung und durch den Versuch zu erforschen trachtete und dadurch die neuere Physiologie anbahnte; er stellte z. B. den künstlichen Kehl- kopf zur Erläuterung des Zustandekommens der Stimme her und wagte es zuerst von einer Physik der Nerven zu sprechen. Es ist gewiss kein Zufall, dass sich um diesen äusserst an- regend wirkenden Mann so viele talentvolle und strebsame Jünger sammelten, wie Henle, Schwann, du Bois-Reymond,
V, VaU: Nekrolog auf Sertnann ßelmMiz, 18?
Brücke, Virchow, Helmholtz, lauter spätere Koryphäen der Wissenschaft, welchen mau vorzugsweise den Ausbau der Physiologie in physikalischer Richtung yerdankt. Die Mehr- zahl der Freunde fand sich auch im Laboratorium des Physikers Gustav Magnus, des Meisters im Experiment, sowie in der physikalischen Gesellschaft zusammen.
Nach kaum vollendeter Lemzeit an der Universität be- gann Helmholtz in bemerkenswerther Weise wissenschaftlich sich zu beschäftigen; stets waren es Fragen von principieller Bedeutung, denen er sich zuwandte.
Er arbeitete mit einem aus seinen Ersparungen ange- schafften Mikroskop seine Dissertation aus, in welcher er den für die damaligen Hilfsmittel nicht leicht zu beobachten- den Zusammenhang der vorher von Ehrenberg entdeckten Ganglienzellen mit den Nervenfasern bei wirbellosen Thieren sicher nachwies; es hatte zwar schon vorher Bemak diesen Znsammenhang beschrieben, aber keinen Glauben gefunden. Mit dieser Erkenntniss war zuerst ein Aufscbluss über die Bedeutung dieser Zellen als -nervöse Centralorgane gegeben. Später hat sich Helmholtz nochmals mit anatomischen Auf- gaben befasst: mit der Beschreibung der Bippenmuskeln für die Athembewegungen und der äusserst sorgfaltigen Beobach- tung der Form der Gehörknöchelchen und ihrer Gelenke.
Es folgte die Abhandlung über das Wesen der Fäulniss und Gährung. Schwann hatte durch ingenieuse Versuche gezeigt, dass keine Gährung eintritt, wenn man geglühte Luft zu den Gährkölbchen zutreten lässt, und dass die Hefe- zellen die Ursachen der Gährang sind; Helmholtz that Liebig gegenüber dar, dass der Sauerstoff keinen Einfluss auf die Fäulniss hat; er drang aber nicht zu der Erkenntniss vor, dass auch hier niedere Organismen die alleinige Ursache sind.
In dem Artikel , Wärme* im encyklopädischen Wörter- buch der medicinischen Wissenschaften versuchte er aus den damals vorliegenden wenig genauen Daten über die Kohlen-
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188 Oeffentliche Sitzung vom 28. Märe 1895.
sänreausscbeidung und die Sauerstoffaufnahme des Menschen, den in ihm im Tag verbrannten Kohlenstoff und Wasserstoff zu berechnen und daraus die im Körper erzeugte Wärme- menge zu entnehmen; er kam dabei aber doch zu einem Werth (2,7 Mill. W. E.), der sehr wohl mit den jetzt be- kannten genauen Zahlen übereinstimmt.
Zu der Studienzeit von Helmholtz waren bekanntlich die meisten Physiologen Deutschlands, in Folge der unseligen naturphilosophischen Richtung, Anhänger der Lehre einer besonderen nnerforsch baren Lebenskraft, welche die Lebens- Yorgänge bedingen und die physikalischen und chemischen Kräfte der anorganischen Natur beherrschen sollte. E. H. We- ber war einer der Wenigen, der besonders darauf drang, die Erklärung der Lebenserscheinungen auf Grund der Beobach- tung und des Versuchs wie die der physikalischen Processe zu finden und die unfruchtbaren naturphilosophischen Speca- lationen zu verlassen. Ein Geist wie Helmholtz, der in Allem nach den Ursachen suchte, konnte sich mit solchen Anschau- ungen auch nicht zufrieden geben. Er erkannte bald, dass die Lebenskraft in Widerspruch stehe mit dem Gesetz von der Erhaltung der Kraft. Die Erkenntniss dieses Gesetzes ist nicht, wie man so häufig meint, eine Errungenschaft unseres Jahrhunderts, sie ist vielmehr sehr alt, man mochte fast sagen, so alt als eine erklärende Naturwissenschaft exi- stirt; Leibnitz hat das Gesetz gekannt und es ist namentlich durch Daniel Bernouilli für die damals bekannten Kräfte mit aller Sicherheit bewiesen worden. Was in unserer Zeit hinzugekommen ist, das ist nicht die Erkenntniss des Princips selbst, sondern die Ausdehnung desselben auf diejenigen Vor- gänge, welche man durch die Fortschritte der Wissenschaft neu hat kennen lernen; dadurch erfuhr das schon bekannte Gesetz eine Verallgemeinerung, namentlich auch auf die Lebens Vorgänge. Es ist gewiss von Bedeutung, dass ea vor- züglich zwei Mediciner, Jnliua Robert Mayer und Hermann
V. Volt: Nekrolog auf Hermann ttelmholtz. 189
Helmholtz, waren, welche zu gleicher Zeit, im Geföhle der Absurdität der Annahme einer wie ein perpetuum mobile wirkenden Lebenskraft und in dem Bestreben auch die Lebenserscheinungen auf die bekannten Kräfte der leblosen Natur zurückzufahren, zur bestimmten Formulirung des alle Vorgänge umfassenden Naturgesetzes gelangten. Ersterer hat besonders die Beziehungen der mechanischen und auch der chemischen Energie zur Wärmebewegung erörtert und das mechanische Aequivalent der Wärme gemessen , letzterer hat auch die statische Elektrizität, die magnetischen, gal- vanischen und thermoelektrischen Bewegungen in das Gesetz aufgenommen. Helmholtz hat in der denkwürdigen Tisch- rede bei der Feier seines Jubiläums, die man immer wieder mit gleichem Genüsse liest, in einzig dastehender Bescheiden* heit geschildert, wie er die von ihm aufgestellten Sätze eigentlich fQr schon bekannt gehalten habe. Unzweifelhaft ist es aber, dass bald die Wirkung derselben eine mächtige war und von da an die Aufmerksamkeit Aller auf jenen Zusammenhang der Kräfte gerichtet war; auf die Physiologie hat die Anwendung des Gesetzes umgestaltend gewirkt, denn von da an beginnen mit voller Zuversicht die Anstrengungen die Lebensvorgänge durch das Experiment zu erforschen.
Helmholtz suchte in seinen nächsten Arbeiten Beweise für die Giltigkeit des Gesetzes von der Erhaltung der Energie für die Lebenserscheinungen zu bringen.
Wenn die Muskelkraft wirklich von dem Stoffwechsel oder von der Zersetzung complicirter chemischer Verbin- dungen in einfachere herrührt, und nicht von einer sich stets aus sich selbst erzeugenden Lebenskraft, dann musste man im arbeitenden Muskel einen Verbrauch gewisser Stoffe und die Entstehung von Zersetzungsprodukten finden. La- voisier hatte wohl schon erwiesen, dass der arbeitende Mensch mehr Sauerstoff verbraucht wie der ruhende, aber für den isolirten Muskel war dies nicht dargethan; Helmholtz erhielt
13*
190 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1895,
aus dem tetanisirten Muskel eine Vermehrung des in Alkohol löslichen Theils der Fleischbrühe und eine Verminderung des in Wasser loslichen Theils. Welche Stoffe dabei in Betracht kommen, vermochte er nicht zu entscheiden; erst lange Zeit darnach erkannte man, dass bei der Muskelthätig- keit der Zerfall des stickstoffhaltigen Eiweisses gewöhnlich nur in geringem Grade erhöht ist, dass dagegen von den stickstofffreien Stoffen, Fett und Kohlehydrat, sehr beträcht- lich mehr zersetzt wird.
Der grösseren StoiS^ersetzung im thätigen Muskel musste eine grössere Entwicklung kinetischer Energie entsprechen und dies bewies nun auch Helmholtz durch den thermo- elektrischen Nachweis einer höheren Temperatur des ausge- schnittenen tetanisirten, nach aussen hin keine Arbeit leisten- den Muskels; im thätigen Nerven dagegen war nichts der Art zu bemerken. Er wandte hier zum ersten Male für die Unter- suchung physiologischer Vorgänge feine physikalische Appa- rate an, in deren Erfindung er, wie sein Freund du Bois- Reymond, eine so grosse Meisterschaft zeigte.
Es folgte die Untersuchung des Verlaufes der mechani- schen Veränderungen des Muskels während einer Zuckung mittelst des Myographions. Nachdem Carl Ludwig durch die Aufzeichnung der Schwankungen des Blutdruckes durch das Kymographion die graphische Methode in die Physiologie eingeführt hatte, Hess Helmholtz den zuckenden Muskel die Contraction aufschreiben. Die Zuckung des Muskels geht so schnell vorüber, dass man nicht im Stande ist ihre Einzel- heiten mit dem Auge zu verfolgen; indem er nun den Muskel mit einem Hebel in Verbindung setzte, der die Bewegung auf einem rasch rotirenden berussten Glascylinder aufzeich- nete, gelang es die Muskelcurve mit allen ihren Details zu erhalten. Das Myographion ist einer der sinnreichsten und auch einer der wichtigsten Apparate der messenden Physio- logie. Später kam Helmholtz nochmals auf die Vorgänge
t7. Voit: Nekrolog auf Hermann HelmhoiU, 191
im Muskel zurück bei der Untersuchung des Tons, welchen man im contrahirten Muskel wahrgenommen hatte; er that dar, dass die diesem Ton zukommende Anzahl von Schwing- ungen der Reizzahl entspricht, d. h. dass das Gehirn, wenn es durch den Willen einen Muskel zur Zusammenziehung bringt, dem letzteren 19^/) Reize in der Secunde durch den Nerven zusendet.
Daran schloss sich eine der denkwürdigsten und geist- reichsten Arbeiten an, die Messung der Fortpflanzungsge- schwindigkeit der Erregung im Nerven. Man dachte sich, dass diese Geschwindigkeit eine ungemein grosse sei, so gross wie etwa die des Lichtes oder des elektrischen Stromes, da man glaubte im Momente der Berührung der Haut auch die Empfindung zu haben oder im Momente der Willensaction auch schon die Muskelcontraction wahrzunehmen. Selbst Jo- hannes Müller, der doch den Ausdruck „Nervenphysik' zu- erst gebraucht hatte, hielt eine solche Messung wegen der Kürze des Nerven für unmöglich, und 15 Jahre darauf war dieselbe auf zwei ganz verschiedene Weisen durch Helmholtz mit aller Sicherheit durchgeführt. Zu der ersten benützte er die galvanometrische Methode der Messung kleinster Zeit- theilchen von Pouillet; zu der zweiten die Verschiedenheit des Beginnes der Muskelcurven am Myographion bei Reiz des Nerven möglichst weit weg und nahe am Muskel; beide Methoden gehören zu den feinst ausgedachten und genauesten der Physiologie. Da sich dabei die Fortpflanzungsgeschwindig- keit im Nerven nur zu etwa 30 Meter in der Secunde er- gab, wesentlich geringer wie die vieler anderer Bewegungen, so kam man zu der Vorstellung, dass im Nerven verhält- nissmässig grosse Widerstände entgegenstehen. In gleicher Weise wurde von Helmholtz die Geschwindigkeit bei einer Reflexbewegung gemessen d. i. die Zeit bei der Leitung der Erregung von einem sensibeln Nerven durch ein nervöses Centralorgan auf einen motorischen Nerven und den Muskel,
192 Oeff entliehe Sitzung votn 28, März 1895.
welche noch wesentlich länger ist, als die der Leitung im Nerven; die Vorgänge in den Centralorganen nehmen also noch mehr Zeit in Anspruch.
Die Erfindung, welche Helmholtz mit einem Schlage in der ganzen Welt berühmt gemacht hat, ist die des Augen- spiegels. Wir sehen für gewöhnlich nichts von den Gebilden im Innern des Auges, wesshalb die Pupille schwarz erscheint, obwohl Lichtstrahlen von dem Augenhintergrunde reflectirt werden. Cumming und Brücke hatten aber das menschliche Auge unter gewissen Umstanden leuchten sehen; Helmholtz wollte dies seinen Zuhörern mit Hilfe einer einfachen Vor- richtung erläutern und machte sich dabei alsbald durch den Gang der Lichtstrahlen klar, warum man für gewöhnlich vom Augenhintergrunde nichts wahrnimmt, und damit war die Möglichkeit gegeben, durch den Augenspiegel die Netz- haut eines Auges nicht nur leuchten zu sehen, sondern auch alle Einzelheiten auf ihr zu erkennen. Es war dadurch ein Instrument geschaifen, welches die Augenheilkunde mächtig gefördert und der leidenden Menschheit die grössten Dienste geleistet hat. Gerade der Umstand, dass mehrere ausge- zeichnete Forscher der Lösung der Frage schon ganz nahe standen, Helmholtz aber sie in wenigen Tagen gefunden hatte, zeigt seine Geisteseigenschaften im hellsten Lichte.
Diese Entdeckung gab offenbar für ihn den Anstoss, sich mit der Physiologie des Auges näher zu beschäftigen. Er prüfte zuerst genau die beim Mischen von Farben ent^ stehenden Empfindungen, indem er nicht, wie es bisher ge- schehen war, Pigmente mischte, sondern die reinen Spectral- farben, welche er durch eine besondere Einrichtung des Spectralapparates erhielt. Er legte so eine neue feste Grund- lage für die Lehre von den Farbenmischungen und er- klärte dann die erhaltenen Thatsachen durch die schon von Thoraas Young ausgesprochene Theorie, wornach drei Grund- farben existiren, aus deren Mischung sämmtliche Farben-
t7. Vait: Nekrolog auf Hermann HelmlwUz, 193
empfinduDgen hervorgehen, und wornach femer jedes Netz- haatelement aus drei Fasern besteht, von denen jede nur durch eine bestimmte Grundfarbe erregt wird. Auf Grund dieser Theorie war es ihm möglich viele andere Erschei- nungen am Auge, z. B. die farbigen Nachbilder, die Gontrast- farben und die Farbenblindheit zu erklären.
Er wandte sich dann der Untersuchung nach den Vor- gängen im Innern des Auges beim Sehen in die Ferne und in die Nähe, der sogenannten Accommodation , zu. Max Langenbeck und der Holländer Gramer hatten schon die drei Purkinje-Sanson^schen Refiexbildchen am Auge hiezu benützt und daraus geschlossen, dass die vordere Linsenfläche beim Sehen in die Nähe gewölbter wird. Helmholtz erfand zu diesem Zwecke das Ophthalmometer, ein Instrument, um trotz der Bewegungen des Auges die Durchmesser jener Reflexbildchen und die Radien der gekrümmten Flächen der durchsichtigen Medien des Auges genau zu bestimmen, womit die Veränderungen im Auge bei der Accommodation sicher gestellt wurden. Ferner muss in dieser Richtung noch er- wähnt werden die Bestimmung der Lage der Gesichtslinie, die Ermittlung der Verzerrung der Bilder in Folge der Ab- weichung der brechenden Flächen, die Darstellung des Sehens mit zwei Augen, die Zurückführung der Augenbewegungen auf das Princip der leichtesten Orientirung im Raum, die Sichtbarmachung der übervioletten Lichtstrahlen ohne fluores- cirende Mittel durch Verstärkung derselben mittelst Prismen und Linsen von Quarz.
Alle seine eigenen reichen Erfahrungen auf diesem Gebiete, sowie die früherer Zeiten sammelte Helmholtz in seinem grossen Werke der physiologischen Optik. Es ist ein Musterwerk. Alles hat er nochmals nachgeprüft und mit äusserster Gewissenhaftigkeit und Gerechtigkeit ver- zeichnet. Es wäre nur zu wünschen, dass wir in allen Theilen der Physiologie gleichwerthige Darstellungen besässen.
194 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1896.
Von der Physiologie des Auges ging er zu der des Ge- hörorganes über und schuf durch eine Reihe meisterhafter Untersuchungen seine Lehre von den Tonempfindungen. Er legte sich zunächst die Frage vor, woher der verschiedene Klang der musikalischen Instrumente bei gleicher Tonhohe kommt. Georg Simon Ohm hatte den Gedanken ausge- sprochen, dass das Ohr die musikalischen Klänge in ihre harmonischen Partialtöne zerlege; dies bewies Helmboltz, indem er mit Zuhilfenahme der die zusammengesetzten Töne zerlegenden Resonatoren zeigte, dass die Töne der musikalischen Instrumente und der menschlichen Stimme nicht rein sind, sondern dass dem Grundton verschiedene höhere Obertöne beigemischt sind, welche die Klangfarbe bedingen. Indem er im Corti'schen Organ der Schnecke eine Claviatur erblickte, von welcher jede Saite nur durch einen bestimmten Ton in Schwingung versetzt wird, erklärt er die Fähigkeit des Ohrs aus einer Summe von Tönen die Componen- ten herauszuhören und die Besultirende zu empfinden. Und in- dem er Stimmgabeln von verschiedener Tonhöhe, den Grund- ton und verschiedene höhere Obertöne, gleichzeitig ertönen Hess, erhielt er die Vocale der menschlichen Stimme, deren Nachahmung bis dahin nur ganz unvoUsiändig geglQckt war. Die AnschaflFung dieses grossen elektrisch betriebenen Stimmgabelapparates ist ihm durch die Munificenz des für die Wissenschaft begeisterten Königs Maximilian IL von Bayern ermöglicht worden.
Er studirte sodann die Ursache der Oonsonanz und der Dissonanz der Töne. Man war bis dahin der Meinung, der Eindruck der Gonsonanz entstehe, wenn die Schwingungs- zahlen der gleichzeitigen Töne in einem einfachen Yerhält- niss zu einander stehen ; aber damit war nur eine Thatsache und nicht die Erklärung gefunden. Helmboltz erkannte als Ursache der Dissonanz intermittirende Tonempfindungen, welche durch Schwebungen zweier gleichzeitiger Töne ent- stehen.
V. Vait: Nekrolog auf Hermann Heimholte, 195
Diese Studien lenkten seine Aufmerksamkeit auf die Geschichte und die Theorie der Musik; indem er die innere Gesetzmässigkeit der Tonleitern und die Regeln der Musik aus seinen Erfahrungen ableitete, hat er einen bestimmenden Einfluss auf die Musikwissenschaft ausgeübt. Mit seinem unvergänglichen Werke der Lehre von den Tonempfindungen hatte er den Höhepunkt seiner physiologischen Leistungen erreicht; wenigstens zeigte er darin, dass er auf den ver- schiedensten Gebieten, der Physik, der Physiologie, der Musik und der Philosophie ein Meister war.
Später hat er sich in seiner letzten physiologischen Arbeit noch einmal mit dem Gehörorgan: den Gehör- knöchelchen und dem Trommelfell befasst, worin er die Bedeutung dieser Gebilde für die Schallbildung aufs Genaueste auseinandersetzte.
Bei der intensiven Beschäftigung mit der Bedeutung der Sinnesorgane und der nervösen Gentralorgane für das Zustandekommen der Sinnesempfindungen und Vorstellungen wurde er auch'auf das Grenzgebiet der physischen und psychi- schen Vorgänge geführt, zu der Erkenntnisstheorie. Es bietet sich hier eine der Eingangspforten für den Experimentator, durch welche er zu dem Psychischen zu dringen vermag; es war Anderen schon gelungen, das Verhältniss der Erregungen des Nerven zu den nachfolgenden Empfindungen festzustellen. Ohne die Kenntniss der materiellen Vorgänge wird man auch auf diesem Gebiete niemals zur sicheren Erkenntniss der Wahrheit kommen, denn das blosse Nachdenken führt höch- stens zu Möglichkeiten. Es wird allerdings vielleicht Jahr- hunderte währen, bis man in diesen complicirtesten Processen der Erkenntnisstheorie nach und nach zu einigen der nächsten Ursachen gelangt. Helmholtz ist einer der Forscher, welcher in dieses dunkle Grenzgebiet mit leuchtender Fackel eintrat und aus den Ergebnissen der Beobachtung weitere Schlüsse zog und dadurch der Philosophie neue Vorstellungen brachte.
196 Oeffentliehe Sitzung vom 28. März 1895.
In dieser Weise wird wohl fast immer der Naturforscher, welcher neue Thatsachen erkannt hat, auch der beste Inter* pret derselben sein und am geeignetsten sein, philosophische Betrachtungen darüber anzustellen.
Ich suchte aus den physiologischen Arbeiten von Helm- holtz darzuthun, dass er sich immer höhere Aufgaben stellte und sich allmählich zu einem der vielseitigsten Forscher und Gelehrten entwickelte: er war ein feiner Beobachter, ein findiger Experimentator, ein klarer tiefer Denker, der seine Gedanken auch in klassischer Form darzustellen wusste. Sein Ansehen wird in der Zukunft sich nicht mindern, sondern es wird noch wachsen. Es ist noch nicht die Zeit, zu entscheiden, ob er der hervorragendste Naturforscher unseres Jahrhunderts war; sicherlich aber ist er der umfassendste gewesen.
197
Sitzung vom 2. März 1895.
1. Herr C. v. Küpffer macht eine Mittheilung: „üeber die Entwicklung der Kiemenknorpel bei Petrorayzon Planeri." Wird anderweit veröffentlicht.
2. Herr An. v. Baeyer berichtet die Resultate seiner fortgesetzten Untersuchungen: ^lieber das Caron.* Soll an einem anderen Orte publicirt werden.
198
Sitzung vom 4. Mai 1895.
1. Herr Robert Hartig hält einen Vortrag: nüeber den Drehwuchs der Kiefer."
2. Herr F. Lindemann macht eine Mittheilung: .Die Abbildung der Halbebene auf ein Polygon, das von Bögen confocaler Kegelschnitte begrenzt wird.*
3. Herr H. Seeltger legt eine Abhandlung des Herrn Dr. Julius Bauschinger, Observator an der k. Sternwarte: »lieber eine neue Bestimmung; der Refractions- constante auf astronomischem Wege* vor.
4. Herr W. Dyck spricht: ȟeber die Darstellung der Kronecker'schen Charakteristiken eines Func- tionensystems durch bestimmte Integrale.*
199
üeber den Drehwuchs der Kiefer.
Von Robert Hartig.
(Xhigtlaurtn 4. Mai.)
Bei keiner deutschen Holzart treten die Erscheinungen des , Drehwuchses'' in so auffälliger und so verschiedenartiger Form auf, als bei der gemeinen Kiefer (Pinus silvestris). A. Braun*) erwähnt die ältere Literatur und weist darauf hin, dass schon Göthe in dem Aufsatze «über die Spiral- tendenz der Vegetation'' sich darüber folgendermassen aus- spricht: «Herr Oberlandjägermeister von Pritsch äusserte Ende August in Ilmenau, dass unter den Kiefern Fälle vor- kämen, wo der Stamm von unten bis oben eine gedrehte, gewundene Wirkung annähme; man habe geglaubt, da man dergleichen Bäume an der Brahne gefunden, eine äussere Wirkung durch heftige Stürme sei die Veranlassung; man finde aber dergleichen auch in den dichtesten Forsten und es wiederhole sich der Fall nach einer gewissen Proportion, so dass man 1 bis 1^2 Procent im Ganzen das Vorkommen rechnen könnte. Solche Stämme würden in mehr als einer Hinsicht beachtet, indem das Holz derselben nicht wohl zu Scheiten zerschnitten, in Klaftern gelegt werden könnte,
') .lieber den schiefen Verlauf der Holzfaser and die dadurch bedingte Drehung der Bäume* im Sitzungsberichte der Kgl. Pr. Aka- demie der Wissenschaften. Berlin 1854. 7. August.
200 Sitzung der mathrphys. Gleise vom 4. Mai 1895,
auch ein solcher Stamm zu Bauholz nicht brauchbar sei, weil seine Wirkung immer fortdauernd durch ein heimliches Drehen eine ganze Gontignation aus ihren Fugen zu rücken die Gewalt habe." Seitdem sind Fälle von Drehwuchs bei der Kiefer wie bei anderen Holzarten oft beschrieben und Ä. Braun hat am angegebenen Orte den Nachweis geliefert, dass unter 167 Holzarten, über die sich seine Untersuchungen erstreckten, bei 111 Arten der schiefe Verlauf der Holzfaser regelmässig auftritt. Allerdings wird dadurch in den meistea Fällen nur eine schwache Drehung herbeigefühii, die einer technischen Verwendung des Holzes nicht hinderlich ist.
Die anatomische Erklärung, welche A. Braun für diese Erscheinungen gab, triflFb das Wesen der Sache richtig, wie wir aus den nachfolgenden Darstellungen erkennen werden, wenn auch im Einzelnen die Dinge anders gelagert sind, ala Braun sich dieselben dachte und nach dem damaligen Stande der anatomischen Eenntniss vorstellen konnte. Auf eine ana- tomische Untersuchung drehwüchsiger Bäume im Vergleich zu geradwüchsigen Individuen scheint sich Braun nicht ein- gelassen zu haben. Mir ist nicht bekannt, dass inzwischen von anderer Seite der Drehwuchs eine anatomische Bearbei- tung gefunden hat, und da ich in den letzten Jahren in den Besitz einer Reihe von sehr interessanten drehwüchsigen Kiefern gelangte, so lag darin eine directe Aufforderung, dieselben eingehender zu untersuchen.
Den Ergebnissen schicke ich eine kurze Darstellung des Untersuchungsmaterials voran.
Stamm I. Im Forstamt Freising bei München Hess ich im Jahre 1889 eine 147jährige Kiefer von 31,4 m Höhe und 53 cm Brusfchöhendurchmesser (ohne Rinde) fällen, welche bis zum 130sten Jahre im geschlossenen Bestände erwachsen und dann in Folge einer Niederlegung der meisten Bäume durch einen
B. Hartig: üehei' den Drehwuchs der Kiefer. 201
Sturm völlig freigestellt war. Der Einfluss der Lichtstellung auf Zuwachsgrösse und Holzbeschaffenheit wurde von mir schon früher veröffentlicht.^) Dieser Stamm zeigte sich sehr geradspaltig und nur in der Jugend drehte derselbe, wie vielleicht jede Kiefer, etwas nach links.^) Die in 1,3 m Höhe entnommene Querscheibe zeigte noch 137 Jahresringe und von ihr stammen die Untersuchungsresultate Tab. I (S. 203).
Stamm II. Etwa 20 Schritt von obigem Stamme entfernt stand eine 30,5 m hohe Kiefer von 66,0 cm Brusthöhendurchmesser. Dieser Baum, dessen Beschreibung ich in derselben Abhand- lung^) gegeben habe, liess eine ausserordentliche Mannig- faltigkeit im Verlaufe der Holzfasern erkennen. In den ersten Jahrzehnten drehte derselbe stark nach links bis zu 9^ Ab- weichung von dem Loth. Im 40sten Ringe von innen waren die Fasern lothrecht; dann begann eine Abweichung nach rechts bis zu 5^ Im 70sten Ringe verliefen die Fasern wieder lothrecht. Dann trat starke Drehung nach rechts ein bis zu 19® Abweichung vom Loth. Vom lOOsten Ringe an nimmt die Neigung wieder etwas ab und zeigt in den letzten Jahrzehnten nur 10°. Bemerkenswerth ist dabei, dass in derselben Wuchsperiode der Drehungswinkel keineswegs in allen Theilen des Umfanges derselbe, sondern an einem Punkte oft erheblich gröaser ist, als an anderen Theilen. Wenn man aus einem Holzabschnitt einen Keil abspaltet, so zeigt die Spaltfläche einen unregelmässig welligen Verlauf. Das Holz derselben Wachsthumszone zeigt femer in einem Baumtheile eine Richtung von 10^, in einem etwa 20 cm darüber gelegenen Theile von 15®.
^) Allg. Forst- n. Jagdseitun^ 1889. ȟeher den Lichtstands- Zuwachs der Kiefer.'
2) «Links* im suhjectiven Sinne, d. h. für den Beschauer ?er- lanfen die Fasern von rechts nnten nach links aufwärts.
202 Sitzung der math.-^hys. Classe vom 4. Mai 1896.
Stamm III. Eine 223 Jahrringe zahlende Eiefemscheibe aus der Pfalz, die ich der Sammlang des botanischen Instituts ver- danke, zeigt in der Jugend Linksdrehung bis zum lOOsten Jahr. Von da an tritt Rechtsdrehung ein, die im letzten De- cennium 11^ erreicht. Abnahme und Zunahme der Drehung erfolgen ziemlich regelmässig.
Stamm IV.
Im Jahre 1894 fand ich an einer Sägemühle bei Eirch- seeon (Oberbayern) einen circa 5 m langen Eiefernbloch, welcher unten 76cm, oben 54 cm Durchmesser besass und ausserordentlich stark links drehte.
Am unteren Ende (IV), welches 190 Ringe zählte, be- gann die Linksdrehung von Jugend auf schnell und fast völlig gleichmässig zunehmend bis zu 55® Abweichung von der lothrechten Richtung.
Stamm V. Am oberen Ende desselben Bloches zeigte das Holz von Anfang an eine sehr starke Drehung (15®) nach links. Dieselbe stieg nur langsam und erreichte im letzten Jahr- zehnt 43®.
Stamm VI. Herr Professor Tursky aus Moskau sandte mir vor zwei Jahren ein Kiefernstammstück, von dem der innere Theil, der wahrscheinlich etwa 70 Ringe umfasst haben mochte, durch Polyporus vaporarius zerstört worden war. Der noch ge- sunde Theil, der 150 Ringe zählte, Hess in den innersten 10 Ringen völlige Geradfaserigkeit erkennen. Von da an begann anfangs langsam, dann schnell zunehmende Rechts- drehung, die im letzten Jahrzehnt einen Grad erreichte, dass die Fasern in welligem Verlaufe, also im Durchschnitt mit 90® rings um den Stamm herum liefen.
R. Hartig: Üeber den Drekwttchs der Kiefer.
203
Stamm VII. Ein 280 Jahresringe zeigendes, 8 cm starkes Lärchen- stammstück, das, aus den österreichischen Alpen stammend, mir bei Gelegenheit einer Porstausstellung zur Verfügung gestellt wurde, war so interessant, dass ich dasselbe in die Untersuchung einbezog. Bis zum GOsten Ringe von innen war der Faserverlauf ein völlig gerader. Von da an begann Rechtsdrehung, die zuletzt 70^ erreichte. Seit 200 Jahren ist der Zuwachs ein ausserordentlich geringer, so dass jeder Jahrring meist nur aus zwei Tracheiden besteht. Eine vor- übergehende ZuwacLssteigerung im 110 — 150. Lebensalter ist aber sehr interessant wegen der später zu erwähnenden Beeinflussung der Organlänge. Vom 150. Jahrringe an trennt sich der Holzkörper in ähnlicher Weise wie bei der Borken- bildung. Es entstehen Risse, und die neu sich bildenden Holzringe verlaufen nur noch wie ein Band spiralig um den Stamm herum.
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4,32 1 1,67 |
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2,81 |
8,30 |
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4,00 |
3,42 |
11,2 - |
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60| |
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3,05 |
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2,70 |
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4,21 |
3,25 |
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50 1 |
2,05 |
2,86 |
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2,69 |
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3,78 12,88 |
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— |
1 3 |
24 |
19 |
1895. Math.-phys. Cl.
14
204
Sitzung der mathrphys, Classe vom 4. Mai 1895.
Stamm ü.
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2,94 |
4,32 |
1,57 |
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15 |
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5 |
13 |
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5 |
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2,29 |
3,78 |
1.77 |
2,80 |
4,10 |
2,65 |
1 — |
^1 |
16 |
17 |
|
|
80 1,30 |
2,42 |
8,46 |
1,62 |
2,881 8,131 |
2,40 |
7 |
1 |
— |
— |
||
|
20 1 1,51 |
2,47 |
3,08 |
1.40 |
2,56 |
8,24 |
2,52 |
9 |
— |
29 |
15 |
|
|
10 |
1,29 |
1,59 |
1,89 |
1,13 |
1,69 |
2,00 |
1,64 |
4 |
7 |
5 |
Stamm IH.
|
Alter! |
I4bige der { Leitongstraeheiden i Fasertracheiden | |
Mitt- lere Länge der |
Jahree- «u- iraehs |
^-f-'L&der |
||||||||
|
^ |
! |
, |
an |
|||||||||
|
Mini- mum |
Mittel |
Maxi-' mum. |
Mini- mum |
Mittel |
«°"»|; iden |
Qner- flftohe |
linke |
reehU i |
links |
raehto |
||
|
1 |
mm |
mm |
qcm |
1 |
||||||||
|
223 , 2,05 |
2,87 |
4,05 |
2,37 |
3,37 |
4,21 |
3,12 |
26,2 |
— |
11 |
9 |
13 |
|
|
208 ; 1,94 |
2,67 |
3,67 |
2,70 |
3,30 |
3,78 |
2,98 |
21,4 |
— |
8 |
— |
— |
|
|
183 ,12,32 |
2,91 |
3,67 |
2,70 |
3,28 |
3,89 |
3,10 |
86,7 |
— |
9 ; |
— |
— |
|
|
163 |2,27 |
3,19 |
4,00 |
2,27 |
3,21 |
4,05, |
3,20 |
40,6 |
— |
7 10 |
22 |
||
|
143 |
1,94 |
3,12 |
4,21 |
2,16 |
3,37 |
4,10 |
3,26 |
47,2 |
— |
8 ' - |
— |
|
|
123 |
2,02 |
3,28 |
4,26 |
2,81 |
3,47 |
4,321 |
3,87 |
48,7 |
— |
1 10 |
19 |
|
|
103 |
1,35 |
2,96 |
3,94 |
2,38 |
3,20 |
3,78 |
8,08 |
68,6 |
0 |
0 , - |
— |
|
|
83 |
2,00 |
2,66 |
3,36 |
2,48 |
3,26 |
4,00 |
2,97 |
60,2 |
8 |
— 11 |
17 |
|
|
63 |
1,46 |
2,68 |
3,29 |
|1.94 |
2,85 |
3,89 , |
2,76 |
61,8 |
8 |
— — |
— |
|
|
43 |
1,84 |
2,39 |
2,92 |
2,00 |
2,88 |
3,62 |
2,64 |
39,2 |
4 |
- 15 |
16 |
|
|
23 |
2,16 |
2,56 |
3,13 |
1,57 |
2,59 |
3,291 |
2,57 |
19,0 |
6 |
1 |
— |
|
|
13 |
0,92 |
1,99 |
3,02 ; 1,62 |
2,27 |
2,92 |
2,13 |
7,9 |
6 |
- l'22 |
8 |
||
|
' |
|0,49 |
0,77 |
1,08 |
0,97 1 |
1,15 |
1,40 j 1 |
0,95 |
. |
2 |
__ |
20 1 |
11 |
R. Hartig: Ueber den Drehwtu^ der Kiefer.
205
|
Stamm IV |
• |
||||||||||||
|
Lloge der |
i 1 lA |
i 1 |
u |
'w&I^S^r |
|||||||||
|
i Leitnngetraeheiden ' Faeertracbeiden |
|||||||||||||
|
Alter |
', 1 |
||||||||||||
|
;Mini- ' mum |
Mittel |
Maxi-i.Mini-jjj.^^j mnm i mnm |
Maxi- mum |
•gCQH 1 * _ .3 |
links |
rechte, links 1 |
rechts |
||||||
|
mm |
i'i 1 mm |
r |
mm |
~qcm |
|||||||||
|
ll ' |
II |
100 |
|||||||||||
|
190 |
1,84 |
2,52 |
3,35 11 1,51 |
2,53 |
3,24 II 2,53 |
3.6 |
4,7 |
55 |
— |
25 |
1 |
||
|
180 , |
1,51 |
2,65 |
3,56; 1,57 |
2,66 |
8,24 2,60 |
3,6 |
5,9 |
55 |
— |
— |
|||
|
170 ' |
2.11 |
2,56 |
8,461 |
2,48 |
3,27 |
3,89 i 2,92 |
3,4 |
11,7 |
52 |
|
— |
— |
|
|
160 j! 1,73 |
2,87 |
3,89 1 |
2,16 |
3,19 |
3,73, 3,03 |
3.2 |
14,9 |
49 |
— |
— |
— |
||
|
150 ' 1,13 |
2,89 |
3,46 |
1,13 |
2,82 |
8,56, 2,86 |
3,2 |
23,6 |
47 |
— |
— |
|||
|
140 1 1,89 |
2,78 |
3,46 |
2,48 |
2,88 |
8,35 2,88 |
3.4 |
34,6 |
45 |
— |
46 |
16 |
||
|
130 i;2,16 |
2,95 |
3,56 |
1,94 |
3,28 |
4,43: 3,11 |
3.1 |
34,1 |
45 |
— |
— |
— |
||
|
120 „ 1,84 |
2,59 |
3,56 |
2,82 |
2,81 |
3,85 2,70 |
3,8 |
53,8 |
43 |
— |
— |
— |
||
|
110 „1,46 |
2,76 |
3,89 |
1,51 |
3,07 |
3,78 1 2,91 |
8.3 |
77,7 |
88 |
— |
26 |
12 |
||
|
100 2,16 |
2,72 |
3,35 |
1,84 |
2,89 |
3,67 l| 2,80 |
3,1 |
22,1 |
33 |
— |
— |
— |
||
|
90 ,0,97 |
2,23 |
3,291 |
1,62 |
2,58 |
3,56 1 2,41 |
3,4 |
22,8 |
30 - , |
— |
— |
|||
|
80 il,84 |
2,50 |
3,401 |
1,51 |
2,58 |
3,85 1 2,54 |
3.0 |
33,0 |
125 |
— t |
— |
— |
||
|
70 : 1,51 |
2,28 |
2,92 |
1,73 |
2,69 |
3,67 1 2,44 |
2.8 |
33,8 |
20 |
— 1 |
— |
— |
||
|
60 1 1,84 |
2,42 |
8,02 |
1,62 |
2,49 |
3,56 i 2,45 |
2,8 |
34,3 |
15 |
1 |
13 |
15 |
||
|
50 ' 1,51 |
2,51 |
3,08! |
1,62 |
2.81 |
3,56 1 2,66 |
2,8 |
25,2 |
18 |
|| |
— |
|||
|
40 1 1,51 |
2,14 |
2,701 |
1,57, 2,32 |
2,76 ; 2,23 |
2,8 |
16,0 |
13 |
— li 30 |
19 |
||||
|
30 |1,73 |
2,08 |
2,43' |
1,73 2,23 |
3,19 2,15 |
2,6 |
2,5 |
9 |
— |
29 |
9 |
|||
|
20 ; 1,51 |
1,74 |
2,21 ; |
1,62 2,10 |
2,43 ' 1,92 |
2.8 |
0,3 |
7 |
— |
— |
— |
|||
|
10 .; 1,08 |
1,36 |
1,78 |
1,29; 1,73 |
2,27,, 1,54 |
1,9 |
0,1 |
3 |
— |
16 |
7 |
|||
|
2 > 1 |
0,78 |
0,92 |
1,29 |
0,54 |
0,99 |
1,19 |
0,96 |
|
— |
— |
— |
— |
Stamm VII.
Lftnge der Tracheiden
Alter!
! Minimum I Mittel •Maximum
|
— — - |
-- |
|
280 |
1,03 |
|
220 |
0,86 |
|
170 |
1,10 |
|
140 |
0,92 |
|
120 |
0,86 |
|
80 |
1,19 |
|
60 |
1,84 |
|
40 |
2,05 |
|
20 |
1,89 |
|
10 |
1,19 |
|
2 |
0,65 1 |
1,70 1,65 2,30 2,08 1,90 2,84 3,20 3,11 2,62 1,86 0,84
2,65 2,32 3,34 2.81 2,48 3,62 3,89 4,27 3,24 2,81 1,08
|
Jahres- |
Drehungswinkel | |
|
|
Zuwachs |
|
1 |
|
an |
||
|
QuerflSche |
links |
rechts ! |
|
"qcm |
= =.r- — |
■ ^^ '^^' T |
|
0,09 |
—. |
70 |
|
0,11 |
— |
50 |
|
0,18 |
|
30 |
|
0,17 |
|
20 |
|
0,13 |
|
10 |
|
0,30 |
— |
3 |
|
0,42 |
0 |
0 |
|
0,46 |
0 |
0 |
|
0,43 |
0 |
0 |
|
0,53 |
0 |
0 |
|
0 |
0 1 |
Qnertheilung der Tracheiden
links rechts
4 16
18 27
11 I 25 9 I 17
15
16
14^
206
Sitzung der math.-phys. Classe vom 4. Mai 1895.
|
Stamm V. |
||||||||||||
|
fe:--. |
Lftnge der |
ilj |
1 1 ^sxr |
theünngder |
||||||||
|
1 f ^ |
Leitnngsiracheiden |
' Faaertracheiden |
||||||||||
|
Alter |
£53 'S |
S ^^ 1' |
1 |
|||||||||
|
•^ ' |
Mini- |
Mittel |
Maxi- |
Mini- |
Mittel |
Maxi- |
§ 2 |
1 l'pinks •^ 1 |
rechts ilinka |
r«cfats |
||
|
n |
mnm |
mum |
mum |
mum |
i 1 |
L_. |
||||||
|
- |
mm |
.__ |
mm |
qcm |
1 |
|||||||
|
155 |
0,97 |
2,75 |
4,10 i 0,76 |
2,68 |
4,10 |
2,71 |
2.1 |
43 |
— |
1 16 |
12 |
|
|
145 |
1,24 |
2,85 |
4,16 11,08 |
2,63 |
4,10 |
2,74 |
2,8 |
40 |
— |
1 - |
— |
|
|
185 |
2,27 |
3,01 |
3,89:2,70 |
3.26 |
8,89 |
8,13 |
4,8 |
35 |
— |
— |
— |
|
|
125 |
1,84 |
2,66 |
3,561 1,08 |
2,47 |
8,89 |
2,57 |
6,7 |
85 |
— |
, 25 |
15 |
|
|
115 |
1,73 |
3,40 |
4,32 1 1,73 |
2,64 |
3,89 |
3,02 |
7,9 |
25 |
— |i — |
— |
||
|
105 |
1,78 |
8,13 |
4,32 i 1,78 |
3,25 |
4,97 |
3,19 |
18,2 |
20 |
— . — |
— |
||
|
95 |
1,94 |
3,31 |
4,43 1 2,38 |
8,30 |
4,64 |
3,80 |
14,8 |
20 |
— 21 |
17 |
||
|
85 |
3,02 |
8,62 |
4,87 |
1,94 |
3,65 |
4,37 |
8,63 |
16,5 |
20 |
— |
! — |
— |
|
75 |
0,86 |
3,23 |
4,10 |
2,05 |
3,35 |
3,89 |
8,29 |
17,9 |
20 |
— |
— |
— |
|
65 |
2,16 |
3,77 |
4,64 |
1,62 |
3,73 |
4,37 |
8,75 |
8,2 1 |
15 |
— |
— |
— |
|
55 |
3,02 |
3,48 |
4,86 2,81 |
3,49 |
4,86 |
3,49 |
10,1 1| 15 |
— |
12 |
11 |
||
|
45 |
2,05 |
3,26 |
4,43 1,46 |
3,34 |
4,75 |
3,80 |
9,6' 16 |
— 1 — |
— |
|||
|
35 |
2,49 |
3,30 |
4,10 i 1,73 |
3,35 |
4,10 |
3,88 |
15,4 15 |
— . — |
— |
|||
|
25 |
2,16 |
3,26 |
3,89 |
1,62 |
3,51 |
4,37 |
8,88 |
16,5 |
1 15 |
— |
— |
— |
|
15 |
1,78 |
2,85 |
3,67 |
;i,94 |
3,07 |
8,89 |
2,96 |
9,9 |
16 |
— |
21 |
19 |
|
2 |
0,75 |
1.84 |
1,94 |
!0,75 |
1.41 |
2,48 |
1,37 |
~~" |
■""■ |
26 |
IS |
|
Stamm VL |
||||||||||||
|
Lingo der |
DrehungB- winkfil Aar |
'theil^'der Tracheiden |
||||||||||
|
Faeertracheiden |
Tracheiden |
|||||||||||
|
Alter |
Mini- ' mnm |
Mittel |
Maxi- mum |
Mini- mum |
Mittel |
Maxi- |
links |
■ l 1 'l rechts ,linka rechte |
||||
|
mm |
mm |
1 qcm ij |
1 |
|||||||||
|
220 |
1,51 |
2,66 |
3,67 |
1,73 |
2,90 |
4,10 |
2.78 |
17,8 - |
90 ; 12 |
21 |
||
|
210 |
1,26 |
2,39 |
3,35 |
1,40 |
2,65 |
4,00 |
2,52 |
21,7 - |
85 - |
— |
||
|
200 ,10,54 |
2,12 |
2,86 |
1,19 |
2,37 |
3,29 |
2,25 |
16,9 1 - |
80 10 |
19 |
|||
|
190 i 1,84 |
2,61 |
8,12 |
2,48 3,06 |
3,67 |
2,88 |
20,6, - |
65 - |
— |
||||
|
180 |
1,73 |
2,54 |
4,32 |
1,73 |
2,85 |
3,67 ! 2,70 |
21.9, - |
60 7! 27 |
||||
|
170 |
2,48 |
3,68 |
4,64 |
2,38 |
3,62 |
5,51 ' 3,65 |
22,1 ' - |
40 - — |
||||
|
160 |
2,70 |
3,26 |
4.43 |
2,70 |
3,80 |
4,86 , 3,53 |
21,1 1 - |
30 1 |
11 ; 24 |
|||
|
150 |
2,92 |
3,42 |
4,21 |
3,24 |
4,15 |
4,54 1 8,78 |
26,4': — |
20 |
— 1 — |
|||
|
140 |
2,81 |
3,36 |
3,67 |
3,45 |
4,39 |
6,53 3,88 |
29,8.1 - |
20 |
— |
— |
||
|
130 |
2,48 |
3.44 |
4,32 |
2,05 |
4,07 |
4,86 1, 3,76 |
18,8 1 - |
20 11 |
15 |
|||
|
120 |
2,48 |
3,66 |
4,54 |
3,02 |
4,02 , 4,86 1 3,84 |
20,7 - |
10 - |
— |
||||
|
110 |
2,38 |
3,41 |
4,75 |
2,16 |
3,74 |
4,54 • 3,58 |
20,8 ! - |
10 - |
— |
|||
|
100 |
2,48 |
3,89 |
4,75 |
2,97 |
3,92 |
4,75 r 3,91 |
25,6 — |
ö ' 18 |
23 |
|||
|
90 |
2,81 |
3,96 |
4,97 |
2,05 |
3,9414,97 3,95 |
17,5 — |
3 ; - |
— |
||||
|
80 |
2,59 |
3,76 |
4,32 |
|2,92 |
8,75 1 4,97! 3,76 |
15,1 0 |
0 1 |
31 |
38 |
|||
|
70 |
3,29 |
3,70 |
4,21 |
2,70 |
3,70 |
4,43 1 |
8,70 |
"" 1 |
0 |
0 j |
7 |
12 |
B. Hartig: üeber den JDrehtouehs der Kiefer, 207
üeberblicken wir die an den Stämmen I— VI auftretenden Drehangsrichtungen, so erkennen wir zunächst, dass alle Kie- fern in der ersten Jugend links drehen. Wahrscheinlich gilt das auch für Stamm VI, dessen innerer Holztheil verfault war. Vom 20. bis 30. Ringe an tritt entweder Qeradfaserig- keit ein (I), oder die Linksdrehung setzt sich in gesteigertem Grade in der Folge fort (IV und V), oder der Drehungs- winkel nimmt ab und geht aus der Linksdrehung in die Kechtsdrehung über. Diese Aenderung kann schon frühzeitig (II) oder erst nach dem lOOsten Jahrring (III) eintreten. Die Abnahme oder Zunahme der Schrägstellung erfolgt ent- weder gleichmässig oder periodisch sich ändernd, so dass auf starke Drehungen schwache und umgekehrt folgen (II). Der Drehungswinkel ist am ganzen Stamme zu derselben Zeit nicht derselbe, kann vielmehr nach oben abnehmen (IV, V). Auf den verschiedenen Seiten des Baumes ist der Winkel der Drehung ein verschiedener.
Da Braun den Drehwuchs in Beziehung zu dem Längen- wachsthum der Gambialzellen gebracht hat, so schien es mir zunächst wünschenswerth zu sein, einen klaren Einblick in die Längenverhältnisse der Tracheiden bei geradfaserigen und drehwüchsigen Bäumen zu erhalten. Sanio^) kam durch seine Untersuchungen an einem 110jährigen Kiefernstamm zu dem Ergebnisse, dass die mittlere Länge der Tracheiden im ersten d. h. im innersten Ringe am kürzesten und zwar unter 1 mm lang sei, dass diese Länge in den nächsten Jahr- ringen schnell zunehme und im SOsten Jahre 2,60 mm erreicht. Nach dem 30 sten Jahre blieb sich die Länge entweder gleich, oder zeigte nur eine sehr geringe Zunahme.
Ich habe schon für die Rothbuche*) und Fichte') nach-
1) Pringsheim's Jahrb. VIII p. 401 ff.
2) Das Holz der Bothbache. 1888 p. 25. Berlin.
^) Die Verschiedenheiten in der Qualität und im anatomischen Bau des Fichtenholzes. In Forstl. naturw. Zeitschr. 1892 p. 232.
208 Sitzung der mathrphys. Glasse vom 4. Mai 1895.
gewiesen, dass die Organlänge von einem gewissen Alter an wieder abnimmt, und zwar bei Bäumen, welche im Bestände bedrängt sind, früher als bei den dominirenden Bäumen. Neuerdings hat Omeis^) gefunden, dass in einem gering- wüchsigen 110jährigen Kiefernbestande bei Brusthöhe die Tracheidenlänge schon im SOsten Jahre ihr Maximum er- reichte und darnach schnell abnahm. Auch Bertog*) be- stätigt die Abnahme der Organlänge etwa vom SOsten Jahre an für Fichte und Tanne.
Das Ergebniss meiner Messungen an dem vorbezeichneten Untersuchungsmateriale ist ein in mehrfacher Beziehung interessantes.
In den beigefügten Tabellen I — VII habe ich nicht allein die Mittellänge aus etwa je 60 Einzelmessungen, son- dern auch die grösste und geringste Länge beigefügt. In jedem Holztheile befinden sich Tracheiden der verschiedensten Länge, und es bedurfte einer grossen Zahl von Messungen, um eine brauchbare Mittelzahl zu erhalten.
Ehe wir die Verhältnisse besprechen können , welche auf die Länge der Organe einen Einfluss ausüben, erscheint es nothwendig, die Zelltheilungsvorgänge in der Initialachicht des Cambiummantels ins Auge zu fassen, durch welche die Initialzellen selbst sich vermehren. Da der tangentiale Durch- messer der Initialzellen eine beschränkte Grösse besitzt, so muss mit der ümfangszunahme des Axentheiles eine Ver- mehrung derselben eintreten. Diese Vermehrung beruht auf einer Quertheilung der Cambialzellen. Allerdings ist es ausserordentlich schwierig, diese Quertheilung in der Initial- schicht selbst zu beobachten. Da aber die Streckung der aus der Initialzelle hervorgegangenen Gewebezellen bei der
^) Wachsthumsgang und Holzbeschaffenheit eines 110 jährigen Kiefembestandes. Das. 1896, April.
^ Wuchs und Holz der Weisstanne und Fichte. Ebend. 1895, Mai.
B, Hattig: üeber den Drehwuchs der Kiefer. 209
Kiefer nnr eine geringe ist, so darf man ans dem Gestaltungs- verhältnisse der Tracheiden selbst einen Schluss auf die Grossenverhältnisse der Initialzellen ziehen. Die Quertheilung erfolgt zwar in der Mehrzahl der Fälle annähernd in der Mitte der Organe, nicht selten wird aber von einer langen Initialzelle nur ein ganz kurzes Stück abgeschnitten. So kommen Fälle vor, in denen eine Zelle von 5,5 mm Länge in zwei Tochterzellen zerlegt wird, von denen die eine 4,8 mm, die andere 0,7 mm lang ist.
Wahrscheinlich erfolgt die Theilung an dem Punkte der Initialzelle, wo durch die peripherische Ausdehnung auf die Entstehung neuer Initialzellen der grösste Reiz ausgeübt wird. Die beiden Tochterzellen strecken sich nun in der durch die Stellimg der Querwand yorgezeichneten Richtung an einander vorbeigleitend. (Fig. II c.) Das obere Ende der unteren Zelle wächst nach oben. Das untere Ende der oberen Zelle streckt sich nach unten, und dieses Strecken veranlasst nicht allein eine von Jahr zu Jahr zunehmende Länge der Organe, sondern auch eine immer steilere Rich- tung der Querwände. In einer gegebenen Querfläche vermehrt sich also die Zahl der Initialzellen dadurch, dass die Enden der aus Quertheilung hervorgegangenen neuen Zellen von oben und von unten her zwischen die vorhandenen Initial- zellen sich einschieben. Raatz,^) der di^en Theilungsprozess richtig erkannt und gedeutet hat, ist darüber in Zweifel, ob nicht von Anfang an die Querwände rechtwinklig zur Längs- axe der Cambialzellen stehen und erst nachträglich eine schräge Stellung in Folge des Längenwachsthums einnehmen.
Aus meinen Untersuchungen habe ich die Ansicht ge- wonnen, dass die Querwände von Anfang an entweder nach rechts oder nach links aufwärtssteigend sind. Es beruht
^) Die Stabbildangen im secand&ren HolzkOrper der Bäume und die Initial theorie. In PriDgsheim's Jahrb. 1892 p. 631.
210 Sitzung der matK-phys. Glaste vom 4, Mai 1895.
darauf, wie wir sehen werden, die Erscheinung des Dreh- wuchses der Bäume.
Der Umstand, daas wir jederzeit die verschiedensten Or- ganlängen nebeneinander vorfinden, erklärt sich also daraus, dass dieselben aus jungen und alten Initialzellen entstanden sind, d. h. aus solchen, die eben erst eine Quertheilung er- fahren haben, imd solchen, die schon eine Reihe von Jahren sich zu strecken Zeit hatten.
Es ist nun leicht verständlich, wesshalb in den innersten Jahresringen die Organe noch klein sind. Sie sind aus jungen Initialzellen entstanden. In den beigegebenen Ta- bellen habe ich auch die Organlängen des zweiten oder dritten Ringes angegeben, und wird man daraus ersehen, dass die grössten Längen nur etwa den dritten Theil der- jenigen Faserlänge erreichen, die in höherem Alter auftreten.
Im weiteren Entwicklungsgange des Baumes oder Baum- theiles wird nun die Organlänge bedingt durch die Ernährung des Baumes, insofern eine nachhaltige Steigerung indem Wachsthumsgange des Baumes auch auf das Längen wachs- thum der Initialzellen günstig, ein andauerndes Sin- ken des Baumzuwachses ungünstig einwirkt, während schnell vorübergehende Steigerungen oder Störungen des Zu- wachses ohne Einfluss sind. Im entgegengesetzten Sinne wirkt natürlich die mit dem Zuwachse verbundene Umfangszunahme des Baumtheiles. Je schneller sich die Peripherie und der Cambiummantel vergrössert, um so lebhafter erfolgt die Zell- vermehrung durch Quertheilung der Initialzellen. Das Durch- schnittsalter und die mittlere Länge der Initialzellen wird damit herabgedrückt.
Berechnet man den Zuwachsgang an Querfläche (siehe in den Tabellen die Spalte über Jahreszuwachs) und ver- gleicht ihn mit der Länge der Tracheiden, so ist eine Be- ziehung zwischen beiden gar nicht zu verkennen. Ein völ- liger Parallelismus besteht freilich nicht, aber dem Steigen
B, Hartig: lieber den Drehwuchs der Kiefer. 211
und Sinken des Zuwachses folgt nach einiger Zeit ein Zu- nehmen oder Abnehmen der Organlänge in ersichtlichem Grade.
Es wird nunmehr auch verständlich, woher es kommt, dass im untern Theile eines Baumes die Organe immer er- heblich kleiner sind, als höher im Stamme aufwärts bis zum Kronen ansatz. Wir wissen, dass die Zuwachsgrösse im domi- nirenden, d. h. noch nicht unterdrückten Eiefemstamme von oben nach unten zunimmt und dass insbesondere der untere Stammtheil einen viel lebhafteren Querflächenzuwachs besitzt, wie die oberen Schafttheile, Schon ein Vergleich zwischen den Stammstücken IV und V, die 5 m von einander entfernt lagen, zeigt den grossen Unterschied im Zuwachse gleicher Wuchsperioden. Am unteren Ende des Stammes nimmt der Umfang jährlich mit einem höheren Procentsatze zu als in dem oberen Schafttheile, und die Zellvermehrung durch Quer- theilung muss demgemäss schneller vor sich gehen, als oben. Die Initialfasern erreichen somit unten ein geringeres Alter, als im oberen Stammtheile, sind desshalb kürzer als dort.
Untersucht man die Organlänge an einem excentrisch gewachsenen Stammtheile auf der breitringigen und auf der engringigen Seite, so überrascht ferner die Thatsache, dass auf letzterer die Organe im Durchschnitt länger sind, als auf der ersteren. Am Stammstück V hatten die Tracheiden der schmalen Seite die auf Seite 212 zusammengestellten Längen, welche mit denen der breiten Seite (siehe auch Seite 206 Tab. V) zu vergleichen sind.
Es scheint mir zweifellos zu sein, da&s die langsamere Ausdehnung des Cambiumringes und dem entsprechend die sich seltener wiederholende Quertheilung der Initialfasern die Ursache der grösseren Länge der Tracheiden auf der schmalen Seite des Baumes ist. Sie werden auf dieser Seite älter, als auf der breiten Seite.
Irgend welche Beziehungen zwischen der Organlänge und der Drehwüchsigkeit der Bäume lässt sich aber nicht erkennen.
212 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 4, Mai 1895.
Sebmale Seite Breite Seite
|
Alter |
Leitungs- |
Faser- |
MitteUange |
Mittelilnge |
|
tnoheiden |
traoheiden |
aller Traeheiden |
||
|
156 |
8,81 |
3,68 |
8,72 |
2,71 |
|
U5 |
— |
— |
— |
2,74 |
|
135 |
3,67 |
8,59 |
3,63 |
3,18 |
|
125 |
3,26 |
2,83 |
3,06 |
2,57 |
|
115 |
8,60 |
8,88 |
3,71 |
8,02 |
|
105 |
3,64 |
3,87 |
3,75 |
8,19 |
|
95 |
3,79 |
3,88 |
8,81 |
8,30 |
|
85 |
3,50 |
3,73 |
8,62 |
3,68 |
|
75 |
4,11 |
3,69 |
8,90 |
8,29 |
|
65 |
4,00 |
8,95 |
8,97 |
8,75 |
|
55 |
8,84 |
4,01 |
3,93 |
3,49 |
|
45 |
3,14 |
3,48 |
3,31 |
8,30 |
|
85 |
3,41 |
3,70 |
3,56 |
8,88 |
|
25 |
3,18 |
3,64 |
3,41 |
8,88 |
|
15 |
2,87 |
3,35 |
8,11 |
2,96 |
|
2 |
1,84 |
1.41 |
1,37 |
1,87 |
Die Geradspaltigkeit und der schräge Verlauf der Holzfasern hängt vielmehr, wie die weiteren Untersuch- ungen ergeben haben, von dem Verhältnisse ab, in wel- chem die beiden Quertheilungen der Initialfasern zu einander stehen, untersucht man auf Tangentialschnitt^n, wie viele der jüngeren, d. h. der noch nicht sehr steil aufsteigenden Querwände von rechts nach links, wie viele von links nach rechts aufsteigen, so ergibt sich zunächst, dass stets beide Arten von Quertheilungen vorkommen, dass aber das Verhältniss derselben keineswegs immer das annähernd gleiche ist. In den Tabellen I — VII habe ich in den letzten beiden Spalten angegeben, wie viele Rechts- und wie viele Links- theilungen ich in dem betreflfenden Alter vorfand.
Vergegenwärtigen wir uns die Wirkung, welche das Längenwachsthum der aus der Quertheilung einer Initial- faser hervorgegangenen beiden Tochterzellen auf die Richtung der Fasern ausüben muss, so ist ersichtlich, dass bei einer Quertheilung nach rechts das obere Ende der unteren Zelle, indem es, dem unteren Ende der Schwesterzelle ausweichend,
B. Hartig: üeher den Drchwtichs der Kiefer. 213
nach rechts yorbeiwächst, eine Ablenkung nach rechts erhält, wogegen das untere Ende der oberen Schwesterzelle bei seiner Verlängerung nach unten eine Ablenkung nach links erfahrt. Ein Baum, dessen Initialzellen sich von Jugend auf immer nur in vorgedachter Weise theilen würden, müsste bald eine Schrägstellung aller Fasern von links nach rechts zeigen.
In den ersten Jahrzehnten drehen alle Kiefern mehr oder weniger links, und dies kommt daher, dass die Zahl der Quertheilungen nach links in den ersten Jahrzehnten immer überwiegt, so z. B. bei Stamm I mit 24 zu 19 im 2. Ringe, mit 21 zu 17 im 10. Ringe. Bei den im späteren Alter geradfaserig wachsenden Kiefern schwankt nun die Zahl der Rechts- und Linkstheilungen je nach dem Baum- theile und Jahrringe, ohne ein Vorherrschen der einen oder andern Theilungsrichtung erkennen zu lassen. (Siehe Figur IL) Dadurch gleicht sich aber die Wirkung beider Theilungsarten in Bezug auf den Faserverlauf im Ganzen aus. Sehr instructiv ist Stamm IL Bis zum 20. Ringe zeigt derselbe starke Links- drehung (9®) und 29 Linkstheilungen gegenüber 15 Rechts- theilungen. Dann stellen sich die Fasern mit dem 40. Ringe senkrecht, und zwar in Folge davon, dass die Rechtstheilungen die Ueberhand gewinnen.
Im 60. Jahre ist die Schrägstellung nach rechts 5^ und zwar in Folge der grossen üeberzahl der Rechtstheilungen (21 r. zu 13 1.). In den nächsten 40 Jahren überwiegen wieder die Linkstheilungen mit 20 zu 16, in Folge dessen die Fasern die lothrechte Richtung einnehmen. Von da an überwiegen wieder die Rechtstheilungen, so dass die Rechts- drehung sehr stark wird. In den letzten Jahrzehnten ver- mindert sich die Schrägstellung wieder, weil die Links- theilungen wieder überwiegen (23 gegen 13).
Bei Stamm III erreicht die Linksdrehung der Jugend mit 5^ ihr Maximum in Folge überwiegender Linkstheilungen.
214 Sitzung der math.-phys. Classe vom 4. Mai 1896.
Vom 43. Jahre an tiberwiegt für alle Folgezeit die Rechts- theilung. In Folge dessen geht schon von da an die Links- drehung aus 5^ in 4^ über, mindert sich immer mehr, er- reicht mit 103 Jahren die Senkrechte und geht nun in die Kechtsdrehung über.
Stamm IV zeigt von Jugend auf ein üeberwiegen der Linkstheilungen und dem entsprechend eine immer starker werdende Linksdrehung bis zu 55®. Nur im 60. Jahre findet einmal eine Abschwächung des Drehungs winkeis von 18® auf 15® statt und der betreffende Holztheil liess in der That ein Ueberwiegen der Rechtstheilungen erkennen.
Für Stammstüek V gilt dasselbe, nur mit dem Unter- schiede, dass die Fasern gleich in den ersten Jahren sehr stark links (15®) drehen und dann in der Folge der Drehungs- winkel nur langsam grösser wird.
Der Moskauer Stamm VI, dessen innerer Kern durch Holzparasiten zerstört wurde, zeigt im 70. Jahre schon ein Ueberwiegen der Rechtstheilungen, da offenbar in den vorher- gehenden Jahrzehnten der Stamm nach links gedreht hatte, und erst durch länger anhaltendes Ueberwiegen der Rechts- theilungen in die senkrechte Faserstellung gelangen musste. In der Folge überwogen die Rechtstheilungen so sehr, dass nach dem 200. Jahre der Faserverlauf nahezu ein horizon- taler wurde.
Der Lärchenstamm VII zeigt bis zum 60. Jahre Oerad- faserigkeit und Gleichheit in den Rechts- und Linkstheilungen. Von da an überwiegt die Rechtstheilung, so dass der Dreh- ungswinkel schliesslich 70® ausmacht. Dieser Stamm ist noch dadurch interessant, dass in dem letzten Jahrhundert die Ernährung des Baumes eine so geringe war, dass die Streckung der Initialfasern und damit die Vermehrung der- selben im Querschnitt nicht genügte, das Aufreissen des Holzkörpers zu verhindern. Der jüngere Holzkörper bildete
R. Hartig: lieber den Drehwuchs der Kiefer, 215
schliesslich nur noch ein schmales Spiralband, welches den alten Holztheil umschlingt.
In den beigefügten Figuren ist der geradfaserige, und linksdrehende Wuchs der Kiefer zur Darstellung gebracht. Wenn nach dem Vorstehenden auch verständlich geworden sein dürfte, worauf die Abweichungen des Faseryerlaufs von der senkrechten Richtung zurückzuführen sind, so bleibt es anderentheils völlig unerklärlich, wesshalb die eine Eaefer bei ihren Zelltheilungen in der Initialschicht vorwiegend nach der einen, die andere vorwiegend nach der anderen Richtung hin die schrägen Quertheilungen ausführt. Aeussere Einflüsse scheinen dabei völlig ausgeschlossen zu sein und es ist höchst wahrscheinlich, dass es sich dabei lediglich um innere, individuelle und wahrscheinlich innerhalb ge- wisser Grenzen auch vererbliche Eigenschaften handelt.
Zum Schlüsse mag noch auf eine Eigenthümlichkeit im anatomischen Bau der stark dreh wüchsigen Stammtheile hingewiesen werden. Bei dem geradfaserigen Holze (Fig. II) strömt naturgemäss das Wasser in der Längsrichtung der Tra- cheiden aufwärts und der Uebergang aus einer Tracheide zu der nächst höher stehenden erfolgt durch die mehr oder we- niger schräg stehenden Querwände. Diese sind durch dicht nebeneinanderstehende Hoftipfel ausgezeichnet, die als Durch- gangspforten dienen. Die Längswände sind relativ tipfelarm, wenn auch immerhin die Tipfeizahl genügt, um eine seit- liche Bewegung des Wassers in radialer Richtung zu ermög- lichen.
Der anatomische Bau der stark drehwüchsigen Kiefern ist nun dadurch ausgezeichnet, dass die Seiten wände mit Hoftipfeln ebenso dicht bedeckt sind, als die Quer- wände. Daraus ist wohl mit Sicherheit zu schliessen, dass
216
Sitzung der math.-phys, Classe vom 4. Med 1895.
das Wasser nicht dem schrägen Verlaufe der Tracheiden folgt, sondern seinem Ziele, der Baumkrone, direct znströmt.
Erwähnenswerth dürfte femer noch die Thatsache sein, dass bei den stark drehwächsigen Kiefern die Tangential- wände der letzten Herbstholztracheiden mit kleinen Hof- tipfeln ebenso dicht besetzt sind, als dies bei der Fichte, Tanne und Lärche der Fall ist, während an geradfaserigen Kiefern bekanntlich Hoftipfel auf deu Tangentialwänden in der Regel fehlen.
Fignr L
Linksdrehondes Kiefernholz in Tangentialftnaichi Anf fünf nacli links aniktefgenda Qnerw&nde kommt nur eine Reehtstbeilnng. Lftngsir&nde mit sahlreieben HofUpfeln.
R. HarHg: üeher den Drehwuchs der Kiefer, Figur II.
217
a b
Gerad&Berigee Kiefernholz, a Leiiangstraeheide in nduüer, b in tangentialer Ansicht.
Vergr. 50 : 1. e Tangentialanaicht eine« körperlich dargestellten Holutflokea. Vier
Qnerwftnde nach rechts, vier nach links ansteigend. Vergr. 200 : 1.
219
Die Abbildung der Halbebene auf ein Polygon, das von Bögen confocaler Kegelschnitte begrenzt wird.
Von F« Lindemann.
(King^taufm 4. MaL)
Es sind zahlreiche Beispiele genau durchgeführt, bei denen es sich um die conforme Abbildung einer complexen Ebene auf eine andere handelt, und bei denen man die Abbildungsfunction als gegeben betrachtet, um die durch sie dargestellte Beziehung geometrisch zu verfolgen. Versucht man aus solchen Beispielen andere für die Hauptaufgabe der Abbildungstheorie (nämlich eindeutige conforme Abbildung eines gegebenen Flächenstückes auf den Einheitskreis oder die Halbebene) abzuleiten, so ist die Ausbeute eine sehr geringe; denn die verlangte Eindeutigkeit wird durch die Verzweigungspunkte der studirten Function in der Regel gerade da gestört, wo es sich um ein wesentlich neues Problem handeln würde. In manchen Fällen kann man indessen diese Störungen heben; und dies an einem Beispiele vollkommen durchzuführen, erschien mir als eine lehrreiche Aufgabe, der die folgenden Ausführungen dienen mögen.
1. Setzt man ^r s= o; + iy, -e^ = tr — iy und schreibt die Gleichung einer in rechtwinkligen Goordinaten gegebenen Curve in der Form
(1) /•(^,^,) = o.
1895. Uatb.-phys. C1. 2. 15
220 Sitzung der math.-phys. ClcMse vom 4. Mai 1895.
SO besteht die Relation
dz dZi
(2) 17~~9/.'
dz^ dz
und aus letzterer lässt sich nach meiner früheren Darstellung in manchen Fällen die conforme Abbildung eines yod der Curve f=0 umschlossenen Ovals auf die Halbebene (F> 0) ableiten; es beruht dies darauf, dass in Folge von (2) die Function
dtj , djs 1
auf dem Rande des Ovals reell ist, wenn Z = X + t F einen Punkt der Bildebene bezeichnet.*)
Die Curve (1) gehöre einem Systeme confocaler Ellipsen und Hyperbeln an, das durch die Gleichung
definirt sei; dann geht die Gleichnng (1) fiber in
^ ^ - 4(a»-A)(ft»-A) =0;
und es wird
/ äff i de
(5) "^ ^dZ~ iY^^e'^ y{n^—X){h^^) dZ' wenn c* = a* — 6*,
eine Function, die längs der Curve (4) reell ist; dasselbe gilt von ihrem logarithniischen Differentialquotienten
^) Vergl. Sitzungsbericht der phys.-ökon. Gesellschaft zu Königs- berg i. Pr. vom 7. Juni 1894.
F, Lindemann: Die Abbildung der Hälhebene etc. 221
^ ' dZ dZ s*-e* "' ^^ ^ ~ dZ
Letzterer ist von k unabhängig; er ist gleich — j^',
d ^
(7) » = J^T^-- = log {z +y^^=^ = log C
wenn
gesetzt wird. Es ist vorhheilhaft v oder f als neue Variable eingeführt zu denken. Vermöge der Substitution
(8) ? = 10 + f> ^
wird bekanntlich*) das System confocaler Ellipsen (mit den Brennpunkten ^ e) in der jer- Ebene übergeführt in ein System concentrischer Kreise in der C-Ebene (mit dem Mittel- punkte C = 0); die zugehörigen confocalen Hyperbeln gehen in die Radienvectoren der Kreise über; der Verbindungslinie der Brennpunkte (doppelt gezählt) entspricht in der C-Ebene der Einheitskreis. Jedem von confocalen Ellipsen und Hyper- beln begrenzten Polygone, das keinen Brennpunkt im Innern oder auf dem Rande enthält, entspricht ein von Bögen con- centrischer Kreise und deren Radien begrenztes Polygon.
Erstreckt sich keine Seite eines solchen Kegelschnitt- polygons ins Unendliche, so sind alle Winkel an den Ecken
_ ^ TT
gleich - oder gleich -— . Bildet man die f-Ebene vermöge
der Gleichung (7) auf eine v-Ebene ab, so wird das Polygon in ein geradliniges verwandelt, dessen Abbildung auf die Halbebene nach Christoffel sofort ausgeführt werden kann. Liegt kein Brennpunkt im Innern oder auf dem Rande des abzubildenden Polygons, so haben wir also
*) Vergl. z. B. Holzmüller, EinfOhrnng in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften, Leipzig 1882, p. 130 ff. und Taf II<
15*
222 Sitzung der math.-^ys. Glosse vom 4. Mai 1895.
Hiebei bedeuten JBj, B^. . . Bn diejenigen Stellen der
3 ?i Axe F = 0, denen je eine Ecke mit dem Winkel -^ im
gegebenen Polygon entspricht, während den Punkten il,,
A^, . Am Ecken mit dem Winkel -^ zugeordnet sind. Es ist
immer
(9a) m = « + 4,
so dass der Punkt Z=s oo keine singulare Stelle für die Abbildung liefert (wenn nicht zufällig eine der Grössen A^^ Bt unendlich gross wird).
2. Ist das gegebene Polygon im Endlichen ge- schlossen, wie im vorigen Falle, liegt aber ein Brenn- punkt auf dem Rande (etwa J8r = c), so betrachten wir
-#7 1 '
wieder die durch (6) gegebene Function yL . Da jetzt
die Relation
(10) m = n + S
erfüllt ist, so ist die Function
dZ 2^ Z-Bt ' 2^ Z-A, ' 2Z—E'
wo der reelle Punkt E dem Brennpunkte e zugeordnet sei, überall (auch für Z = oo) holomorph, also gleich einer Constanten. Das Verhalten im Brennpunkte bedarf nur noch einer Besprechung. Es besteht für £ = 6 eine Ent- wicklung der Form
(11) S!-r = e,(Z-E)+e,{Z £)» +
F, Lindemann: Die Abbildung der Halbebene etc. 223
und es ist demnach
^ ^ — 1 ( ^ -L ^ ^"^ ^-^ — 1 -1 u- m7—F\
wenn ^ (Z — E) eine nach positiven Potenzen geordnete Reihe bedeutet; die betrachtete Function verhält sich also an der Stelle Z=E in der That nicht singulär. Die Ab- bildung wird sonach durch eine Formel der folgenden Gestalt vermittelt:
(10a) log (. +1/^^:=^) = c rj^?ES -4£=. + ü\
Liegen beide Brennpunkte auf dem Rande des Polygons und entspricht der Werth Z=E' dem Werthe js= — e, so finden wir in gleicher Weise:
(12) m = n + 2,
n o M / . lAl— ». r (VnJZ^M d Z
(12a) log (jer+V-gr» — e*) = C I —=^— -> — r --.
J yn{Z-As) V{Z-E){Z^E')
3. Es kann auch vorkommen, dass der Brennpunkt nicht nur auf dem Rande des Polygons liegt, son- dern auch eine Ecke desselben bildet; das Polygon erscheint dann längs eines Stückes der reellen Axe, das vom betr. Brennpunkte ausgeht, aufgeschlitzt. Die Entwicklung (11) ist zu ersetzen durch
s—e = d^ {Z—E)^ + (»3 (Z— £)« + . . . .
/7 1 '
Wir finden in gleicher Weise, da die Function ,^ an der Stelle Z=^E nicht unendlich wird:
(13) m = n + 4,
(13a) log (. +y?=:?) = G f ^^^j dz + or.
224 Sitzung der math^-phys, Glosse vom 4. Mai 1895.
Sind beide Brennpunkte Ecken des Polygons, so wird:
(14) m = n + 4,
(14a) log (^ + l/^^7^) = cj ^||5= dZ + C\
Liegt ein Brennpunkt auf dem Rande, während der andere als Ecke auftritt, so ist
(15) w = ti + 3,
(15a) log (^ + V^T») = C {^ß^Sk -ߣ= + C.
4. Liegt ein Brennpunkt im Innern des abzu- bildenden Polygons, so gilt wieder eine Entwicklung der Form (11); es bedeutet nun jetzt E einen Punkt im Innern der Halbaxe Y > v. Damit die Function (6) auf dem Rande reell sei, muss dann der conjugirte Punkt E^ in gleicher Weise als singulare Stelle vorkommen; es wird idso:
(16) f» = n + 2, (16 a) log(^ + /^^^)
_ c Cvrij^^M dZ ^.
J Yn\Z- ^) V{Z S) (Z-E,) "^
Liegen beide Brennpankte im Innern, so ist:
(17) m = «,
(17 a) iog(e+Y^—^)
J Vn{Z-A.)VZ-E){Z-Ei)(Z^=^iZ~E\)
Für m=n=0 ergibt sich hieraus insbesondere die Schwarz- sehe Formel ftir das Innere einer Ellipse.
F. lÄndemanin IHe Äbbädung der Halbebene ete. 225
Liegt g = e im Innern, « =s — e auf dem Rande deä Polygons, so haben wir
(18) m==« + l,
(18a) Iog(Ä + T/,^»^e»)
^ ^ rVnJz^^B;) dz
Ji
+ c'.
y'n(Z-A,) Y{Z-E){Z-E,)(Z-E')
Liegt « = e im Innern und ist * = — e eine Ecke des Polygons, so wird
(19) m = n + 2,
log(«+V*»^^e»)
J VTl(Z-A,) Vij-EYJ-E'^
+ C'.
5. Es bleibt noch der Fall zu betrachten, dass sich der unendlich ferne Punkt der ir-Ebene im Innern des Polygons befindet, d. h. dass es sich um die Abbildung der Halb- ebene auf das Aeussere eines Polygons von der bis- her betrachteten Gestalt handelt. Die Aufgabe er- ledigt sich in derselben Weise, wie die entsprechende Auf- gabe bei geradlinigen Polygonen durch ChristoffeP) Er- ledigung fand. Es sei A-^^iB der Punkt, welcher dem Punkte £r = 00 zugeordnet wird, so dass eine Entwicklung der Form
(20) i = y, (_Z-A-iB) + y, {Z-A-iB)^ + . . . .
besteht. Ist dann n die Zahl der Ecken mit den Winkeln -^, m diejenige mit den Winkeln -, so können wir alle möglichen Fälle in den Gleichungen
^) Annali di Matematica, Serie % Bd. 4, 1870.
226 Sittung der nMth.-pkys. Glosse vom 4, Mai 1895.
(21) n = m + v
,21.) i„„(.+,^^--.*)-aJ^;^i|i|)^+c-.
WO U==(Z-E)^{Z-Ei)^^(Z^Ey(Z-Ei)ßi[(Z'-A)^+B^\
zusammenfassen; zur Ableitung der letzten Gleichanj^ hat man die Function (6) an den einzelnen singulären Sielleu zu entwickeln. Die einzelnen Fälle unterscheiden sich nun in folgender Weise:
1) Kein Brennpunkt liegt im Innern des abzubildendea Polygons (welches den unendlich fernen Punkt enthäit) :
i; = 0, a = 0, a, = 0, /8 = 0, /», = 0.
2) Ein Brennpunkt auf dem Rande:
r=l, a==2-, a, =0, /? = 0, ß, = 0.
3) Beide Brennpunkte auf dem Rande:
v = 2, a = |, a, =0, y? = i ß, = 0,
4) Ein Brennpunkt als Ecke:
r = 0, a = 0, a, = 0, ß = 0, ß^ = 0.
5) Beide Brennpunkte als Ecken:
I, = 0, a = 0, Oj = 0, ^ = 0, ß^ = 0.
6) Beide Brennpunkte auf dem Rande und einer von ihnen als Ecke:
v = l, a = i a, = 0, /? = 0, /?, = 0.
7) Ein Brennpunkt im Innern:
v = 2, a = i a, = ^, /? = 0, ^j = 0.
F. lAndemann: Die Mbüdung der Halbebene etc. 227
8) Beide Brennpunkte im Innern:
9) Ein Brennpunkt auf dem Elande, der andere im Innern:
v = 3, 0 = 2' ^1 = 2' ^"^r ^^^^'
10) Ein Brennpunkt im Innern, der andere als £!cke:
1^ = 2, a = l a, = 2' ß = ^^ A = 0-
Der Fall 1) liefert für n = m = 0 insbesondere die Sehwarz^sche Formel für die Abbildung des Aeussern einer Ellipse. Der Fall 5) führt für m = n = 0 zu der bekannten (z. B. für die Kugelf unctionen wichtigen) Abbildung:
6. Liegt der unendlich ferne Punkt der ^-Ebene auf dem Rande des Polygons, ohne eine Ecke des- selben zu bilden, so sind die Formeln (21) und (21a) zu ersetzen durch:
(22) m = n + v,
(22a) log (z + 1/^^=7^) = C f P^3 ^f + ü\
wo U = {Z—Er{Z-E^riiZ—Ey(Z^Ei)ßi{Z-A)
und wo der reelle Punkt Z = Ä dem Punkt z =- co ent- spricht. Für die eben unterschiedenen 10 Fälle haben wir jetzt bez.:
v = 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, -1, -1, 0
zu setzen, während die zugehörigen Werthe von a, Op /?, ß^ ungeändert bleiben.
228 Sitzung der mcUhr^ys, Glosse wm 4. Mai 1895,
7. Ein neuer Ansatz wird nöthig, wenn der imendlicli ferne Punkt der ir-Ebene als Ecke des abzubildenden Poly- gons einfach oder mehrfach vorkommt, d. h. wenn sieb das gegebene FlächenstQck nach einer Richtung oder nach mehre- ren Richtungen (zwischen je zwei Hyperbelzweigen) ins un- endliche erstreckt. Vermöge der Abbildung (8) entspricht jetzt dem gegebenen Flächenstücke das Innere eines Kreis- bogenpolygonsi dessen Begrenzung durch concentrische Kreise und deren Radien gebildet wird und bei dem das gemeinsame Gentrum mehrfach als Ecke vorkommt. Zwei im Centram zusammentreffende Radien bilden den Winkel kn, wenn in der £r-Ebene die Asymptoten der entsprechenden Hyperbel- äste denselben Winkel einschliessen. Statt des Punktes C = 0 kann auch der Punkt C = oo als Ecke des K reisbogen polygous vorkommen; es können auch beide Punkte gleichzeitig als Ecken in Betracht zu ziehen sein. Unser Problem ist hier- durch, falls die Brennpunkte nicht im Innern oder auf dem Rande liegen auf das Schwarz'sche Problem reducirt; es wird gelöst durch eine Differentialgleichung der Form
(23) {C,Z} = R{Z),
wenn in bekannter Weise
d
^ '°8 dZ
2\dZ/
gesetzt wird, und wenn R(Z) eine rationale Function be- zeichnet. Es seien wieder Ar (r = 1, 2, . . . n) die reellen Punkte der Z- Ebene, welche aus den Ecken mit dem
71
Winkel - hervorgehen, 5, (s= 1,2,. . m) diejenigen Punkte,
S 7t
denen Ecken mit den Winkeln -^ entsprechen, Ct die Punkte
der Axe T ~ 0, denen der Punkt f = 0 als Ecke des Poly- gons entspricht und kt7i der zugehörige Winkel, endUch
¥. Lindemann: Die Abbildung der Halbebene etc, 229
Du diejenigen Punkte, die aus einer Ecke C =^ oo mit dem Winkel ^« hervorgehen. Man findet:
Die Differentialgleichung des Problems ist daher von der Form:
uud zwischen den Gonstanten der rechten Seite bestehen die Kelationen:
(25) { + ^ ^ (1 -^*) + ^ -^(1 -A*-) * 0,
2:^a, + 2:^ A + 2-Cf y, + 2Lid» + 1 2"^, - 1 2"^.
+ 2:(i-i?)a + 2:(i-A4)2?« = 0.
Die Integration der Gleichung (24) ist vermöge (23) in bekannter Weise auf die Integration einer linearen homo- genen Differentialgleichung zurQckgefQhrt. Die rechte Seite von (24) ist hierbei gleich i2(^, d. h. gleich der rechten Seite von (23), zu setzen.
8. Lassen wir zu, dass ein Brennpunkt im Innern oder auf dem Rande des abzubildenden Flächenstfickes^ liege, so sind an der rechten Seite von (24) gewisse Modiücationen
230 Sitzung der math.-jakys, Glosse vom 4. Mai 1895.
anzubringen. Handelt es sich um den Brennpunkt -t* ^i ^ besteht eine Entwicklung von der Form (11). Entwickelt man dann die linke Seite von (24) nach Potenzen von Z—E und beachtet, dass, wenn E im Innern der Halbebene F > 0 liegt, der conjugirte Punkt E^^ in entsprechender Weise Singular sein muss, so wird das Problem im allgemeinsten Falle durch eine Gleichung der folgenden Form gelöst:
— n {7\ 4-^ r ^ U g^ j. g' I gL_ 1
^ ^ "^8 \.[Z^EY "^ (Z-^i)» "^ {Z-Ey "*" {Z-£;)*|
Hier bedeutet B,{Z) die rechte Seite von (24); ä, ist zu X, »1 zu x' conjugirt; ^, ^i,^',^i, o, oi, o', oI sind gleich 0 oder 1 je nach Lage der Brennpunkte; und zwischen den Constanten der rechten Seite bestehen die Relationen:
B + X + «1 + «' + «! = 0,
5'+oxJ5;-f aiJ?! + o'x'jE"+aixl£'i == 0,
wo mit B, 5', 5* die linken Seiten der entsprechenden Gleichungen (25) bezeichnet sind.
Die verschiedenen möglichen Fälle unterscheiden wir in derselben Weise durch Zahlen, wie dies in Nr. 5 geschah. Dann haben wir folgende Resultate:
1) Alle Grössen ^, a sind Null; die Gleichung (26) ist mit (24) identisch.
2) ^ = a = 1, ^1 = ^' = ^1 = öl = (7* = Ol = 0.
3) ^ = ^' == a = o' = 1, ^1 = ^I = ai = Ol = 0,
(27)
F. lAndemann: Die Äbbüdfimg der Halbebene etc. 231
4) Q = Qi=Q' = Qi — oi=o'—a\ = 0, 0= 1.
^) Q = Qi =^ q' = Qi = Ol ^=^ a\ = 0^ a = ö' = 1.
6) ^ = ö = ö' = 1, qi = q' = q{ = oi = o\ = 0.
7) Q = Qi=a = ai == 1, e'=ßi=:o'=<7i = 0.
8) Q=Qi = Q'=Qi—O = 0i=0' = ai = 1.
9) ^ = ^' = ^1 = a = ö' = Ol = 1, ^1 = Ol = 0.
10) ^ = ^1 = O = Ol = O' = 1, q' z= q[=: Ol = 0.
Ist nt = n = 0, 80 findet man aus (1) insbesondere die Abbildung des von den beiden Zweigen einer Hyperbel ein- geschlossenen Ebenenstückes; sie geschieht durch die Formel
(28) C = ^ + V7'-^^ = a (1^)^ + ß.
wo In den von den Asymptoten eingeschlossenen Winkel bezeichnet. Die Formel (28) folgt direct aus der bekannten Gleichung für die Abbildung eines Kreisbogen-Zweiecks.
9. Aus (7) leiten wir die Abbildung des von einem. Hyperbelzweige eingeschlossenen Flächenstückes ab. Hat i, dieselbe Bedeutung wie in (28), so ist der von den Asym- ptoten eingeschlossene Winkel hier gleich (1 — i) n. Sei /i = 1 — -i, E = iy E^ = — i, so ergibt sich die Differential- gleichimg:
,. ^. ^l-A«' 1 .3 1 3 1 y_
^^' ' 2 (Z— C')»^8(Z-i)»^8(Z+i)»^Z-C'
und die Gleichungen (25) werden: y + x + x^ = 0, yC+ ycE+x,E, + I + ^—-f^ = 0,
232 SiUung der math.-phys, Classe t^om 4. Mai 1S95,
Wir wählen C = oo und finden dann :
y = 0, X = - «, = » ^;
die Differentialgleichung wird:
(29) {C. -^1 - 4 (^, ^ ,), - 4 ^^^ .
ihre Integration geschieht durch die lineare Gleichung:
(^»+1)^ + ^;^-^- 4Ö = 0.
Die particulären Integrale der letzteren sind:
. /* _ ß
ö, = (z + i/z»+i)«, ö, = (z-V^+1)*
Das allgemeine Integral von (29) ist eine lineare Function von 7:;', also
(30)
:'M = I = (^+1^^+^)''
Durch diese Formel wird die Abbildung der Halbebene auf den Ton einem Hyperbelaste be- grenzten Theil der Ebene vermittelt; und zwar Heg^ letzterer auf der coneaven Seite der Hyperbel, wenn /* < 1 ist, auf der convexen Seite im andern Falle; fin ist der von den Asymptoten eingeschlossene Winkel.
Dasselbe Resultat erhält man nach einer früher von mir angegebenen Methode. E]» sei die Gleichung einer Gassini- schen Curve in der Form
(31) {e- a) {z, - a) (* + a) {g, -^a) ^ e*
gegeben, so dass die reellen Punkte a und — a als gemeiasame Brennpunkte der vom Parameter c abhängigen Curvensehaar auftreten. Ausserdem hat die Curve zwei andere Brennpunkte:
F. Lindemann: Die Abbildung der Hcdbebene etc, 233
man findet sie, indem man die vom unendlich fernen Kreis- punkte jBf = 0 ausgehenden Tangenten mittelst der Relation df -— =5 0 bestimmt; nun ist
QjY = 4(^*-a»)* = (^» — a»)[c»+a*(^*-«^)];
wir haben also die vier Brennpunkte
;9r == -f-a und ß = H — Va^—c^.
Ist a^>c^^ so besteht die Curye aus zwei Ovalen; von dem einen wird die positive Axe in den Punkten Va} — c und Va^-^rc getroffen; zwischen beiden liegen die Brennpunkte a
and — ]/a*— c*. Die Abbildung eines- solchen Ovals, das
zwei Brennpunkte umschliesst, auf die Halbebene Y> 0 geschieht nach jener Methode durch die Gleichung
^im
de
V(s^ - a») [c»+ a» (5» — ^
(32)
+ 0',
-A){Z—A,)(Z—B)(Z-n^)
wenn die Funkte A^ B den beiden inneren Brennpunkten entsprechen und wenn A^^ B^ bez. zu A^ B conjugirt sind. Wird jetzt c = a*, so erhält die Curve (31) einen Doppelpunkt im Anfangspunkte, in den auch der von c ab- hängige Brennpunkt hineinrückt; auch B fällt mit B^^ zu- sammen und wird reel; und die Formel (32) geht über in:
(33)
aje Vjg'' - a* J (Z- B) V{Z-A) (Z-A,)
Hierdurch ist die Abbildung des Innern einer Schleife einer Lemniscate auf die Halbebene vermittelt.
234 Sitzung der mathrphys. Glcksse vom 4. Mai 1S95.
Schliessen die Tangenten des Doppelpunktes den Winkel /i ^ ein, so muss für ß = 0 eine Entwicklung der Form
g = (Z—BrV{Z—B)
bestehen; es wird also
dg dZ . *' „
In (33) müsste daher a^ C=^ifi{A — B) gesetzt werden.
Für eine eigentliche Lemniscate muss allerdings fJi=^ ^ K^'
nommen werden, denn sie wird aus einer gleichseitigen Hyperbel durch die Transformation e = t"^ gewonnen. Durch letztere Transformation werden aber aus beliebigen Hyperbeln Curven erhalten, die den Lemniscaten ganz analog sind, und bei denen fi beliebig bleibt (vgl. unten Nr. 9). Sie haben gleichfalls nur zwei Brennpunkte, und für sie gilt also auch die Formel (33). Lassen wir B = oo, i4 = f , v4, = — i, a = ß""' werden, so folgt:
Ivih = " J
dZ
]/z^+i
woraus wiederum die Gleichung (30) gewonnen wird; es ist nur nachträglich t mit s zu vertauschen.
Denkt man sich den Punkt i der Z-Ebene durch einen beliebigen Punkt B der Halbebene F>0 ersetzt, ebenso — i durch den conjugirten Punkt B^ und lässt sodann c = 0 werden, so nähern sich auch B und B^ demselben reellen Werthe B^ und die Gleichung (30) gibt
Tfx-: = {2Z-B,r.
Es entsteht also in der That die bekannte Formel fßr die Abbildung der Halbebene auf den von zwei Geraden
F, Lindemann: DU ÄbMdung der BaXbthtne etc. ^35
(hier den Asymptoten der Hyperbel, in welche letzt^e f&r e = 0 zerfällt) eingeschlossenen Winkelraum.
10. Die hier befolgte Methode wird man auch in anderen Fällen anwenden können, in denen die Abbildung eines gegebenen Curvensystems der jer-Ebene auf ein System von Kreisen der C-Ebene bekannt ist, sobald nur {C, e) eine rationale Function von e ist. Selbstverständlich gelingt dies bei dem Systeme confocaler Parabeln, da dasselbe aus dem Systeme confocaler Ellipsen und Hyperbeln durch Grenz- übergang gewonnen werden kann.
Femer kommt das System von Curven in Betracht, das aus den confocalen Ellipsen und Hyperbeln durch die Trans- formation t^=z~^ hervorgeht. Sei ^ = o-f-tT, so sind dies die Curven:
(34) (^* + ^')' (^'-^^ (*'-^) + ^^ (^' + ^')
— 4a»o» — 46H» = 0.
Sie haben sämmtlich im Anfangspunkte einen Doppelpunkt. Für A<ft»(a*>6*) ist derselbe isolirt, für k>h^ hat die Gestalt der Cnrve Aehnlichkeit mit derjenigen einer gewöhn- lichen Lemniscate; eine solche findet man für 2i = a*-f-6*, sie entspricht der gleichseitigen Hyperbel
-T
%
1
= J(a*-ft»).
Ist /, = o-' IT, und wird die Unke Seite von (34) für den Augen- blick mit q) bezeichnet, so sind die Brennpunkte durch die
Gleichung -— bestimmt. Wir haben (p{t^^t^ = t^iifi^^^i)^ also:
1895. Ifatb.-pbys. Gl. 2. 16
236 Sitzung der maih.-pkyg. Glosse vom 4. Mai 1H95.
Nun war in Nr. 1 :
m-
16(r>— e*)(a'— A)(ft»— A). also yermöge q> = (i:
Jede Gurve des Systems (34) hat daher nur die beiden (allen gemeinsamen) Brennpunkte / = -^e'^^ wie es geo- metrisch nach der Theorie der Cremona'schen Transformation selbstverständlich ist.
Ein anderes Beispiel gibt die Transformation
Den Parallelen zu den Axen der C-Ebone entsprechen zwei Orthogonalschaaren von gleichseitigen Hyperbeln.*) Die Abbildung eines von letzteren gebildeten Polygons geschieht also, indem man die Function
^ dZ
dZ
''rM'r^
als rationale Function von Z bestimmt. Einer beliebigen geraden Linie der f- Ebene entspricht eine gleichseitige Hyperbel mit dem Mittelpunkte £^ = 0; auch fQr Polygone, deren Begrenzung durch beliebige concentrische gleichseitige Hyperbeln gegeben wird, ist also diese Methode anwendbar.^) Einem beliebigen Kreise der f-Ebene entspricht eine Cassini'sche Curve der ;8^-Ebene, deren Mittelpunkt an der
1) Vgl. Holzmüller a. a. 0, p. 105 ff.
^) Es ist dies schon von Sanio angegeben: Die Abbildung des Aeusseren eines Kreisbogenpolygons. Köaigsberger Inauguraldisser- tation 1885.
P. lAndemann: Die Ähbüäung der HaXbebene etc. 287
Stelle 0=^0 liegt; dieselbe ist eine gewöhnliche Lemniscate, wenn der Kreis durch den Punkt C = 0 hindurchgebt. Die Abbildung der Halbebene F > 0 auf Polygone, deren Be- grenzung durch Bögen concentrischer Cassini *scher Curven gebildet wird, ist also zurückgeführt auf Bestimmung der Function
K,zi-(.,z)+|i(^^^y
in ihrer Abhängigkeit von Z.
In ähnlicher Weise wird man zahlreiche Beispiele, die von Holzmüller und Anderen behandelt sind, verwerthen können.
IC,^
239
üeber eine neue Bestimmung der Refractions- constante auf astronomischem Wege.
Von J. Bangehlnger.
{KHg§l<n^ 4, Mai,)
Die Bestimmung der RefractionscoDstpante, also physi- kalisch gesprochen des Brechungsexponenten der Lufl gehört zu den schwierigsten und wichtigsten Aufgaben der prakti- schen Astronomie. Die Schwierigkeiten liegen einerseits in schwer zu bestimmenden Instrumentalfehlem, insbesondere den BiegungsTerhältnissen des Femrohrs, andererseits in der Gomplicirtheit der atmosphärischen Factoren, welche auf die Refraction von Einfluss sind und deren Wirkungen nur mit Mühe von einander zu trennen und zu bestimmen sind. Die Wichtigkeit einer möglichst genauen Erforschung aller auf die Refraction einwirkenden Umstände liegt darin, dass das ganze Declinationssystem der Gestirne, also die Hälfte der Coordinatenbestimmnngen der messenden Astronomie, auf der Annahme über die Refractionsconstante beruht, und dass ein wirklicher Fortschritt in der Verfeinerung der absoluten Messungen erst dann constatirt werden kann, wenn er Hand in Hand geht mit einer genaueren Einsicht in die Refractions- verhältnisse.
Der schöne Repsold*sche Meridiankreis, welchen die Münchener Sternwarte im Jahre 1891 erhielt, zeigte bei den ersten Prüfungen so hervorragende Eigenschafben, dass der
240 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 4. Jfoi 1895,
Gedanke, dieselben zu einer neuen Untersuchung der Refrac- tion auszunutzen, umso weniger abzuweisen war, als in Mün- chen eine derartige Untersuchung überhaupt noch nicht aus- geführt wurde, und als die mit diesem Instrument ersten Ranges in Aussicht genommenen fundamentalen Messungen ohne eine solche Untersuchung bei den möglicherweise Tor- handenen localen Einflössen einen bedenklichen Mangel der Fundirung aufweisen würden. Die ersten Jahre der Be- obachtungsthätigkeit an diesem Instrument sind daher nach der Bestimmung des Herrn Professor H. Seeliger der Unter- suchung der Refraction gewidmet worden. Eine demnächst im 111. Bande der „Annalen der k. Sternwarte zu München' erscheinende umfangreiche Abhandlung gibt ausführliche Re- chenschaft hierüber, während hier versucht werden soll, die wesentlichsten Resultate auszugsweise zusammenzustellen.
Die Methode der Untersuchung war die bekannte und mit dem Meridiankreis einzig mögliche durch Beobachtung der Gircumpolarsterne in ihrer oberen und unteren Culmina- tion. Ein Hauptaugenmerk wurde auf die Erlangung mög* liehst zahlreicher Messungen in geringen Höhen gerichtet, Beobachtungen, welche ebenso wichtig als schwierig zu er- langen sind und in dieser Menge, wie sie zu unserer Unter- suchung verwendet werden konnten, auch kaum noch irgend- wo vorliegen dürften. Die meteorologischen Elemente wurden an sorgfaltig geprüften Instrumenten abgelesen und zwar sind nicht nur der Luftdruck und die äussere Lufttemperatur gemessen worden, sondern auch die Luftfeuchtigkeit und die Temperatur im Beobachtungsraume; letztere an fünf symme- trisch in der Beobachtungsspalte aufgehängten Thermometern. Die Fehler des Meridiankreises selbst sind genau untersucht worden, doch muss hierüber auf die Abhandlung verwiesen werden; hier sei nur angeführt, dass der mittlere Fehler der Theilung des Kreises bei Ablesung von vier Mikroskopen zu + 0^24 gefunden wurde; da die Gestirne symmetrisch in
/. Bauschinger: Bestimmung der Eefraciionsconatante, 241
beiden Lagen des Kreises beobachtet wurden, so stellt sich also der von der Tbeilung herrührende Fehler im Mittel auf + 0.'17; ferner muss erwähnt werden, dass jener Fehler, der bisher am verhängnissvollsten auf die Messungen der Zenithdistanzen von Gestirnen in geringen Höhen und in Folge dessen auf die Bestimmung der Refractionsconstante eingewirkt hat, nämlich die Biegung des Fernrohres, beim Repsold^schen Instrument als unmessbar klein gefunden wurde, sich also sicher nicht über O.'l erhebt.
Die Beobachtungen sind von vorneherein so augelegt worden, dass es möglich war, die Veränderlichkeit der Pol- höhe unabhängig von anderen Beobachtungen zu bestimmen und in Rechnung zu ziehen; die gefundenen Variationen sind in guter Uebereinstimmung mit den anderwärts er- mittelten. Die Genauigkeit der Beobachtungen ist aus der Uebereinstimmung der Einzelmessungeu eines Gestirnes unter- einander bestimmt worden; es fand sich der mittlere Fehler einer absoluten Beobachtung der Zenithdistanz (abgesehen vom Theilungsfehler) zu
jii = 1/0:32» + 0r23» tgjs^ (js = Zenithdistanz)
eine Zahl, die am besten geeignet ist, die Vortrefflichkeit des Instrumentes zu erweisen und das Vertrauen in die Sicherheit der erlangten Resultate zu befestigen.
Die Untersuchung der auf die Refraction bezüglichen Verhältnisse wurde mit der Bestimmung des Ausdehnungs- coefficienten der Luft begonnen. Den bei der ersten Re- duction der Beobachtungen angewandten Refractionstafeln von Radau liegt der Regnault'sche Werth 0.003663 (für Centigrade) zu Grunde, der sich von den bisherigen sichersten astronomischen Bestimmungen
Bessel 0.003644
Gylden 0.003689
Pond (Chandler) 0,003650
242 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 4. Mai 1895,
so wenig unterscheidet, dass eine irgendwie bedeutende Correction desselben ausgeschlossen erschien. Die trotz dieser Aussicht begonnene Untersuchung hat aber nach einer anderen Richtung ku einem ziemlich sicheren Resultate geführt, das nicht ohne Bedeutung zu sein scheint. Das eingeschlagene Verfahren war folgendes: Es wurden nur beigezogen die Sterne zwischen 60° und 85® nördlicher Zenithdistanz, in- dem jene mit geringerer Z.D. nur einen minimalen Bei- trag zur Lösung der Aufgaben liefern können, jene mit grösserer aber anderweitigen Störungen in einem Maasse unterliegen, dass sie die Einflüsse einer geringen Aenderung des Temperaturcoefficienten verwischen müssen. Von jedem Sterne wurden die bei den vier höchsten und die bei den vier niedrigsten Temperaturen erhaltenen Zenithdistanzen in je ein Mittel vereinigt und die DiflFerenz jer, — ig^ der beiden Gruppen genommen, zugleich mit der Differenz der Mittel der Temperaturen t^ — Iq; dieses Verfahren bewirkt, dass die erlangten Differenzen unabhängig werden von der Refractions- constante selbst und von der noch ungelösten Frage über den Einfluss der Saalrefraction. Die Unterschiede der Tem- peraturen steigen bis zu 21° und liessen ein sicheres Resultat
erwarten. Ist (I+ttw^i ^^^ Factor, mit dem der Aus-
dehnungscoefficient 0,003663 multiplicirt werden muss, um den den Beobachtungen entsprechenden zu erhalten, und ist JB die Refraction für die Temperatur 0® C und den mittleren Barometerstand 718 mm, dann werden die Bedingungsglei- chungen, wenn die ganz belanglosen Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt werden, von der Form:
{t,-t,) 0.003663 j-|^i = j^,-^,.
Wider Erwarten fand sich aus 4ö solchen Bedingungsglei- chungen ein ungewöhnlich grosser Werth von i, nämlich t = 3.19 + 0.91, womit der Ausdehnungscoefficient wird
J, Bat$8chinger: Bestimmung der Refractianseanstante, 243
0.003663(1 + 0.0319) = 0.003780 + 0.000033.
Es ist kein Zweifel, dass diese Erhöhung des Äusdebnungs- eoefficienten um 3 Procent ganz unzulässig ist und zu un- lösbaren Widersprüchen mit den physikalischen Bestim- mungen fähren würde. Es hat zwar Gylden aus der Discussion von Sommerbeobachtungen einen ähnlichen Werth, nämlich 0.003769 gefunden und Mascart hat durch physikalische Methoden sogar noch einen grössern Werth, nämlich 0.00382 abgeleitet, allein diese Bestimmungen stehen vereinzelt und dürften nicht einwandfrei sein, ersterer schon desshalb, weil er eben nur für die Sommerbeobachtungen gilt, während die Winterbeobachtungen einen viel kleineren Werth er- geben; der Mascart'sche Werth aber ist durch neuere Ver- suche von Benoit widerlegt worden (siehe Kayser und Runge, Die Dispersion der Luft, Abb. der Berl. Akad. 1893).^)
Es könnte die Ursache des grossen Unterschiedes zwischen dem oben gefundenen Werth und den früheren astronomischen Bestimmungen darin gesucht werden, dass bei ersterem der Dampfdruck in Rechnung genommen wurde, während dies bei den anderen nicht geschah, allein eine einfache Ueber- schlagsrechnung zeigt, dass bd Nichtberücksichtigung des Dampfdruckes die Unterschiede jbTj — Zq noch stärker positiv werden, also i noch grösser. Hierin liegt ein Beweis für die Noth wendigkeit, bei der Berechnung der Refraction den Dampfdruck beizuziehen, zugleich aber auch ein Hinweis auf eine andere mögliche Erklärung der durch die Be- obachtungen geboteneu Differenzen jg^ — jSq. Ich suche deren Entstehung in der nicht ganz zutreffenden Inrechnungnahme
^) Nachträglich finde ich noch, dass Nyrdn aus den Pulkowaer Vertikalkreisbeobachtungen 1882-1891 den Werth 0.003770 für l^C abgeleitet hat, also einen mit dem von mir gefundenen fast iden- tischen; er hat es aber ebenfalls nicht gewagt, denselben bei der Reduction der Beobachtungen zu benutzen.
244 Sitzung der math.-phy8, Glosse vom 4. Mai 1895,
des Daaipfdruckes bei den Radau'schen Tafeln. Radau hat zur Berechnung der sogenannten , optischen Diciitigkeit*" der Luft vorgeschlagen den Ausdruck
(^ ~ 8 ^) ^ '**" ^ \B BrroLtewtand
zu benutzen, worin der Factor — lediglich empirisch ist und
o
aus den Experimenten von Fizeau und Jamin abgeleitet wurde. Die theoretische Berechtigung dieser Gegenüberstellung von optischer und physikalischer Dichtigkeit ist nun schwer einzu- sehen, während es viel näher liegt, die brechende Kraft der Luft proportional der physikalischen Dichtigkeit zu setzen, welche bekanntlich proportional
anzunehmen ist. Um die Frage, welche Dichtigkeit für die Refraction massgebend ist, objectiv zu entscheiden, ist es offenbar der sicherste Weg, den Factor, mit welchem n in Rechnung zu setzen ist, aus den Beobachtungen selbst abzu- leiten; dieser Weg führt aber unmittelbar zu den Differenzen jer, — jer^, da die Extreme der Temperatur im Allgemeinen mit den Extremen des Dampfdruckes zusammenfallen. Ist
h
- der zu bestimmende Factor, so werden die Gleichungen
o
von der Form
worin m die Aenderung der Refraction für 1 mm Queck- silberdruck bedeutet. Die Auflösung derselben ergab
k-l = 3.37 + 0.69.
Die Beobachtungen entscheiden also für die Anwendung der physikalischen Dichtigkeit. Die dann übrig bleibenden Fehler
</. Bauschinger: Bestimmung der Befradionaconstante, 245
^i~~JSo lassen weder in der Anordnung nach der Zenith- distanz, noch in jener nach der Rectascension ein systemati- sches Verhalten erkennen, womit zugleich der Nachweis ge- geben ist, dass nach Einführung des neuen Factors von n die Beobachtungen eine Aenderung des an- gewandten Ausdehnungscoefficienten der Luft nicht erheischen.
Die Ermittelung der Refractionsconstante geschah durch Vergleichung der in der oberen und unteren Cul- mination erhaltenen Declinationen. Ist
d die Declination aus den oberen Culminationeu,
d' ^ , „ n unteren
r die Kefraction für die obere Culmiuation,
r ^ , , , untere
A (p die Correctiou der angewandten Polhöhe, (l-|-ii) der Factor, mit dem die benutzte Refraction, welche hier auf den Radau ^schen Tafeln, also der BessePschen Refractionsconstante (Tab. Keg.) beruht, zu multipli- ciren ist, um die den Beobachtungen entsprechende zu erhalten,
so hat man die Beziehung
. ^/ _ 9/1 ~ ' (obere Culm. nördl. v. Zenith
"* \ obere Culm. südl. v. Zenith
oder wenn — 2A(p = x^ — 100 n = y gesetzt wird:
Die hiesigen Beobachtungen gestatteten die Aufstellung von 76 solcher Gleichungen; die Zenithdistanzen in unterer Cul- mination geben von 43^6' bis 88^49', die Factoren ±r-|-r von 100" bis 1420". Die Auflösung ergab
X = —0:797, y = +0.510, (1)
246 Sitzung der majthrphys, Glosse vom 4. Med 1896,
Die starke Verminderung der Bessel^schen Refractionsconstante, die sich in diesem Werth von y ausspricht, ist zwar auch schon durch die Discussion anderer neuerer Beobachtungs- reihen gefunden worden, muss aber doch mit grosser Vor- sicht aufgenommen werden. Wenn man nämlich die Be- dingungsgleichungen in zwei Gruppen theilt, von denen die erste bis 76^ Z.D. reicht, die andere bis in die Nähe des Horizontes, so ergibt die Auflösung der ersten Gruppe
X = — 0r047, y = — 0.028 (2)
und die der zweiten
a; = — 0:575, y = + 0.483. (3)
Da die Resultate dieser beiden Auflösungen auf keine Weise zu vereinigen sind, hätte man zu schliessen, dass bei deu grösseren Zenithdistanzen noch andere Factoren wirksam sind, als die bisher in Betracht gezogenen. Man wird zu- nächst den Grund der Missstimmung in der nicht völlig zu- treffenden Hypothese über die Temperaturabnahme in der Atmosphäre suchen, von der ausschliesslich die Beobachtungen von 7(5^ Z.D. ab beeinflusst werden, während bekanntlich die Refractionen bis 76® Z.D. von jeder Annahme über die Constitution der Atmosphäre völlig unabhängig sind. Den Radau^schen Tafeln liegt die Ivory'sche Hypothese zu Grunde mit dem Factor /'=0.2; nimmt man den wahren Werth
von /■ zu --^— an, so wird die durch £ herbeigeführte
Aeuderung der Refraction gleich — i£r, wo der Factor i der Radau'schen Tafel V entnommen werden kann, und die Bedingungsgleichungen erhalten folgende Form :
Werden sie neu aufgelöst, so ergibt sich
X -■= ~-0:828, y = +0.527, 0 = —0.053, (4)
/. Bauschinger: Bestimmung der Befractümsconstante, 247
woraus durch Vergleicbung mit (1) zu erkennen ist, dass durch die Einführung von a eine wesentliche Verbesserung der Dar- stellung der Beobachtungen nicht erzielt wird, und zugleich, dass die Constante f = 0.2 der Ivory^schen Hypothese völlig den Beobachtungen entspricht. Also auch durch eine andere Annahme über f ist die Missstimniung zwischen den beiden Gruppen nicht zu beseitigen.
Man wird weiter daran denken, dass bei den tieferen Gnlminationen das Sternbild in ein Spectrum auseinander- gezogen erscheint, und dass man den Brechungsexponenten für weisses Licht, den die höheren Gulminationen liefern, aus ihnen nur dann erhalten wird, wenn man eine ganz bestimmte Stelle des Spectrums einstellt, um hier klar zu sehen, wollen wir die Brechungsexponenten ans den Auf- lösungen (2) und (3) ableiten. Dieselben ^nden sich, redu- cirt auf 760 mm Quecksilberdruck, 0*^ C Temperatur und 6 mm Dampfdruck zu
aus (2) 1.000 2933 aus (3) 1.000 2918
Vergleicht man damit die Resultate, welche Kayser und Runge (a. a. 0.) aus physikalischen Bestimmungen für die hier in Betracht kommenden Fraunhofer'schen Linien erhalten haben (für denselben Luftzustand):
A 1.000 2902
|
B |
2908 |
|
C |
2911 |
|
D |
2919 |
|
E |
2930 |
|
F |
2940 |
SO erkennt man, dasa der Werth aus (2) in Qrün liegt; der Werth aus (3) dagegen würde darauf hindeuten, dass bei den Beobachtungen der tiefer culminirenden Sterne die Ein-
248 Sitzung der matk.'phys, Glosse vom 4. Mai 1895.
Stellung an der Grenze zwischen Roth und Gelb erfolgte. Es wQrde dies im Einklang stehen mit der Wahrnehmung, dass die Sternspectra, wenn sie deutlich sichtbar waren, immer nur rothe und gelbe Strahlen zeigten; in den weit- aus zahlreichsten Fällen, wo das Sternbild sich als ver- waschener Fleck darstellte, würde also die Einstellung nicht auf Gelb, wie beabsichtigt war, sondern auf eine Stelle zwischen Both und Gelb erfolgt sein. Der Unterschied zwischen den Auflösungen (2) und (3) Hesse sich damit erklären, zugleich aber wäre damit der Nachweis erbracht, dass tiefer culminirende Sterne, sobald ihr Spectrum eine gewisse Ausdehnung erreicht, überhaupt nicht mehr zur Ermittelung der Refractionsconstante herbeigezogen werden dürfen, wenn man nicht etwa Mittel besitzt, ganz bestimmte Stellen des Spectrums einzustellen, was yielleicht durch Blendgläser von genau bestimmten Spectralfarben zu er- reichen wäre. Lässt man diese Erklärung als stichhaltig gelten, so hängt die Ermittelung der bei astronomischen Beobachtungen zu gebrauchenden Refractionsconstante jetzt von der Bestimmung der grössten Zenithdistanz ab, die man noch beiziehen darf, ohne über die unbekannte Constitution der Atmosphäre eine Hypothese machen zu müssen und ohne durch die Ausdehnung des Spectrums in Unsicherheit über den eingestellten Punkt zu gerathen. Man leitet leicht ab, dass diese Grenze bei etwa 80° Z.D. liegt; zieht man aber dieser üeberlegung folgend nur die Sterne bis 80® Z.D. zur Bestimmung der Refractionsconstante heran, so erhält man folgendes Auflösungssystem
X = — 0:685, y = + 0.442 (5)
das so nahe mit (1) übereinstimmt, dass das Bedenken, das wir oben gegen (1) äusserten, nämlich dass gerade die ge- nauesten Beobachtungen bis 76® Z.D. wesentlich besser durch die umgeänderte Bessersche Refractionsconstante dargestellt
«r. Sausckinger: Bestimmung der Sefractianseonatante. 249
werden als darcb eine kleinere, fortbesteht and durch die eben versuchte Erklärung als nicht beseitigt gelten kann.
Wenn wir fortgesetzt die Ursache dieser Missstimmung in der Reiraction suchen, so bleibt, so weit ich sehe, jetzt nnr mehr die Refraction durch den Beobachtnngs- raum, herrührend von der Verschiedenheit der inneren nnd äusseren Temperatur übrig, deren Einfluss die widersprechen- den Resultate beseitigen könnte. Dieselbe soll jetzt unter- sucht werden. Beachtet man, dass in dem Ausdruck der Refraction
/i = Brechungsindex, r = Abstand der Schicht vom Erdmittelpunkt
-j
Mo
sin g (Ifi
sin z*
II T
der Quotient - - - so nahe gleich 1 ist, dass man ihn behufs
Ermittelung eines ersten Näherungswerthes von J? damit identificiren darf, so ergibt sich als solcher
{11) = igz\-^ = igz log. nat. //^
Hieraus ist ersichtlich, dass in der Hauptsache die Refraction lediglich von /ig, d. h. von dem Zustande der Atmosphäre in der untersten Schicht abhängig ist. Dies weist darauf hin, dass gerade die Brechung in der letzten Schicht, wenn der Lichtstrahl in das Femrohr eintritt, die massgebende ist, d. h. also die Schicht im ßeobachtungsraum. Die Folge hievon wäre, dass man der Berechnung der Refraction die innere Temperatur zu Gründe legen muss und nicht die äussere. Natürlich kann dies nicht dadurch geschehen, dass man die innere statt der äusseren Temperatur setzt, weil durch die Begrenzung des Beobachtungsraumes der Parallelis- mus der Schichten gestört wird. Ich glaube, dass durch
250 Sitzung der math,'phy8. (Hasse vom 4, Mai 1895,
die folgende Entwickelung wenigstens eine erste Näherang an die wahre Erscheinung angebahnt ist
Der Lichtstrahl trifit in einer gewissen Richtung, die abhängig ist von der Temperatur im Freien, an der Grenz- fläche ein, in der die äussere Temperatur in die innere über- geht. An dieser Grenzfläche findet eine neue Brecfaaog statt, deren Betrag zu rechnen ist. Hiezu ist die Eenntniss der Grenzfläche noth wendig; dieselbe wird sich mehr oder minder der Begrenzung des Beobachtungsraumes anschliessend da man annehmen muss, dass durch die Ausstrahlung der Wände die innere Temperatur bedingt ist. Jedenfalls kann man zur Durchführung einer ersten Näherung eine andere An- nahme gar nicht machen, da die im Saal vertheilten 5 Thermo- meter innerhalb sehr enger Grenzen übereinstimmten. Legt man also diese Hypoth&se zu Grunde, so ist zu unterscheiden, ob der Strahl auf die obere Begrenzungsebene oder auf eine Seitenebene fällt. Die obere kann als parallel der allge- meinen Schichtung angenommen werden und die Brechung wird sich hier also nach demselben Gesetz vollziehen, wie an den anderen Schichten. Sind / und g^ die Zenithdistanzen des äusseren und des gemessenen Strafales, ^' und /i^ die Brechungsindices der äusseren und der inneren Luft, q und Q^ deren Dichtigkeiten, so ist nach dem Snellius^schen Gesetz
sin/ ^ /io ^ 1 /l + 2c7o sin-er^ // y \-\^2cq'
oder
sin i
sin^J -- y^- ^
«in^.-si„."_2a'(l-^?),
wenn mit a die Refractionsconstante z - -^ — > bezeichnet
l+2rQ
wird. Setzt man ferner
^0 — ^ == Ha
J. Sauachmger: SegHmmung der Hefraetionseanstante, 251
und
/ /m = Ausdehnungscoefficient d. Luft, l_Qo ^ fn{to-n I ^ _ j^^^^^ Temperatur,
^ {t = äussere Temperatur, so wird mit Vernachlässigung der zweiten Potenzen von Ba
Da die erste Klammer der Temperaturcoefficient ist, so ist ersichtlich, dass man die Brechung im Beobachtungsraum einfach dadurch berücksichtigen kann, dass man statt der Aussentemperatur die innere nimmt. Anders gestaltet sich der Ausdruck für eine Seitenwand; hier findet die Bre- chung senkrecht zur bisherigen Richtung statt und der An- satz wird
COS0
_ A^o
cosjer fji
aus dem sich ebenso wie oben der Ausdruck
Ä = — (i^^^ff^o) cotge\{t^—i)
ableitet. Die Brechung hat aber hier ihr Maximum oben und gegen den Horizont zu wird sie verschwindend. Ist
e die wahre Zenithdistanz, also jene Grösse, die in letzter Linie gesucht wird,
e die scheinbare Z.D., mit der der Strahl an der Begren- zungsebene des Spaltes ankommt,
R die Refraction gerechnet mit der äusseren Temperatur,
2^ die gemessene Zenithdistanz,
Rf, die durch die eben abgeleiteten Formeln gegebene Refrac- tion im Beobachtungsraum,
1895. Math.-pbys. Gl. 2. 17
252 Sitzung der nuUh.-fhys, Glosse wm 4, Mai 1896.
80 hat man e = e' -\- R
und daher £i = a^-^ R — Ä«
£fQ-\- R sind die wahren Zenithdistanzen, aus denen wir bis jetzt die Declinationen abgeleitet haben; von ihnen müssen also, um sie von dem Einfluss der Saalrefraction zu befreien, noch die Ra subtrahirt werden. Geschieht dies fQr unsere Beobachtungen, so erhält man neue d — d' und damit nene Bedingungsgleichungen, deren Auflösung jetzt ergibt:
X = — i:018, y -= + 0.553, j^ = + 0.033, (6) während, wenn nur die Sterne bei 76*^ Z.D. behandelt werden,
X = —0:912, y = +0.445 (7)
erfolgt.
Man erkennt, dass jetzt ein Widerspruch zwischen den Resultaten aus den kleineren und den grösseren Zenith- distanzen nicht mehr besteht. Ein zwingender Beweis dafür, dass unsere Behandlung der Saalrefraction die sachgemässe ist, ist zwar damit nicht erbracht, allein da eine andere Möglichkeit, den genannten Widerspruch zu beseitigen, nicht mehr ersichtlich ist und eine andere Behandlung der Saal* refraction mit den vorliegenden Mitteln nicht durchführbar ist, so denke ich, dass man sich mit dem erhaltenen Resultat beruhigen kann.
Zur endgiltigen Ermittelung der Refractionsconstante ist nun an die Beobachtungen noch die Correction anzubringen, die wir oben als nothwendig erkannten, nämlich wir haben statt mit der optischen mit der physikalischen Dichtigkeit der Luft zu reduciren. Geschieht dies, so ergiebt die Auflösung aller Gleichungen zusammen
x = — ir036, y = + 0.563 (8)
J, ßauschdnger: Bestimmung der BefractiansconstatUe. 253
und jener bis 76^ Zenithdistanz
X = — 0:952, y = + 0.491 (9)
Wir betrachten die Auflosung (8) als die definitive und ziehen aus ihr nunmehr die Resultate. Für 718 mm (bei 0^ C) Quecksilberdruck, + 5° C Temperatur und 6 mm Dampf- druck wird die den Radau^schen Tafeln zu Grunde liegende BesseFsche Refractionsconstante: 56.'076; diese Zahl erheischt die Correction — 56:076 X 0.00563 = — 0:315 und es wird daher aus ihr 55!76l; das gibt für 760 mm Queck- silberdruck (bei 0® C Quecksilberteraperatur), 0° C Luft- temperatur und 6 mm Dampfdruck:
60:i04.
Den mittleren Fehler dieser Grosse habe ich zu + 0!025 er- mittelt. Ihr entspricht der Brechungsindex für denselben Luftzustand :
1.00029152 ± 0.00000012
Die Correction der Polhohe, die natürlich fast ausschliesslich von der Correction der Re&actionsconstante abhängig ist, wird
A(p = +0:518±0:056
und da wir als mittleren Werth der Polhöhe + 48^8' 45:05 der Rechnung zu Grunde legten, so wird der definitive Werth
-f-48ö8' 45:57.
Es ist versucht worden, die angestellten Refractions- beobachtungen in sehr geringen Höhen noch nach einer anderen Richtung hin nutzbar zu machen. Man be* gegnet nämlich nicht selten der Meinung, dass man durch astronomische Refractionsbeobachtungen Aufschluss über die Temperaturvertheilung in den obersten Schichten der Atmo-
17*
254 Sitzung der math.-phya. Clcuse vom 4. Mai 1895.
Sphäre erhalten könne. Es ist dies nur sehr beechränkt der Fall. Denn der Einfiuss des Gesetzes der Temperatarrer- theilung auf die Refraction wird weit überwogen durch andere Factoren, deren genaueste Eenntniss vorausgehen müsste, ehe man sich mit einiger Sicherheit über jenes Gesetz aussprechen könnte ; solche Factoren sind die Refrac- tionsconstante selbst und ihre Abhängigkeit vom eingestellten Punkt des Stemspectrums, der Ausdehnungscoefficient der Luft, die Luftfeuchtigkeit und vor Allem die Temperatur der untersten Luftschichten. Aber auch, wenn es gelungen ist, die Einflüsse dieser Factoren zu trennen und zu bestim- men, bleibt der Spielraum, den die Refiractionsbeobach- tungen jenem Gesetz gestatten, noch ein weiter. Die vielen Rechnungen, die Herr Radau hierüber mitgetheilt hat, setzen dies ausser allen Zweifel; ich habe trotzdem anfangs geglaubt, durch recht zahlreiche und scharfe Beobachtungen in niederen Höhen, einigen Aufschluss zu erlangen; es ist dies aber nicht in Erfüllung gegangen. Man kann mit sehr verschiedenen Gesetzen die Beobachtungen noch darstellen, wenn man entsprechende Aenderungen an der Refractions- constante vornimmt. Von den vielen Versuchen mit nega- tivem Resultat ist in der Abhandlung jener ausführlicher dargestellt, der eine Entscheidung bringen sollte, ob die Ivory'sche oder die Gylden'sche Ansicht über die Constitution der Atmosphäre den Wahrnehmungen besser entspreche. Es war aber nicht möglich, sich zu Gunsten einer derselben auszusprechen, obwohl die Verschiedenheit zwischen beiden nicht unbeträchtlich ist; stellt man beide Gesetze in der- selben Form dar, so ist nach der Ivory 'sehen Hypothese t^—t = 5?69 A — 0?19 A» und nach der Gylden'schen Hypo- these t^ — t = 5?10A — 0?025Ä», wo A die Höhe in Kilo- metern über dem Boden, t^ und t die Temperaturen in den Höhen 0 und A bezeichnen. Betreff des Gesetzes der Teni- peraturabnahme wird man also immer auf meteorologische
J, Bauschinger: Bestimmung der Refrcustionsconstante. 255
Beobachtungen angewiesen sein und zwar hauptsächlich auf Beobachtungen im Luftballon. Die rege Thätigkeit der Luftschifffahrt- Vereine verspricht hier f&r die Zukunft gute Resultate; bis jetzt allerdings hat nur die ausserordentliche Veränderlichkeit des , Gesetzes* constatirt werden können, namentlich für die Schichten bis etwa 2 km Höhe. Einige Nachtfahrten der Herren Professoren Sohncke und Finster- wald er haben für Höhen zwischen 300 m und 2000 m eine adiabatische Temperaturabnahme, also eine solche von 10^ für 1 km in heiteren Sommernächten constatirt. Diesen raschen Temperaturabnahmen stehen jedoch vielfach, für die Nachtzeiten fast immer Temperaturumkehrungen, d. h. Zunahmen, namentlich in den Bodenschichten bis zu 300 m, entgegen. Soweit sich aus den wenigen bis jetzt vorliegen- den systematischen Bearbeitungen Schlüsse ziehen lassen, scheint jedoch im grossen Mittel die Ivory'sche Hypothese bis zu 10 km das Richtige zu treffen. Darüber hinaus deuten die neuesten Hochfahrten des deutschen Vereines für Luftschifffahrt, die namentlich mit dem Registrirballon in bedeutende Höhen geführt haben, starke Abweichungen vom Ivory'schen Gesetz an, wogegen das Gylden'sche Gesetz in ziemlicher Uebereinstimmung bleibt. Trotzdem bleibt für die Berechnung der Refraction die Ivory^sche Hypothese völlig ausreichend, weil der Einfluss der obersten Luft- schichten bis zu Zenithdistanzen von 88^ ein nahezu ver- schwindender ist; für sie sind lediglich die unteren Schichten massgebend und in diesen genügt die Ivory*sche Formel.
Wie schon oben erwähnt, ist für heitere Nächte, also gerade für jene Zeiten, in denen die meisten astronomischen Beobachtungen angestellt werden, eine Temperaturumkehr d. h. ein Maximum der Temperatur in massiger Höhe als fast regelmässig bestehend constatirt worden. Sowohl zahl- reiche nächtliche Ballonfahrten, als auch namentlich die Beobachtungen am Eiffelthurm in Paris haben dieses Maxi-
256 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 4. Mai 1896,
mum auf rund 2^ G in 200 m Höhe festgelegt. Es ist für die Bestimmung der Refractionsconstante von grosster Wichtig- keit, den Einfluss eines solchen Maximums auf die Refraction kennen zu lernen. Durch eine Art mechanischer Quadratur habe ich die Differenzen berechnet, um welche das Vor- handensein der Temperatururakehr die Refractionen gegen- über den normal gerechneten vergrössert, und gefunden:
|
74» 2' |
+ |
o:o6 |
|
79 4 |
+ |
0.23 |
|
82 16 |
+ |
0.63 |
|
84 7 |
+ |
1.32 |
|
86 22 |
+ |
5.08 |
|
87 56 |
+ |
16.36 |
Diese Tabelle lehrt: 1) dass bis etwa SO^ Z.D. der Einfluss der gewöhnlich beobachteten Temperaturinversionen auf die Refraction ein verschwindender ist, sodass man in der astro- nomischen Praxis, wo man schon aus anderen Gründen 80^ Z.D. nur im Nothfalle überschreiten wird, darauf keine Rücksicht zu nehmen braucht; 2) dass unsere früher auf- gestellten Differenzen d — d\ aus denen wir die Correction der Refractionsconstante abgeleitet haben, noch grosser wür- den, also eine noch stärkere Verkleinerung der BessePschen Refractionsconstante erheischen würden, wenn man die r^el- mässige Einwirkung einer Temperaturinversion auf die Be- obachtungen annimmt.
Diese letztere Thatsache setzt uns meines Erachtens über das letzte Bedenken hinweg, das gegen eine Ver- kleinerung der BesseFschen Refractionsconstante noch vor- gebracht werden könnte. Es erscheint mir jetzt erwiesen, dass keine mit den meteorologischen Beobachtungen im Ein- klang stehende Constitution der Atmosphäre angenommen werden kann, welche die Differenzen d — d' zu erklären im
J, Bauschinger: Bestimmung der Bcfrcu^nseonstante. 257
Stande wäre. Dann aber bleibt nichts übrig als die Bessel- sehe Refractionsconstante um den oben gefundenen Betrag zu verringern. Man wird sich um so leichter dazu ent- schliessen, die solange gebrauchte Gonstante zu verlassen, als eine ganze Reihe ausgezeichneter Beobachtungen an anderen Sternwarten zu einem ähnlichen Resultate führte. Ich stelle in der folgenden Tabelle die wichtigsten Bestim- mungen zusammen. Hiebei ist die Refractionsconstante de- finirt durch
wo Q die Dichtigkeit der Luft und c eine Gonstante ist, die mit dem Brechungsindex /i der Luft in der Beziehung
^» r= 1 +2CQ
steht; femer sind alle Zahlen reducirt auf einen Luftzu»tand, der einem Quecksilberdruck von 760 mm bei 0® C Queck- silbertemperatur und der Schwere unter 45® Breite und Seehöhe, einer Lufttemperatur von 0® G und einer mittleren Luftfeuchtigkeit von 6 mm Dampfdruck entspricht.
|
1. |
Bessel, Fund. Astr. < |
9.00029244 |
60:320 |
1.00029257 |
|
2. |
Sessel, Tab. Keg. |
29302 |
440 |
29315 |
|
3. |
Tab. PulkoT. |
29219 |
268 |
29232 |
|
4. |
Fuss. |
29148 |
122 |
29161 |
|
5. |
Greenwich 1857—1865 |
29147 |
120 |
29160 |
|
6. |
Pulk. 1865 |
29190 |
209 |
29203 |
|
7. |
Greenwich 1877—1886 |
29182 |
192 |
29195 |
|
8. |
Pnlkowa 1885 |
29117 |
058 |
29130 |
|
9. |
München |
29139 |
104 |
29152 |
Grosses Interesse bietet die Vergleichung des auf astronomi- schem Wege gefundenen Brechungsexponenten der Luft mit
258 Süzung der math.-phys. Ckutse vom 4. Mai 1895,
dem durch physikalische Methoden ermittelten. Die neueste und wohl Zuverlässigste Bestimmung, die auch betreff ihrer Resultate ziemlich in der Mitte liegt zwischen den früheren besten Bestimmungen von Ketteier, Lorenz und Mascart, ist die schon oben citirte von den Herren Eayser und Runge. Diese finden durch eine photographische Methode für ßi den Ausdruck
W{ju—l) = 2878.7 + 13. 16i-2+ 0.316 A-*,
wenn X die Wellenlänge in Tausendsteln des mm bedeutet. Das Mittel aus den obigen astronomischen Beobachtungen mit Ausschluss der beiden Besserschen Werthe gibt:
a = 0.00029163, a' = 60! 153, fi = 1.00029176
Dieser astronomische Werth würde hiernach der Wellen- länge X = 0.601 entsprechen. Umgekehrt findet man aus der Formel für die Wellenlängen der Fraunhofer 'sehen Linien folgende Werthe von jll:
|
i |
M |
|
|
Ä |
0.760 |
1.0002902 |
|
B |
0.687 |
2908 |
|
G |
0.656 |
2911 |
|
D |
0.589 |
2919 |
|
E |
0.526 |
2930 |
|
F |
0.486 |
2940 |
|
Maximalintensität |
0.575 |
2921 |
Hieraus würde folgen, dass bei astronomischen Beobachtungen nicht auf die Stelle der Maximalintensität des Spectruois eingestellt wird, sondern auf eine mehr gegen roth zu ge- legene Stelle, nämlich etwa auf die Mitte zwischen den Linien C und D, die an der Grenze von Gelb und Roth liegt. Ob die Ursache hievon in der selectiven Extinction des Lichtes in der Atmosphäre zu suchen ist, wonach besonders bei starkem Wasserdampfgehalt der Luft die
J, Bauachinger: Beatimmunff der BefracHon9eongtante. 259
blauen Theile des Spectrums starker absorbirt werden als die rotben, muss bei dem Mangel an exacten Messungen hierüber dahingestellt bleiben. Die hiesigen Wahrnehmungen würden dafür sprechen, denn das Spectrum der Sterne zeigte fast ausnahmslos nur Gelb und Roth.
Mit der gefundenen Refractionsconstante und der davon abhängigen Polhöhe ist das Declinationssystem der ge- messenen Sterne aufgestellt worden. Die Eigenthümlich- keiten der Reduction desselben, nämlich die Anwendung der auf einer neuen Analyse beruhenden Radau*schen Tafeln, die Berücksichtigung der Luftfeuchtigkeit und der Temperatur des Beobachtungsraumes und insbesondere der Gebrauch einer neuen, sowohl gegen die Bessersche als gegen die Gylden- sche stark verminderten Refractionsconstante lassen von vorneherein starke systematische Unterschiede desselben gegen die bereits bekannten erwarten. Dieselben verschwinden, wie leicht zu zeigen war, vollständig, wenn mit den alten Mitteln reducirt wird; eine Ausnahme hievon besteht nur für die auf der südlichen Halbkugel der Erde beobachteten Stern kataloge; die Differenzen mit diesen sind systematisch, gleichviel ob mit der BessePschen oder einer verringerten Refractionsconstante reducirt wird; falls sich dieses Resultat bestätigt, wird man auch aus der Vergleichung von Be- obachtungen, die auf der nördlichen und südlichen Halb- kugel angestellt wurden, kein Kriterium für die Wahl der richtigen Refractionsconstante ziehen können.
Von den durchgeführten Yergleichungen der beiden Münchener Systeme M und M\ von denen das erstere auf den Radau^schen Tafeln, das letztere auf der neuen Refrac- tionsconstante beruht, soll hier nur jene mit dem Auwers- schen Fundamentalkatalog {F. 0.) auszugsweise angeführt werden, weil sie auch die charakteristischen Merkmale der anderen wiedergibt.
260
Süeung der math.-fhys. GloBse vom 4. Mai 1896.
|
Grenzen der Decl. |
Mittl. Decl. |
M—F,ö. |
M'-F,C. |
Ans. d. Sterne |
|
|
+ 880 48'.. |
. +81048' |
+ 860 0* |
— 0!19 |
-0.M1 |
5 |
|
+ 78 7.. |
. +70 69 |
+ 74 38 |
+ 031 |
+ 0.66 |
7 |
|
+ 69 59 . . |
. -+-62 87 |
+ 66 40 |
+ 0.22 |
+ 0.40 |
7 |
|
+ 62 7.. |
. + 58 61 |
+ 60 81 |
- 0.20 |
+ 0.16 |
7 |
|
+ 68 38.. |
. +55 26 |
+ 57 4 |
+ 0.07 |
+ 0.54 |
9 |
|
+ 64 17.. |
. +60 8 |
+ 52 10 |
— 0.09 |
+ 0.47 |
10 |
|
+ 49 68.. |
. +48 22 |
+ 49 10 |
— 0.02 |
+ 0.49 |
10 |
|
+ 48 4.. |
. +46 6 |
+ 46 87 |
+ 0.17 |
+ 0.69 |
10 |
|
+ 44 66.. |
. +41 84 |
+ 48 18 |
+ 0.19 |
+ 0.78 |
15 |
|
+ 27 4.. |
. +10 16 |
+ 14 42 |
-0.84 |
+ 0.58 |
9 |
|
+ 9 22. |
. + 2 41 |
+ 5 42 |
-0.23 |
+ 0.85 |
11 |
|
— 0 8. |
. - 15 84 |
- 8 9 |
-0.16 |
+ 1.15 |
10 |
|
-24 63.. |
. - 80 26 |
— 28 21 |
-0.11 |
+ 1.64 |
6 |
Wie man sieht, würden die DiflFerenzen M — F.C. das jetzt als gesichert betrachtete Verhalten des F.C.y wonach seine südlichen Positionen vom Aequator ab, um O.'SO — O.'02do zu südlich wären, nicht bestätigen, wogegen die Differenzen M' — F.C, eine Verschiebung des Systems nach Norden in noch erhöhtem Maasse verlangen würden. Es ist hieraus deutlich ersichtlich, in wie hohem Grade ein Declinations- system von der Refractionsconstante abhängig ist und dass es einen geringen Fortschritt bedeutet, einen Wechsel des Declinationssystems eintreten zu lassen, wenn er nicht auf Grund gesicherter Annahmen über die Refractionsverhältnisse geschehen kann.
München, April 1894.
261
Beiträge zur Potentialtheorie.
Von Waltker Dyek.
I.
üeber die Darstellung der Exonecker^schen Charak- teristik eines Fonctionensystems durch bestimmte Integrale.
Ein genaues Stadinm der Eronecker*scben Arbeiten über , Systeme von Functionen mehrer Variabein* und die Beschäftigung mit den mannigfachen, schon von Eronecker hervorgehobenen Beziehungen derselben zu den hierher- gehörigen fundamentalen Untersuchungen von Gauchy und Gauss, von Sturm und von Jacobi, sowie zu neueren Ar- beiten zur Analysis situs und zur Gleichungstheorie hat mich zu einer näheren Auseinandersetzung jener gegenseitigen Be- ziehungen, zur Ausdehnung gewisser Formulirungen, sowie zur Verallgemeinerung einzelner Fragestellungen geführt, deren Resultate ich in einer Reihe kürzerer Berichte der hohen mathematisch - physikalischen Klasse der Akademie vorzulegen mir erlauben möchte.
In dem gegenwärtigen Aufsatze handelt es sich um die Darstellung der Eronecker^schen Charakteristik eines Systems von n-\-l reellen Functionen von n reellen Veränderlichen mit Hilfe von bestimmten Integralen; die von Eronecker gegebene Integralformel ist als specieller Fall, die beiden Eronecker^schen Summenformeln zur Bestimmung der Cha- rakteristik sind als Grenzfalle in jener Darstellung enthalten.
262 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4. Mai 1895,
§1.
Darstellung der Charakteristik eines Functionen- Systems durch ein n-faches Integral.
Den Betrachtungen liegt zu Grunde das System ?on (n-}-!) eindeutigen, reellen Functionen:
1) ^«, F„ F,. . . . F.
der n reellen unbeschränkt yeränderlichen Grössen ^r^, z^...e^; dabei setzen wir voraus, dass diese Functionen eine ft-fach unendliche Anzahl sowohl positiver als negativer Werthe annehmen, dass sie im Allgemeinen stetig und nach den einzelnen Variabein differentiirbar sind, dass keine der n + 1 aus je n Functionen gebildeten Functionaldeterminanten zu- sammen mit den betreffenden Functionen für unendlich viele Werthsysteme der e verschwindet.
Wir führen jetzt n-\-l neue, reelle, unbeschränkt ver- änderliche Grössen x^^x^^ • • • ^m die wir, um uns zur Ab- kürzung geometrischer Sprechweise bedienen zu können, als , rechtwinklige Punkt-Coordinaten eines linearen n+l dimensionalen Kaumes Lh+i'' bezeichnen und deuten wollen, und setzen:
X^ = i^oC^P^«' .^«).
2)
= Fn i^v ^^t ■ • ■ ^M^-
Es definiren dann diese Gleichungen in unserem Ln-^-i eine n-dimensionale, geschlossene Mannigfaltigkeit Mn<, deren Punkte durch die Gesammtheit aller reellen Werthsysteme der Parameter js:i ebenso, wie durch die zugehörigen Punkt- coordinaten Xk bezeichnet sind.
Unter Zugrundelegung dieser Mannigfaltigkeit Mn im Baume der Xk definire ich:
W, Dyck: BeUräge zur PotenHaüheorie. I. 263
I. Die Charakteristik K des Systems der Func- tionen F^^F^y , . . Fn ist diejenige Zahl, welche an- gibt, wie oft die Mannigfaltigkeit Mn den Goordi- natenanfangspunkt Xq=^ x^^= . . , =s Xn = 0 umgibt.
In § 2 wird bewiesen, dass die so definirte Zahl K identisch ist mit der Eronecker*schen Charak- teristik.
Aus der Definition folgt sofort eine Darstellung der Zahl K mit Hfilfe eines n-fachen Integrales, dessen Element eine directe Verallgemeinerung für das Element des , räumlichen Winkels** in der be- kannten Gauss*8chen Formel ist.^)
Bildet man nämlich die M^ durch Centralprojection vom Coordinatenanfangspunkt aus auf die „n-dimensionale Kugeloberflache " vom Radius 1
3) xg + «?+...+a;2= 1
ab, so ist K die Anzahl der so erhaltenen Kugelbedeckungen. Die Rechnung gestaltet sich folgendermassen: Wir legen ein „parallelepipedisches^ Element dQn der
Mannigfaltigkeit üf» durch einen Punkt
und n Nachbarpunkte
(0 (0 (0
Xq + dXf^. x^ + dx^, ... Xn + dxn
Nach den Formeln der w-dimensionalen Analytik hat man dann für den Inhalt dieses Elementes die Formel
^) Gauss, Werke Bd. V, „Allgemeine Lehrs&ts&e in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte* und , Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus*. Man vergl. auch die von Schering veranlasste Dissertation von 0. Boeddicker, »Erweiterung der Gauss^schen Theorie der Ver- schiin gungen**, auf die noch später Bezug zu nehmen sein wird.
264
8it»ung der malk.-phys. Glosse vom 4. Mai 1896.
/
4)
dQ„
y
|
(1) dx. |
(1) dx. |
(1) dx,,. |
. dXn |
% |
|
(2) dx^ |
(2) dx^ |
(2) da:, . . |
. & |
|
|
' (M) dx. |
dx. |
• • 1 |
Hiebei ist in bekannter symbolischer Schreibweise unter dem Quadrate der Matrix die Summe der Quadrate ihrer Determinanten verstanden. Diese Determinanten selbst haben die Bedeutung des Inhaltes der Projectionen von dQn ft^f die durch je n der Coordinaten Xi bezeichneten Coordinaten- mannigfaltigkeiten. Das Yerhältniss einer solchen Projection zum Elemente dQn kann daher als Cosinus des Neigungswinkels der auf beiden errichteten Normalen bezeichnet werden. Es ergibt sich so z. B. für den Winkel der Normalen N gegen
die Axe XqT
(1) 0)
dx^ dx^ .
5) cos(iV^Xo) =
(2) (2)
dx^ dx^ .
dXn
(2) dXn
in) (H)
dx^ dx^ ,
in) dXn
(0 (1) (I)
dxQ dx^ dx^ .
(2) (2) (2)
dxQ dx^ dx^ .
(0 dXn
(2) dXn
(n) in) in)
dxQ dx^ dx^
in) dXn
Man hat weiter für den Cosinus des Winkels des Radius- vector B gegen die Axe X^:
ö)
C08(ÄXo) =
x^
Vxi VA^-'-^
-^
TT. Dyck: Beiträge zur I^tefUialiheorie, L 265
und bildet hieraus sofort fär cos (RN) die Formel
7)
i=zn
coß (BN) = ^ cos (RX,)' cos (NX4)
<=0
Bezeichnet jetzt dcou die Gentralprojection von dü^ ^nf die Einheitskugel, so ist
8) d(On = dQn'Cos{BN)' — ,
wo der letzte Factor die Reduction des Elementes auf die Einfaeitskugel bewirkt.
Man erhält sonach unter Benützung der vorigen Be- ziehungen für dcon die Formel:
... iPn
(1) (0 (1) (i) dxQ dx^ dx^ . . . dxn
(2) (2) (2) (2)
dxQ dx^ dx^ . . . dXn
9)
(«) (~) («•)
dXn
V4-\-'^\ + A + '" + <
H+1
Zur Umsetzung dieser Formel in die Parameter 0 wähle
(0 man die n Nachbarpunkte x^ 4~ ^^a ^^ ^^^
10)
(0
dx„
FaidZi,
(wobei durch den zweiten Index bei jF^ die partielle Ab* leitung nach dem Parameter Zi bezeichnet ist), man schreite also auf den , Parameterlinien'' der Mannigfaltigkeit M^ vorwärts.
Es ergibt sich dann für das auf M^ definirte Element dün die Formel:
266
SiUmmf der mtiA.-pkjf$. CItum mm 4.
tBBS.
il) dÜn
V
-fw F\i -f«
^02 ^12 ^ä
cff', ds^...d£n
Fom F\n F^ F^
and ebenso laaeen sich sofort die Formeln for ooe ifiN) nnd r in den Bi schreiben.
Bezeichnet man noch durch oi« die Oberfläche der Kngel Yom Badins 1
:r; + a:« + ^ + ...+^: =1 so ergibt sich:
II. Die Charakteristik K des Systems der Func- tionen i^0, f\,... F«, dargestellt als Windnngszahl der Mannigfaltigkeit M^ am den Nallpankt, ist ge- geben durch das n-fache Integral
12)
Fq Fol Fo2 Fl Fii Fi2 F2 F2\ Fn
F- F„, F.
fi2 '
+ F2+F2+...4-F2
«+1
dßi dß^ ' ' • dsn.
Das Integral ist dabei erstreckt über das ge- sammte Werthesystem der reellen Veränderlichen JSf^^z^^ , , .jgft^ denn dieses Werthesystem ist im Allge- meinen den Punkten x^^ x^, . . , Xn unserer Mannig- faltigkeit Mn umkehrbar eindeutig zugeordnet
Die Formel macht unmittelbar die Gleichberechtigung der Functionen F^, F, ,. .. F„ ersichtlich.
TT. Dpch: Beiträge ewr PaUntiaUheorie. t 26^
' Das Vorzeichen der Charakteristik £* ist an eine be-» stimmte Reihenfolge der Functionen geknüpft und wechselt bei Vertauschang von je zweien deiTselben.
§2. Die Kronecker'sche Summenformel.
Man entnimmt der vorstehenden Formel (12) sofort:
Die Elemente des Integrals werden nach dem Vorzeichen der Zählerdeterminante summirt. Dieses Vorzeichen aber unterscheidet die beiden Seiten der Mannig- faltigkeit Mn gesehen yom Goordinatenanfangspunkte aus, insofeme die gleich Null gesetzte Determinante die Bedingung für den , berührenden Kegel* vom Coordinatenanfangspunkfc nach der Mn darstellt.^)
Ein beliebiger, vom Goordinatenanfangspunkt auslaufen- der Strahl durchsetzt die Mannigfaltigkeit Mn in einer An- zahl von Punkten, die wir nach dem Vorzeichen der Deter- minante unterscheiden.
Zählt man nun diese Schnittpunkte dem Vorzeichen entsprechend je mit -f 1 ^^^ — 1 gerechnet ab, so erhält man eine Zahl, die unabhängig ist von der speciellen Rich- tung des gewählten Strahles und also giitig für die Gesammt- heit aller Strahlen, welche die Elemente der Mn auf die Einheitskugel projiciren.
Die Zahl gibt somit eben die Anzahl der Be- deckungen der Einheitskugel an und ist demnach identisch mit der in T. definirten Charakteristik K,
Bildet man aber andererseits speciell für einen der Axenstrahlen, z. B. fßr die positive Axe Xn
Xo = Q, all = 0, . . . a;»-i = 0, a;« > 0
^) Das im Allgemeinen stets vorhandene Auftreten von Selbst- durcfasetranjpen unserer M^ (längs Mannigfaltigkeiten von n—l Dimensionen) bindert die Bestimmnng der , Flächenseite* durch jenes Vorzeichen nicht.
1895. MAth.-pbys. Cl. 2. 18
268
Sitzung der math.-fhy8, Glosse ix>fN 4. Mai 1895.
die algebrftische Summe über die Schnittpankte mit ilf, 80 folgt:
13) A: = £ sign.
0 F„
'12
0 Fn-ll Fn^l2 ' Fn Fnl FnSL
(-!)•£ sign. (J«)
Fn^lt F^n
WO Aft die Punctionaldeterminante der Fq^ Fi^. .. jPf.-i be- zeicbuet and die Summe sieb erstreckt über die Punkte
Die so gewonnene Formel ist abgesehen rom Vorzeichen identisch mit der von Kronecker für die Charakteristik des Functionensystems gegebenen.
Addirt man die beiden für die positire und für die negative Halbaxe Xn aufgestellten Snmmen- formeln, so folgt
14) 2 IT = (- 1)- S sign. {Fn'^n)
die Summe erstreckt über alle Punkte
JPo = 0. -Fl « 0, . . . j;-i = 0, die zweite Eronecker^sche SummenforraeL
§3.
Weitere Darstellungen der Charakteristik durch vielfache Integrale.
Neben den ersten Integralausdruck für die Charakteristik unseres Functionensystems stellen sich eine Reihe weiterer mit Hilfe des aus den Entwicklungen de5? vorigen Para- graphen direct folgenden Satzes:
TT. Dpeh: Beiträgt Mur PötenHai^^earie. I. 260
IIL Jeder ^lineare Schnitt*
a?ö = 0, Xi = 0, . . . Äjk = 0
der Mannigfaltigkeit Mn^ der also eine Mannig- faltigkeit Jlfn-k-i von« — k — 1 Dimensionen im line- aren Ranme Ln^k der Xk^i^ Xk+i^'>> Xn definirt, ist eben- so oft wie Mn selbst um den Nullpunkt gewunden.
Es ergibt sich aus diesem Satze die Darstellung von K durch ein (« — l)-faches, (n — 2)-faches, . . . (n — h — l)-facheB, . . . 2-faches, l-faches Integral und schliesslich fliesst aus ihr als Grenzfjall die Dar- stellung mit Hilfe einer Summenformel. Die letztere ist die von Eronecker für die Charakteristik auf- gestellte Summenformel, und ebenso ist das (n — 1)- fache Integral eben das von Eronecker hergeleitete.^)
Für die Herstellung des durch den Satz III bezeich- neten Integralausdruckes fQr die Charakteristik sind wesent- lich dieselben Ueberlegungen maasgebend wie bei den in § 1 gegebenen Formulirungen. In d^r durch
^) Kronecker benfltzt zur Ableitung dieaea (n — l)-fachen Inte- grales unter Anazeichnang der Fanction ^ die Abbildung dea , Ranmet der z^, z^, ,,, zj^ auf den Raum der x^y x^,,., x^ durch
die reellen Punkte z^ des Raumes der z sind dabei eindeutig auf reelle Punkte x^ abgebildet, aber umgekehrt entsprechen den Punkten x^ im Allgemeinen verschiedene Punkte z^. Die Function J^o(^if '^3i" «O geht bei der Abbildung über in $o (^i« ^t • • • ^h)> ^°^ dabei ist die MannigfiEiltigkeit 2^o = 0 ihrerseits umkehrbar eindeutig auf ^ SS 0 bezogen. Die Anzahl der Windungen von ^o = 0 (also in der obigen Bezeichnung des Schnittes der M^ mit ^ = 0) um den Nullpunkt ist dann die gesuchte Charakteristik.
Dadurch, dass in der oben gew&hlten Form der Definition und Herleitnng der Charakteristik jede Auszeichnung einer der Functionen des Systems vermieden ist, werden die Formulirungen allgemeiner und flbersichtlicher. Der Satz von der Unveriüiderlichkeit der Charakteristik bei Vertauschung der Functionen des Systems ist direct gegeben.
18*
270
Sitzung der nuah.^ph!^. Clas$e Dom\4. Mai 1895,
x^ = -Fo (^11 ^ti • • • ^n) « 0,
15) • • •
Xk ^ Fk (^p'-^„ . . . ^i.) = 0;
Xn =» Fn (;8f,, Äg, . . . Bn)
gegebenen. JlC-jk-i bestimmen wir ein (n-r—i — l)-dimen-
sionales £lemeht. dün-k-i durch einen Pankt 2;jb4.i- . . Xn and
w — k — 1 Nachbarpunkte
(0 (0 (•■)
Xk+} + dxk^i, 3?*+« + dxk^i, ... ^1» + rf^it
Der Inhalt des Elemente^ dQn^k-\ Ui somit analog wie oben gegeben durch:
/
16) dQn^kr.1 =
'n^K^l = ]/
II (1) (I) . (1)
\\dXk+\ dXk^2 ... dXn
[ (2) (8) (B)
i;rfa;»^-i da^t+s . • • dXn
|ida:*4.i dxk^i
(Hr-k^U
d'±n
and für die Centralprojection dieses Elementes auf die Ein- heitskugel
^*+i + ^4^ +•••+<== 1
"^»^^
ergibt sich
17).
dcü.,-*M =
(1) (I)
dxk^i dXk-\-2
(1)
(M-Ä-l) (M-fc-1)
dXn
V~^'UrV^k^. + -'<
*+2
TT. Dyck: BeUfäge zur Fatentiaiiihe&rie. I. 271
Führen wir jetzt in der Mannigfaltigkeit üf«,..*-! die Parameter g^ e^^ . . . en^u-^i als unabhängige, die übrigen als durch die Gleichungen JP^ = 0, JF\ = 0, . . . F* = 0 von ihnen abhängige Parameter ein, so kann man setzen:
ö == 0, 1,...Ä; t = 1,2, ... n—k—\
o =t Jt+1, ...n; % = 1,2, ...II — h — 1 Aus den Gleichungen (16) folgt
2») ar: - T'
wo D die aus den letzten ä+1 Verticalreihen der Matrix 21) Jlf =
JPoi J'^2 . • . Fq «-*— 1 i'^ n-ik . . . -Fon ^11 ^12 ••• Fin^k-l Fin-h .•• i^l«
Fki Fk2 ... jFjk»-fc-l ^»»-k • . . Fkn jl
gebildete Determinante ist, und D^ diejenige, welche aus D durch Ersetzen der Verticalreihe mit dem Index/A(/A=«— Ä,...w) durch die Verticalreihe mit dem Index < (f == 1,2,... w— Ä— 1) entsteht.
Es kann nunmehr jede Determinante der Matrix der dx (Formel 16) dargestellt werden als symbolisches Product zweier Matrices.
So ist:
272
SUiung der maüi.-phys. Glosse vom 4. Mai 1895.
I
-.tj
I I
^ eo
I + 1"
I
5'«
04
|
J J • 1 i 2cJ sq' : O O • • * o q • q o • |
■u o o |
|
• |
|
|
E^ k, • |
W. Dyck: Beiträge zur PotenHßitheorie. J.
273
Die zweite dieser Matrioes ist oorr^pondiirende Matrix zu der in Formel (21) gegebenen. Der Factor, um welchen sich je die entsprechenden Determinanten unterscheiden ist, D*"*"^. Das Matrixproduct kann demnach in der Form geschrieben werden:
^01 F(jii .... Fom
23)
ß-
-»-2,
Fia Fk2
J?Vf21 ^M-22
jP*+2k
"nl
7 «2
Für das Oberflächenelement 17) auf der Einheitskugel er- gibt sich hieraus durch eine einfache Zusammenziehung die Formel
0 Fol Fqh . . . Fou
0 Fii Fi2 ' ' . Flu
24)
dö>»-*-i Ä=
0 Fui Fia ... F^
Fh^X jF*4-1I JPVfl2 . . . iTk+U Fn Fn\ F^ . . . Fnn
D.VFl^, -{-... Fl
«-k
• de\ dz% . . . den -a^i
Führt man nun an Stelle von e\^ irg, . . . Bn-k^i andere Parameter ^, also ^er^, ir^, . . . ^i^^^i ^^^^ so erhalt man für da>»^ft_i eine analoge in den Differentialen dBi^ d0i^ , . . dsii^j^^
geschriebene Formel, in welcher die obige Determinante D der Matrix (21) ersetzt ist durch die Determinante /),, welche durch Streichen der Verticalreihen mit den Indices ii,i2, . . . »H-fc-i entsteht.
274 Sittung der mtM.-phifs. Glosse vom 4. Mai 1895.
Jetzt fasse man die Aasdrficke
25)
dOn-k-l =
, /ll^Ol i^M ... Fe»
1/ \\Fu F,i ... Fw.
V i: : : : : :l
f'kl Fl
kl JCki
Fj
D,
dsiy dssi^ . . . dsi^_^^_^
als Elemente für die Integration in den e auf,^) so kann man den Integralausdrack für die Charakteristik in folgender allgemeiner Formel zusammenziehen:
26)
(On-k^lJ
if= —
0 -Fol J?02 . . ■ Fon
0 F\\ F\2 . . . Fin
F„ F.
Ml ^112
dOn^l
k'\
Vf'^i+PU^^
|
Fii Fi2.. . . . |
.Fl«: - . 1 |
|
1. |
|
|
Fk\ Fk2 . . |
■ F^ |
^) Deuten wir diese Formel, wovon später noch sn handeln sein wird, im linearen Räume rechtwinkliger Goordinaten ^i, «,,... z^ so stellt iOn_jk_i ein «Oberfiftchenelement' der Mannigfaltigkeit Fo = 0, F| = 0, ... Fj^ = 0 dieses Raumes dar, dessen Projection auf die Coordinatenmannigfaltigkeit der ^t ^ %* • " 'i __^ durch
Vj, ^V*'^^^~*-i fl^®^®^®^ ^"*^» während — L
als .Cosinus de«
Neigungswinkels jener Elemente gegen einander* sn beseiohnen ist.
TT. Dych: Beiträge sur BotenUaitheorie. L 275
Hiebei bezeiehnet a^^h-^i die Ob^-flache der Kugel
Die Integration ist zu erstrecken über die Gesammtheit aller reellen Werthesysteme der 0^ für welche j; = 0, F, = 0,... Fi, = Q
ist. Löst man die Zählerdeterminante dieses Ausdruckes nach den Determinanten Di der Matrix M (GL 19) auf und führt fCLr jedes einzelne der so entstehenden Theilintegrale die nach Formel (23) entsprechenden dsi^ . . . dgi^_j^_^ als unabhängige Differentiale ein, so erkennt man:
lY. Die Charakteristik K lässt sich darstellen
durch eine Summe von (^__j__j ) (n— i— l)-fachen
Integralen, deren Qrenzen ausschliesslich von einem ersten Theil unserer Functionen, den gleich Null gesetzten Functionen:
F^, F,,.., F,
abhängen, während die nnter dem Integralzeichen
stehenden Differentiale nur von den übrigen Func- tionen
J*+l» J^H-8i ' " Fn
abhängen. Die Abnahme der Ordnung der einzelnen Integrale vom n-fachen bis zum 0-fachen findet dabei in der Zunahme der Anzahl der Bedingungs- gleichungen für die Grenzen von 0 bis n gewisser- massen ihren Ausgleich.
Für it = 0 ergibt sich das von Kronecker ge- gebene (w— l)-fache Integral. Für k = n — 1 folgt die in § 2 (61. 19) abgeleitete Summenformel.
Zunächst folgt nämlich:
^ '^ 'd>o^ab8(F,).abs(J^)"'
276
Süsung der matk,'phy8. Claase vom 4, Mai t895.
wenn wir mit e den Grenzwerth fär die Qrosse der diskreten Punkte, über welche die Summation erfolgt, bezeichnen. Als Inhalt der aus zwei Punkten bestehenden quadratischen Mannigfaltigkeit
folgt dann
ü>a == 3«
und damit enp'bt sich direct die Kroneeicer'sefae Formel
1
K^i-
i)-^L^8ign(f;j.).
§4. Verallgemeinerungen. Die Darlegungen des § 2, welchen zufolge die Zahl K sich durch die dem Vorzeichen der Determinante
F\ Fix jPi2
Fon
Fl»
Fn Fnl Fn2 . . • Fm
entsprechend erfolgende Summation der Schnittpunkte der Mn mit einem beliebigen AxenstraU bestimmt, gestatten die folgende fOr manche Fragen nicht nnwesentliche Verall- gemeinerung unserer Integraldarstellungen.
V. Es ist keineswegs nothwendig, die in den vorstehenden Formeln gegebenen Integrale Qber das ganze Qebiet einer Mannigfaltigkeit M^^u-i zu er- strecken, man kann sich vielmehr auch beschränken auf diejenigen Theile derselben, welche durch einen vom Coordinatenanfangspunkt auslaufenden, sonst ganz beliebigen Kegel begrenzt sind, wenn man nur den Divisor (o»^k^i ersetzt durch den Inhalt des
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. I. 277
YOD diesem Kegel auf der Einheitskugel ausge- schnittenen Gebietes.
So kann man z. B. das durch
a?o = ^0 = Ol x, = F, = 0, ... Xk = F, = 0
bezeichnete Integrationsgebiet einschränken durch eine be- liebige Anzahl weiter zutretender Ungleichungen
a?*+i == Fm+i > 0, a?H-2 = i^H-2 > 0, . . . Xi = Fi>0;
d>»_fc-i ist dabei zu ersetzen durch '|r*""\ wenn m die An-
zahl der Ungleichungen ist.
Auf anderweite mögliche Verallgemeinerungen unserer Formeln« wie sie etwa durch Deformationen der Mannig- faltigkeit Mn herbeigeführt werden können und wie sie bei allen derartigen Betrachtungen der Analysis sitns Platz greifen, gehe ich hier nicht ein.
278
Sitznng vom 15. Juni 1895.
1. Herr Robebt Habtiq hält einen Vortrag: «üeber den Nadelschuttepilz der Lärche, Sphaerella lari- cina n. sp.''
2. Herr Alfred Peingshbim bringt einen Nachtrag zu dem in der Januarsitzung eingereichten Aufsatze: .Zum Cauchy'schen Integralsatz/
3. Herr Ferdinand Lindemann macht eine Mittheilung: ,Ueber dieconforme Abbildungeines Flächenstückes, das durch Parabeln mit gemeinsamer Axe begrenzt wird.*
Derselbe legt femer ein aus Vorder- Asien stammendes antikes Modell (Bronze-Guss) eines Archimedischen Korpers (Rhomben-Triakontaeder) vor.
Die Berichte über die beiden Mittheilungen erfolgen im nächsten Hefte.
4. Herr Adolf y. Baetbr berichtet über seine weiteren Untersuchungen: «üeber das Kümmelöl.* Die Resnltiie werden an einem anderen Orte yeröfFentlicht.
279
Der l^adelschttttepilz der Lärche, Sphaerella Uricina n. ap,
Von Robert Bartiflr.
{UngOauftn 16, JimO
Die europäische Larcbe ist aus ihrem natOrlichen Ver- breitangsgebiete, den Alpen und Earpathen erst zu Anfang unseres Jahrhunderts in die Vorberge und in das Flachland Mittel-» und Nord-Enropas hinabgestiegen. Sie wurde zuerst y^rsilchsweise in kleinen Beständen, dann in immer grosserer Ausdehnung angebaut und zwar mit dem besten Erfolge^ Sie ^igte ein schnelles Waohsthum, vöüige Gesundheit und Anspruchslomgkeit an den Standort. Da das Lärehenholz von hoher Güte ist und geeignet erscheint, in vieler Be- ziehung das Eichenholz zu ersetzen, so bildeten um die Mitte unseres Jahrhunderts die ausgedehnten Lärchenbestände einen wichtigen Bestandtheil der Bewaldung Deutschlands und der Nachbarstaaten. Im Norden Schottlands war die Wiederaufforstung fest auaschliesslich mit der Lärche durch- geföhrt.
Etwa vor nunmebr 50 Jahren traten zum ersten Male Erkrankungen an der bisher gutwüchsigen Lärche auf und diese nahmen so sqbnell zu und waren so verderblicher Art, dass heute nur nocb Reste jener Lärchen bestände übrig sind und vielftich der Anbau dieser werthvollen Holzart ganz' aufgegeben worden ist.
280 Siteung der mathrjphys, Classe vom 15, Juni 1895.
Die Erankheitserscbeinangen waren der mannigfacbsten Natur. Insectenbeschädignngen zumal durch die Minirmotte der Lärche (Goleophora laricella Hbn.) und die Lärchen- blattlaus (Chermes Laricis Hartig) wurden leicht als solche erkannt, waren aber doch nur in seltenen Fällen von der Bedeutung, dass ein Absterben der Bestände durch sie herbei- gef&hrt wurde. Man glaubte desshalb zuerst, dass das wärmere Klima der neuen Heimath der Pflanze ungünstig sei. Dagegen sprach aber der umstand, dass die in den ersten Decennien begründeten Bestände sich des besten Wohl- seins erfreuten, wogegen die später erzogenen Lärchen oft schon im Saat- oder Pflanzbeete erkrankten. Die Erkrankung äusserte sich entweder durch das Absterben krebsartig grosser werdender Bindenstellen oder durch ein frühzeitiges Absterben und Abfallen der Benadelung. Im Jahre 1880 gab ich eine ausführliche Bearbeitung des Lärchenkrebess^) in welcher ich auf Grund geglückter Infectionsyersache nachwies, dass ein parasitärer Bindeupilz (Peziza Willkommii m.)« der in den Alpen seine Heimath hat, die Krankheit vennsacbt In den Hoehalpen vertrocknen die Früchte vor der Sporen- reife, da bei klarem Himmel im Sommer die Luft ausser- ordentlich trocken ist. Nur in der Nähe der Seen und io engen Thalem kann dort der Parasit sich erhalten. In den Vorbergen und im Flachlande fanden sich weit günstigere Verhältnisse für die Entwicklung dieses Pilzen , in Folge dessen der Lärchenkrebs sich schnell von Süden nach Norden verbreiten konnte, sobald einmal kleinere und grossere lÄrchen- bestände überall vorhanden waren. Vor 10 Jahren wies ich dann nach,^) dass im Frühjahre ein Erkranke der Lärchennmdeln
^) Die Lärchenkrankheiten, imbeiondere der Ii&rehenktebspilx« Pezisa Willkommii R. Hartig. In Untersochongen aai dem forsi' botanischen Institut in München I 1880. Berlin. Springer.
2) Allgemeine Forst- und Jagdzeitung 1885, Seite 336.
R. Hanig: J)er Naädsehmepaz der Lärdte, 281
zuweilen in aosgedehnterem Maasse durob einen Pih, Caeoma Laricis m. bervorgernfen werde, der säne Entwicklung wäh« rend der übrigen Jahreszeit anf den Blättern der Zitter- pappel als Melampeora Tremulae dorebläuftf alio immer an die Nacbbarecbafb dieser Holzart gebunden ist. Dessbalb bann aber diesem Parasiten keine sebr grosse Bedeiitong beigemessen werden. Das allgemeine Erkranken der Be- nadelnng, das sieb oft scbon im Joli einstellt nnd in ganz Deutscbland als die wichtigste Ursaebe der allmählich zunehmenden Schwächung der Wuchskraft der Lärche zu bezeichnen ist, wurde bisher als Folge ungeeigneten Stand- ortes, insbesondere aBzugrossen Feuchtigkeitsgehaltes der Luft betraehtet. Man war der Ansicht, dass die Lärche in feuchter, dumpfer Luft nicht genügend zu transpiriren vermöge. Aller- dings sprach schon im Jahr 1883 ein scharfsichtiger Be- obachter, Forstmeister Beling in Seesen^) die Vermuthung ans, dass diese Biatterkrankung einen parasitären Charakter habe und von ednem kleinen Nadelpilz veranlasst werde, doch wurde die Krankheit, ihr Entstehen und ihre Ursache nicht näher nntenmebt. Ich selbst habe die Krankheit bisher nicht in Arbeit nehmen können, weil mich andere Untersuchungen seit einer Reihe von Jahren vollauf in Anspruch nahmen. Im vorigen nasskalten Jahre trat nun aber die Braun- fleckigkeit der Lärchennadeln in so ausserordentlichem Maasse in den Waldungen Oberbayems ein, dass schon An&ng August der grössere Theil der Lärchennadeln abgeworfen und im September manche Bäume fast völlig entlaubt waren. Bei einer Reise über Salzburg ins Salzkammergut fand ich die Erkrankung auch dort allgemein verbreitet Am 26. Sep- tember konnte ich auf der Schmittenböhe (1935 m) bei Zell am See feststellen, dass mit der zunehmenden Berghöhe die Erkrankung abnahm und bei 1500 m etwa verschwand.
^) AHgfemeine Forst* nnd Jagdseitnng, Jahrg. 1888.
282
SÜMung d&r matK-phys. Clasae vom iß. Jutd 1895.
Fig. 1.
In dieser Hochlage waren our wenige Nadeln noch mit ein- zelnen braunen Flecken besetzt. Weiter anfwSrta waren die Lärchen völlig gesund.
Die Krankheit äussert sich darin, dass die Nadeln der Lärche an einer oder an mehreren Stellen kleinere oder grossere braune Flecke bekommen. Die erkrankten Nadeln bleiben meist noch längere T^it am Zweige siteen und auf den Flecken treten sehr kleine schwarze Gonidien- polster von 0.1 — 0.3 mm Grösse gruppenweise zusammen- stehend auf (Fig. 1). Schon im Juli beginnt aber ein
Abfallen der kranken und todten Nadeln, das sich besonders im unte- ren Theile der Baom- krone zu völliger Ent- nadelung steigern kann, wenn anhaltend nasses Wetter herrscht
Untersucht man die eben arknuikte Nadel an der verfirbten Stelle, so findet man reichli- ches, farbloses Mjcel, tbeils in den Intercelln-
Bin LftrebennadelbaBcbe], an dem etwa die Bftlfte larräumen , tlicils den
der Nadeln theiia gan.. i^^. .uAx.n^.i^ erkrankt Parenchjmzellen eng an- liegend. Die MjceUaden sind reich verästelt und zwar biegen sich die Seitenhyphen meist nach rück- oder vorwärts, um die Parencbymzellen zu umschlingen und diesen die Nahrung zu entziehen (Fig. 2). Das Protoplasma zieht sich von der Zellwand zurOck, ist aber noch ft*eudig grün gefärbt. Das Chlorophyll wird auch an den getödteten und gebräunten Nadeln noch lange, ja theilweise bis zum nächsten Frühjahre in den inneren
R Hartig: Der Nadekchüttepüß der Lärche.
283
Blattzellen erhalten; wogegen die der Oberhaut anliegenden Zellen sich bald rothbraun färben.
Pig. 8.
Lingtsehnttt durch die erkrankte Stelle einer L&rohennadeL Das Blattsellgewebo xefgt reichliehee intereellidareB Pllamycel, welobee groaaentheila den Zellen eng an- liegt Anf der Ober- und Unterseite findet aiob je ein sebwarzbrannee Conidienpolster, auf dessen Anssenseite zablreiobe stabfSrmige Gonidien gebildet werden. Anf dem oberen Polster sind sie meist dureb Hegen abgewascben. Im Innern finden sieh Höhlangen mit Mikroeonidien erfOllt Vergr. 100 : 1.
Auf der Ober- und Unterseite der erkrankten Blätter entstehen später unterhalb der Epidermis die zuerst dünn scheibenförmigen Conidienlager (Fig. 3), die dann zu pseudo- parenchymatischen schwarzbraun gefärbten Polstern sich ver-
Fig. 8.
in Alk • ii
Jugendliche Conidienpolster vor dem Dorebbreehen der Epidermis. Vergr. 100:1. 1895. ]bth.-ph7S. OL 3. 19
284 Sitzung der maih.-phffs. Glasse vom 15. Juni 1895.
Fig. 4.
dicken und die Epidermis sprengen. Im Innern dieser Polster entstehen Höhlungen, deren Wände mit sehr zarten Basidien besetzt sind. Letztere bilden an der Spitze ausserordentlich kleine Mikroconidien. Diese Zellen sind nur 0.003 mm lang und 0.001 mm breit (Fig. 4b). Ihre Keimung konnte auch in Nährlösungen nicht beobachtet werden. Sie dürften für die Verbreitung des Pilzes bedeutungslos sein. Es ist wahrscheinlich, dass diese Pilz- form dieselbe ist, die als Leptostroma lari- cinum beschrieben und als Spermogonienform zu Lophodermium laricinum gezogen worden ist. Da ich letzteren Parasiten aber nur in wenigen Exemplaren und zwar auf der Schmittenhöhe bei Zell am See im vorigen Jahre fand, der vorliegende Parasit dagegen überall verbreitet und seine Zugehörig-
W4
dionvorondnaehdeiii «61^ z" ^mer Sphaerella von nur ausser Zweifel gestellt ist, so ist entweder das Lepto- stroma laricinum nicht identisch mit unserer
Abfallen yon den pfriemenf5rmigen Ba- aidlen. b. Mikroconi- dien ans dem Innern d. Pilzforra oder die Zuziehung derselben zu
rolster. Vergr. 410:1. r ^ i • i«- »i» ••
Lophodermmm lancmum ist eine imge. Auf der Anssenseite dieser schwarzen Polster entwickeln sich nun zahllose stabformige Conidien von 0.03 mm Länge. Sie stehen auf kurzen, an der Spitze farblosen pfriemen- förmigen Basidien (Fig. 4 a) und sind anfänglich einzellig. Bei der Reife zeigen sie eine und später drei Querwände, so dass sie demnach vierzellig sind. Sie fallen ausserordent- lich leicht ab und werden durch den Wind fortgeführt. Besonders aber werden sie mit dem Regen abgewaschen und gelangen dadurch auf die tiefer stehenden Zweige und Nadeln der Lärche, wo sie schon nach wenigen Stunden keimen und die Nadeln inficiren. So erklärt sich die Erscheinung, dass die Nadelerkrankuug an jedem Baume von oben nach unten an Intensität zunimmt. Da sich die Krankheit all-
R. Bartig: Der Naäehchüttepüe der Lärche. 285
jährlich wiederholt, so führt die vorzeitige Entnadelung zu einer zwar langsamen, aber im Laufe der Jahre sehr schäd- lich werdenden Entkräftung der Bäume. Die unteren Zweige sterben zuerst ab und bedecken sich mit Flechten. Der sich alljährlich belaubende Gipfel wird immer kleiner, der Höhen- wuchs schwächer und wenn solche Bäume von Fichten oder anderen Waldbäumen umgeben sind, so werden sie von diesen überwachsen und gehen yöUig zu Grunde. An jungen Lärchen, die ich Anfang September vorigen Jahres mit Gonidien be- stäubte und dann unter eine Glasglocke stellte, traten etwa nach drei Wochen reichliche Oonidienpokter hervor, deren Ober- fläche mit zahllosen Gonidien besetzt war (Fig. 2 unten). An solchen Nadeln, die ich aus dem Walde zur Untersuchung heimbrachte, waren die Gonidienpolster grossentheils ohne Gonidien, oder es waren nur noch wenige auf ihnen zurück- geblieben (Fig. 2 oben).
Eis ist leicht erklärlich, wesshalb in nassen Jahren die Erkrankung viel schneller sich verbreitet, als in trockenen Jahren, denn bei feuchter Witterung entwickeln sich die Gonidienpolster schneller und die Gonidien keimen leichter, als bei trockener Witterung. Ebenso verständlich ist es, dass trockene und luftige Standorte für die Krankheit* weniger disponirt sind, als dumpfe L^en, dass Lärchen mit freier über den umgebenden Bestand emporragender Krone, dass insbesondere vorwüchsige in einem jüngeren Bestände einge- sprengte Bäume sich gesünder erhalten, als Lärchen im ge- schlossenen, reinen Bestände oder gar solche Lärchen, die ein- zeln oder gruppenweise im gleich hohen Fichtenbestande stehen.
Es ist femer verständlich, dass die Krankheit eine um so grossere Ausdehnung annehmen kann, je früher vor dem Eintritte des Winters die Erkrankung beginnt. Fällt die- selbe z. B. in den Anfang Juli, so bleiben im Flachlande noch vier Monate Zeit übrig bis zum Nadelabfall. In dieser langen Zeit kann der Parasit durch immer neue Infectionen und Goni-
19*
286
Sitzung der math,'phy8, Cl(ns8e vom 15, Juni 1895.
dienbildung eine gewaltige Ausbreitung und Vermehrung er- reichen, wie wir das besonders im Jahr 1894 beobachtet haben. Es war vorauszusehen, dass sich auf oder in den er- krankten, am Boden liegenden Nadeln während des Winters und nächsten Frühjahres eine neue Fruchtform des Parasiten ausbilden würde, deren Sporen die Krankheit im nächsten Jahre wieder hervorrufen würden. Am 30. April d. J, sam- melte ich unter den im Vorjahre stark erkrankten Lärchen des Freisinger Forstes bei München Nadeln, in deren Gewebe sich zwar noch unreife aber doch schon deutlich als Peri- thecien zu erkennende kuglige dunkelbraune Pilzfrüchte fanden. Zum Theil hatten sie die Blattepidermis schon durchbrochen. Das Pilzmycel im Innern der Nadeln war ein sehr derbes, dickwandiges und hellbraun gefärbtes, hatte mithin eine wesentliche Veränderung gegen das Vorjahr erfahren. Die zu Anfang Juni ausgereiften Perithecien sind den Conidien- polstern an Färbung ähnlich, aber etwas kleiner als diese, d. h. zwischen 0.1 bis 0.15 mm gross. Sie stehen theils vereinzelt, theils zu mehreren verwachsen meist in der Blatt- substauz versenkt, theils mehr auf der Blattoberfläche (Fig. 5).
Fig. 5.
Lfingsschniit durch eine vorjährige LSrchennadel, die bis Anfang JanI am Boden gelegen hatte. Das Mycel ist sehr dick, dickwandig and hellbraim geworden. Einteln« und untereinander verwachsene Perithecien enthalten im Innern farbloee Sebliaebe mit je 8 Sporen. Rechts oben findet sich neben dem Peritheciam eine Pycnide mit kleinen l&ngliohen Mikroeonidien. Vergr. 100 : 1.
2?. HaHig: Der NadelsiMttepaz der Lärche.
287
Fig. 6.
Die Oeffnung im Scheitelpunkte der Perithecien ist in keiner Weise markirt und erkennt man sie nur aus dem Hervor- dringen der Schläuche oder Ascosporeu. Aehnliche aber etwas kleinere Pycniden stehen vereinzelt oder sind mit den Perithecien verwachsen und enthalten ausserordentlich kleine, den Mikroconidien in den Gonidienpolstem ähnliche Organe, die als gallertartige Masse aus den Pycniden ausgestossen werden (Fig. 5 oben rechts).
Von den am 30. April gesammelten Nadeln lagerte ich einen Theil im Feuchtraume des Laboratoriums auf nassen Sand und hier entwickelten sich schon bis zum 15. Mai in einer Anzahl der Perithecien reife Ascosporen (Fig. 6 b). Die keulenförmigen Ascen sind 0.05—0.06 mm lang, enthalten je 8 anfänglich einzellige, später zwei- zeilige Sporen von 0.015— 0.017mm Länge, die farblos und an beiden verjüngten Enden abgerundet sind (Fig. 6 b).
Sie stehen dicht zusammengedrängt und werden gemeinsam aus der sich trichter- förmig öffnenden Spitze des Schlauches ausgestossen, wobei die Contraction des Protoplasmaschlauches mitzuwirken scheint.
Am 11. Mai sammelte ich wiederum Nadeln bei Freising unter den im Vor- jahre erkrankten Lärchen und constatirte, dass die meisten Perithecien auch jetzt a. unreife schiiuche ohne
, . 1 . ./. 4 IT- Paraphyeen, 30. April.
noch nicht reif waren. Am 1. Juni waren ^ Reife Schläuche, von
die Perithecien im Walde grOSSentheils denen der eine die Sporen .„ . . 1 j ir 1 aus dem geöffneten Scbei-
reif , ja einzelne derselben waren schon ^^j ^^^ entlassen hat entleert, nachdem nahezu 14 Tage hin- i. Jnni. vergr. 4i0:i. durch regnerisches Wetter geherrscht hatte.
Der Pilz gehört zur Gattung Sphaerella und mag, da er bisher nicht beschrieben ist, als Sph. laricina bezeichnet werden. Säet man die Ascosporen in reinem Wasser auf
288 Sitzung der mathrphya. Glosse vom 15. Juni 1895.
den Objectträger aus, so keimen sie sofort und zwar erreichen sie schon nach 24 Stunden die in Fig. 7 a dargestellte Ent- wicklungsstufe. In Nährgelatinelösung verbracht, erreichen
Fig. 7.
a. AsooBporen, im Wasser ausgokeimt. 24 Stundeii nach der Aussaat. Vurgr. 410:1.
b. In NährgeUtine entwickelte Ascosporon nach 2 Tagen. Yergr. 280:1. e. Pilx- rasen aus einer Ascospore in Nfthrgelatine nach 5 Tagen. Vergr. 100:1. d. Ein- zelne Hyphe der Pilxcaltnr. 3 Wochen nach der Aussaat mit stabfBrmfgon OonidieB. Vergr. 145:1. e. StabfSrmige Conidien, thoilsaarknrsen SeltenSsten, theils aaf knopf- fOrmig verdickten Trägem entstanden. Vergr. 410:1. £ Conidien, in WaoMr ao»-
geefttt nach 10 Stunden. Vergr. 410:1.
die jungen Pflänzchen nach weiteren 24 Stunden, also 2 Tage nach der Aussaat die Fig. 7 b gezeichnete Entwicklung. Mau sieht, dass nunmehr nicht nur die Sporen an den beiden Scheitelpunkten, sondern auch seitlich ausgekeimt sind. FQnf Tage nach der Keimung und Entwicklung in Nährlosung erhält man das Fig. 7 c dargestellte Bild. Die ältesten Theile der Pflanze «ind grösser geworden, d. b. der Durohmesser
. B. Hartig: Der NadelschiUtepas der Lärche. 289
der Hyphe hat sich vervielfacht. Die Hyphen sind septirt und reich verästelt. Dabei tritt eine Eigenthümlichkeit hervor in der Wachsthumsrichtang der Längshyphen und ihrer Seitenzweige, die darin besteht, bogenförmig hin und her zu wachsen. Die Seiten hyphen haben fast stets die Neigung, bogenförmig nach rückwärts zu wachsen. Es kommt dabei der Gedanke, dass es sich bei dieser Wachs- thumseigenthümlichkeit um eine erblich gewordene Eigen- schaft handelt, die durch das schon oben beschriebene Wachs- thum im Blattparenchymgewebe erworben worden ist. Die Seitenhyphen im Blattgewebe biegen sich -alsbald um die benachbarten Blattzellen, der Aussenseite sich eng anlegend, sie besitzen diese Eigenschaft auch dann, wenn sie in künst- licher Nährlosung cultivirt werden. Es erinnert das an die Fortsetzung der windenden Wachsthumsbewegung der Schling- pflanzen, z. B. Bohnen, nachdem der Gegenstand, an dem sich in Folge von Contactreiz der Stengel herumgelegt, von der Pflanze überwachsen worden ist. Eine weitere Ent- wicklung der Pilzkultur erfolgt nur dann, wenn dieselbe nicht zu sehr von Nährgelatine bedeckt ist, sondern eine Entwicklung in feuchter Luft ausserhalb des Nährsubstrates erfolgt. Bis zum 20. Tage nach der Aussaat hatte sich ein graugrüner Rasen von etwa 4 mm Durchmesser entwickelt, dessen in die Luft ragende feine Hyphen genau dieselben stabförmigen vierzelligen Conidien auf kleinen seitlichen Aus- wüchsen entwickeln, die auf den Gonidienpolstem der Lärchen- nadeln entstehen (Fig. 7d,e). Damit ist der Zusammenhang beider Pilzformen zweifellos bewiesen.
Nach der Aussaat in Wasser keimten auch diese Conidien sehr bald und hatten schon nach 20 Stunden die in Fig. 7f dargestellte Entwicklungsstufe erreicht. In der Folge machten sie dieselbe Entwicklung durch, die für die Ascosporen dargestellt ist. Es wird somit, sowohl für die Ascosporen als auch für die Conidien in günstigen Ernährungsverbält^
290 SiUwng der matK-j^s. Cla8$e vom 15. Juni 1895.
nissen ein Zeitraam von 3 Wochen verlaufen, bis nach der Infection wieder neue Conidienpolster mit reifen Conidien zur Ausbildung gelangen. Die Vergrösserung der Pilzcultur nach dem Beginne der Conidienbildung war eine sehr lang- same aber dadurch ausgezeichnete, dass am Rande des IMIz- rasens die Nährgelatine eine fuchsrothe Färbung erhielt. Es ist dies derselbe Farbenton, den die unter der Epidermis gelegenen Zellen der kranken Lärchennadeln einige Wochen nach der Infection erhalten.
Aus den vorstehend mitgetheilten Untersuchungsergeb- nissen lässt sich nun eine Reihe von bisher unerklärbaren Krankheitserscheinungen leicht verstehen.
In reinen Lärchenbeständen hindert nichts das Auf- steigen der reifen Ascosporen durch den Luftzug zu den Nadeln der Baumkronen und die nahe zusammenstehenden Bäume inficiren sich gegenseitig durch die Conidien. Be- sonders schädlich ist aber die üntermischung der Lärche mit der Fichte, weil die abfallenden kranken Nadeln auf den Fichtenzweigen in grosser Menge liegen bleiben, hier ebenso Perithecien entwickeln, wie auf den Streu- und Moos- decken des Erdbodens und die reifen Ascosporen mit grösster Leichtigkeit seitlich auf die Nadeln der benachbarten Lärchen verbreiten.
In der That hat sich die Mischung dieser beiden Holz- arten als verderbenbringend für die Lärche erwiesen. Nnr dann blieb sie gesund und kräftig, wenn sie auf ihr beson- ders zusehendem Boden von Jugend auf weit über den Fichtenbestand hinauswuchs, so dass die Kronen der Lärchen unbehindert und dem Luftzuge ausgesetzt über die Fichten- kronen hinausragten.
Dagegen kenne ich eine Anzahl von Lärchenbesl&nden, die mit Rothbuchen untermischt sind, wie z. B. den Lärchen- wald oberhalb Tegernsee, die sich der trefflichsten G^nnd- beit und des herrlichsten Wuchses erfreuen. Im Fonstamt
B. Hartig: Der NadelschattepUM der Lärche. 291
Freising befindet sich ein ca. 80 jähriger Lärchenbestand, der vor 40 Jahren sehr krank war, so dass er stark durchhauen und mit Rothbuchen unterbaut wurde, weil man glaubte, dass der schlechte Wuchs Folge der Bodenverschlechte- rung sei. Dieser Bestand ist seitdem völlig gesund ge- worden und vom trefflichsten Wüchse. Er war noch Ende Oktober vorigen Jahres voll benadelt und keine Spur der Blatt- krankheit war in ihm zu finden. An den Lärchennadeln entwickelte sich erst am Boden ein saprophytischer Pilz mit schwarzen, kugelförmigen, glatten Pycniden, der bisher un- bekannt war und von Herrn Allescher beschrieben und neu benannt worden ist.*)
Diese günstige Wirkung der Buche auf die Gesundheit der Lärche erklärt sich daraus, dass die kranken, vom August bis Oktober abfallenden Lärchennadeln Ende Oktober von dem abfallenden Buchenlaube grösstentheils zuge- deckt werden, wodurch das Entweichen der Ascosporen nach oben verhindert wird. Insoweit aber doch einzelne Sporen in die Luft gelangen, findet eine förmliche Filtration derselben in dem dichten Laubdache des Buchenbestandes statt, das zu Anfang Juni schon vollständig entwickelt ist.
^) Herr Andr. Allescher stellt für diese neue Art die nachstehende Diagnose auf: «Psendocenangium Hartigianum, Peritheciis sparsis, erumpenti superficialibus, globoso-depressis, sicco subcapuliformibos, membranaceis atro-olivaceis, primam clausis, dein late apertis, margine oris lobato, ca. 100—150/* diam.; . sporulis numerosis, filiformibus, rectis, ntrinqaeobtusiuscnlis, minute maltiguttalatis, hyalinis, ca. 40— 60 basidiis nnllis. Hab. in aonbas potrescentibns Laricis enropaeae*.
Dass es sich bei diesem Pilze lediglich um einen Saprophjten handelt, geht schon daraus hervor, dass die Sporenfrüchte im Herbste anf den vorjahrigen Nadeln reiften und die fadenförmigen Conidien sofort nach der Aassaat keimten, wogegen im Frühjahre aaf den im Vorjahre abgefallenen Nadeln noch Anfang Juni nur unreife Conidien- früchte zu finden waren. Infectionsversache, die ich im September vorigen Jahres auf grünen Lärchennadeln aosführte, misslangen.
292 SUzung der math.-pkya. (Hasse vom 15, Juni 1895.
Aach die Thatsache, dass die Lärche im Hochgebirge ge- sund bleibt, erklärt sich nun in einfacher Weise.
Wir haben gesehen, dass die Ascosporenfrüchte sich im Fröjahre auf den am Boden liegenden Lärchennadeln ent- wickeln und bei uns erst Anfang Juni zur Sporenreife ge- langen. Vor Juli treten hierorts neue Conidienpolster auf den Lärchennadeln nicht auf. Dem Parasiten stehen also vier Monate zur allgemeinen Verbreitung durch Conidien zur Verfügung.
Je weiter wir bergauf steigen, um so später yerschwindei der Schnee, um so später kann mithin die Ausbildung der Perithecien beginnen, um so später werden die Ascosporen reif, um so kürzer wird die Zeit, in welcher der Parasit sich durch Conidien bildnng zu Yermehren yermag, zumal der Winter ja entsprechend früher eintritt. In einer Hoch- lage von 1500 m beginnt die Vegetation etwa 2^/» Monate später als im Flachlande, d. h. etwa Anfang Juni, die Reife der Ascosporen wird demnach auch um 2^1% Monate hinaus- geschoben, beginnt also erst Mitte August. In der Thai fand ich in dieser Hochlage am 26. September an den Lärchen- nadeln nur wenige Flecken und auf diesen kaum die ersten Spuren der Conidienpolster. Am 28. September lagen diese Lärchenparthien schon im Schnee.
Daraus ist zu ersehen, dass von einer gewissen Höhen- lage aufwärts zwar die Lärche bei einer Vegetationsdaner von S^/n — 4 Monaten noch gedeihen kann, dass aber die Sphaerella nicht mehr die zu ihrem Gedeihen erforderliche Vegetationszeit vorfindet, wesshalb die Lärche völlig gesund bleibt, wenn ihr auch der Standort wegen der Kürze der Vegetationsperiode nicht mehr so zusagt, wie die iiefinren Lagen. Aebnliches gilt ofiPenbar auch zur Erklärung des Vorkommens der Lärche in Sibirien. Sie wächst dort wie im Hochgebirge sehr langsam, im Flachlande sehr schnell. Dort können ihr die Parasiten nicht mehr beikonmien, hier
B. Hartig: Der NadehchüttepUs der Lärche, 293
werden sie von derselben unerbitfclich bekämpft. Man gebe desshalb den Anbau dieser Holzart in den Verbergen und im Flachlande, woselbst ihr das Klima viel besser be- hagt, als in der ursprünglichen Hochgebirgslage, dem sogenannten ^natürlichen Standorte'' nicht auf, sondern man schütze sie gegen ihre Feinde, indem man sie nur in Untermischung mit der Rothbuche anbaut und letzterer die Aufgabe zuweist, den Nadelpilz der Lärche zu vernichten. Da in reinen Beständen der Lärchenkrebspilz leicht ver- derbliche Ausbreitung findet, so behandle man die Lärche nur als einen Baum der Mischwälder, in welchen er unter den Nadelholzarten die erste Stelle einzunehmen hat.
Vom Anbau der Lärche darf man aber von vorneherein da Abstand nehmen, wo ständige Luftfeuchtigkeit die Ent- wicklung ihrer Pilzparasiten in hohem Grade begünstigt. So gedeiht z. B. die Lärche im Bayerischen Walde nicht wegen der Nebel, die dort oft lange Zeit hindurch nicht weichen. Die Pilzentwicklnng wird dadurch in einem so hohen Grade begünstigt, dass man von vorneherein verzichten sollte, diesen Waldbaum zu erziehen.
295
Zum Gauch/sclien Integralsatze.
(Nachtrag za dem Aufsätze auf S. 89—72 dieses Bandes.) Von Alfred Prlngslieiiii.
In der Einleitung meiner Mittheilung über den Cauchj*- schen Integralsatz habe ich darauf aufmerksam gemacht, dass gewisse auf Gontinuitäts-Betrachtungen gegründete Be- weise jenes Satzes insofern lückenhaft erscheinen, als sie auf der stillschweigend gemachten Annahme beruhen, dass der
Differenzen-Quotient f^^ + ^[~fM für alle in Betracht
n
kommenden Werthe yon 0 stets gleichmässig gegen den Werth f(jsi) convergirt, d. h. dass nach Vorgabe einer be- liebig kleinen positiven Grösse e sich stets eine positive Grösse q so fixiren lasse, dass für alle in Betracht kommen- den Werthe von jer stets:
L /W
<c, falls: |A1<^.
Ich fügte hinzu, man müsse also, um jene Beweise haltbar zu machen, entweder die fragliche Bedingung als eine specielle, der Function /"(jer) a priori zukommende Eigen- schaft ausdrücklich in die Voraussetzung aufnehmen,*) oder
^) In dem seither erschienenen ersten Bande von Weierstrass* Werken findet man einen Beweis des Lauren tischen Satzes, bei welchem in der That die fragliche Bedingung bezw. eine ihr im wesentlichen aeqnivalente als specielle Voraussetzung erscheint
296 Sitzung der math.-pkyt. Clas$e ro» 25. Jmm 1895.
Tersnchen, dieselbe als onmitielbare Folge emfacherer Eigen- schaften, etwa der Stetigkeit von /'(r) danostellen;^) in wieweit dies möglich wäre, Hess ich dahingestellt und sprach nur die Vermathnng aus, dass der Beweis, wenn fiberhanpt durchführbar, auf ziemlich schwierige und um- ständliche Betrachtungen fuhren durfte. Nachdem ich in- dessen neuerdings erkannt, dass der fragliche Beweis nicht nnr möglich ist, sondern auch mit verhältnissmässig einfachen Mitteln gefQhrt werden kann, mochte ich denselben — zn- mal der Satz an sich mir nicht ganz unwichtig erscheint — an dieser Stelle mittheilen.')
Es sei f(z) im Innern und auf der Begrenzung eines gewissen Bereiches T eine endliche, eindeutige nnd stetige Function der complexen Variablen r. Liefert sodann die Substitution z = X'\-yi die Beziehung:
(1) f(^) = 9 (^^y) + ♦•V («,y)i
wo (p(x^y)^ wi^iV) reelle Functionen der reellen Veränder- lichen x^y bedeuten, so folgt bekanntlich aus der vorans- gesetzten Stetigkeit von f{e), dass auch q>{x^y)^ y>(x,y] endliche und stetige Functionen von x,y und zwar für den Bereich T gleich massig stetig sind.
Es sei ferner f{z) gleichfalls in T (d. h. immer im Innern und auf der Grenze von T) endlich, eindeutig und stetig, so hat man specieli:
^) In meinem Aufsatze: ,,Ueber die Entwicklung eindentiger analytischer Functionen in Potenzreihen" (S. 89 ff. dieses Bandes) habe ich u. a. gezeigt, dass für „analytische' ^ d. h. darch Potenz- reihen definirte Functionen die betreffende Bedingung stets eiftlH ist (a. a. 0. S. 83, 84).
^) Uebrigens setzt HerrGoursat, wie ich erst nachtr&glich be- merkt habe, bei seinem Beweise des Cauchy*8chen Satzes (Act. matfa. T. IV, p. 196) den fhiglichen Hilfssatz ausdrücklich als bekannt yorann. sodass also hier die von mir erhobene Einwendung hinflUlig erscheist
A, Pringskeim: Zum Caucki^schen Integralsatz. 297
^^^^ ~ dx ~ ~ T(iV)"'
wobei es im Innern von T freisteht, diese partiellen Differential- Quotienten als vor- oder rückwärts genommen za verstehen; oder wenn:
dq>(x.y) . . d(p{x,y) , .
gesetzt wird:
Hieraus folgt zunächst, dass die partiellen Differential- Quotienten (p^ (a;,y), 9?, {x,y), v'i (a?,2/)i W% (^»y) in T gleich- falls endliche, eindeutig bestimmte Werthe besitzen, welche den Bedingungen gentigen:
(3) i^A^^y) == w%{^^y)
y^%{^^y) = —Wii^^y)^
und dass sie — in Folge der Stetigkeit von f'{z) — in T gleich massig stetige Functionen von x^y sind, d. h. jeder beliebig klein vorgeschriebenen positiven Grösse d lässt sich eine positive Grösse q so zuordnen, dass für alle x^y des Bereiches T:
W \x{x+h,y-\-h)-x{x,y)\ <d für: A» + Ä» <ö»,
(wo X j^*de beliebige der Functionen (p^, cp^, v^i ¥2 bedeutet).
Dies vorausgeschickt gilt nun der Satz:
Sind fiz), f'{z) eindeutig, endlich und stetig im Innern und auf der Grenze des Bereiches T, so con- vergirt der Ausdruck:
298 SitMung der maO^.-phys. Glosse vom 15, Juni 1895.
mit Ajff in T gleichmässig gegen Null, d. h. jeder beliebig klein vorgelegten positiven Grosse £ lässt sich eine positive Grösse q so zuordnen, dass:
fi^±A±:Lf^-f'i,)\<e, falls: M^i<e.«) Beweis. Setzt man Ae = h'{-kij so wird zunächst:
Az _ (p{x + h,y + h) — (p(x,y) w(x+h,y+Jc) — fp (x.if) ~ h + ki "^ h+ki
_ / (p {x+h, y+k) — cp {x,y+k) ~ \ h
. . w(x+Ky+J^) — w{x^v+^)\ * _
'^*' h )h+ki
+ \ * ~" + * k i'h-^ki
In Folge der nach dem oben Gesagten aus der Voraus- setzung folgenden Stetigkeitseigenschaften der Functionen V'(^iy)i wip^^y) ^^^ ihrer partiellen Differential-Quotienten ist es gestattet auf die sämmtlichen hier auftretenden Differenzen- Quotienten den RoIle*schen Mittelwerth-Satz anzuwenden.
Bezeichnet man also mit ^,^\ fi^f} reelle Grössen, welche dem Intervalle von 0 bis 1 (mit Einschlnss der Grenzen) an- gehören, so kann man setzen:
^) Dabei kommen natürlicb, falh z anf der Grense von T oder in deren Nähe liegt, nar solche Asm Betrachti tfir welche S'\'As noch dem Bereiche T angehört.
Der analoge Satz ftlr Fanctionen einer reellen Veränderlichen findet rieh bei Tannery , Introduction k la th^rie des fonctions, p284; desgl. bei S t olz , Qmndzüge der Differential- u. Integralrechnnng, p.56.
Ä, Pringsheim: Zum Cauckifachm Integralsate. 299
^^^ T,
h+ki
+ {<Pt («.y +1?*) + ♦• V. («,y +»?'*)} -jqijti*
Es ist aber andererseits nach Ol. (2):
= {9'i(«ty) + »-Vi(»,y)}-
Ä+Ä«
+ {« • 9i (».y) — Vi («.y)} • j^Tj;.
oder mit Benfitzong der Beziehangen (3):
h
f{e) = {9',(«,y) + »-Vi(«,y)}-
(6) *+**■
+ {9^2(^1») + *'V'2(^i//)}-j:ryr
Subtrahirt man jetzt diese Gleichung von Gl. (5), so ergiebt sich:
h
= {9», (a;+M,y + Ä) — (p,(».y)} ^ ^^. + {Vi (« + 1?'», y + Ä) — y , (aj,y)} • ^-p^.
+ {9'» («, y + »? *) — 9'« (*. //)} ■
+ {v. («iy + n'it) — V« («.y)}
Nun kann man nach dem oben Gesagten (s. Ungl. (4)) Q so fixiren, dass für A*+A* <e*i also |A+Ä!»| < g, der
1896. Ibth.-pb7a. Ol. S. 20
300 SitMung der mathrphys, Glosse vom 15. Juni 1895.
absolute Betrag jeder Elammergrosse unter eine beliebig
kleine positive Grösse, die mit j bezeichnet werden möge,
herabsinkt. Da ausserdem bei beliebigen, nicht gleichzeitig verschwindenden reellen Werthen von h und h stets:
h
h + ki so folgt schliesslich:
<i
h+ki
S.h
(7)
Aj^
-rw
<€ für: \As\<Q.
Hiermit ist der oben ausgesprochene Satz, d. h. der- jenige Satz, welcher für den exacten Beweis des Gauchy'- schen Integral-Theorems erforderlich war, bewiesen.
An dieses Resultat lässt sich nun noch die folgende fQr die schärfere Begründung der gesammten Gau chy 'sehen Functionen-Theorie nicht unwichtige Betrachtung knüpfen. Schreibt man in Ungl. (7) j?' statt isr, so wird:
(8)
f(^'+As)-f(^') ^^^.^
<c für: |zl^|<^
unter der Voraussetzung, dass auch £r' und /+J^ dem Bereiche T angehören. Setzt man dann in (7): Jjer = Ci in (8): Aa = C\ wo die f , f' zwei beliebige complexe Grössen bedeuten, deren absoluter Betrag unterhalb q liegt, so folgt durch Subtraction der Ungleichungen (7) und (8):
(0) l«l±0:^ei)_f(£±£L;m-,rt/,-A.))|<2..
In Folge der Stetigkeit von f{s) kann man jetzt / nahe genug an js; wählen, dass | f{e) — /'(£•) ] beliebig klein wird; insbesondere wird, wenn man \a-0\<ZQ nimmt.
A, Pringaheim: Zum Catuhj/^aehen IntegrcisatB, 301
\f{js*) — /'(£r)|<-,^) sodass üngl. (9) die folgenden nach sich zieht:
(10)
? 1 — \<'
für: (1^1 <^' 1^1 <^ l \z—e\<Q
5
(wenn man zur Abkürzung d statt ^e schreibt). Man kann
somit an Stelle des oben bewiesenen Satzes jetzt auch den folgenden setzen:
Sind /*(«), f{z) eindeutig, endlich und stetig im Innern und auf der Grenze eines gewissen Bereiches T, so ist der Differenzen-Quotient:
c
eine gleichmässig stetige Function der beiden Vari- ablen e und C für alle z des Bereiches T und alle C, deren absoluter Betrag unter einer gewissen Grenze q liegt, d. h. jeder beliebig klein vorgelegten positiven Grösse 6 lässt sich eine positive Grösse q so zuordnen, dass die Ungleichungen (10) stattfinden.
^) Setzt man nämlich:
so wird:
/•(«') - /" W = 9>i («+Ä, y -l-Ä:) — 97, {x,y)
+ I Vi (^+^ y+*) — Vi K y) I
d. h. aof Qrund der oben getroffenen Bestimmang:
l/^U')-/-WI<^ für: \h-\-ki\<Q.
20*
302 SUeung der matkrphya, Clasae vom IS, Juni 1895.
Der Satz in dieser Form besitzt nun die wichtige Eigen- schaft, auch umkehrbar zu sein, d. h. man kann aus dem Bestehen der Ungleichungen (10) — welche offenbar die Endlichkeit und Eindeutigkeit von f{e) als selbstverständliche Voraussetzung enthalten — die Stetigkeit von f(js)^ sowie die Endlichkeit, Eindeutigkeit und Stetigkeit von fXe) folgern :
Setzt man nämlich in (10) j8r'=^, so wird:
(11)
<^f«r:{jf|}<,,
und hieraus folgt zunächst, dass der Differenzen -Quotient
^^—j — -^ für lim^=0 einen eindeutig bestimmten,
endlichen Grenzwerth besitzt, sodass man setzen kann:
(12) Um^^" + ^)-^(") = /V),
d. h. f(ß) besitzt in T durchweg einen endlichen, eindeutig bestinimten Differential-Quotienten, ist also eo ipso auch eine stetige Function von jgr. Um auch noch die Stetigkeit von /^{jg) zu erkennen, bemerke man, dass aus (11) und (12) folgt:
(13) \fii>)-^^''^^\~^-^\<d- far:|f|<e
und analog fQr jeden anderen dem Bereiche T angehörigen Werth e:
/'(/)_/V±fI-Ai)|^,.
(14)
Hieraus folgt durch Subtraction:
(15) \n/)-fXs)\<zM+\^^'-^^\-^^-f^'-^^\-^^'^l
und wenn man jetzt / der Bedingung unterwirft: |/ — ^\<Q^ so findet man schliesslich mit Benützung von Ungl. (10): (16) |/V)-/»l<3d.
Ä, Pringsheim: 2Sum Ccwchy^schen Iniegnüaate, 303
womit die fragliche Umkehning des obigen Satzes^) in allen Theilen bewiesen ist. Nunmehr kann man aber jenen Satz mit der eben bewiesenen Umkehmng in die folgende präg- nantere Form zusammenfassen:
Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die im Bereiche T endliche und ein- deutige Function f{e) daselbst stetig ist und einen endlichen, eindeutigen und stetigen Differential- Quotienten fiß) besitzt, besteht darin, dass der
Differenzen-Quotient ^^^"^ ^)~/W f^^ alle Werthe e
Aß
des Bereiches T und alle äa^ deren absoluter Be- trag unter einer gewissen Grenze liegt, eine gleich- massig stetige Function der beiden Variablen e und Asf sein muss.
Die gleichmässige Stetigkeit des Differenzen-* Quotienten in dem näher definirten Sinne bildet also die noth wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die endliche und eindeutige Function f{e) im Sinne Gauchy^s synektisch ist.
Ich möchte schliesslich diese Gelegenheit benützen, um den in meinem früheren Aufsatze mitgetheilten historischen Notizen einige Ergänzungen hinzuzufügen.
Ich habe dort u. a. heryorgehoben, dass der auf die Integralformel:
gegründete Beweis des Cauchy^schen Satzes bereits von Cauchy selbst gekannt und auch in der Hauptsache publi- cirt worden sei, und glaubte aus dem umstände, dass jener Beweis — im Gegensatze zu dem ursprünglich von Cauchy gegebenen und dessen Modificationen — ganz allgemein
1) Das Analogon fQr Functionen einer reellen Variablen findet man bei Harn ack, Elemente der Diff.« und Integr.-Rechnang, p. 37.
304 SÜJmng der maih,'pky8. Claaae wm 15, Juni 1895.
als der Riemann'sche bezeichnet wird, den Schloss ziehen zu dürfen, dass jene Thatsache bisher «völlig anbemerkt* geblieben sei.^) Ich hätte statt dessen etwa sagen aollen: , nahezu unbemerkt". Denn ich habe inzwischen die Wahr- nehmung gemacht, dass Gasorati in der historischen Ein- leitung seiner .Teorica delle funzioni di variabili complesse" jener Gauchy'schen Note aasdrQcklich Er- wähnung thut. Das Gleiche ist auch in dem jüngst er- schienenen Referate der Herren Brill und Nöther über ,Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Functionen' geschehen.^) Immerhin kann wohl kaum bestritten werden, dass das mathematische Publikum mit Ausnahme einer sicher- lich sehr kleinen Minderheit den fraglichen Beweis bisher ganz ausschliesslich auf Riemann's Conto gesetzt hat.
Ferner habe ich inzwischen bemerkt, dass auch Herr Falk im Jahre 1883 einen Beweis des Gauchy ^schen Integral- satzes veröffentlicht hat.^) Das Original der betreffenden Arbeit ist mir leider bisher nicht zugänglich gewesen. In- dessen lässt sich aus einem Auszuge, den der Verfasser selbst in einem Briefe an Herrn Hermite mitgetheilt hat,^) immer- hin so viel ersehen, dass jener Beweis in seiner ganzen An- lage sehr einfach, wenn auch vielleicht etwas weniger natür- lich erscheint, als der von mir gegebene, und dass er ins- besondere wieder auf gewissen Voraussetzungen über die Beschaffenheit der Integrations-Curven beruht, deren princi- pielle Ueberflüssigkeit ich gerade nachzuweisen versucht habe.
1) a. a. 0. p. 44.
^ a. a. 0. p. 79. Sp&terbin (p. 870) wird freilich der fragliehe Beweis wiedemm lediglich aufdio Riemann'sche Dissertation zurück- gefQhrt.
') Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Yereinigaog, Bd.IÜ, p. 178.
^) Demonstration da th^orbme de Oanchy sar Tint^]- grale d*ane fonction complexe (Nova Acta Regiae Soc. Upaa- liensis, 8er. 111, T. XII).
*) Darboux, Balletin, 2. sene, T. VII, p. 187.
305
Sitrang Tom 6. Juli 1895.
1. Herr H. Seeliger legt eine Abhandlung des Herrn Gymnasiallehrers Dr. Adolf Schmidt in Gotha: ,Mitth ei- lungen über eine neue Berechnung des erdmagneti- schen Potentials* vor, welche in die Denkschriften auf- genommen werden soll.
2. Herr W. Dtck macht eine Mittheilung: .Beiträge zur Potentialtheorie. H. Die Gauss'sche Formel für die gegenseitige Umschlingung zweier Raumcurven und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfaltigkeiten. Darstellung als Eronecker'sche Charakteristik eines Funktionensystems/ Der Bericht hierüber folgt im nächsten Hefbe.
307
Verzeiehniss der eiDgelaofeneu Druekschrlften
Januar bis Juni 1895.
Die verehrlielien OesellBehafteii und Institate, mit welchen oneere Akademie in TauBcliverkehr steht, werden geheten, nneb&tehendes VeneiefaniBssagleichals Empfangs- bestätigung SU betraehten.
Von folgenden Gesellscliaften nnd Instituten:
GesehicfUscerein in Aachen: Zeitschrift. 16. Band. 1894. 80.
Historische Gesellschaft in Aarau: Argovia. Band XXV. 1894. 8^.
üniversity of the State of New -York in Alhany: State Library Bulletin. Legislation No. 6. 1896. 8^.
GeschichtS' und Alterthufnsforschende Gesellschaft des Osterlandes in
Altenburg: Mittbeilungen. Band X, Heft 4. 1895. ^,
NaturfoTschende Gesellschaft des Osterlandes in Altenburg: Mittheilnngen aus dem Osterlande. N. F. Band 6. 1894. 8<>.
Historischer Verein in Augsburg: Zeitschrift. Band XXL 1894. 8<>.
Johns Hophins üniversity in Baltimore: Circulars. VoL XIV, No. 116—118. 1895. 4^.
Historischer Verein in Bamberg: 54. u. 55. Bericht f. d. Jahre 1892 u. 1898. 1898/94. 8<>.
Naturforschende Gesellschaft in Basel: Verhandlungen. Band X, No. 2. 8. 1894/95. 8®.
Historische und antiquarische Gesellschaft in Basel: 19. Jahresbericht über das Jahr 1898/94. 1894. ^, Mittheilungen. N. F. IV. 1894. fol.
308 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften,
Genootschap van kunsten en wetenschappen in Batavia: Tijdschrift. Deel 37, afl. 4—6. Deel 38, 1—3. 1894. 8« Notulen. Deel 82, No. 1—3. 1894. 8». Verhandelingen. Deel 47, 3. stak. 1894. 4^ Catalogus der ethnologische verzameling. 4. druk. Sapplement.
1894. 80 Nederlandsch-Indisch Plakaathoek 1602—1811. Deel XII. 1894. ^. Dagh-Register gehonden int Casteel Batavia Anno 1666. 1894. 8^.
Observatory in Batavia: Observationa. Vol. 16, 1893. 1894. fol. Regenwaarenemingen. XV. Jahrg. 1898. 1894. 8^.
K. Serbische Akademie in Belgrad: Srpski etnografski sbomik. Kniga I. 1894. 8^. Glas. XX, No. 46-47. 1894/95. 8». Spomenik. No. 28. 1896. 4».
Museum in Bergen {Norwegen): On the development and stmctnre of the whale. Part I. By Gast.
Guldberg and Fridtjof Nansen. 1894. fol. Aarbog für 1893. 1894. 8®.
üniversity of Caiifomia in Berkeley:
Bulletin of the Department of Geology. Vol. I. 1893—1896. 8®.
Register of the Üniversity of Caiifomia 1898—1894. 8^.
Biennial Report of the President of the Üniversity 1893. Sacrameato 1894. 80.
Annual Report of the Secretary of the Board of Regents of the Üni- versity of California for the year ending June 30. 1894. Sacra* mento 1894. 8».
A brief accoant of the Lick Observatory by Edw. 8. Holden. Sacra- mento 1895. 8^.
Report of work of the agricultnral experiment staÜons for 1892/98. Sacramento 1894. 8^.
Report of viticnltaral work dnring the seasons 1887 — 80 by L. Pa- parelli. Sacramento 1892. 8^.
List of recorded Earthquakes in California, by Edw. S. Holden. Sacra- mento 1887. 8».
K. preussische Akademie der Wissenschaften in Berlin: Sitzungsberichte. 1894, No. 39—63. 1896, No. 1—26. gr. 8». Inscriptiones graecae insularum maris Aegaei. Fase. I. 1896. fol.
K, geolog, Landesanstalt und Bergakademie in Berlin: Jahrbuch fQr das Jahr 1898. Band XIV. 1894. 4^.
Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin: Berichte. 27. Jahrg., No. 19— 21. 28. Jahrg., No. 1-11. 1894/96. 8^.
Medicinische Gesellschaft in Berlin: Verhandlungen. Band XXV. 1896. S^.
Deutsche geologische GeseUsdhaft in Berlin: ZeiUchrifb. Bd. 46, Heft 3. 1894. ^.
Verzeichnis« der eingelaufenen Drucksehiriften. 309
Physikalische Gesellschaft in Berlin: Die Fortschritte der Physik im Jahre 1888. Abt. I— III. Braunsohweig
1894. 8».
Physiologische Gesellschaft in Berlin: Centralblatt für Physiologie. Bd. VIII. 1894. No. 20-26. Band IX.
1895. No. 1— 7. 80.
Verhandlungen. Jahrg. 1894/95, No. 1—15. 8«.
K, technische Hochschule in Berlin: Das Gesetz von der Erhaltung der Energie und seine Bedeutung für die Technik. Rede von A. Slaby. 1895. 4^.
Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin: Jahrbuch. Band IX, Heft 4. Band X, Heft 1. Ergänsungaheft 8.
1895. 4«. Antike Denkmäler. Band H, Hefb 2. 1895. fol.
K, preuss. meteorologisches Institut in Berlin: Ergebnisse der meteorol. Beobachtungen in Potsdam im Jahre 1893.
1895. fol. Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen II. und III. Ordnung
1894. Heft 2. 1895. fol. Ergebnisse der meteorol. Beobachtungen in Bremen. Jahrg. 5. 1895. fol. Deutsches Meteorol. Jahrb. fiir 1891. Heft 3. 1895. 40.
Jahrbuch Oher die Fortschritte der Mathematik in Berlin: Jahrbuch. Bd. XXIV, Heft 1. Berlin 1895. 8°. Verein zur Verbreitung des Gartenbaues in den preussischen Staaten
in Berlin: Gartenflora. 43. Jahrgang. 1894. 4^.
NaturwissemchaftUche Wochenschrift in Berlin: Wochenschrift. Band IX, Heft 11. 12. BandX, Heft 1-5. 1894/95. fol.
Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin: Zeitschrift. XV. Jahrgang 1895. Heft 1—6. 4°.
Allgemeine geschichtsforschende Gesellschaft der Schweiz in Bern: Jahrbuch für Schweizerische Geschichte. 20. Band. Zürich. 1895. 8^.
Natural History and Philosophiccd Society in Birmingham: Proceedings. Vol. IX, 1. 1894. 8«.
22. Äceademia delle Scienze delVIstittUo di Bologna: Memorie. Serie V. Tom. III, fasc. 1—4. 1893. 4«.
B. Deputazione di storia patria in Bologna: Atti. lU. Serie. Vol. XII, fasc. 4-6. 1895. 8».
SocietS de giographie commerciaie in Bordeaux: Bulletin. 1894. No. 23. 24. 1895. No. 1—12. 8<>.
American Academy of Arts and Sciences in Boston: Proceedings. Vol. XXIX. 1894. 8«.
Public Library in Boston: 43. annual Report 1894. 1895. 8^.
310 Verseiehmsa der emgdaufenen Drueksdinften.
Boston Society of mUurdl History in Boston: Proceedings. Vol. XX7I, part 2. 8. 1894. 4«. Memoira. Vol. III, No. 14. 1894. 4«. Occasional Papen IV. 1894. 8^.
Stadimagistrat zu Braunsehweig: ürknndenbach der Stadt Braunsehweig. Band II, Abth. 1. 1895. A^.
Natunoissensehaftlicher Verein in Bremen: Abhandlungen. Band XIII, Heft 2. 1895. 8®. Beiträge z. nordwestdentschen Volks- n. Landeskunde. Heft 1. 1895. 8^. Historisch -statistische Sektion der k, k. mährischen Landwirthedtafts-
Gesellschaft in Brunn: Schriften. Band 29. 1895. 8^. Notizenblatt. Jahrg. 1894. 40..
Naturforschender Verein in Brunn: Verhandlungen. 82. Band 1893. 1894. ^. XII. Bericht der meteorol. Commission. 1894. 8^.
Acadimie Boy die de mSdecine in Brüssel: Bulletin. IV. Sörie. Tome 7, No. 11. Tome 9, No. 1-4. 1894/95. 8*.
Acadimie Boy die des scienees in Brüssel: Annuaire 1895. 61« ann^e. 8^. Bulletin. 3« Sör. Tome 28, No. 12. Tome 29, No. 1-5. 1894/95. 8».
Societe des Bollandistes in Brüssel: Analecta BoUandiana. Tom. XIV, ßwc. 1. 2. 1895. 8^.
Societe beige de gedogie in Brüssel: Bulletin. Tome II, 4—7. 1888/93. 8P.
American philosophicdl Association in Bryn Manor (Pensyhanien). Transactions. Vol. 25. 1894. Boston 1894. 8*.
K. ungarische Akademie der Wissenschaften in Budapest: Mathematische u. naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Bd. XII.
1. Hälfte. Berlin 1895. 8^. Ungarische Revue. 14. Jahrg. Heft 9. 10. 1895. Heft 1-4. Buda- pest 1894. gr. 8^.
K. ungarische geologische Anstalt in Budapest: Jahresbericht fOr 1892. 1894. 8<>. Földtani közlöny. Band XXIV, Heft 11. 12. 1894. 8«. Geologische Specialkarte von Ungarn. Blatt Zone 14. Gol. XXX mit erklärendem Text, 1894. S^.
Society of natural scienees in Buffalo: Bulletin. Vol. 5, No. 4. 1894. eP.
Aeademia Bomana in Bukarest: Documente privitöre la istoria Rom&ailor. Suppl. I. Vol. 6. SuppL O.
Vol. 2. 1895. 40.
Analele. Ser. II. Tome 14. 1891—92. Sect. liter. u. Sect. Scientif.
, 15. 1892—98. Sect. liter. u.parteaadmini8tr.
, 16. 1893-94. Parteaadminietr. 1893/94.4«.
Festreden 1894/95. 4».
Basmele Romftne. Stndiu comparatiya de Lasar, Saindnu. 1895. 8®.
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Instituto y Observaiorio de marma de San Fernando in Cadix: Anales. Seccion 2. Ano 1893. 189i. fol.
SociiU Linneenne de Normandie in Caen: Bulletin. 4« S^r. Vol. 8, fasc. 3. 4. 1895. 8^.
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Äeiatie Society of Bengai in Caicutta: Bibliotheca Indioa. New Ser. No. 847—849. 1894. 8<». Journal. No. 838. 340-348. 1894/95. 8». Proceedinga. 1894. No. X. 1895. No. I— lU. 1894/95. 8®.
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Äccademia Gioenia di scienze naturali in Catania: Atti. Serie IV, Vol. 7 und Bullettino, fasc. 86—38. 1894. 4^ PhysikcUisch'technische Eeichsanstdlt in Charlottenburg:
Herstellung und Untersuchung der Quecksilber- Normalthermometer von J. Pemet, W. Jäger u. E. Gumlich. Berlin 1895. 4<>.
Field Columbian Museum in Chicago: Publications. Vol. I, No. 1. 1894. ' 8«.
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312 Verzeitkmas der eingelaufenen Drwekedmflen,
Chemiker-ZeUung in CMhen: Ghemiker-Zeitniif? 1894. No. 102-104. 1895. No. 1-47. fol.
Naturkistorische GeseUschaft in Cdmar: Mittheilangen. N. F. Band 2. Jahrgaog 1891—94. 1894. 80. Aeademia nacional de eiencias in Cördoba (Bep. Ärgentina): Boletin. Tom. XII, 2. XIV, 1. Buenos Aires. 1891—94. B9.
Universität in Ceemowüe: Yeneichniss der Vorlesungen. Sommer-Sem. 1896. 8^.
Historischer Verein in Darmstadt: Qnartalbl&tter 1894 in 4 Heften. «^.
Verein für Hessisdie OeschidUe in Darmstadt: Archiv far Hessische Geschichte. N. F. Band II, Heft 1. 1895. 8^.
Colarado Scientific Society in Denver, Colorado: Proceedings. Vol. IV, 1891—93. 1894. 8».
Verein für Änhaitische Gestrickte in Dessau: Mittheilnngen. Band VII, Theil 2. 1895. 8^.
Union giographique du Nord de la France in Douai: Balletin. Tome XV, 8« trimestre. Tom. XVI, 4« trimestre. 1894. 8®.
Sociite astronomique Busse in Dorpat: Eph^meridis des ^toiles ponr 1895. 8^.
Boyal Irish Academy in Dublin: Proceedings. Ser. III. Vol. 8, No. 8. 1894. 8». Canningham Memoirs. No. 10. 1894. 4**.
Geological Society in Edinburgh: Transactions. Vol. VI, pari 4. 1892. 8^.
Boycd Society in Edinburgh: Proceedings. Vol. XX. page 306-384. 1896. S«.
Gymnasium zu Eisenach: Jahresbericht ffir 1894/95 nebst Abhandlung von 6. KOhn : Etegesten zur Geschichte des Gymnasiums. 1895. 4^.
K. Akademie gemeinnütziger Wissenschaften in Erfurt: Jahrbficher. N. F. Heft 21. 1895. 8^.
Beate Accademia dei Georgoßi in Florenz: Atti. Ser. IV. Vol. 17, disp. 3. 4. Vol. 18, disp. 1. 1894/95. 8».
B, Deputazione dt storia patria in Florenz: Docnmenti di storia italiana. Documenti dell* antica costitnsione deir comane di Firenze, pobbl. da P. Santini. 1895. 4^.
Senckenbergische naturforschende Gesellschaft in Frankfurt a/M,: Abhandlangen. Band XVIII, Heft 4. 1895. 4P.
Verzeiehni88 der eingelaufenen Druchsehriften, 313
Naturtoissenschaftlicher Verein in Frankfurt a/0.: Helios. 12. Jahrg. No. 7-12. 1894/95. 8®.
Societatam Literae, 8. Jahrg. 1894. No. 10—12. 9. Jahrg. 1896. No. 1-3. 80.
Universität Freihurg in der Schweiz: Collectanea Friburgensia. Fase. III. 1895. 4^. Festreden 1894/95. 1895. 8»
Behörden, Lehrer nnd Stndirende. S.-S. 1895. W.-S. 1895/96. 1895. 8^. Antoritäs professeurs et ^tudiants. Sem. d*hiver 1894/95. 1894. 8^. Index lectionnm. S.-S. 1895. 8^.
Oberheasischer Geschichtwerein in Oieaaen: Mittheilungen. N. F. Band Y. 1894. 8«.
K. Gesellschaft der Wissenschaften in C^tingen: Göttingische gelehrte Anzeigen. 1895. No. 1—6. 4^. Nachrichten. PhiloL-hist Classe. 1894. No. 4. 1895. Nr. 1. 2. 8«. . Mathem.-nhys. dasse. 1894. No. 4. 1895. No. 1. 8^.
Nachrichten u. geschafbliche Mittheilungen. 1895. Heft 1. Julius Plückers gesammelte wissenschafbliche Abhandlungen. Band I. Leipzig 1895. 8^.
Oherlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz: Neues Lausitzisches Magazin. Band 70, Heft 2. 1894. 8^.
The Journal of Comparative Neurology in Granvüle (ü. St, A,): The Journal. Vol. IV, p. 198-206 u. CLIII— CCXII. Vol. V, p. 1-70
u. I— XXVI. 1894/95. 8«. Ifaturwissenschaftlicher Verein für Neu- Vorpommern in Greifswald: Mittheilungen. 26. Jahrg. 1894. Berlin 1895. 8^.
Fürsten- und Landesschule zu Grimma: Jahresbericht 1894/95 mit Abhandlung von P. Meyer : Samuel Pnfen- dorf. 1895. 4°.
K, Instituut voor de Taal, Land- en Volkenkunde im Haag: ßijdragen. V. Reeks. Deel IX. VL Reeks. Deel I, No. 12. 1894/95. 8®. Naamlijst der leden op 1. Januar 1895. 1895. 8®.
Teyler Genootschap in Haarlem: Archives du Mus^e Teyler. Ser. II. Vol. 4, partie lU. 1894. 4P.
Society Hollandaise des Sciences in Haarlem: Archives Näerlandaisea des sciences exactes. Tome 28, livr. 5. Tome 29, livr. 1. 1895. 8«.
Kaiserh Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Natura
forscher in Rolle:
Leopoldina. Hell 30, No. 21— 24. Heft 31, No. 1— 10. 1894/95. 4».
Deutsche morgenländische Gesellschaft in Halle: Zeitschrift. Band 48, Heft 4. Band 49, Heft 1. Leipzig 1894/95. 8«.
Jahrbuch der Elektrochemie in Halle: .Jahrbuch. 1. Jahrg. Halle 1895. 8«.
314 Verzeichniss der eingelaufenen Drueksdinften.
ünivenUät in Haue: Das zweihundertjährige Jabil&nm der üniyerait&t Halle- Wittenberg.
Festbericht von D. B. Beyschlag. 1895. 4^. Verzeichniss der Vorlesungen. Somm.-Sem. 1896. 4P. Naturwissenschaßlicher Verein für Sadtsen und Thüringen in Halle: Zeitschrift für Naturwissenschaften, tiand 67, Hefb 6 n. 6. Leipzig 1894/95. 8». Thüringiseh'Säehsisdier Verein für Erforschung vaUrh AlterÜiuime
in Haue: Nene Mittheilungen. Band XIX, 1. 1895. S^.
Verein für Hamburger Geschichte in Hamburg: Mittheilungen. 16. Jahrg. 1893/94. 1894. ^.
Verein für naiurwissensdkafÜiehe Unterhaltung in Hamburg: Verhandlungen. Band VIII. 1891-98. 1894. 8».
NaturwissenschafÜicher Verein in Hamburg: Abhandlungen. Band XIII. 1895. 4^
Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover: Zeitschrift. Jahrgang 1894. 8^.
Atlas Torgeschichtlicher Befestigungen in Niedersachsen. Heft 3. u. 4 1890—94. fol.
Universität Heidelberg: Erwin Rohde, Die Religion der Griechen. Rede. 1896. 4^.
Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg: Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrg. V, Heft 1. 1896. 8*.
Naiurhistorischrmedicinischer Verein Mu Heidelberg: Verhandlungen. N. F. Band V, Heft 3. 1894. 8°.
Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt: Archiv. N. F. Band XXV, Heft 2. 1896. 80.
Michigan Mining School in Houghton: Gatalogue of the Michigan Mining School 1892—94. 8^.
Ferdinandeum in Inndtruek: Wappenbuch der Städte und Märkte Tirols. 1894. 8.
Medicinisch-naturwissenschaftliche Oeseüschaft in Jena: Denkschriften. Band IV, Lieferung 1. Text and Aüas. Band V, Lieferung 1. Text und Atlas. Band VII 1, Lieferung 1. Text und Atlas. 1893/94. fol. Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Band 29, Heft 2. 1894. 8^.
Universität Kasan: Utschenia Sapiski. Band 62, 1—6. 1895. 8^^. Medicinische Doctor-Dissertation Ton P. Dmitriewsky. 1894. 8^. 2 Medicinische Dissertationen von Gratshor und Sergaiev. 1896. 8*.
Kaiserliche Universität in Kharkow: Sapiski. 1894. No. 4. 1895. No. 1. 2. 8^.
M. Tikhomandritzky, Theorie des integrales et des fonctions elliptiqaes. 1895. 80.
Vereeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 315
Ministerial-Commiesion zur Untersud^ung der deutsehen Meere
in Kiel:
Ergebnisse der Beobachtnngs-Stationen. 1898. Heft 1—12. 1894/96.
quer 4®. Wissenschaftliche Meeres- Untersuchungen. N. F. Band I, Heft 1. 1894. 4«.
Kais, Universität in Kiew:
Iswesiija. 1894. Band 34, No. 11. 12. Band 35, No. 1. 2. 1894/95. 8^ Spisok etc. (Verzeichniss des Personals). 1894. 8^.
Naturhistorisches Landesmuseum in Klagenfurt: Jahrbuch. Heft 23. 1895. 8^ Diagramme. 1894. fol.
Aerztlidi-natunoissenschaftlicher Verein in Klausenburg: ErtesitA. 3 Hefte. 1894. 8^.
Archäologische kroatische Gesellschaft in Knin: Glasilo. Band I, No. 1. 2. 1895. 8^.
K Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen: Descriptio iconibus illnstrata plantarum novarum Tel minuä cogni-
tarum, autore Joh. Lange. Fase. I— III. 1864—66. fol. Oversigt. 1894. No. 3. 1895, No. 1. 1894/95. 8«. M^moires. 6« S^r. Section des sciences. Tom. VIII, No. 10. 1894. 4^
Gesellschaft für nordische Alterthumskunde in Kopenhagen: Aarböger. II. Kaekke. Band 9, Heft 3. 4. Band 10, Heft 1 und
Tillaeg zu Band 9. 1894/95. Bf^. Mämoires. Nouv. Sär. 1893. 1894. 8^.
Genealogisk Institut in Kopenhagen: Danmarks Kirkeböger. 1895. dP.
Akademie der Wissenschaften in Krakau: Anzeiger. 1895. Januar— Mai. 8®. Rozprawy filolog. Tom. 20. 21. 23. Rozprawy filozof. Tom. 30.
1894. 8». Rocznik 1893/94. 8^
Monumenta medii aevi historica. Tom. 14. 1894. 4^. Sprawozdania komisyi jezykowej. Tom. 5. 1894. 8®. Acta rectoralia, Tom. 1, fasc 3. 1894. S^, Archiwum komisyi histor. Tom. 7. 1894. 8**. Biblioteka pisarzöw polsk. Tom. 29. 1894. 80. Scriptores rerum Polonicarum. Tom. 15. 1894. 8^ Nie. Hnsso Viani carmina. 1894. 8^.
Atlas geologiczny Galicyi. Heft III. (Text und Atlas.) 1894. fol. Text in 8«.
Sodete Vaudoise des sciences naturelles in Lausanne: Bulletin. 3« S^rie. Vol. 30, No. 115. H6. 1894. 8».
MaatsdMppij der Nederlandsche Letterkunde in Leiden: Tijdschrift. Deel XIV, 1. 2. 1895. 8^
1895. MailL-phyB. Gl. 2. 21
316 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Sternwarte in Leiden: Veralaflr 1893/94. 1894. 8^.
Archio der Mathematik und Physik in Leipzig: Arcbi?. II. Reihe, Theil 13, Heft 3. 4. 1894/93. 8». Astronomische Gesellschaft in Leipzig: Vierteljahrsschrifb. Jahrgang 29, Heft 3. 4. Jahrgang 80, Heft 1. 2. 1894/96. ^. K, sächsische Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig: Berichte der math-phys. Ciasee. 1894, IL III. 1895, 1. 8". Abhandlungen der math.-phys. Classe. Band XXI, No. 3— 6. Band XXII,
No. 1. 1896. 40. Berichte der philol.-hidt. Classe. 1894. Heft 2. 8^. Abhandlungen der philol.-hist. Classe. Band X?, 2. 4^
Journal für praktische Chemie in Leipzig: Journal. N. F. Band 51, Heft 1-11. 1896. 8^. üniversUi cathölique in Loewen: Annuaire 1895. 8^
Th^ses. No. 654—670. Facnltä de thöologie. 1894. 8^. Programme des coure de ]*annäe acad^mique 1894/95. 1894. 8^. J. Muthuon, Arkoses de Lembecq-Clabecq. 1894. 8®. V. de Bück, Mgr. de Ram. Paris 1866. 8^. M. Arendt, Commentaires de Charles V. Bmxelles 1859. 8®. W. A. Arendt, Leo der Grosse. Mainz 1835. eP. J. J. Thonissen, Vie du comte Ferdinand de Meeas. 1863. 8^. J. J. Thonissen, Vie du comte F^liz de Marode. 1861. 8^. Jansenius, ^v^ne d^Ypres. 1893. 8^. J. B. Laforöt, Orphöe. 1850. 8«.
Her Majesty*s Chvernment in London: The Voyage of H. M. S. Challenger. A Snmmarj of the scientific Results. Part I a. IL 1896. 4».
E, Institution of Great Britain in London: Proceedings. Vol. 14, 2. 1895. 8».
The English Historical Review in London: Historical Review. Vol. X, No. 37 u. 38. 1896. 8<>.
Royal Society in London: Proceedings. Vol. 67, No. 340-346. 1895. &>. Philosophical Transactions. Vol. 185, part 1. A. B. 1896. 4*. List of Membres. 1894. 4''.
R, Astronomical Society in London: Monthly Notices. Vol. 56, No. 2-7. 1894/96. &>.
Chemical Society in London: Proceedings. Session 1894-96. No. 143--158. 8®. Journal. Supplementary Number 1894 und Nr. 386—391. Januarj—
June 1896. S^. Charter and By Laws. 1895. 8^. A List of the Officers and Fellows. 1895. 8^.
Verzeichni8s der eingelaufenen Druckeehriften. 317
Gedogieal Society in London: The quarterly Joaraal. No. 197—200. 1894. 8«. List. November 1. 1894. &>,
Boyal Microscopical Society in London: Journal. 1894. Part 6. 8fi.
Zoological Society in Lo don: Proceedings. 1894, Part IV. 1895, Part I. 1895. 8®. TransactioDs. Vol. VIII, 10. 1895. 4®.
Zeitsekriß „Nature^ in London: Natura. Vol. 51, No. 1309—1888. 1894/95. 4«.
Aecademia di scienee in Lucca: Atti. Tomo 27. 1895. 8^^.
Universität in Lund: .^cta. Tom. XXX, 1. 2. 1893/94. 40.
Institut Grand Ducal (Section des sciences naturellesj in Luxemburg: Publications. Tome 2. 3. 1894. BP.
Verein für Luxemburger Geschichte in Luxemburg: ,0ns H^mecht*. Vereina-Organ. Jahrg. I, No. 3. 1896. 8^.
Washburn Observatory in Madison: Publications. Vol. VlI. part 2. 1894. 4P.
Crovemment Astronomer in Madrtts: Madras Meridian Circle Obaervations. Vol. VIII. 1894. 4^.
Government Museum in Madras: Bulletin. No. 3. 1895. BP.
R. Academia de ciencias in Madrid: Anuario. 1895. 8^
R. Academia de la historia in Madrid:
Boletin. Tomo 26, cuad. 1—6 nnd Indice genend zu Tom. 1—25. 1895. 80.
R. Osservatorio astronomico di Brera in Mailand: Osservazioni meteorologiche deir anno 1894. 1894. 4^. Publicazioni. Nr. 38. 1893. fol.
Societä Italiana di scieme naturali in Mailand: Meraorie. Tomo V. 1895. 4P,
Societä Storica Lombarda in Maüand: Archivio Storico Lombardo. Ser. III. Anno XXI, fasc. 4. Anno XXII, fasc. 1. 1894/95. 80.
Literary and phihsophicdl Society in Manchester: Memoirs and Proceedings. IV. Ser. Vol. 8, No. 4. Vol. 9, No. 1. 2. 1894/95, 8*.
318 Verseichniss der eingelaufenen Druckschriften,
Fürsten- und Landesschtde 8t Afra in Meissen: Jahresbericht fär das Jahr 1894/95. 4^
Verein für Geschichte der Stadt Meissen in Meissen: Mittheilungen. Band III, 4. 1894. 8«.
Zeitschrift Bivista di Storia Antica in Messina: Riyista. Anno I, fasc. 1. 1895. 8^.
Acadhnie in Metz: M^moires. Ann^e 1892/93. 1895. ^,
Gesellschaft für lothringische Geschichte in Metz: Jahrbnch. VI. Jahrgang 1894. 40.
Observatario meteorologico central in Mexico: Boletin mensnel. 1895. 1—4. 4^.
Sociedad cientifica „Antonio Alzate" in Mexico: Memorias. Tomo 8, No. 1—4. 1894. 80.
Sociedad de historia natural in Mexico: La Natnraleza. II. Serie. Tomo 2, No. 5—7. 1898/94. fol. Natural History Society of Wisconsin in Müwaukee: Occasional Papers. Vol. II, No. 2. 3. 1894/95. S». Societä dei naturalisti in Modena: Atti. Anno 28. Ser. III. Vol. 3, fasc. 1. 1894. 8®.
Bureau d'echanges intemationaux de publications de la BepubliqM
de V Uruguay in Montevideo: Loi du rayonnement solaire. 1894. 4^. Annuario estadfstico de la Repüblica oriental del Uruguay. Ano 1893.
1895. 40. Estadistica escolar ano de 1893. 1894. 4^. Basgos biogrdficos del Senor Don Juan Idiarte Borda, Presidenie
de la Repüblica 0. de Uruguay. 1894. 4®.
SodHi Imperiale des Naturaiistes in Moskau: Bulletin. Ann^e 1894, No. 3. 4. 1894/95. S®. lAck Observatory of the University of California in Mount Hamüton: Publications. Vol. III. 1894. Sacramento. 4®.
Deutsche Gesellschaft für Anthropologie in Berlin und München: Correspondenzblatt. 1894, No. 9—12. 1895. No. 1—6. 1895. 4®.
K, Techniscihe Hochschule in München: Personalstand. Sommer-Sem. 1895. 8®.
Metropolitan-Kapitel München-Freising in München:
Schematismus der Geistlichkeit für das Jahr 1895. S^.
Amtsblatt der Rrzdiöcese München und Freising. 1895, No. 1—15. S^,
Vergeidini88 der eingelaufenen Druckschriften. 319
K. Staatsministerium des Innern für Kirehen- und Schtdangelegetiheiten
in Idünchen: Das Eisenbahn-Nivellement der K. B. Staatseisenbahnen. 1894. 4^. Geo^ostische Jahreshefte. VII. Jahrg. 1894. Cassel 1895. 4^.
Historischer Verein von Oberbayem in München:
Monatsschrift. 4. Jahrg. 1895, No. 1—6. Januar— Juni. 8®.
Akcidemischer Verlag München:
HochschulNachrichten. No. 50—52. 1894/96. 40.
Verein für Geschichte und Älterthumskunde Westfalens in Münster:
Zeitschrift. Band 52 and Ergänzungshefb I, Lief. 2. 1894. 8^.
Äccadeftiia delle scieme fisiche e matematice in Neapel:
Rendiconto. Serie II. Vol. YIII, fasc. 11. 12. Serie III. Vol. I, fasc. 1—4. 1894/95. gr, 8^.
Zoologische Station in Neapel: Mittheilungen. Bd. XI, Heft 4. 1895. 8«.
Historischer Verein in Neüburg ajD.: Neuburger KoUektaneen-Blatt. 57. Jahrgang 1893. 8<^. Ifistiiute of Mining and Mechanical Engineers in Netccastle-upon-Tyne: Transactions. Vol. 44, part 2. 3. 1895. 8».
2he American Journal of Science in New-Haven: The American Journal. No. 289—294. January— June 1895. 8®.
Academy of Sciences in New- York: Transactions. Vol. XIII. 1894. 8^. Annais. Vol. VII (Index). Vol. VIII, No. 5. 1896. 8».
American Museum of Natural History in New- York: Bulletin. Vol. VI. 1894. 8«.
American Chemical Society in New- York: The Journal. Vol. 17, No. 1-7. Easton 1895. 8^.
American Geographical Society in NeuhYork: Bulletin. Vol. 26, No. 4, part I. II. Vol. XXVII, No. 1. 1894/95. S®.
Germanisches Nationalmuseum in Nüniberg: Anzeiger. Jahrg. 1894. 8°. Mittheilungen. Jahrg. 1894. 8^ Katalog der Holzstöcke des XV— XVIII. Jahrh. Theil II. 1894. 8».
Nettrussische fiaturforschende Gesellschaft in Odessa: Sapiski. Tom. XIX, 1. 2. 1894/95. S«.
Historischer Verein in Osnabrück: Osnabrücker Geschichtsquellen. Band III. 1895. 8^.
Verein für Geschichte und Landeskunde in Osnabrück: Mittheilungen. Band 19, 1894 u. Register zu Band 1—16. 8^.
320 Verzcidhniea der Hngdattfenen Druektehnften.
Societä'VeneUhTrentina di scieme naturali in Fadoca:
Bullettino. Tom, VI, No. 1. 1895. 8*.
Circolo nuUemcUico in Palermo:
Bendiconii. Tom. IX, fasc. 1. 2. 1895. 8^.
Acadimie de medecine in Paris:
Bulletin. 1894, No. 52. 1895, No. 1—25. 8^.
ÄeadSmie des scienees in Paris:
Comptes rendus. Tome 119, No. 26. 27. Tome 120, No. 1-25. 1894/95. 4P,
Moniteur scientifique in Paris:
Moniteur. Livr. 637—642. Janvier— Juin 1895. 4®.
Mtiseum cPhistoire naturelle in Paris:
Bulletin. Ann^e 1895, No. 2. 8. 8®.
Sociiti geographique in Paris:
Bulletin. 7« S^r., Tome 15, Tome 16. 1894, 3« et 4« trim. 1895,
iw trim. 8». Comptes rendus. 1894, No. 18. 19. 1895, No. 1-8. 8».
Sociiti mathimatique de IS'ance in Paris: Bulletin. Tome 22, No. 9. 10. Tome 23, No. 1-3. 1894/95. 8^.
Sociiti zoologique de France in Paris: Bulletin. Tome 19. 1894. 8^. Mämoires. Tome VII, part 1—4. 1894. 8®.
Zeitschrift „L'jßlectricien*' in Paris: L'filectricien. Tom. VIII, No. 209. 1894. 4«.
Acadimie Impiriale des scienees in St. Petersburg: Bulletin. 5« Sdrie. Vol. I, No. 4. Vol. II, No. 1-4. 1894/95. 4«. Alex. Veselovsky, Boccaccio. Tom. II. 1894. 8^. Mämoires. Tom. 42, No. 12. 1894. 4». BvCavztvä xQovixd. Tom. I, Nr. 2—4. 1894. 4**.
Botanischer Garten in St, Petersburg: Acta horti Petropolitani. Tom. XIII, 2. 1894. 8\
Kais, russ. mineralogische Gesellschaft in St, Petersburg: Verhandlungen. 11. Serie. Band XXXI. 1894. 8*. Physikälr chemische Gesellschaft an der Jcais, Universität St, Petertiburg: Schurnal. Tom. XXVI, No. 8. 9. Tom. XXVII, No. 1-3. 1894/95. 8^,
Physikalisches Central-Observatorium in St. Petersburg: Annalen. Jahrg. 1893, Theil I. II. 1894. 4^^. Repertorium für Meteorologie. Supplem.-Band VI u. Band XVU. 189i. 4«.
Verzeiehniss der eingelaufenen Drueksehriften, 321
Kaiserliche Universität in St, Petersburg:
Gotitscbnyact (Jahresact), 8. Febraar 1895. 8®.
P. M. Melioranski, Enrze Grammatik der Kosak-Kirgisischen Sprache.
Theil L (In rnss. Sprache.) 1894. S«. Jos. Kurouo, Russisch - japanische Gespräche. (In rnss. Sprache.)
1894. 49. Bestimmungen fQr die Benützung der K. üniversit&ts- Bibliothek.
(In rnss. Sprache.) 1894. 69,
Äcndemy of fiatural Sciences in Phüadeljihia:
Proceedings. 1894, part IL III. 8».
Journal. Second Series. Vol. X, part 2. 1894. fol.
American pkarmaceutieal Ässociittion in Philadelphia:
Proceedings. XLII. annual Meeting at Asheville. Sept. 1894. Balti- more 1894. 8®.
Geographica! Club in Philadelphia:
Bulletin. Vol. I, No. 3-6. 1894/95. 69.
Histaricdl Society of Pennsylvania in Philadelphia:
The Pennsylvania Magazine of History. Vol. 18, No. 2-4. 1894/95. 8^.
American phüosophical Society in Philadelphia:
Proceedings. Vol. 32, No. 143. Vol. 33, No. 146. 1893/94. 8«.
Societä Toscana di scienze naturali in Pisa:
Atti. Processi verbali. Vol. IX, pag. 133—241. 1894/96. 49.
K. Gymnasium in Plauen:
Jahresbericht fQr 1894/96 mit Abhandlung: Lucianstudien von Job. Rentsch. 1895. 4».
Historische Gesellschaft in Posen:
Zeitschrift. 7. Jahrg., Heft 1. 2. 1894. 8».
Central'Bureau des meteorologischen Instituts in Potsdam:
Verhandlungen der 1894 in Innsbruck abgehaltenen Conferenz der Permanenten Commission der Internationalen Erdmessung. Berlin 1896. 40.
K, geodätisches Institut in Potsdam:
Astronomisch-geodätische Arbeiten I. Ordnung. Telegraphische Längen- bestimmungen in den Jahren 1890—93. 1895. 49,
Ästrophysikalisches Observatorium in Potsdam:
Publikationen. Band VII, 2 und X. 1896. 4^.
Kaiser Franz- Josef Akculemie in Prag:
Rozpravy. THda I. Ro6nik 3, e^i'slo 3. 4. Th'da III. Rocnik 3,
«slo 3. 1894. gr. 4«. Vgstnik. Ro6nik 3, ö{8lo 7-9. 1894. gr. 8". Almanach. Ro^nfk 5. 1896. 8®.
322 Vereeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur in Böhmen in Prag:
Rechenschaftsbericht vom 16. Dezember 1894 und Mittheilung* No. 111 u. IV. 1895. 8^
Eugen Holzner, Studien zu Euripides. Wien 1895. 8®.
Bibliothek deutscher Schriftsteller aus Böhmen. Band IL Nik. Her- mann. Wien 1895. B^.
K. Böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag. Jahresbericht für das Jahr 1894. 1895. 8^ Sitzunf^sberichte 1894. a) Classe fQr Philosophie.
b) Mathem.-naturw. Classe. 1895. B9.
Lese- und BedehaUe der deutschen Studenten in Prag: Bericht über das Jahr 1894. 1895. 8^.
K. Böhmisches Museum in Prag: Öasopis. Jahrg. 1894. 4 Hefte. 1894. 80.
K. K. Sternwarte in Prag: Magnetische und meteorologische Beobachtungen im Jahre 1894. 55. Jahrg. 1895. 4«.
Deutsche Carl-Ferdinands -Universität in Prag:
Die feierliche Installation des Rectors fiir das Jahr 1894/95. 1894. 8^. Ordnung der Vorlesungen. Sommer-Sem. 1895. 8®.
Verein ftir Geschichte der Deutschen in Böhmen in Prag: Mittheilungen. 33. Jahrg., No. 1—4. 1894. 8«. Naturforscher -Verein in Biga: Correspondenzblatt. Nr. 37. 1894. 8^. Festschrift aus Anlass seines 50 jährigen Bestehens. 1895. 8^.
Observatorio in Bio de Janeiro: Annuario 1894. 1893. 8».
„Limburg^ ProvinciacU Genootschap voor geschiedkundige Weten- schappen in Boermond: Limburg's Jaarboeck I. 1894. 8«.
B. Äccademia dei Lincei in Born:
Annuario 1895. SP.
Atti. Serie V. Classe di scienze morali. Vol. II, parte 2. Notizie
degli scavi, Sett.— Die. e Indice 1894. Vol. III, p. 2. Gennaio —
Marzo 1895. 4». Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V. Vol. HI, fasc. 10—12.
Vol. IV, fasc. 1-3. 1894/95. 8«. Atti. Ser. V. Classe di scienze fisiche. Rendiconti. Vol. III. Semestre 2,
fasc. 9-12. Vol. IV. Semestre 1, fasc. l-U. 1894/95. 4».
Äccademia Pontifida d£ Nuovi Lincei in Born: Atti. Anno 45, sess. 7. Anno 47, sess. 4. 1894. 4^^.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 323
B. Comitato geologico d'Italia in Born: Bollettino. Anno 1894, No. 4. 1895, No. 1. S».
Kais, deutsches archäologisches Institut (röm. Abth.) in Born: Mittheilungen. Band IX, No. 4. gr. 8".
Minist ero di agricultura, ifidustria e commercio in Born: Statiatica delle Biblioteche. 2 voll. 1893/94. 4«.
Office centrale meteorologico in Born: Annali. Vol. XII, parte 2. 1890. 1896. 4P.
Societä Bomana di storia patria in Born: Archivio. Vol. XVII, faec. 3. 4. 1894. 8».
Äccademia degli Agiati in Bocereto: Atti. Anno XII. 1894. Serie III. Vol. I. fasc. 1. 1895. 8°.
American Association for the avancement of sciences in Salem: Proceedings, held at Madison, Wisconsin. August 1893. 1894. 8^.
Naturwissenschaftliche Gesellschaft in St. Gallen: Bericht 1892/93. 1894. 8^ Joachim Vatian von Emil Arbenz. 1895. 49,
California Academy of Sciences in San Francisco: Proceedings. II« Series. Vol. IV, part 1. 1894. 8^
Ohservatorio astronömico meteorologico in San Salvator: Annaario 1895. fol.
K, K, archäologisches Museum in Spalato: BuUettino. Anno 18, No. 1—5. 1895. 8^.
Museum in Stavangen: Aarsberetning for 1893. 1894. 8^.
Gesellschaft für Pommer'sche Geschichte in Stettin:
Die Bau- und Knnstdenkm&ler des Eeg.-Bezirks E5slin. Band II,
Heft 1. 1894. gr. 8». Baltische Studien. Jahrg. 24. 1894. 8^.
K, Vitterliets, Historie och Antiquitets- Akademie in Stockholm: Handlingar. Del 31. 32. 1693. 8». Antiquarisk Tidskrift. XIII, 1. XIV, 8. XV, 2. 1894/95. 8«.
Schwedens öffentliche Bibliotheken in Stockholm: Accessions-Eatalog. IX, 1894. 1895. 8^.
Gesellschaft eur Förderung der Wissenschaften in Strassburg- Monatsbericht. Band 28, fasc. 8—10, 1894. Band 29, Heft 1—5, 1895. 8^.
Societi des sciences in Strassburg: Bulletin mensuel. Tome 28, No. 7. 1894. &>,
K. statistisches Landesamt in Stuttgart: Württembergidcbe Jahrbücher für Statistik u. Landeskunde. Jahrg. 1894, Heft 1-3. 1896. 4».
324 Verzeichniss der eingelaufenen Driiclcschriften.
K. öffentliche Bibliothek in Stuttgart: Wirtembergiaches Urkundenbuch. Band VI. 1894. 4P, Hermann Fischer, Geographie der schwäbischen Mundart, Text und Atlas. Tübingen 1895. fol.
Württembergische Kommission für Landesgeschichte in Stuttgart:
Württembergische Yierteljahreshefte für Landesgeschichte. N. F. Jahrg. III, 1894, Heft 1-4. 1894/95. 89.
Department of Mines and Agriculture in Sydney:
Palaeontology. No. 8, part III. 1895. 4^.
Records of the Geological Survey of New -South -Wales, Vol. IV, part 3. 1895. 4».
Observatorio astronömico nacionäl in Tacubaya:
Boletin. Tom. I, No. 20. 21. Mexico 1895. .4^
Physikalisches Observatorium in Tiflis:
Beobachtungen. Jahrgang 1892. 1894. fol.
Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokio:
Mittheilungen. 55. Hefb. 1895. fol.
Imperial üniversity in Tokio: Calendar 1893/94. SP. The Journal of the College of Science. Vol. VII, 2—4. 1894/96. 4«.
Medicinische Fa4iultät der Universität Tokio: Mittheilungen. Band II, No. 2. Bd. III, No. 1. 1894. 4^.
Museo civico di storia naturale in Triest: Atti. Vol. IX. 1895. 80.
B. Äccademia delle scienze in T%mn: Atti. Vol. XXX, disp. 1—11. 1894/95. 8^ Osserrazioni meteorologiche deir anno 1894. 1895. 8®.
Humanistika Vetenkaposamfund in Upscda: Skrifter. Band II. 1892—94. 8«.
Universität Upsala: Bulletin mensuel de Tobservatoire m^t^orolog^ique. Vol. 26, Aan^ 1894. 1894/95. fol.
Historisch Genootschap in Utrecht: B^dragen en Mededeelingen. XV. Peel. s'Gravenhage 1894. 8^. Werken. Ser. HI, Deel 5. s'Gravenhage 1894. 8®.
Provincial Utrecht seh Oenootschap in Utrecht: Aanteekeningen 1894. 8^. Verslag. 1894. 8«.
Äteneo Veneto in Venedig: L'Ateneo Veneto. Ser. XVI, Vol. 1. 2. XVII, Vol. 1. 2. 1892/98. 8».
Verzeidmiss der eingelaufenen Druckschriften, 325
Istituto Veneto di scienze, lettere e arti in Venedig: Atti. Tom. 50, diap. 4—10, n. 2 Appendices. Tom. 61, Nr. 1—10.
Tom. 62, No. 1—8. 1891—94. 09. Temi di premio dal 19, Maggio 1895. 8^.
Bureau of Education in Washington:
Annaal Report of the Commissioner of Edacation for 1891/92. 2 Voll. 1894. 8«.
Bureau of American Ethnology in Washington:
XI. Annnal Report for 1889/90. XII. Annaal Report for 1890/91.
1894. 40. ContribntionR to North American Ethnology. Vol. IX. 1893. 49, An ancient Qaarry in Indian Territory, by \y. H. Holmes. 1894. 8^. List of the Poblicatioos of the Bureau of Ethnology. 1894. 8®.
N, S, Departement of Agriculture in Washington:
North American Faana. No. 8. 1895. 8^.
Smithsonian Institution in Wellington:
Smithsonian Report. U. S. Natiooal-Museam 1891. 1892. 1892/98. 8^^. Annual Report. July 1893. 1894. 80.
Smithsonian Miscellaneous CoUections. No. 854. 969. 970. 1894. 8^. Diary of a Joumey through Mon^oiia and Tibet in 1891 and 1892 by William Woodyille Rockhill. 1894. 8".
U, S. Naväl Obseroatory in Wcuihington: Observations made doring the year 1889. 1893. 4®. The Elements of the four inner planets and the fundamental constants of Astronomy by Simon Newcomb. 1696. 8^.
ü. S. Coast and Geodetic Survey in Washington: Annual Report for 1892. Part IL 1894. 8^. Bulletin. No. 31-88. 1894/96. 8».
United States Oeological Survey in Washington:
Xn. annual Report in 2 parts. XIIl. in 3 parts. 1891/92. 4^. Monographs. No. XIX. XXI. XXII. 1893. 4P. Mineral Resources. 1892. 1893. 1894. 89. Bulletin. No. 97—117. 1898/94. 8».
Harzverein für Geschichte in Wernigerode: Zeitschrift. Jahrg. 28, Heft 1. 1896. 8».
Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien: Sitzungsberichte. Philos.-hist. Glaase. Band 180. 1894. 8^.*
Mathem.-naturwissensch. Classe. 1893/94. 8^.
Abth. I. 1893, No. 8—10. 1894, No. 1—3.
, IL 1893, No. 8—10. 1894, No. 1-5.
. IIb. 1893, No. 8—10. 1894, No. 1-8.
. UI. 1893, No. 8-10. 1894, No. 1—4.
Denkschriften. Philos.-hist. Classe. Band 43.
Mathem.-naturw. Classe. Band 60. 1894. 49. Archiy fQr Osterreichische Geschichte. Band 80, 2. Band 81, 1. 1894. 89.
326 Verzeichniss der eingelaufenen Drueksehriften.
K, K. geologische Beichsa^istalt in Wien: Verhandlungen. 1894, No. 10-18. 1895, 1—7. 4^. Jahrbuch. Jahrg. 1894. Band 44, Heft 2—4. 4».
K, K. Graämessungs-Bureau in Wien:
Astronomische Arbeiten. VI. Band. Langenbestimmungen. 1894. 4^.
K. K. Oesellschaft der Äerzte in Wien:
Wiener klinische Wochenschrift. VIII. Jahrg. 1895. No. 1—26. 1895. 40. Ernst Ludwig, Schwefelbad Ilidze bei Sarajevo in Bosnien. 1895. 6^.
Anthropologische Gesellschaft in Wien: Mittheiiungen. Band 24, Heft 6. Band 25, Heft 1. 1894/95. 4^.
Geographische Gesellschaft in Wien: Mittheilungen. Band 37. 1894. 8®.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien: Verhandlungen. Band 44, Jahrg. 1894, III. u. IV. Quartal. Band 45, Jahrg. 1895, Heft 1—5. 1895. 8^.
K, K. Reichs- Kriegs- Ministerium „Marine-Section" in Wien: Relative Schwerbestimmungen durch Pendelbeobachtungen. 1895. 8^.
JE. K, naturhistorisches Hofmuseum in Wien: Annalen. Band IX, No. 3. 4. Band X, No. 1. 1894/95. 4P.
PhysikaHsch-medicinische Gesellschaft in Würgburg: Verhandlungen. N. F. Band XXVIII, No. 2-7. Band XXIX, No. 1.
1894/95. 8^ Sitzungsberichte. 1894, No. 5-10. 1895, No. 1. 2. 1894/95. Bfi.
Historischer Verein von ünterfranken in Würzburg: Archiv. Band 36 und Ergänzungsheft. 1893/94. BP. Jahresbericht für 1892 u. 1893. 1893 u. 1894. BP. Dr. Th. Henner, Der historische Verein von Unterfranken in seinem
60 jährigen Wirken. 1893. BP. Ansicht von Wilrzburg im Jahre 1648 aus Merian^s Topographia
Franconiae 1650.
Schweizerische Meteorologische Centralanstalt in Zürich: Annalen 1892. Jahrg. 29. 1894. 4».
Schweizerische geologische Commission in Zürich: Beitrage zur geologischen Karte der Schweiz. Lief. 83. 84. 1898/94. 4P.
AnUquarisehe Gesellschaft in Zürich: Mittheilungen. Band XXIII, 7. XXIV, 1. 1895. 4«. Naturforschende Gesellschaft in Zürich: Vierteljahrsschrift. Jahrg. 39, Heft 3. 4. Jahrg. 40, Heft 1. 1894/96. 8".
Universität Zürich: Schriften der üniversit&t vom 1. Mai 1894 bis 1. Mai 1895. A^ u. BP.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 327
Von folgenden Privatpersonen:
Le Prince Albert I^ de Monaco: Sur les premi^res campagnes scientifiques de aPrincesse Alice'. Paris
1896. 40. Sur la density et ralcalinitd des eaux de TAtlantique par M. J.-Y. Bnchanan. Paris 1895. 4P,
J, P. Alibert in Paria: Notes snr ses d^couvertes et ses travaux. 1895. 4^.
Francesco Brioschi in Rom: Notizie salla vita e sulle opere di Arturo Cayley. 1895. 4^.
V, JBusbÖll in Kopenhagen: Voegter-Versene. 1894. 8**.
M, P. Foucart in Athen: Uecherches sur rorigine et la nature des mjstbres d'^leasis. Paris
1895. 80.
Aristote, coDstitution d* Äthanes, notes sur la seconde partie. Paris
1896. 8».
C, Bemigius Fresenius in Wiesbaden: Anleitung zur qualitativen chemischen Analyse. 16. Aufl. 1895. 8^.
Br, Gerling in Elmshorn (Holstein): Ein Ausflog nach den ostholsteinischen Seen. Halle 1893. 8®.
Emü Heuser in Landau (Pfalz): Katalog des städtischen Museums in Landau i. d. Pfalz. 1895. 8^.
Friedrich Hirth in Tschung-King (China): Die Länder des Islam nach chinesischen Quellen. I. Leiden 1894. 8^. Ueber den Schriftenverkehr von Kinsay zu Marco Polö*s Zeit. Leiden
1895. 80. Das Reich Malabar nach Chao-Ju*Kua. Leiden 1895. 8^.
Wilhelm His in Leipzig: Die anatomische Nomenclatur. Sep- Abdruck. 1895. 8^.
Charles Janet in Beauvais: £tudes sur les foumis. Note IV, V et VI (mit 4 weiteren geologi- schen Abhandlungen). Paris 1894. 4® u. 8°.
Alfred Jörgensen in Kopenhagen: Der Ursprung der Weinhefen. Jena 1895. 8^.
Albert von Kölliker in Würzburg: Kritik der Hypothesen über amöboide Bewegungen der Neurodendren. 1895. 8®
Nicolaos Krispi in Athen: Nea ^etogia icov dexadixcjv aQi&fi(ov, 1895. 8^.
Otto Kuntze in Friedenau bei Berlin: Geogenetische Beiträge. Leipzig 1895. 8®.
August Kurz in Augsburg: Der Bansenbrenner (Ausschnitt). 1894. 8^.
1
328 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Henry Charles Lea in Philadelphia: Philosophical Sin. 1895. 80.
Gabriel Monod in Paris: Revue historique. XX. Annäe. Tome 67, No. 1. 2. Tome 68, No. 1. Paris 1896. 8».
Emü Pallioppi in Pontresina: Dizionari dels itioms romanntschs. Fase. lY. 1895. 8^.
Michele Bajna in Mailand: Suir escunione dinrna della decÜDazione magnetica a Milane 1896. 8^.
Dietrich Reimer, geogr, Verlagshandlung in Berlin: Zeitschrift für afrikanische und oceanische Sprachen. Jahrg. 1, Heft 1~*S. 1895. 4P,
Albert Sorel in Paris:
Notice Bur M. Fnstei de Goulanges par M. Albert Sorel. 1893. 4^. Discours pour la r^eption de M. Albert Sorel. 1890. 4P.
Ärturo Sofia y Mata in Madrid:
Orfgen poliädrico de las espacies. 1894. 8^.
M. A. Stein in Lahore:
Gatalogue of the Sanskrit manuscripts in tbe Library of the Maharaja of Jammu and Kashmir. Bombay 1894. 4^.
Michele Stossich in Triest:
Notizie elmitologiche. 1895. 8<>.
I distomi dei rettili. 1895. S^.
Osservazioni sul Solenophoms megalocephalus. 1896. 8^.
II genere Ankylostomum Dubini. 1895. 8^.
August Tischner in Leipzig: Le ph^nom^ne fondamental du Systeme solaire. 1895. 8P,
G. Tschertnak in Wien: Ueber gewundene Bergkrystalle. 1894. 4^.
G. Tropea in Messina: Storia dei Lucani. 1894. 8^.
Giroiamo Vitelli in Florenz: Studi italiani. Vol. TU. 1895. SP.
Gauthier ViUars et fils in Paris:
Repertoire bibliographique des aciences math^maüqnes. I. S^rie. Fiches ä 100. 1894. 8«.
Henry Wüde in Manchester:
On the Multiple Proportions of the Atomic Weights of Elementary
Substances in relation to the unit of Hydrogen. 1895. 8^. On the Evidence aiforded by Bode*s Law of a permanent Contraction
of the Radii Yectores of the Planetary Orbits. 1896. 8**.
Inhalt
Die mit * bezeichneten Abhandliingen sind in den Sitzungsberiebt«! niclit abgedruckt
OeffentViche Sitzung der hgl, Akademie der Wissenschaften zur Feier des 136. Stiftungsiagcs am 28. März 1895. _ .^^
V. Pettenkofer: Nekrologe 155
V. Voit: Nekrologe 161
Sitzung vom 2. März 1895.
•C. ▼. Kupffer: Ueber die Entwicklung der Eiemenknorpel
bei Petromyzon Plaoeri 197
*Ad. V. Baeyer: Ueber daa Caron 197
Sitzung vom 4. Mai 1895.
R. Hartig: Ueber den Drehwuchs der Kiefer 199
F. Lindemann: Die Abbildung der Halbebene auf ein Poly^oD,
das von Bögen confocaler Kegelschnitte begrenzt wird . 219
J. Bauschinger: Ueber eine neue Bestimmung der Refrac-
tionsconstante auf astronomischem Wege 239
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. I. Ueber die Dar- stellung der Kronecker 'sehen Charakteristiken eines Fanc- tionensystems durch bestimmte Integrale ...... 261
Sitzung vom 15. Juni 1895.
R. Hartig: Ueber den Nadelschüttepilz der Lärche, Sphaerella
laricina n. sp 279
A. Pringsheim: Zum Cauchy'schen Integralaatz 295
*F. Lindemann: Ueber die con forme Abbildung eines Fl&chen- stückes, das durch Parabeln mit gemeinsamer Axe be- grenzt wird 278
*F. Linde mann: Vorlage eines aus Yorder-Asien stammenden antiken Modelies (Bronze -Guss) eines Archimedischen Körpers (Rhomben-Triakontaeder) 278
*A. V. Baeyer: Ueber das Kümmelöl 278
Sitzung vom 6. Jidi 1895.
*k. Schmidt: Mittheilungen über eine neue Berechnung des
erdmagnetischen Potentials 805
*W. Dyck: Beitrage zur Potentialtheorie. IL Die Gauss'sche Formel für die gegenseitige Umschlingung zweier Raum- curven und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfaltig- keiten. DarBtellung als Kronecker'sche Charakteristik eines Funktionensystenis 80Ö
Einsendung von Druckschriften 807
Akademische Buchdiuckerei von F. Straub in HTÜnehen.
9
Sitzungsberichte
der
mathematisch-physikalischen Classe
der
k. b. Akademie der Wissenschaften
zu !M^ünchen.
1895. Heft III.
München.
Verlag der K. Akademie. 1896.
In Commission des G. Franz'schon Verlags (J. Roth).
331
üeber die Abhängigkeit der Blattform von Cam- pannla rotnndifolia von der Lichtintensität.
Von K. GoebeL
(Stngtlauftn 7. AiM«m5«rJ
In meinen « Pflanzenbiologischen Schilderungen" (IL Theil, S. 294, 1893) habe ich darauf hingewiesen, dass die bekannte Heterophyllie von Sagittaria sagittifolia insoferne von der Lichtintensität beeinflusst werde, als bei schwachem Lichte nur die bandförmigen Blätter auftreten, während zur Bildung der pfeilförmigen, über den Wasserspiegel sich erhebenden, höhere Lichtintensität erforderlich ist. Weitere Versuche (mitgetheilt in Science progress, Vol. I, Nr. 2, und Flora, 80. Bd. (1895) p. 96 ff. bestätigten diese Auffassung.
In der letztgenannten Zeitschrift habe ich auch die später erfolgten Veröffentlichungen von Klebs und Vöchting und den Einfluss der Lichtintensität auf die Organbildung einiger Kakteen besprochen. Aus den dort gleichfalls er- wähnten Untersuchungen, die einer meiner Schüler in meinem Laboratorium ausführte, ergab sich ferner, dass auch bei dem Keimungsprocesse einiger Lebermoose die Ge- staltung der Keimpflanze durch die Lichtintensität bedingt ist. Bei Preissia commutata z. B. entsteht bei schwacher Beleuchtung nur ein fadenförmiger Keimschlauch, der bei starker Lichtintensität sich zur Zellfläche verbreitert; diese kann bei schwacher Lichtintensität wieder veranlasst werden, als Keimschlauch weiter zu wachsen.
22*
332 Süeung der matK-phys, Glosse vom 2. November 1896.
Da die Untersuclmng der Abhängigkeit der Organbil- dung von äusseren Faktoren von grosser Bedeutung für ein kausales Verständniss der so verwickelten vegetabilischen Ge- staltungsprocesse ist, so habe ich bei den höheren Pflanzen nach weiteren Fällen gesucht, in denen eine solche Ab- hängigkeit sich nachweisen lässt.
Viele Phanerogamen zeigen die Erscheinung der Hetero- phyllie, d. h. sie bringen im Verlaufe ihrer Entwickelung verschieden gestaltete Blätter hervor. Dass diese Hetero- phyllie nicht eine erblich fixirte, sondern eine durch innere oder äussere Einflüsse bedingte ist, konnte ich, auch abge- sehen von dem oben angeführten Falle von Sagittaria, früher in einigen anderen Beispielen nachweisen.
Die Keimpflanze von Vicia Faba z. B. bringt zunächst sehr einfach gestaltete, sogenannte Primärblätter hervor, schuppenartige Gebilde, die sich von den später auftretenden Laubblättern beträchtlich unterscheiden. Es zeigte sich, dass dieselben Hemmungsbildungen von Laubblättern sind, welche zu Stande kommen durch Correlationserscheinungen.^) Man kann demgemäss die Bildung dieser schuppenförmigen Pri- märblätter unterdrücken und die Pflanze nöthigen, statt ihrer Laubblätter, oder Zwischenbildungen zwischen diesen und den Primärblättem hervorzubringen.
Ein anderes Beispiel liefert eine neuseeländische Veronica- Art (V. cupressoides). Dieselbe gleicht, wie der Artnamen besagt, durch ihre schuppenförmigen, der Sprossoberfläche anliegenden Blätter einer Cupressinee. Die Verringerung der Blattgrösse ist hier eine Anpassung an trockenes £[lima. Die Keimpflanzen dagegen besitzen zunächst flache, abstehende, denen anderer Veronica- Arten gleichende Blätter. E/s gelang, die Pflanzen durch Kultur in feuchtem Räume zur Aenderung ihrer Blattforni zu bringen (Pfl.-biol. Schilderungen I, S. 20),
1) Vgl. üeber die Jugendzustände der Pflanzen, Flora 1889.
K, Chebel: Die Ähhänffigkeit der Blattfortn etc. 333
überhaupt begünstigt jeder äussere Faktor, welcher von den normalen Lebensbedingungen der Pflanze abweicht, die Rück- kehr zur Jugendblattform. Eine solche Rückkehr, also einen Rückschlag zu erzielen, gelang auch bei Heteranthera reni- formis. Es ist dies eine monokotyle Sumpfpflanze, welche mit langgestielten, nierenförmigen Blättern versehen ist. Die Keimpflanzen aber bringen, wie die von Sagittaria, zunächst ungegliederte, bandförmige Blätter hervor.
Keimpflanzen, welche schon nierenf^rmige Blätter her- vorgebracht hatten, wurden in Sand bei schwacher Beleuch- tung kultivirt. Bei einigen derselben, die schwach wuchsen, gelang es, sie zur Rückkehr zur Bildung der bandförmigen Primärblätter zu nöthigen. Dies kommt in der Natur, so- weit bis jetzt Beobachtungen vorliegen, nie vor. Wohl aber habe ich bei einer anderen Pontederiacee, bei Eichhornia azurea , einen derartigen , an Seitensprossen auftretenden Rückschlag früher constatiren können (Schilderungen II, S. 288). Ob die verminderte Lichtintensität bei Heteran- thera reniformis die Ursache des Rückschlags war, muss ich dahingestellt sein lassen, da das Material ein zu dürftiges war, und wie oben erwähnt, alle die Vegetation ungünstig beeinflussenden Faktoren das Auftreten von Rückschlags- bildungen begünstigen.
Ganz klar und unzweideutig aber waren die Ergebnisse bei einer dikotylen Pflanze, der Campanula rotundifolia.
Fassen wir einen blühenden Spross derselben in das Auge, so zeigt derselbe die Erscheinung der Heterophyllie darin, dass er beginnt mit der Bildung gestielter Blätter mit rundlicher Blattspreite, die vom Stiele deutlich abgesetzt ist. Diese Blätter stehen an der Basis, sie gehen oft so zeitig zu Grunde, dass sie zur Zeit der Blüthenentfaltung nicht mehr nachweisbar sind. Nach oben hin folgen auf diese Blätter solche von ganz anderer Gestalt, sie sind lanzettlich, ohne Differenz von Stiel und Spreite. Meist
334 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 2, November 1895.
fanden sich zwischen beiden Blattformen ganz allmähliche üebergänge.
Es zeigte sich nun, dass das Auftreten dieser verschieden geformten Blätter nicht in der Natur der Pflanze unab- änderlich begründet, sondern von äusseren Bedingungen, speciell von der Lichtintensität abhängig ist. Dies wurde nachgewiesen durch Kulturen , die in verschiedener Ent- fernung von einem Südfenster aufgestellt waren, so dass sie alle verschieden starke Beleuchtung empfingen. Eis wurden zu den Kulturen in abgeschwächtem Lichte Pflianzen ver- schiedener Ent Wickelung gewählt. Dabei zeigte sich Fol- gendes :
1. Sprosse, die nur die Rundblätter gebildet hatten, fuhren während der ganzen Versuchsdauer fort, solche zu bilden, sie gelangten also nicht zur Bildung der Langblätter, sondern wurden, ebenso wie dies früher bei Sagittaria ver- anlasst werden konnte, auf dem Stadium der Jugendblatt- form (dem der Primärblätter) zurückgehalten. Wurden der- artige Pflanzen direkt an das Fenster gestellt, so entwickelten sie nach einem Monat Langblätter von ganz anderer Form und Blüthen.
2. Haben die bei gemindertem Lichtzutritt kultivirten Pflanzen an ihrem Ende schon eine Blüthenknospe angelegt, so ist damit das Wachsthum der betreffenden Sprosse natür- lich abgeschlossen. Aber als Seitensprosse entwickeln sich dann vielfach Triebe, welche Rundblätter tragen.
3. Sprosse, welche zwar schon Langblätter, aber keine Blüthenknospen angelegt haben, können bei geminderter Lichtintensität veranlasst werden, an der Spitze wieder Rund- blätter zu bilden. Damit ist die normale Blattfolge durch die Kulturbedingungen vollständig umgekehrt.
Die Abhängigkeit des Auftretens der beiden, so sehr verschiedenen Blattformen von der Lichtintensität ist damit hinreichend bewiesen : die Rundblätter treten bei schwacher.
K, Croebel: Die Abhängigkeit der Blatt form etc. 335
die Langblätter bei stärkerer Beleuchtang auf. Erstere sind auch für Standorte von geminderter Lichtintensität, wie sie die Keimpflanze z. B. an einem von andern Pflanzen be- schatteten Standort vorfindet, besonders geeignet, denn sie besitzen in ihrem, seine Wachsthumsfahigkeit lange beibe- haltenden Blattstiele ein Organ, das geeignet ist, die Blatt- spreite in die günstige Lichtlage za bringen. Bei den ohne- hin durch die Verlängerung der Sprossreste über die Um- gebung emporgehobenen Langblättern ist eine solche Ein- richtung überflüssig, während die Schmalheit der Blatt- spenite sie gegen schädigende Einflüsse von Wind, Regen etc. widerstandsfähiger macht.
Die Frage, ob die Bildung der Rundblätter bei einer Keimpflanze unterdrückt werden könne (wobei dieselbe also sofort Langblätter hervorbringen würde), wenn die Keim- pflanze von Anfang an starker Beleuchtung ausgesetzt wird, wurde in verneinendem Sinne entschieden. Trotz Anwendung einer sehr starken Lichtquelle (zweier Bogenlampen zu je 2000 Normalkerzen Lichtstärke) bildeten die Keimpflanzen zunächst auch Rundblätter. Dabei ist hervorzuheben, dass es sich nicht etwa nur um Entfaltung von im Samen schon vorhandenen Anlagen von Rundblättern handelte. Dieselben wurden vielmehr, wie die entwicklungsgeschichtliche Unter- suchung lehrte, thatsächlich bei der Keimung neu gebildet. Dieses erste Auftreten ist also erblich fixirt.
üeber die Fortsetzung dieser Untersuchungen hoffe ich später berichten zu können.
337
üeber Potenzreihen auf dem Gonvergenzkreise und Fourier'sche Reihen.
Von Alfred Priagshelm.
§ 1.
Es sei ij Ay x^ eine Potenzreihe mit dem Convergenz- radius | x | = L Setzt man alsdann zunächst für {n;|< 1:
(1) t-Äyaf' = f{x\
0
so mag f{x) für die Stellen a? = e^* des Convergenzkreises im allgemeinen durch unmittelbare analytische Fortsetzung
und für etwaige singulare Stellen e^' als lim f{e^^ definirt
i^ = ^'
sein, bezw. da, wo dieser Grenzwerth nicht existirt, als un-
definirt gelten.
Convergirt nun die Reihe ^A^x^ für x = e^ noch
durchweg oder wenigstens im allgemeinen (das soll hier
und im folgenden stets bedeuten : mit eventuellem Ausschluss
einer endlichen Anzahl von Stellen), so ist für alle Con-
vergenzstellen nach einem bekannten Ab ersehen Satze:
(2) fie^^ = j:vAye'^
0
= ZJ" Av (cos r # + » • sin V d).
338 Sitzung der math.-phys. CUisse oom 2, November 1895,
Andererseits ist f{e^^ in Folge der gemachten Voraus- setzungen mit Ausschluss einer endlichen Anzahl von Stellen '&' eine nicht nur stetige, sondern unbeschränkt differenzir- bare Function der reellen Veränderlichen ^. Unter Hin- zufügung der weiteren Annahme, dass jene singulären Stellen ^* die Integrabilität von /*(e*0 nicht alteriren sollen, muss sich daher /'(e^*) in eine Fourier'sche Reihe entwickeln lassen :
(3) fi.e»') = ^f{<^)äk
+ - £»' { J /'(e^O cos y A . d A . cos r ^ +J/'(^0 sin V A • d A . sin v*}
Alsdann folgt aber aus einem bekannten Satze, dass die Goefficienten dieser Entwickelung keine anderen sein können, als die oben mit A^ bezeichneten. Mit anderen Worten : Allemal wenn die Potengreihe ^AyX^ = f{x) för X = e^* im allgemeinen convergirt und f{e^') als tn- tegrable Function von d definirt, so ist sie iden- tisch mit der JFoMmr'schen Reihe für f{e^%
Von den drei Voraussetzungen, unter welchen dieses Resultat hier ausgesprochen wurde, nämlich:
1) der endlichen Anzahl der singulären Stellen von
2) der durchgängigen Integrabilität von /*(c**)»
3) der Convergenz von Sa^e*^*', —
lässt sich die erste ohne weiteres beseitigen, wie die Unter- suchungen von Du Bois Reymond über die Darstellbarkeit einer beliebigen trigonometrischen Reihe als Fourier^sche Reihe lehren,^) sofern nur die Voraussetzungen 2) und 3)
1) .Beweis, dass die Goefficienten der trigonometri- schen Reihe ete/ Abb. der Bayer. Akademie, Bd. XII (1876). Vgl. insbeeondere p. 48.
A, Vringskeim: Heber Potemrcihen auf dum Gonvergtnzkreise. 339
bestehen bleiben. Da indessen die bet^onderen Eigenthüm- lichkeiten, von welchen hier gesprochen werden soll, schon bei Functionen mit einer endlichen Anzahl von Singulari- täten zum Vorschein kommen, so soll im folgenden immer nur von solchen die Rede sein.
Auch die zweite Voraussetzung kann man bis zu einem gewissen Grade fallen lassen. Wie nämlich Riemann ge- zeigt hat,^) schliesst das Auftreten gewisser Unendlichkeits- stellen, welche die Integrabilität von /"(c^O aufheben, den- noch die Darstellbarkeit durch eine trigonometrische Reihe nicht aus. Es sind das solche Stellen 9\ für welche /X^^O ohne Maxima und Minima von niederer Ordnung als der ersten unendlich wird (NB. wenn auch nicht von hin- länglich niedrigerer Ordnung, um die Integrabilität von /•(e^O zu sichern) und für welche /'(e^^'+^^O + ({e^^'"^^*) In- tegra bei ist. Freilich werden in diesem Falle die Integrale, welche die Coefficienten in der Fourier'schen Form darzu- stellen hätten, in dem gemeinhin üblichen Sinne divergent. Sie behalten jedoch ihre richtige Bedeutung, wenn man ihre Hauptwerthe im Ganchy^schen Sinne nimmt, d. h. wenn man setzt:
](p{»)'d» = lim{j>(i>).d* + ](p{»)^d»\
und mit Hinzufügung dieser Modification bleibt, wie Du Bois Reymond gezeigt hat,^) die Eindeutigkeit der Coefficienten-Bestimmung, also die Identität zwischen tri- gonometrischer beziehungsweise Potenz- Reihe einerseits und Fouri er 'scher Reihe andererseits bestehen. Ich möchte derartige Reihen als uneigentliche Fourier^sche Reihen
^) ,Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Keibe% Art. 12. (Ges. Werke, p. 244, 246.) 2) a. a. 0. Art. 24, p. 37 fF.
340 Sitzung der mathrphys. Glosse wm 2. November 1896.
bezeichnen und benütze diese Gelegenheit, um ein einfiaches Beispiel einer solchen Reihe mitzutheilen (s. § 5 dieses Auf- satzes), bei welcher die Convergenz durch ganz elementare Rechnung direct erwiesen werden kann, während die Diver- genz der Coefficienten in der Fourier 'sehen Integralform ohne weiteres aus der Form der zu entwickelnden Function hervorgeht.
Im übrigen bleibt hier noch die Frage offen, ob die durch die convergente Reihe S^yC^»' dargestellte Func- tion f{e^*) nicht auch solche Singularitäten besitzen konnte, welche, ohne zu der eben betrachteten Kategorie zu gehören, die Integrabilität von f{e^^^ aufheben und damit die Dar- stellbarkeit der Reihen - Coefficienten in der Fourier 'sehen Form unmöglich machen würden? Ob dieser Fall in Wirk- lichkeit eintreten kann, muss vorläufig dahingestellt bleiben: das Gegentheil ist wenigstens, so viel ich weiss, bisher nicht bewiesen worden. —
Was nun endlich jene dritte — die Convergenz von S Av e^* verlangende — Voraussetzung betrifft, so dürfte man vielfach der Ansicht begegnen, dass man dieselbe ohne weiteres fallen lassen könne, sobald nur die Entwickelbarkeit von f{e^) in eine convergente Fourier'sche Reihe fest- steht, und dass man geradezu aus der Existenz dieser letz- teren auf die Convergenz von ^AvC^^ (und damit eo ipso auf die Identität der betreffenden beiden Reihen) schliessen dürfe. So sagt z. B. Herr Darboux in seinem .Memoire sur Tapproximation des fonctions de tres- grands nombres etc.** ganz ausdrücklich^): «Nous voyons que, si f(js)y consid^ree comme fonction de Targu- ment co de jer sur le cercle de convergence, est de-
1) Journal de Matb^m. S«^»« S^rie, T. IV, p. 13.
A. Pringsheim: lieber Poienxreihen auf dem Canvergetukreise, 341
^eloppable en s^rie trigonom^trique,^) la serie qni deyeloppe f(ß) suivant les puissances de ir demeurera encore convergente sar lecercle limite.* Dieser Aus- sprach stammt zwar schoD aus dem Jahre 1878, d. h. in- dessen immerhin aus einer Zeit, in welcher die in den Ar- beiten der Herren Christoffel*), Prym*) und Schwarz*) (1871/72) zu Tage tretende schärfere Prüfung der Grund- lagen des sog. Dirichlet'schen Principes bereits ge- gründete Bedenken gegen die Stichhaltigkeit der obigen Be- hauptung hervorrufen konnte. Im übrigen glaube ich, dass auch heute noch viele Mathematiker jene Darboux'sehe Ansicht theilen und die Frage nach der Convergenz einer Potenzreihe auf dem Convergenzkreise schlechthin mit der- jenigen nach der Entwickelbarkeit der betreffenden Ruid- function in eine Fonrier'sche Reihe identifilciren. Eine strengere Behandlung dieser Frage ist mir nur in den Ar- beiten des Herrn Thom^ über lineare Differentialgleichungen^) und einer daran anknüpfenden Abhandlung «Ueber Con- vergenz und Divergenz einer Potenzreihe auf dem Convergenzkreise*®) begegnet. Hier wird vor allem be- wiesen, dass unter den über die Natur der singulären Stellen
^) Hierunter ist immer, wie aus dem ganzen Zusammenhange anzweideutig hervorgeht, eine ITourier^sche Reihe zu verstehen.
') Ueber die Integration von zwei partiellen Differen- tialgleichungen. Gott. Nachr. 1871, p. 485.
d^ u
•) Zur Integration der Differential-Gleichung ^— ^
-+. r___ = 0. — Joum. f. Math. Bd. 73, p. 860.
^) Zur Integration der partiellen Differentialglei- chung ^ + -^ = 0. - Joum. f. Math. Bd. 74, p. 218.
^) Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen — Joom. f. Math. Bd. 91, p. 222 ff. s. besonders Art. 4, 9, 10. — . Desgl. Bd. 95, p. 44 ff. s. Art. 8.
c) Joum. f. Math. Bd. 100, p. 167.
342 Sitzung der math-phys, Glosse vom 2, November 189B,
gemachten Voraussetzungen die Coefficienten der Potenz- reihe wirklich identisch sind mit den Fourier 'sehen Ent- wickelungs- Coefficienten der Randfunction , und sodann erst aus der Convergenz dieser Fouri er 'sehen Reihe auf die- jenige der (auf dem Gonvergenzkreise mit ihr identischen) Potenzreihe geschlossen. Obschon nun aus dieser Art der Beweisführung die Meinung des Verfassers deutlich hervor- geht, dass es Fälle geben könnte, in denen die fragliche Schlussweise nicht zutrifft, so ist es doch weder hier, noch auch, so viel ich weiss, in anderen Arbeiten, deren Gegen- stand dies nahe gelegt hätte,^) direct ausgesprochen worden, dass es derartige Fälle — und zwar solche yon yerhältniss- mässig einfacher Natur — wirklich auch giebt. Ich will nun in diesem Aufsatze zeigen:
Es giebt thatsächlich Potenzreihen, welche auf ihrem Convergenzkreise divergireny obschon die zu- gehörige Randfunction in eine convergente JFV>firt€r'- sche Reihe entwickelt werden kann.
In den folgenden beiden Paragraphen theile ich zunächst die allgemeinen üeberlegungen mit, welche mich zur Con- struction derartiger Functionen geführt haben und die so- dann in § 4 zur Bildung bestimmter Beispiele henützt wer- den sollen.
§2.
EiS seien die beiden Reihen:
(1)
9^ (^) = XI*' {(^y COS r ^ -f- b,> sin v &)
0
W (ß) = ^^ (— K cos V ^ 4" fl^/- siw V I?)
0
^) z.B. Haroack, Anwendung der Fourier*Bchen Reihe auf die Theorie der Fanctionen einer compiexen VerUn- derlichen. — Math. Ann. Bd. 21, p. 805.
A, Pringsheim: lieber Potenzreiken auf dem Convergenzhreise. 343
für 0 ^ 1? ^ 2 TT durchweg oder wenigstens im allgemeinen convergent ; dabei sollen die Coefficienten a^, b reelle Grössen von der Beschaffenheit sein, dass für v = oo der Grenz- werth bezw, die obere XJubestimmtheitsgrenze von
mindestens einer der beiden Grössen | a^ | ", \hy\^ den Werth 1 hat, während der entsprechende Werth für die andere dieser Grössen auch < 1 sein darf. Setzt man sodann :
(2) t-{a, + b^i)^x''' = f,ix),
0
so convergirt diese Reihe für | a; | >1, sie divergirt für
I ic ! < 1 , während sie für | a; | = 1 übergebt in :
(3) /;(e^0 = i:^(a^ + 6^i)(cos v^ — i-sinv*)
0
also in Folge der gemachten Voraussetzung auf dem Con- vergenzkreise noch durchweg oder im allgemeinen con- vergirt.
Angenommen nun, f^ (x) lasse sich über das gesammte Innere des Einheits- Kreises als eindeutige analytische Function ohne singulare Stellen fortsetzen, so muss eine für I a; I < 1 convergirende Potenzreihe existiren, deren Summe /*, (x) ist, also :
(4) f,ix) = t-A,x- (kl<l).
0
Es ist nun leicht zu ersehen, dass diese Potenzreihe auf dem Einheitskreise nicht convergiren kann. Denn wäre dies der Fall, so hätte man :
OD
(5) /, (e^O = £»' A^ (cos vß + i-amv»)
0
und die Vergleichung mit (3) würde ergeben, dass gleichzeitig:
344 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 2. November 1695.
A^= Oy 4" &v » wild Ä^= — {(Xy + 6y *) sein müsste, was unmöglich ist.
Man hätte also auf diese Weise in der That eine Potenz- reihe f(x)=^Aya^ gewonnen, welche die oben verlangte Eigenschaft hat, auf dem Einheitskreise zu divergiren, obschon daselbst eine convergente trigonometrische Reihe für /i(c^O vorhanden ist.
Diese letztere besitzt hier in gewisser Beziehung noch einen ganz speci eilen Charakter: sie bildet nämlich die Grenze der Entwickelung von f^ (x) nach negativen Po- tenzen von X. Man erkennt indessen, dass diese Eigenschaft durchaus unwesentlich und in Wahrheit auch leicht zu beseitigen ist. Bezeichnet man nämlich mit f^x = ^ B^ :f eine Potenzreihe, deren Convergenzradius $^1 ist, und die im Falle ^ = 1 auf dem Einheitskreise noch durchweg oder im allgemeinen convergirt, so wird offenbar die Reihe:
(6) f{x) = f,ix)±f,{x) = hUy±B,)-a:^
0
für a? = e^' gerade so divergiren, wie die Reihe /i («), während
(7) f (c*') = t* { (a, + 6^ i) . 6-«*' ±B,'i^}
0
wird, und diese convergirende trigonometrische Reihe jetzt nicht mehr die Grenze der Entwickelung von f{x) nach negativen, und im Falle ^=1 auch nicht diejenige der Entwickelung von f{x) nach positiven und negativen Potenzen von x bildet. Man erzielt dies z. B. am einfachsten, wenn man speciell setzt:
(8) f,(x) = t-{a,-Ki)-x^ also:
(9) /, (e*0 = £♦• (a„ — b^ i) (cos v ^ + i • sin v *)
0
A, Pringsheim: Ueher Potenzreihen auf dem Convergenekreise, 345
in welchem Falle dann f{x) = f^(x) + f^{x) auf dem Ein- heitskreise durch die trigonometrische Reihe 2 (p (ß) bezw. 2i'yj{d) dargestellt wird.
Durch die vorstehende Betrachtung ist die Möglich- keit, Reihen der gedachten Art zu construiren, erwiesen, sobald es gelingt, Reihen nach negativen Potenzen von x, wie die oben mit f^^ (x) bezeichnete, herzustellen, welche auf dem Einheitskreise convergiren und in das Innere als eindeutige, durchweg reguläre Functionen von x fort- gesetzt werden können. Um dies zu erreichen, wird man natürlich zunächst nicht wie oben von irgend einer bestimmten Annahme bezüglich der Goefficienten a^, b^ ausgehen können, sondern vielmehr von einer Feststellung der Singu- laritäten, welche für f^ix) auf dem Einheitskreise erfor- derlich und zulässig erscheinen. Man erkennt aber ohne weiteres, dass hierbei ausserwesentlich singulare Stel- len, sowie algebraische und logarithmische Yerzweigungs- punkte jedenfalls von vornherein auszuschliessen sind, da die ersteren die Divergenz von S (a^ + 6^ i) • c~*^' nach sich ziehen, die letzteren die eindeutige Fortsetzbarkeit von /"j (x) verhindern würden. Als möglicherweise zulässig bleiben daher nur wesentlich singulare Stellen, welche noch die besondere Eigenschaft besitzen müssen, dass /^ (:i;), falls die Variable x von aussen her oder längs der Peri- pherie des Einheitskreises sich einer solchen Stelle nähert, unter einer endlichen Grenze oder zum mindesten integrabel bleibt.
Der Einfluss, den eine derartige, auf dem Convergenz- kreise einer Potenzreihe angenommene singulare Stelle auf deren Convergenz und Divergenz ausübt, soll nun zunächst genauer untersucht werden.
1896. Matb.-phys. CI. 3. 23
346 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 3, November 1896,
§3.
Es sei f(x) eindeutig und regulär fQr |a?j<12, wo J3>1, mit Ausnahme einer einzigen Stelle auf dem Ein- heitskreise a; = a = e^\ Bezüglich der BeschaflFenheit dieser singulären Stelle x=i a unterscheiden wir die folgenden zwei Fälle:
I. Es sei f(x) für a: = a noch absolut integrabel, sobald der Integrationsweg dem Innern oder der Peri- pherie des Einheitskreises angehört, d. h. das Integral
a
j* I /"(rc) I • drc werde in diesem Falle mit \Xq — a\ beliebig
klein — eine Bedingung, welche z. B. stets erfüllt ist, wenn \f{x)\ im Innern und auf der Peripherie des Einheitskreises in jeder beliebigen Nähe der Stelle a stets unter einer festen Grenze bleibt.
Alsdann lässt sich zeigen, dass die zunächst für | o; | < 1
CO
geltende Potenzreihe für f(x) = X;^ -^y ^ noch für | a? | = 1
0
mit eventuellem Ausschlüsse der Stelle x = a convergirt und mit der Fourier'schen Reihe für f{e^*) identisch ist. um dies nachzuweisen, denke man sich den Einheits- kreis {E) construirt und die Stelle a mit einem Kreise (K) von beliebig klein anzunehmendem Radius q umgeben. Be- zeichnet man sodann mit (G) diejenige Gurve, welche ans dem Einheitskreise (E) entsteht, wenn man das kleine durch den Kreis (K) ausgeschnittene Bogenstück (e) durch das entsprechende, innerhalb (E) verlaufende Bogenstück (Ä;) von {K) ersetzt, so hat man für alle Stellen x im Innern von (C7), also sicher für | a; | < 1 — q:
(wobei das Pluszeichen vor C die positive Integrationsrich-
A, Pringsheim: (Jeher Potemreihen auf dem Convergenekreise, 347
tung andeuten soll. Da aber in Folge der gemachten Voraus- setzung der von dem Bogenstücke (k) herrührende Bestand- theil dieses Integrals, gerade so wie ein über (e) zu er- streckendes mit (k) und (e) — also schliesslich mit q — beliebig klein wird, und da andererseits Y (2;) einen ein- deutig bestimmten, von q unabhängigen Werth hat, so kann man ohne weiteres das Integral über (k) durch das ent- sprechende über {e) ersetzen und erhält somit an Stelle der Beziehung (1) jetzt für | o; { < 1 die Folgende:
und hieraus in der üblichen Weise: (3) fix) = t-Ä,x'
0 291:
(+Ä) 0
^*'=2^d^^'^^" 2^]fi^''y^"^''^n (-=^1,2,3,...)
Dabei lassen sich diese Goefficienten Ay noch in fol- gender Weise umformen. Bezeichnet man wieder mit (C) den oben definirten Integrationsweg, so hat man offenbar:
^^J/CO-^'-'-d^^ 0 (r=l,2,3,...)
oder, da man hier wieder genau wie oben den Integrations- weg (C) durch den Weg {JE) ersetzen kann:
(+*) 0
28*
wo
(4)
348 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2. November 1895.
Durch Addition und Subtraction dieser letzten Gleichung lässt sich daher Ä^ in die doppelte Form setzen:
(6) Ar =
2^
— I f(e*^*') • cos viy • drj
0 89r
(v = 1, 2, 3 )
7t%J
und man erhält daher, wenn man x=^r*e^* setzt und r < 1 annimmt, ans Gl. (3) die Entwickelung :
29r
0 1 0
Andererseits muss sich f{e^*) in Folge der gemachten Voraussetzungen in eine mit eventuellem Ausschluss der ein- zigen Stelle i!>=sa convergirende Fourier'sche Reihe ent- wickeln lassen, nämlich:
2n
(8) fie^ = ^ //'(^''O • drj -f lt-jf{<^') • cos v (^ - d) • rf,;
0 ^ 1 0
und da die Reihe (7) für r =s l in diese letztere übergeht, so folgt, dass in dem hier betrachteten Falle die Potenzreihe fi^j'^jLÄyS^ noch für x e^ (mit eventuellem Ausschluss der Stelle a? = a, i? = a) convergirt und mit der Fourier'* sehen Reihe für /"(c^*) identisch ist. —
II. Es sei jetzt f{x) für x = a noch absolut inte- grabel, wenn der Integrationsweg dem Aeusseren oder der Peripherie des Einheiiskreises angehört.
Für das Gebiet 1< | x | < J8 existirt alsdann nach dem Laurent 'sehen Satze eine Entwickelung von der Form:
A. Pringsheim: lieber Poiensreihen auf dem Gonvergenskreise, 349
(9) fix) = ^f V A,xr=.t^A,x*-\-t A_, x-",
OD 0 1
wobei die Reihe der positiven Potenzen (welche sich auf die Constante Aq reducirt, wenn f(x) überhaupt keine wei- tere singulare Stelle ausser a; = a besitzt) für \x\<B, also insbesondere noch für | :v | = 1 absolut convergirt. Setzt man also 61. (9) in die Form:
(10) £. A^, x-' = f{x)-t^A^ x'
1 0
so folgt mit Hülfe der Substitution i» = — aus dem Ergeb-
9
nisse des Falles I ohne weiteres, dass S-^^yOT"" noch auf dem Einheitskreise — mit eventuellem Ausschluss der Stelle x = a — convergiren rauss. Das Gleiche gilt somit von der Gesammtreihe (9), woraus dann auch wiederum die
Identität von ^^A^e^* mit der Fourier'schen Reihe för
—00
/"(c^O sich ergiebt.
Daraus kann man aber mit Hilfe der in § 2 angestellten Betrachtung weiter schliessen, dass die im Innern des Ein- heitskreises geltende Entwickelung von f(x) nach positiven Potenzen von x auf dem Einheitskreise divergiren muss.
um die Beschaffenheit dieser letzteren Reihe und ihre Beziehung zu der Fourier'schen Entwickelung von f(e^ genauer festzustellen, hat man auch hier wiederum für |a?| < 1 — Q zunächst:
(+C)
(wo Q und (C) die in I angegebene Bedeutung haben). Be- zeichnet man sodann mit {k') das ausserhalb des Einheits- kreises verlaufende Bogenstück des kleinen Kreises um a, so
350 SiUung der math.-pkyM. Glosse um 2, Narember 1895.
kann hier offenbar das aber den ans (e) and (V) zusammen- gesetzten, geschlossenen W^ erstreckte Integral: J dt
durch Verkleinerung von g beliebig klein gemacht werden, muss also, da es einen von g nnabhängigra, bestimmten Werth besitzt, gleich Null sein. Addirt man dieses Inte- gral zu dem in GL (11), so ergiebt sich:
(12) ^(x)= 1 rM.,,__L.fM.,,
'^^ 27itJ t-^x 2n%J t—x
ftir |ic!<l — ^, bezw. für \x < 1, wenn man schliesslich q unendlich klein werden lässt.
Um zunächst das zweite Int^pral auszuwerthen, hat man :
A_ = __i 1_ = f,(^-a/-^
t^x X— a i_t-o j (x-^aY
X -a und daher:
(13)^ (+x) ^ (+10
1
Die rechte Seite lässt sich in eine für |x{<|a| d. b. ftir I a? I < 1 convergirende Reihe nach positiven Potenzen von x entwickeln, so dass sich ei^ebt:
(+J0 wo :
(15) 5^ = 2^ (-• 1)^- (;c + V - 1)^ • C-« a-<^+^). 1
Ferner hat man für ) a; | < 1 :
(+Ä) ^
A. Fringshem: lieber Potemreihen auf dem Convergemkreise, 351 wo:
(17)
2si +S 0
Hiernach liefert 61. (12) für \x\<l die folgende Ent- Wickelung :
(18) fix) = f;^ 5>'' + f:v ü_^ {x — a)-"
0 1
0
deren zweiter Theil, wie die Form der Coefficienten Cy (s. Gl. (13)) lehrt, die Gesamratheit derjenigen Bestand- theile enthält, welche die Stelle a zu einer (wesentlich) sin- gulären machen: es sind nämlich die Coefficienten C^y genau diejenigen, welche man als Coefficienten der negativen Potenzen von x — a erhalten würde, wenn man f(x) in der Umgebung der Stelle a? = a nach dem Laurent'schen Satze entwickelt. Hieraus folgt aber, dass die Reihe:
0 1
noch für x = a, also schliesslich auf dem ganzen Einheits- kreise sich regulär verhält. Sie besitzt somit einen Con- vergenzradius , der grösser als 1 sein muss (nämlich den Convergenzradius 2J^)), so dass sie insbesondere für |a;| = 1
^) Dabei ist E= od, wenn f(x) keine weiteren sinisfulären Stel- len im Endlichen besitzt; und fialls auch die Stelle a;=QO keine singulare ist, so reducirt sich jene Reihe auf das constante Anfangsglied:
B-„= f(o)-±yC_y(-ar'' 1
352 Sitzung der mcUh.-pkys, Glosse vom 2, November 1895,
noch absolut convergirt. Da aber die Gesammt-Eniwicke* lung von f(x) nach positiven Potenzen von x^ wie oben be- merkt, für {a;| = 1 diyergirt, so erkennt man, dass diese Divergenz aasschliesslich von jenem zweiten Bestandtheile
f^^B^xT herrührt.
0
Es lässt sich aber auch genau angeben, welche con- vergente Entwickelung för x=^e^' an die Stelle jenes divergenten Bestandtheils tritt, dergestalt dass för /*(e^) schliesslich eine convergente trigonometrische — nämlich die Fourier'sche — Reihe zu Stande kommt.
Hierzu bemerke man, dass die Coefficienten By zwar in (17) zunächst genau in derselben Integralform erscheinen, wie die Ay im Falle I (s. Gl. (4)): aber es ist a priori klar, dass sie nicht, wie jene, mit den Fourier*schen Ent- wickelungs- Coefficienten von /"(e^O identisch sein können. Um den Zusammenhang mit diesen letzteren aufzuklären, hat man die Beziehung:
äVJ«')'
f'^.dt = 0 (v = 1, 2, 3, . . .)
wofür man wiederum, analog wie oben, schreiben kann :
0
WO :
£t7l% , *J
A. Pringsheim: lieber Potenereihen auf dem Canvergemkreise. 353 (20) D, = ±Hy-i)^-iC_^-a''-''.
1
Durch Addition bezw. Subtraction von Gl. (17) und (19) folgt alsdann :
(21)
Bl==l
Jf(€^*) • COS vrj ' df) — Dv
0
— ifie'i') . sin vfj 'dtj + D^,
SO dass die Entwickelung (18) für x = r-e^* und r<l sich folgendermaassen schreiben lässt:
(22) /(re^O - ^ J/'(e'?0-di?+^L»'r»'. J/(e'?0-cosv(i?-i?).di7
0 ^ 0
1 0
Da andererseits :
(23) /(e^O ^ r/'(e'?0-diy+^S»' r/(e'70-cosy(iy~*).diy
0 0
und in 61. (22) für r = 1 alles mit Ausnahme des letzten Bestandtheils convergent bleibt, so folgt:
(24) lim {S^i^r^'e^M = f^y D
«-Vl^rf
womit die gesuchte Grenz -Entwickelung von S-B a^ für 0? = e^* gefunden ist.
354 Sitzung der mathrphys, Clasu com Z November 1895.
§4.
AV
I. Setzt man jetzt:
(1) /,(») = c*-' = e-e»-' ,
SO erfällt offenbar die einzige singulare Stelle x= 1 dieser Fanetion die im Art. I des vorigen Paragraphen eingeführten Bedingungen. Man hat nämlich, um das Verhalten von /j (x) in der Nähe der Stelle a; = 1 zu erkennen :
(2) /•.(l + f + '?<) =e ^*^'
also: £
1+1
(3) ir.a + i+i?»), = e ^1\
Gehört nun die Stelle x= 1 -{- ^ -}- tji noch dem In- nern des Einheitskreises an, so ist f wesentlich negativ und daher — was auch t) bedeuten möge — stets: <ft(x)\<e.
Gehört hingegen x der Peripherie des Einheitskreises an, so möge gesetzt werden x = e^», also :
x+l = « \e +e ) = 2e «cos--
X — l = e \e — e / = 2te 'Siöp
und:
X 1.1 x+l 11.,*
i-T = 2 + 2-^-1 = 2-"2*-"^^-2
folglich :
(4) /-.(e^O^c
= e [ cos (^ cot I) - » . sin (^ cot g)^,
^) Der Factor e ist nar hinzugefQgt, um einen möglichst ein- fachen Ausdruck fOr die Entwicklungs-Coef&cienten zu erhalten (8. Gl. (9)).
-4. Fringsheim: lieber Potensreihen auf dem Convergenzkreise. 355
so dass also in diesem Falle | f^ {x) \ = e wird — auch in beliebiger Nähe der Stelle d = 0 d. h. x= 1.
Es muss daher nach Art. I des vorigen Paragraphen die zunächst für { o; { < 1 geltende Entwickelung :
(5) f,{x)^t-A^3^
0
noch für | x | = 1 — mit eventuellem Ausschlüsse der Stelle »=1 — convergiren, d. h. es gilt die Entwickelung:
(6) /;(c^0 = e*~^''''"*2 = f;v^^(cosv^ + i-ßini'*)
0
für 0<#<27r, und dieselbe ist mit der Fourier 'sehen Reihe für f^ (e^O identisch.
Daraus folgt dann noch insbesondere, dass die Reihe für t? = 0 divergirt.
Was die Coefficienten A^ betriflft, so findet man aus:
1
^«-1 ^.w IX« 1
e^e^'' = ,.Sx(_l)^A(i_^)-
0
= e(l + S;«(-ir.if;v(;. + v-l) a;')
1
unmittelbar für v > 1 :
(7) ^^ = e.f>(_l)\i .(^ + ^_1)^
1 "•
= e't-{-\f-\,{^^y-\),_^ (»-=1,2,3 )
und speciell: ^^ = e • S« ( — !)*•— . = 1. Man kann aber
0 ^•
auch die hier in Form unendlicher Reihen erscheinenden Grössen A^ mit Hülfe der Mac Laurin'schen Entwickelung in geschlossener Form darstellen.
356 Sitzung der niiUh.'phys. Classe vom 2, November 1895. Man findet auf diese Weise:
^«= A(0) = 1
und fQr y > 1 :
v! '^ ^ ' v! \ dx /x=o v/Vjjl\Vy-«i Nun ist allgemein:
(8) = (_ 17 . i, 1 . (v _ 1) . /+x . y'-» (y)
und daher:
1 rPc«'
V!
^ = (-ir.e'+».i.i.(v-l)^_,./+-
also schliesslich :
(9) 4^ = ^^—^'iv-
IL Die Function
jS^v_^.(,^l)^_^.
(10)
f^{x) = e " = e-e
1 «-1
welche zu der eben betrachteten in der zwiefachen Be* Ziehung steht:
OD
/,(*) =
f-0
n^)
Ä, Pringsl^eim : lieber Potenzreih^n auf dem Gonioergemhreise, 357
genügt, wie leicht zu sehen, den in Art. II des vorigen Paragraphen statuirten Bedingungen. Da nämlich:
(12) /,(14-f + '?i) = e
also:
,a
SO wächst dieser absolute Betrag über alle Grenzen, falls l^/l <A:* 1^1 (A: eine endliche positive Zahl) und f negativ, numerisch sehr klein genommen wird, also wenn x auf irgend einer geraden Linie aus dem Innern des Einheitskreises sich der Stelle 1 nähert. Da im übrigen l/i(x)|, wie die erste der Beziehungen (11) lehrt, für Stellen ausserhalb oder auf der Peripherie des Einheitskreises auch in beliebiger Nähe der Stelle a; = 1 stets unter einer endlichen Grenze bleibt, so folgt aus Art. II des vorigen Paragraphen, dass die für \x\<\ geltende Potenz- Entwickelung von f^{x) für |a:| = ldivergiren muss, während andererseits f^{e^) durch eine convergente trigonometrische Reihe mit ganz neuen Coefficienten darstellbar ist. Um diese letztere zu finden, kann man ohne weiteres die Formel (24) des vorigen Para- graphen anwenden. Man hat — unter Beibehaltung der dort angewendeten Bezeichnungen :
1
l — x
f,{x) = c'-' = 1 +l,(-l)»'.l^(a;_l)-''
also: (7_,= (-l)-.!
und daher (nach § 3, Gl. (20)):
A, = i^ — J-^Cv- !);,_, d. h. = A, (Gl. (9)),
358 Sitzung der m<Uh.-phys. CloMe vom 2. November 1896, so dass jene Gl. (24) hier lauten würde:
(14) lim j^^5^r*'e»^4 = ^^ Ae'"^',
r=\ \0 j 1
Beachtet man jetzt noch , dass die in § 3 mit B'^ be- zeichneten Grössen für v ^ 1 sämmtlich Null sind (da f^ (x) keine singulare Stelle ausser x=l besitzt) und dass (§ 3, Fussnote) :
B; = f,(0)-2r^, = e-{e-l) = 1 = A,
1 ^'
80 kann man GL (14) mit Hinzufügung des Gliedes B'^ fol- gendermaassen schreiben:
(15) ^(e^O = ^Aieo8v» — i'8mv&),
0
ein Resultat, dessen Richtigkeit man mit Hülfe der Glei- chungen (11) und (6) sofort verificiren kann.
Es scheint mir auch nicht ohne Interesse, die aus den allgemeinen Ergebnissen des vorigen Paragraphen hergeleitete Divergenz der Potenz-Entwickelung von f^ix) für ;x, = 1 nachträglich noch durch die Rechnung direct zu bestätigen.
Es werde gesetzt für |x|<l: 1
(16) f,ix) = e'-'=^ ^^B^x"
0
(wobei also jetzt das im allgemeinen Falle und oben mit Bq -f" ^0 bezeichnete constante Glied der Einfachheit halber mit Bq bezeichnet ist).
Alsdann hat man B^ = /", (0) = e und für r ^ 1 zu- nächst:
i_
A, Pringshehn: Ueber Potenzreihen auf dem Convergenekreise, 359 also mit Benützung von Gl. (8) :
-'■ lif ^ ^~ '^'' ''"' ^''^~ '■"' '^'^^ ~ '^"-^ '''"
schliesslich :
(17) ^v = c-i'*^,(»' -!),_,• Da hiernach:
so wird mit v = oo auch lim i?^ = oo , was dann nothwen- dig die Divergenz von JSB^x^ für \x\ = 1 zur Folge hat.
III. Die soeben betrachtete trigonometrische Reihe für /", (c^O convergirte mit Ausschluss der einen Stelle # = 0. Man kann indessen aus den Ausdrücken f^ {x\ f^ {x) leicht neue bilden, deren trigonometrische Entwickelung auf dem Einheitskreise ausnahmslos convergirt, während die be- treffende Potenzreihe dort divergirt.
Setzt man zunächst:
(18) /,(a;) = /;(x)-/,(x)
_ . -2 . / 1 x+l\
= 2t' e sm K- r I
V2t x — 1/
so wird die für ja;| < 1 geltende Potenzreihe:
(19) f,{x) = 2<'iA,-B,)-2^
0
wiederum für x = e** divergiren. Dagegen wird die Reihe:
(20) /;(c^0 = — 2i.e2sinQ cot-) = 2tjv^.sinv*
360 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 2. November 1895.
jetzt aach noch fur^ = 0, also ausnahmslos conver- giren. Sie convergirt freilieh in der Nähe der Stelle ^=0 angleichmässig — wegen der anendlich vielen Maxima und Minima, welche f^{e^*) daselbst besitzt.
Indessen auch diese Eigenschaft lässt sich noch besei- tigen. Ich setze:
(21) F,{z) = {z-l)-f,{x) 80 hat man f&r \x\ < 1 nach Gl. (5):
(22) F,{x) = {x-l)-^Ä^a^
0
0
und nach § 3, Art. I für 0 < * < 2 jt :
(23) i^.(.*0 = 2i.9in|.e^-^'(*-"*^^
0
Diese Reihe convergirt aber auch noch f ör d = 0 — nämlich gegen den Werth Null (da in Folge der bewiesenen Convergenz von JSÄ ^* offenbar lim -4 =0 sein muss).
Sie convergirt somit ausnahmslos und, da sie mit der Fourier'schen Reihe für die stetige Function F^{e^ identisch ist, auch durchweg gleichmässig. Betrachtet man nun femer die Function:
(24) F,{x) = {x-\) f,{x) 80 wird für ,x\ < 1;
(25)F,(a;) ^ ix-\)'k'BX " --ßo+^(-B,--Bv+i)-«''+'
A. Pringsheim: Üeber Potemreihen auf dem Convergenzkreise, 361
und diese Reihe muss wiederum nach § 3, Art. II für x = e^*' divergiren (da ja der Charakter der singulären Stelle x = 1 durch den Factor (x — 1) keine wesentliche Ver- änderung erleidet).
Andererseits hat man aber für |^|>1 nach Ql. (11) und (5):
F,ix) = (x-i)./;(^)
0
(26) = AoX-^(A^-Ä^,)-x-'
0
und da nach § 3 , Art. I diese Reihe noch für x = e^*' im allgemeinen convergiren muss :
OD 0
Die Vergleichung mit der Reihe (23) zeigt dann aber ohne weiteres, dass auch diese Reihe ausnahmslos und durchweg gleichmässig convergiren muss.
Hieraus erkennt man also, dass selbst in dem Falle, wo die Randfunction in eine ausnahmslos gleichmässig convergirende trigonometrische Reihe entwickelt werden kann, man noch keineswegs ohne weiteres auf die Convergenz der im Innern geltenden Potenzreihe für die Stellen des Con- vergenzkreises schliessen darf.
§5.
Während das Charakteristische der in Art. II und III des vorigen Paragraphen betrachteten Beispiele darin bestand, dass die betreffenden Potenzreihen auf dem Convergenz- kreise divergiren, obschon die zugehörige Randfunction durch eine convergente Fourier'sche Reihe darstellbar
1895. Math.-ph78. Cl. 3. 24
(27) F, (e*0 = A 6-*' - ^ (^ - A,^,) ■ e-^'.
362 Sitzung der mathrphys, Classe vom 2. November 1895.
ist, will ich jetzt, wie in § 1 angekündigt wnrde, ein Bei- spiel einer Potenzreihe geben, welche nachweislich auf dem Convergenzkreise (mit Ausschluss einer einzigen Stelle) noch convergirt, wohingegen die Existenz einer , eigentlichen* Fourier'sche Reihe, d. h. einer solchen mit schlechthin convergenten Integral-Coefficienten (vgl. § 1) nach der Natur der dargestellten Function definitiv ausgeschlossen erscheint. Ich setze:
also für |a;| < 1 :
00
und daher:
f^.
(3) f(r?T+^+-+^ + °t'-f''
SO dass sich zur Bestimmung der Coefficienten a^ die Re- cursionsformel ergiebt:
W fir+T=i^==i (v = o.i,2,...)
und hieraus speciell:
(5) «0=1-
Ich zeige nun, dass die Coefficienten a^ sammtlich po- sitiv sind, mit wachsendem Index v beständig abnehmen und für v = oo gegen Null convergiren.
Schreibt man in Gl. (2) {v — 1) statt v, also:
»'-1 a^
(6) ^ -- - = 1,
und setzt Gl. (4) in die Form :
A. Pringsheim: Üeher Potenzreihen auf dem Convergenzhreise. 363
|
(7) |
»--1 a^ |
- + «. = 1, |
|
|
SO folgt |
durch Subtraction: |
||
|
(8) |
0 (^ |
-;.)(v-f 1- |
'<) |
Hieraas ergiebt sich, dass a^^O ist, wenn das gleiche von Gq, Oj, . . . a^„i gilt. Da aber a^ = 1, so folgt in der That allgemein : a^ > 0.
Schreibt man ferner die Gleichungen (4) und (6) fol- gendermaassen :
(9)
1 " '^x
1- 2" —
v+1 ^7 v+l-x
= 1
V
■^^^- = 1
X v + l-x
so folgt wiederum durch Subtraction und Multiplication mit y -{■ l:
(10)
= 1.
Setzt man hier v — 1 fflr v, also :
(11)
V • ^ = 1
und subtrahirt diese Gleichung von der vorigen, so kommt:
f l +1- -^ - 7---^] («X. , - «)x + (a._, - a,) = 0, oder anders geschrieben:
(12) flv.i — «v = -2^/ w , , ^,
^ ^^ '^ j (r — x) (v + 1 — x)
d. h. a^^j — «y ist sicher positiv, falls alle vorangehenden Differenzen es sind. Da aber aus Gl. (10) für v = 1:
24*
364 Sitzung der malhrphys. Classe vom 2. November 1895,
a^ — «j = ^ sich ergiebt, so folgt wiederam, dass allgemein: ay_j — ay>0 sein mnss.
Da hiernach die positiven Grössen a^ mit wachsendem v bestandig abnehmen, so besitzen sie {&r v =: oo einen be- stimmten Grenzwerth. Dieser muss aber Null sein, da an- dernfalls die linke Seite der Recursionsformel (4) wegen der Divergenz der harmonischen Reihe mit v in's Unendliche wachsen würde.
Aus den eben nachgewiesenen Eigenschaften der Coeffi- cienten a^ folgt aber bekanntlich die gleichmässigeCon- vergenz der Reihen ^a^ cos yd, ^a^ sin vi?, mit even- tuellem Ausschlüsse der Stelle d = 0, also schliesslich die gleichmässige Convergenz von 2%x^ för x = e^\ mit eventuellem Ausschlüsse der Stelle x=h Hier divergirt in der That die betrachtete Reihe, wie sich daraus ergiebt, dass lim f{x) = + °^ wird, wenn x auf dem Radius der
Stelle 1 zustrebt.
Andererseits erkennt man ohne weiteres, dass f(jx) als
Function von x in der Nähe der Stelle ic = 1 nicht
integrabel ist, da sie für x = 1 so unendlich wird, wie
dlglg(l—x) -^ , , 1 ^, An , „ . ^ • ^ ^viss dann aber auch f{e^*) als Function
von d an der Stelle i? = 0 die Integrabilität verlieren, da (e** — 1) = 2 1 • e^ * * ^^° 9 für d = 0 gerade so von der ersten Ordnung verschwindet, wie {x — 1) für a; = 1. Hier- aus folgt dann aber, dass die Integral - Coefficienten der Fourier'schen Reihe im , eigentlichen" Sinne divergent werden müssen: die betreJßFende Reihe ist also eine ,un- eigentliche* Fourier'sche Reihe in dem oben (§ 1) näher definirten Sinne.
3(55
Oeflfentliche Sitzung
zu Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner Königlichen Hoheit des Prinz-Regenten
am 16. NoTember 1896.
Der Präsident der Akademie, Herr M. v. Pettenkofer, eröiFnet die Sitzung mit folgender Ansprache:
Die heutige Festsitzung zu Ehren unseres hoben Pro* tectors, des Prinz -Regenten Luitpold von Bayern, zu dem wir ehrfurchtsvoll aufblicken, mahnt uns zugleich, seiner Vorgänger aus dem Hause Witteisbach zu gedenken, welche sich um unsere Akademie in hervorragendem Maasse verdient gemacht haben.
Vier von ihnen, welche wir theils als Stifter, theils als Reorganisatoren der Akademie verehren, hat unsere Akademie bei der Herstellung und Errichtung dieses Festsaales dadurch besonders zu ehren geglaubt, dass sie inmitten der Symbole und Wahlsprüche unserer Akademie ihre Portraits an der Decke des Saales anbrachte.
Zunächst ist es der eigentliche Stifter unserer Akademie, Kurfürst Maximilian IH«, welcher nach den Worten meines Vorgängers an dieser Stelle in ihr »einen Herd für Geistes- bildung und ernste Studien für Bayern geschaffen*' und „in einem bislang finsteren Gebäude die erste Fackel ange- zündet haf*.
366 Sitzung der mathrphys. Classe vom 15. November 1895.
Ihm zur Seite ist das Bild des EurfQrsten Karl Theodor, des Stifters der kurpfälzischen Akademie der Wissenschaften, welche zugleich mit der alten kurhayerischen in der jetzigen königlichen Akademie fortbesteht. Karl Theodor hat sich unter uns dadurch ein bleibendes dankbares Angedenken gesichert, dass ein von ihm herstammender Fonds von etwa 180,000 Mark, der sogenannte Mannheimer Fonds, eines der wenigen Stiftungscapitalien ist, über deren Rente unsere Akademie in freier Weise für wissenschaftliche Zwecke ver- fügen kann.
Der dritte, als Stifter von uns verehrte Fürst aus dem Hause Witteisbach ist König Max Joseph I., welcher im Jahre 1807 der Akademie eine den Fortschritten der Wi&sen- schaft, sowie der grösseren Ausdehnung des bayerischen Staates angepasste Organisation gegeben hat.
Damals wurden unserer Akademie eine grössere Reihe von wissenschaftlichen Sammlungen und Instituten ange- gliedert und untergeordnet, von welchen ich die damalige Hofbibliothek, jetzige Hof- und Staatsbibliothek, das Na- turaliencabinet, das chemische Laboratorium, das Münzcabinet, das Antiquarium , das astronomische Observatorium als die wichtigsten nenne.
Eine Aenderung in dieser Organisation veranlasste die Verlegung der Ludwig-Maximilians-Universitat von Landshut nach München, welche im Jahre 1826 unter der Regierung König Ludwigs I. erfolgte. Manche der genannten und andere wissenschaftliche Institute und Sammlungen mussten nun in nähere Verbindung mit der Hochschule gebracht und desshalb aus ihrer bisherigen Abhängigkeit von der Akademie theilweise befreit werden. Es erschien als zweckmässig, in der Form einer Personalunion ihre Verbindung mit der Aka- demie fortzusetzen, indem die Akademiker, welche Conserva- toren von Sammlungen waren, auch zu Uuiversitätsprofes- soren, oder umgekehrt Universitätsprofessoreu zu Conserva-
V, Pettenhofer: Eröffnungsrede, 367
toren ernannt wurden. Die bis dahin der Akademie an- gegliederten wissenschaftlichen Institute und Sammlungen bildeten eine eigene unter dem Generalconservatorium geeinte Körperschaft, während die Akademie den Charakter eines freien Vereins von Gelehrten erhielt, dessen Aufgabe es sein sollte, die Wissenschaft zu pflegen und zu erweitern, sowie durch vereinte Kraft Werke hervorzubringen, welche die Kräfte des Einzelnen übersteigen.
Zugleich bekam die Akademie die Aufgabe, die wissen- schaftliche Verbindung mit gelehrten Körperschaften des In- und Auslandes zu pflegen.
Die Personalunion mit jenen im Generalconservatorium vereinten wissenschaftlichen Sammlungen wurde dadurch her- gestellt, dass der anfangs gewählte, dann vom König ernannte Vorstand der Akademie zugleich zum Generalconservator bestimmt wurde, sowie dadurch, dass in der Regel nur Mit- glieder der Akademie zu Gonservatoren der wissenschaftlichen Sammlungen und Institute ernannt wurden.
Durch diese Neuorganisation, welche heute noch das Grundgesetz beider Körperschaften bildet, hat König Ludwig I. den Anspruch erworben, den Gründern unserer Akademie beigezählt zu werden.
Unsere Akademie ist in den seitdem verstrichenen sieben Jahrzehnten der ihr gestellten Doppelaufgabe treu geblieben: in einer langen Reihe von Bänden hat sie durch vereinte Kraft wissenschaftliche Werke von bleibendem Werthe ver- öffentlicht; in stets steigendem Masse hat sie mit gelehrten Körperschaften des In- und Auslandes wissenschaftlichen Verkehr gepflogen und auf dem Wege des Schriftentausches die inzwischen selbständig gewordene Hof- und Staatsbibliothek mit einem Schatz werthvoller Bücher bereichert.
Aber eine neue grosse Aufgabe ist seither an unsere Akademie wie an die anderen verwandten Gelehrten- Gesell- schaften der alten und neuen Welt herangetreten, die Auf-
368 Sitzung der mcUhrphys. Glosse vom 15. November 1895,
gäbe Dämlich, nicht nur die wissenschafklichen üntersuchun^n ihrer Mitglieder durch den Druck zu veröffentlichen, sondern in freierer Weise auch gelehrte Forschungen Anderer auf allen Wissensgebieten anzuregen und zu unterstützen. Dieser Aufgabe können sich die Akademien in ihrer freien, nicht durch die Zwecke des Unterrichts gebundenen Verfassung weit besser unterziehen, als die Universitäten, oder als eine etwa unmittelbar von der Staatsregierung abhängige Behörde.
König Maximilian IL, mit seinem erleuchteten und warmen Interesse für die Wissenschaft, hatte diese neue Auf- gabe der Akademie klar erkannt: er begründete darum bei der historischen Classe unserer Akademie eine eigene faiiito- rische Commission und stellte ihr die Rente eines Capitals von 650,000 Mark zur Verfügung mit der Aufgabe, QuelUn- material für die deutsche Geschichte in ihrem ganzen Um- fang aufzufinden und herauszugeben, wissenschaftliche Ar- beiten auf diesem Gebiete hervorzurufen und ihre Publication zu ermöglichen.
Auch für die Naturwissenschaften hatte König Max Aehnliches im Sinne. Leider hat sein früher Tod die Aus- führung vereitelt, so dass nunmehr die beiden anderen Classen unserer Akademie, die philosophisch -philologische und die mathematisch-physikalische, mit einem gewissen Neid auf ihre reichere Schwester blicken.
Und doch darf ich, ohne den Vorwurf einer unbilligen Bevorzugung des Wissensgebietes, dem ich persönlich meine Dienste gewidmet habe, befürchten zu müssen, hier die Be- hauptung aufstellen, dass heutzutage das Bedürfniss, auf dem Gebiet der Naturwissenschaften wissenschaftliche Unter- suchungen anzuregen und zu unterstützen, allgemein als das allerdringendste empfunden wird.
Unsere Hoffnung, dass auf dem Wege der Staatshülfe dieses Bedürfniss eine ausgiebige Befriedigung finden werde, ist ~ offen gestanden -- nur eine geringe. Es wäre auch
V. Pettenkofer: Eröffnungsrede, 369
unbillig, von der Mehrheit der aus der Masse des Volkes gewählten Vertreter zu erwarten, dass sie alle ein klares Verständniss dafür haben, dass mittelbar die der reinen Wissenschaft dienenden Untersuchungen und Forschungen stets auch eine die Wohlfahrt und den Wohlstand des ganzen Volkes fordernde Folge haben, wofür ich Beispiele in meiner Antrittsrede als Präsident der Akademie mitgetheilt habe. Ferner sind die Anforderungen, welche Heer, Schule, Ver- kehr u. s. w. an die Steuerkraft des Landes stellen, so gross, dass jede Landtagsverhandlung fast immer wie ein Markten zwischen Regierung und Volksvertretung über das Mehr oder Minder der für diese nothwendigsten Bedürfnisse erforder- lichen Geldmittel erscheint.
Eher dürfen wir erwarten, dass einzelne einsichtige und zugleich wohlhabende Männer, namentlich Industrielle, welche mit einem durch eigene wissenschaftliche Vorbildung ge- schärften ürtheil erkannt haben, welche Vortheile der von ihnen betriebene Industriezweig mittelbar streng wissen- schaftlichen Forschungen und Untersuchungen verdankt, sich ihrerseits der Wissenschaft gleichsam wieder dankbar erweisen werden, indem sie unserer Akademie die nöthigen Mittel zur Verfügung stellen, naturwissenschaftliche Forschungen und Untersuchungen anzuregen und zu unterstützen. Solche Männer werden nicht so engherzig oder kurzsichtig sein, zu erwarten, dass derartige Untersuchungen gleich von vorn- herein sofort einen in Qeldwerth umzurechnenden Nutzen versprechen, sondern sich von den Wahlsprüchen, welche unsere Akademie bei Ausschmückung dieses Saales sich an- geeignet hat, den vor Augen halten, welcher sagt: Serimus arbores posteritati profuturas! Lasst uns Bäume pflanzen der Nachwelt zum Nutzen!
370 Sitzung der fnath.-phys. Glosse votn 15. November 1895,
Wahlen.
Der Classensekretär, Herr C. v. Voit, giebt sodann die von der Akademie vorgenonimenen und von Seiner König- lichen Hoheit dem Prinz - Regenten bestätigten Wahlen be- kannt. Es wurden in der mathematisch-physikalischen Classe gewählt :
zum ordentlichen Mitgliede: Dr. Ferdinand Lindemann, ordentlicher Professor der Mathematik an der hiesigen Universität, bisher ausser- ordentliches Mitglied;
zum ausserordentlichen Mitgliede: Dr. Wilhelm von Miller, ordentlicher Professor der Chemie an der hiesigen technischen Hochschule;
zu correspondirenden Mitgliedern:
1. Francesco Brioschi, Präsident der Accademia dei Lincei
und Professor der Mathematik am R. Istituto tecnioo superiore in Mailand;
2. Dr. Karl Neumann, Professor der mathematischen Physik
an der Universität zu Leipzig;
3. Dr. Hendrik Antoon Lorentz, Professor der Physik an
der Universität zu Leiden;
4. Dr. Alexander Kowalewski, Professor der Zoologie und
Akademiker zu St. Petersburg;
5. Albert Gaudry, Professor der Paläontologie am Jardin
des Plantes zu Paris, Merabre de Tlnstitut; G. Sir Archibald Geikie, Generaldirektor der Geological
Survey von Grossbritannien in London; 7. Nevil Story Maskelyne, Professor der Mineralogie an
der Universität zu Oxford.
371
Sitzung vom 7. Dezember 1896.
1. Herr H. Seeliqer legt unter Besprechung des Inhalts eine Abhandlung des Herrn Professors Dr. R. Lrhmann- FiLHES in Berlin : „lieber die Säcularstörung der Länge des Mondes unter der Annahme einer sich nicht mo- mentan fortpflanzenden Schwerkraft* vor.
2. Herr W. Dyck bringt eine Abhandlung des Herrn Privatdozenten Dr. Eduard von Weber: ,Ueber gewisse Systeme Pfaff'scher Gleichungen** in Vorlage, welche sich an die in der Februar-Sitzung d. J. mitgetheilte Unter- suchung anschliesst.
3. Herr C. v. VoiT theilt die Hauptresultate einer in seinem Laboratorium von Herrn Dr. Alexander Ellinger ausgeführten Untersuchung: ^Ueber den Nährwerth des Antipeptons** mit.
Ueber die Säcularstöniiig der Länge des Mondes
unter der Annahme einer sich nicht momentan
fortpflanzenden Schwerkraft.
Von B. Lehmann-Filh^s.
(SinfftUtufin 7. Desemb^r.)
Seitdem Laplace im VlI. Capitel des X. Buches der Mecanique Celeste eine Untersuchung über die Wirkung einer ,transmission successive de la pesanteur* mitgetheilt hat, sind kritische Discussionen des Newton'schen Gravitations- gesetzes für lange Zeit von der Tagesordnung verschwunden. Erst in neuerer Zeit hat man derartige Fragen, über deren Wichtigkeit wohl kein Streit sein kann, wieder mehr in's Auge gefasst, indem man einerseits die Folgen einer etwaigen endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation für
372 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 7, Dexember 1895,
die planetarischen Bewegungen auf Grund verschiedener Hy* pothesen erörtert, andererseits in Erwägung gezogen hat, ob die Intensität der Kraft nicht in einer anderen Form als Function des Abstandes der sich anziehenden Maasentheilchen gegeben werden muss, als es durch Newton geschehen ist
Besonders die letztere Frage hat vor etwa einem Jahre eine sehr bedeutsame Förderung erfahren durch Seeliger's Aufsatz .lieber das Newton ^sche Gravitationsgesetz* (Astr. Nachrichten Nr. 3273). Eine weitere sehr umfassende Be- reicherung der diesen Gegenstand betreifenden Literatur ist erfolgt durch die soeben erschienene Schrift von Carl Neu- mann, , Allgemeine Untersuchungen über das Newton 'sehe Princip der Fern Wirkungen. '^ Ueber den Inhalt dieses höchst wichtigen Werkes gab schon eine ohne Zweifel von G. Nenmann selbst verfasste Anzeige in den .Mitteilungen der Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner in Leipzig*', 28. Jahr- gang, Nr. 5 eine vorläufige Orientirung.
Ueber die zuerst genannte Frage, die nach der zeit- lichen Fortpflanzung der Gravitation, Hegt gleichfalls eine ansehnliche Literatur vor. In dieses Gebiet gehören auch die Untersuchungen Qber den Einfluss, welchen z. B. die relative Geschwindigkeit der sich anziehenden Punkte auf Grund des Weber 'sehen oder Riemann 'sehen Gesetzes auf die planetarisehen Bewegungen ausübt. Eine sehr schätzbare Zusammenstellung der wichtigsten einschlägigen Arbeiten ist erst kürzlich in dem Aufsatze von S. Oppenheim „Zur Frage nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation*, Jahresbericht über das k. k. Akademische Gymnasium in Wien für das Schuljahr 1894—95, gegeben worden.
Die vorhandenen Untersuchungen beziehen sich alle in erster Linie auf die Bewegung eines Planeten um die Sonne, und eine Anwendung der für diese gefundenen Formeln auf die Bewegung des Mondes, wie sie S. Oppenheim auf S. 18 seiner Schrift bei Besprechung der von v. Uepperger in den
Lehmann- FüMs : SäcuJar Störung der Länge des Mondes etc, 373
Sitzungsberichten der kais. Akademie der Wissenschaften in Wien, 1888 veröffentlichten Arbeit „üeber die Fortpflanzungs- geschwindigkeit der Gravitation* von dessen Ausdruck für die Säcularstörung der Länge eines Planeten gemacht hat, führt zu keinem richtigen Resultat.
Der Verfasser der vorliegenden Untersuchung hat bereits im Jahre 1884 in Nr. 2630 der Astr. Nachrichten eine Untersuchung über die Bewegung eines Planeten unter der Annahme einer sich nicht momentan fortpflanzenden Schwer- kraft veröffentlicht. Die der Rechnung zu Grunde gelegte, später auch von v. Hepperger in Anwendung gebrachte Hypothese ist die, dass die Gravitation ähnlich wie das Licht von dem Kraftcentrum ausstrahlt, und dass die Gravitations- strahlen sich wie die Lichtstrahlen mit constanter Geschwin- digkeit gradlinig im Räume verbreiten. Bei der Begegnung mit einem Massenpunkte ist also seit dem Ausgange des be- treffenden Impulses eine, wenn auch noch so kurze Zeit ver- gangen, in welcher der anziehende Punkt im Allgemeinen seinen Ort geändert hat. Hierdurch entstehen dann Be- wegungsstörungen gegenüber dem Fall einer sich momentan ausbreitenden Kraft, welche eine gewisse Analogie zu den Aberrationserscheinungen besitzen.
Diese Hypothese ist als eine rein mathematische aufzu- fassen, indem irgend eine Vorstellung über die physikalische Natur der Gravitation, wie wir sie z. B. bei Laplace finden, darin nicht ausgesprochen ist.
Die Durchführung der erörterten Hypothese ist nun jedenfalls eine unvollständige, so lange sie nicht auf den- jenigen Himmelskörper, dessen Bewegung uns wegen seiner grossen Nähe ihre Eigenthümlichkeiten am deutlichsten er- kennen lässt, angewendet ist. Auch unter Zugrundelegung anderer Hypothesen, z. B. des Weber'schen Gesetzes, ist die Mondbewegung bisher noch nicht genauer untersucht worden, offenbar deshalb, weil, wie v. Hepperger am Schlüsse seiner
374 Sitzung der mathrphys. Classe vom 7. Dezember 1895.
Abhandlang ganz richtig bemerkt, die Entwickelungen ,in Folge der krummlinigen Bewegung der Erde und der durch die Sonne bewirkten Störungen mit grossen Schwierigkeiten verbunden* sind.
Wenn hier in dieser Richtung ein erster Schritt, der hoffentlich Nachfolge finden wird, gemacht wird, so ist von vornherein zu beachten, dass das Verfahren bei der unge- meinen Gomplication der Aufgabe nur ein approximatives sein kann. Auch ist das Thema insofern eingeschränkt worden, als vorzugsweise die Säcularstorung der Lange zum Gegenstande der Untersuchung gemacht wurde, wozu der Umstand, dass ein Theil der säcularen Beschleunigung des Mondes durch die Theorie noch nicht erklärt ist, aufzu- fordern schien. Dass hierbei der Radiusvector und die Länge auch in allgemeiner Weise untersucht werden mussten, liegt in der Natur der Sache.
Das Resultat ist ein negatives, da nicht eine Beschleu- nigung, sondern eine Verzögerung der Mondbewegung ge- funden wird, deren Betrag nochdazu zu Annahmen über die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation nöthigt«, welche wenig plausibel erscheinen.
Derartige Rechnungsergebnisse dürfen nach Ansicht des Verfassers nicht dahin führen, die Behandlung der betreffen- den Fragen überhaupt aufzugeben. Vielmehr sollte man die Untersuchungen auf verschiedenen Grundlagen weiterführen, , nicht etwa", wie C. Neumann in der erwähnten Anzeige seines Buches sagt, ,in der Hoffnung, dass eine solche Theorie sofort zu physikalisch wichtigen Aufschlüssen führen werde, sondern nur in dem Bestreben, den ganzen Kreis der hier- her gehörigen Vorstellungen zu ordnen, zu erweitern und vielleicht für künftigen Gebrauch nutzbar zu machen.
Lehmann-PÜhis : Säcülarstörung der Länge des Mondes etc, 375
I. Aufstellung der DifiPerentialgleichungen.
Wir nehmen ein im Räume festes Coordinatensystem an, in Bezug auf welches der Schwerpunkt der Erde zur Zeit t die Coordinaten f^, ij^, C^ habe. Ein Element dm^ der Erd- masse habe in Bezug auf den Schwerpunkt die Coordinaten J?ot 9oi }o ^^^^ ^^^ Abstand q^ von demselben, so dass
?j = jj+>jj+i? 1)
Das Massenelement der Erde wirkt anziehend auf das Massenelement dm des Mondes, dessen ganze Masse m heisse. In Bezug auf das feste Coordinatensystem habe dm die Coordinaten |'. *^', c', in Bezug auf den Schwerpunkt der Erde x\ y\ z\ Der Abstand zwischen dm und dm^ heisse <J, zwischen dm und dem Schwerpunkt der Erde dagegen r'.
<i» = (x' - i,Y + (y' - y » + (^' - i,Y \
= (r-lo-Jo)'+('?'-'/o-»)o)*+(C'-?«-ao)*i '
Wenn die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Gra- vitation fortpflanzt, durch ^r bezeichnet wird, so ist die Zeit,
u
zu welcher der auf dm wirkende Impuls von dm^ ausging, gleich t — ö (J, und zu dieser Zeit waren die Coordinaten von dm^
?o + 5o-^^-^d7~ +172 — dT^ 1¥3 — dW +•••
% + 9o-ö^ — df— +r2 — dtT iTars — rf78— + •■• fco -r- So ^^- rfi "T-1.2" dt'^ 1.2.3' (1^3" "^•••
Da nun aber jedenfalls Bö^ d. h. die Zeit, während welcher die Gravitation die Strecke d durcheilt, eine sehr kleine Grösse ist, so genügt es, nur die erste Potenz der-
376 Sitzung der maih.'pkys, Classe vom 7. Deeemher 1895.
selben zu berücksichtigen, d. h. für die Goordinaten von dm^ folgende Werthe anzunehmen:
Der Abstand zwischen dm und dem durch vorstehende Goordinaten bestimmten Orte von dm^ ist hiernach
btfo+lo)' dt ^a(i7o+^o)* dt "^a{Co+ao) dt J oder mit Hülfe von 2)
«J + e[(^'-?o-5o)^^ + ('?'-'?o-^o)^^^+(£'-So-Jo)^**l,
und hiernach wird die der ^-Achse parallele Componente der von dmQ auf dm geäusserten Beschleunigung:
oder, wenn auch hier wieder d*, ö^, . . . vernachlässigt werden und g' — $0 = x\ Tj' ^7]^ = y\ £' — ^ = £r' gesetzt wird:
— Pdwo^
i + lo)
a» '^d'i dt
Wir werden nun zunächst in diesen Ausdruck die von
der Rotation der Erde herrührenden Werthe von -^, ^, ~P
dt dt dt
Lehmann-Fühis: SäcularstÖrung der Länge des Mondes etc, 377
einsetzen. Bezeichnen wir die Winkelgeschwindigkeiten um die drei Coordinatenaxen mit y^, Xoi V^i ^^ '^^^
'^i = Xoh — %K
Indem wir beachten, dass
^0 dt ^ 9o dt ^ «0 dt ^
ist, erhalten wir für obige Beschleunigungscomponente fol- genden Werth:
- 36^---^-^ [ix- - j„) 'i^ + W- t,„) ^,^ + (.' - 3o) 'j:]
+ 3ö'^'-;/'' [xo(xo^'-4>oy') + %(</'oa:'-<ro-^') + JoC^y'-^fo*')]}
Um die Einwirkung der ganzen Erde zu erhalten, haben wir den Ausdruck 3) über die ganze Erdmasse Mq zu in- tegriren. Aus 1) und 2) folgt:
cJ» = r'» - 2 (X' Jo + y t)o + ^' Jo) + ^o'i
woraus, wenn wir nur noch die Glieder zweiter Ordnung in Bezug auf die Mondparallaxe mitnehmen:
^M r'"[ "^ r'2 2r'^ 2 ' r'* J ''
Wir nehmen nun an, dass die Erde eine aus homogenen concentrischen Schalen zusammengesetzte Kugel ist, so dass der Schwerpunkt im Mittelpunkt liegt und alle Durchmesser
1895. MAth.-phy8. Cl. 8. 26
378 Sütung der math.-phy$. Claate vom 7. Dtzember 1896.
Hanptträgheitsaxen sind. Wir haben dann nach bekannten Sätzen:
J*f J d>M, = S^ dm, = J* jj dfw, = -g J 5)
Sul dm, = 2 -^o
1(3:' 5, + y' IJo + ^' Jo)* ^»»0 = ? ^0-
wenn mit Jg das Trägheitsmoment der Erde in Bezug auf eine durch den Mittelpunkt gehende Axe bezeichnet wird.
Mit HQlfe von 4) erhalten wir hieraus folgende Re- lationen, in denen nicht fiber Glieder zweiter Ordnung hin- sichtlich der Mondparallaxe hinausgegangen ist:
Jdmo _ 1 r«. _L «(« — 1) ^ol i;r-^['»o+— 4— F»J
jt ^-^0 - 27» -f-i ^^0 - J¥ dm, -~jj^ dm, - 0 Cx'—to3 a;' r„ I »(»—8)^01
(''~^Am — *' r«i I n(n- 8)^0] f(flzJp)* j^ _ a;'2 r , n(n-5) ^«1 , Äo
J ~äir- «^«»o - r^ [«»0 + -4— ?äj + äP^»
f(y'-Uo)» ^„ _ y'« r^ , «(n-5) ^1 , ^0 J — ä»- «^»«o - r^ [»»0 + —4— TiJ + äPi
f(«' - Jo)« j^ _ «'« r_, , n(n-6) ^ol , ^0
6)
Lehmann-Fühis: Säcülarstörung der Länge des Mondes etc, 379 in " «•^'o — ^ 2r' «4-2 2r'H
»+2
j„ »»«0 — » « 2r'"+2
6)
Mit Hülfe dieser Relationen erhält man als Integral von 3):
'-^\^o-:^z)^^4\^ rfr+J'"dr+^-5rj-^274Uo^-V'oy)|
Wir haben hieraus die Componente der bewegenden Kraft zu berechnen, welche die Erde auf den ganzen Mond ausübt. Zu diesem Zweck ist der vorstehende Ausdruck 7) mit dem Massenelement des Mondes zu multipliciren und über die ganze Mondmasse zu integriren. Wir nennen die geocentrischen Coordinaten des Mondschwerpunktes x^ y^ e\ die auf diesen Schwerpunkt bezogenen Coordinaten des Massenelementes 5, ^, j; den Abstand des letzteren vom Schwerpunkte p. Dann ist in 7) einzusetzen
wo
r» = a;* + y* + ^*i
26*
380 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 7. Dezember 1895.
Hieraus folgt nach Analogie von 4) _L— Ifi ^^s + .v^ + '^a »>g^ . >t(n+2)(3^£+y^ + ^aPl
wobei Glieder von der dritten Ordnung in Bezug auf den scheinbaren Mondradius yernacfalässigt sind.
Man kann hieraus eine Anzahl von Reductionsgleichungen herleiten, die, vom Vorzeichen der Coordinaten jf, ^, ) ab- gesehen, den Formeln 5) und 6) analog sind, wobei der Mond, wie vorher die Erde, als eine aus concentrischen homo- genen Schalen zusammengesetzte Kugel angesehen wird, deren Gesammtmasse m und deren Trägheitsmoment in Be- zug auf eine durch den Mittelpunkt gehende Axe A heissen möge.
Durch Integration erhält man demnach aus 7):
- * \~W^+ \^^o ^2 ) 72 dt ^)
wobei die Producte der Trägheitsmomente vernachlässigt sind.
Dies ist die ^-Gomponente der bewegenden Kraft, welche die Erde auf den Schwerpunkt des Mondes ausübt. Für den Einfluss der Sonne kommt natürlich ein ähnliches Glied hinzu, in welchem wir folgende Bezeichnungen an- wenden wollen:
Es sei ntj die Masse, A^ das auf eine durch den Mittel- punkt gehende Axe bezogene Trägheitsmoment der Sonne, welche wir wie Erde und Mond als eine aus homogenen concentrischen Schalen zusammengesetzte Kugel ansehen. Die Coordinaten des Schwerpunktes (Mittelpunktes) in Bezug auf das im Räume feste Coordinatensystem seien ?j, i;,, C,, die geocentrischen Coordinaten desselben Punktes Xp y^^ e^\ der Abstand der Mittelpunkte von Erde und Sonne heisse r^.
Lehmann-FilMs: Säetdarstörung der Länge des Mondes etc. 381
Die heliocentrischen Coordinaten des Moudmittelpunktes werden demnach x — a?i, y — y^^ 0 — i?,. Der Abstand des letzteren vom Sonnenmittelpunkte heisse J, Endlich seien ^/>i, ;fi, i/'i die Winkelgeschwindigkeiten der Sonnenrotation um die drei Goordinatenaxen.
Hiernach wird die Componente der von Erde und Sonne auf den Mond ausgeübten bewegenden Kraft, wenn wir für den Augenblick die auf das feste Coordinatensystem bezogenen Coordinaten des Mondmittelpunktes ^, r\y ^ nennen :
Da wir nun die geometrische Bewegung des Mondes zu untersuchen haben, so muss auch -yj^ gebildet und von -^
abgezogen werden, wodurch -j-^ erhalten wird.
Man findet, wenn qp, x^ ^ die Componenten der Winkel- geschwindigkeit der Mondrotation bedeuten:
m '^ — _ p f_ !'^ a; 4- (m m — ^^o + ^o^V^^ -?,yntm, -^ _ _ j _ 1^^ _ + y -^- + ^ --- j
382 Sitzung der math.-phy». Clasae vom 7. Dezember 1895. - * |- -^ *• + (»»0»», ^^i ) r^t -dt
Bildet man nun aus 9) und 10) die Differenz
dt^ dt^ dt^ ' so erhält man eine Gleichung von der Form
dt^ + f^ -73— ^— dx^-^' 11)
wo
ß=*x(^-^-^^,f»^^-^)
12^
In dem Ausdrucke für X, der alle mit 0 multiplicirteii Glieder umfasst, wollen wir für die Componenten der abso- luten Geschwindigkeiten der Sonne coustante Werthe an- nehmen, indem wir setzen
dt ■" ' dt ^^ ' dt ~^'
Dies ist allerdings nicht völlig streng; denn wenn die Geschwindigkeitscomponenten des Schwerpunktes des ganzen Systems die constanten Werthe er, /?, y haben, so ist
d
wo jeder Planet zu berücksichtigen ist. Setzen wir in X
einfach -.^ = a , so vernachlässigen wir damit entweder
Glieder von der Ordnung der Producte der Planeten massen oder von der Ordnung des Quotienten einer Planetenmasse dividirt durch rj*. Beide Vernachlässigungen bedürfen keiner Rechtfertigung.
Lehmann- Fähes: Säcutarstörung der Länge des Mondes etc. 383 Ferner beachten wir, dass
^0 = ^1 — ^11 % = ^1 — Pv Co = Ci — ^1 ;
Hiernach findet sich
»\ iBoWiri^ /ri»
-ai'CjM m\(l m^+moA\ex( dXj dy^ dz^\ ök (.»»0 m) yi ^^^^ j^yx-^-^y ^^ +*-Jt/
\ mmQV^ / rJ» dt
- ^' Hi - r7) (5^. ^. - '^. y.^ + ^* f* ('f« ^ - '/'. y)
Durch cyklische Vertauschung innerhalb der drei Buch- stabengruppen a?, y, jß^; a, /^, y; 9p, ;f, V' erhält man aus X auch die Componenten Y und Z der von der nicht momen- tanen Fortpflanzung der Gravitation herrührenden störenden Kraft.
Die Differentialgleichungen der geocentrischeri Bewegung des Mondes lauten also:
13)
384 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7, Dezember 1895.
U)
Wir werden dieselben jedoch für unsere Zwecke trans- formiren. Zunächst erhalten wir leicht
dx^ + dy^ + dz^ _ g^^ m+Wp , ^^ m + mp j^^
= 2j(|f dx + '^dy + y^d.)+2J{Xdx+Tdy+Zd.).
WO /c* die Integrationsconstante ist und die Integrale
als untere Grenze die Osculationsepoche haben. Ferner geben die Gleichungen 14)
di^ ^^ ~T~ — \^di+ydy+^dlJ
+ {xX + yY+isfZ) 16)
Weil nun aber r* = ic* + y* + £r*, also J[ i2(^ _ dx^ + dy^ + dz'^ . xd^x + ycßy + zd^z
so erhält man durch Addition von 15) und 16)
1 d^frg) 7 a w + mo , , a w + wp
2 dt^ ~^ ' r ^ '^ ~~r~
+ 2 X(Xrfa: + Fdy + Zd^) + {xX + yY+ jgZ)
Betrachten wir allein die durch die endliche Fortpflan- zungsgeschwindigkeit der Gravitation hervorgebrachte Störung, so erhalten wir, wenn ö jene Störung andeutet:
Lehmann-Fühis: Säciäarstörung der Länge des Mondes etc. 385 ^^^M^k^'^^^rdr) 17)
+ 2 X(Xda; + Ydy + Zdz) + (a;X + y F + ^rZ)
Mit Rücksicht auf die Bedeutung von ß lässt sich in- dessen diese Gleichung noch auf eine andere Form bringen.
Da bis zu den Gliedern von der Ordnung —^ mcl.
so ist
p _ Ä^mi r _ _1 r« , 3 (a^^i + yyi+gg|)^]
oder, da das Glied — ,— weder zu ^(^'g )i ^^^ch zu 2 (J I (g- rf^ + ^ dy + ^- rf^j einen Beitrag liefert:
p ^ ^1 r 3 (^ovH^yi 4-^^ _ 1 r^2] n [2 n* 2 r^J'
Hieraus ergiebt sich
und analog a- und ^-. Femer :
aß , aß , aß aß «o
dx^ ^ dy^ dz dr
Mit Rücksicht auf das Spätere sollen hier an Stelle der geocentrischen Coordinaten x^^ y^, ^Tj, Tj der Sonne die auf den Schwerpunkt des Systems Erde-Mond bezogenen Sonnen-
386 Sitzung der math.-phijs. Classe vom 7, Dezember 1895,
coordinaten Xq, y^, 0^^ r^ eingeführt werden. Man findet sofort:
m
^i — ^0 "T
m + tno
y^ = y'> + ^m,-y i^)
i m
B* — <8^A "T" 1 • Z,
Ml 1
Bezeichnen wir den Factor — , — , der etwa — beträft, durch B und vernachlässigen 6*, c* . ., so finden wir
p = ^1 [1 (^a^ + yyo + g^o)' __ i!f 1
, ^»1 [9 '^^0 + 2/yg+ifg ^a _ M (?^o + yyo + g^o)^] "^ ro [2 V 2 ro« J
9^ ro [ fo* ' ^ r^\
JL. ^}^^ [3 ü!^:? , ß ^^o + yyo + -ggo __ 15(a;a:b + yyo + ^^o^^L
Analog 3^ und 3^.
Wie man sieht sind die mit c behafteten Glieder von einer höheren Ordnung als die letzten, welche wir bei der Entwickelung noch berücksichtigen wollten, weshalb wir innerhalb der festgesetzten Genauigkeitsgrenze haben:
p ^ fc^^i ["3^ (a?a?o + yyo + ggo)a _ j. r« 1 ro L2 ro* 2roaJ
9. = ^^^1 [3 ^^0 + yyo + gjgo ^1
•r ro [ ro* * ® ro^J'
dp
d
Hiernach darf man also in der Störungsfunction und ihren Ableitungen die geocentrischen Coordinaten der Sonne durch die auf den Schwerpunkt des Systems Erde-Mond be- zogenen (barycentrischen) Sonnencoordinaten ersetzen.
Lehmann-Fühis: Säcularstörung der Länge des Mondes etc, 387 Wir führen nun ein
a; = r cos /? cos A a?o = r© cos ß^ cos X^
y = r cos /? sin X yQ = rQ cos ßo sin X^
z = r smß £Q::=ro sin ßQ
wo X und /? die geocentrische Länge und Breite des Mondes, Xq und ßQ die barycentrische Länge und Breite der Sonne sind. Es ergiebt sich
-Q= -'^^^^[3cosV - 2 + 3cosVcos(2A— 2Ao) + 3 sin 2 /? sin 2 i?o cos (A — X^)],
wo bereits die zweite Potenz der Sonnenbreite ß0 vernach- lässigt ist. Da jedoch die Störungsfanction schon einen starken Verkleinerungsfactor hat, so werden wir hier auch das Quadrat der Mondbreite sowie das Product der Breiten von Sonne und Mond vernachlässigen, so dass einfach
n = ^-^'^,[l + 3cos{2k-2X,)]. 19)
Da
und
so nimmt Gleichung 17) folgende Gestalt an:
+ 2X(Xdx+ Ydy-\-Zde)-\-{xX + yY-\-gZ) oder, da
388 Sitzung der math-phys, Glosse vom 7. Desember 1895.
+ 2 J*(Xda; 4- Fdy + Zde) + («Z + y Z + «rZ) Die beiden ersten Gleichungen 14) geben
= |f+(a;r-yX) Da nun — •^^- - r* cos* /J V: so hat man
r^cos^i?^ = Const. + /fj d< +^{xY'-' yX) dt,
wo die Integrationen von der Osculationsepoche beginnen.
Hinsichtlich der von der endlichen Geschwindigkeit der Gravitation herröhrenden Störung hat man demnach
r»cosV-// + 2^Jrcos/9d(rcos/?)
= Spf^dt + J(xY-^yX)dL
Mit Vernachlässigung der zweiten Potenz der Mond- breite kann man diese Gleichung schreiben
+ X(a;r-yX)d< 21)
Lehmann-Fühis : Säctdarstörung der Länge des Mondes etc. 389
Eine scharfe Integration der Gleichungen 20) und 21) müsste natürlich durch abwechselnde Annäherungen er- folgen.
Die in den entwickelten Gleichungen auftretenden par- tiellen ersten und zweiten Dififerentialquotienten der Storungs- function i2sind innerhalb der festgesetzten Genauigkeitsgrenzen die folgenden:
du dX
aß
dQ
drdr^
dXdr^ d\Ü
92 ß
= - f h^m, ~ [1 + 3 cos (2 A - 2A,)]
= - f **»», -^^i [1 + 3 cos (2A - 21,)
= + |A*^i5sin(2A-2A,)
= + 3 It'm^ ^\ [1+3 cos {2X — 2l,)\ r2
ä7:i'Ä = --2*''»«w*«'°^'^-'^'^
32 ß
arrA; = + 3^'^ii^«^^C2i-2^i)
d'^Q
^,- = + 3i^m,^cos(2A-2A,)
^^^, =-3Ļni,^ cos (2^-2^0
= -3Pmij:^sin(2A-2Aj)
= - 3fc»w, ~, cos (2A — 2 A,)
92 ö
ärai
22)
Ferner ergiebt sich aus 13) und den analogen Ausdrücken für Y und Z:
390 Sitzung der maih.-phys, Glosse vom 7. Desember 1895,
^ " ^V mm^r^ J r^ dt
\ mwQt^ 1 r dt
X [o (« - X,) + /? (y _ y,) + y (^ - ^,)]
X (a«, + /*yi + y*i)
~ ^ " (Ä ~ r^ t?"» (^y» " S'*>) +^> (**• " '*«^
+ Vi (yj5i — «yi)] a:r- yx = Ä* («0 - «) (i - ^^^^^"-) ,' («y - /^^)
' ^ ^ ^\ wmor* / r« dt
-L. p,„ /l _ fw^o + two^\ d ocdyj--ydx
+ /»(y-y.) + >'(*-«i)]
Lehmann-Fühis: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 391 k^A 8
+ V H f* («/'o* — üPo^) — y (/o* — V'oy)]
+kHm m)(l ^^Q'^'^o^Y ^^^li^ydy.+dzdz,
4- Jc^m (l - ÜLVHwoi'l l dx^-hdy^ + dz^ \ rnntor^ / r« dt ^
^\ «Wo»-» /r» ' dt
X [«(a;-a;,) + /'(y-y.) + )'(ir-^,)]
+ T \ H + -]fj (xdy—ydx)
fcM,
2
+ Xi (*i d« - a;, <?^) + V»! («1 dy - y» da?)]
392 Sitzung der mcUK-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895,
n. Die Störungen der Flanetenbewegnng.
In den Differentialgleichungen 20) und 21) treten die Störungen ör^ und öX^ auf, d. h. die von der endlichen Fort- pflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation herrührenden Stö- rungen des Abstandes der Sonne von dem Schwerpunkte des Systems Erde -Mond und der auf diesen Punkt bezogenen Sonnenlänge. Diese Störungen sind natürlich identisch mit denen der heliocentrischen Coordinaten jenes Schwerpunktes. Zur Berechnung dieser lassen sich die bereits entwickelten Differentialgleichungen nach einer entsprechenden Verein- fachung benutzen. Setzen wir nämlich in 9) und 10) m^ = 0, so erhalten wir die Bewegung der Masse m in Bezug auf die Gentralmasse mQ. Ist diese Masse ein System von Massen- punkten, so sind diese im Schwerpunkt vereinigt zu denken.
Für diese setzen wir ^^f = a, ^ = ß, ^-} = y, wo a, ß, y cit Oft dt
constant sind. Hierbei sind offenbar Glieder von der Ord- nung der Masse m vernachlässigt, welche wir als ausser- ordentlich klein im Verhältniss zu m^ betrachten. Wir werden deshalb überhaupt Glieder mit dem Factor m weg- lassen.
Hiernach wird
dt ^ dt
dt ""/^'T' dt
d^ _ ,dz^ dt ^"T" dt
Unter Mitnahme der Hauptglieder erhalten wir somit:
d'^^Q , Ic'^mx
~dt^ ~ "T" "78"'
Lehmann-Fühis: Säcuiarslörung der Länge des Mondes etc. 393 Die Subtraction ergiebt
^ + A> («»0 + »») 5 = - **<»»»o J + 3Ä»ö»»o (ax + /Sy + y^) ^ + ^«(;fo^ - </'«y)
Unter dem Centralkörper wollen wir jetzt die Sonne verstehen, so dass n?^ = 1 gesetzt werden kann. Setzen wir
Z = - i«fl J + Sk^9(ax+ß!,+yz) J + '^*';^« (<roy-X«x),
26)
so werden die Differentialgleichungen der heliocentrischen Bewegung :
27)
Aus diesen Gleichungen folgt in bekannter Weise, wenn "' — eine Integrationsconstante bedeutet,
WO von der Osciilationsepoche an zu integriren ist. Ferner folgt aus 27)
mithin, weil
1 d^Cr^) __dx^ + dy'^ + dz^ , xdKv + y^2 + ^ ^]l£
2 dV^ ~ dV^ "• di^ '
1896. Math.-pbyB. Gl. 8. 26
394 Sitzung der math^-phys. Cltuse vom 7. Detember 1S95. ergeben die obigen Gleichangen dorch Addition
^ d^l) _ l^J!^ ^ ^l±J^ _ 2JiXdx + Ydy + Zds) ^{xX + yT+j,Z).
Bezeichnet dr die von der endliehen Fortpflanzungs- geschwindigkeit der Gravitation herrührende Stomng des Radiasvectors, so ergiebt vorstehende Gleichung:
^r) + k\l + m) ^ = 2JiXdx + Ydy + Zds)
-^-{xX+Yff + eZ}. 28)
Wir Sachen zweitens eine Gleichung, welche die Störung der in der icy- Ebene gezahlten wahren Länge X giebt. Man hat aus 27)
also, wenn man von der Osculationsepoche an integrirt und far diese Parameter und Neigung der Bahn gegen die xy- Ebene mit p und i bezeichnet,
xdy - ydx _ ^ YW^r^ COS i + J(x r- yX) dt.
Setzt man zur Abkürzung die Projection von r auf die a;y- Ebene gleich ^, so hat man also
e» l\ = k Vp (1 + tri) . cos i -^^(xT—yX) dt.
Für die Störung dX hat man demnach die Differential- gleichung
Q'fl + ^f,Qia=^{xY-yX)dt.
Da nun dq von der Ordnung der Grösse B ist, so kann man statt -j- den ungestörten Werth
^ g ' • cos %
Lehmann-Fühis: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 395 einsetzen, so dass
-^= ^J^^ ^cost(gdr) + ^J(a;r — yZ)d^. 29)
Da so ist
Man wird demnach auch djsf zu berechnen haben. Aus der dritten Gleichung 27) ergiebt sich sofort
^ + A«(l+'«)^ = 3*»(l + m)^(-r-t'-i + Z. 30)
Wir wenden uns zunächst zu der Störnngsgleichung für dr. Man findet
Xdx + Tdy ^ Zdz = — ^ {adx + ßdy + yd^)
Nun ist, wenn 5^ die Knotenlänge, i die Neigung der Bahn gegen die zy - Ebene, p den Parameter bedeutet,
ydjsf — £rd«/ = /cyp(l -f- m) sin isin ß d/ £:dz — xd£! = — kVpil + w) sin icos,ß d/ xdy — ydx = k Yp (1 + w) cos i dt,
so dass
Xda;+ Ydy + Zdz==--^{adx + ßdy + yda)
H ^--LyoSi^^si"ß-)fo8in»cosß
j- i//^cosiJ d^. 26*
396 Sitzung der math.-phys. Classt vom 7, Dezetnher 1895,
Bezeichnen wir die Rotationsgeschwindigkeit der Sonne mit o)q^ die Neigung und Enotenlänge des Sonnenäquators in Bezug auf die ojy- Ebene mit Jq und Kq^ so ist
Vo = ^0 sin Jq sin Kq ;fo = — Wo sin J^ cos K^
^0= WoCOSeTo,
wodurch die letzte Klammergrösse wird
Wo [sin Jq sin i cos (Kq — <ß) -f- cos Jq cos i] = coq cos Nq,
wenn ^o ^i® Neigung des Sonnenäqiiators gegen die Planeten- bahn bezeichnet. Hierdurch wird
Xdx + Ydy -{^ Zdz = -- ^^ {adx + ßdy + yde)
+ 3Ä>Ö (ao; + /»^ + y^) ^' + | t^Ö^o^^o Videos N, ^^^
Nun ist
mithin
t t
J(Xr7x+ Yäy^Zdz) -k'^e^^^-^+h^e^{ax^-ßy^r^)%
0 0 /
>gg'o+/?yo+y^o
wo die Integrale als untere Grenze die Osculationsepoche ^ = 0 haben, und a^o, yo» ^oi ^o f^r ^'^se Zeit gelten.
Ist u das Argument der Breite, so findet man leicht
ax-^- ßy -}- ye^szr (a* cos m -f- /5?' sin m),
wo wie in A. N. 2030
a' == a cos ß + /^ sin ß
//' == — a sin ß cos % -{- ß cos ß cos i + y sin i.
Lehmann- Filh68: Säcularstörung der Länge des Mondes etc, 397
Da femer w = i; + ^» wenn v die wahre Anomalie, (o den Bogenabstand des Perihels vom Knoten bedeutet, so ist auch
ax -}- ßy -\' Y0=^r (a** cos v -{- ß" sin v), wo
a" = a' cos (0 -f- ß* sin (o
ß" = — a' sin CO -f" ß* cos cu. Demnach ist
J(aa? + /?// + yjg)~ = a" Jcos t' ^ + /^" J sin f J". Diese Integrationen sind leicht auszuführen.
Da nämlich dr^^TcX/ -^^^^ e^mvdt^ wo c die Ex- centricität bedeutet, so ist
cos t^ -? = ^ 1/ - - — I — ^'~ a ^ = r- I sin 2 ta t' - - -— cos 2 v r^ 2 y P J r^ 2pJ ip
/.to..*=f|/i^Jl^^?^*=^J(I-„,2.)d.=i(2.-.fn2.).
Mitbin f(oa;+/Sy+y^)^=-^(a"cos2i;+/S"sin2t— 2/?"t)+Const.
Endlich ist
J^^ = -—7=== I -^ = ■ - — I (1 4- e cos v)* dv
= -■/, = r(l + ^* + 2e cos i; + |* cos 2 v) dv
= ^^_^ I (l + ^)t; + 2e sin V + ^ sin 2«! + Const.
398 Sitzung der maih.-phys. Glosse vom 7, Dezember 1895. Hiernach wird
jiXdx+Tdy+Zdz) = - h-e -l^ll+K'J?-
-^{a''cx»2v+ß''än2v-2ß't)
-J- 2 e sin v + ^ sin 2i; j 31) I j^'^ß^' ^'^Q-^ß' ^^^^'0
+ ^Vcos 2t'o+/y^8in 2ro+2/J^ 0
2? Lr + W«
+ 2e sin t© + ^ sii^ 2üo .
In 28) tritt auch die Grosse xX-^yY + eZ auf. Wir finden leicht
o ;,»a o* eoav-\-ß' nnv
2k*e
32)
r
Setzt man nun 31) und 32) in 28) ein, so ergebt sich
d^irdr) . ,„r- , y.rdr k^$e , u o • />• • o nau \
-^ — bJc^{^+m)-^ = — ^^(a''cos2t'+/?'sin2t;-2/J''i)
+ 2esinv+ j sin 2t;
wo
C=2k*d''''"'"o\^"'^'^+^^{a''cos2v^+ß''s\ü2v^-2ß''v,) ^^^1 [(l + 2 j^o + 2e sm t^o + ^^ sin 2t;oJ
Lehmann-Fühis: Säcülarstörung der Länge des Mondes etc. 399 Setzen wir ferner
D = —(eß** I ^Q>oco8iVo/^ A^\\ T-y 2k^ß Aq o}q cos ^0
F= — ^^1(3** ^owpcos-ATo e\
2p\^^ p 2}
2p ' so nimmt die Differentialgleichung für 8r folgende Gestalt an
-dW + «^ (1 + »W) -^ 33^
= C + Dv + Eeainv-^- Fe3m2v -\- Ge cos 2v.
Der Umstand, dass diese Differentialgleichung auf der rechten Seite nur die Variable v enthiilt, ist ein Fingerzeig, dass man diese vortheilhaft als unabhängige Variable ge- brauchen kann.
Mit Zugrundelegung der für die ungestörte Bewegung geltenden Gleichungen
dv TcVp{\+m) dr yl/l-f»« • -r: = — ^-^ — -1 :n = «^ 1/ — ' — e sm v, dt r2 dt y p '
dV _ k^{l + m)eco8v P
erhält man, wenn man 1-4-^ = 1... setzt,
(IHrdr) (^r , .c^drddr ^6r " ilt^~" df^^'^'^dt dt "^^ dt^
A2ecoRt> > I 2^«8i51'^ I ß^P^^^^ 2lc^e%\jivd6r\
k^p /d^dr , crcosu» \ k^p /d^dr , * r , \ Setzt man dies in 33) ein, so ergiebt sich
+ Fe sin 2i; + öc cos 2v) = Fl
400 Sitzung der math.-phf/s, Classe vom 7. Dezember 1895.
Das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet
dr = c, sin u -j- c, cos t; + sin vj cos vWdv
— cos i; J sin vWdv. 35)
Die Berechnung dieses Ausdruckes erfordert folgende Integrationen :
Jr' cos t; d i; Jr' smvdv
jr^v cos vdv jr^v sin vdv
Jr* sin t' cos v d v Jr* sin* i; d v
Jr' sin 2v cos vdv Jr' sin 2 ü sin t; t? t;
§r^ cos 2 V cos trfv Jr^ cos 2 r sin vdr.
Diese Integrale lassen sich meist ohne grosse Mühe in geschlossener Form erhalten, nämlich
(r^ cos vdv = a»l/rr? [(l - ^) sin ^- ^sin 2 S-^ |e/i/l
if* = mittlere Bewegung, E = exe. Anomalie.) I r^ sin i; cos r eZ i; = o* (1 — c*) c cos -B — j cos 2^^
I H sin 2v cos vdv = -|^ p* log nat r — 2pr + ^
p cos 2i; cos vdv = ^-^v^^YY^^^U — ^e^ + SeAE
rt«»/l-c2
r* sin vdv = i- t**
2e 2e
(>-?)
sin2£
r^tsin vdv == ^{r^v — a^Yl — e^' int) r^ sin* vdv = ^^^^7^'^ (2^ — sin 2 je;)
Lehmann-Fähi«: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 401
r'sin2i;sin t;di; = — ^—^ — ^ 17"" 2 ^/ ^~ '^
+ (1 — e*)sini5; + |sin2JEl
I r'cos2t;8ini;di' = ^r^cos2v-^-~ (acos J5-f -log nat rj
Die Benutzung dieser Ausdrücke wQrde aber eine wenig übersichtliche Form für die Störung dr ergeben, und wir ziehen es deshalb vor, die Integrale nach Potenzen von e zu entwickeln, wobei wir nur die Anfangsglieder zu kennen brauchen.
Da r^ = jp' (1 — 3e cos t; . . .) ist, so findet man leicht
j r^ cos vdv^=p^ — — ev -f- sin V — jcsin 2t; . . I r*i;cosrdi;^=pHt;3inv + cosv-j€i;*--et;sin2i;--ecos2i;.. I r^sin vcosvdv =jp^ — y cos2i; + -t-ccos v+ - ecos3v.. jr^sin2i;costdi;=-27^ --cost'-— cos3i;H-7CCOs2t'+— ccos4i;.. I r' cos 2v cos vdv = p^ — sin v + ^ sin 3t; — jev
3 • 3 1
e sin 2t; — — e sin 4 f . .
I r* sin vdv = p^ — cos t; -f- ■- c cos 2t; . . I r't'sin vdv = p^ sin t; — t; cost; — — csin2i; + jet;cos2t;. . j r^8in*i;dt; = p^\ — -jsin2t -|-— t; — -esin v + jesin3t'.. j r^sin2i;sini?dt;=p^ — sint; — — sin3i; — — 6t;-l-T^esin4t;.. I r^ cos 2t; sin vdv =|)^ - cos t; — - cos 3t; + — c cos 4t; . .
402 Sitzung der math.-jphys. GlcLSse vom 7. December 1895.
In einigen dieser Integrale tritt t; ausserhalb des Sinus und Cosinus auf; diese Glieder sind in dem zweiten und siebenten Integrale allerdings nicht vollständig angegeben, jedoch sind sie deshalb nicht von Bedeutung, weil sie mit höheren Potenzen von e multiplicirt sind und ausserdem periodische Factoren haben; v tritt in diesen nur in der ersten Potenz auf. Dagegen tritt v^ nur in dem zweiten Integrale auf, und zwar ohne periodischen Factor. Die Vernach- lässigung von 6^, e^ . . . ist daher berechtigt, da die wich- tigsten der säcularen Glieder mitberiicksichtigt sind.
Nun ist
dr- CjSin v -\- C2C03 v + r^ {sinvjr^cosvdv — cosvjr^ sinvdi]
+ jL2 " {sin v§r^v cos vdv - cos vjr^v sin vdi)
+T^ (sin V fr* sin t; cos vdv
— cos vjr^ sin* vdv)
+ 7-9- (sin v\r^ sin 2 1; cos vdv
— cos 1; J r* sin 2 1; sin vdv)
+ Y^- (sin V fr' cos 2 1; cos 1; dv
— cos i; J r' cos 2v sin vdv)
d. h. mit Vernachlässigung von e*, e* . . . .
C
dr = Cj sin v -]- c^ cos v -\ —
__^_evsini;-^-^+--^2-j^^cost;---j^«ü»sinf --^esm2t'---^-^ecos2t;
Die Constanten c^ und c^ hat man gemäss der Bedingung zu bestimmen, dass für die Osculationsepoche, d. h. für ^ = 0,
sowohl dr als auch -j— verschwinden müssen. Wenn wir dt
» . , , Ca* , Da* o«v
ör = Cj sm V -}- c^cosv -\- -jr \ "p" *^ 3")
Lehmann-Fühea : Säcülarstörung der Länge des Mondes etc. 403
die mit e multiplicirten Glieder bei dieser Bestimmung, welche durchaus nicht die äusserste Schärfe beansprucht, vernach- lässigen, so haben wir mit Rücksicht auf die Relation
ddr^ddr kVp dt dv ' r2
folgende Bedingungsgleichungen :
c, sin Vq + c^ cos v^ -f ^^ (C + Dv^) = 0
c^ cos i;^ — Cg sin Vq + ~ D == 0,
woraus
^1 = — I2 [(G + Dvq) sin Vo + D cos v^]
Cg = - p [(C + Dv^) cos Vo — J5 sin v^l
Es ist zweckmässig, an dieser Stelle eine kurze Er- wägung über die Coefficienten C, D, E, F, G anzustellen. In diesen tritt neben den Grössen a" und /?" auch der Co-
efficient — ^^ auf, in welchem Aq das Trägheitsmoment der
Sonne, oj^ die Rotationsgeschwindigkeit derselben, p den
Parameter der Planetenbahn bedeutet. Obgleich nun das
Trägheitsmoment des Sonnenkorpers unbekannt ist, so können
2 wir doch annehmen, dass es kleiner als — ÄJ ist, wenn B^
den Radius der Sonne bedeutet, deren Masse wir, wie bereits früher gesagt, gleich 1 gesetzt haben. Hieraus ergiebt sich
nun, dass — ^^ ein ausserordentlich kleiner Bruchtheil der P
Geschwindigkeit eines Planeten, z. B. der Erde, sein muss, während a" und ß" entweder von derselben Ordnung wie diese Geschwindigkeit, oder doch wenigstens merkliche Bruch- theile derselben sind. Wir werden deshalb mit vollem Rechte
A CO
alle Glieder mit dem Factor —5—? vernachlässigen, wodurch
404 Sitzung der math.'phi/s. Classe vom 7. Dezember 1895.
unsere Constanten werden, wenn nur die erste Potenz von c mitberücksichtigt wird :
+ r sin 2i;,- 2^.0) D = — eß"
G = — ^;- a" 2a
Es wird übrigens erlaubt sein, in C das zweite Glied gegen das erste zu vernachlässigen, so dass
C = ^ (a" cos t;^ + ß" sin v^). 38)
Hiernach erhält man für die soeben bestimmten Inte- grationsconstanten :
Cj = — 2a0 (a" cos v^ -j- ß" sin t^^) sin v^
= ~ a ö (a" sin 2 v^ - ß" cos 2 v^ + /?")
Tg = — 2a0 (a** cos Vq + ß" sin t;^) cos v^
= - aO (a" cos 2vQ + ß" sin t;^ + a")
Setzt man diese Werthe in den Ausdruck 36) für dr ein, so erhält man
Jr=2ad(a''cost;o+i^"sint;o)-ad(or"sin2fo-i^''cos2i;o+/9*')sinf
-aO(a" cos2t;o+/J'' sin 2t;,j+a'')cost'
39)
+ 1 aeß"e sin 2 v + i aSa^'e cos 2t'
o 6
40) +aeß"ev
- 3aö (a" cos v^-^ß** sin t^j) er sin t; - -r aö/J^e^v cos v
4
4
Lehtnann-Fühis : Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 405
Dieser Ausdruck ist formell vollständig ausreichend, wenn auch in den Coefficienten kleine Glieder den Hauptgliedem gegenüber vernachlässigt sind.
Wir wenden uns jetzt zu der Gleichung 29), welche die Störung der Länge in der a;^- Ebene giebt. Wir setzen fest, dass für die Osculationsepoche die Bahnebene mit der xy - Ebene zusammenfällt , also i =s 0 , ^ = 0 , ^ = r ist. Allmählich werden i und z von 0 verschiedene Werthe annehmen, deren zweite Potenzen und Producte mit Störungs- grossen wir jedoch vernachlässigen wollen. Wir werden des- halb durchweg ß = r, J^ = dr, cos i = 1 setzen, und Glei- chung 29) wird, wenn man die Planetenmasse der Sonnen- niasse gegenüber vernachlässigt:
Da aber
ddX ^ ddX JcVJ) dt dv ' r2"'
so geht diese Gleichung über in
Wir haben nach 26)
Nun ist
x = r (cos M cos ß — sin u sin ß cos i) y ==r (cos u sin ß + sin w cos Si cos i), mithin, wenn man
cos t = 1,
setzt,
406 Sitzung der math.'phys. Classe vom 7. Dezember 1895,
COBV
X Y— yX=-' k^e (—asinni-ß cos /Z) ^ + k^e(acosn + ß sin ZI) ""^ + ^^^^^J^"^"*.
Zur Abkürzung wollen wir schreiben
acosn + ß 8inn=a'"
"42)
J42)
— a sin fl + /? cos 72 = ß'"
Vernachlässigen wir wie bei der Berechnung Ton dr das völlig bedeutungslose mit Aq multiplicirte Glied, so ist
Das Integral j{xT — yX) dt lässt sich zwar mit Leich- tigkeit streng berechnen, da
I ^>^ dl = _? log nat r
J r ek \ cos 97/
wo q> den Excentricitätswinkel bedeutet.
Wir ziehen jedoch auch an dieser Stelle eine Ent- wicklung nach den Potenzen von e vor, von denen wir übrigens, mit Vernachlässigung unwesentlicher Glieder, nur die erste beibehalten.
Wir finden
j(xY—yX) dt=- kVäe (a'" cosv + /?'"sin v)
+ k Väe ^ (a'" cos 2 1; + ß'" sin 2 1) 4
wo
if = — kVäe («'" cos f„ + ß'" sin v,)
+ kVäd j («'" cos 2f„ + /?'" sin 2i;o) + kVäS * /?'" f«.
Lehmann- Filhis: Säcularatörung der Länge des Mondes etc. 407
Es wird auch hier genügen, nur das Hauptglied zu be- rücksichtigen, d. h. zu setzen:
H= — kVäe («'" cos vo + ß"' sin i;o). 43)
Ferner findet man mit analogen Vernachlässigungen aus 40) :
^^'' - 2 ö (a" cos^o+r sin vo) - ö («" sin 2 t'o - /^" cos 2 i'o +/?'') sin V
- ß {a" cos 2 ro+i5"sin 2ro+a'') cos v
-|(a''cos2t'o + /y"sin2i;o ^ 2
+ --«*') e cos 2 t;
- - (a" sin 2 t'o - ß" cos 2 t'o
+ |/J")ß8in2i; '{-eß''ev
- 3d(a" cos t'o + ß" sin t'o) cv sin t;
+ — Sß^'e^vcosv
3 -— d(a"cosro + /?''sinro)c*i;sin 2v
Hiernach ergiebt sich dann nach 41)
-f ö [2a" sin 2io - 2/»" cos 2io + 2/J" — /S'"] sin r + ö [2 a" cos 2 t'o +2/9" sin 2ro + 2o" — a'"] cosi; + ela"co8 2to + /S"sin2t-o+|-a" + ia"'|ccos2D
+ fl [a"sin 2^0 - ß" cos2ro + |/^" + |/*"']«8in 2v
-|[4r-/»"']ef
+ 60 [o" cos t'o + /^" si'^ ^o] ^^ sin r
408 Sitzung der tncUhrphya, Glosse vom 7. Dezember 1895,
+ 3« [o"co8 üo + /*"sin ^o] e»t> sin 2v + |öyj"e»r»8inr.
Die Integration dieser Gleichung giebt: öi = K—e [(4«- — a-) cos lo + (iß" — ß'") sin t-'o] v
+ e[2 (a" cos 2 t^o + /»"sin 2 «o) + 2a" — a'"] sin f
— d [2 (a"sin 2 vo + /J"cos 2t;o) + 2ß" — ß"'] cos i + I [a" cos 2i;o + /?" sin 2*0 + 1 a" + i o'" ] e sin 2i
- 1 [«"sin 2^0 - /S- cos 21^0 -h f/J« + {/?"'] c cos 2. 44) -\.^dß"^vsmv
— Cd [a"cos Vq + /^"sin Vq] et' cos v
Q
— — ö [a"cos t'o -f- /i?" sin t'^] e^v cos 2 f
— |ö/J"c»t;»C08V
Für £* findet man das Hauptglied : K= d[(4a" — a"') cos i^o + (4/?" — /^"O sin i^o] t^o
- ö [2(a"cos 2t'o + /?"sin 2i;o) + 2«" — «"'] sin i'o + ö [2 (a'^sin 2t'o - /J"cos 2i;o) + 2/^'' — /?'"] cos t'o oder reducirt K d[(4a"-a'" -/?'") cos t;o + (4/?"+a'''-/!/'") sin Vo] 45)
Wenn es sich um eine genaue numerische Berechnung von 8r und 6X handelte, so würde der Umstand, dass in den Gleichungen 40), 44), 45) von allen Coefficienten nur die Haupttheile berücksichtigt sind, in^s Gewicht fallen. Es
Lehtnann-Filhes: Säcuiar Störung der Länge des Mondes etc. 409
wäre in diesem Falle z. B. völlig illusorisch, rein periodische Glieder mit sin 2i; und cos 2t; noch mitzunehmen, da diese mit e multiplicirt sind, während in den Coefficienten von sin V und cos v, sowie in den constanten Gliedern e vernach- lässigt ist. Es ist aber wohl zu beachten, dass es sich hier gar nicht um eine zahlenmässige Summation der Störungs- glieder, sondern nur um die Feststellung ihrer Form und eine ungefähre Bestimmung der Einzelbeträge handelt, wes- halb die hier vorgenommenen Vernachlässigungen als durch- aus zweckmässig anzusehen sind.
Wünscht man aus irgend welchem Grunde eine weitere Entwickelung der Coefficienten, so ist dieselbe nach der vor- getragenen Methode mit Leichtigkeit zu erlangen.
Der Vollständigkeit wegen wollen wir noch die Störung senkrecht zur Bahnebene erörtern, obgleich dieselbe im Fol- genden keine Berücksichtigung finden wird. Die Störungs- grösse ist hier 2, also, wenn wir Glieder von der Ordnung ö* sowie auch Äq vernachlässigen, nach 26) und 27)
Diese Gleichung soll in ähnlicher Weise wie die Dif- ferentialgleichung 33) umgeformt werden. Es ist nämlich
dfi r3' V ei„2 "T r p rh
|
dt |
i r» ^ dv^ • |
r |
P |
r/' |
|||
|
mithin |
wird |
die |
Gleichung, wenn z T |
man |
zur |
Abkürzung |
46) |
|
setzt. |
P |
47) |
Das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet: s - c'sint' + c'' cos f— - sini; j rco8vdv-\- -■ cosv | rsinrdt;.
1895. Math.-phy8. Cl. 8. 27
410 Sitzung der mtUh.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1895. Nun ist
I r cos vdv = — Iv —]
J e \ cos tpj
I r sin vdv = — log nat r,
mithin
s==c'sinf + c"cosi;- -sintf r 1+ ^cosvlog natr. 48)
e \ coatp/ € ®
Entwickelt man nach Potenzen von e, so lauten die Anfangsglieder
s == c* sinv -{- c" cos v — dy -^ o^^ ^^^ ^'
Da für die Osculationsepoche ^ = 0
5 = 0 und -7- = 0,
so ergiebt sich genähert
c' = öy sin i'^, c" = Öy cos r^,
also mit dem mehrfach erörterten beschränkten Genauigkeits- grade der Coefficienten :
s^=6y cos (f — t' ) — By '\- -^ ev sin i;. 40)
Ist der Planet, dessen Störungen hier berechnet sind, von einem Trabanten begleitet, so gelten die Störungswerthe für den Schwerpunkt des Systems.
Die hier berechneten Störungsgrössen 8r und dX werden in den folgenden Entwickelungen, in denen allerdings nur die Hauptglieder Berücksichtigung finden, unter der Bezeich- nung (frj und dXj auftreten.
Lehmann-Fühis: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 411
in. Die Bewegung des Mondes.
Wir haben die Gleichungen 20) und 21) zuerst in der Weise zu integriren, dass wir die Glieder von der Ordnung der Excentricitäten , Neigungen und der Sonnensiörungen des Mondes vernachlässigen. Die Differentialgleichung 20) wird alsdann
«'^^ + ^^(-1^-^-^)«^- 50)
= 2 S(X<ix + Ydy + Zda) + (a?X + f/ F + aZ),
wo Oj die halbe grosse Axe der von der Sonne beschriebenen Elipse ist, und a die mittlere Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt bedeutet.
Gleichung 21) wird alsdann
oder, wenn man für j-* ^^® mittlere Winkelbewegung n des Mondes setzt,
a»^ = — 2andr + JCa^Y - yX) dt. 51)
Für die auftretenden Kraftcomponenten sind dann natür- lich unter demselben Gesichtspunkte nur die Hauptglieder auszuwählen.
Man findet, wenn l und l^ die mittleren Längen von Mond und Sonne, w, die mittlere Bewegung der Sonne be- deutet,
xX-^-yY+eZ öa*|2nn«cos/H-/?sinO-|w;(acos?i+/9sinZj)
-fwl[acos(2/ — g+/i?sin(2Z — ij)] + 2w*Wia,siu(ii — ?)]
27*
412 Sitzung der ntalh.-fhifa. Classe tom 7. Dezember 1895.
+ 1 hJ [a sin (2 i - Z,) - /S cos (2 1 — I,)] + n»«, a^ (cos l, — l)
«r— yX= öa*|w»(a8inZ — /JcosO — |nUßsmZ, — /ScosZ,) + I «1 [asin (2Z — i,) — /? cos (2i — l^)] + «»n,a, cos (l, - I)
+ ^"«+al ^i — ^~i^)f
^(Xdx+Ydy+Zd0)=eaHi{-n(acosl+ßsiatj+^n^{aisoBl+ßeänl,)
+ t*' + |C.
WO
Imo ' 2 V <»* Ol* /J
C = — 2 9 o « ( — tt (o cos Z«» + /? sin m) + | h, (o cos ?<<>' + /»8inPf)) _ l^j- |acos(2?«»-po)) +^8iD(2i(0)_po))J
+ ^«.«in(Zf-P>)). 52b)
wenn Z<^^ und P^> für die Osculationsepoche < = 0 gelten.
Einige der hier auftretenden Glieder, die sich unmittel- bar aus den Formeln für die Eraftcomponenten ergaben, könnten übrigens ihrer Kleinheit wegen hier fortgelassen werden.
Setzen wir noch
n^—2nl = v^, 53)
30 erhalten wir aus 50)
Lehmann-FähSs : Säcidarstörung der Länge des Mondes etc, 413 2n»n«
+ l-J^^a,s\n(l-l,)] + ht + C.
Um diese Gleichung zu integriren, beachten wir, dass die Differentialgleichung
in welcher die a^, 6^, a,-, ß^^ x^, X4 sowie A und C gegebene Constanten bedeuten, das allgemeine Integral hat
y = Cj cos V a? + Cj sinva? + ^^ TZr~l ^^ ('^^ ^ "H ^•)
wo C| und C3 die Integrationsconstanten sind.
Dies auf die Differentialgleichung fär dr angewandt giebt
Jr = Cj cosv / + c, sin V ^ + 3 ö an, ^^^ (« cos Z, + /^ sin i, )
+ 2^g«a, („_,^)^;%_,^)-^8m (Z-g + ^* + g 54)
Um die Constanten c^ und c, zu bestimmen bedenke
ddr dt
man, dass för die Osculationsepoche t = 0 auch dr und -tt-
verschwinden. Hieraus erhält man n — f »I
414 Süeung der math.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1895, c. = 3 öa n! ;;^^-, (a 8in po)- /? cos P«)
Den gefundenen Werth 54) von dr haben wir nun in die Gleichung 51) einzusetzen. Bei der hier innegehaltenen Genauigkeit ergab sich
so dass
-j- = c, cos y ^ c^smvt — nSiacosl + ß sinl)
2 2n — nj Sn^+Sn«— iwn, ^ ^ v ^ r \ uj
Die Integration ergiebt dl = c, sin y ^ -| Co cos v < — ö (a sin Z — 5 cos f)
-|»,iÄj.S^^[«™<2!-«-,»c«(2i-«)
— 7 ^8 • ^ » ö, COS (L — t)
_ Ä_ ^ 3n2 + 2n; . » _ 0 ^ 8n« + 2n; .
2a 2n(na-.2n;)^ a 2n(na-2n;) ^ + ^»- ^^^
Die neue Integrationsconstante c^ ist so zu bestimmen, dass für die Osculationsepoche t = 0 auch (J^ = 0 wird.
Lehmann-Filkes: Säcularstörung der Länge des Mondes etc. 415
Die Gleichungen 54) und 55) geben eine ungefähre Vorstellung von den durch die endliche Geschwindigkeit der Gravitation bedingten Störungen der Mondbewegung. Will man die Annäherung weiter treiben, so fragt es sieb, was für Störungsglieder ein derartiges Interesse beanspruchen, dass ihre schärfere Entwickelung der Mühe lohnt. OfiFenbar ist es nur die Säcularstörung der Länge, die, falls überhaupt vorhanden, mit der Zeit merklich werden könnte; wir wer- den uns deshalb auch nur angelegen sein lassen, diese ge- nauer kennen zu lernen.
Die für dr und <J X gefundenen Werthe 54) und 55) haben wir nun zur Berechnung der indirecten Glieder in den vollständigen DifiFerentialgleichungen 20) und 21) zu verwenden.
Wir haben uns schon überzeugt, dass der Unterschied der geocentrischen und barycentrischen Sonnencoordinaten für uns bedeutungslos ist, weshalb wir, um nicht jetzt die Bezeichnungen zu ändern, statt des in 20) und 21) auf- tretenden Index 0 überall den Index 1 schreiben.
Setzen wir für den Radiusvector des Mondes den Werth
r = a[l + £/lco8(i,^-|-6,)], 56)
so wird
,3 ^3 a» ^ 1-3 y
Dies haben wir in die rechte Seite von 20) einzusetzen;
für — 3^ genügt es aber wj zu setzen, da Glieder mit diesem
kleinen Factor, welche ausserdem mit der Excentricität der Erdbahn multiplicirt sind, völlig unbedeutend sind.
416 Sitzung der tnath.-johys, Glosse vom 7. Dezember 1895. Gleichung 20) nimmt hiernach folgende Oestalt an
—Jw^ + (w*-2n?) (rdr) = 2({Xdx-{-Ydy+Zdß)+ (xX-¥yY+jpZ)
+ [3n»i;/;cos(i,^ + 6.)+6n;cos(2?-2g]adr
57) — 6wJa«8in(2i-2y(JX-3w5a»[l+3cos(2^2i,)]^'"*
+ 6«!a*sin(2Z-2/j)d;i,
+ fwJa» J[l+3cos(2i~2yi^* —^nla^(sm{2l-2l,)dd]i, + 3n?a r[l+3cos(2i-2y]^Mr —9nWJsm{2l-2l^)^dX
— 6wJa»J[l+3cos(2?-2g]^*~-* +9w?a»Jsin(2i-2Z,)^*dA,
— 6 wj a Jsin (2 i - 2 Z,) dA, dr '-6n]a'^(co8{2l'2l,)dl^dX
+ 9iAa^Jsm (21—21,) dX,^\ + Önja* ^co8(2^-2^J^rfA,a/,
Wie man sieht, sind in dieser Gleichung die Producta der Coefficienten /, der Mondungleichheiten, sowie deren Producte mit der Erd bahnexen tricität sowie Quadrat etc. der letzteren zum Theil bereits vernachlässigt. In den mit n] multiplicirten Gliedern sollen auch die ersten Potenzen dieser Grössen vernachlässigt werden, soweit dies noch nicht geschehen ist.
Auf der rechten Seite von Gl. 21) setzen wir
X = l + J^ gi cos {lit + bi), also
j^ = n + S^r, ArfCos (A,-^ + bi) , wodurch, wenn man noch mit
/^ = i[l-22/icos(A,< + 6,)] multiplicirt :
Lehmann-FäfUs: Säcuiarstörung der Länge des Mondes etc, 417
oder, indem man in den von ii abhängigen Gliedern die Excentricitäten etc. vernachlässigt
— 3«; fsin (2i — 2Z,)^ — 3 wj Jcos (21— 2i,) dl ^^) +^nl(sm{2l — 2l,)^'\-an\Jcos{2l---2l,)dk,
Wir betrachten zuerst die Gleichung 58). Um die Säcularglieder in dX zu erhalten, haben wir in -^ die nicht periodischen der Zeit t proportionalen Glieder aufzu-
suchen. Ein solches Glied tritt zunächst in 2 C**^^) ^^^'
weshalb die Neubestimmung dieser Grösse aus 57) noth- wendig ist. In den anderen Gliedern von 58), in denen die Grössen dr, (JA, dr^, (JAj durchweg mit Verkleinerungs- factoren behaftet sind, kann mau die schon bekannten An- näherungen verwenden.
Um das betreffende Glied aus
- 2 - 2 07. ^. - 2n ß cos {Xit + b.)
zu erhalten, hat man in dr nur die Glieder von der Form t cos {lit'\- Const.) oder t sin (^^ + Const.) zu berücksichtigen. Da derartige Glieder aber in 54) nicht vorhanden sind, so ist für unsern Zweck
- 2 ^^(M - 2w/i) cos {Xit + 6.) = 0 zu setzen.
In dem Gliede
418 Sitzung der mathrpkys, Glosse vom 7. Dezember 1895.
müssen zuerst die in xY — yX anftretenden constanten Glieder bestimmt werden. Bezeichnet man durch 11 und JTj die Längen des Mond- und Sonnenperigäums, so sind die hier in Betracht kommenden Werthe von lit + bf, d. h. die Argumente der bedeutendsten Ungleichheiten der Mond- bewegung, die folgenden :
l — TT \
21 — 2 n f (Mittelpunktsgleichung)
l — 2i, + JT (Evection)
21 — 21^ (Variation)
Zj — /Ij (jährliche Gleichung).
Wird der der jährlichen Gleichung entsprechende Werth von fi mit /s bezeichnet, so erhält man nach weitläufigen Rechnungen als constantes Glied in xT — yX den Werth
d[Pt«n-|^^a»(|4-/'5) («sin 17,-/9 cos /!,)
in welchem freilich das mittelste Glied, da es von der Ord- nung njci resp. wj/i ist, ausgelassen wird.
Glieder von der Form t sin (X,- 1 + Const.) oder
t cos (Xit + Const.), welche gleichfalls in -^ 1 (a?F — yX) di
der Zeit t proportionale unperiodische Glieder erzeugen könnten, sind in xY — yX nicht vorhanden, so dass für unsere Zwecke
iJ(xr-,Z)d^=4^-i*^'(|+^,)(«sin/I-/?cosn) oder genügend genau
Lehmann-FühSs : Säcülarstörung der Länge des Mondes etc. 419
Die vier letzten in 58) auftretenden Glieder ergeben bei der hier festgesetzten Genauigkeitsgrenze kein säculares Glied.
Die Differentialgleichung ftlr dl lautet demnach
ddX
dt
^J^ir3r) + 6[^ + 'J(^^-^-^)]t 59)
WO für (rdr) nur das der Zeit proportionale unperiodische Glied einzusetzen ist.
Wir «wenden uns nunmehr zu der Gleichung 57), um das soeben genannte Glied zu bestimmen. Dasselbe wird offenbar hervorgebracht durch ein analog gestaltetes Glied auf der rechten Seite von 57).
Zunächst ist das constante Glied in 2 — ' ^^
at
zu untersuchen. Die mühsame und langwierige Entwicke-
lung, welche hier nicht vorgeführt werden soll, ergab als
Constanten Theil
^^f » I «. (f^ -9,)-n (2/; + e,)\ \a sin 77.-/9 cos 7tJ + 2;t»»nn»ö + Pa»«ö(4rCos«^+^"cos.^ + ^'cos<7,)
WO ci;, C()q, (x)^ die Rotationsgeschwindigkeiten von Mond, Erde und Sonne, «/, c/q, Jj die mittleren Neigungswinkel der be- treffenden Aequatoren gegen die Ebene der Mondbahn be- deuten. Aus bereits erörterten Gründen kann das erste Glied fortgelassen werden.
Mit ausschliesslicher Rücksicht auf das entwickelte Glied haben wir also
2^{Xdx + Ydy + Zde) = 2a»/ad [^ , 1^ (A (o cos J+ Aqcoq cos Jq j^ Aicoi cos JA ,2 Af vi"! ,
420 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895,
Indess lässt sich dieser Ausdruck mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit der Lage der Mondbahn noch vereinfachen. Es ist nämlich leicht zu erkennen, dass die mittleren Nei- gungen der Aequatoren gegen die Mondbahn wenig von den Neigungen der Aequatoren gegen die Ekliptik abweichen; die Cosinusse werden von den Cosinussen der zuletzt genannten Neigungen nur um Grössen von der Ordnung des Quadrates der Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik verschieden sein. Hiernach ist zu setzen:
coco3J=ip, iOq cos Jq = t//^, Wj cos t/i = l/'i , woraus
2f{Xdx+Tdy + Zd,).-2a^ne[^'+^^f^^^^
t
Hinsichtlich eines der Zeit proportionalen Gliedes ist femer
xX+yY+gZ^Q.
Desgleichen mit Hülfe der gefundenen angenäherten Störungswerthe
[3«*i:/;cos(A,-^ + 6.) + 6n;cos(2Z - 2Z,)]a(Jr = 0
önla'sin (2^-2^*^ = 0
3M?a* [l + 3 cos (2 1 — 2lS\ ^* = 0 6w!a»sin(2Z — 2Ji)dij = 0.
In 57) folgen nun zehn Integrale, von denen wir sofort diejenigen vier, welche dr^ enthalten, fortlassen dürfen, da sie nur Glieder von der Ordnung n\ ei ergeben. E^ ist dem- nach zu untersuchen, ob die übrig bleibenden sechs Integrale unter dem Integralzeichen Constanten enthalten, welche innerhalb unserer Genauigkeitsgrenze liegen. Das ist, wie man leicht erkennt, nicht der Fall, weshalb diese Integrale sämmtlich = 0 zu setzen sind.
Lehmann-Fühes: Säcularstörung der Länge des Mondes etc, 421 Die Gleichung 57) lautet demnach:
^ + («'-2«;)(rdr)
also mit ausschliesslicher Rücksicht auf das säculare Glied:
'^^'^-;:^^r2^^L~a^+2 l a^ a,^ ) V'
Setzt man dies in 59) ein, so erhält man
dt" n«-2n; l. a2 "+" 2 \ a* «i* /J '
mithin
/?; — __ J'l*+_2!^ äI^"*» o. fey^v^+^oyo __ ^ivAl ya ßHA «^— 2(»«"-2n;)^[: a» "T" 2V a* "^/.P ' ^"^
Dies ist also die Säcularstörung der Mondlänge, deren Werth sich, wie der Vergleich mit 52 a) und 55) zeigt, durch eine erste Berücksichtigung der indirecten Glieder auf den rechten Seiten der Differentialgleichungen nicht geändert hat. Wie das Vorzeichen von dl zeigt, hat man es nicht mit einer Beschleunigung, sondern mit einer Verzögerimg der Bewegung des Mondes zu thun, und dieses Resultat würde auch Bestand behalten, wenn man durch weiter getriebene Approximationen, die auf Grund des Vorhergehenden prin- cipiell einfach, in der Ausführung aber äusserst complicirt sein werden, den Werth von dl noch schärfer bestimmen wollte.
Die genaue numerische Berechnung von dA ist auch abgesehen von dem unbekannten Factor B wegen der ünbe- kanntschaft mit den Trägheitsmomenten A^ Ä^^ Ä^ nicht möglich.
Nennen wir die Radien von Mond, Erde und Sonne Qt Qoi Qv ^^ können wir setzen
422 Sitzung der maih-phys. Classe vom 7. Dezember 1895.
Ä =|e*mc . _ 2 t
wo die Factoren 6, e^, e^ verrnntblich ächte BrQche sind, da die betreffenden Körper höchst wahrscheinlich nach dem Mittelpunkte zu an Dichtigkeit zunehmen.
Man kann hiernach dl unter folgender Form darstellen:
v-^ 61)
Nehmen wir an, dass die Geschwindigkeit der Gravi- tation das 6r- fache der Lichtgeschwindigkeit ist, welche f&r die Zeiteinheit des mittleren Sonnentages in planetrischer
86400 Längeneinheit ausgedrückt — beträgt, so ergiebt sich fßr
t tropische Jahrhunderte
dX = — ?^-- [l + 0.000004 e + 0.1 118 «o- 0.0008 «J ^,
oder, wenn man die ganz unmerklichen Glieder vernach- lässigt,
Um die Säcularstörung der Länge des Mondes auf ein erträgliches Maass herabzudrücken, müsste man daher der Geschwindigkeit der Gravitation einen immensen Werth bei- legen, vielleicht das Millionfache der Lichtgeschwindigkeit
423
Ueber gewisse Systeme Pfaffscher Gleichungen.
Von E. T. Weber.
(Bing^uftn 7. DeMumbtr.)
Die Theorie der besonderen Systeme Pfaflfscher Glei- changen, welche in der vorliegenden Mitteilung untersucht werden, umfasst diejenige der partiellen Differentialgleichungen in drei Veränderlichen als einen speciellen Fall, und bildet gleichzeitig die Grundlage einer allgemeinen Integrations- theorie der letzteren ; es gelingt nämlich auf Grund der nach- folgenden Entwicklungen, die Darboux'sche Integrations- theorie der Gleichungen 2. 0.^) nicht nur zu vervollständigen und nach Lie 'sehen Principien geometrisch zu interpretieren, sondern auch auf Gleichungen und Gleichungssysteme be- liebiger Ordnung zu übertragen.*)
Im ersten Abschnitt entwickeln wir die notwendigen und hin- reichenden Bedingungen dafür, dass die genannten Pfaff^schen Systeme Integralflächen der grösstmöglichen Mannigfaltigkeit besitzen und charakterisieren hierdurch eine Klasse von Inte-
1) Ann. de TEc. Norm. VII, 1870; vjfl. auch König, Math. Ann. 24.
2) Ansätze in dieser Richtung finden sichbereits in den Bäcklun du- schen Abhandlaogen Math. Ann. 11 nnd 13; der znleizt genannte Aufsatz enthält auch schon z. T. die Resultate, welche ich in einer früheren Mitteilung (Sitzungsber. der k. bayer. Ak., 1896, Bd. XXV, Heft I) unter III gegeben habe.
424 Sitzung der math.-phys, Clcuse vom 7. Dezember 1895.
grationsproblemen, welche die partiellen Differentialgleichangen beliebiger Ordnung in 3 Variabein und die Systeme solcher Gleichungen umfasst; im zweiten Abschnitt werden hinreichende (aber im allgemeinen nicht notwendige) Bedingungen dafür angegeben, dass sich die im I. Teil studierten Integration^- Probleme auf gewohnliche Differentialgleichungen zurück- führen lassen.
I. Abschnitt.
1. Sind x^ y unabhängige, e eine abhängige Variable, so sei:
Verstehen wir unter f eine Punktion von x, y, £, a^^\ . . . a^'*\ unter (Jx, c?x, . . da^^^ beliebige Incremente, so setzen wir:
<'(o=i{+s±";*'.4^
.^0 r^ 3"'
y $
«=0 ''S
also z. B. :
(1) (i = 0, 1, ...Ä; Ä: = 0,1,.. n— 1).
Ist ferner stets:
ddxh:=ddx, ddy = ddy, dJa^"'^ ddaj"', so folgt aus (1)
V. Weber: Pfa/ftehe Systeme. 425
d(J«f' = ddaj*' (Ä = 0, 1, . . M — 2), während wir die AosdrQcke d da';-'' - i da^;_ ; " £^ da<-', Sx-da^;}^ da!+daj"' (Jy-(Ja<"> dy
= {ddf:^ (i=l,2,..n)>) setzen wollen. Notieren wir noch die Identität:
(2)
(H)
(3)
Betrachten wir nun die k PfafiTschen Ausdrücke:
(i=l,2,...t; k>l und <:n)
worin die Mi, Ng, Ag^i Funktionen von x, y, jbt, o^^^.. ojj') bedeuten. Wir nehmen an, dass aus dem Oleichungssystem:
(4) (d), = 0(i=l,2, ..ft)
keine Relation zwischen dx, dy allein folgt, so dass nicht alle Äc-gliedrigen Determinanten der Matrix
-4o,i, i4i,i, . . . ^„,1 -4o,2, ... .
(5)
Äo,k
An,k
identisch verschwinden, dass dagegen alle t+2-gliedrigen Determinanten der aus 2 k Zeilen und n + 3 Colonnen be- stehenden Matrix
(6)
Mi, Ao,iy Auiy . A„,i, 0
Ni, 0, ^0./, .... An,i
^) Vgl. den § 4 meiner Arbeit: «Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen*, Math. Ann. 47. 1805. Mftth.-ph78. Cl. 8. 28
426 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895.
identisch Nall sind, ohne dass dies hei allen it-f-l-güedrigen Determinanten der Fall ist.
Aus dem Verschwinden aller Är-|-2-gliedrigen Determi- nanten der Matrix, die ans (6) dnrch Streichang der ersten Colonne hervorgeht, und ans dem Umstände, dass nicht alle Xr-gliedrigen Determinanten (5) Null sind, lässt sich beweisen, dass die ä; Gleichungen mit der Unbekannten fi:
(7) y. (/i) --- S A. A'"- = 0 (i = 1, 2, . . t)
8 = 0
genau n — A*+l Wurzeln gemein haben. Seien dieselben durch die Gleichung
r = 0
definiert, so kann man also setzen:
Die Xri, Qi sind rational durch die Atj ausdrückbar: umgekehrt hat man:
s
(8) A,,i—/^Qri..-r.j.
3. Aus unseren Voraussetzungen über die Ausdrücke (3) folgt ferner, dass sich die 2 k Gleichungen
(9)
T (»=1,2,..&)
5=0
auf genau Ä:+l in den o<'»+^) unabhängige Gleichungen reducieren. Diese können nun auf folgende Form gebracht werden :
V. Weber: Pfafsche Systeme. 427
(10) Ä-,-Se.«5" + x.. = 0 (i = 0,l,..i).
8=0
In der That kann man die Funktionen x^ eindeutig so bestimmen, dass für jeden Wert der aJ^+^J die Beziehungen gelten :
(11) f^,^i]A.,^., V,r,^l^^K,^,;
denn die Coefficienten der aJ"+^5 sind wegen (8) auf beiden Seiten gleich, und die Vergleichung der von aj'»+^) freien Glieder liefert fQr die unbekannten x^ die 2 ft Bedingungen:
dass aber alle i4~2*?U^]^ig6ii Determinanten der zu diesen Gleichungen gehörigen Matrix verschwinden, ohne dass dies alle Ä+l"Rliedrigen thun, folgt aus den Voraussetzungen der N. 2, wenn man für die Asj ihre Werte (8) in (6) sub- stituirt und beachtet, dass Qq als nicht identisch verschwin- dend angenommen werden kann.
Da man aus denselben Gründen die Ka vermöge (11) als lineare homogene Funktionen der 17^, Vi ausdrücken kann, so sind die Systeme (9) und (10) völlig äquivalent.
4. Als , Charakteristik n. 0.* des PfaflF'schen Systems (4) bezeichnen wir jeden Streifen n. 0., der einem der n — k-^-l folgenden Gleichungssysteme gentigt:
(12) dy = ^ydx
(13) da^'^=(af+^^+^,a;j^>)da;(i===0,..r; r = 0,..n-l)
(14) rfa<-> = (a["+^^ + A^ aj;|^>) dx(t = 0, 1,.. n), unter u^j , A^^.,ui^^i^i die Wurzeln der Gleichung
(15) Z(--^) = 0,
28*
428 Sitzung der matK-phys, Clctsse vom 7, Decemher 1895.
unter den a("+') Punktionen von x . . aW verstanden, die (10) befriedigen. Die Elimination der a("+*J aus (10) (14) fuhrt wegen (15) auf die folgenden Gleichungen, die (14) ersetzen können :
n-k
(16) 2 ^s,v ^C + >t, d* = 0 (» = 0, 1, . . Ä),
8=0
(5.,v = I]er(-^.)'-')-
r=0
Aus unserer Definition folgt, dass alle oo* Flächen- elemente w + 1. 0., die sich an eine Charakteristik anschliessen, den Gleichungen (10) genügen.
5. Ein mit dem Pfaffschen System (12) (13) (16) äquivalentes System erhält man auch, wenn man in jeder der Identitäten
(17) (<J),^I]^.,(d«J)!"^«-=l,2,..Ä)
die Coefficienten der (Jx, (5y, <Ja^**) auf beiden Seiten gleich- setzt, und hierauf die ^«, eliminiert. Zur Verification dieser Thatsache bemerken wir, dass aus der einzelnen Identität
(17) durch die geschilderte Operation ausser den Relationen (12) (15) zwei Gleichungen für die da(") hervorgehen, die andererseits auch erhalten werden, wenn man aus dem ent- sprechenden Gleichungspaar (9) und aus (14) die aj."+^^ eli- miniert. Unsere Behauptung folgt dann aus der Aequivalenz von (9) und (10).
6. Ist nun s ein „gemeinsamer Streifen n. 0. der PfafF'schen Gleichungen (4)*, d. h. genügt s den Gleichun- gen (4), so folgt aus (17), dass die n Gleichungen
(18) (rf<J)J"> = 0 (»=1,2,.«)
V, Weber: Pfaff'sche Systeme. 429
sich auf genau n — h unabhängige reducieren, wenn die dx, dy^ da^T"^ den Relationen (12) (16) genügen; es können nämlich nicht alle ft-gliedrigen Determinanten der Matrix
I, ^..•
identisch verschwinden, da sich sonst entgegen unserer Voraus- setzung über die Ausdrücke (3) für dieselben eine lineare Identität ergäbe. Wenn nun keine der Relationen
(19) 8y = Aydx{y=\,2,..n — h^\)
erfüllt ist, so kann man aus (12) (16) (18) die Grössen dx^ dy, rfaj.") eindeutig bestimmen, wie aus der Form dieser Gleichungen leicht hervorgeht. Bezeichnen wir mit dyX^dvy^ d^a^") dieses Lösungssystem, mit e, e\ e** successive Ele- mente n. 0. von s, so gibt esn — 1c-\'\ zm e benachbarte, mit ihm vereinigt liegende Elemente e^ (a; -}- d^ :», . . . a^"^ 4-rfyOJ^")); aus der geometrischen Bedeutung der Gleichun- gen (18) folgt dann^), dass diese Elemente mit e, e* zu- sammen auf demselben Element it-j-1.0. E gelegen sind, das nach der Schlussbemerkung der vorigen N. die Rela- tionen (10) befriedigt. Desgleichen gibt es w — fc+l zu e* benachbarte Elemente e'y {x-^- d^X'\- dx'\'dydxy , . . .)^ die mit e' e" zusammen ein den Relationen (10) genügendes Element w+ 1. 0. JE' bestimmen; die Incremente dydx..d^daf^^ berechnen sich aus (12) (16) (18), nachdem man darin unter Berücksichtigung der N. 1 die a? . . aS^^ durch x -{- dx etc. ersetzt hat. Durch 5 geht mithin ein und nur ein Streifen n + 1.0. S, dessen Elemente E,E'., den Gleichungen (10) genügen*), und die Elemente e^, e^ . , , erfüllen für v = l,..
^) Vgl. meine pag. 425 citierte Arbeit § 4. ^) Dasselbe folgt kürzer daraas, dass die Elimination der ay*'^ ^ aus (10) und:
i5«J**> = a["+^Jaa; + aJ:;.t^>^3^(i = 0,l,..n)
430 Sitzung der m<Uh,'pkys. Glosse vom 7. Dezember 1895.
n — fc+1 einen und denselben, auf S gelegenen, zu 5 be- nachbarten und mit ihm vereinigt liegenden Streifen s^.
7. Verlangen wir nun, dass s^ wieder ein Streifen des Pfaff'schen Systems (4) sei, so müssen vermöge unserer Annahmen über s die Beziehungen gelten :
wie auch e auf 8 gewählt sein mag. Da nun aus (17), in- dem man darin d und d durch dy ersetzt, die Beziehungen
folgen, so hat man auch i(dy\^0, da doch e' und e' ebenso wie e und e^ Elemente einer Charakteristik sind.
Mithin setzt sich unsere Forderung in die andere um, dass die (von den zweiten Di£Perentialen freien) Ausdrücke
(20) M^,-d{d,\
identisch verschwinden, wenn die d^x^ d^y^ d a<") den Re- lationen (12) (16), die dx . . den Gleichungen (18) genügen. Nun sind aber die d^x etc. auch durch (12) und (14) de- finiert, unter den a("+^) Grössen verstanden, die (10) be- friedigen, und das allgemeinste Incrementensystem Ja("\ das (18) erfüllt, ist demzufolge durch
(21) al"+''^a; + c[;+'>dy
gegeben, worin die aj*+*) dieselbe Bedeutung haben, wie in (14), während die dx^ dy ganz willkürlich bleiben.^)
Führt man jetzt die Differentiationen in (20) nach N. 1 aus und ersetzt hinterher die Incremente durch ihre Werte (14) (21), so erhält man nach kurzer Rechnung als not-
auf die Bedingungen (4) fahrt, und dass, wenn diese erfOllt sind, aus den genannten Gleichungen die aS^^^ sich eindeutig berechnen lassen, wenn keine der Relationen (19) erfüllt ist. 1) Vgl. das Citat auf pag. 429.
V. Weber: Ff äff sehe Systeme. 431
wendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass $^ wieder ein Streifen des Pfaff 'sehen Systems (4) sei, die folgenden: Man muss vermöge der Gleichungen (9) oder (10) identisch haben:
(22) D^:\V,)=iD';Hü) (i=l,2,..A), oder, was wegen (11) dasselbe ist:
(23) 2)^> (Z.^.) = D^;\K,) (s = 0, 1, . . Ä - 1).
8. Da somit, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, auf 5, als einen gemeinsamen Streifen der Pfaff'schen Glei- chungen (4) wieder dieselben Schlüsse angewendet werden können, wie auf 5, so kommt man durch unbegrenzte Wieder- holung dieser Schlussweise zu dem Resultat, dass durch s eine und nur eine Fläche v hindurchgeht, die den Glei- chungen (4) sowohl als auch den k-^-l partiellen Differential- gleichungen M + 1.0. (10) identisch genügt. Bemerken wir nämlich, dass die Fläche t;, sofern sie überhaupt existiert, schon durch die Forderung, s (und S) zu enthalten und irgend einer der Gleichungen (10) zu genügen, völlig be- stimmt sein muss, so folgt die Existenz dieser Fläche aus den bekannten Fundaraentaltheoremen*), wenn wir gewisse Continuitätsbedingungen als erfüllt ansehen ; also :
„Bestehen die Relationen (23), so geht durch jeden ge- meinsamen Streifen n. 0. von (4), der keine der Gleichungen (19) befriedigt, eine und nur eine „Integralfläche* des Pfaff*- schen Systems (4), welche aus je oo^ Charakteristiken eines jeden der n — k + l verschiedenen Systeme aufgebaut ist.*
Das so erhaltene Integral (4) hängt offenbar ab von n — t + 1 arbiträren Funktionen je eines Arguments.^)
1) Genügt 8 ausser den Relationen (4) auch einer der Glei- chungen (19), ohne indes eine Charakteristik zu sein, so geht durch ihn eine Integralfläche von (4), die ihm entlang eine Rückkehr-
432 Sitzung der math.-phys. Claase vom 7, Dezember 1895.
9. Sind die VoraussetzungeD der NN. 2 und 8 in Betreff der Ausdrücke (3) erfüllt, so nennen wir die Gesamtheit der n — Je -\- l Charakteristikensysteme der Gleichungen (4) ein «unbeschränkt integrables Streifensystem* und be- zeichen es mit dem Symbol 5^"lj. Je nachdem nun die Ausdrücke (8) keine, oder 1, 2, . . A; unabhängige lineare Gombinationen der Form d0^ gestatten (unter den 0^ Funk- tionen von X . . o(j») verstanden), ergiebt sich eine wichtige Einteilung der Systeme SJj'j.j in Ä -j- 1 Arten , die wir mit dem Symbol 24) -Sl"l»_,a = 0, 1,..Ä)
bezeichnen wollen.^) Besonderes Interesse bietet der Fall l = k; man kann dann die (d)/ durch die dO, ersetzen und demzufolge den Ausdrücken 3f,-, N,-^ A^,i der N. 2 bez. die Bedeutungen
beilegen. Die Bedingungen (23) sind jetzt eine Folge der- jenigen der N. 2; man erkennt dies entweder nach N. 7 aus (2), indem man /"durch die Ö>, ersetzt, oder direkt daraus, dass die Relationen (22) nunmehr identisch, nicht nur ver-
kante n. 0. besitzt (vgl. meine pag. 425 citierte Arbeit, §7); durch eine Charakteristik geht eine Schaar von Integralflächen, die noch von einer arbiträren Funktion eines Arguments abh&ngt^ Die Integralflächen des Textes sind, als Schaaren von od^ Flächenelementen aufgefasst, die allgemeinsten , In tegraläqui Talente* des PfafTschen Systems, das aus der ersten Gruppe der Gleichungen (1) und aus (4) gebildet wird.
1) Die in meiner früheren Note und in meiner Arbeit Math. Ann. 47 betrachteten Systeme sind demnach mit Sj^|('=0, l,..nX das Gharakteristikensystem einer Gleichung n. 0. mit $^) j zu be- zeichnen; den Fall S^^q betrachtet gelegentlich Herr Bäcklund (Math. Ann. 13); Beispiele för die Fälle ^% und 4!i ^i^den sich in meiner oben citierten Arbeit.
ü. Weber: Pfafsche Systevie. 433
möge (9), erfüllt sind. Die k in Bezug auf die aj.") unab- hängigen Gleichungen n. 0.:
(25) Ö), = a(» = l, 2, ..Ä),
in denen die ü, willkürliche Constante bedeuten und die wir als ein Involutionssystem bezeichnen, besitzen dann ein gemeinsames Integral mit n — k-\-l arbiträren Funktionen, in dem Sinne, dass durch jeden ihrer gemeinsamen Streifen n. 0. im allgemeinen eine und nur eine gemeinsame Integralfläche hindurchgeht.
10. Die vorstehenden Bemerkungen gelten auch, wenn einige der C,-, etwa die m ersten {0<,fn<^k), durch Null ersetzt werden; die Bedingungen der N. 2 müssen jetzt ver- möge der Gleichungen •
Ö>i = 0, .. 0)^=0
bestehen, und auf eben diese Relationen ist auch bei der Wahl des Ausgangsstreifens s (N. 6) Rücksicht zu nehmen.
11. Die Bedingungen (23) drücken aus, dass die Glei- chungen w -|- 1. 0. (10) im Sinne der vorigen N. ein In- volutionssystem bilden. Ist umgekehrt ein System von 4+1 involutorischen , in Bezug auf die a[."+^) linearen und unab- hängigen Gleichungen n + 1. 0. vorgelegt, so kann man dasselbe, wie leicht zu sehen, auf die Form (10) bringen, worauf durch (3) und (17) ein System S^'l^ i definiert ist, wenn man setzt:
fc-l *-l 8
MiZH^kri'^r', iV,=2A„X^+i; ^5,»^y]gi^~r,n
1=0 r=0 r=0
unter den kri irgend welche k^ Funktionen von x . . a^") mit nicht identisch verschwindender Determinante verstanden. Der Charakter l des Systems S^**2.fr j bestimmt sich dann durch algebraische Operationen, die l integrabeln Combina- tionen dO,- der Ausdrücke (cJ), durch Integration gewöhn- licher Diflferentialgleichungssysteme.
434 Sitzung der maihrpkys, Glosse vom 7. Deeemher 1895.
IT. Abschnitt.
1. Wir betrachten ein PfaflF'sches System
(1) ((J), = 0 (t = l,2..Ä)
von der in I, NN. 2 und 7 geschilderten BeschafiFenheit und das dazu gehörige System von k -\- \ linearen partiellen DiflFerentialgleichungen n+ 1. 0. (vgl. I, (10)):
(2) K=Q (i=0,l,...Ä).
Aus den Beziehungen I (23) folgt dann leicht: DiflFe- rentiirt man die Relationen (2) ^-mal partiell nach x und y, wobei die Qrössen af^ als Funktionen von x und y be- trachtet werden , so reducieren sich die resultierenden Gleichungen vermöge aller vorhergehenden auf Ä -f" / + 1 der Form:
(3) Ji:f=i:e»«i;Y'"+''f=o (t=o,i,..i+i),
worin zur Abkürzung w = n — k gesetzt ist^).
2. Unter einer »Charakteristik w + r.O.* des PfafiTscfaen Systems (1) verstehen wir einen Streifen w + r.O., der die folgenden Differentialgleichungen befriedigt:
(4) dy = A^dx\
(5) d«^;^ = (a|*+^^ + .^^afJ^)da:(i = 0,l..^
..n + r-1);
(6) da:"-^U(a|«+^+^) 4- A^ o^:^:^'')dx (i = 0, 1 .. ti +r),
unter A^ eine der w+1 Wurzeln A^,. A^+i der Gleichung
(7) z(-^) = 0
V, Weher: PfafTsche Systeme. 435
(vgl. I (15)), unter den Grössen aW-i) . , . ajj|+r)- irgendwelche Funktionen von xyaa^^K.a^^ verstanden, die den Gleichungen
(8) Zf ^ = 0 (i = 0, 1 . . . * + Ä ; A = 0, 1 , . . r — 1)
(9) K^p =0{i = 0,l,..k + r)
identisch genügen ; die Systeme (8) (9) sollen auch von den Integrationsconstanten X . . a^'H^*'), mithin von allen Flächen-
dementen des Streifens erfüllt werden. Eine solche Charak- teristik bezeichnen wir generell mit CjJ^'^K Die w + 1 Gharakteristikensysteme n-^-r.O, bilden zusammen ein un- beschränkt integrables Streifensystem S^^^^)-
Die Elimination der «("-H+O aus (6) und (9) führt auf die Ä + r+1 totalen Differentialgleichungen
(10) ..[d],^ ^£] B,_^ da<;+-> + xf> dx=0 (i = 0,l,..*+r)
die wir mit (4) (5) zusammen als die Definitionsgleichungen der 0^'*+*'^ bezeichnen wollen. Ist ytf4, keine mehrfach zäh- lende Wurzel von (7)*), so sind längs jedes Streifens O^^oo^ C^"+^) bestimmt, deren einzelner durch Angabe eines seiner Elemente n-{-1.0. festgelegt ist; ebenso gehen durch jede C7(~+i)ooiO(j+2) etc.
3. Wir verstehen unter F eine Funktion der Grössen X. . «<•»+?'), setzen
■a«5"+')
^) Vgl. I, N. 9; doch durchzieht dieies System nicht den ganzen Raum X . . a^**^^ i sondern nur die durch (8) definierte Mannigfaltigkeit. ') ^gl< § 1 meiner Arbeit in den Math. Ann Rd. 47.
436 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Dezember 1895,
femer, wie in I, N. 1:
d Fez 2)1"+'-'^ {F) dx + D^^"^''^ (F) dy + 2 ^* ^4""^^
h=zO
und nehmen an, dass dF eine integrable Combination der Definitionsgleichungen der 0^7+*"^ sei, d. h. dass man für alle Werte der Incremente da:, dy, daj"+*') vermöge (8) identisch habe:
fc+r
(11) a {dy - A^ dx) + 2 CT, [d\^ - dF,
•=0
unter a, Oi nicht näher bestimmte Funktionen von x«--a<J^> verstanden. Solche integrable Combinationen sind z. B. die Ausdrücke dK^^-^^\ doch setzen wir voraus, dass aus den Gleichungen
(12) dF=Q, dZ(''-i) = 0(i = 0,l...Ä + r— 1)
vermöge (8) keine Relation zwischen dx, dy allein folgt^), insbesondere also auch, dass zwischen den linken Seiten dieser Relationen keine lineare Identität besteht; dF sei dann eine eigentliche integrable Combination der CJf+'^^ genannt. Für F erhält man aus (11), indem man darin die Coefficienten der dx . . , auf beiden Seiten gleichsetzt und die a, a, eliminiert, ein System homogener linearer partieller Differentialgleichungen 1. 0., worin die Variabein X . . cc^Xfr^^ ^^^ Relationen (8) zu gentigen haben, und sich die Zahl der unabhängigen Variabein demgemäss reduciert. Alle etwa vorhandenen integrabeln Combinationen der C^+*"^ werden also durch Integration gewöhnlicher Differential- gleichungssysteme gefunden.
^) Im Falle r = 0 soll dasselbe ffir die Qleichunfj^n dF=0, (<?), = 0(i = l,9,...fe) gelten.
v. Weher: Pfaff^sche Systeme.
437
4. Unsere Annahme in Bezug anf F ist mit der andern äquivalent, dass der Ausdruck
D'
!(»+••)/■
^iÄ+r)
(F)
vermöge (8) (9) verschwinde, d. h. dass vermöge (8) eine Identität der Form
Hr
(13) '£i,K^^^-Q(D':^\F)-\-^^D^;+'\F))
/i=rO
bestehe, unter p, Xi Funktionen von x . . ßW?*^ verstanden. Also verschwinden vermöge (8) alle Ä +*• + 3 -gliederigen Determinanten der Matrix
|
"0 , ?„, ß,, . 4^ ,0, Po, . |
0 0 |
, 0 , 0 |
|
xl^ ,0,0,. D^:-^-'\F),A„A,,. Dir+'-"(n 0, ^, . |
. Qm . An+r~ |
1 Qm+l , 0 |
(14)
was für F wieder ein System partieller Differentialgleichungen 1. 0. darstellt, dessen gemeinsame Integrale aber nunmehr die etwaigen integrabeln Combinationen aller m + 1 C/(K+r)- systeme liefern.
Es möge umgekehrt F obigen Bedingungen genügen, aber nicht alle 7c + ^ + 2 - gliedrigen Determinanten der Matrix (14), insbesondere aber auch nicht alle aus den letzten nH-r + 2 Colonnen gebildeten,^) zum Verschwinden bringen; dann besitzen die Gleichungen (7) und :
^»+r-»^ 0
A=0
1) Sonst würde aus (12) eine Relation fQr dx, dy folgen.
438 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Dezember 1895.
wie leicht ersichtlich, genau m gemeinsame Wurzeln, die mit -^1 , . . -^r-i -^1+1 . . -^m-i-i bezeichnet und durch die Gleichung:
(15) "^Q^i-^r-'^o
gegeben seien. Man verificiert nunmehr leicht, dass eine Identität der Form (13) besteht, sowie dass die ^ + •' + 2 in den aJ»+*'5 unabhängigen Relationen, auf die sich demnach die Gleichungen (9) und:
reducieren, die folgende Form erhalten können:
(16) X.r^i]e>S;'"''' + f = 0 (» = 0,l,.ÄH-r+l).
Durch j- malige Differentiation dieser Gleichungen, die vermöge (8) ein Involutionssystem bilden (I, N. N. 10, 11), erhält man vermöge (8) und der vorhergehenden Differen- tiationsgleichungen Ä + r + j + 2 Gleichungen
(17) L^^ = 0 (i = 0,l..Ä + r+>+l).
Die , Charakteristiken (^••"H'-H'')* des Involutionssystems (16) sind definiert durch die Gleichungen:
dy -^^da;;daJ*^=(af+'^-h^^a^5'V^ (Ä--0,1, . .Jfc+r+r')
worin ^^ eine Wurzel von (15) bedeutet und die aJH^ die Relationen (8) (17) (18) identisch erfüllen, und bilden ein unbeschränkt integrables Streifensystem iSJ|^j^+'"^^) ; die Glei- chung
(18) F=C
1) Vgl. die Anm. pag. 435.
V. Weber: Pf äff' sehe Systeme. 439
hat also mit (1) ein Integral gemein, das von m willkür- lichen Funktionen je eines Arguments abhängt, indem durch jeden gemeinsamen Streifen n-\- r.O. von (1)^) und (18) eine und nur eine Fläche hindurchgeht, die den Gleichungen (1) (18) genügt.
5. Man entnimmt dem Vorhergehenden leicht den fol- genden allgemeinen Satz:
„Ist r'I^r, jP eine Funktion von ^ • • « WT^ und be- sitzen die Definitionsgleichungen der 0^+*"'^ von (1) die inte- grabele Combination dF\ so ist auch df eine solche, unter f irgend eine Funktion von F und F' verstanden.*
6. Sei die ganze Zahl s ^ r, ferner v 4^ fi, Ö> eine Funk- tion von X . . «Jj!i*\ dO eine eigentliche integrable Combi- nation der Definitionsgleichungen der (^"+*^ von (1), so ist dO ofi^enbar auch eine eigentliche integrable Combination der CJ*+*^ des Involutionssystems (16); also reducieren sich die Ä + 5 + 4 Gleichungen:
Lf-*') = 0 , 2)1"+'^ (<Z>) = 0 , Dj*+"^ (0) = 0
auf 7f + 5+3 in den a^p+'+^'^ unabhängige, die vermöge der vorhergehenden Gleichungen (17) und vermöge (8) ein Involutionssystem bilden, und die Gleichungen (1) (18) nnd Ö> = (7 haben somit ein Integral mit m — 1 willkürlichen Funktionen gemein ; durch Wiederholung dieser Schlussweise erhält man schliesslich folgendes Theorem:
„Ist die ganze Zahl A<w, sind die partiellen Dif- ferentialgleichungen
(19) J', = C„f, = C,... J'.^Ci
1) Ein Streifen n + r. 0. von (1) i«t ein eolcher, dessen Ele- mente n. 0. den Gleichungen (1), dessen Elemente n+l.O. den Re- lationen (2) etc. genügen.
440 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7, Deeemher 1S95.
bezw. von der Ordnung n-^-r^^^n-^r. und ist n-^-r die grösste dieser Zahlen, besitzen ferner die Definitionsgleich- ungen der Charakteristiken Cj"'*^'\ . . C^^X^ des Pfaffschen Systems (1) bez. die eigen th'chen integrabein Gombinationen dF^ . . . dFi^ so definieren das System (1) und die Gleich- ungen (19) durch ihre gemeinsamen Charakteristiken n-j-f'.O. ein unbeschränkt integrables Streifensystem 5Jj]^^ und be- sitzen daher ein gemeinsames Integral mit m — A-f-l arbi- trären Funktionen, indem durch jeden ihrer gemeinsamen Streifen w + r. 0., der keine Charakteristik des Systems SJjJJT^ ist, eine und nur eine gemeinsame Integralfiäche hindurch- geht. •
7. Wir nehmen endlich an, dass die Funktionen J\ . . . jP«, F\ . . i^m bez. die Ordnung n + r^, .,. n+r^, w-f-ri, ... n-\-rm besitzen, dass man habe n>r/(i = l,2,...t»), und dass r die grosste der Zahlen r,- sei. Es sei ferner für i= 1, 2, .. m (2JP^ eine eigentliche integrable Combination der (7j»•+^•^ d Fl eine solche der C\*^i^ des Pfaffschen Systems (1); im Falle rt = rl setzen wir überdies voraus, dass zwischen den Ausdrücken
(20) dF., dF\^ dK^y^ (Ä = 0, 1 .. fc + r,— 1) bez. im Falle r, = 0, zwischen den Ausdrücken
(21) dFudFiAd)jU=-^,2,..hy)
keine lineare Identität bestehe.
Ist jetzt s^") ein gemeinsamer Streifen n. 0. der Gleich- ungen (1), der keiner der w-|- 1 Relationen (4) genügt, so ist ihm entlang ein und nur ein Streifen ä<"+^> bestimmt, dessen Elemente n -{- r, 0. die Relationen (8) befriedigen
*) Vgl. die Anmerkung, pag. 436.
V. Weher: Pfaff'ache Systeme, 441
(I, N. 8). Drücken wir die zu ^^•«-H) gehörigen Grössen ^ • • • "Jl!ir^ als Funktionen eines Parameters aus und substi- tuieren diese Werte in die m Funktionspaare J5V, jF,', so kann man die m Funktionen (pt auf eine und wesentlich nur eine Weise so bestimmen, dass man für jeden Wert des Parameters identisch hat:
<p,iF,,F^)-0ii = l,2,..m).
Diese Bestimmung wäre nur dann unausführbar, wenn sich die beiden Funktionen eines Paars vermöge unserer Substitution auf Constante reducierlen, dann aber wäre, wie leicht zu sehen, s^**^ eine Charakteristik von (1), was aus- geschlossen wurde. Ist so die Form der Functionen g>, ge- funden, so ist s(»*+»') ein gemeinsamer Streifen der Gleich- ungen (1) und :
q>^{F^,F',) = 0 (i=l,2,...m),
welche nach N. 5 und 6 mit (1) zusammen ein unbeschränkt integrables Streifensystem 5^"+^^ bestimmen. Das Letztere wäre nur dann nicht der Fall, wenn einer der Ausdrücke dq^i keine eigentliche integrable Gombination des zuge- hörigen CJ'*+*'»^ -Systems wäre; dann aber hätte man not- wendig n- = r,-, und s^") genügte einer der Relationen (4) oder es bestände zwischen den Ausdrücken (20) bezw. (21) eine lineare Identität, was unseren Annahmen gleichfalls widerspricht. Da nun die Integralflächen eines Systems S(»-i-r) sich durch Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen bestimmen lassen , da ausserdem auch die Funktionenpaare F^, Fi als Integrale solcher Glei- chungen erhalten werden (N. 3), so können wir schliesslich den Satz aussprechen :
„Unter den zu Anfang dieser N. gemachten Voraus- setzungen kann die Aufsuchung der allgemeinsten Integral-
1805. Math.-phys. 01. 8. 29
442 SUzung der math.-phya. Classe vom 7. Dezember 1895.
fläche von (1) durch Integration ge wohnlicher Differential- gleichungssysteme geleistet werden.**)
Existirt nicht für m, sondern nur för i. der m-f-1 Charakteristikensysteme von (1) je ein Funktionen paar J^«-, ^; der geschilderten Beschaffenheit, so vereinfacht sich die Integration von (1) insoferne, als sie auf die Aufsuchung der Integralflächen gewisser Systeme S^jV zurückkommt
1) Ersetzt man im Vorstehenden das System (1) durch die einzige Oleichung
(I, N. 1), so erh< man die Integraiionstheorie der pari. Differential- gleichungen n. 0. in 8 Variabeln, im Falle n = 2 eine Erweiterung der Darboax*8chen Theorie, indem die derselben anhaftende Be- schränkung auf Fnnktionenpaare gleicher Ordnung aufgehoben erscheint.
448
üeber den Eiweissnmsatz bei Zufuhr von Antipepton.
Von Carl YotU
(Sing$ktufm »». Jtmtiar 1896.)
Herr Dr. Alexander Eilinger hat in meinem Labora- torium Versuche über den Eiweissumsatz bei Zufuhr von Antipepton am Hunde angestellt.
Zu einer Zeit als man glaubte, die Aufnahme der Stoffe aus dem Verdauungsschlauche in die Säfte erfolge einfach durch Osmose, nahm man an, das Eiweiss müsse, bevor es in die Säfte übergehen könne, durch die Verdauung unter Eintritt von Wasser in leicht osmirende Stoffe, in «Peptone^ verwandelt werden, da man bei osmotischen Versuchen das gewöhnliche Eiweiss nicht oder nur in minimaler Menge durch eine Membran hindurch gehen sah.
Wenn aber das gewöhnliche Eiweiss nur als , Pepton ** resorbirt werden kann, dann muss man annehmen, dass das resorbirte Pepton irgendwo im Körper wieder in gewöhn- liches Eiweiss unter Abspaltung von Wasser zurückver- wandelt wird.
Ist dies Alles so, so muss das Pepton vollständig und in allen Stücken die Rolle des Eiweisses übernehmen, und man muss im Stande sein mit Pepton unter Zusatz von stickstofffreien Nahrungsstoffen nicht nur den Organismus auf seinem Bestände an Eiweiss zu erhalten, sondern auch einen Ansatz von Eiweiss zu bewirke». Es könnte aber
29»
444 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Dezember 1895,
auch sein, dass das Pepton nur als ein sehr guter Ei weiss- Schützer wirkt, ähnlich oder vielleicht noch besser als der Leim; in diesem Falle würde der Körper stets, trotz reich- licher Peptonfütterung, noch etwas Eiweiss von sich ver- lieren, und es dürffce kein Stickstoffgleichgewicht der Ein- nahmen und Ausgaben sowie kein Ansatz von Eiweiss eintreten.
Es ist selbstverständlich, dass man zur Lösung dieser Frage zu dem Pepton kein anderes eiweisshaltiges Nahrungs- mittel geben darf; denn in diesem Falle könnte der Ansatz von Eiweiss aus dem Eiweiss dieses Nahrungsmittels erfolgt sein; nur wenn der Ansatz von Eiweiss grösser ist als der Eiweissgehalt jenes Nahrungsmittels, könnte ein sicherer Schluss gezogen werden.
Nach den ersten Ernährungsversuchen mit „Pepton*' verschob sich bekanntlich, namentlich durch die Unter- suchungen von Kühne, der Begriff dieses Stoffes. Man be- zeichnete mit diesem Namen anfangs das Produkt der Ver- dauung des Eiweisses durch verdünnte Salzsäure und Pepsin. Man lernte aber später Zwischenprodukte zwischen dem Säureeiweiss und dem letzten Produkt der Magenverdauung, dem eigentlichen Pepton (Amphopepton) kennen, nämlich die sogenannten Albumosen ; ebenso Zwischenprodukte zwi- schen dem Globulin und den letzten Yerdauungsprodukten der Pankreasverdauung , dem Antipepton und dem Hemi- pepton, welches letztere bei der weiteren Verdauung zer- setzt wird.
Es war also nöthig mit allen diesen Produkten Ernäh- rangsversuche anzustellen.
Adamkiewicz hat mit dem sogenannten Witte^schen Pepton, einem Gemenge von viel Albumosen und wenig Amphopepton, gearbeitet und bei Zugabe von Fett einen geringen Stickstoffansatz beobachtet. Leider erstreckt sich sein Versuch nur auf einen einzigen Tag.
Voit: lieber den EiweisaumacUg bei Zufuhr von Äntipepton, 445
Dann hat Pollitzer Versuche mit Amphopepton und rait zwei Albumosen, der Protalbumose und der Hetero- albumose^ angestellt und mit allen drei Stoffen einen Eiweiss« ansatz erhalten; allerdings ist dabei der Harn nicht in ein- wandfreier Weise aufgesammelt worden.
Endlich hat V. Gerlach mit den Albumosen in dem Witte'schen Präparat und mit dem durch Pankreasverdauung hergestellten Äntipepton Versuche gemacht; bei ersterem zeigte sich ein Ansatz von Ei weiss; bei letzterem erhielt er kein Resultat, da der Hund nach Einnahme des Antipeptons erkrankte. Auch hier wurde der Harn nicht direkt aufgefangen.
Alle übrigen Beobachter gaben die verschiedenen Pepton« Präparate des Handels mit anderen stickstoffhaltigen Nahrungs- mitteln z. B. mit Reis etc., grösstentheils bei Versuchen am Menschen. Sie entschieden daher nur, ob der Körper bei Zufuhr von Eiweiss in anderen Nahrungsmitteln und Zusatz von Pepton sich auf seinem Ei Weissgleichgewicht zu erhalten vermag und Ansatz von Eiweiss stattfindet. Diese Versuche sind von hohem Werthe für die Ernährung Kranker, aber sie entscheiden nicht, ob die Peptone vollständig für das Eiweiss eintreten oder nur als ausgezeichnete Eiweissschützer gewirkt haben.
Nach den angegebenen Versuchen erscheint es im höchsten Grade wahrscheinlich, dass die Albumosen einen Ansatz von Eiweiss bewirken, auch wohl das Amphopepton; aber wie das Äntipepton wirkt, das ist noch nicht entschieden.
Diese Frage hat Herr Dr. EUinger zu beantworten ge- sucht, da uns von Seiten der Farbwerke von Meister, Lucius und Brüning in Höchst in dankenswerthester Weise das kostbare Material (sogenanntes Drüsenpepton) zur Verfügung gestellt worden war.
Es wurde in den entscheidenden Versuchen bei dem gleichen Hunde das Drüsenpepton in seiner Wirkung mit dem Eiweissrückstand des mittelst Wasser ausgelaugten
446 Sitzung der math^-^ys, Claisae vom 7. Dezember 1895.
Fleisches, mit der Somatose (Albumose), die wir von der Fabrik Bayer und C!omp. in Elberfeld bereitwilligst erhalten hatten, und mit Witte'schen Albumosen verglichen.
Es ergab sich bei einem üeberschoss des Eiweisses des Fleischpulvers und den Witte^schen Albumosen ein Ansatz von Eiweiss am Körper. Von der Somatose wurde viel mit dem Roth entleert, so dass eine dritte Vergleichung nicht möglich war; jedoch wurde so viel gesehen, dass sie eben- falls das Eiweiss ersetzt. Bei dem Drfisenpepton (Anü- pepton) trat kein Ansatz von Eiweiss, sondern ein betracht- licher Verlust von Eiweiss vom Körper ein, so dass das Anti- pepton nur eiweissschfitzend wirkt und f&r das Eiweiss nicht vollständig eintritt.
Das Antipepton ist also wohl schon weiter zersetzt, so dass es im Organismus nicht mehr in Eiweiss zurückver- wandelt werden kann. Dieses Resultat steht auch in üeber- einstimmung mit der Angahe von Siegfried über die Fleisch- säure, welche wahrscheinlich identisch ist mit dem Antipepton, sowie auch mit den Molekulargewichtsbestimmungen von G. Paals, nach denen das Molekulargewicht des Antipepton*s nicht grösser ist als das des Traubenzuckers, während die Albumosen und das Eieralbumin ein viel höheres Molekular- gewicht ergaben. Dr. EUinger hat für das von ihm ange- wendete Drüsenpepton ebenfalls ein sehr niederes Molekular- gewicht erhalten.
447
Beiträge zur Potentialtheorie. ^)
Von Walther Dyck,
{EingelaHftH 81, Dtiumbir 1896.)
IL
Die Gauss'sche Formel fllr die gegenseitige ümwin^ung zweier Baumcunren und ihre Ausdehnung auf höhere Mannigfaltigkeiten. Darstellung der Windungsssahl zweier Mannigfaltigkeiten durch Eronecker'sche Cha- rakteristiken gewisser Functionensysteme.
Der vorliegende zweite Theil der , Beiträge zur Potential- theorie" behandelt zunächst ausführlieh die Theorie der Umschlingung zweier geschlossener, sich nicht schneidender Linien im Räume, giebt sodann die Definition der Um- schlingung für Mannigfaltigkeiten höherer Dimensionen in einem n-dimensionalen Gebiete und entwickelt die zugehörigen analytischen Formulirungen in Erweiterung der für zwei Curven im Räume gewonnenen Darstellungen.
Im ersten Abschnitte handelt es sich um die genaue Darlegung der Beziehungen des Gauss'scben Integrals für die Anzahl der Umschlingungen zweier Raum- curven zu den im ersten Theile dieser Beiträge (diftse
1) Vorgetragen in der Sitzung vom 6. Juli 1895.
448 Nachtrag z. Sitzung der matK-phys, Glosse vom 6. Juli 1S95,
Sitzungsberichte 1895, pag. 261 ff.^) entwickelten For- meln für die Kronecker^sche Charakteristik gewisser Functionensysteme.
Indem wir die Raumcurven auf zwei verschiedene Arten, in Parameterform (§ 2) und als Schnitte je zweier Flachen (§ 3), analytisch festlegen, ergeben sich zwei wesentlich rer- sehiedene Functionensysteme mit zwei, beziehungsweise mit drei Variabein, deren Eronecker^sche Charakteristik mit der Gauss^schen Windungszahl übereinstimmt. Die verschiedenen Integral- und Summen formein für die Charakteristik, die wir in den «Beiträgen I* aufgestellt haben, führen zu einer Reihe, zum Theil neuer Methoden für die Herleitung der Windungs- zahl. Dabei sind die für die Parameterdarstellung gewonnenen Formeln, die sich unmittelbar an die Gauss'sche Darstel- lung. anknüpfen lassen, nicht überführbar in die Formeln, welche unter Zogrundelegung der Raumcurven als Schnitt je zweier Flächen aufzustellen sind. Die §§ 4 und 5 sind deshalb dem Beweise der Uebereinstimmnng der auf die eine und andere Weise gewonnenen Zahlen gewidmet.
Im zweiten Abschnitte wird zuvörderst (in § 6) die Definition der Anzahl der Windungen einer Zr-fachen Mannigfaltigkeit um eine n — k — 1-fache innerhalb eines Gebietes von n unabhängigen Variabein (,im linearen Räume von n Dimensionen' nach der aus der Geo- metrie übertragenen Redeweise) in directer Analogie mit den durch die analytischen Formulirungen des ersten Abschnittes gewonnenen Formeln aufgestellt.*)
1) Der I. Theil der vorliegenden , Beiträge zur Potentialtheorie* ist im Folgenden kurz durch .Beiträge I" bezeichnet.
2) Es ist mir nicht bekannt, dass die Frage nach der Um- schÜDgung von höheren Mannigfaltigkeiten schon behandelt worden ist. Herr H. Brunn hat (1887) in einer anlässlich seiner Promotion aufgestellten Thesis auf die Möglichkeit, zwei zweidimensionale Ge- bilde (speciell .Kugelfl&chen") im Baume von fanf Dimensionen in einander zu schlingen hingewiesen.
W. Dyck: Beiträge zur Potentidlthearie. IL 449
Indem wir auch hier für unsere Mannigfaltigkeiten von zwei, den obigen analogen, Darstellungen (in Parameterform (§ 7) und direct durch Gleichungssysteme zwischen den Go- ordinaten (§ 8)) ausgehen, erscheint die Windungszahl als Kronecker'sche Charakteristik für zwei wesentlich verschie- dene Systeme von Functionen von n — 1 , beziehungsweise von n Variabein. Die Uebereinstimmung der auf den beiden Wegen gewonnenen Zahlen wird (in § 8) in analoger Weise wie im ersten Abschnitte bewiesen. Ohne auf die verschie- denen Formeln für die Darstellung der Windungszahl, wie sie nunmehr aus den Entwicklungen des ersten Theiles dieser Beiträge sich ergeben, näher einzugehen, bezeichnen wir zum Schlüsse (in § 9) noch eine merkwürdige gegenseitige Lagen- beziehung ganzer Classen von Mannigfaltigkeiten. Mit der Darstellung der Ä-dimensionalen und der n -Jfc— 1-dimensio- nalen Mannigfaltigkeit durch Gleichungssysteme zwischen den Coordinaten des ft-dimensionalen Raumes ist nämlich gleich- zeitig je ein ganzes System von Mannigfaltigkeiten 0^^ und n— !*•% l*^'^ und n — 2^', 2^' und w — 3**^^ u. s. w. Ordnung gegeben, denen sämmtlich ein und dieselbe Windungs- zahl zugehört. Diese Beziehung scheint mir besonders ge- eignet, die Bedeutung der Kronecker'schen Charakteristik für die Lagenverhältnisse der verschiedenen durch ein solches Functionensystem zu definirenden Gebilde hervortreten zu lassen.
450 Nachtrag z, Sitzung der maührphys. Glosse vom 6. Juli lii95.
Erster Abschnitt. Theorie der gegenseitigen UmwindoDg zweier RaumcnrTen.
§ 1.
Das Gaass^sche Integral.
Gauss hat in einer bekannten Notiz vom Jahre 1833 (Werke, Band V, Nachlass, Zur Elektrodynamik, pag. 605), die Anzahl der ümschlingungen zweier geschlossener, sich nicht schneidender Linien Mi und Ml durch das folgende Doppelintegral dargestellt :
1)
v=
fl—gl
gi — Bi
-de[ -dei
djg'i dei
j r f^ el - eä —dt'a del
^'^ J J Vw-*o'+(*i-*i)'+(4
-4)*
»);
hierbei bezeichnen 0i, 02^ 0s, beziehungsweise 0i^0i^0i^ die rechtwinkligen Goordinaten eines Punktes der ersten, be- ziehungsweise der zweiten, Linie und ist die Integration über beide Linien ausgedehnt.
Der Ausdruck unter dem Integralzeichen besitzt eine sehr einfache geometrische Bedeutung, aufweiche Schering, von welchem auch die erste Ableitung der Gauss'schen Formel herrührt*), aufmerksam gemacht hat. Es stellt
^) Man vergleiche bezüglich des hier gew&hlten Yoneicheni der Determinante die am Schlüsse dieses Para^^phen folgende Bemerkung.
^) Man vergleiche: 0. BOddicker, «Erweiierong der Ganss'schen Theorie der Verschlingnngen mit Anwendungen in der Elektro- dynamik". AnsfShrung der Göttinger Inangaraldissertation Böddickers, erschienen 1876 bei Spemann in Stuttgart.
W. Dyck: Beiträge zur Potentidltheorie, II. 451
nämlich der Zähler den sechsfachen Inhalt dar des von zwei Linienelementen do\ beziehungsweise do\ der beiden Corven bestimmten Tetraeders, oder den Inhalt eines Parallelepipeds, von welchem drei Seiten durch rfoi, do\ und durch die Ver- bindungslinie der Anfangspunkte beider Linienelemente ge- bildet sind; der Nenner ist gleich der dritten Potenz der Entfernung der beiden Linienelemente von einander.
Für die Ausführung der Integration ist zu beachten, dass hiebei jede der Curven in bestimmter Richtung zu durchlaufen ist. Wir setzen diese dadurch fest, dass wir in beiden Curven je einen (übrigens willkürlichen) Punkt heraus- greifen, in diesem die eine der beiden entgegengesetzten Richtungen der Tangente als positive Fortschreitungsrichtung auszeichnen (was durch die Wahl des Vorzeichens der Rich- tungscosinus an dieser Stelle geschieht) und nun in dieser Richtung die Bogenlängen zählen. Wir haben dann um die Richtung beizubehalten stets im Sinne der wachsenden Bögen fortzuschreiten, d.h. die Bogenelemente :
und
2') dol = Ydisl^^ del''+ del^
sind für die ganze Integration positiv zu nehmen.
Bestehen die Curven aus mehreren getrennten, in sich geschlossenen Theilen, so führt unter Voraussetzung einer ge- meinsamen analytischen Definition für die einzelnen Zweige, die Bestimmung der If^ortschreitungsrichtung auf einem dieser Züge deren Fixirung auch auf den übrigen Zügen mit sich.
Der Nenner des Ausdruckes unter dem Integralzeichen
ist positiv zu nehmen.
452 Nachtrag z. Sitzung der math,'jphy8. Classe wm 6, Juli 1895,
Es sei hier erwähnt, dass wir alle in der Folge auf- tretenden Quadratwurzelausdrücke positiv annehmen; es ist dies gestattet, weil dieselben unter dem Wurzelzeichen stets eine Summe von Quadraten enthalten, welche im Allgemeinen nicht sämmtlich gleichzeitig in den betrachteten Gebieten verschwinden, so dass also die Wurzel innerhalb des Ge- bietes ihr Vorzeichen nicht wechselt.
Rechnen wir nun in unserem Goordinatensystem die Richtung der Axe s^ nach Osten, die von g^ nach Norden, die von js^ nach dem Zenith, so gibt das Vorzeichen der Inhaltsdeterminante die folgende Unterscheidung für die gegenseitige Richtung der Elemente do'i und doli
Stellt man sich in die positive Richtung des Elements doi der ersten Curve und blickt auf das Element dol der zweiten Curve, so dreht dieses im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers um dol, wenn die Determinante
3)
£fi — ßi — dg'i del jsi — ßi — d^i d02 ^3 — j^s — djifs dis\
positiv ist (vergl. Fig. 1), im Sinne des Uhrzeigers, wenn diese Determinante negativ ist (Fig. 2). Dieselben Be-
Fisr. 1. +
Fig. 2.
W. Dyck: Beiträgt zur Potenticdtheorie, IL 453
Ziehungen ergeben sich dabei, wenn wir von dol nach do{ blicken *).
§2.
Formeln für die Windungszahl unter der Voraus- setzung, dass die beiden Raumcurven in Parameter- darstellung gegeben sind.
a) Das Oanss'sche Doppelintegral.
Der Gauss'sche Ausdruck für die Windungszahl V lässt sich direct ausführen, wenn man die beiden Linien in Para- meterdarstellung gegeben annimmt. Es seien durch
4') S2 = cp2{h) und 4') £fi = ip2{h)
^8 = ^8(^1) ^8 = 1/^8(^2)
die Coordinaten der Punkte unserer beiden Raumcurven dargestellt, abhängig von den Parametern X^ bez. i.^. Wir setzen dabei, der präcisen Ausdrucks weise wegen, die Functionen q>i und ipi als eindeutige, reelle Functionen der reellen unbeschränkt veränderlichen Grössen ^j bez. X^ voraus;
1) Es schien für die vorliegenden Untersuchungen zweckmässig, durch die eben gegebene Auszeichnung des einen der beiden zu einander symmetrischen Coordinatensysteme die Vorzeichen + und — der Determinante in die bestimmte Beziehung zu den Figuren 1 und 2 zu bringen. Dabei habe ich, um fär die in der Regel als , positiv' bezeichnete Drehung Fig. 1 auch eine positive Windungs- zahl zu erhalten, die Gauss'sche Determinante noch mit einem Minus- zeichen versehen, welches übrigens bei der Ableitung der zweiten und dritten Colonne der Z&hlerdeterminante durch Differentiation der ersten Colonne naturgemäss in die Formel eintritt.
454 Nachtrag ß, Sitzung der matK-phya, Glosse vom 6, Jtdi 1895.
die q>i und \pi seien femer stetig und überall endlich,^) und nach den Parametern Aj, beziehungsweise A,, differentürbar. Die Raumcurven sollen keinen Punkt mit einander gemein haben, d. h. ip^ — y,, ?/;, — y,, xp^ — ip^ niemals zugleich für dieselben Werthe der i. verschwinden. Ferner sollen nie- mals gleichzeitig die drei Ableitungen 9>ii, 9)211 9>si der Functionen 9)1(^1) nach l^ verschwinden und gleiches für die Ableitungen 1//12, 1/^221 V^82 der Functionen ip^ (JI2) nach ^2 gelten.
Es ergiebt sich dann unmittelbar fQr die Windungszahl V das Doppelintegral:
|
^x-Vi |
-Vn |
«/'., |
|
|
5) |
%-9t |
-9»« |
^n |
|
r.^jr- |
^i-<pt |
—Vii |
V'»« |
bei welchem den obigen Voraussetzungen zufolge die Inte- gration über die X an eine Grenzbedingung nicht mehr ge- bunden ist.
Um die Richtung für die Integration auf beiden Linien nach den in § 1 gegebenen Bestimmungen festzulegen, wählen wir an einer bestimmten (aber übrigens willkürlichen) Stelle jeder der beiden Gurven diejenige Richtung für die Zählung der Bogenlängen, für welche die dem Linienelemente do\ (bez. do\) an dieser Stelle entsprechende Aenderung dl^ (bez. X^ positiv ist. Da nun für die Elemente der beiden Gurven
1) So dass wir hier, was indess die AJIgemeinheit der Betn&ch- tungen nicht wesentlich beschränkt, nur von ganz im Endlichen gelegenen Curven reden.
W. Dyeh Beiträge tur Potentüüiheorie. II. 455
beziehungsweise
6-) <^ö" = l/«/'?.+ «^i+V4.-<iA,
ist, so folgt, da wir die Quadratwurzeln positiv annehmen, dass wir für die Integration im ganzen Gebiete die Ele- mente dk^ bez. dX^ positiv zu nehmen haben, also, kurz ausgedrückt, dass wir im Sinne der wachsenden Werthe ij und Ag über die Curven zu integriren haben. ^)
Aus Formel (5) für V ist nun die Bedeutung der Win- dungszahl als Kronecker'scher Charakteristik direct zu er- schliessen. Die Entwicklungen der §§ 1 und 2 der »Bei- träge I" (Formel (12) auf Seite 266) ergeben nämlich un- mittelbar den Satz:
Stellt man das Gauss'sche Integral für die Um- schlingung zweier Raumcurven mit Hülfe einer Parameterdarstellung (4) der Curven dar, so ist die Windungszahl V gleich der Kronecker'schen Cha- rakteristik des Systems der drei Functionen:
7) n>AK)-9AK\ V'2(^2)-y2(^l)l V'8(^)-9>sWi
der zwei Variabein Aj, X^,
Deuten wir nach Formel (2) der „Beiträge I" die drei Functionen im Räume der Coordinaten jer^ e^^ ß^^^)
1) Die Darstellung ist in dieser weitläufigen Form mit Rücksicht auf die im Folgenden enthaltenen Ausführungen gegeben.
2) Es ist absichtlich mit Rücksicht auf die folgenden For- meln die Bezeichnung der Ck)ordinaten durch z^ beibehalten; diese treten hier an die Stelle der x^ der Formel (2) in den , Beiträgen I", während die in jener Formel mit »^ bezeichneten Parameter hier durch die k^ ersetzt sind.
456 Nachtrag z, Siteung der math.'jihys. Glosse vom 6. Juli 1895,
8) ^2=^2(^2)-9'«ai),
SO folgt der Satz:
Die Zahl der gegenseitigen ümwindungen der in (4) dargestellten Raumcurven ist gleich der Zahl der Windungen der Fläche (8) um den Nullpunkt.
Die Fläche (8) ist dabei auf die einfachste Weise geo- metrisch aus den beiden Curven abzuleiten. Legt man näm- lich durch den Nullpunkt des Coordinatensjstems Strahlen parallel zu den zweifach unendlich vielen zwischen beiden Raumcurven zu ziehenden Sehnen und schneidet auf diesen Strahlen je die Längen dieser Sehnen (gemessen in der Rich- tung von der ersten zur zweiten Curve) ab, so bilden die Endpunkte dieser Strahlen eben die Fläche (8).^)
Die Formeln (8) ergeben weiter, dass die Gestalt der Fläche von einer gegenseitigen durch Parallelverschie- bung der beiden Curven hervorgerufenen Lagenveränderung
1) Man kann sich auch einA anachauliche Yorsiellong von unseren Flächen dadurch verschaffen, dass man sie als , Trans- lationsflachen" auffasst, die sich auf eine zur M^:z,s=w{X^^ con^ruente und auf eine zweite aus der M* durch «Spiegelung am Nullpunkt" entstandene Curve Zf = — (p^ [X^) als Leitcurven beziehen. Herr Finsterwalder hat mehrere Modelle solcher FlSU^hen con- struirt, die im BrilTschen Verlage erschienen sind. Eines derselben be- zieht sich speciell auf zwei in orthogonalen Ebenen gelegenen Kreise als Leitlinien, versinnlicht also gerade den für unsere Betrachtangen elementarsten Fall der gegenseitigen Ümschlingung zweier Kreise. Auch Lie, der die Theorie der Translationsflächen in Verbindung mit den entsprechenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ord- nung ausgebaut hat (Vergl. neben älteren Untersuchungen die zu- sammenfassenden Darstellungen in den Berichten der Leipziger Ge- sellschaft d. W. Bd. 44), veranlasste im Leipziger mathematischen Institut die Herstellung von Modellen gewisser TranslaÜonafl&ehen.
W, Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. II. 457
unabhängig ist und dabei nur die Lage der Fläche gegen den Coordinaten-Anfangspunkt geändert wird ; die Windungs- zahlen, welche die Fläche mit Bezug auf die verschiedenen Punkte des Raumes aufweist, geben also zugleich die Win- dungszahlen der beiden Curven für alle möglichen durch Parallelverschiebung entstehende Lagen.
Die Entwicklungen in den .Beiträgen V zeigen nun- mehr, dass wir sofort noch zwei weitere Darstellungen für die Windungszahl V bilden können, nämlich mit Hülfe eines einfachen Integrals und durch eine Summen- formel. Wir betrachten noch kurz diese Darstellungen und ihre geometrische Bedeutung.
b) Darstellung von V durch ein einfaches Integral.
Die Windungszahl lässt sich (nach Formel (26) der »Bei- träge I", für Ä: = 0) darstellen durch das einfache Integral:
9) ; ^%-9% -9%x n>%%
ausgedehnt über
welches die Windungszahl der Schnittcurve der Fläche (8) mit der Ebene
^1 = ^^1 — ^1 = 0 um den Nullpunkt darstellt und in welchem äo^ ein stets positiv zu nehmendes Element bedeutet, welches den beiden Gleichungen :
10') ^ V^9';.+'/'; „
1895. Matb.-phyB. Ol. 8. 80
468 Nachtrag z. SüMung der math.-phya. Claase vom 6. Juli 1895.
beziehungsweise
10')
d Oj = : di.
entsprechend für die Ausführung der Integration zu Ter- wenden ist.^) Es ergiebt sieh dann (indem man die Determi- nante nach der ersten Horizontalreihe auflöst und die oben genannten Formen für c20| benützt) folgende Form des ein- fachen Integrals:
0 -dig dX^
11)
F =
27t
j
((•/',-g',)*+(«/'.-9'.)*)'
Führen wir hier die Coordinaten ^rj, jgrj, ^3 beziehungs- weise £?;, jerj, £fs der beiden Raumcurven (4) ein, so können wir auch schreiben:
12)
0 -1 1 £f2 — ^2 — dtfi de^
j I el — ^s — dßz de'^ \ ^2^ J ((^2-^2)*+ (4-^3)»)'
das Integral erstreckt über e\'-'0[ = O,
1) Deutet man die Parameter X^^ l^ als rechtwinklige Coordi- naten einer Ebene, so ist doi nichts anderes als das Linienelement der Cnrve
dargestellt durch seine Projectionen <2^i, dl% anf die Axen. — Ueber diese Deutung der i, die ich hier nicht weiter vertblge, Tergleicke man die Schlassbemerkungen des § 9.
W. Dyck: Beiträge zur PoUnticdtheone. IL 459
In dieser Form lässt sich die geometrische Bedeutung dieses einfachen Integrals am leichtesten übersehen:
Man denke sich nämlich eine Gerade, stets pa- rallel zur Ebene e^ e^ bleibend, an den beiden Curven entlang gleiten, so misst die Anzahl der vollen Um- drehungen, die diese Gerade im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers bei dieser Bewegung beschreibt, die Anzahl der gegenseitigen Umwindungen beider Curven. •
Man überzeugt sich von der Richtigkeit dieses Satzes sofort durch Aufstellung des die Umdrehungszahl darstellen- den Integrals. Für die anschauungsmässige Verfolgung der Bewegung der Geraden ist dabei noch folgendes zu beachten: Denkt man sich durch die gleitende Gerade eine Ebene parallel zur Ebene 0^0^ gelegt, so erfährt die Gerade in dieser Ebene die zu messende, drehende Bewegung und gleichzeitig wird die Ebene selbst in Richtung der Axe e^ parallel verschoben. Besondere Stellen der Bewegung sind nun : Erstens diejenigen, in welchen der Sinn jener Drehung umkehrt; diese sind durch das Verschwinden der Zähler- determinante unseres Integrals gekennzeichnet. (Vergl. die beiden durch x x bezeichneten Stellen in nebenstehender Figur 4.) Zweitens diejenigen, in welchen die Richtung der Parallelverschiebung der Ebene umkehrt. Die letzteren Stellen sind durch das Verschwinden von \p^^ beziehungsweise von g),j gegeben, d. h. durch diejenigen Lagen der sich verschieben- den Ebene, in welchen sie eine der beiden Curven berührt. Berührt dabei die Ebene die zweite Curve (ist also t/'jj^O), so gleitet die bewegliche Gerade auf dieser im Sinne ihrer augenblicklichen Bewegung fort, während die Bewegung auf der ersten Curve direct umkehrt (vergl. die beiden durch 00 bezeichneten Stellen in den nebenstehenden Figuren 3 und 4). Dem entspricht analytisch, dass aus der Formel (10*) für das positiv zu nehmende Element do^:
80»
460 Nachtrag z, SUeung det maihrphys, Glosse vom 6, Juli 1896,
aoi = ; dii
folgt, dass mit ip^^ gleichzeitig dX^ sein Zeichen wechselt. Ein Gleiches ergiebt sich bezüglich des gleichzeitigen Zeichen- wechsels von 9)j| und di^. Die beiden Gurven werden also im gegenwärtigen Falle nicht (wie im Falle des Doppel- integrals (5)) im Sinne der wachsenden Parameter X^ nnd i^ durchlaufen, sondern im Sinne des positiven Elementes dOy Die nebenstehenden Figuren dienen noch zur Yersinn- lichung des Umstandes, dass nach dem Gesagten bei der Bewegung der gleitenden Geraden im Allgemeinen ein- zelne Theile der beiden Gurven mehrfach in verschiedener Richtung, andere gar nicht von der Geraden überstrichen werden können.
Fig. 3.
Fig. 4.
Weiter aber zeigen sie, dass der Verlauf dieser Bewegung sich auch aus mehreren getrennten Cyklen zusammensetzen kann, ohne dass darum die fraglichen Gurven aus mehreren Zügen zu bestehen brauchen. Der Sinn, in welchem in diesem Falle die einzelnen Theilbewegungen zu addiren sind, wird festgelegt durch den an einer Anfangsstelle der Be-
W, Dycki Beiträge eur Potentialtheorie, IL
461
weguDg auf beiden Raumcorven (gemäss § 2, pag. 454) ein- getragenen Richtangssinn, durch welchen auch die Rich- tung beim Beginne jeder in sich geschlossenen Theilbewegung der Geraden festgelegt wird.
o) Darstellung von V durch eine (Kronecker'aohe) SummenformeL
Aus Formel (13) und (14) der »Beiträge I* ergeben sich für V sofort die beiden Summen formein :
13 a) und 13 b)
V= Ssign.
V=^'^9igxi.hip^-(p^)
I
^11 ^it
wobei die erste Summe sich erstreckt auf alle Punkte, für welche
V^i— ^1 = 0, t/'2-y« = 0, ^8— 9>8>0
ist, die letztere auf alle Punkte
Schreiben wir auch diese Formeln direct in den Co- ordinaten ei und Si der beiden Raumcurven, so lauten sie, wenn man rechts noch mit dX^ • dk^ multiplicirt :
14a)
und
14b)
{I —d£f\ de\ \ -de: dB: i
F=2 -Ssign.
{(^;
dß!g dB\
—dz\ de\ — dz\ dz\
^'O-
r
462 Nachtrag z, Sitzung der math.-phys, Glosse vom 6. Juli 1895,
die Summen ausgedehnt über
beziehungsweise über:
dabei ist zu beachten, dass hier dei und dsu diejenigen Aenderungen der Goordinaten bezeichnen, welche positiven dX^ und dX^ entsprechen.
Die geometrische Bedeutung dieser Formeln ist un- mittelbar ersichtlich:
Es wird die Windungszahl F bestimmt durch die Punktcharakteristiken der scheinbaren Doppel- punkte, welche das System der beiden Baumcurven vom Zenith aus gesehen (vergl. Seite 452) darbietet
Dabei ergiebt sich folgende anschauliche Deutung f&r das Vorzeichen der beiden in der zweiten Summenformel enthaltenen Factoren:
Der erste Factor jerJJ — jcr, entscheidet durch sein Vor- zeichen, ob im scheinbaren Doppelpunkt die erste der Curven unterhalb oder oberhalb der zweiten Gurre verläuft.
Das Vorzeichen des zweiten Factors, der Determinante:
15)
trennt die scheinbaren Doppelpunkte in zwei zu einander symmetrische Gattungen in folgender Weise: Man projicire die beiden Gurren in der Richtung vom Zenith aus auf die Ebene a^ e^ und trage in der Projection die auf der Curve festgesetzte Fortschreitungsrichtung ein. Unterscheidet man dann die beiden Gurren wie in den obigen beiden De- terminanten als erste und zweite, so entsprechen einem poai-
|
911 Vit |
dX, . dkt « |
- de, de't |
|
9>i> Vu |
- dzx de\ |
W. Dyck: Beiträge zur Potentidlthearie. IL
4G3
tiven, beziehungsweise einem negativen Werthe der Determi- nanten in den scheinbaren Doppelpunkten die durch Fig. 5 und 6
Fig. B. Fig. 6.
I
I
gekennzeichneten beiden Fälle. Die Determinante giebt näm- lich den mit dem bekannten Mobius'schen Vorzeichen ver- sehenen doppelten Inhalt des Dreiecks, welches durch die beiden vom scheinbaren Doppelpunkt (im positiven Richtungs- sinue) auslaufenden Bogenelemente bestimmt ist.
Die Formeln (14 a, 14 b) zählen also die Windungszahl V ab gemäss der durch die folgende Figur 7 gegebenen Unter- scheidung der scheinbaren Doppelpunkte, die wir in ihrer Ansicht in Richtung vom 2ienith aus darstellen und wobei die stark gezeichnete Curve dem Beschauer näher liegen soll:
<0
|
Fig. 7. |
||
|
- de\ dz'x |
>o |
-dt\ d»\ |
|
-de'^ dz\ |
-det del |
^;>o
jpJ — «i<0
464 Nachtrag z, Sitzung der m<Uh,-phy8. Cltuse tom 6, Juii 1895.
Die Formel (14 a) erstreckt sich nur über die Pankte, für welche el — ez>0 ist. Dabei lässt sich diese Formel unmittelbar in die andere (14b) überführen, wenn wir be* achten, dass
{I - ^i\ V^ij \\ (\ - de\ dg\ k
j =Ssign. I j =0
ist, falls wir die Summation über alle scheinbaren Doppel- punkte (die unterschiede im Sinne der Figuren 5 und 6 ge- nommen) erstrecken. Es entspricht diese hier unmittelbar geometrisch einleuchtende Beziehung der allgemeinen Formel, welche Kronecker für die Vorzeichensumme aller Pnnkt- charakteristiken eines Functionensystems aufgestellt hat (vgl. »Beiträge 1% pag. 268).
§3.
Formeln für die Windungszahl unter der Voraus- setzung, dass die beiden Raumcurven als Schnitt- linien je zweier Flächen gegeben sind.
Nimmt man die beiden Raumcurven M[ und M\ je durch zwei Gleichungen zwischen den Variabein fr^, e^^ st^ gegeben an und zwar die Jfi durch:
die M[ analog durch:
j^, -f;(^i,^„^»)==o,
so lässt sich das Gauss'sche Doppelintegral für die Win- dungszahl nicht allgemein aufstellen. Dagegen treten hier direct die Formeln für die Kronecker'sche Charak-
TT. Dyck: Beiträge zur Potentiälthearie, II,
465
teristik JTdes Systems der vier Functionen (mit drei
Variabein)
18) F^, F,, F,, F, ein.
Ea lässt sich aus den geometrischen Entwicklangen, die Kronecker insbesondere in den Abschnitten II und V seiner Abhandlung über Functionensysteme vom März 1869 gegeben hat und in welchen die Charakteristik als Windungszahl einer gewissen ebenen Curve um den Nullpunkt erscheint (vgl. hiezu ^Beiträge I", § 3), die Bedeutung der Kronecker'- schen Charakteristik als Zahl der gegenseitigen Windungen zweier Raumcurven (im Falle von drei Variabein) herleiten. Wir gehen indess auf diese Form der Herleitung nicht näher ein, beweisen vielmehr in den folgenden §§ 4 und 5 die Ueber- einstimmung der in den §§ 1 und 2 gegebenen Gauss*schen Zahl V mit der im gegenwärtigen § definirten Kronecker'- schen Charakteristik K durch eine directe Vergleichung der für V abgeleiteten Summenformel (13 a) und der ent- sprechenden, sogleich zu erwähnenden Summenformel für K (Formel (26 a)).
Aus den in den ,, Beiträgen I' entwickelten Formeln (12), (26) und (13), (14) ergiebt sich die Darstellung der Zahl K durch ein dreifaches, durch ein zweifaches und durch ein einfaches Integral, sowie durch den Kronecker'schen Summenausdruck, Formeln, die wir der Vollständigkeit halber in Kürze hierher setzen.
a) Das dreifache Integral für K lautet:
F Fqj Fq^ J^os
19)
^J
Fl Fii Fu Fii
jPj F^ Fn Fs Fm Fat
F„
\/F\ + F\ + F\-\-Fi
dot-,
466 Nacktrag z, Sitzung der mathrphya, Glosse vom 6. Juli 1895,
hier ist
20) dog = de^ • de^ • de^
das positiv zu nehmende Element der Integration und die Integration über die Gesammtbeit der reellen Werthe g^^ m^ js^ zu erstrecken.
b) um die Darstellung durch ein zweifaches Integral zu erhalten, zeichnen wir eine der Functionen F^ z. B. J^» aus und es folgt dann
0 F,, F^ Fo.
Fl Fii Fit Fit
Fg Fn Fn Fu
Ft F„ F„ F„
21)
K =
w.
/
Vf\+FI + Fl 'VFli+FUi-FU
rfo,,
wo dOi das stets positiv zu nehmende Element der Flache J^^jssO, über welche die Integration zu erstrecken ist, be- zeichnet. Für die Integration ist es zweckmässig, dot in d^i drei verschiedenen Formen
22)
Vfi+fi+fi ^ ^
dOi s= • dSf^ • a0^
Foi
i,k,l= 1, 2, 3
anzunehmen.
c) Das einfache Integral erstreckt sich über eine der in Betracht kommenden Curven, z. B. über jPo=0, -'^i^^O, in welchem Falle wir erhalten:
23)
K'^
W. Jiyck: Seiträge sur Potentialtheorie, II. 467
0 F„ F^ F«
0 Fii Fn Ftt
Ft Fxx Fn F»
F, F., Fm F„
to.
i
dou
wobei dO] das stets positiv zu nehmende Linienelement der Curve Fo^O, F, = 0 bezeichnet, welches für die Integration (beim Auflösen der Zählerdeterminante nach den Unter- determinanten der Matrix der ersten beiden Reihen) zweck- mässig in den Formen
V\
24) do,=
Fqx Foj Fot
Fn Fii Fit
Fok Ffii Fik Fii
dzi
t, *, i==l,2, 3
anzunehmen ist.
Die Factoren coi, co,, oi, der drei Integralausdrücke sind beziehungsweise :
25) a>8 = 2/r", Wj = irr, w, =» irt,
d) Als Summenformel zur Darstellung yon K end- lich ergeben sich, wenn wir die Functionen jFqi ■'^n Ft vor der letzten Fi auszeichnen, die Formeln:
26 a)
-BT = — S sign.
■Pol F^ F^
Fu F,t F»
I ^11 Fn Ftt
468 Nachtrag z, Siteung der math.'phy8. Glosse vom 6, Juli 1895,
und
26b) Z=^.Ssign.
0 Fo^ F,, F„
0 Fn F,, F,
»» I
0 Fii Ffi Ft^
Ft Fti Fn Fn
die erstere Summe erstreckt über die Pankte, für welche
F, = 0, Fi = 0, F, = 0, F,>0 ist, die letztere ausgedehnt über die Punkte
Fo=0, F, = 0, F, = 0. Man hat dabei die Relation
-Pol Fnt F^
27)
£ sign.
i^u ^1, -Fl.
= 0,
-F.! F„ Fr, falls die Summe über alle Punkte
Fo = 0, -F, = 0, F, = 0 erstreckt wird.
Bezüglich der geometrischen Bedeutung der vorstehenden Integralformeln sei auf die Entwicklungen der .Beiträge I' verwiesen. Auf die Discussion der Summenformeln haben wir sogleich einzugehen.
§4.
Ableitung einer neuen Formel für die Bestimmung der Charakteristik K. Es handelt sich nunmehr in den folgenden §§ 4 and 5 darum, die üebereinstimmung der Zahl V (der §§ 1 und 2) mit der jetzt (in § 3) betrachteten Zahl K zu erweisen.
W, Dyck: beitrage zur Potentialtheorie. IL 469
Zunächst stehen, wie schon die geometrische Bedeutung der verschiedenen Ausdrücke erkennen lässt, die för beide gewonnenen Formeln in keiner directen Beziehung zu ein- ander. Um sie mit einander in Verbindung zu bringen und ihre gegenseitige Stellung zu kennzeichnen, verfahren wir folgendermassen :
Wir knüpfen an die beiden Summenforroeln (13a) und (26 a) für V und K an und zeigen, dass die in diesen For- meln dargestellten Zahlen an denselben Stellen und in glei- chem Sinne sich ändern, wenn wir die gegenseitige Lage der Curven M[ und Ml durch Bewegung derselben abändern. Nunmehr bringen wir beide Curven, ohne sie zu deformiren, in eine solche Lage, dass sie keinerlei gegenseitige Ver- schlingung mehr besitzen (was unter Voraussetzung von ganz im Endlichen gelegenen Curven stets möglich ist); für diese Lage ist V sowohl wie K gleich Null. Bewegen wir von dieser Ausgangslage der Zählung aus die Curven in ihre ursprüngliche Lage zurück, so ändern sich die beiden Zahlen in gleicher Weise und damit folgt schliesslich für die End- lage: 28) V=K.
Gleichzeitig aber gewinnen wir in dieser Ab- zahlung der Aenderungen der Zahlen F, beziehungs- weise K im Laufe der Bewegung der Curven M[ und M\ gegen einander eine neue Methode zur Bestim- mung unserer Windungszahl. ^)
1) Die hier angewendete Methode der Abzahlung einer Charak- teristik hat Eronecker ganz allgemein formulirt mittelst der Einführung willkürlicher Parameter in die Functionen des Systems; er hat bei dieser Gelegenheit auf die durch die Einführung eines Parameters gegebene Möglichkeit einer Abzahlung der Charakteristik mit Hülfe des Stürmischen Yerfieihrens hingewiesen. Vergl. Berliner Monats- berichte vom 21. Febr. 1878, pag. 147, 148.
470 Nachtrag t, SiUung der ma4h,-phy8, GIobh vom 6. Jidi 189S,
Zur rechnerischen Darlegung wählen wir speciell f&r die Veränderung der gegenseitigen Lage der beiden Car?en eine Verschiebung der Curve Ml in Richtung der Axe ^a, bei fesi^ehaltener Curve Mi
Wir betrachten zunächst die Summenformel (13 a)
K=L8ign. ji
13 a)
die Summe ausgedehnt über:
V^i — yi = Oi </^i — 5Pa=0, V'a — T8>0.
Die Curve MI sei um die Strecke C in Richtung der negativen Axe js^^ verschoben, so dass also für die ver- schobene Curve
29) ss.^ip,,
ist. Wählen wir nun G so gross, gleich Oq, dass für alle scheinbaren Doppelpunkte xpi — 9)1 = 0 , tpi — 9^ = 0 der beiden Curven stets
ist, so wird die einer solchen Lage der beiden Curven ent- sprechende Zahl Vc^ = 0 sein, weil alle scheinbaren Doppel- punkte aus dem Bereich der Abzahlung gerückt sind. Von hier ab also als Ausgangslage haben wir die Zählung zu beginnen und nunmehr C von Co bis 0 abnehmen zu lassen. Passiren wir nun, die Curve üfT in der positiven Rich- tung der Axe jg^ an die feste Curve Ml heranschiebend, mit einem Zweige der M' die M[^ so tritt an einer solchen Stelle C^Ü, für welche also
W. Dyck: Beiträge zur Pötentiältheorie. iL 471
^^1—^1 = 0, V^a--9>, = 0, (xp^ — C) — q^s = 0
ist, der betre£fende scheiubare Doppelpunkt in den Bereich unserer Abzahlung ein, weil hier die Function {ifj^ — C) — qpa von einem negativen zu einem positiven Zahlwerth übergeht. Der Werth von V wird also an einer solchen Stelle :
um 1 vermehrt, um 1 vermindert.
wenn für diesen Punkt
■ q>n ^it
>0 <0
ist. Die im Laufe der Bewegung von 0 = Co mit abnehmen- dem C7 bis (7=0 an den Durchgangspunkten der beweg- lichen Curve durch die feste Curve eingetretenen Aenderungen ergeben also für die Endlage der beiden Curven die Zahl V ausgedrückt genau durch die obige Summenformel (13 a).
Zu einer neuen Summenformel werden wir dagegen geführt, wenn wir dieselbe Betrachtung unter der Voraus- setzung der Definition unserer Curven durch die Gleichungen Fi = 0 durchführen.
Es handelt sich hier um die Summenformel (26 a)
26 a)
K= — S sign.
|
rF,, |
F„ |
F„ |
|
Fu |
F^ |
F„ |
|
^ -F., |
F„ |
F„ ^ |
die Summe aasgedehnt über
Fo = 0, F, = 0, F, = 0, F,>0.
Die Verschiebung der Curve M'i in liichtung der nega- tiven Axe g, um den Betrag C giebt fQr die verschobene Curve die Gleichungen:
F,(Zi,e,,e,+ C) = 0.
30)
472 Nachtrag e. Sitzung der mathrpkys, Glosse vom 6, Juli 1895.
Wählt man also, alle Fachen i^|- = 0 als ganz im End- lichen liegend vorausgesetzt, nur C gross genug, gleich C«, so werden sämmtliche Punkte der verschobenen Curve MI kleinere Ordinaten besitzen, als die Punkte der festen Flache F2 = 0 und damit auch kleinere, als die Punkte der auf ihr liegenden festen Curve M[. Dann ergiebt sich für einen solchen Werth Co von C die Zahl Kc^ = 0, weil die Glei- chungen
keine reellen gemeinsamen Lösungen mehr besitzen.
Von dieser Lage 0= Co als Anfangslage aus verschieben wir nun wieder die Curve Ml in der Richtung der positiven Axe z^; es handelt sich dann darum, zu bestimmen, an welchen Stellen C die durch die folgende Formel gegebene Zahl Kc sich ändert.
31) IJPo,(^„-e^2,^3+C) Fo2(^u£i,,s,+C) F«,(^„£r,,^,+C)
^c=-X;sign.
ii^iiC^n-^i^^s+C) F„(£ri,^„£',+0 J',8('8^„£r,^,+C).
1^21(^1,^*1^.) -^21(^1,^1,^8) Fn(Si^t^s) die Summe ausgedehnt über alle Werthe
Fo(-^l,^.,^.+ C) = 0, i^l(^M^2,^.+ C) = 0,
F^ (£r„ Zj, ^a) = 0, jF, (£1, ^a, ^1) > 0.
Zunächst treten von G= Co an je paarweise gemein- same Lösungen der Gleichungen
auf an den Berührungsstellen der sich verschiebenden Carve Ml mit der festen Fläche i^, = 0, beziehungsweise ver- schwinden je zwei solche Punkte, die im Laufe der Bewegung der Curve MI entstanden sind, wieder. An diesen SteUen ist die Determinante in der obigen Formel (31) für Ko gleich
W, Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. II, 473
Null, während sie für die beiden im Berührungspankte zu- sammenrückenden Schnittpunkte der Carve mit der Fläche jPj== 0 (wenn wir von singulären Vorkommnissen, wie dies hier stets geschieht, absehen) je verschiedenes Vorzeichen aufweist. Diese Stellen üben also keinen Einfluss auf die Zahl Ka aus. Wenn dagegen ein Zweig der Curve JfT die feste Curve M\ passirt, d. h. an den Stellen, für welche die Gleichungen
-Fo(^n^2,ie^8 + C) = 0
„^ F,(^H^2,^S + C) = 0
F^ {0u ^«, ^.) = 0
gemeinsame Lösungen besitzen, tritt eine Aenderung in der Abzahlung ein, insoferne ein Punkt, für welchen die drei ersten Gleichungen erfüllt sind, entweder aus einem Gebiete, in welchen F^^CO ist, in das Gebiet jPj > 0 eintritt und da- durch bei der Abzahlung gemäss Formel (31) neu hinzu- kommt, oder umgekehrt aus F^>0 in das Gebiet -Fj < 0 eintritt und dadurch für die Abzahlung in Wegfall kommt. Eine solche Stelle ist also im ersten Falle mit ^ 1 für die Bildung der Zahl K in Rechnung zu setzen je nachdem die Determinante in der Formel für Kc an dieser Stelle ^ 0 ist, im zweiten Falle dagegen mit + 1 .
Nun seien ^,, £^21 ^s die Coordinaten, G der Parameter in einem solchen Durchgangspunkt der beweglichen Curve MI durch die feste Curve M[\ vor dieser Lage kommt der be- weglichen Curve der Parameter Ö + dC, nach derselben der Parameter C — dC zu, wo nach unserer Annahme über die Richtung der Verschiebung (von C=Co bis C=0), dC eine positive Aenderung bezeichnet. Die Coordinaten, bez. der Parameter für den gemeinschaftlichen Schnittpunkt der drei Brächen ^«=0, -Fi = 0, Fa=0 vor und nach dem Durch- gang durch die singulare Stelle sind
1695. MAth.-phya. CL 3. 81
474 Nachtrag z, SUaung der maith,-phyB, Clasae vom 6. Juli 1895,
|
g, ± de, , i, + dst, z, ± ds, , |
c± |
|
wobei, wie sich direct ergiebfc: |
|
|
' F,, F„ F„ |
F„ |
|
33) der.dst:djir-dC= F,. F„ F., |
^u |
|
^»i F„ Fa |
0 |
Der Unterschied, ob beim Durchgang durch die singu- lare Stelle der Schnittpunkt der drei Flächen i^o = 0, 2^1^=0, -Fj = 0 aus einem Gebiet F, < 0 in ein Gebiet jF, > 0 rückt oder ob das umgekehrte statthat, wird durch das positive oder negative Vorzeichen des Werthes von
34)
— (F„ dsf, + -F,, (f^, + i^ss rf^,),
(die ( — dsTi) als die Aenderungen der jSi nach dem Durch- gang durch die singulare Stelle gerechnet), entschieden, also mit Berücksichtigung der obigen Werthe für die ds^ durch das Vorzeichen des Determinantenquotienten:
35) —
Nun ist aber nach Seite 473 für die Abzahlung der Durchgangspunkte ^ 1 in Rechnung zu setzen, je nachdem der Ausdruck (35) und die Determinante in (31), d. i. die Nennerdeterminante Ton (35), gleiches oder ungleiches Vor- zeichen haben. Die an einer solchen Stelle erfolgende Aen- derung der Zahl Kc ergiebt sich also zu + 1, je nachdem die Zählerdeterminante einen positiven oder negativen Werth besitzt.
|
F., |
F„ |
0 |
F„ |
F,, |
F^ |
2^.. |
|
|
Fn |
F,, |
0 |
F,, |
. |
Fn |
F,, |
F„ |
|
F., |
Ft |
F„ |
0 |
F» |
/'« |
F„ |
|
|
F,, |
Fn |
F„ |
0 |
Tf. DycJc: Beiträge zur Potentialtkeorie. II.
475
Danach ergiebt sich also für die Abzahlung der Zahl K durch die Summation sämmtlicher Aende- rungen, welche die Zahl Ko von C=Co bis (7=0 erleidet, die folgende neue Formel:
36) ir=Ssign.
die Summe erstreckt über alle Punkte, für welche
F, {jsf,, e,, ei) = 0, F, (g^, e,, s,) = 0
OO
|
F„ |
F„ |
0 |
F„ |
|
Fn |
F„ |
0 |
F., |
|
F,, |
F„ |
F„ |
0 |
|
F„ |
Fn |
-F.. |
0 |
und
ist.
Man erkennt dabei sofort, dass K sich durch diese Formel darstellt als Kronecker^sche Charakteristik des Sy- stems der fünf Functionen
37)
Fo (Si, ir„ £r, + C), F, (^„ jer„ £r, + C),
Fa (£r„ ^2, ir,),
Fm (ä^i, ^„ ÄTj),
0
mit den vier Yariabeln js^i, ^r^, je^a, (7, und kann sich, davon ausgehend, auch direct von der Uebereinstimmung der in den Formeln (26 a) und (36) gewonnenen Zahlen überzeugen.
Man hat zu dem Ende nur die Kronecker'sche Summen- formel zu bilden für die Functionen :
Fo = 0, F, = 0, F. = 0, C=0, F,>0,
um unmittelbar Formel (26 a) zu erhalten. Dabei ist für die Bestimmung des Vorzeichens die Vertauschung der Reihen- folge der Functionen F^ und C zu berücksichtigen.
81*
476 Naddrag e, Sitzung der nuUh.-phys, Glosse vom 6. Juli 1895,
§5.
Beweis der üebereinstimmung der Zahlen V und K.
Mit Hülfe der neuen Formel für die Bestimmung der Zahl K ist nun der üebergang Ton dieser zu der aus dem System der Functionen t//, — y^, ip2 — yg, ipt — ^i abgeleiteten Zahl V gegeben. Das Vorzeichen der Determinante
38)
unterscheidet nämlich die scheinbaren Doppelpunkte der bei- den Curven Ml und Ml (genommen in der Richtung der Axe jsf^) in demselben Sinne, wie das Vorzeichen der De- terminante
|
For |
■fa, |
0 |
Fo |
|
Fn |
F,, |
0 |
F, |
|
Fn |
Fn |
F,, |
0 |
|
^« |
F^ |
F,, |
0 |
39)
-^21 ^i
2»
von dessen Bedeutung vdr in § 2 (pag. 462) gehandelt haben. Die letztere Determinante trennt nämlich die scheinbaren Doppelpunkte nach dem Vorzeichen des kleinen Flächen- elements, welches bei Projection der auf den beiden Curven im scheinbaren Doppelpunkt angenommenen Linienelemente dol und dol auf die Ebene ß^ e^ entsteht. Dabei sind beide Curven im Sinne der wachsenden Parameter durchlaufen an- genommen. Sind nun die beiden Raumcurven durch die Gleichungen jP, = 0 gegeben, so hat man für die dz\y dz\^ dz^ der ersten Curve
40')
F^,dz\-\^F^^dz, + F^dz, = Q.
W. Dyek: Beüräge zur Potentiältheorie. II. 477
und für die zweite Gurve analog:
F,,dz:-\-F,,dz:+F,,dz:=o.
Führt man diese Beziehungen ein, so folgt nach kurzer Umrechnung für den Inhalt jenes kleinen Elementes :
40")
41)
|
-dz\ |
dz] |
— |
5Pn |
^» |
|||||
|
-dz'i |
dz; |
— 9« |
V« |
||||||
|
^.. |
Fo. |
0 |
F^ |
||||||
|
Fn |
F» Fn |
0 F», |
F., 1 |
dz'. |
|||||
|
F |
0 |
F,^ |
F„ |
||||||
|
F: |
M |
F,, |
F^ |
0 |
Fn |
F„ |
dX^ dX,
dz't
Ol
l^n
-m
•i»l
Nun gilt aber für die positiv zu nehmenden Linien- elemente beider Gurren:
42')
do[ = V'p]t + fpli + fli ■ d^t —
y.F^ F„ F„^ Fai Fg^ F^
F F
'dz't,
42")
rfo; = l/v';j+'/'«+V'«-rf^,=
V::f
F F *
Fu F,, F,,\
F F
'dzl.
Nehmen wir also (wie stets) die Quadratwurzeln aus den Quadratsummen positiv, so sind für die Suiumation
478 Nadiirag z. SUzung der m<Uh.'phys. Glosse vom 6. Juli 1895,
zugleich mifc dX^^ beziehungsweise di^ auch die beiden Aus- drucke :
rf4 ^ dßl
uud
43)
F F
F F
j ^01 ^0«
iF F
positiv zunehmen^), d. h. für alle Elemente der Suni- mation ist:
44) sign
\ -dz.
— dz[ dz\ dz\
sign.
r
= sign.
F F
F F
0 F.
03
0 F.,
F F F
F F F
^Sl ^88 ^SS
0 0
Es kommen somit fttr die Abzahlung der Zahlen V und K durch die Formeln (13a) und (36) dieselben Punkte,
1) Man bemerkt unmittelbar, dass diese Voreeichenbestimmung genau fibereinstimmt mit der durch da« Kronecker'sche «Fortgangs- princip' (Berichte der Berliner Akademie vom M&rz 1869, pag. 160) gegebenen. Nach der Kronecker'schen Regel ist die Fortgangt- nchtung auf den beiden Curven so zu wählen, dass die Ausdrücke
^i *2 *8 , 1^01 Ftn ^«
F*)* Fon F^
28
^83
> d 0 beziehungsweise
F*i Jpi2 F\m
*i
d^
stets positiv sind; ersetzt man ffir die beiden Ansdrficke die will- kflrliche Function $ (fi, z^^ ^s) durch xr,, so ergeben sich die obigen Bedingungen.
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie, II, 479
niiralich die bei der Bewegung von M] gegen JfJ auftreten- den wirklichen Doppelpunkte, genommen beiderseits mit denselben Vorzeichen in Rechnung. Damit ist aber die Identität der nach den Formeln (13 a), (26 a) und (36) ge- wonnenen Zahlen V und K bewiesen.
Wir fassen das Resultat der vorliegenden Untersuchung zusammen in dem Satze:
Die Zahl der gegenseitigen ümschlingungen zweier Raumcurven im Gauss^schen Sinne ist iden- tisch mit der Kronecker^schen charakteristischen Zahl des Functionensystems:
7) Vi(M-9i(Ai)i %iK)-<pAK)^ ^siK)-vAK).
beziehungsweise des Functionensystems:
18) J'oC^p^i.^g). ^U'^i'^i''^»). F,(z^,z^,z^), J',(^„^„^,),
wenn
-% = <iPi(^i). ••'i = >/'i(^«)i
4) ^■»==y.(^i). and ^a = ^tß,),
beziehungsweise
,,, ■P'o(^ii'2'«,^») = 0, F,(z„z„z,) = 0,
i'J und
die zur analytischen Darstellung der beiden Curven dienenden Gleichungen sind.
480 Nachtrag z. Sitzung der math.-phys, Glasae vom 6, Juli 1895.
Zweiter Abschnitt.
Theorie der gegenseitigen ümwindang %-dimensionaler und n — X? — l-dimensionaler Mannigfaltigkeiten im line- aren Gebiete von n Dimensionen.
§6.
Verallgemeinerung des Gauss'schen Integrals für Gebiete von n Dimensionen.
Die Gauss'sche Formel für die Zahl der gegenseitigen Umwindungen zweier Raumcurven und ihre Darstellung als Kronecker^sche Charakteristik eines zugehörigen Functionen- systems lässt nun die nachfolgende Erweiterung für höhere Mannigfaltigkeiten naturgemäss erscheinen:
Es seien im Gebiete von n reellen Variabein z^, z^, .,. r« die wir (zu kurzer Sprechweise) als rechtwinklige Coordi- naten des linearen Raumes L^ von n Dimensionen bezeichnen und deuten wollen, je zwei geschlossene Mannigfaltigkeiten M'k und Jf'i-fc-i von Ä, beziehungsweise von n — k — 1 Di- mensionen gegeben; so definiren wir als gegenseitige Windungszahl Fder beiden Mannigfaltigkeiten den Werth des Integrals:
>r. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie, II,
481
45)
V=
„ , 0), {i\ (t), (H-O ('«+2) («-!)
;sri-;ef, -djer, -rf^Tj ... — dfjer^ rf^" d^rj ... de\
(1) (2) (k) (*+l) (»+2) (»-D
(1) (2) (*) (jk+1) (M-?) (n-n
^8-^i -d^i -dZi..,-dzl dzl dzl...dzl
^ ^ (1) (2) (») (*+J) (»+2) (n-l
1 1 1 ^••~^'* "■^'^'' "d^n-'^-dK dZn dZn.,.dz\
Die Integration erstreckt sich dabei für die Yariabeln z[,.,Zn Über die Mannigfaltigkeit Ml, für die Variabein z\,,.z^n über die Mannigfaltigkeit Mn-k^\. ö>h-i bezeichnet die n — l-dimensionale Oberfläche der , Kugel* vom Radius 1
^? + ^J+. .. + < = !.
Ehe wir zeigen, dass durch dieses Integral, ausgedehnt über zwei geschlossene Mannigfaltigkeiten, eine ganze Zahl dargestellt wird, betrachten wir die Bedeutung des unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruckes.
Ausgehend vom Punkte
der M'k sind auf dieser Mannigfaltigkeit in bestimmter Reihen- folge k Nachbarpunkte:
(0 (0 (0 (0
^\ -}- dz\ , z'^ -f- dz'i ^3 -}- dz'i , , , Zn -{- dz'n i = 1, 2, ... &
aDgenommen. Ebenso, vom Punkte
«HM M
Zi , Z.2^ ^3 , ... Zn
der Mn^k^i ausgehend, auf dieser n—k — 1 Nachbarpunkte zl+dz'i z^ + dz'i, zi + dzl... z^^ + dz;^ > = i + l, ...«— 1.
482 Nachtrag z, Süeung der math.'jihy8, Glosse vom 6. Juli 1895,
Diese w+1 Punkte bilden die Eckpunkte eines dem Tetraeder im dreidimensionalen Räume analogen Körpers im £„, welchen wir analog wie das Tetraeder zum Parallel- epiped zu einem parallelepipedischen Element do^ dessen Eckpunkte sich aus den oben gegebenen durch Addition der Coordinaten ergeben, ergänzen können. Der Inhalt dieses Körpers ist durch die Zählerdeterminante des unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruckes dargestellt. Die in der M'k Hegende Gruppe von i+I Punkten bestimmt dabei ein parallelepipedisches Element der Jtf^i dot^ und ebenso die in der Mn^k-i liegende Gruppe von n — k Punkten ein solches Element dOn~k-i dieser Mannigfaltigkeit. Im Nenner des Ausdruckes steht die (absolut zu nehmende) n^ Potenz der Entfernung r der beiden Elemente dol und doi ^u-i ▼on ein- ander, die wir auch als den Inhalt des ^n dimensionalen Wurfeis* Ton der Kantenlänge r deuten können.
Für die Integration über die beiden Mannigfaltigkeiten setzen wir in Analogie mit der für das Gauss*sche Int^ral zu beachtenden Bestimmung fest, dass die Elemente
/
/
46') do\ =
-1/
und
|
(1) dz[ |
(1) dz'. |
(1) dz, . |
(1) » . . dz'^l |
|
(2) dz[ |
(2) dz: |
(2) dz', . |
(2) 1 |
|
(*) dz] |
dz. |
(*) dzi . |
■ dz; |
46") dou-k'i =
'; dzl dz'^i dzl ... dz^l
l(*+2) (fc+2) (H-2) (*+2)
i| dzl dz", dzl . . . dzn
|(M-1) (n-1) (n-l) (n-l)
11 dzl dzl dzl ... dzn
W. Dyeh: Beiträge zur Potentialtheorie, IL 483
der M'k bezw. Mn~\-\ in unserem ganzen Gebiete niemals verschwinden sollen, dass also niemals gleichzeitig die sammt* liehen ünterdeterminanten einer der Matrices Null sein sollen.^) (Vergl. die Bemerkung auf pag. 452).
Das Vorzeichen der Determinante im Zähler unseres Integrals unterscheidet dann in analoger Weise wie im Ge- biete von drei Dimensionen zwei wesentlich yerschiedene Lagen der Element« dou und don-t-i gegen einander, die wir in Analogie mit der dort gegebenen geometrischen Vor- stellung als ,im entgegengesetzten Sinne windend* bezeichnen wollen. Wesentlich ist dabei der durch die Reihenfolge der h bezw. n — k—1 Fortschreitungsrichtungen (die durch die
dz bezw. dz" definirt sind) in die Elemente doi und don^h^-i gelegte Sinn. Dieser Richtungssinn ergiebt sich f(ir die ganze Mannigfaltigkeit Jl/i^ bezw. Mn-i-i in eindeutig be- stimmter Weise, wenn er für ein bestimmtes, aber übrigens beliebiges Element von Mu bezw. M^^k-i festgelegt ist. Man vergleiche für diese Festlegung die Formeln (49) und (64).
Durch unsere Annahmen über die Möglichkeit der ein- deutigen Festlegung des Richtungssinnes schliessen wir die sogenannten ,,Doppelmannigfaltigkeiten", bei welchen man in dem hier entwickelten Sinne von einer Windungs- zahl nicht sprechen kann, von der gegenwärtigen Betrach- tung aus.
Es ist noch folgender Umstand bemerkenswerth : Wir konnten dem positiven und negativen Vorzeichen der Deter- minante in Formel (45) im Falle zweier Raumcurven eine ganz bestimmte Lagenbeziehung der beiden gerichteten Ele- mente do[ und dol der Raumcurven an die Seite stellen
1) Es genügt übrigens schon, anzanehmen, dass die Unter- determinanten je einer der beiden Matrices in (46') und (46*) nicht s&mmtlich zagleich fDr Gebiete von k—l bezw. von n — X; -2 Dimen- sionen anf M]^ bezw. 3f;_j^_i verschwinden.
484 Nachtrag £r. Sitzung der mathrphya, Glosse vom ß, Juli 1895.
(Fig. 1 und 2, pag. 452), welche gegenseitig umkehr- bar war.
Im Falle zweier Mannigfaltigkeiten von k bezw. n — k—l Dimensionen ist diese Beziehung nicht mehr in allen Fällen eine gegenseitig umkehrbare.
Vertauschen wir nämlich in der Formel (45) die beiden Mannigfaltigkeiten Mi, und jS/n-jt-i miteinander, so erhält, wenn wir die Reihenfolge der Linienelemente auf beiden festhalten, die Determinante das Vorzeichen
die Determinante behält also bei der Vertauschung das Vor- zeichen, wenn
n gerade, A; gerade oder ungerade
n ungerade, k ungerade
ist; d. h. in diesen Fällen ist die Windung des Elementes do'k gegen das Element dOn-k-i dieselbe, wie die Windung des Elementes dOn-k-i gegen do'k» Dagegen wechselt für
n ungerade, k gerade
die Determinante ihr Vorzeichen, d. h. die Windung des Elementes dok gegen doi-jk-i ist entgegengesetzt gleich der Windung des Elementes dOn^k-^i gegen do*. Die Win- dungszahl der geschlossenen Mannigfaltigkeiten selbst wechselt also für ungerades n und gerades X: bei der Vertauschung derselben ihr Vorzeichen.
§ 7.
Formeln für die Windungszahl unter Voraussetzung einer Parameterdarstellung für die beiden Mannig- faltigkeiten.
Wir legen analog wie für die beiden Raumcurven jetzt für unsere Mannigfaltigkeiten -Äf j^ und ilfj[_j_, eine Para- meterdarstellung zu Grunde durch die Qleichungssysteme :
47')
W. Dyck: Beiträge zur Potentialiheorie. IL 485
beziehungsweise :
47-)
in welchen die Functionen q> bez. xp wieder als eindeutige reelle Functionen der reellen, von einander unabhängigen
Veränderlichen ^n Ag^ • • • ^jk ♦ ^*+i ' ^fc4.2' • • • ^n-i vorausge- gesetzt sind.
Wählen wir jetzt zum Punkte z' auf M' gerade die (0 ^
k Nachbarpunkte ^' -}- dz' welche entstehen, wenn wir nur
je einen der Parameter l um den positiven Betrag dX
ändern und verfahren in gleicher Weise im Punkte s^ auf
^n-k-v ^^ ^^^^^ ^^^^ unser obiges Integral (45) direct um
in die Form :
^'2-^2 -V2l-'-(P2i V'2*+l-V^2«-l
48)
1 rr'Arfu -Vnl'"-<rnk ^n*+l-^Hn-l
dA,...a_,,
n-k-\ k
in welcher die den <p bez. ip angefügten zweiten Indices die nach dem entsprechenden Parameter A genommenen Dif-
486 Nachtrag e. SiUwng der maih.-pkffs. Claue vom 6, Juli 1895.
ferentialqaoüenten bezeichnen. Die Integration erstreckt sich dabei über die sammtlichen absolut zu nehmenden Elemente der beiden Mannigfaltigkeiten Jlf]^ und Jlf|^_^_|, für welche die Formeln gelten:
49') do;=j/
beziehungsweise
9>n Vn
Vn Vak
49'
) 1 / '''u+i ^^
^'nl !|
9nk
!-«
dX^ dX^ . • . dij^^
2»+l ••• ^„4+1 i*
^^*+i^^k+2---^^— i;
V'lM-l V'a^-l- "Pnn-l
wir verfGgen dabei über die Richtung der Elemente für die Integration so, dass wir im Sinne der wachsenden i inte- griren; die dk sind also stets positiv. Die Integration ist an Grenzbedingungen nicht geknüpft.
Formel (48) kennzeichnet somit, nach den im I. Theil der Beiträge gegebenen Entwicklungen (Formel (12) auf pag. 266) die Zahl V als Kron- ecker'sche Charakteristik des Systems der n Func- tionen:
50)
V^i-Vn % — Vf^
V'.- Vn
^*' ^*+l
. A^_j. V ist da-
der n— 1 Variabein >lj,
her auch stets eine ganze Zahl, die wir eben als
Windungszahl bezeichnen.
Führen wir nun in Analogie mit unseren froheren For- meln (8) die durch die Gleichungen
51)
W, Dycki Beiträge zur PöienHalthearie, II. 487
^1 = Vi (^fc4.p • • • ^n^i) — 91 (^11 • • • K^^
definirte n — 1 dimensionale Mannigfaltigkeit ein,^) so folgt auch hier der Satz:
Die Zahl der gegenseitigen ümwindungen der in (47) dargestellten Mannigfaltigkeiten Üf^' und Jir'_j^__j ist gleich der Zahl der Windungen der Man- nigfaltigkeit (51) um den Nullpunkt.
Die Zahl V lässt sich nunmehr als Charakteristik des Functionensystems (50) im Anschluss an die in den , Bei- trägen I* entwickelten Formeln weiter darstellen durch ein n — 2-faches, n — 3-faches, . . . einfaches Integral und durch eine Summenformel, und es ergeben sich hieraus neue Me- thoden für die Herleitung der Windungszahl in Analogie mit den in § 2 für zwei Raumcurven gegebenen. Es ist nicht uninteressant, deren Bedeutung im Einzelnen näher zu verfolgen^); wir greifen aber im Gegenwärtigen von dieser
1) Die Mannigfaltigkeit M^_i (51) kann dabei analog wie die Fl&che (8) in übersichtlicher Weise entstanden gedacht werden dn- dorch, dass man durch den Nullpunkt des Coordinatensystems Strahlen parallel zu den (n— l)-fach unendlich vielen zwischen den beiden Man- nigfaltigkeiten za ziehenden Sehnen zieht und auf diesen je die L&ngen dieser Sehnen, gemessen in der Richtung von der ersten zur zweiten Mannigfaltigkeit, abschneidet. Andererseits kann, analog wie dort, 3f^.] auch entstanden gedacht werden als .Translationsmannig- faltigkeit*, die sich auf eine zur -^i_jk-i:*'; = V^W^+i . • • ^^-i) congraente und auf eine zweite aus der Mj^ durch .Spiegelung am Nullpankt' entstandene Mannigfaltigkeit Zf = — q?^ (^i • . » ^k) ^1^ ^^^i^ gebilde bezieht.
2) Man vergleiche f&r eine weitere Deutung der hierher gehöri- gen Formeln auch die Schlussbemerkungen des § 9.
488 Nachtrag z, Sitzung der math.'phy8. Clasae vom 6. Juli 1895.
ganzen Reihe der Darstellungen von V nur das letzte Glied, die Summenformel, heraus, auf welche wir in der Folge noch einzugehen haben.
Die Summenformel, in ihrer doppelten Gestalt, lautet:
52a) F=(-ir'S8ign.
-9^21 -9^22
'"Pik V2*+l •••V2«.l
oder 52 b)
F=(>ir-^]i:sign.
-9^«-! 1 -"Pn^l 2- '"PnAk V^nA *+l - V^-l -1
-9^11 -9^12 '"-"Pik V'i*-,., ...Vi,.,
(n-9^J
die erste Summe ausgedehnt über alle Punkte, fQr welche V'i— 9^1 = 0, Vg— 9^2 = ^' - V^n-i— 9?.-i=0, V^,. — 9^^>0 ist, die zweite ausgedehnt über alle Punkte
Vi — 9^1 = Ol V^2 — 9^2=^1 ••• Vn-l
'%
M-1
:0.
Wir können diese Punkte in geometrischer Sprechweise bezeichnen als die scheinbaren Doppelpunkte, welche die Ansicht der beiden im linearen Räume L^ der £f^ . . . ß^ ge- legenen Mannigfaltigkeiten Mi, und Mn^k^i gesehen in der Richtung der Axe jsf darbietet. Das Vorzeichen des Fac-
W, Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie, II,
489
tors {y;^ — (pj an jeder dieser Stellen besagt uns, welche der beiden Mannigfaltigkeiten dort dem Beschauer, den wir wieder im Punkte £?^ = + oo, z^z=z^ , . . £r^^^=sO aufgestellt denken, naher liegt. Das Vorzeichen des zweiten Factors trennt die scheinbaren Doppelpunkte nach dem Sinne der n— 1 Fort- schreitungsrichtungen auf Mi, bez. Mn^k-i- Dabei gilt für die Gesammtheit aller scheinbaren Doppelpunkte die Eron- ecker'sche Formel:
53)
Ssign.
■^21 ••• —^k V^2H-i
} = o,
die Summe ausgedehnt über alle scheinbaren Doppelpunkte
eine Formel, welche die Ueberftihrung der Formeln (52 a) und (52 b) in einander vermittelt.
§ 8.
Formeln für die Windungszahl der Mannigfaltig- keiten unter Voraussetzung ihrer Darstellung durch öleichungssysteme zwischen den Goordinaten. Beweis der üebereinstimmung der in § 7 und 8 ge- wonnenen Zahlen.
Gehen wir nunmehr von der Darstellung der beiden Mannigfaltigkeiten Mjs und Mn-k-i durch Gleichungssysteme in den Goordinaten Zf aus. Es sei die Mn~k--i gegeben durch die {k + 1) Gleichungen :
1895. Math.-phys. CK 8. 32
490 Nachtrag t. SiUung der maik.-pluft. Oatte vom 6. Jtdi 1895.
F^ («„ 't, ... ",) = 0,
F, (ir„ e,, ... r,) = 0, 54-)
Ft («1, rg, ... e,) = 0, und analog die Mji durch die (n — k) Gleichungen
-f *+i {^v ^v ■•• O ~ ^'
54')
■*+2
(«„ *„ . . . «J = 0,
Es lässt sich dann auch hier, wie im Falle zweier Raum- curven das in Formel (45) gegebene Integral für die Win- dungszahl nicht allgemein aufstellen. Man erhält aber analog wie dort den Satz:
Die gegenseitige Windungszahl der beiden durch die Gleichungen (54') und (54') definirten Mannig- faltigkeiten ist gleich der Kronecker*schen Charak- teristik X der in dem Gleichungssystem enthaltenen (n-J- 1) Functionen
55) jPq, jFj, -Fg, . . . J'i,
der w Variabein z^^ z^, ... z^.
Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich genau den Dar- legungen des § 4 entsprechend, wenn wir anknüpfen an die Darstellung der Zahl K durch die Summenformel :
56) 5:=(- 1)--X;sign.
Ol
11
OS
09
Fn^W Fn^
n-18
.On
Mm
JU
iM
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. IL
491
die Summe erstreckt über alle Punkte, fdr welche
F, = 0, F, = 0,
Fn-l = 0, Fn>0
ist, und diese mit der in Formel (52 a) gegebenen Darstellung der Zahl V vergleichen.
Verschieben wir, etwa in Richtung der Axe gnj die Mannigfaltigkeit Mn^k-i i so ändern sich die Zahlen V nnd K sprungweise an den Stellen, in welchen die bewegte Mn-u-i die feste Mi durchsetzt. Wir beginnen nunmehr die Ab- zahlung dieser Aenderungen von einer Lage der Mn^k^i an, in welcher diese völlig getrennt von der Mk erscheint. Es liisst sich eine solche Lage, wenn wir voraussetzen, dass beide Mannigfaltigkeiten ganz im Endlichen liegen, stets durch eine endliche Verschiebung der -Sfi-j-i (die wir hier in Richtung der negativen Axe is^ vornehmen) erreichen. In dieser Anfangslage ist V sowohl wie K gleich Null. Die Aenderungen der Zahl V zwischen der Anfangs- und End- lage führen unmittelbar zu den Formeln (52) für V,
Ans den Aenderungen der Zahl K aber ergiebt sich (ganz entsprechend den Entwicklungen auf pag. 472-475) die folgende neue Formel:
57)
7i:.-(_l)"+'.^sign.
|
Fol |
Fo-2 .. |
. jPon-1 |
0 |
FoJ 1 |
|
Fn |
Fn .. • . 1 |
. Fi „_i |
0 |
Fn\ |
|
Fui |
Fk2 |
. • Fku-\ |
0 |
Fh„\ |
|
Fk+ii |
Fk^l 2 . . |
. -Fft+lM-l |
Fh^I n |
0 |
|
F,n |
Fu2 |
. . Fhh-X |
Fun 32* |
0 |
492 Nachtrag z. Sitzung der matK-johys. Glosse wm 6. Juli 1895. die Summe erstreckt über alle Punkte, für welche
F/;^,,;^,,...^»+C)=0, jP,(^p^8,...^n+C)=0,..., -Fik(xr„£f,,...^,+C)=0, J?*+l(^l,^„...^n) = 0 ... Fn(s^i,giy...Zn) = 0
und OO ist, eine Formel, welche Z" als Kron- ecker^sche Charakteristik des Systems der Func-
tionen
58)
J^o(^li^2i •••^-+ C), ... ^*(^i,^8, ...^»+ C),
mit den Variabeln jer^f^ji "^«f ^ darstellt.
Nunmehr aber lassen sieh die Formeln (52) und (57) für die Zahlen V und K direct mit einander vergleichen; sie beziehen sich beide auf die «scheinbaren Doppelpunkte*, welche die Mannigfaltigkeiten Mi und üf^.fc-i gesehen in Richtung der Axe Zn darbieten und unterscheiden dieselben in derselben Weise nach dem Vorzeichen der Inhaltsdeter- minant« :
59) Jn-1 =
(1)
0) —dz2
(2)
—dz'i
(2) -dZ2
—dz{ (*)
dzl
(H-i) dzi
(••-1) I dz'i
(H-l)
dzi
(l)^ (2)^
(») (*+l)
der linearen n — 1 - dimensionalen Configuration, welche sich aus der Projection der h bez. n — k — 1 Linienelemente der Mk bez. üfi-ik-i in dieCoordinatenmannigfaltigkeit-ej,jerg,...£,_, (durch Orthogonalprojection in Richtung der Axe z^ ergiebt.
W, Dyck: Beiträge zur Potentialtkeorie. II,
493
Für die obige Inhaltsdeterminante erhält man nämlich zunächst in den 9), ip geschrieben die Formel:
CO)
-^n.l =
-^21 -y»»
-fr«-ll -y«-l2 ... -9>ii-l* l/^n-lJk+l... '/'w-lii-l
dAjdfij... ctt»dA»-|.i... rfVi
Für die Umsetzung in eine in den Functionen F ge- schriebene Formel beachte man, dass die Matrix
0) (1) (1) (1) 11
I — dei — dsi ... — dsn-i — dj^n |i
61')
correspondirende Matrix ist zu I TT TP
62') |i .
i
I F F
und ebenso die Matrix
(») (*) I
dSn^l — dSn I
F F ii
F F
f»n— 1 nn
494 Nachtrag 2, Sitzung der math.-phys, Claaae vom 6. Juli 1895.
610 i . . .
(n-1) (,»-0
correepondirende Matrix zu
(k+l)
ds'
n- I
dr
("-1)
djsf'
62')
Ol
-fti
oa
-ik2
0»-l
F
F ''
ITM
Führt man dann in der Mannigfaltigkeit Mk etwa die Coordinaten jSf^^ ^,^, . . . -sr,^, in der Mannigfaltigkeit if^_^_^ die Coordinaten Zj^^ Zj^^ . . . ^;„^,| als unabhängige Variable ein, wählt die Ä, bez. n — k — 1 Fortschreitungsrichtnngen auf diesen Mannigfaltigkeiten so, dass jeweils nur eine der obigen unabhängigen Coordinaten sich ändert, während dann die abhängigen Coordinaten den Gleichungen
a = Ä + 1, . . . n, i = iv V • • • V beziehungsweise
F +Y^F ^ = 0
T = 0, 1, . . . ÄJ, ;' =;\, ^21 • • . i-*-li
entsprechend sich ändern, bezeichnet endlich Dt bez. Dj die Determinante der J\ welche durch Streichung der Vertical-
IT. Dyck: Beiträge zur Polentialthearie. II.
495
reihen i^, u . . . 4 in der Matrix (62'), beziehungsweise der Reihen j^, j^^ ... i„.ft_i in der Matrix (62') entsteht, so folgt für die n — 1 gliedrige Determinante (59) der dz in den F geschrieben die Formel:
63)
^«.i = (-l)'*+^
Ol
F,
F
F.
kl
(•2
12
k2
-^ft-f 1 I ^&+l 2
n2
■o»-i
In-1
0 0
F
^ 0
0»
1»
- JkM
F F 0
F , F 0
d^i^ dzj^ . . . dzj^ dz"j^ del ■ . . dz"j^^_^ Di ' Di ""'
Nun hat man aber für die positiv zu nehmenden Ele- mente der beiden Mannigfaltigkeiten die Formeln:
G4 dOk =
Tl* V>2k
-l/!
und
|1 -^ *+l 1 -* Jb+l 2
y.
tfij (f Aj • • • ^K ^^
nk
F
FF F
490 Nachtrag z. SiUung der malh.-phtfs. Glaste vom 6. JM 1895.
64 do.
■Kl
2Jk+l ••* ^nk+l
I • ^^k+l • • • «'^-1 =
F F
-*^01 -^02
0»
■^*1 -^*2
■*" I
Der Vergleich dieser Ausdrücke ergiebt, dass einer Summation, in welcher die Elemente dX^ ... dlk bezw. dlk+\ • • • dkn^i stets positiv genommen sind, eine Summation entspricht, für welche die Ausdrucke
dei^ de'i^ . . . de'ij^
beziehungsweise
stets positiv gerechnet werden.^) Hieraus aber folgt durch Vergleich der Formeln (63) und (60), dass für alle Elemente der Summation das Vorzeichen der Determinante (59) in den de übereinstimmt mit dem der Determinante (60) in den 9), \f) und mit dem der Determinante (63) in den F.
Daraus aber folgt die Identität der durch die Formeln (52) und (57) gewonnenen Zahlen V und K und damit der zu Eingang des Paragraphen aufge- stellte Satz.
1) Das aus diesen Formeln für die Mannigfaltigkeiten abni- leitende «Fortgangsprincip' erweist sich als yerallgemeinerang des von Eronecker in der Abb. vom März 1869 (vergl. auch diese Abb. S. 478, Anm.) gegebenen, worauf ich in einer folgenden Note noch näher einzugehen gedenke.
W. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. II. 497
§9. Folgerungen. Schlussbemerkungen.
Der hiermit gewonnene Satz über die Bedeutung der Kronecker^schen Charakteristik der Functionen
Fo, F„ ... Fn als Windungszahl zweier Mannigfaltigkeiten Mk und Mi^k-u die durch Nullsetzen von n — k bez. von ä-J"1 ^^r obigen Functionen gewonnen werden, lässt nun die Bedeutung der Zahl K für dieses Functionensystem in ganz allgemeiner Weise übersehen:
Wie wir auch das System der n+1 Functionen von n Variabein 0 in zwei Theile zerlegen, stets definiren die gleich Null gesetzten Functionen der beiden Theile zwei sich ergänzende Mannigfaltig- keiten von k bez. von n — k — 1 Dimensionen, deren Windungszahl stets dieselbe, und gleich der Kron- ecker^schen Charakteristik £^des Functionensystems ist. Für Ä = 0 erhalten wir ein System von Punkten in Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von w— 1 Dimensionen^), für Ä = l eine lineare Mannigfaltig- keit und eine n — 2-dimensionale u. s. w.
Im zweidimensionalen Räume handelt es sich um die Windung von Linien um Punkte, im dreidimensio- nalen Räume um die Windung von Flächen um Punkte, von Linien um Linien, im vierdimeusionalen Räume um die Windung von dreidimensionalen Räumen um Punkte, von Flächen um Linien, im fünfdimensionalen Räume um die Windung von vierdimeusionalen Räumen um Punkte, von dreidimensionalen Räumen um Linien, von Flächen um Flächen u. s. w.
1) Es erscheint in diesem Zusammenhange sinngemäss, auch von einer Windongszahl einer (n — l)-dimen8ionalen Mannigfaltig- keit um ein Punktsystem zu sprechen.
!
498 Nachtrag z, Sitsung der nuUhrphys, Glosse vorn 6. Juii 1895.
Dabei liefern die verschiedeDen Möglichkeiten, die fi-{-l Functionen des Systems zu je 1 und w, zu 2 und n — 1 u. s. w. abzutheilen im Ganzen w -j- 1 verschiedene Punktsysteme,
— ^- — Linien, allgemein (tT, ) fc-dimensionale Mannig- faltigkeiten in Verbindung mit ihren complementaren Mannig- faltigkeiten von n — k — 1 Dimensionen, denen sämmtlich ein und dieselbe Windungszahl zukommt.
Diesen verschiedenen Möglichkeiten, die Zahl £ als Windungszahl zweier durch Zerlegung des Fanc- tionensystems
-^01-^1» ••• Fk II Fk+\^ ... Fn
hergestellten Mannigfaltigkeiten aufzufassen, ent- sprechen nun paarweise die verschiedenen Arten der Darstellung von K durch bestimmte Integrale Oter (Summenformel) bis (n + 1)^^ Ordnung, von denen wir im ersten Theile dieser Beiträge ge- handelt haben.
Speciell bezieht sich die dort in (14) gegebene Krön- ecker^sche Summenformel, und ebenso andererseits das von Kronecker abgeleitete («— l)'fache über jPq= 0 ausgedehnte Integral auf die Deutung der Charakteristik als Windungs- zahl der (n — l)-dimensionaIen Mannigfaltigkeit jP^bsQ um das Punktsystem F, =b 0, ... Fn^^^^ 0. Allgemein giebt das in Formel (26) der Beiträge l gegebene (n — k — 1)- fache Integral und ein correspondirendes Ä;-faches die Au£Eassuug der Zahl K als Windungszahl der Mannigfaltigkeiten
Jlf;.*_i: Fo=0, F, = 0, ... F, = 0 und
M't : F*+i = 0, F*+2 = 0,... Fn = 0.
Es verdient dabei in diesem Zusammenhange nochmals der dort schon erwähnte Umstand hervorgehoben zu werden,
TT. Dyck: Beiträge zur Potentialtheorie. IL 490
dass das zur Berechnung der Windungszahl dienende (w— Ä — l)-fache Integral sich über die M^-k-i als Grenze erstreckt, während der unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck lediglich von den zur Definition der Ml, dienenden Functionen abhängt. Mit Hülfe der in den dortigen Ent- wicklungen zu Grunde gelegten Deutung der Functionen F als Coordinaten eines (n-|-l)-dimen8ionalen Raumes XQ^Xi^,.,Xn erhält dabei der unter dem Integralzeichen stehende Aus- druck die gerade für die Auffassung des Integrals als Win- dungszahl wesentliche Bedeutung als DiflFerential eines (w-Ä-1)- dimensionalen » räumlichen Winkels* ,
Das n-fache, in Formel (12) der , Beiträge I" gegebene Integral für K hat für die hier erörterte Theilung des Functionensystems der F keine unmittelbare Bedeutung. Ein Integral dieser letzteren Art hat dagegen in den auf die Parameterdarstellung der beiden Mannigfaltigkeiten Mk und Jfi-jk-i bezüglichen Formeln (§ 7) den üebergang der an die Kronecker'sche Charakteristik anknüpfenden Integrale zu der Gauss'schen Darstellung der Windungszahl vermittelt.
Umgekehrt kann man nun auch die Deutung der Zahl K als Windungszahl zweier zusammengeordneter Mannigfaltig- keiten wieder anwenden auf das aus der Parameterdarstellung (Formel 47' und 47") gewonnene Functionensystem
50) V'i— ?Pii V'a — ^2, ... % — (Pn'
Betrachtet man nämlich die n — 1 Parameter Xi als Coordinaten eines (n — l)-dimensionalen Raumes, so ergeben sich auch hier durch Nullsetzen je zweier sich ergänzender Gruppen von Functionen ipi — q>i einander zugeordnete Paare von Mannigfaltigkeiten , deren gegenseitige Windungszahl eben wieder unsere Zahl K ist. Ich gehe indess hier nicht näher auf diese Entstehungsweise der Zahl K ein.
500 Nachtrag z, Sitzung der math.-phys. Glosse vom 6. Jtäi 1895,
Berichtigungen
zum I. Theile der Beitrage zur Potentialtheorie.
Auf Seite 264 Formel (5) sind im Nenner die Matrixstriche zn ergftnsen. „ , 271 Zeile 9 yon oben ist zn lesen Oleichong (18) statt (16). • . 275 . 7 . . . . . . (21) . (19).
. . 276 . 9 . , . , . . (26) . (28).
. .275 , 8 . unten ... . (U) , (19).
501
Yerzeiehniss der eingelaafenen Drueksehriften
Juli bis December 1896.
Die Torehrlichen GesellachJtftAii nnd Institate, mit welchen unsere Akademie in Taaeehverkehr steht, werden gebeten, naeluitehendesyerseiehnisssugleichals Empfknga- bestfttignng su betrachten.
Von folgenden Gesellsohaften und Institaten:
SocUte d^ Emulation in Ahhevüle: M^moires. Tome 18. 19. 1893/94. 80.
Balletin. Ann^e 1892 No. 2—4, 1893 No. 1-4, 1894 No. 1. 2. 8«. Ginqaenienaire de M. Ernest Prarond. 1894. 8^.
Boy dl Society of South-Äustralia in Adelaide: Traneactions. Vol. 19, part 1. 1896. b^.
Südslavische Akademie der Wissenschaften in Agram: Ljetopia za ^odinu. 1894. 1895. 8®. Rad. Vol. 117-122. 1894/95. 8».
MoDumenta spectantia hisioriam Slavoram merid. Vol. XXVI. 1894. 8^. MoDumenta hiatorico-jaridica Slav. merid. Vol. V. 1894. 8^. Djela. Vol. XIV. 1. 1895. 4».
Tade Smiöiklas, 2ivot i djela D» Franje Ra5koga. 1895. 8*^. Milan Besetar, Zadarski i Raüinin Lekcionar. 1894. 8^.
New 'York State Library in Alhany: New- York State Museum. 47*1» annual Report for 1893. 1894. 8^. New- York State Library. 76th annual Report for 1892/98. 1894. 8^.
University of the State of New -York in Albany: State Library Bulletin, a) Bibliography No. 1. b) Additiona No. 2. 1894/95. 80.
Societi des Antiquaires de Picardie in Amiens: Bulletin. Annöe 1893 No. 1-4. 1894 No. 1. 1893/94. B9. K. Akademie der Wissenschaften in Amsterdam: Verbandelingen. Afd. Natuurkunde ISectif». Deel IT, 7. Deellll, 1— 4.
II Sectie. Deel IV, 1-6. 1894/96. 4P. Verhandelingen. Afd. Letterkonde. Deel I, No. 4. 1896. 4^.
502 Verzeichni83 der eingelaufenen Druckschriften.
Zittingsveralagen. Afd. Natuurkunde. Jaar 1894/95. 1895. 4^ Ver&lagen en Mededeelingen. Afd. Letterkunde 3« Reeks, Deel 11.
1895. 80. Jaarboek voor 1894. 8^ Myrmedon aliaque poemata. 1895. 8^.
Peabody Institute in Baltimore: 28^h annual Report. Jane 1, 1895. 8®.
Johns Hopkins Unioersity in Baltimore: Circulars. Vol. XIV, No. 119, 120. 121. 1895. 4«. American Joamal of Mathematica. Vol. XVI, 4. XVII, 1—3.
1894/95. 40. The American Journal of Philology. Vol. XV, 2 — 4. XVI, 1.
1894/95. 80. American Chemical Journal. Vol. 16, No. 7 u. 8. Vol. 17, No. 1—7.
1894/95. 80. Johns Hopkins Univeraity Stndies. Ser. XII. No. 8—12, 8er. XIII, No. 1-8. 1894/95. 80.
Naturforschende Gesellschaft in Basel: Verhandlungen. Band XI, 1. 1895. 80.
Historisch-antiquarische Gesellschaft in Basel: Basler Chronik. Leipzig 1895. 80.
Universitätsbibliothek in Basel: Schriften der Universit&t aus dem Jahre 1894/95. 40 und 8^ Bataviaasch Genootschap van Künsten en Wetensehappen in Baiatia: Tijdschrift. Deel 88, afl. 4. 5. 1896. 8«. Notulen. Deel 32, afl. 4; Deel 33, afl. 1. 2. 1895. 80. Verhandelingen. Deel 48, stuk 2; Deel 50, 1. 1894/95. ^. Nederlandsch-Indisch-Plakaatboek. Deel XIII. 1895. 80. K(jl. natuurkundige Vereeniging in Nederlandsch Indie gu Baiavia: Natuurkundig Tijdschrift. Deel 54. 1895. 8. Boekwerken ter tafel gebracht in de vergaderingen 1893. 1894. 1894/96. 80.
Historisdier Verein in Bayreuth: Archiv für Geschichte u. Alterthnmskunde in Ostfranken. Band XIX, 2. 1894. 80.
K, Akademie der Wissenschaften in Belgrad: Glas. No. 48. 1895. 8». Spomenik. No. 26. 27. 29. 1895. 40.
A". pretissisehe Akademie der Wissenschaften in Berlin: Abhandlungen aus dem Jahre 1894. 40. Sitzungsberichte. 1895, No. 26 - 88. 40.
K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Berlin: Abhandlungen. Neue Folge. Heft 16, 17 n. 19 mit xugehörigen Atlanten. 1895. 4P u. fol.
Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin: Berichte. 28. Jahrg., No. 12—18. 1896. 80.
Verzeichnüs der eingelaufenen Druckschriften. 503
Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin: Zeitschrift. Band 46, Heft 4; 47, Heft 1. 2. 1894/96. 8«.
Physikalische Gesellschaft in Berlin: Die Fortschritte der Physik im Jahre 189S. 49. Jahrg., Ahth. I—Ill.
Do. i. J. 1889; 45. Jahrg. 8 Voll. Braunschweig 1895. 8^. Verhandlnngen. 12. Jahrg. No. 1, 13. Jahrg. No. 1—4, 14. Jahrg. No. 1 u. 2. Leipzig 1894. 8<».
Physiologische Gesellschaft in Berlin: Centralblatt für Physiologie. 1896. No. 8-14. 16-19. 8».
Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin: Jahresbericht über d. Jahr 1894/95. 1895. 4«. Jahrbuch. Band X, Heft 2 u. 8. 1896. 4^.
Geodätisches Institut in Berlin: Zenithdistanzen zur Bestimmung der Höhenlage der Nordsee Jnseki
Helgoland etc. 1895. 4^. A. Westphal, Untersuchungen über den selbstregistrirenden Universal- pegel zu Swinemünde. 1896. 4^.
K. preuss. meteorologisches Institut in Berlin: Bericht über d. Jahr 1894. 1896. 80. Ergebnisse der meteorol. Beobachtungen in Potsdam im Jahre 1894.
1895. 4° Ergebnisse der Gewitterbeobachtungen im Jahre 1891. 1895. A9. Ergebnisse der Niederschlagsbeobachtuogen im J. 1893. 1895. 4^.
Jdlirhuch über die Fortschritte der Mathematik in Berlin: Jahrbuch. Bd. XXIV, Heft 2. 3. 1895. 8*».
Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin: Forschungen zur Brandenburgischen und Prenssischen Geschichte. Band VIII, 1. Leipzig 1895. 8**.
Naturwissenschaftliche Wochenschrift in Berlin: Wochenschrift. Band X, Heft 6—11. 1895. foL
Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin: Zeitschrift. 15. Jahrg. 1895. No. 7—12. Juli— Dezember. 4°.
Naturforschende Gesellschaft in Bern: Mittheilungen aus d. Jahre 1894. 1895. 8®.
Allgemeine Schweizerische Gesellscfiaft für die gesammten Naturwissen- schaften in Bern: Neue Denkschriften. Band 34. 1895. 4^.
Verhandlungen. 77. Jahresversammlung. Schaffhausen 1894. 8^. Nebst einer französischen Uebersetztmg. G^n^ve 1894. 8^. Historischer Verein in Bern: Archiv. Band XIV, 3. 1895. 8».
SocietS d'iJmidatian du Doubs in Besan^n: Memoirea. VL Särie, Vol. 7. 8. 1893/94. 8«.
B, Deputazione di storia patria per le Provincie di Bomagna in Bologna: Atti. Serie IIL Vol. Xlll, fasc. 1-3. 1896. 4°.
504 Verzeichniss der eingelaufenen Drueksdir^ten,
Univereität in Bonn: Schriften ans dem Jahre 1894/06 in 4^ u. 8®.
Verein von Älterthumsfreunden im Rheinlande in Bonn: Bonner Jahrbacher. Heft 96—98. 1895. 4^
Naturhistoriseher Verein der preussischen Eheiniande in Bonn: Verhandlungen. 61. Jahrg. 2. Hälfte. 1894. 8^.
SociSte des seiences physiques et naturelles in Bordeaux: M^moires. IV« S^rie, tome IH, 2. IV, 1. 2. Paria et Bordeaux
1898/94. 8». Obtervations pluviomdtriques 1892/93. 1893. 8^.
SocUti Linnienne in Bordeaux:
Actea. Vol. 46. 46. 1898. 80.
Catalogue de la biblioth^que, fasc. 1. 1894. 8®.
Societi de gSographie eommerciale in Bordeaux: Bulletin. 1895. No. 13—20. 80.
Archiv der Stadt Braunschweig: Urkundenbuch der Stadt Braunschweig. Bd. H, Abth. 1. 1895. 4^.
SMesische Gesellschaft für vaterländische Cultur in Breslau: 72. Jahresbericht nebst Ergänzungsheft. 1896. 8^.
Historisch-statistische Sektion der k. k. Mährischen Landwirthschafts-
Gesellschaft in Brunn: Urkunden zur Geschichte der Stadt Brflnn. 1896. 8^. Äcademie Boyale des seiences in Brüssel:
M^moires des membres in 49, Tome 50, part2. T.61. 62. 1893/94. 4<^. M^moires couronn^s in 4^. Tome 68. 1893/94. 4^. Mämoires couronnäs in 8^. Tome 47. 60. 61. 52. 1892/95. S9. Correspondance du Ciirdinal de Oranyelle. Tome X et XI. 1893/94. 4®. Biographie nationale. Tome XII, 2. XUI, 1. 1892—94. 8^. Bulletin. 3. S^rie. Tome 29, No. 6; Tome 30, No. 7—10. 1895. 8*.
Äcadimie Boyale de nUdecine in Briissel: M^moires couronn^ et autres mdmoires. Tome XIV, No. 1—3.
1896. SO. Bulletin. IV. Sörie. Tome IX, No, 7-10. 1896. Bfi.
Institut international de bibliographie in Brüssel: Bulletin. Vol. 1, No. 1. 1895. 8».
Soeiäe des Bollandistes in Brüssel: Analecta Bollandiana. Tome XIV, 3 u. 4. 1896. 8®.
SocUte entomologique de BeJgiqu€ in Brüssel: Annales. Tom. 38. 1894. 8'>.
Sociiti Royale maiacölogique de Belgique in Brüssel:
Annales. Tome 27. Annöe 1892. 8^. Proee8-verbaux. 1892-96. 8^.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 505
K. ungarische Akademie der Wisserischaften in Budapest:
üngariache Revue. 1895. Heft 5-7. S«.
Alxnanacb. 1895. 8^.
Nyelvtadomanji Közlemdnyek. (Sprachwissenschaft!. Mittheilungen.) Bd. XXIV, 3. 4; XXV, 1. 2. 1893/94. 8».
Zf. Simonyi, A Magyar hat^rozök. (Die Bestimmungswörter im un- garischen.) Bd. II, 2. 1896. 8«.
Gy. Zolnay, Nyelvemldkeink. (Unsere Sprachdenkmäler.) 1894. 4^.
Tört^nettud. Ertekezdsek. (Historische Abhandlungen.) XVI, 2—5. 1893—96. 80.
Tdgläs Gabor, Ujab adaMkok. (Neuere Beitr&ge zu den Felsen- inschriften.) 1894. 40.
MonumentacomitialiaregniTransylvaniae. Vol. XVI. XVII. 1693—94.80.
Öv4ry, L. A. M. T. Akad. tört^nelmi bizottsagänak oklev^lmäsolatai. (Urkunden- Abschriften d. histor Commission.) Bd. 2. 1894. 8^.
KirÄly J., Pozsony väros Joga a Közäpkorban. (Pressburger Stadt- recht.) 1894. 80.
Archaeologiai ^IrtesitO. (Archäolog. Anzeiger.) XIII, 3-6; XIV, 1 — 5:
XV, 1-3. 1893. 40.
Archaeologiai Eözlem^nyek. (Archäol. Mittheil.) Bd. XVII. 1895. fol. Tarsadalmi ^rtekezdsek. (Staatswissensch. Abhandlungen.) XI, 7—10.
1894—95. 80. Nyelvtudoman. l^rtekezdsek. (Sprachwissenschaft!. Abhandlungen.)
XVI, 4. 5. 1894. 80.
Monkäcsi B., A Votjäk nyelv 8zötä.ra. (Votjäkisches Wörterbuch.)
fasc. 8. 1893. 8^ Magyarorszagi tanulök külföldön. (Ungarische Studirende im Aus-
landd.) Vol. III. 1893. 80. Acsädy J., Kdt penzügytOrtänelmi tanulmäny. (Zwei finanzgeschicht-
licbe Studien.) 1894. 8®. Fraknöi V., Mätyas Kiraly levelei. (Sektion fdr äussere Angelegen- heiten.) Vol. I. 1893 80. Thaly K., Bercsdnyi hä,zasBäga. (Die Ehe Bercsenyi^s.) 1894. 80. Monumenta Hnngariae historica. Class. II. Vol. 33. 1894. 80. Hampel J., A r^gibb Közdpkor emlekei. (Denkmäler des früheren
Mittelalters.) Vol. I. 1894. 80. Term^szälludom^nyi ^rtekezdsek. (Naturwissenachaftl. Abhandlungen.)
XXIII, 3—12. 1894. 80, Mathematikai iSrtekez^sek. (Mathem. Abhandlgn.) XV, 4. 5. 1894. 8^ Mathematikai Ertesitö. (Mathemat. Anzeiger.) XI, 6—9. XII, 1—12.
XIII, 1. 2. 1893-95. 80. Mathematikai KözlemeSnyek. (Mathem. Mittheilungen.) XXV, 4. 5.
XXVI, 1. 2. 1893—94. 80. Mathematische und naturwissensch. Berichte aus Ungarn. XI, 1. 2.
XII, 1. 2. 1893—95. 80. Rapport. 1893. 1894. 1894—95. 80.
Chyzer C.&L. Kulczytiski, Araneae Hnngariae. Tom I.II, 1. 1892—94. 40. Meyer Gottb. Alfred, Der silberne Sarg des heil. Simeon in Zara
(in Ungar. Sprache.) 1894. fol. Szamota Istv&n, A Scblägli Magyar Szöjegyzäk. 1894. 8^,
1895. Mfttb.-phy8. Cl. 3. 33
506 Ver^eichniss der eingelaufenen Druckschriften.
StatiHisches Bureau derZHaupt- und Besidenzstadt Budapest: Pablikationen. Vol. XXV, 2. 1895. S^.
K. ungarische geologische Anstalt in Budapest: tjvkönjve (Jahrbuch.) Bd. XT, 3-6. XII, 1. 1895. 8^ nnd Atla?
zu XI, 4 in fol. Mittheilunfiren aus dem Jahrbuche. Bd. IX, 7. 1895. 8**. Földtani Közlöny. Bd. XXV, 1—5. 1895. 8**.
Botanischer Garten in Buitenzorg (Java): Mededeelingeii uit *8 Lands Flantentuin. No. XIV. Batavia 1895. 4'^.
Rumänisches meteorologisches Institut in Bukarest: Analele. Tom. IX, anul 1893. 1895. 49,
SociHe Linneenne de Normandie in Cacn: Bulletin. IV. Särie. Vol. 8, fasc. 1-4. Vol. 9, fasc. 1. 1894/95. 8«.
Äsiatic Society of Bengal in Ccdcutta: Bibliotheca Indica. New Ser. No. 850-59. 1894-95. 8«. Journal. No. 344—46. 1895. 8^ Proceedin^s. No. 4—8, April— Au^just 1895. 8^
Geological Suroey of India in Ccdcutta: Records. Vol. 28, part 3 u. 4. 1895. 4«. Meteorological Department of the Crovcrnment of India in Calcuita:
Monthly Weather Review 1895 Jannary — July and Annual Sam-
mary 1894. 1895. fol. Indian Meteorological Memoire. Vol. V, part 7—10. CalcuUa 1895. fol. Indian Meteorological Memoirs. Vol. VH. part 1-4. Simla 1895, fol. Report on the Administration in 1894/95. 1895. fol.
Philosophical Society in Cambridge: Proceedings. Vol. VIII. part 5. 1895. 8^.
Museum of comparatioe Zoology at Harvard College in Cambridge^ Mass. : Bulletin. Vol. 27. No. 1—6. 1895. S^, Memoirs. Vol. XVIII, XIX, I. 1895. 4^.
Physikalisch-technische lieichsanstalt in CJiarlottenhurg : Wissenschaftliche Abhandlungen. Bd. IL Berlin 1895. 40. Die Thätigkeit der physikalisch-technischen Reichsanstalt 1894/93. Berlin 1895. 4».
K. sächsisches meteorologisches Institut in Chemnitz: Jahrbuch 1894. Jahrg. XU, L Hälfte. 1895. 4«.
SociHe des sciences naturelles in Cherbnurg:
Remarques sur la nomenclature b^paticologique par Aug. Le Jolis. Paris 1894. &>.
Zeitschrift „The Monist'^ in Chicago: The Monist. Vol. 5, No. 4. Vol. 6, No. 1. 1895. 8^.
Zeitschrift „The Open Court" tn Chicago: The Open Court. No. 409—480. 1896. 4».
Verzeichnis^ der eingelaufenen Druckschriften. 507
Korweg, Gradmessungs-Commission in Christiania: Astronomische Beobachtangen. 1895. 4®.
0. E. Schiötz, Resultate der 1894 ausgefahrten Pendelbeobachtangen. 1895. 80.
Naturforschende Gesellschaft Graubündens in Chur: Jahresbericht. Neue Folge. Bd. 38. 1896. 8^. P. Lorenz, Die Ergebnisse der sanitariachen Untersuchungen der Rekruten des Kantons Graubänden. Bern 1895. 4^.
Chemiker-Zeitung in Cöthen: Chemiker-Zeitung 1895. No. 48-101. fol.
Universität in Gzernowitz: Verzeichniss der Vorlesungen. Winter-Semester 1896/96. 1896. 8^. Uebersicht der akademischen Behörden 1895/96. 1895. 8<^. Die feierliche Inauguration des Rektors am 4. Okt. 1894. 1895. 8^.
Provinzial-Commission zur Verwaltung der westpreussischen Provinzial-
Museen in Danzig: Abhandlungen zur Landeskunde der Provinz Westpreussen. Heft IX. 1891. 40.
Colorado Scientific Society in Denver, Colorado: 5 Abhandlungen aus den Proceedings von 1895. 8^.
Verein für Anhaltische Geschichte in Dessau: Mittheilungen. Band VII, 3. 1895. 8®.
Academie des Sciences in Dijon: Mtooires. IV. Sdrie. Tome 4. Annecs 1893— 9 t. 1894. 8^.
Gelehrte estnische Gesellschaft in Dorpat: Sitzungsberichte 1694. 1895. 80.
Union gSographique du Nord de la France in Douai: Bulletin. Vol. 18, triraestre 1—3. 1895. 8«.
K. sächsischer Älterthunisverein in Dresden:
Jahresbericht 1894/95. 1895. 8«.
Neues Archiv für sächsische Geschichte. Bd. XVI. 1895. 8^.
General dir ektion der kgl, Sammlungen in Dresden: Bericht über die Verwaltung der kgl. Sammlungen in Dresden 1892/93. 1895. fol.
American Chemical Society in Easton, Pa.: The Journal of the American Chemical Society. Vol. 17, No. 10. 1895. 80.
Scottish Microscopical Society in Edinburgh: Proceedings. Session 1894—95. p. 177—276. 8«.
Royal Society in Edi^iburgh: Proceedings. Vol. XX, p. 885-480. 1895. 8^.
Verein für Geschichte in Eisleben: Mansfelder Blätter. IX. Jahrg. 1896. 8<^.
33*
508 Verzeidiniss der eingelaufenen Drueksikriften.
Gesellschaft für bildende Kunst und cateriänd. AJterthAwter in Emden: Jahrbuch. Bd. XI, 1. 2. 1895. 6®.
Naturforsehende Gesellschaft in Emden: 79. Jahresbericht fQr 1693/94. 1895. 8^.
K, Unicersität Erlangen: Schriften aus dem Jahre 1894/95. 4* a. 8^.
Beale Accademia dei Georgofüi in Florenz : Atti. IV. Ser. Vol. 18, disp. 2. 1895. 8^.
Senckenhergische naturforschende Gesellschaft in Frankfurt afM.: Abhandlungen. Band XIX, No. 1. 2. 1895. 4^. Bericht. 1895. 8«.
Physik cdischer Verein in Frankfurt a/M.: Jahresbericht fflr 1893/94. 1895. 8<>.
Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt a/0.: Helios. 15. Jahrg. 1895. No. 1—6. 8^.
Naturforschende Gesellschaft in Freiburg ijBr.: Berichte. Bd. IX, 1—8. 1894-95. 8*.
Kirchlich-historischer Verein in Freiburg i/Br.: Freibnrger Diöcesan-Archiv. Bd. 24. 1895. B9.
Unicersität Freiburg in der Sd^weis: CoUectanea Friburgensia. Fase. IV. 1895. 4^. Behörden, Lehrer und Studirende. Wint.-Sem. 1895/96. 1895. 8^*.
Institut national in Genf: BuUetin. Tome 33. 1895. 8**.
Observatoire in Genf: Resumd m^täorologiqne de Tann^ 1894. 1895. 8^. Sur quelques particnlarites de Thiver 1894/95. par A. Kammermann. 1895. 80.
Societe de physique et d^histoire naturelle in Genf: M^moires. Tome XXXII, 1. 1894-95. 4P. Universität Genf: Schriften ans dem Jahre 1894/95. 8^^.
Museo civico di storia naturale in Genua: Annali. Ser. II. Vol. 14. 15. 1894-95. 8».
Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde in Giessen: 30. Bericht. 1895. 8^.
Unicersität in Giessen: Schriften aus dem Jahre 1894/95 in 4® und QP.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz: Neues Lausitzisches Magazin. Band 71, Heft 1. 2. 1895. fi^.
K. Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: Göttingische gelehrte Anzeigen. No.VII— XII, Juli— December 1895. 4P. Nachrichten. Hist-philol. Classe. Heft 8. 4. 1896. 4«. , Mathem.-phy8. Classe. Heft 2. 8. 1895. 4P.
Verseichniss der eingelaufenen Druckschriften. 509
ÄBtronomisclie Mittheilnngen der k. Sternwarte zu Oöttingen. Th. IV.
1895. 40. Geschaftliclie Mittheilungen. 1895. No. 2.
Sternwarte in Oöttingen: A. von Eoenen u. W. Schur, Ueber die Auswahl der Punkte bei- Göttingen, an welchen bei Probe-Pendelmessungen Differenzen zu erwarten waren. 1895. 4^.
Denison Scientific Association in Oranvüle (Ohio),
Bulletin of the Scientific Laboratories of Denison University. Vol. VIII, part 1. 2. 189S/94. 8».
The Journal of Comparative Neurology in Qranvülei Journal Vol. V, p. 71-188. S^.
Landesmuseum Joanneum in Graz: LXXXm. Jahresbericht über das Jahr 1894. 1895. 8^. Historischer Verein für Steiermark in Graz: Mittheilungen. 48. Heft. 1895. 8^.
naturwissenschaftlicher Verein für Steiermark in Graz: Mittheilungen. Jahrg. 1894. Heft 31. 1895. 8^
Gesellschaft für Pommersche Geschichte in Greifswald: Pommersche Genealogien. Bd. 5. 1896. 8^.
K. Niederländische Regierung im Haag: J. A. C. Oudemans, Die Triangulation von Java. IV. Abth. 1895. 49. Nederlandsch kruidkundig Archief. I. Ser. 6. Deel. 4* Stnk. Nijmegen.
1895. 8«. K. Instituut voor de Taal^ Land- en Volkenkunde van Nederlandsch
Indie im Haag: Bijdragen. VI. Reeks. Deel I, aflev. 8. 4. 1895. 8^. De Gar^b^g*ä te Ngajogyäkartä. door J. Groneman. 1895. 4^.
Societe Hollandaise des Sciences in Haarlem: Archives Nderlandaises des aciences exactes. Tome 29, livr. 2.8. 1895. 8**. Oeuvres complbtes de Christiaan Huygens. Vol. VI. La Haye 1895. 4^.
Teyler Genootschap w Haarlem: Archives du Muade Teyler. Ser. II. Vol. 4, partie 4. 1896. 4P. Verhandlungen van Teylers tweede Genootschap. N. R. Deel. V,
stuk 1. 1895. 8«. Verhandlungen van Teylers godgeleerd Genootschap. N. S. Deel. XV. 1895. 80.
Gymnasium zu Hall in Tyröl: Programm 1894/96. 1896, 8«.
Kais. Leopoldinisch-Carolinische deutsche Akademie der Naturforscher
in Halle: Leopoldina. Heft XXXI, No. 11-22. 1895. 4P.
Thüringisch-sächsischer Geschichts- und Alterthumsverein in Halle: Jahresbericht für 1894/95. 1895. S"".
510 Verzeichnis8 der eingelaufenen Druckschriften.
Deutsche morgenländische OeseUschaft in Balle: Zeitschrift. Band 49, Heft 2. 8. Leipzi^r 1895. 8^.
Universität Halle: Schriften ans dem Jahre 1894/96 in 4<^ and 8.
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle:
Zeitschrift f. Natorwissenschaften. Bd. 68, Hefb 1 u. 2. Leipzig 1895. 8*.
Stadtbibliothek in Hamburg:
Jahrbuch der Hambargiachen wissenschafll. Anstalten. XI. Jahrg. 1893 und Beiheft. 1894. 4».
Wetter auische Gesellschaft für die gesammte Naturkunde in Hanau: BerichtL 1892-95. 1895. 8«.
Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover: Zeitschrift. Jahrgang 1895. 8^.
Universität Heidelberg: Leo Königsberger, Hermann ▼. Helmho)tz*8 Untersuchungen über die
Grundlagen der Mathematik und Mechanik. 1895. 4^. Schriften der Universität aus dem Jahre 1894/95 in 4« u. 8<>.
Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg: Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrg. V, Heft 2. 1895. 8''.
Finländische Gesellschaft der Wissenschaften in Helsingfors: Observations mdtdorologiques. 1889—1890. Kuopio 1895. fol. Observations (m^tdorologiques). Vol. XII, livr. 1. 1894. fol. Acta societatis scientiarum Fennicae. Tom. 20. 1895. 4^. öfversigt XXXVl. 1893/94. 1894. 8*. Bidrag tili kännedom af Finlands Natur och Folk. Heft 51-56,
1894/95. 8«.
Universität Helsingfors:
Schriften der Universität Helsingfors aus d, Jahre 1894/95 in 4® u. 8^.
Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt:
Archiv. N. F. Band XXVI, Heft 3. 1895. S^ Jahresbericht für das Jahr 1894/95, 1895. 8«.
Siebenbürgischer Verein für Naturwissemchaften in Hemiannstadt: Verhandlungen. 44. Jahrg. 1895. 8^.
Michigan Mining School in Houghton: Prospectus of elective studies. May 1895. 8®. Karpathen- Verein in Iglö: Jahrbuch. XXII. Jahrg. 1895. 8».
Ferdinandeum in Innsbruck: Zeitschrift. 3. Folge. Band 39. 1895. 8^
Medicinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft in Je?ia : Jenaiscbe Zeitschrift für Naturwissenschaft. Bd. 29, Heft 8 u. 4. Bd. SO, Heft 1. 1895. 8^
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 511
Verein für Thüringische Geschichte und'CAUerthumskunde in Jena: Zeitschrift. Bd. VIII, 3. 4; IX, 1. 1893/94. 8« Regesta diplomatica necnon epistolaria historiae Tburingiae. 1. Halb- band. 1895. 40. Naturforschende Gesellsdiaft bei der Universität Jurjew (Dorpat): Sitzungsberichte. Bd. X, 3. 1895. 8^. Schriften. No. VIII. 1895. 4P,
Universität Jurjew (Dorpat): Schriften der üniyersität aus dem Jahre 1894/95 in 4^ u. 8^
Centralhureau für Meteorologie etc, in Karlsruhe: Jahresbericht des Centralbareaus fOr das Jahr 1894. 1895. 4^.
Grossherzoglich technische Hochschule in Karlsruhe: Schriften aus dem Jahre 1894/96 in 4^ u. 8^^.
(rrossh, badische Staats-Älterthümersammlung in Karlsruhe: Veröffentlichungen der grossh. badischen Sammlungen. 1895. 4^.
Societi physico-mathematique in Kasan: Bulletin. II« Serie. Tome IV, No. 3. 4; V, No. 1. 2. 1894/95. S^.
Universität Kasan: Utschenia Sapiski. Tom. 62, No. 2. 7. 8. 9. 11. 1895. 8^,
Verein für hessische Geschichte in Kassel: Zeitschrift, N. P. Bd. XIX. 1894. 8«. Mittheilungen. Jahrgang 1892. 1893. 8^.
Verein für Naturkunde in Kassel: Abhandlungen und Bericht XL. 1895. 8^
Universität Kharkow: Sapiski. 1895. Heft 3. 8^.
K. UniversiU'it in Kiel: Schriften aus dem Jahre 1894/95. 4^ u. 8«.
Gesellschaft für Schlesioig-Holstein-Lauenburgische Geschichte in Kiel: Zeitschrift. Band 24. 1894. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein für Schleswig-Holstein in Kiel: Schriften. Band X, Heft 2. 1896. 8«.
Universität in Kiew: Iswestija. Vol. ?5, No. 8-10. 1896. 8®.
AerztUch-naturwissenschaftlicher Verein in Klausenburg: iSrtesitö. 3 Hefte. 1895. 8®.
Kroatische archäologische Gesellschaft in Knin: Glasilo. Band I, Heft 3. 1895. 4«.
Physikalisch-ökonomische Gesellschaft in Königsberg : Schriften. 36. Jahrgang. 1894. 1895. 4».
Universität in Königsberg: Schriften aus dem Jahre 1894/96. 4^ o. 8^.
512 Vereeiehniss der eingelaufenen Druckschriften,
Genealogisk Instüuf in KopenfMgen: Arabere og Kabjler Skildringer af Carit Etlar. 2 Bde. 1868—70. 8».
K. Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen: Oversigt. 1896. No. 2. 8°. Skrifter. 1) historisk. Afd. IV, 2. 2) naturvid. Afä. Vm, 1. 1895. 4®.
Gesellschaft für nordische Älterthumskunde in Kopenhagen: Aarböger. II. Raekke. Band 10, Heft 2 n. 8. 1895. 8^.
Akademie der Wissenschaften in Krdkau: Sprawozdania komisyi fizjograficzney. Tom. 29. 1894. 8^. Zbiör wiadomosci do Antropol. Tom. XVIII. 1896. 8^. Anzeiger. 1895. Juni, Juli, Oktober. November. 8^. Rozprawy. a) histor.-filoz. Ser. II, Tom. 6. b) mathemat. Ser. II,
Tom. 7. 1895. S«. Biblioteka pisarzy polskich. Tom. 30. 1896. 8^. Finkel, Bibliografia hietor. Tom. 2, Heft 1. 1896. 8^. Archiwum literat. Tom. 8. 1896. 8®. Pami^tnik (mathemat.) Tom. 18, Heft 8. 1896. 4^
Historischer Verein für Niederbayern in Landshut: Verhandlungen. 31. Band. 1896. 8^.
Societe Vaudoise des sciences naturelles in Lausanne: Bulletin. III. Serie. Vol. XXXI, No. 117. 118. 1895. 8^.
Maatschappij van Nederlandsche Letterkunde in Leiden: Tijdschrift. Deel XIV, No. 3, 4. 1895. 8®.
K. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig: Abhandlungen der philol.-hist. Classe. Band XV, No. 3. 4. 1895. 4*. Berichte, Philol.-hiat. Classe. 1896. I. IL 8^. Abhandlungen der math.-phys. Classe. Bd. XXII, No. 2 — 5. Berichte. Math.-phys. Classe. 1895. Heft II-IV. 8^. Journal für praktische Chemie in Leipzig: Journal. N. F. Bd. 51, Heft 12. Bd. 52, Heft 3-11. 1895. 8».
Anatomische Gesellschaft in Leipzig: Wilhelm Hie, Die anatomische Nomenclatur. 1896. 8®.
Astronomische Gesellschaft in Leipzig: Katalog. I. Abth. 10. Stück. 1896. 4®. Vierteljahrsschrift. 30. Jahrg. Heft 3. 1895. 8*.
Archiv der Mathematik und Physik in Leipzig: Archiv der Mathematik und Physik. II. Reihe, 14. Theil, 1. u. 2. Heft. 1895. 8".
Verein für Erdkunde in Leipzig: Wissenschaftliche Veröffentlichungen. Bd. II. 1896. 8^. Mittheilungen. 1894. 1895. 8^.
FacultS in Lille: Travaux et Mdmoires. Tome III, No. 10—14. 1893. 8».
üniversity of Nebraska in Lincoln: Bulletin of the Agricultural Experiment Station. No. 48. 1895. 8P.
Verzeiehniss der eingelaufenen Druekachriften, 513
Museum Francisco-CaroUnum in Lins: 53. Jahresbericht, nebst 47. Lieferung der Beiträge znr Landeskonde. 1895. 8».
Zeitschrift ^La Cellüle* in Loewen: La Gellule. Tome XI, 1. 1895. 4^
The English Historicdl Beview in London: Hisiorical Review. Vol. X, No. 39. 40. 1895. 8^.
Boyal Society in London: Philoaophical Transactions. VoL 185, part II. A. B. 1895. 4®. Proceedings. Vol. 58, No. 847-352. 1895. 8».
R, Ästronomical Society in London: Monthly Notices. Vol. 55, No. 8. 9. Vol. 56, No. 1. 1895. S«.
Chemical Society in London: Journal. No. 392—397. July— December 1895. 8®. Proceedings. No. 154—166. 1895. B9,
GeoJogicäl Society in London: The quarterly Journal. No. 201—204. 1895. 8«. Geological Literature during the halfyear ended Dec. 1894. 1895. 8^.
Linnean Society in London: Proceedings. Nov. 1893 to June 1894. 8®. The Journal. Zoology. Vol. 25, No. 158 — 160. Botany. Vol. 30,
No. 209. 210. 1894. S». The Transactions. II. Ser. Zoology. Vol. VI, part 3. Botany. Vol. IV,
part 2; V, part 1. 1894-95. 4P. List 1894/95. 1894. 8°.
Medical and Chirurgicäl Society in London: Transactions. Vol. 78. 1895. 8^.
Royal Microscopical Society in London: Journal. 1895. Part 4-6. &^.
Zoölogical Society in London: Proceedings. 1895. Part 11. 8®.
Zeitschrift „Natur e" in London: Nature. Vol. 52, No. 1334—57. 1895. 4».
Äeademy of Science in St. Louis: Transaction«!. Vol. VI, No. 18. Vol. VII, No. 1—3. 1895. 8^.
Societe geologique de Belgique in Lüttich: Annales. Tome XX, 3; XXI, 3; XXII, 1. 2. 1892-95. 8».
Seclion historique de Vinstitut Royal Grand-Ducal in Luxemburg: Publications. Vol. 42—44. 1895. 8^
Historischer Verein der fünf Orte in Lusem; Der Geschichtsfreund. Bd. 50 u. 1 Fascikel Beilagen. Stans 1895, 8®.
Äcademie des sciences in Lyon: Cartulaire Lyonnais, documents inddite recueillis et publies par M.-C.
Guigue. Tome II. 1893. 4P, Mömoires. Sciences et lettres. III. S^r. Tome 2. Paris 1898. 4^.
514 Verzeichniss der eingelaufenen Drueksehriften.
Socieli d'agricülture, scienee et indtutrie in Lyon: Annalet. VII. S^r. Tome I. 1893. 1894. 4».
SociiU d'anthropologie de Lyon: Bulletin. Tome 12. 13. 1894—95. 8^
Societe Linneenne in Lyon: Annales. Tome 88-40. 1891—93. 8«.
Onothera on Oenothera. Les änes et le vin par le D^* Saint-Lager. Paris 1893. S^.
B. Äcademia de la historia in Mctdrid: Boletin. Tomo 27, cuad. 1—6. 1895. 8^.
B. Äcademia de ciencias in Madrid: Memorias. Tomo XVI. 1896. 4".
Fondazione scientifica Cagnöla in Mailand: Atti. Vol. XII. XIII. 1894/96. 80.
B, Istituto Lomhardo di sdenze in Mailand: Rendiconti. Ser. IL Vol. 26. 1893. Vol. 27. 1894. 8^. Memorie. a) Classe di lettere. Vol. XIX, 2; XX, 1. b) Clas«e di
scienze matematiche. Vol. XVII. 4; XVIII, 3. 1893/95. 4^ Indice generale dei lavori dalla fondazione all* anno 1883. 1891. 8^.
Societä Italiana di scienze naturali in Mailand: Atti. Vol. 35, fasc. 1. 2. 1895. 8®.
Societä Storica Lombarda in Mailand: Archivio Storico Lombarde. Ser. III. Anno 22, fasc. 6. 7. 1895. 8^.
Literary and phüosophical Society in Manchester: Memoirs and Proceedings. IV. Serie. Vol. 9, No. 3—6. 1894/95. 8*.
Universität in Marburg: Schriften aus dem Jahre 1894/95 in 4<> u. 8^.
Faculte des sciences in Marseille: Annales. Tomo III, fasc. 1—3 et Supplement. Tomo IV, fasc. 1—3.
1893/94. 40. Annales de Tlnstitut botanico-g^ologique colonial. Vol. I. Paria 1893. 8^.
Verein für Geschichte der Stadt Meissen in Meissen: Mittheilungen. Band IV, 1. 1896. 8^.
ÄcadSmie in Metz: Memoires. Anndes 1892/93, 1893/94 et 1894/95. 1895. 8^.
Observatorio meteorologico central in Mixico: Boletin mensual. Majo— Setiembre 1895. 4^.
Comision geolögica Mexicana in Mexico: Boletin. No. I. 1895. 4«.
Ezpedicion cientifica al Popocatepetl por Jos^ 6. Agnilera y Esequiel Ordofiez. 1896. 8«.
Begia Accademia di scienze lettere ed arti in Modena: Memorie. Serie IL VoL 10. 1894. 4«.
Vereeichniaa der eingelaufenen Druckschriften. 515
Ämministrazione delle Puhhlicazioni Casaineei inMontecasainoCCasertaJ: Spicilegium Gasinense. Tomus IV, 1. 1895. fol. Internationales Tausch-Bureau der Republik Uruguay in Montevideo: Comercio ezterior y movimiento de nayef^acion en el aüo 1894. 1896. 4^. Nnestro pais por Orestes Arat!go. 1895. 8^.
Äcadhnie de sciences et lettres in Montpellier: Mdmoires. Section des lettres. 2« S^rie. Tome 1, No. 1—4.
Section des sciences. 2«Sär. Tome 1, No. 1—4. Tome 2, No. 1.
Section de m^decine. 2« S^rie. Tome 1, No. 1. 1893. 8<>.
Daschkow'sches ethnographisches Mtiseum in Moskau: Sistematitscheskoe Opisanie KoUekziy Daschkowskago ethnografitsches- kago Musea. Bd. IV. 1895. 4»
Direction des Musies public et Boumiantzow in Moskau: Compte-renda (in russ. Sprache). 1892—94. 1896. 8^.
Social ImpSriale des Natur alistes in Moskau: Bulletin. Ann^e 1895, No. 1. 2. 1895. 8^.
Lieh Ohservatory in Mount Hamilton, California: Contributions. No. 4. Sacramento 1895. 8°.
Deutsche Gesellschaft für Anthropologie in Berlin und München: Correspondenzblatt. 1895, No. 6—10. 4^.
K. hayer. technische Hochschule in München: Programm für das Jahr 1895/96. 1895. 8^ Bericht für das Jahr 1894/95. 1895. 40. Personalstand. Winter-Semester 1895—96. 1895. 8^.
Universität in München: Schriften aus dem Jahr 1895 in 4^ u. 8®.
Historischer Verein in München: Monatsschrift. 1895. No. 10. 11. 8^. Oberbayerisches Archiv. Bd. 49, Heft 1. 1895. 8°. 56. und 57. Jahresbericht. 1895. 8®.
Aerztlicher Verein in München: Sitzungsberichte. Bd. IV. 1894. 1895. 8«.
Akademischer Verlag München: Hochschnl- Nachrichten. 1895. No. 55—69. 49. Westphäl. Provimial 'Verein für Wissenschaft und Kwist in Münster: 22. Jahresbericht für 1893/94. 1894. 8^.
Acadimie de Stanislas in Nancy: M^moires. 5« Särie. Tome 10. 11. 1893. 8®.
Sociiti des sciences in Nancy: Bulletin. S^r. II. Tome 18, fasc. 28. 29. Paris 1894. S». Catalogue de la biblioth^que. 1894. 8^.
Beale Accademia di scienze morcdi et politiche in Neapel: Atti. Vol. 27. 1894—96. 1895. 8«.
516 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschrißen.
B, Accademia delle sdeme fisiehe e matematieke in Neapel: Rendiconto. Ser. 8. Vol. I, fasc. 5-11. 1895. 8«. Atti. Ser. H. Vol. 7. 1895. 4«.
Zoologische Station in Neapel: Mittheilungen. Bd. XII, 1. Berlin 1895. 8^.
Historischer Verein in Neuburg ajD,: KoUektaneen-Blatt. 58. Jahrg. 1894. 8^.
North of England Institute of Engineers in New-CasÜe (upon-TyneJ: Transactions. Vol. 44, pari 4 und Appendix. 1895. 8^. Report -of the Proceedings of the flameless exploriyea Committee. Part I, 2. 1896. 8^.
Connecticut Aeademy of Arts and Sciences m New-Haven: Transactions. Vol. IX, 2. 1895. Bf^.
2he American Journal of Science in New-Haven: Journal. No. 295 n. 296. Jaly and Augnst 1895. No. 298 — 300.
October— December 1895. 8°.
Observatory of the Yale üniversity in New-Haven: Report for the year 1894—95. 1895. 8^.
American Museum of Natural History in New- York: Annaal Report for the year 1894. 1895. S^,
American Cliemicdl Society in New- York: Journal. Vol. 17, No. 8. 9. II. Easton 1895. 8^.
American Geographical Society in New- York: Bulletin. Vol. 27, No. 2. 8. 1895. 8^.
State Museum in New- York: Bulletin. Vol. 3, No. 12. 13. Albany 1895. 8°.
Naturhistorische Gesellschaft in Nürnberg: Abhandlungen. Band X, Heft 8. 1895. 8^.
Verein für Geschichte der Stadt Nürnberg: Jahresbericht 1893. 1894. 1894/95. &^. Mittheilungen. Heft 11. 1895. Q\
Verein für Naturkunde in Offenbach: 33.-36. Bericht 1891—95. 1895. 8<>.
Verein für Geschichte und Landeskunde in Osnabrück: Mittheilungen. 20. Band. 1895. 8^.
Naturwissenschaftlicher Verein in Osnabrück: 10. Jahresbericht. 1895. 8^.
Geölogiccd Survey of Canada in Ottawa: Annual Report. New Series. Vol. VI. 1895. 8®.
Eoyal Society of Canada in Ottawa: Proceedings and Transactions. Vol. XII. 1895. 4^.
Circolo matematico in Palermo: Rendiconti. Tomo IX, fasc. 8-6. 1895. i9.
Verzeidmi88 der eingelaufenen Druckschriften, 517
Acadimie de midecine in Paris: Bulletin. 1895. No. 26-51. 8».
Academie des sciences in Paris: Comptes rendus. Tome 121, No. 1-6. 8—26. 1895. 4«.
Bibliotheque nationale itw Paris: Gatalogue des Manuscrits arabes. Fase. 3. 1895. fol.
J^cöle polytechnique in Paris: Journal. Cahier 68 et 64. 1898/94. 4».
Comiti international des poids et mesures in Paris: Travauz et M^moires. Tome 8. 10. 1898/94. fol. XVI« Rapport sur Texercice de 1892. 1893. fol. Moniteur Scientifique in Paris: Moniteur. Livr. 643—648. Juillet— D^cembre 1895. 4^.
Musee Guimet in Paris: Annales in 4^. Tome XXV. XXVI, 1. 1894. 4^ Annales. Biblioth^ue d*^tudea. Tome 4. 1894 8^. Revue de Thistoire des religions. Tome 27, 3; 28, 1—3; 29, 1—3; 80, 1—3; 31, 1. 1893/94. ^.
Museum d^histoire naturelle in Paris: Bulletin. Ann^e 1895, No. 4-6. 8«.
Nouvelles Archives. Sdr.III. TomeV, VI, 1.2. VII, 1. 1893—95. 4». Centenaire de la fondation da Musäum d'hist. nat. Volume comm^- moratif. 1893. 4«.
SocietS d'anthropölogie in Paris: Bulletins. 1893. No. 5-12. 1894. No. 1—9. 1898/94. 8». Mämoires. III. Särie. Tome I, fasc. 1—3. 1893/94. 8<^.
Sociite de giographie in Paris: Comptes rendus. 1895. No. 9—18. 8^. Bulletin. VII. Sörie. Tome XVI, 2 et 8 trim. 1895. 8».
Soditi de mathematique de France in Paris: Bulletin. Tome 23, No. 4—8. 1895. 8».
Sociiti zoologiqvLe de France in Paris: Bulletin. Tome 18. 1893. 8^. Mömoires. Tome VI, partie 1—4. 1893. 8®.
Acadimie Impiriale des sciences in St, Petersburg: Bulletin. V. S^r. Tome 2, No. 5. Tome 3, No. 1. 1895. 4«.
Comite geologique in St. Petersburg: Bulletins. Vol.XII, 8.9; XIII, 1-9; XIV, 1—5 et Suppl.au Tome XIII.
1893—96 8^ Mtooires. Vol. VIII, 2. 3; IX, 3. 4; X, 3; XIV, 1. 3. 1894/95. 4»
Bussische astronomische Gesellschaft in St. Petersburg: Iswest^'a. Heft 4. 1895. 8<>. ^phdmerides des ^toiles (W. DOllen) pour 1896. 1895. 6^.
Kaiserl, russische geographische Gesellschaft in St, Petersburg: Beobachtungen der rassischen Polarstation an der Lenamündung. Th. I. 1882-84. 1895. 4^.
518 Vergeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Kaiserl, mineralogische Gesellschaft in St, Petersburg: Materialien zur Geologie Rasslands. BJ. XVI f. 1895. &^. Physikal. -chemische Gesellschaft an der Jcais, Universität St. Petersburg: Schurnal. Tom. XXVII, Heft 4-8. 1896. BP.
Sociite des naturalistes de St. Petersburg: Travaux. a) Section de geologie. Vol. 28. b) Section de Zoologie.
Vol. 26. c) Section de botanique. Vol. 25. 1896. 8®. Protokoly. 1896. No. 1-6. 8°.
• Kaiserliche Universität in St. Petersburg: Obosrenie. 1895/96. 1895. S«. Wostotschnjje Samjetki. (Orientalische Bemerkungen.) 1895. 4P
Äcademy of natural Sciences in Philadelphia: Journal. Vol. IX, part 4. 1895. fol. Proceedings. 1895, part I. 8°.
Historicdl Society of Pennsylvania in Philadelphia: The Pennsylvania Magazine of History. Vol. XIX, No. 1—3. 1895. 8*.
Alumni Association of the College of Pharmacy in Philadelphia: Alumni Report. Vol. 31. No.9. June 1895. Vol. 32, No. 1. 2. October. November 1896. 8».
American Philosophical Society in Philadelphia: Proceedings. Vol. 34, No. 147. 1896. 8«. Transactions. New Seriea. Vol. XVIII, part 2. 1895. 4^
B. Scuola normale superiore di Pisa: Annali. Scienze fisiche. Vol. VII. 1895. &>.
Portland Society of natural History in Portland: Proceedings. Vol. II, part 3. 1896. 8^
Böhmische Kaiser Fr am- Joseph- Akademie in Prag: Rozprawy. THdal, Roönfk 3, öisloÖ; Tfida II, Ro6nik 3, 6(8lo22— 32.
T.ida III, Roönik 3. Sislo 1 und 4. 1894. 8°. Historicky Archiv. Öfslo 6. 1895. 8®. VÖstnik. Roönfk IV. Öfslo 1—3. 1895. 8». Bulletin international. Classe des sciences math^matiqnea I. 1891. 8^.
Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur in Prag: üebersicht über die Leistungen der Deutscheu Böhmens auf dem Ge- biete der Wissenschaft etc. im Jahre 1898. 1895. 8^.
Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag: Öasopis. Band 24, No. 1-5. Bd. 25, No. 1. 1894/95. 8«.
K, K, Deutsche (Carl-Ferdinands) Universität in Prag: Ordnung der Vorlesungen. Winter-Semester 1895/96. 1895. 8®. Personalstand 1895/96.
Verein für Natur- und Heilkunde in Pressburg: Verhandlungen. Jahrg. 1892 - 93. N. Folge. Heft 8. 1894. 8®.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 519
Ärchaeological Institute of America in Princeton (Netc- Jersey): American Journal of Archaeology. Jan.—Sept. 1895. 8^
Kgl, botanische Gesellschaft in Begenshurg: Katalog der Bibliothek. Th. I. 1895. 8«.
ITistorischer Verein in Regensburg: Verhandlungen. Band 47. 1895. 8®.
Observatorio in Rio de Janeiro: Annuario 1895. 1894. 8^.
Geological Society of America in Rochester: Bulletin. Vol. VI. 1895. 8«.
R, Accademia dei Lincei in Rom: Atti. Ser.IV. Memoire della classe di scienze fisiche. Vol. VII. 1894. 4^ Atti. Ser. V. Classe di acienze fisiche. Rendiconti. Vol. IV. Semestre 1,
fasc. 12. Semestre 2, fasc. 1—7. 1895. 4«. Atti. Ser. V. Classe di scienze morali. Vol. I, part. 1. Memorie. 1894. Vol. III, part. 2. Notizie degli scavi. April— Aug. 1895. 1894/95. 4^. Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V. Vol. IV, fasc. 4—8.
1895. 8^. Rendiconto dell* adunanza solenne del 9 Giugno 1895. 1895. 4^.
jR. Comiiato gedogico d'Italia in Rom: Bollettino. Anno 1895, No. 2 u. 3. 8^.
Accademia Pontificia de' Nuovi Lincei in Rom: Atti. Anno 47, Sessione V. Anno 48, Sessione I— VII. 1894/95. 4^.
Kais, deutsches archäologisches Institut (röm. Abth,) in Rom: Mittheilungen. Vol. X, No. 1. 2. 1895. 8'».
R, Ministero della Istruzione pubhlica in Rom: Indici e cataloghi. 42 Hefte. 1886/96. 8®.
Zeitschrift L^ Oriente in Rom: L'Oriente. Rivista trimestrale. Anno IL No. 1. 2. 1895. 8®.
Kgl. italienische Regierung in Rom: Opere di Galilei. Vol. V. Firenze 1896. 4«.
R, Societä Romana di storia patria in Rom: Archivio. Vol. XVin, 1. 2. 1895. 8».
Universität Rostock: Schriften aus dem Jahr 1894/95 in 4^ u. 8^
Academie des sciences in Rouen: Pr^cis analytique des travaux. Ann^e 1891/92 et 1892/93. 1893/94. 8^.
Accademia degli Agiati in Rovereto: Atti. Anno 145. Serie lll. Vol. I, fasc. 2. 1895. 8^. llie American AssocicUion for the avancement of science in Salem: Proceedings for the 43^ Meeting. August 1894. 1895. 8°.
American Journal of Science in Salem: Journal. No. 297. (Sept. 1895.) 8«.
520 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Historischer Verein in 8t. Odilen: Urkundenbuch der Abtei Sanct Gallen. Th. lY, Lief. 4. 1896. 4<>. Der Klosterbnich in Rorschach und der Sfc. Galler Krieg 1489/90 von Job. Häne. 1896. 8^.
Obsercatorio astronömico meteorolögico in San Siüvatar: Anales. 1896. fol.
California Academy of Sciences in San Francisco: Proceedings. Vol. IV. pari 2. 1896. 8®. Memoire. Vol. II, No. 4. 1896. 4^
Gesellschaft für Salehurger Landeskunde in Salzburg: Mittheilungen. 36. Vereinsjahr. 1896. 8^.
K, K, Staatsggmnasium in Salzburg: Programm für daa Jahr 1894/96. 1896. 8^.
Instituto y Observatorio de marina in San Fernando: Almanaque naiitico para 1897. Madrid 1896. 4^.
K. K, archäologisches Museum in Spalaio: Bullettino. Anno 18, No. 6—11. 1896. 8^.
Historischer Verein der Pfalz in Speyer: Mittheilungen. XIX. 1896. 8».
K, schwedische Akademie der Wissenschaften in Stockholm: ÖfverBigt. Vol. 61. 1894. 1896. 8^
Astronomiaka Jakttageleer. Vol. V, Heft 1—4. 1893—96. 4«. Hj. Th^el, Om Sveriges zoologiska hafsstation Eristineberg. 1895. 8^. Handlingar. Bd. 26. 1894/95. 4^.
JT. Vitterl^ts, Historie och Antiquitets-Äkademie in Stockholm: Antiquarisk Tidskrift för Sverige. Del V, No. 4; Del XIV, No. 2; Del XVI. 1-3. 1896. 8».
Geologiska Förening in Stockholm: Förhandlingar. Bd. 17. Heft 1—6. 1896. 8<>.
Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften in Strassburg: Monatsbericht Heft 6 u. Heft 1895. 8».
Universität Strassburg: Schriften aus dem Jahre 1894/96. 40 n. 8''.
K, statistisches Landesamt in Stuttgart: Beschreibung des Oberamts Cannstadt. 1895. 8^
Geological Survey of New -SoiUh -Wales in Sydney: Records. Vol. IV, 4. 1895. 4^. Memoirs. Palaeontology. No. 9. 1895. 49,
Boyal Society of New -South -Wales in Sydney: Journal and Proceedings. Vol. 28. 1894. 8^. Department of Mines and AgricuHure of Nr SoiUh- Wales in Sydney: Annual Report for the year 1894. 1896. fol.
Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 521
Observatorio astronömico nacional in Taeubaya: Boletin. Tomo I, No. 22. Mexico 1895. 4^ Anuario. Aiio de 1896. Mexico 1895. 8® .
Norske Videnskabs Sehkab in Throndhjem (DrorUheim): Skrifter 1893. 1894. 8».
Physikalisches Observatorium in Tiflis: Beobachtungen im Jahr 1893. 1895. fol. Beobachtungen der Temperatur des Erdbodens in den Jahren 1888/89.
1896. 8« Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokyo: Mittheilungen. Heft 56 u. Suppl.-Heft 2 zu Bd. VI. 1895. 4»
Universität Tokyo (Japan): The Journal of the College of Science. Vol. 7, part 5. 1896. 40. The Imperial üniversity Calendar. 1894/96. 8*^.
Biblioteca e Museo comunale in Trient: Archivio Trentino. Anno XII, fasc. 1, 1895. 8^.
R, Accademia delle scienze in Turin: Atti. Vol. 30, disp. 12—16. 1896. 8^
B. Museo geologico in Turin: Essai sur Torogdnie de la terre par Fed. Sacco. 1895. 8°.
Universität Tübingeyi: Schriften aus dem Jahre 1894/95. 4^ u. 8^.
K. Gesellschaft der Wissenschaften in Upsala: Nova Acta. Ser. III. Vol. XV, 2. 1895. 4P. Universität in UpscUa: Schriften der Universität aus d. J. 1894/95 io 4** u. 8^
Historisch Genootschap in Utrecht: Bvjdragen en Mededeelingen. Deel XVI. 'sGravenhage 1895. 8^. Verslag van de algemeene vergadering der leden, 16. April 1896.
'sGravenhage 1895. &<>. Werken. III. Serie. No. 6. s'Gravenhage 1894. 8<>.
Physiologisch Laboratorium der Hoogeschool in Utrecht: Onderzoekingen. IV. Reeks. III, 2. 1895. 8^. Ateneo Veneto in Venedig: L'Ateneo Veneto. Serie XVIII. Vol. 1. 2. 1894. 80 jB. Istituto Veneto di scienze in Venedig: Atti. Tomo 52, disp. 4-9. Tomo 53, disp. 1-3." 1893—95. 8^. Memorie. Vol. 25, No. 1—3. 1894. 40
Bureau of Ethnology in Washingtofi: Chinook Texta by Franz Boas. 1894. 8®. Archeologic Investigations in James and Potomac Valleys, by Gerard
Fonke. 1894. 8«. Tke Siouan Tribes of the East by James Mooney. 1894. 6^.
1895. Math.-puya. CI. 3. ^ ^
522 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Ü. 8, Departement of Ägrieulture in Washington: Bulletin. No. 6. Division of Omitholof?y. 1895. 8®.
Surgeon GeneraVs Office, ü, 8. Army in Washington: Index-Catalogue. Vol. XVI. 1895. 4®.
ü. 8. Coast and Geodetic 8urvey in Washington : Bulletin. No. 34. 1896. 8«.
United States GeologicaJL Suroey in Washington: Bulletin. No. 118-122. 1894. 8«. Monographs. No. XXHI. XXIV. 1894. 4». 14th annual Report 1892/98. Part I. IL 1893/94. 4».
Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien: Denkschriften. Mathem.-naturvrissenschafcl. Classe. Bd. 61. 1894. 4^. Sitzungsberichte. Philos.-histor. Classe. Band 181 and Register zu
Band 121—130. 1894. 8«. Sitzungsberichte. Mathem.-phyaikal. Classe. Band 103, Abth. 1, No. 9-10, Abth. 2», No. 6-10, Abth. IH>, No. 4—10, Abth. III, No. 5-10. 1894. 8^ Archiv für österreichische Geschichte. Band 81, Hälfte II. 1895. ^. Fontes rerum Austriacarum. Abth. 11. Bd. 47, Hälfte 2. 1894. 8^. Monumenta conciliorum generalium. Tom. Hl, pars 3. 1895. fol. Almanach. 44. Jahrg. 1894. 8^.
K. K. geologische Reichsanstalt in Wien: Jahrbuch. Jahrg. 1895. Band 45, Heft 1. 1895. 4^ Verhandlungen. 1895. No. 8-13. 4».
K, K, Centralanstalt für Meteorologie in Wien: Jahrbücher. Jahrg. 1892. Band 37. 1894. 4».
Oesterreichische Gradmessufigs-Commission in Wien: Astronomische Arbeiten. 1895. 4^.
K. K. Gesellschaft der Aerzte in Wien: Wiener klinische Wochenschrift. 1895. No. 27—42. 44—62. 4«.
Anthropologische Gesellschaft in Wien: Mittheilungen. Band XXV, 2. 3. 1895. 4®.
Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien: Verhandlungen. 45. Band, Heft 6—9. 1895. 8^.
Z. K, naturhistorisches Hofmuseum in Wien: Annalen. Band X, 2. 1895. 4».
Verein zur Verbreitung naturwissenschaftlicher Kenntnisse in Wien: Schriften. 35. Band. Vereinsjahr 1894/95. 1895. 8<>.
Verein für Nassau^ sehe Alterthumskunde in Wiesbaden: Annalen. 27. Band. 1896. gr. 8».
Nassauischer Verein für Naturkunde in Wiesbaden: Jahrbücher. Jahrg. 48. 1895. 8^.
Physik alisch-medicinische Gesellschaft in Würzburg: Verhandlungen. N. F. Bd. 29, No. 2—6. 1896. 8».
VerzeiehnisB der eingelaufenen Di'ucksehriften, 523
Observatorium der kaUerl, Marine in WUheJmshaven : BeobachtoBgen der meteorolog. Station. Th. I. Berlin 1896. 4^.
Oriental University Institute in Wohing: Vidmodya, the Sanscrit critical Journal. Vol. 24, No. 4—8. 1896. 89.
Herzogliche Bibliothek in Wolfenbüttel: Otto V. Heinemann, Die Handschriften der herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel. Band V. 1895. S».
Naturforschende Gesellschaß in Zürich: Vierteljahrsschrift. 40. Jahrg. Heft 2. 1895. 8^
Physikalische OesellsciMft in Zürich: 7. Jahresbericht. 1893 u. 1894. 1895. 8^
Zeitschrift: Astronomische Mittheilungen in Zürich: Astronom. Mittheilungen. Jahrg. XII, No. 85 u. 86. 1895. 8^.
Von folgenden Privatpersonen:
Le Prince Albert I^ de Monaco: Resultats des campagnes scientifiques. Fase. VÜI et IX. 1895. fol.
Eduard Bodemann in Hannover: Die Leibniz-Handßchriften der k. öffentl. Bibliothek in Hannover. 1895. 8*^.
Renward Brandstetter in Luzern: Malaio-Polynesische Forschungen. No. IV. 1895. 4^.
Ludwig FriedXänder in Strassburg: Juvenalis saturarum libri V. 2 Voll. Leipzig 1895. 8^.
H. Fritsche in St, Petersburg: üeber den Zusammenhang zwischen der erdmagnetischen Horizontal- intensität und der Inclination. 1895. 8^.
Ernst Haeckel in Jena: Systematische Phylogenie der Wirbelthiere. Bd. III. Berlin 1896. 8°.
C, A. Hering in Dresden: Das Entwicklungsgesetz der Erde und der Erzlagerstatten. 1895. 8®.
Gustavus Betief Hinrichs in Saint-Louis: The ElemenU of Atom-Mechanics. Vol. 1. 1894. 6<^.
Charles Janet in Paris:
6 zoologische Abhandlungen in Separatabdrücken a. d. Jahre 1896. 8^.
James E. Keeler in Chicago. (London?):
1. Conditions affecting the Form of Lines in the Spectrum of Saturn.
2. A Spectroscopic Proof of the Meteoric Constitution of Saturn*s
Rings. 1895. 8^.
524 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.
Albert von KöTliker in Würzburg: Zum feineren Bau des Zwischenhinu. (Sep.-Abdr.) 1895. 8*^.
Otto Kunze in Friedicnau-B erlin: GeognoB tische Beiträge. Leipzig 1895. 8^.
Le comte de Landberg in Tutzing: Arabica. No. IE. Leide 1895. 8».
Jßmüe Lemoine in Paris: 2 mathematische Abhandlungen. (8ep.-Abdr.) 1894/95. 8^.
Ernst Leyst in Moskau: 6 Abhandlungen aus dem Gebiete der Meteorologie und des Erd- magnetismus aus den Bänden X— XVIII des Repertorinm für Meteorologie. St. Petersburg. 4^. Katalog der meteorologischen Beobachtungen in Kussland and Finn- land. St. Petersburg 1887. 4». Observations faites k TObservatoire mdtäorologique de rüniversite Imperiale de Moscou. 1893. 1894/95. (Janvier— Mars). A^. Gabriel Monod in Versailles: Revue historique. Tome 58, No. IL Tome 59, No. I. IL Paria 1895. &\
Julius V, Olivier in München: Was ist Raum, Zeit, Bewegung, Masse? 1895. 8^.
Joseph Beber in Aschaffenburg: Comenius' Werke. Band I. Giessen 1896. 8^
Carl Meiser in Begensburg: Taciti opera. Vol. 2, fasc. 7 ed Car. Meiser. Berolini 1895. 8^.
Otto Bibbeck in Leipzig: Vergili opera rec. Otto Ribbeck. Vol. II— IV. 1895. 8».
Wilhelm ScldemiUler in Beichenberg: Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles. Prag 1895. 8^.
Hugo Schuchardt in Graz: Sind unsere Personennamen übersetzbar? 1895. 8®.
Edmund Freiherr v. Uslar- Gl eichen in Hannover: Udo, Graf von Reinhausen, Bischof von Hildesheim. 1079—1114. 1895 8«.
Albrecht Weber in Berlin: Vedische Beiträge. 1895. 4«.
Friedrich von Weech in Karlsruhe: Codex diplomaticua Salemitanua. Tom. III. 1895. 8®.
3Iax Wellner in Neugedein: Einleitung zur Geschichte der Wissenschaften. 1895. 8^.
Daniel Werenka in Czemowitz: Topographie der Bukowina. 1895. 8®.
Ludwig F, A, Wimmer in Kopenhagen: De Danske Runeminders-Maerker. fol. Las Monuments runiques de TAllemagne. 1895. 8^.
525
Namen-Register.
y. Baeyer Adolf 197, 278.
V. Banernfeind Carl Maximilian (Nekrolog) 161.
Bauschinger Jalius 239.
Boltzmann Ludwig 25.
Brioechi Francesco (Wahl) 370.
Djck Walter 1, 261, 305, 447.
Gaudry Albert (Wahl) 370. Oeikie Archibald (Wahl) 870. Göbel Karl 73, 881.
Hartig Robert 199, 279.
V. Haushofer Karl (Nekrolog) 171.
▼. Helmholtz Hermann (Nekrolog) 185.
HyrtI Josef (Nekrolog) 184.
Ismail Pascha (Nekrolog) 158.
Kowalewski Alexander (Wahl) 870. Kundt August (Nekrolog) 177. V. KupflFer Karl 197.
Lehmann-Filhds R. 371.
Lindemann Ferdinand 219, 278, (Wahl) 870.
Lorentz Hendrik Antoon (Wahl) 870.
Maekelyne Neyil Story (Wahl) 870. ▼. Miller Wilhelm (Wahl) 870.
526 * Namen -Register.
Neumann Karl (Wahl) 870. Nöther Max 98.
y. Peitenkofer Max 155, 865. Pringsheim Alfred 39, 75, 295, 887. Pringsheim Nothaneal (Nekrolog) 180.
Radlkofer Ludwig 829. Ranke Johannes 8. Bilckert Johannes 27. Rüdinger Nikolaus 125.
y. Sandberger Fridolin 115.
V. Schack Adolf Friedrich (Nekrolog) 155.
Schmidt A. 805.
Seeliger Hugo 2.
y. Toit Carl 161, 443.
y. Weber Eduard 101, 428.
527
Sach- Register.
Abbildang, conforme eines Flächenstöckes 278. Abbildung der Halbebenen auf ein Polygon 219. Anpassung, direkte 78. Antipepton, Eiweissumsatz bei Zufuhr desselben 443.
Befruchtungs Vorgang, zur Eenntniss desselben 27.
Blattform von Campanula rotandifolia , abhängig von der Licbt-
intensitftt 381. Blei- und Fahlerzgänge in der Gegend von Weilmunster 116.
Caron 197.
Differentialgleichungen, simultane partielle II. 0. mit drei Yariabeln
101. Drehwuchs der Kiefer 199. Druckschriften, eingelaufene 307, 501.
Eröffnungsrede zur öffentlichen Sitzung 865.
Funktionen, Entwicklung eindeutiger analytischer in Potenzreihen 76.
Halswirbelsäule, Anthropologie derselben 8.
Integralsatz von Cauchy 89, 296.
Kegelschnitte, der 7-Sy8teme 98.
Kiemenknorpel, Entwicklung derselben bei Petromyzon Planeri 197.
Kümmelöl 278.
528 Sach'Begister.
Leukocytenwanderunf^ ia den Schleimhäuten des Darmkanals 125.
Maxweirsches VertheilungsgeBetz der Geschwindigkeiten 25. Modell, antikes eines Archimedischen Körpers 278.
Nadelschattepilz der Lärche 279.
Panllinia, Sapindaceen-Gattnng 829.
Pfaffsche Gleichungen 423.
Photographien, astronomische des Professor Wolf 2.
Potential, Berechnung des erdmagnetischen 805.
Potentialtheorie 261, 805, U7.
Potenzreihen, auf dem Gonvergenzkreise 887.
Befraktionsconstante , Bestimmungen derselben auf astronomischem Wege 289.
Säkularstörung der Länge des Mondes 871.
Wurzeln, Bestimmung der Anzahl der einem System von n-GIeichongen mit n- Variabein gemeinsamen 1.
Inhalt.
Die mit * bezeichnoton Abhandlungen sind In den Sitzangsberichian nicht abgedruckt.
Sitzung vom 2, November 1895. g^^.^
*L. Radlkofer: Monographie der Sapindaceen-GattungPaullinia S2\* K. Goebel: Ueber die Abhängigkeit der Blattform von Cam-
panula rotundifolia von der Licbtintensität 331
Alfr. Pringsheim: Ueber Potenzreihen auf dem Convergenz-
kreiae und Fourier'sche Reihen 337
Oeff entliehe Sitzung zu Ehren Seiner 31ajcstät des Königs lori Seiner Königl. Hoheit des Prinzregenten am 15, November 18:^'.
v. Pettenkofer: Eröffnungsrede 3»'
Wahlen 37-
Sitzung vom 7. Dezember 1895,
R. Lehraann-Filhe's: Ueber die Säcularstörnng der Länge des Mondes unter der Annahme einer sich nicht momentan
fortpHanzenden Schwerkraft 371
Ed. V. Weber: Ueber gewisse Systeme Pfaft''8cher Gleichungen 42- C. V. Voit: Ueber den Eiweissumsatz bei Zufuhr von Antipepton 44j
» Nachtrag zur Sitzung vom 0. Juli 1895, W. Dyck: Beiträge zur Potential theorie. II 417
Einsendung von Druckschriften 501
AkademiMcho liuchdruckerci von F. Stiaub in München.
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